Šiuolaikinėje matematikoje kompleksinis skaičius yra viena iš pagrindinių sąvokų, kuri randama pritaikymo tiek „grynajame moksle“, tiek taikomosiose srityse. Akivaizdu, kad taip buvo ne visada. Senovėje, kai net įprasti neigiami skaičiai atrodė keista ir abejotina naujovė, būtinybė išplėsti kvadratinės šaknies operaciją jiems nebuvo visiškai akivaizdi. Tačiau XVI amžiaus viduryje matematikas Raphaelis Bombelli į apyvartą įvedė kompleksinius (šiuo atveju, tiksliau, įsivaizduojamus) skaičius. Tiesą sakant, aš siūlau pažvelgti į tai, kokia buvo sunkumų, kurie galiausiai atvedė garbingą italą į tokius kraštutinumus, esmė.
Yra paplitusi klaidinga nuomonė, kad norint išspręsti kvadratines lygtis, reikalingi kompleksiniai skaičiai. Tiesą sakant, tai visiškai neteisinga: užduotis rasti kvadratinės lygties šaknis jokiu būdu nemotyvuoja kompleksinių skaičių įvedimo. Tai tobula.
Pažiūrėsim patys. Bet kuri kvadratinė lygtis gali būti pavaizduota taip:
.
Geometriškai tai reiškia, kad norime rasti tam tikros tiesės ir parabolės susikirtimo taškus
Netgi čia padariau nuotrauką iliustracijai.
Kaip visi gerai žinome iš mokyklos, kvadratinės lygties šaknys (anksčiau pateiktuose žymėjimuose) randamos pagal šią formulę: 
Yra 3 galimi variantai:
1. Radikali išraiška yra teigiama.
2. Radikalio išraiška lygi nuliui.
3. Radikali išraiška yra neigiama.
Pirmuoju atveju yra 2 skirtingos šaknys, antruoju - dvi sutampančios, trečiuoju atveju lygtis „negalima išspręsti“. Visi šie atvejai turi labai aiškų geometrinį aiškinimą:
1. Tiesi linija kerta parabolę (paveiksle mėlyna linija).
2. Tiesi linija liečia parabolę.
3. Tiesė neturi bendrų taškų su parabole (paveiksle alyvinė tiesė).
Situacija paprasta, logiška ir nuosekli. Nėra jokios priežasties bandyti paimti neigiamo skaičiaus kvadratinę šaknį. Niekas net nebandė.
Situacija labai pasikeitė, kai smalsi matematinė mintis pasiekė kubines lygtis. Šiek tiek mažiau akivaizdu, naudojant paprastą pakeitimą , bet kuri kubinė lygtis gali būti sumažinta iki formos: . Geometriniu požiūriu situacija panaši į ankstesnę: ieškome tiesės ir kubinės parabolės susikirtimo taško.
Pažvelkite į paveikslėlį: 
Reikšmingas skirtumas nuo kvadratinės lygties yra tas, kad nesvarbu, kokią tiesę paimtume, ji visada kirs parabolę. Tai yra, remiantis grynai geometriniais sumetimais, kubinė lygtis visada turi bent vieną sprendimą.
Jį galite rasti naudodami Cardano formulę: 
Kur 
.
Šiek tiek nepatogūs, bet kol kas atrodo, kad viskas tvarkoje. Ar ne?
Apskritai Cardano formulė yra ryškus „Arnoldo principo“ pavyzdys. Būdinga tai, kad Cardano niekada nepretendavo į formulės autorystę.
Tačiau grįžkime prie savo avių. Formulė yra puikus, be perdėto, puikus matematikos pasiekimas XVI amžiaus pradžioje ar viduryje. Tačiau ji turi vieną niuansą.
Paimkime klasikinį pavyzdį, kurį Bombelli svarstė: 
.
Staiga,
,
ir atitinkamai
.
Mes atvykome. Gaila formulės, bet formulė gera. Aklavietė. Nepaisant to, kad lygtis tikrai turi sprendimą.
