Matematikas Jakovas Perelmanas: indėlis į mokslą. Garsus rusų matematikas Grigorijus Perelmanas

PROTO ŽAIDIMAS

Dar visai neseniai matematika savo „kunigams“ nežadėjo nei šlovės, nei turtų. Jiems net nebuvo suteikta Nobelio premija. Tokios nominacijos nėra. Juk, pasak labai populiarios legendos, kartą Nobelio žmona jį apgavo su matematiku. Ir keršydamas turtuolis atėmė iš visų jų kreivų brolių pagarbą ir piniginius prizus.

Situacija pasikeitė 2000 m. Privatus matematikos institutas Clay Mathematics Institute atrinko septynias sudėtingiausias problemas. Ir pažadėjo kiekvienam žmogui sumokėti po milijoną dolerių už jų sprendimą. Jie su pagarba žiūrėjo į matematikus. 2001 m. netgi buvo išleistas filmas „Gražus protas“, kurio pagrindinis veikėjas buvo matematikas.

Dabar tik žmonės, nutolę nuo civilizacijos, nežino: vienas iš pažadėtų milijonų – pats pirmasis – jau apdovanotas. Premija įteikta Rusijos piliečiui, Sankt Peterburgo gyventojui Grigorijui Perelmanui už Puankarės spėlionės išsprendimą, kuri jo pastangomis tapo teorema. 44 metų barzdotas vyras nušluostė nosį visam pasauliui. Ir dabar jis ir toliau laiko jį – pasaulį – nežinioje. Nes nežinoma, ar matematikas paims sąžiningai pelnytą milijoną dolerių, ar atsisakys. Daugelio šalių progresyvi visuomenė natūraliai nerimauja. Bent jau visų žemynų laikraščiai aprašo finansines ir matematinę intrigą.

O šios žavios veiklos – ateities spėjimo ir svetimų pinigų dalijimo – fone Perelmano pasiekimų prasmė kažkodėl buvo prarasta. Molio instituto prezidentas Jimas Carlsonas, žinoma, kažkada pareiškė, kad prizinio fondo tikslas buvo ne tiek atsakymų paieška, kiek bandymas didinti matematikos mokslo prestižą ir sudominti juo jaunimą. Bet vis tiek, kokia prasmė?

POINCARE HIPOTEZĖ – KAS TAI?

Rusų genijaus įminta mįslė paliečia matematikos šakos, vadinamos topologija, pagrindus. Jo topologija dažnai vadinama „gumos lakšto geometrija“. Jame nagrinėjamos geometrinių figūrų savybės, kurios išsaugomos, jei forma ištempiama, susukta ar sulenkta. Kitaip tariant, jis deformuojamas be įplyšimų, įpjovimų ar klijavimo.

Topologija yra svarbi matematinei fizikai, nes ji leidžia suprasti erdvės savybes. Arba įvertinkite neturėdami galimybės pažvelgti į šios erdvės formą iš išorės. Pavyzdžiui, mūsų Visatai.

Aiškindami Puankarės spėjimą, jie pradeda taip: įsivaizduokite dvimatę sferą – paimkite guminį diską ir pertraukite jį per rutulį. Taip, kad disko perimetras būtų surinktas viename taške. Panašiai, pavyzdžiui, virvele galite surišti sportinę kuprinę. Rezultatas bus sfera: mums – trimatis, bet matematikos požiūriu – tik dvimatė.

Tada jie siūlo užtraukti tą patį diską ant spurgos. Panašu, kad tai pavyks. Bet disko kraštai susilies į apskritimą, kurio nebegalima traukti į tašką – jis nupjaus spurgą.

Kaip savo populiarioje knygoje rašė kitas rusų matematikas Vladimiras Uspenskis, „skirtingai nei dvimatės sferos, trimatės sferos yra neprieinamos mūsų tiesioginiam stebėjimui, ir mums jas įsivaizduoti taip pat sunku, kaip ir Vasilijui Ivanovičiui. kvadratinis trinomas iš garsiojo pokšto“.

Taigi, pagal Puankarės hipotezę, trimatis rutulys yra vienintelis trimatis dalykas, kurio paviršius gali būti ištrauktas į vieną tašką kokia nors hipotetine „hipervirvele“.

Julesas Henri Poincaré tai pasiūlė 1904 m. Dabar Perelmanas įtikino visus, kurie supranta, kad prancūzų topologas buvo teisus. Ir pavertė savo hipotezę teorema.

Įrodymas padeda suprasti, kokią formą turi mūsų Visata. Ir tai leidžia mums labai pagrįstai manyti, kad tai ta pati trimatė sfera. Bet jei Visata yra vienintelė „figūra“, kurią galima sutraukti iki taško, tai tikriausiai ji gali būti ištempta iš taško. Tai yra netiesioginis Didžiojo sprogimo teorijos, teigiančios, kad Visata atsirado iš taško, patvirtinimas.

Pasirodo, Perelmanas kartu su Puankarė nuliūdino vadinamuosius kreacionistus – dieviškosios visatos pradžios šalininkus. Ir jie išliejo grūdus materialistų fizikų malūnui.

IR ŠIUO METU

Genijus dar neatsisakė milijono dolerių

Matematikas atkakliai atsisako bendrauti su žurnalistais. Mūsiškiams – visiškai: jis net nekelia balso. Vakariečiai – meta pastabas pro uždaras duris. Pavyzdžiui, palik mane ramybėje. Atrodo, kad genijus bendrauja tik su Molio instituto prezidentu Jimu Carlsonu.

Iškart po to, kai sužinojo apie Grigorijaus Perelmano milijoną dolerių, Carlsonas atsakė į klausimą „Ką nusprendė genijus? atsakė: „Jis man praneš tinkamu laiku“. Tai yra, jis užsiminė, kad palaiko ryšį su Grigorijumi.

Kitą dieną gavome naują prezidentės žinutę. Didžiosios Britanijos laikraštis „The Telegraph“ apie jį pranešė visuomenei: „Jis pasakė, kad kada nors man praneš apie savo sprendimą. Tačiau jis nepasakė bent apytiksliai, kada tai bus. Nemanau, kad tai bus teisinga rytoj“.

Pasak prezidentės, genijus kalbėjo sausai, bet mandagiai. Tai buvo trumpa. Gindamas Perelmaną, Carlsonas pažymėjo: „Ne kasdien žmogus net juokais susimąsto apie galimybę atsisakyti milijono dolerių“.

BEJE

Kodėl dar jie duotų milijoną dolerių?

1. Kuko problema

Būtina nustatyti, ar problemos sprendimo teisingumo patikrinimas gali užtrukti ilgiau nei paties sprendimo gavimas. Ši loginė užduotis svarbi kriptografijos – duomenų šifravimo – specialistams.

2. Riemano hipotezė

Yra vadinamieji pirminiai skaičiai, tokie kaip 2, 3, 5, 7 ir tt, kurie dalijasi tik iš savęs. Kiek jų iš viso yra, nežinoma. Riemannas tikėjo, kad tai galima nustatyti ir rasti jų pasiskirstymo modelį. Kas jį ras, teiks ir kriptografijos paslaugas.

3. Birch ir Swinnerton-Dyer spėjimas

Problema apima lygčių su trimis nežinomaisiais, pakeltomis į laipsnius, sprendimą. Jūs turite išsiaiškinti, kaip juos išspręsti, nepaisant sudėtingumo.

4. Hodge spėjimas

Dvidešimtajame amžiuje matematikai atrado sudėtingų objektų formos tyrimo metodą. Idėja yra vietoj paties objekto naudoti paprastas „plytas“, kurios yra suklijuotos ir suformuoja jo panašumą. Būtina įrodyti, kad tai visada leistina.

5. Navier – Stokso lygtys

Verta juos prisiminti lėktuve. Lygtys apibūdina oro sroves, kurios palaiko jį ore. Dabar lygtys sprendžiamos apytiksliai, naudojant apytiksles formules. Turime rasti tikslias ir įrodyti, kad trimatėje erdvėje yra lygčių sprendimas, kuris visada yra teisingas.

6. Yang – Mills lygtys

Fizikos pasaulyje yra hipotezė: jei elementarioji dalelė turi masę, tada jai yra apatinė riba. Bet kuris iš jų – neaišku. Turime prieiti prie jo. Tai turbūt pati sunkiausia užduotis. Norėdami tai išspręsti, būtina sukurti „visko teoriją“ - lygtis, sujungiančias visas gamtos jėgas ir sąveikas. Kas gali tai padaryti, tikriausiai gaus Nobelio premiją.

Paskutiniu dideliu grynosios matematikos pasiekimu laikomas Sankt Peterburgo gyventojo Grigorijaus Perelmano 2002–2003 m. įrodymas 1904 m. išsakytas Puankarė spėjimas, kuriame teigiama: „kiekvienas sujungtas, tiesiog sujungtas, kompaktiškas trimatis kolektorius be ribos yra homeomorfinis sferai S 3.

Šioje frazėje yra keletas terminų, kuriuos pabandysiu paaiškinti, kad bendra jų reikšmė būtų aiški ir ne matematikams (manau, kad skaitytojas baigė vidurinę mokyklą ir vis dar prisimena dalį savo mokyklinės matematikos).

Pradėkime nuo homeomorfizmo sampratos, kuri yra topologijos pagrindas. Apskritai topologija dažnai apibrėžiama kaip „guma geometrija“, t. y. kaip mokslas apie geometrinių vaizdų savybes, kurios nesikeičia sklandžiomis deformacijomis be lūžių ir klijavimo, tiksliau, jei įmanoma nustatyti „vienas su“ vienas ir abipusiai nenutrūkstamas dviejų objektų atitikimas .

Pagrindinę idėją lengviausia paaiškinti klasikiniu puodelio ir spurgos pavyzdžiu. Pirmoji gali būti paversta antruoju nuolatinės deformacijos būdu.

Šie skaičiai aiškiai parodo, kad puodelis yra homeomorfinis spurgai, ir šis faktas galioja tiek jų paviršiams (dviejų dimensijų kolektoriams, vadinamiems toru), tiek užpildytiems kūnams (trimačiai kolektoriai su briauna).

Pateiksime likusių terminų, kurie atsiranda formuluojant hipotezę, interpretaciją.

Trimatis kolektorius be krašto. Tai geometrinis objektas, kuriame kiekvienas taškas turi kaimynystę trimačio rutulio pavidalu. 3 kolektorių pavyzdžiai apima, pirma, visą trimatę erdvę, pažymėtą R 3 , taip pat bet kokius atvirus taškų rinkinius R 3 , pavyzdžiui, kietojo toro (spurgos) vidų. Jei laikysime uždarą kietą torą, t.y. pridėsime jo ribinius taškus (toro paviršių), tada gausime kolektorių su briauna - briaunų taškai neturi rutulio pavidalo apylinkių, o tik formos. pusrutulio.
Prisijungta. Ryšio sąvoka čia pati paprasčiausia. Kolektorius yra sujungtas, jei jis susideda iš vienos dalies, arba, kas yra tas pats, bet kurie du jo taškai gali būti sujungti ištisine linija, kuri neišeina už jo ribų.
Tiesiog prijungtas. Tiesiog ryšio sąvoka yra sudėtingesnė. Tai reiškia, kad bet kuri ištisinė uždara kreivė, esanti tik tam tikrame kolektorius, gali būti sklandžiai sutraukta iki taško, nepaliekant šio kolektoriaus. Pavyzdžiui, paprastas dvimatis rutulys R 3 yra tiesiog sujungtas (guminė juosta, bet kokiu būdu uždėta ant obuolio paviršiaus, gali būti sklandžiai ištraukta į vieną tašką tolygiai deformuojant, nenuplėšiant guminės juostos nuo obuolio) . Kita vertus, ratas ir toras nėra tiesiog sujungti.
Kompaktiškas. Kolektorius yra kompaktiškas, jei bet kuris jo homeomorfinis vaizdas turi ribotus matmenis. Pavyzdžiui, atviras intervalas tiesėje (visi atkarpos taškai, išskyrus jos galus) yra nekompaktiškas, nes jį galima nuolat pratęsti iki begalinės linijos. Bet uždara atkarpa (su galais) yra kompaktiškas kolektorius su riba: esant bet kokiai nuolatinei deformacijai, galai eina į tam tikrus konkrečius taškus, o visa atkarpa turi eiti į apribotą kreivę, jungiančią šiuos taškus.

Matmenys kolektoriaus yra taško, kuris „gyvena“ jame, laisvės laipsnių skaičius. Kiekvienas taškas turi kaimynystę atitinkamo matmens disko pavidalu, t. y. linijos intervalas vienmačiu atveju, apskritimas plokštumoje dviem matmenimis, rutulys trijų matmenų ir tt Iš taško Topologijos požiūriu yra tik du vienmačiai sujungti kolektorius be briaunos: linija ir apskritimas. Iš jų tik ratas yra kompaktiškas.

Erdvės, kuri nėra kolektorius, pavyzdys yra, pavyzdžiui, susikertančių linijų pora – juk dviejų tiesių susikirtimo taške bet kuri kaimynystė turi kryžiaus formą, ji neturi kaimynystės, kuri būtų pats savaime yra tiesiog intervalas (ir visi kiti taškai turi tokias apylinkes). Tokiais atvejais matematikai sako, kad turime reikalą su ypatinga įvairove, kuri turi vieną ypatingą tašką.

Dvimačiai kompaktiški kolektoriai yra gerai žinomi. Jei tik atsižvelgsime orientuotas kolektoriai be ribos, tada topologiniu požiūriu jie sudaro paprastą, nors ir begalinį sąrašą: ir pan. Kiekvienas toks kolektorius gaunamas iš sferos, suklijuojant keletą rankenų, kurių skaičius vadinamas paviršiaus genu.

Paveikslėlyje pavaizduoti 0, 1, 2 ir 3 genčių paviršiai. Kuo sfera išsiskiria iš visų šiame sąraše esančių paviršių? Pasirodo, tai tiesiog sujungta: sferoje bet kokia uždara kreivė gali būti sutraukta iki taško, bet ant bet kurio kito paviršiaus visada galima nurodyti kreivę, kurios negalima sutraukti į tašką išilgai paviršiaus.

Įdomu tai, kad trimačius kompaktiškus kolektorius be ribos galima tam tikra prasme klasifikuoti, tai yra, išdėstyti tam tikrame sąraše, nors ir ne taip paprastai, kaip dvimačiu atveju, tačiau turintys gana sudėtingą struktūrą. Tačiau 3D sfera S 3 šiame sąraše išsiskiria kaip ir 2D sfera aukščiau esančiame sąraše. Faktas, kad bet kuri S 3 kreivė susitraukia į tašką, įrodoma taip pat paprastai, kaip ir dvimačiu atveju. Tačiau priešingas teiginys, būtent, kad ši savybė yra unikali būtent šiai sferai, t. y. kad bet kuriame kitame trimačiame kolektorius turi nesusitraukiančias kreives, yra labai sunkus ir tiksliai sudaro Puankarės spėlionės, apie kurią mes kalbame, turinį. .