Rafaelio Bombelli idėja buvo tokia: apsimeskime žarna ir apsimeskime, kad negatyvo šaknis yra kažkoks skaičius. Žinoma, žinome, kad tokių skaičių nėra, bet vis dėlto įsivaizduokime, kad jis egzistuoja ir, kaip ir įprasti skaičiai, gali būti pridedamas prie kitų, padauginamas, pakeltas į laipsnį ir pan.
Taikydamas panašų metodą, Bombelli visų pirma nustatė, kad 
,
Ir 
.
Patikrinkime:
.
Atkreipkite dėmesį, kad atliekant skaičiavimus nebuvo daromos prielaidos dėl neigiamų skaičių kvadratinių šaknų savybių, išskyrus pirmiau minėtą prielaidą, kad jos elgiasi kaip „paprastieji“ skaičiai.
Iš viso gauname. Tai gana teisingas atsakymas, kurį galima lengvai patikrinti tiesioginiu pakeitimu. Tai buvo tikras lūžis. Proveržis į sudėtingą plotmę.
Nepaisant to, tokie skaičiavimai atrodo kaip kažkokia magija, matematinis triukas. Požiūris į juos kaip į kažkokį triuką tarp matematikų išliko labai ilgai. Tiesą sakant, Rene'o Descarteso sugalvotas pavadinimas „įsivaizduojami skaičiai“ neigiamų skaičių šaknims visiškai atspindi tų laikų matematikų požiūrį į tokią pramogą.
Tačiau laikui bėgant „gudrybė“ buvo naudojama nuolat sėkmingai, „įsivaizduojamų skaičių“ autoritetas matematikų bendruomenės akyse augo, tačiau juos varžo jų naudojimo nepatogumai. Tik Leonhardo Eulerio (beje, būtent jis įvedė dabar dažniausiai naudojamą įsivaizduojamo vieneto pavadinimą) kvitas apie garsiąją formulę.
atvėrė kelią sudėtingiesiems skaičiams į įvairias matematikos sritis ir jos pritaikymą. Bet tai visiškai kita istorija.
Sudėtingi skaičiai
Įsivaizduojamas Ir kompleksiniai skaičiai. Abscisė ir ordinatė
kompleksinis skaičius. Konjuguoti kompleksinius skaičius.
Operacijos su kompleksiniais skaičiais. Geometrinis
kompleksinių skaičių vaizdavimas. Sudėtinga plokštuma.
Kompleksinio skaičiaus modulis ir argumentas. Trigonometrinis
kompleksinių skaičių forma. Operacijos su kompleksu
skaičiai trigonometrine forma. Moivre'o formulė.
Pagrindinė informacija apie įsivaizduojamas Ir kompleksiniai skaičiai pateikiami skyriuje „Įsivaizduojami ir kompleksiniai skaičiai“. Šių naujo tipo skaičių poreikis iškilo sprendžiant atvejo kvadratines lygtis
D< 0 (здесь D– kvadratinės lygties diskriminantas). Ilgą laiką šie skaičiai nerado fizinio pritaikymo, todėl jie buvo vadinami „įsivaizduojamais“ skaičiais. Tačiau dabar jie labai plačiai naudojami įvairiose fizikos srityse.ir technologijos: elektrotechnika, hidro- ir aerodinamika, tamprumo teorija ir kt.
Sudėtingi skaičiai yra parašyti tokia forma:a+bi. Čia a Ir b – realūs skaičiai , A i – menamasis vienetas, t.y. e. i 2 = –1. Skaičius a paskambino abscisė, a b – ordinatėskompleksinis skaičiusa + bi.Du kompleksiniai skaičiaia+bi Ir a–bi yra vadinami konjugatas kompleksiniai skaičiai.
Pagrindinės sutartys:
1. Tikrasis skaičius
Ataip pat galima parašyti formojekompleksinis skaičius:a+ 0 i arba a – 0 i. Pavyzdžiui, įrašai 5 + 0i ir 5-0 ireiškia tą patį skaičių 5 .2. Kompleksinis skaičius 0 + bipaskambino grynai įsivaizduojamas numerį. Įrašasbireiškia tą patį kaip 0 + bi.
3. Du kompleksiniai skaičiaia+bi Irc + dilaikomi lygiaverčiais, jeia = c Ir b = d. Priešingu atveju kompleksiniai skaičiai nėra lygūs.