Svarbu suprasti, kad įvairovė gali egzistuoti kaip savarankiškas objektas, niekur neįdėtas. (Įsivaizduokite, kad gyvenate kaip dvimačiai tvariniai paprastos sferos paviršiuje, nežinodami apie trečiosios dimensijos egzistavimą.) Laimei, visus aukščiau esančiame sąraše pateiktus dvimačius paviršius galima sudėti įprastoje R3 erdvėje, todėl juos lengviau padaryti. vizualizuoti. Trimačiai sferai S 3 (ir apskritai bet kokiam kompaktiškam trimačiam kolektoriui be ribos) tai nebėra, todėl reikia šiek tiek pastangų suprasti jo struktūrą.

Matyt, paprasčiausias būdas paaiškinti trimatės sferos S 3 topologinę struktūrą yra vieno taško sutankinimas. Būtent trimatė sfera S 3 yra įprastos trimatės (neribotos) erdvės R 3 vienataškis sutankinimas.

Pirmiausia paaiškinkime šią konstrukciją paprastais pavyzdžiais. Paimkime įprastą begalinę tiesę (vienmatį erdvės analogą) ir pridėkime prie jos vieną „be galo tolimą“ tašką, darydami prielaidą, kad judėdami tiesia linija į dešinę arba į kairę, galiausiai pasiekiame šį tašką. Topologiniu požiūriu nėra skirtumo tarp begalinės linijos ir apribotos atviros linijos atkarpos (be galinių taškų). Tokį segmentą galima nuolat lenkti lanko pavidalu, priartinti galus ir klijuoti trūkstamą tašką sankryžoje. Akivaizdu, kad gausime apskritimą – vienmatį sferos analogą.

Lygiai taip pat, jei paimsiu begalinę plokštumą ir pridedu vieną tašką prie begalybės, į kurį linksta visos pradinės plokštumos tiesės, einančios bet kuria kryptimi, tada gauname dvimatę (paprastąją) sferą S 2. Šią procedūrą galima stebėti naudojant stereografinę projekciją, kuri kiekvienam rutulio taškui P, išskyrus šiaurinį ašigalį N, priskiria tam tikrą tašką plokštumoje P.

Taigi sfera be vieno taško topologiškai yra tokia pati kaip plokštuma, o pridėjus tašką plokštuma paverčiama sfera.

Iš principo lygiai ta pati konstrukcija yra taikoma trimačiai sferai ir erdvei, tik jai įgyvendinti reikia įeiti į ketvirtą dimensiją, o tai ne taip paprasta pavaizduoti brėžinyje. Todėl apsiribosiu žodiniu erdvės R 3 sutankinimo vienataškiu aprašymu.

Įsivaizduokime, kad į mūsų fizinę erdvę (kurią, sekdami Niutonu, laikome neribota Euklido erdve su trimis koordinatėmis x, y, z) vienas taškas „begalybėje“ pridedamas taip, kad judant tiesia linija bet kurioje kryptimi, į kurią pateksite (t. y. kiekviena erdvinė linija užsidaro į apskritimą). Tada gauname kompaktišką trimatį kolektorius, kuris pagal apibrėžimą yra sfera S 3 .

Nesunku suprasti, kad sfera S 3 yra tiesiog sujungta. Tiesą sakant, bet kuri uždara šios sferos kreivė gali būti šiek tiek paslinkta, kad ji nepraeitų per pridėtą tašką. Tada įprastoje erdvėje R 3 gauname kreivę, kuri lengvai susitraukia į tašką per homotetes, t.y. nuolatinį suspaudimą visomis trimis kryptimis.

Norint suprasti, kaip yra S 3 veislės struktūra, labai naudinga apsvarstyti jos padalijimą į du kietus tori. Jei išimsime kietąjį torą iš erdvės R 3, tai liks kažkas nelabai aiškaus. Ir jei erdvė sutankinama į sferą, tai šis papildymas taip pat virsta kietu toru. Tai yra, sfera S 3 yra padalinta į du kietus tori, kurie turi bendrą ribą - torą.

Štai kaip galite tai suprasti. Įterpkime torą į R 3, kaip įprasta, apvalios spurgos pavidalu ir nubrėžkime vertikalią liniją - šios spurgos sukimosi ašį. Per ašį nubrėžiame savavališką plokštumą, kuri susikirs su mūsų kietuoju toru išilgai dviejų apskritimų, pavaizduotų paveikslėlyje, o papildoma plokštumos dalis yra padalinta į ištisinę raudonų apskritimų šeimą. Tai apima centrinę ašį, paryškintą drąsiau, nes sferoje S 3 tiesė užsidaro į apskritimą. Sukant aplink ašį iš šio dvimačio vaizdo gaunamas trimatis vaizdas. Visas pasuktų apskritimų rinkinys užpildys trimatį kūną, homeomorfinį iki vientiso toro, tik atrodys neįprastai.

Tiesą sakant, centrinė ašis joje bus ašinis apskritimas, o likusi dalis atliks paralelių vaidmenį - apskritimus, kurie sudaro įprastą kietą torą.

Kad būtų su kuo palyginti 3 sferą, pateiksiu dar vieną kompaktiško 3 kolektoriaus pavyzdį, būtent trimatį torą. Trimatis toras gali būti sukonstruotas taip. Paimkime įprastą trimatį kubą kaip pradinę medžiagą:

Jis turi tris poras kraštų: kairėje ir dešinėje, viršuje ir apačioje, priekyje ir gale. Kiekvienoje lygiagrečių veidų poroje mes nustatome taškus, gautus vienas nuo kito perkeliant išilgai kubo krašto. Tai yra, darysime prielaidą (grynai abstrakčiai, nenaudodami fizinių deformacijų), kad, pavyzdžiui, A ir A" yra tas pats taškas, o B ir B" taip pat yra vienas taškas, bet skiriasi nuo taško A. Visi vidiniai taškai kubo Laikysime kaip įprasta. Pats kubas yra kolektorius su briauna, tačiau po klijavimo kraštas užsidaro pats ir išnyksta. Tiesą sakant, kubo taškų A ir A apylinkės (jie yra kairėje ir dešinėje tamsintose pusėse) yra rutuliukų pusės, kurios, suklijavus paviršius, susilieja į visą rutulį, kuris tarnauja kaip atitinkamas trimačio toro taškas.

Norint pajusti 3 vamzdžių struktūrą, pagrįstą kasdienėmis idėjomis apie fizinę erdvę, reikia pasirinkti tris viena kitai statmenas kryptis: pirmyn, kairėn ir aukštyn – ir mintyse pagalvoti, kaip mokslinės fantastikos istorijose, judant bet kuria iš šių krypčių. , gana ilgas, bet ribotas laikas , grįšime į pradinį tašką, bet iš priešingos krypties. Tai taip pat yra „erdvės sutankinimas“, bet ne tas vientaškis, kuris anksčiau buvo naudojamas sferai konstruoti, o sudėtingesnis.

Ant trimačio toro yra nesutraukiami keliai; pavyzdžiui, tai paveiksle atkarpa AA" (ant toro jis reiškia uždarą kelią). Jo negalima susitraukti, nes esant bet kokiai nuolatinei deformacijai taškai A ir A" turi judėti išilgai jų paviršių, likdami griežtai vienas priešais kitą ( kitaip kreivė atsivers).

Taigi, matome, kad yra tiesiog sujungti ir ne paprasčiausiai sujungti kompaktiški 3 kolektoriai. Perelmanas įrodė, kad tiesiog sujungtas kolektorius yra būtent vienas.

Pradinė įrodymo idėja yra naudoti vadinamąjį „Ricci srautą“: paimame paprasčiausiai sujungtą kompaktišką 3 kolektorių, suteikiame jam savavališką geometriją (t. y. įvedame tam tikrą metriką su atstumais ir kampais), o tada apsvarstykite jo raidą Ricci sraute. Richardas Hamiltonas, kuris pasiūlė šią idėją 1981 m., tikėjosi, kad ši evoliucija pavers mūsų įvairovę sfera. Paaiškėjo, kad tai netiesa - trimačiu atveju Ricci srautas gali sugadinti kolektorių, tai yra, padaryti jį nekolektoriumi (kažkas su vienaskaitiniais taškais, kaip aukščiau pateiktame susikertančių linijų pavyzdyje) . Perelmanas, įveikęs neįtikėtinus techninius sunkumus, naudodamas sunkų dalinių diferencialinių lygčių aparatą, sugebėjo įvesti Ricci srauto pataisymus šalia vienaskaitos taškų taip, kad evoliucijos metu kolektoriaus topologija nesikeičia, neatsiranda singuliarių taškų ir pabaigoje jis virsta apvalia viena sfera. Bet pagaliau turime paaiškinti, kas yra šis Ricci srautas. Hamiltono ir Perelmano naudojami srautai nurodo vidinės metrikos pokyčius abstrakčiame kolektoriuje, ir tai gana sunku paaiškinti, todėl apsiribosiu „išorinio“ Ricci srauto apibūdinimu vienmačiuose kolektoriuose, įterptuose į plokštumą.

Įsivaizduokime sklandžią uždarą kreivę Euklido plokštumoje, pasirinkite joje kryptį ir kiekviename taške apsvarstykite vienetinio ilgio liestinės vektorių. Tada, apvažiuojant kreivę pasirinkta kryptimi, šis vektorius suksis tam tikru kampiniu greičiu, kuris vadinamas kreivumu. Tose vietose, kur kreivė išlenkta stačiau, kreivumas (absoliučia verte) bus didesnis, o kur lygesnis – mažesnis.

Kreivumą laikysime teigiamu, jei greičio vektorius pasisuks link vidinės plokštumos dalies, padalintos mūsų kreivės į dvi dalis, ir neigiamu, jei pasisuks į išorę. Šis susitarimas nepriklauso nuo krypties, kuria važiuojama kreivė. Posūkio taškuose, kur sukimosi kryptis keičiasi, kreivumas bus lygus 0. Pavyzdžiui, apskritimo, kurio spindulys 1, pastovus teigiamas kreivumas yra 1 (jei matuojama radianais).

Dabar pamirškime liestinės vektorius ir, priešingai, prie kiekvieno kreivės taško pritvirtinkime jam statmeną vektorių, vienodo ilgio kreivumui tam tikrame taške ir nukreiptą į vidų, jei kreivumas yra teigiamas, ir į išorę, jei jis yra neigiamas. , tada kiekvienas taškas judės atitinkamo vektoriaus kryptimi greičiu, proporcingu jo ilgiui. Štai pavyzdys:

Pasirodo, bet kuri uždara kreivė plokštumoje tokios evoliucijos metu elgiasi panašiai, t.y., galiausiai virsta apskritimu. Tai vienmačio Puankarės spėjimo analogo, naudojant Ricci srautą, įrodymas (tačiau pats teiginys šiuo atveju jau akivaizdus, tiesiog įrodinėjimo metodas iliustruoja tai, kas vyksta 3 dimensijoje).

Pabaigoje pažymėkime, kad Perelmano samprotavimai įrodo ne tik Puankaro spėjimą, bet ir daug bendresnį Thurston geometrizavimo spėjimą, kuris tam tikra prasme apibūdina visų paprastai kompaktiškų trimačių kolektorių struktūrą. Tačiau ši tema nepatenka į šio elementaraus straipsnio taikymo sritį.

Dėl vietos stokos nekalbėsiu apie neorientuojamus kolektorius, kurių pavyzdys yra garsusis Kleino butelis – paviršius, kurio negalima įterpti erdvėje be savikirtimų.

1904 m. Henri Poincaré pasiūlė, kad bet koks trimatis objektas, turintis tam tikras 3 sferų savybes, gali būti paverstas 3 sferomis. Šiai hipotezei įrodyti prireikė 99 metų. (Įspėjimas! Trimatė sfera nėra tokia, kokia jūs manote.) Rusų matematikas įrodė prieš šimtmetį išsakytą Puankarės spėjimą ir baigė sukurti trimačių erdvių formų katalogą. Galbūt jis gaus 1 milijono dolerių premiją.

Apsidairykite aplinkui. Jus supantys objektai, kaip ir jūs patys, yra dalelių rinkinys, judantis trimatėje erdvėje (3-jų kolektorius), kuri tęsiasi visomis kryptimis daugybę milijardų šviesmečių.

Kolektoriai yra matematinės konstrukcijos. Nuo Galilėjaus ir Keplerio laikų mokslininkai sėkmingai apibūdino tikrovę vienos ar kitos matematikos šakos požiūriu. Fizikai mano, kad viskas pasaulyje vyksta trimatėje erdvėje ir bet kurios dalelės padėtis gali būti nurodyta trimis skaičiais, pavyzdžiui, platuma, ilguma ir aukščiu (kol kas palikime nuošalyje stygų teorijoje padarytą prielaidą, kad be to prie trijų mūsų stebimų matmenų yra keletas papildomų ).

Pagal klasikinę ir tradicinę kvantinę fiziką erdvė yra pastovi ir nekintanti. Tuo pačiu metu bendroji reliatyvumo teorija jį laiko aktyviu įvykių dalyviu: atstumas tarp dviejų taškų priklauso nuo praeinančių gravitacinių bangų ir nuo to, kiek šalia yra medžiagos ir energijos. Tačiau tiek Niutono, tiek Einšteino fizikoje erdvė – begalinė ar baigtinė – bet kuriuo atveju yra 3-jų daugėja. Todėl norint visapusiškai suprasti pagrindus, ant kurių remiasi beveik visas šiuolaikinis mokslas, būtina suprasti 3-iųjų kolektorius (4-kolektorius ne mažiau domina, nes erdvė ir laikas kartu sudaro vieną iš jų).

Matematikos šaka, kurioje tiriami kolektoriai, vadinama topologija. Topologai pirmiausia uždavė esminius klausimus: koks yra paprasčiausias (ty mažiausiai sudėtingas) 3 kolektoriaus tipas? Ar jis turi tokius pat paprastus brolius, ar jis unikalus? Kokie yra 3 kolektoriai?

Atsakymas į pirmąjį klausimą žinomas jau seniai: paprasčiausias kompaktiškas 3 kolektorius yra erdvė, vadinama 3 sfera (Nekompaktiški kolektoriai yra begaliniai arba turi briaunas. Žemiau nagrinėjami tik kompaktiški kolektorius). Kiti du klausimai liko atviri šimtmetį. Tik 2002 metais į juos atsakė rusų matematikas Grigorijus Perelmanas, kuris, matyt, sugebėjo įrodyti Puankarės spėjimą.

Lygiai prieš šimtą metų prancūzų matematikas Henri Poincaré pasiūlė, kad 3 sfera yra unikali ir kad joks kitas kompaktiškas 3 kolektorius neturi savybių, dėl kurių jis būtų toks paprastas. Sudėtingesni 3 kolektoriai turi sienas, kurios stovi kaip plytų siena, arba kelios jungtys tarp tam tikrų sričių, pavyzdžiui, miško takas, kuris šakojasi ir vėl susijungia. Bet koks trimatis objektas, turintis 3 sferų savybių, gali būti paverstas juo pačiu, todėl topologams jis atrodo tiesiog jo kopija. Perelmano įrodymas taip pat leidžia atsakyti į trečiąjį klausimą ir suskirstyti visus esamus 3 skirsnius.