Papildymas. Kompleksinių skaičių sumaa+bi Ir c + divadinamas kompleksiniu skaičiumi (a+c ) + (b+d ) i.Taigi, pridedant kompleksiniai skaičiai, jų abscisės ir ordinatės pridedami atskirai.
Šis apibrėžimas atitinka operacijų su įprastais daugianariais taisykles.
Atimtis. Dviejų kompleksinių skaičių skirtumasa+bi(sumažėjęs) ir c + di(subdėlis) vadinamas kompleksiniu skaičiumi (a–c ) + (b–d ) i.
Taigi, Atimant du kompleksinius skaičius, jų abscisės ir ordinatės atimamos atskirai.
Daugyba. Kompleksinių skaičių sandaugaa+bi Ir c + di vadinamas kompleksiniu skaičiumi:
(ac-bd ) + (ad+bc ) i.Šis apibrėžimas išplaukia iš dviejų reikalavimų:
1) skaičiai a+bi Ir c + dituri būti dauginama kaip algebrinė dvinariai,
2) skaičius ituri pagrindinę savybę:i 2 = – 1.
PAVYZDYS ( a+ bi )(a–bi) =a 2 +b 2 . Vadinasi, dirbti
du konjuguoti kompleksiniai skaičiai yra lygūs tikrajam
teigiamas skaičius.
Padalinys. Padalinkite kompleksinį skaičiųa+bi (dalomas) iš kitoc + di(daliklis) - reiškia surasti trečiąjį skaičiųe + f i(pokalbis), kurį padauginus iš daliklioc + di, gaunamas dividendasa + bi.
Jei daliklis nėra nulis, dalyba visada galima.
PAVYZDYS Rasti (8+i ) : (2 – 3 i) .
Sprendimas Perrašykime šį santykį trupmena:
Jo skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš 2 + 3i
IR Atlikę visas transformacijas, gauname:
Geometrinis kompleksinių skaičių vaizdavimas. Tikrieji skaičiai žymimi taškais skaičių eilutėje:
Čia yra esmė Areiškia skaičių –3, taškąB– numeris 2 ir O- nulis. Priešingai, kompleksiniai skaičiai vaizduojami taškais koordinačių plokštumoje. Tam tikslui pasirenkame stačiakampes (Dekarto) koordinates, kurių abiejų ašių masteliai yra vienodi. Tada kompleksinis skaičiusa+bi bus pavaizduotas tašku P su abscisėmis a ir ordinatė b (žr. paveikslėlį). Ši koordinačių sistema vadinama sudėtinga plokštuma .
Modulis kompleksinis skaičius yra vektoriaus ilgisOP, reiškia kompleksinį skaičių koordinatėje ( visapusiškas) lėktuvas. Kompleksinio skaičiaus modulisa+bižymimas | a+bi| arba laiškas r
Sudėtingi skaičiai manekenams 1 pamoka. Kas jie yra ir su kuo juos valgote? Įsivaizduojamas vienetas.