Norint įsivaizduoti 3 sferą, prireiks nemažos fantazijos (žr. DIAMATMENĖ RUTUČIŲ MUZIKA). Laimei, jis turi daug bendro su 2 sfera, kurios tipiškas pavyzdys yra apvalaus baliono guma: jis yra dvimatis, nes bet kurį jo tašką apibrėžia tik dvi koordinatės - platuma ir ilguma. Jei išnagrinėsite gana nedidelį jo plotą po galingu padidinamuoju stiklu, jis atrodys kaip plokščio lapo gabalas. Mažam vabzdžiui, ropojančiam ant baliono, jis atrodys lygus paviršius. Bet jei booger pakankamai ilgai juda tiesia linija, galiausiai jis grįš į savo pradinį tašką. Lygiai taip pat 3 mūsų Visatos dydžio sferą suvoktume kaip „įprastą“ trimatę erdvę. Nuskridę pakankamai toli bet kuria kryptimi, galiausiai būtume ją „apvažiavę“ ir atsidūrę savo starto vietoje.

Kaip jau spėjote, n matmenų sfera vadinama n sfera. Pavyzdžiui, 1 sfera yra pažįstama visiems: tai tik ratas.

2003 m. balandžio mėn. Prinstono universitete vykusiame seminare Grigory Perelman pristato savo Puankarės spėlionių ir Thurstono geometrizavimo programos užbaigimo įrodymus.

Hipotezių tikrinimas

Praėjo pusė amžiaus, kol Puankarės prielaidos iškilo. 60-aisiais XX amžiuje Matematikai jai įrodė panašius teiginius apie penkių ar daugiau dimensijų sferas. Kiekvienu atveju n-sfera iš tiesų yra vienintelis ir paprasčiausias n-daugelis. Kaip bebūtų keista, rezultatus gauti daugiamatėms sferoms buvo lengviau nei 3 ir 4 sferoms. Keturių matmenų įrodymas pasirodė 1982 m. Ir liko nepatvirtintas tik originalus Puankarės spėjimas apie 3 sferą.

Lemiamas žingsnis buvo žengtas 2002 metų lapkritį, kai Matematikos instituto Sankt Peterburgo filialo matematikas Grigorijus Perelmanas. Steklov, išsiuntė straipsnį į svetainę www.arxiv.org, kur fizikai ir matematikai iš viso pasaulio aptaria savo mokslinės veiklos rezultatus. Topologai iš karto suprato ryšį tarp rusų mokslininko darbo ir Puankarės spėjimo, nors autorius to tiesiogiai neužsiminė. 2003 m. kovo mėn. Perelmanas paskelbė antrąjį straipsnį, o tų metų pavasarį lankėsi JAV ir surengė keletą seminarų Masačusetso technologijos institute ir Niujorko valstybiniame universitete Stony Brook mieste. Kelios matematikų grupės pirmaujančiuose institutuose iš karto pradėjo detalų pateiktų darbų tyrimą ir klaidų paiešką.

APŽVALGA: POINCARES HIPOTEZĖS ĮRODYMAS

Visą šimtmetį matematikai bandė įrodyti Henri Poincaré prielaidą apie išskirtinį 3 sferos paprastumą ir unikalumą tarp visų trimačių objektų.
Poincaré spėjimo pagrindimas pagaliau pasirodė jauno rusų matematiko Grigorijaus Perelmano darbuose. Jis taip pat baigė plačią trimačių kolektorių klasifikavimo programą.
Galbūt mūsų Visata turi 3 sferų formą. Yra ir kitų intriguojančių ryšių tarp matematikos ir dalelių fizikos bei bendrojo reliatyvumo.

Stony Brook mieste Perelmanas per dvi savaites skaitė keletą paskaitų, kalbėdamas nuo trijų iki šešių valandų per dieną. Labai aiškiai pateikė medžiagą, atsakė į visus iškilusius klausimus. Iki galutinio rezultato dar liko vienas mažas žingsnelis, tačiau neabejotina, kad tai bus padaryta. Pirmasis straipsnis supažindina skaitytoją su pagrindinėmis idėjomis ir laikomas visiškai patikrintu. Antrasis straipsnis apima taikomąsias problemas ir techninius niuansus; jis dar nekelia tokio visiško pasitikėjimo kaip jo pirmtakas.

2000 m. pavadintas Matematikos institutas. Clay Kembridže, Masačusetso valstijoje, įsteigė 1 milijono dolerių prizą už kiekvienos iš septynių tūkstantmečio problemų įrodymą, iš kurių viena laikoma Puankarės prielaida. Kad mokslininkas galėtų pretenduoti į premiją, jo įrodymai turi būti paskelbti ir dvejus metus atidžiai peržiūrimi.

Perelmano darbai plečia ir užbaigia 90-aisiais vykdytą tyrimų programą. praėjusį šimtmetį Richardas S. Hamiltonas iš Kolumbijos universiteto. 2003 metų pabaigoje amerikiečio matematiko darbai buvo apdovanoti Molio instituto premija. Perelmanui pavyko puikiai įveikti daugybę kliūčių, su kuriomis Hamiltonas negalėjo susidoroti.

Tiesą sakant, Perelmano įrodymas, kurio teisingumu dar niekam nepavyko suabejoti, išsprendžia daug platesnį klausimų spektrą nei pats Puankarės spėjimas. William P. Thurston iš Kornelio universiteto pasiūlyta geometrizavimo procedūra leidžia visiškai suskirstyti 3 kolektorius pagal 3 sferas, unikalias savo didingu paprastumu. Jei Puankarės spėjimas būtų klaidingas, t.y. Jei būtų daug erdvių, paprastų kaip sfera, tada 3-jų kolektorių klasifikacija pavirstų į be galo sudėtingą. Perelmano ir Thurstono dėka turime pilną visų matematiškai įmanomų trimatės erdvės formų, kurias galėtų užimti mūsų Visata, katalogą (jei svarstysime tik erdvę be laiko).

Guminiai beigeliai

Norėdami geriau suprasti Poincaré spėjimą ir Perelmano įrodymą, turėtumėte atidžiau pažvelgti į topologiją. Šioje matematikos šakoje daikto forma neturi reikšmės, tarsi jis būtų iš tešlos, kurią galima bet kokiu būdu tempti, suspausti ir lenkti. Kodėl turėtume galvoti apie daiktus ar erdves, pagamintus iš įsivaizduojamos tešlos? Faktas yra tas, kad tiksli objekto forma – atstumas tarp visų jo taškų – nurodo struktūrinį lygmenį, vadinamą geometrija. Tirdami objektą iš tešlos, topologai nustato pagrindines jo savybes, kurios nepriklauso nuo geometrinės struktūros. Topologijos studijos yra panašios į dažniausiai pasitaikančių bruožų, kuriuos žmonės turi, paiešką žiūrint į „plastilinį žmogų“, kurį galima paversti bet kokiu konkrečiu asmeniu.

Populiariojoje literatūroje dažnai pasitaiko nulaužtas teiginys, kad topologiniu požiūriu puodelis niekuo nesiskiria nuo spurgos. Faktas yra tas, kad tešlos puodelį galima paversti spurgu tiesiog susmulkinus medžiagą, t.y. nieko neapakinant ir nedarant skylių (žr. PAVIRŠIAUS TOPOLOGIJA). Kita vertus, norint pagaminti spurgą iš rutulio, būtinai reikia padaryti joje skylutę arba susukti į cilindrą ir suformuoti galus, todėl rutuliukas visai ne spurgos.

Topologus labiausiai domina rutulio ir spurgos paviršiai. Todėl vietoj tvirtų kūnų reikėtų įsivaizduoti balionus. Jų topologija vis dar skiriasi, nes sferinio baliono negalima paversti žiedo formos balionu, kuris vadinamas toru. Pirmiausia mokslininkai nusprendė išsiaiškinti, kiek objektų su skirtingomis topologijomis egzistuoja ir kaip juos galima apibūdinti. Dėl 2-jų kolektorių, kuriuos esame įpratę vadinti paviršiais, atsakymas yra elegantiškas ir paprastas: viską lemia „skylių“ skaičius arba, kas yra tas pats, rankenų skaičius (žr. PAVIRŠIŲ TOPOLOGIJA). pabaigos 19 a. matematikai suprato, kaip klasifikuoti paviršius ir nustatė, kad paprasčiausias iš jų yra sfera. Natūralu, kad topologai pradėjo galvoti apie 3-ias kolektorius: ar 3-sfera yra unikali savo paprastumu? Šimtmetį trukusi atsakymo paieškos istorija kupina klaidų ir klaidingų įrodymų.

Henri Poincaré atidžiai ėmėsi šio klausimo. Jis buvo vienas iš dviejų stipriausių XX amžiaus pradžios matematikų. (kitas buvo Davidas Gilbertas). Jis buvo vadinamas paskutiniuoju universalistu – sėkmingai dirbo visose tiek grynosios, tiek taikomosios matematikos srityse. Be to, Puankarė padarė didžiulį indėlį plėtojant dangaus mechaniką, elektromagnetizmo teoriją, taip pat į mokslo filosofiją, apie kurią parašė keletą populiarių knygų.

Poincaré tapo algebrinės topologijos įkūrėju ir, naudodamas jos metodus, 1900 m. suformulavo topologinę objekto charakteristiką, vadinamą homotopija. Norint nustatyti kolektoriaus homotopiją, reikia mintyse panardinti į jį uždarą kilpą (žr. PAVIRŠIŲ TOPOLOGIJA). Tada turėtumėte išsiaiškinti, ar visada įmanoma sutraukti kilpą iki taško, perkeliant ją kolektoriaus viduje. Dėl toro atsakymas bus neigiamas: jei aplink toro perimetrą uždėsite kilpą, negalėsite jos įtempti iki taško, nes spurgos "skylė" trukdys. Homotopija yra skirtingų kelių, kurie gali užkirsti kelią kilpai susitraukti, skaičius.

DIAMATMENĖ SFRŲ MUZIKA

Ne taip lengva įsivaizduoti 3 sferą. Matematikai, įrodantys teoremas apie aukštesnių matmenų erdves, neprivalo įsivaizduoti tyrimo objekto: jie nagrinėja abstrakčias savybes, vadovaudamiesi intuicija, paremta analogijomis, turinčiomis mažiau matmenų (tokios analogijos turi būti vertinamos atsargiai, o ne pažodžiui). Taip pat apsvarstysime 3 sferas, remdamiesi mažesnių matmenų objektų savybėmis.

1. Pradėkime žiūrėdami į apskritimą ir jį supantį apskritimą. Matematikams apskritimas yra dvimatis rutulys, o apskritimas – vienmatė sfera. Be to, bet kokio dydžio rutulys yra užpildytas objektas, primenantis arbūzą, o sfera yra jo paviršius, labiau panašus į balioną. Apskritimas yra vienmatis, nes taško vietą jame galima nurodyti vienu skaičiumi.

2. Iš dviejų apskritimų galime sukonstruoti dvimatę sferą, vieną iš jų paversdami Šiaurės pusrutuliu, o kitą – pietų pusrutuliu. Belieka juos suklijuoti, ir 2 sferos yra paruoštos.

3. Įsivaizduokime skruzdėlę, šliaužiančią iš Šiaurės ašigalio dideliu apskritimu, sudarytu iš pirminio ir 180-ojo dienovidinio (kairėje). Jei nubrėžtume jo kelią į du pradinius apskritimus (dešinėje), pamatytume, kad vabzdys juda tiesia linija (1) iki šiaurinio apskritimo krašto (a), tada kerta sieną ir atsitrenkia į atitinkamą tašką. pietinis apskritimas ir toliau eina tiesia linija (2 ir 3). Tada skruzdėlė vėl pasiekia kraštą (b), kerta jį ir vėl atsiduria šiauriniame apskritime, veržiasi link pradinio taško - Šiaurės ašigalio (4). Atkreipkite dėmesį, kad keliaujant aplink pasaulį 2 sfera, judant iš vieno rato į kitą judėjimo kryptis pasikeičia.

4. Dabar apsvarstykite mūsų 2 rutulį ir jame esantį tūrį (trimatis rutulys) ir darykite su jais tą patį, ką su apskritimu ir apskritimu: paimkite dvi rutulio kopijas ir suklijuokite jų ribas. Neįmanoma ir nebūtina aiškiai parodyti, kaip kamuoliukai iškreipiami keturiose dimensijose ir virsta pusrutulių analogu. Užtenka žinoti, kad paviršiuose atitinkami taškai, t.y. 2 sferos yra sujungtos viena su kita taip pat, kaip ir apskritimų atveju. Dviejų kamuoliukų sujungimo rezultatas yra 3 sfera – keturmačio rutulio paviršius. (Keturiose dimensijose, kur egzistuoja 3 sfera ir 4 rutuliukai, objekto paviršius yra trimatis.) Pavadinkime vieną rutulį šiaurės pusrutuliu, o kitą – pietų pusrutuliu. Pagal analogiją su apskritimais, dabar stulpai yra rutuliukų centruose.

5. Įsivaizduokite, kad minėti rutuliai yra dideli tuščios erdvės sritys. Tarkime, astronautas raketa išskrenda iš Šiaurės ašigalio. Laikui bėgant jis pasiekia pusiaują (1), kuris dabar yra rutulys, supantis šiaurinį rutulį. Jį kirsdama raketa patenka į pietinį pusrutulį ir tiesia linija per jo centrą – Pietų ašigalį – juda į priešingą pusiaujo pusę (2 ir 3). Ten vėl įvyksta perėjimas į šiaurinį pusrutulį, o keliautojas grįžta į Šiaurės ašigalį, t.y. iki pradinio taško (4). Tai yra kelionės aplink pasaulį 4 dimensijos rutulio paviršiumi scenarijus! Nagrinėjama trimatė sfera yra erdvė, nurodyta Poincaré spėjime. Galbūt mūsų Visata yra būtent 3 sferų.
Samprotavimą galima išplėsti iki penkių matmenų ir sukonstruoti 4 sferą, tačiau tai labai sunku įsivaizduoti. Jei suklijuojate du n rutulius išilgai juos supančių (n–1) rutulių, gausite n rutulį, ribojantį (n+1) rutulį.

n sferoje bet kurią kilpą, net ir sudėtingai susuktą, visada galima išnarplioti ir sutraukti iki taško. (Kilpai leidžiama praeiti per save.) Puankarė manė, kad 3 sfera yra vienintelis 3 kolektorius, kuriame bet kokia kilpa gali būti sutraukta iki taško. Deja, jis niekada negalėjo įrodyti savo spėjimo, kuris vėliau tapo žinomas kaip Poincaré spėjimas. Per pastaruosius šimtą metų daugelis pasiūlė savo įrodymo versiją, bet tik norėdami įsitikinti jo klaidingumu. (Kad būtų patogiau ekspozicijai, pamirštu du ypatingus atvejus: vadinamuosius neorientuojamus kolektorius ir kolektorius su briaunomis. Pavyzdžiui, rutulys su išpjautu segmentu turi briauną, o Möbius kilpa turi ne tik briaunas. , bet taip pat neorientuojamas.)

Geometrizacija

Perelmano 3-jų kolektorių analizė yra glaudžiai susijusi su geometrizavimo procedūra. Geometrija nagrinėja tikrąją objektų ir kolektorių, pagamintų nebe iš tešlos, o iš keramikos, formą. Pavyzdžiui, puodelis ir spurga geometriškai skiriasi, nes jų paviršiai skirtingai išlenkti. Sakoma, kad puodelis ir spurga yra du topologinio toro, kuriam suteikiamos skirtingos geometrinės formos, pavyzdžiai.