Norėdami suprasti, kas yra kompleksiniai skaičiai, prisiminkime įprastus skaičius ir išsamiai pažvelkime į juos. Ir taip, paprasčiausias dalykas natūralus numeriai. Jie vadinami natūraliais, nes per juos galima ką nors išreikšti „natūra“, tai yra, ką nors galima suskaičiuoti. Štai du obuoliai. Juos galima suskaičiuoti. Yra penkios šokolado dėžutės. Galime juos suskaičiuoti. Kitaip tariant, natūralūs skaičiai yra skaičiai, su kuriais galime suskaičiuoti konkrečius objektus. Jūs puikiai žinote, kad šiuos skaičius galima sudėti, atimti, dauginti ir padalyti. Su pridėjimu ir daugyba viskas aišku. Buvo du obuoliai, pridėjo tris, tapo penki. Paėmėme tris šokoladinių saldainių dėžutes, po 10 vienetų, tai iš viso reiškia trisdešimt saldainių. Dabar pereikime prie visa numeriai. Jei natūralūs skaičiai žymi konkretų objektų skaičių, tada abstrakcijos įvedamos į sveikųjų skaičių aibę. Tai nulis Ir neigiamas numeriai. Kodėl šios abstrakcijos? Nulis yra kažko nebuvimas. Bet ar galime paliesti, pajausti tai, ko nėra? Galime paliesti du obuolius, štai jie. Mes netgi galime juos valgyti. Ką reiškia nulis obuolių? Ar galime paliesti, pajusti šį nulį? Ne, negalime. Taigi tai yra abstrakcija. Jūs turite kažkaip nurodyti, kad kažko nėra. Taigi, kaip skaičių pažymėjome nulį. Bet kam tai kažkaip pažymėti? Įsivaizduokime, kad turėjome du obuolius. Suvalgėme du. Kiek mums liko? Teisingai, visai ne. Šią operaciją (suvalgėme du obuolius) rašysime kaip atimtį 2-2. Ir kuo mes baigėsi? Kaip turėtume pažymėti rezultatą? Tik įvedus naują abstrakciją (nulis), kuri parodys, kad dėl atimties (valgymo) paaiškėja, kad mums nebeliko nė vieno obuolio. Bet iš dviejų galime atimti ne 2, o 3. Atrodytų, kad ši operacija yra beprasmė. Jei turime tik du obuolius, kaip galime valgyti tris?
Pažvelkime į kitą pavyzdį. Einame į parduotuvę alaus. Pas mus yra 100 rublių. Alus kainuoja 60 rublių už butelį. Norime nusipirkti du butelius, bet neturime pakankamai pinigų. Mums reikia 120 rublių. Tada susitinkame su savo senu draugu ir pasiskoliname iš jo dvidešimt. Perkame alų. Klausimas. Kiek mums liko pinigų? Sveikas protas to diktuoja visai ne. Tačiau matematiniu požiūriu tai būtų absurdiška. Kodėl? Nes norint gauti nulį iš 100 reikia atimti 100. O mes darome 100-120. Čia turėtume gauti kažką kitokio. Ką mes gavome? Ir tai, kad draugui dar esame skolingi 20 rublių. Kitą kartą, kai turėsime 140 rublių, ateisime į parduotuvę alaus, susitiksime su draugu, su juo grąžinsime skolas ir galėsime nusipirkti dar du butelius alaus. Rezultate gauname 140-120-20=0. Pastaba -20. Tai dar viena abstrakcija - neigiamas skaičius. Tai yra, mūsų skola draugui yra skaičius su minuso ženklu, nes grąžindami skolą atimame šią sumą. Pasakysiu daugiau, tai dar didesnė abstrakcija nei nulis. Nulis reiškia tai, ko nėra. O neigiamas skaičius yra tarsi kažkas, kas iš mūsų bus atimta ateityje.
Taigi, naudodamas pavyzdį, parodžiau, kaip matematikoje gimsta abstrakcijos. Ir, atrodytų, nepaisant viso tokių abstrakcijų absurdiškumo (kaip atimti daugiau nei buvo), jos randa pritaikymą realiame gyvenime. Dalijant sveikuosius skaičius, atsiranda kita abstrakcija - trupmeniniai skaičiai. Smulkiau apie juos nesigilinsiu, ir aišku, kad jie reikalingi tuo atveju, kai turime sveikuosius skaičius, kurie nesidalija iš sveikojo skaičiaus. Pavyzdžiui, turime keturis obuolius, bet juos reikia padalyti trims žmonėms. Čia aišku, kad vieną likusį obuolį padaliname į tris dalis ir gauname trupmenas.