Norėdami suprasti, kodėl Perelmanas naudojo geometrizaciją, apsvarstykite 2 kolektorių klasifikaciją. Kiekvienam topologiniam paviršiui priskiriama unikali geometrija, kurios kreivumas yra tolygiai paskirstytas visame kolektoriuje. Pavyzdžiui, sferai tai yra tobulai sferinis paviršius. Kita galima topologinės sferos geometrija yra kiaušinis, tačiau jo kreivumas pasiskirstęs ne visur tolygiai: aštrusis galas yra labiau išlenktas nei bukas.

2-kolektoriai sudaro tris geometrinius tipus (žr. GEOMETRIZAVIMAS). Sferai būdingas teigiamas kreivumas. Geometrizuotas toras yra plokščias ir turi nulinį kreivumą. Visi kiti 2 kolektoriai su dviem ar daugiau „skylių“ turi neigiamą kreivumą. Jie atitinka paviršių, panašų į balną, kuris lenkiasi aukštyn priekyje ir užpakalyje, o žemyn - kairėje ir dešinėje. Poincaré sukūrė šią geometrinę dviejų kolektorių klasifikaciją (geometrizaciją) kartu su Paul Koebe ir Felix Klein, kurių vardu Kleino butelis pavadintas.

Kyla natūralus noras panašų metodą taikyti ir 3 kolektoriams. Ar įmanoma kiekvienam iš jų rasti unikalią konfigūraciją, kurioje kreivumas pasiskirstytų tolygiai visoje veislėje?

Paaiškėjo, kad 3 kolektoriai yra daug sudėtingesni nei jų dvimačiai kolegos ir daugumai jų negalima priskirti vienalytės geometrijos. Jie turėtų būti suskirstyti į dalis, atitinkančias vieną iš aštuonių kanoninių geometrijų. Ši procedūra primena skaičiaus skaidymą į pirminius veiksnius.

PAVIRŠIAUS TOPOLOGIJA

TOPOLOGIJOJE tiksli forma, t.y. geometrija nesvarbi: objektai traktuojami taip, lyg jie būtų pagaminti iš tešlos, juos galima tempti, suspausti ir susukti. Tačiau nieko negalima pjaustyti ar klijuoti. Taigi bet koks objektas su viena skylute, pavyzdžiui, kavos puodelis (kairėje), prilygsta spurgai arba torui (dešinėje).

Bet koks DVIMATIS kolektorius arba paviršius (tik kompaktiški orientuojami objektai) gali būti pagaminti pridedant rankenas prie sferos (a). Priklijuokime vieną ir padarykime 1-os rūšies paviršių, t.y. toras arba spurgos (viršuje dešinėje), pridėkite antrą - gauname 2-osios rūšies paviršių (b) ir tt.

Dviejų sferų tarp paviršių išskirtinumas yra tas, kad bet kuri joje įterpta uždara kilpa gali būti sutraukta iki taško (a). Ant toro to galima išvengti naudojant vidurinę angą (b). Bet kuris paviršius, išskyrus 2 sferas, turi rankenas, kurios neleidžia kilpai įsitempti. Poincaré pasiūlė, kad 3 sfera yra unikali tarp trimačių kolektorių: tik ant jos bet kokia kilpa gali būti sutraukta iki taško.

Šią klasifikavimo procedūrą pirmą kartą pasiūlė Thurston 70-ųjų pabaigoje. praėjusį šimtmetį. Kartu su savo kolegomis jis pagrindė didžiąją dalį to, tačiau jie nesugebėjo įrodyti kai kurių pagrindinių dalykų (įskaitant Poincaré spėjimą). Ar 3 sfera yra unikali? Patikimas atsakymas į šį klausimą pirmą kartą pasirodė Perelmano straipsniuose.

Kaip kolektorių galima geometrizuoti ir jam visur suteikti vienodą kreivumą? Turite paimti savavališką geometriją su įvairiais iškyšomis ir įdubomis, o tada išlyginti visus nelygumus. 90-ųjų pradžioje. XX amžiuje Hamiltonas pradėjo analizuoti 3 kolektorių, naudodamas Ricci srauto lygtį, pavadintą matematiko Gregorio Ricci-Curbastro vardu. Tai šiek tiek panaši į šilumos laidumo lygtį, kuri apibūdina šilumos srautus, tekančius netolygiai įkaitusiame kūne, kol jo temperatūra visur tampa vienoda. Lygiai taip pat Ricci srauto lygtis nurodo kolektoriaus kreivumo pokytį, dėl kurio visi išsikišimai ir įdubimai sulygiuojami. Pavyzdžiui, jei pradėsite nuo kiaušinio, jis palaipsniui taps sferinis.

GEOMETRIZACIJOS

KLASIFIKUOTI 2-jų kolektorių, galite naudoti vienodinimą arba geometrizavimą: priskirkite jiems tam tikrą geometriją, standžią formą. Visų pirma, kiekvienas kolektorius gali būti transformuojamas taip, kad jo kreivumas pasiskirstytų tolygiai. Sfera (a) yra unikali forma, turinti nuolatinį teigiamą kreivumą: ji visur išlenkta kaip kalvos viršūnė. Torus (b) galima padaryti plokščią, t.y. visur nulinis kreivumas. Norėdami tai padaryti, turite jį iškirpti ir ištiesinti. Gautą cilindrą reikia perpjauti išilgai ir išskleisti, kad susidarytų stačiakampė plokštuma. Kitaip tariant, toras gali būti susietas su plokštuma. 2 ir aukštesnio tipo (c) paviršiams gali būti suteiktas pastovus neigiamas kreivumas, o jų geometrija priklausys nuo rankenų skaičiaus. Žemiau yra balno formos paviršius su nuolatiniu neigiamu kreivumu.

KLASIFIKuoti 3 VEISLES yra daug sunkiau. 3 kolektorius turi būti padalintas į dalis, kurių kiekvieną galima paversti viena iš aštuonių kanoninių 3 dimensijų geometrijų. Toliau pateiktame pavyzdyje (paprastumo sumetimais parodyta kaip 2 kolektorius mėlyna spalva) sudaro 3 geometrijos su pastovia teigiama (a), nuline (b) ir pastovia neigiama (c) kreivumu, taip pat iš 2 „produktų“. -sfera ir apskritimas (d) ir paviršiai su neigiamu kreivumu ir apskritimai (e).

Tačiau Hamiltonas susidūrė su tam tikrais sunkumais: kai kuriais atvejais Ricci srautas sukelia kolektoriaus suspaudimą ir be galo plono kaklo susidarymą. (Tai skiriasi nuo šilumos srauto: suspaudimo taškuose temperatūra būtų be galo aukšta.) Vienas iš pavyzdžių – hantelio formos kolektorius. Sferos auga traukiant medžiagą iš tilto, kuris susiaurėja į tašką viduryje (žr. KOVOS POVEIKIS). Kitu atveju, kai iš kolektoriaus išsikiša plonas strypas, Ricci srautas sukelia vadinamojo cigaro formos singuliarumą. Įprastame 3 kolektoriuje bet kurio taško kaimynystė yra įprastos trimatės erdvės dalis, ko negalima pasakyti apie pavienius suspaudimo taškus. Rusų matematiko darbas padėjo įveikti šį sunkumą.

1992 m., apgynęs daktaro disertaciją, Perelmanas atvyko į JAV ir keletą semestrų praleido Niujorko valstijos universitete Stony Brook mieste, o po to dvejus metus Kalifornijos universitete Berklyje. Jis greitai užsitarnavo kylančios žvaigždės reputaciją, pasiekęs keletą svarbių ir gilių rezultatų vienoje iš geometrijos šakų. Perelmanas buvo apdovanotas Europos matematikų draugijos premija (kurios jis atsisakė) ir gavo prestižinį kvietimą kalbėti Tarptautiniame matematikų kongrese (kurį priėmė).

1995 m. pavasarį jam buvo pasiūlytos pareigos keliose žinomose matematikos institucijose, tačiau jis nusprendė grįžti į gimtąjį Sankt Peterburgą ir iš esmės dingo iš akių. Daugelį metų vienintelis jo veiklos požymis buvo laiškai buvusiems kolegoms, kuriuose nurodomos jų publikuotuose straipsniuose padarytos klaidos. Į paklausimus apie jo paties kūrinių statusą neatsakyta. Ir tada 2002 m. pabaigoje keli žmonės iš Perelmano gavo el. laišką, informuojantį apie straipsnį, kurį jis išsiuntė į matematinį serverį. Taip prasidėjo jo puolimas prieš Puankarės spėjimą.

KOVA SU SAVYBĖMIS

BANDYMAS NAUDOTI Ricci srauto lygtis, siekdama įrodyti Puankarės spėjimą ir 3 kolektorių geometrizaciją, mokslininkai susidūrė su sunkumais, kuriuos Grigorijui Perelmanui pavyko įveikti. Naudojant Ricci srautą, siekiant palaipsniui pakeisti 3 kolektoriaus formą, kartais atsiranda singuliarumų. Pavyzdžiui, kai dalis objekto yra suformuota kaip hantelis (a), vamzdis tarp sferų gali būti suspaustas iki taškinės dalies, kuri pažeidžia kolektoriaus (b) savybes. Taip pat gali būti, kad atsiras vadinamasis cigaro formos bruožas.

PERELMANAS PARODĖ, kad galima atlikti „operacijas“ dėl funkcijų. Kai kolektorius pradeda gnybti, iškirpkite mažas dalis abiejose susiaurėjimo taško pusėse (c), uždenkite pjūvius mažomis sferomis ir vėl naudokite Ricci srautą (d). Jei suspaudimas kartojasi, procedūrą reikia pakartoti. Perelmanas taip pat įrodė, kad cigaro formos bruožas niekada neatsiranda.

Perelmanas į Ricci srauto lygtį pridėjo naują terminą. Šis pakeitimas nepašalino savitumo problemos, tačiau leido atlikti kur kas nuodugnesnę analizę. Rusų mokslininkas parodė, kad ant hantelio formos kolektoriaus galima atlikti „chirurginę“ operaciją: iš abiejų besiformuojančio susiaurėjimo pusių nupjaukite ploną vamzdelį, o iš rutuliukų kyšančius atvirus vamzdelius užsandarinkite sferiniais dangteliais. Tada reikėtų toliau keisti „veikiantį“ kolektorių pagal Ricci srauto lygtį ir taikyti pirmiau minėtą procedūrą visiems atsirandantiems susiaurėjimams. Perelmanas taip pat parodė, kad negali atsirasti cigaro formos bruožų. Taigi, bet kuris 3 kolektorius gali būti sumažintas iki dalių, turinčių vienalytę geometriją, rinkinį.

Kai Ricci srautas ir „chirurgija“ taikomi visiems galimiems 3 kolektoriams, bet kuris iš jų, jei jis yra toks pat paprastas kaip 3 sfera (tai yra, pasižymi ta pačia homotopija), būtinai redukuojamas į tokią pat homogeninę geometriją kaip ir 3 sferos. Tai reiškia, kad topologiniu požiūriu aptariamas kolektorius yra 3 sferų. Taigi 3 sfera yra unikali.

Perelmano straipsnių vertė slypi ne tik Puankarės spėjimo įrodyme, bet ir naujuose analizės metoduose. Pasaulio mokslininkai jau naudoja rusų matematiko gautus rezultatus savo darbe ir taiko jo sukurtus metodus kitose srityse. Paaiškėjo, kad Ricci srautas yra susijęs su vadinamąja renormalizavimo grupe, kuri lemia, kaip keičiasi sąveikų stiprumas priklausomai nuo dalelių susidūrimo energijos. Pavyzdžiui, esant mažoms energijoms, elektromagnetinės sąveikos stiprumas apibūdinamas skaičiumi 0,0073 (maždaug 1/137). Tačiau kai du elektronai kaktomuša susiduria beveik šviesos greičiu, jėga artėja prie 0,0078. Matematika, apibūdinanti fizinių jėgų kitimą, yra labai panaši į matematiką, apibūdinančią daugiklių geometrizaciją.

Susidūrimo energijos padidinimas prilygsta jėgos tyrimui mažesniais atstumais. Todėl renormalizavimo grupė yra panaši į mikroskopą su kintamu didinimo koeficientu, kuris leidžia ištirti procesą įvairiais detalumo lygiais. Panašiai Ricci srautas yra mikroskopas kolektoriams žiūrėti. Vienu padidinimu matomi išsikišimai ir įdubimai dingsta kitu. Tikėtina, kad pagal Planko ilgio skalę (apie $10^(–35)$ m) erdvė, kurioje gyvename, atrodo kaip sudėtingos topologinės struktūros putplastis (žr. straipsnį „Erdvės ir laiko atomai“, „Pasaulyje“). mokslo“, Nr. 4, 2004). Be to, bendrosios reliatyvumo teorijos lygtys, apibūdinančios gravitacijos ypatybes ir plataus masto Visatos sandarą, yra glaudžiai susijusios su Ricci srauto lygtimi. Paradoksalu, bet terminas Perelmanas, įtrauktas į Hamiltono vartojamą posakį, kilęs iš stygų teorijos, kuri tariamai yra kvantinė gravitacijos teorija. Gali būti, kad rusų matematikų straipsniuose mokslininkai ras daug daugiau naudingos informacijos ne tik apie abstrakčius 3-jų kolektorius, bet ir apie erdvę, kurioje gyvename.

Grahamas P. Collinsas, mokslų daktaras, yra „Scientific American“ redaktorius. Daugiau informacijos apie Poincaré teoremą rasite adresu www.sciam.com/ontheweb.

PAPILDOMAS SKAITYMAS:

Poincare spėjimas po 99 metų: pažangos ataskaita. Johnas W. Milnoras. 2003 m. vasario mėn. Galima rasti adresu www.math.sunysb.edu/~jack/PREPRINTS/poiproof.pdf
Jules Henri Poincare“ (biografija). 2003 m. spalio mėn. Galima rasti adresu www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Poincare.html
Tūkstantmečio problemos. Molio matematikos institutas: www.claymath.org/millennium/
Pastabos ir komentarai apie Perelmano Ricci srauto dokumentus. Sudarė Bruce'as Kleineris ir Johnas Lottas. Galima rasti adresu www.math.lsa.umich.edu/research/ricciflow/perelman.html
Topologija. Ericas W. Weissteinas „Mathworld-A Wolfram Web Resource“. Galimas adresu

Puankaro hipotezė ir rusų mentaliteto bruožai.

Trumpai: bedarbis profesorius, kuriam vos 40 metų, išsprendė vieną iš 7 sunkiausių žmonijos problemų, gyvena skydiniame name miesto pakraštyje su mama ir užuot gavęs prizą, kurį visi matematikai pasaulinėje svajonėje ir milijonui dolerių, jis paliko rinkti grybus ir paprašė jo netrukdyti.

O dabar išsamiau:

http://lenta.ru/news/2006/08/16/perelman/

Grigory Perelman, įrodęs Puankarės spėjimą, atsisako daugybės apdovanojimų ir piniginių prizų, jam skirtų už šį pasiekimą, praneša laikraštis „The Guardian“. Po išsamių įrodymų bandymų, trukusių beveik ketverius metus, mokslo bendruomenė padarė išvadą, kad