Dabar labai sklandžiai pereikime prie pačių kompleksinių skaičių. Tačiau pirmiausia atminkite, kad padauginę du neigiamus skaičius, gausite teigiamą skaičių. Kažkas klausia – kodėl taip yra? Pirmiausia supraskime, kaip neigiamą skaičių padauginti iš teigiamo. Tarkime, -20 padauginame iš 2. Tai yra, reikia pridėti -20+-20. Rezultatas yra -40, nes neigiamo skaičiaus pridėjimas yra atėmimas. Kodėl atimti – žr. aukščiau, neigiamas skaičius yra skola, kai jį atimame, iš mūsų kažkas atimama. Yra ir kita kasdienė prasmė. Kas atsitiks, jei skola padidės? Pavyzdžiui, tuo atveju, kai mums buvo suteikta paskola su palūkanomis? Dėl to liko tas pats skaičius su minuso ženklu, tas, kuris po minuso tapo didesnis. Ką reiškia padauginti iš neigiamo skaičiaus? Ką reiškia 3*-2? Tai reiškia, kad skaičius trys turi būti paimti atėmus du kartus. Tai yra, prieš daugybos rezultatą įdėkite minusą. Beje, tai tas pats, kas -3*2, nes perstačius veiksnius produktas nekeičiamas. Dabar atkreipkite dėmesį. Padauginkite -3 iš -2. Paimame skaičių -3 minus du kartus. Jei skaičių -3 imsime du kartus, rezultatas bus -6, jūs tai suprantate. O jei paimtume minus du kartus? Bet ką reiškia imtis minuso kartų? Jei imsite teigiamą skaičių minus kartų, gausite neigiamą skaičių, jo ženklas pasikeičia. Jei imsime neigiamą skaičių minus kartų, tai jo ženklas pasikeičia ir jis tampa teigiamas.
Kodėl mes kalbėjome apie minuso dauginimą iš minuso? Ir norint apsvarstyti kitą abstrakciją, šį kartą ji yra tiesiogiai susijusi su kompleksiniais skaičiais. Tai įsivaizduojamas vienetas. Įsivaizduojamas vienetas yra lygus kvadratinei šakniai iš minus 1:
Leiskite jums priminti, kas yra kvadratinė šaknis. Tai atvirkštinė kvadratavimo operacija. O kvadratas yra skaičiaus dauginimas iš savęs. Taigi 4 kvadratinė šaknis yra 2, nes 2*2=4. Kvadratinė šaknis iš 9 yra 3, nes 3*3=9. Kvadratinė šaknis iš vieno taip pat yra viena, o kvadratinė šaknis iš nulio yra nulis. Bet kaip paimti kvadratinę šaknį iš minus vieno? Kokį skaičių reikia padauginti iš savęs, kad gautume -1? Bet tokio skaičiaus nėra! Jei padauginsime -1 iš savęs, gausime 1. Jei padauginsime 1 iš 1, gausime 1. Ir minuso -1 tokiu būdu negausime. Tačiau vis dėlto galime susidurti su situacija, kai po šaknimi yra neigiamas skaičius. Ką daryti? Žinoma, galima sakyti, kad sprendimo nėra. Tai tarsi padalijimas iš nulio. Iki šiol visi tikėjome, kad padalyti iš nulio neįmanoma. Bet tada mes sužinojome apie tokią abstrakciją kaip begalybė, ir paaiškėjo, kad dalinti iš nulio vis tiek galima. Be to, abstrakcijos, tokios kaip dalijimas iš nulio, arba neapibrėžtis, gaunama padalijus nulį iš nulio arba begalybę iš begalybės, taip pat kitos panašios operacijos yra plačiai naudojamos aukštojoje matematikoje (), o aukštoji matematika yra daugelio tiksliųjų mokslų pagrindas, kurie juda į priekį technikos pažanga. Taigi galbūt įsivaizduojamame vienete yra kokia nors slapta prasmė? Valgyk. Ir jūs tai suprasite skaitydami tolesnes mano pamokas apie sudėtingus skaičius. Tuo tarpu pakalbėsiu apie kai kurias sritis, kuriose naudojami kompleksiniai skaičiai (skaičiai, kuriuose yra įsivaizduojamas vienetas).
Taigi, čia yra sričių, kuriose naudojami kompleksiniai skaičiai, sąrašas:
Elektrotechnika. Kintamosios srovės grandinių skaičiavimas. Kompleksinių skaičių naudojimas šiuo atveju labai supaprastina skaičiavimą be jų, tektų naudoti diferencialines ir integralines lygtis.
Kvantinė mechanika.Trumpai tariant, kvantinėje mechanikoje yra toks dalykas kaip banginė funkcija, kuri pati yra kompleksinės reikšmės ir kurios kvadratas (jau tikrasis skaičius) yra lygus tikimybės tankiui rasti dalelę tam tikrame taške. Taip pat žiūrėkite pamokų seriją
Skaitmeninis signalo apdorojimas. Skaitmeninio signalo apdorojimo teorija apima tokią sąvoką kaip z transformacija, kuri labai palengvina įvairius skaičiavimus, susijusius su įvairių signalų charakteristikų, tokių kaip dažnio ir amplitudės charakteristikos ir kt.
Plokščiojo skysčių srauto procesų aprašymas.
Skysčio tekėjimas aplink profilius.
Skysčių bangų judėjimas.
Ir tai toli gražu nėra baigtinis sąrašas, kur naudojami kompleksiniai skaičiai. Taip baigiama pirmoji pažintis su kompleksiniais skaičiais, kol vėl susitiksime.
Sudėtiniai arba įsivaizduojami skaičiai pirmą kartą pasirodė garsiajame Cardano veikale „Didysis menas arba apie algebros taisykles“ 1545 m. Autoriaus nuomone, šie skaičiai nebuvo tinkami naudoti. Tačiau vėliau šis teiginys buvo paneigtas. Visų pirma Bombelli 1572 m., spręsdamas kubinę lygtį, pagrindė įsivaizduojamų skaičių naudojimą. Jis sudarė pagrindines operacijų su kompleksiniais skaičiais taisykles.
Ir vis dėlto ilgą laiką matematiniame pasaulyje nebuvo vienos idėjos apie kompleksinių skaičių esmę.
Įsivaizduojamų skaičių simbolį pirmasis pasiūlė žymus matematikas Euleris. Siūloma simbolika atrodė taip: i = sqr -1, kur i yra imaginarius, o tai reiškia fiktyvus. Eulerio nuopelnas taip pat apima idėją apie kompleksinių skaičių lauko algebrinį uždarumą.
Taigi naujo tipo skaičių poreikis atsirado sprendžiant kvadratines lygtis D atvejui< 0 (где D - дискриминант квадратного уравнения). В настоящее время комплексные числа нашли широкое применение в физике и технике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и т.п.
Grafinis kompleksinių skaičių vaizdavimas turi tokią formą: a + bi, kur a ir b yra realieji skaičiai, o i yra įsivaizduojamas vienetas, t.y. i 2 = -1. Skaičius a vadinamas abscisėmis, o b yra kompleksinio skaičiaus a + bi ordinatė. Du kompleksiniai skaičiai a + bi ir a - bi vadinami konjuguotais kompleksiniais skaičiais.
Yra keletas taisyklių, susijusių su kompleksiniais skaičiais:
- Pirma, realusis skaičius a gali būti parašytas kompleksinių skaičių forma: a+ 0 i arba a - 0 i. Pavyzdžiui, 5 + 0 i ir 5 - 0 i reiškia tą patį skaičių 5.
- Antra, kompleksinis skaičius 0+ bi vadinamas grynai įsivaizduojamu skaičiumi. Žymėjimas bi reiškia tą patį kaip 0+ bi.
- Trečia, du kompleksiniai skaičiai a + bi ir c + di laikomi lygiais, jei a = c ir b = d. Priešingu atveju kompleksiniai skaičiai nėra lygūs.
Pagrindinės operacijos su kompleksiniais skaičiais apima:
Geometriniame vaizdavime kompleksiniai skaičiai, skirtingai nei realieji skaičiai, kurie skaičių tiesėje atvaizduojami taškais, yra pažymėti taškais koordinačių plokštumoje. Tam paimame stačiakampes (Dekarto) koordinates su identiškomis mastelėmis ant ašių. Šiuo atveju kompleksinis skaičius a + bi bus vaizduojamas tašku P su abscise a ir ordinate b. Ši koordinačių sistema vadinama sudėtinga plokštuma.
Modulis kompleksinis skaičius yra vektoriaus OP ilgis, reiškiantis kompleksinės plokštumos kompleksinį skaičių. Kompleksinio skaičiaus a + bi modulis užrašomas kaip |a + bi|arba raidė r ir lygi: r = |a + ib| = kvadratas a 2 + b 2 .
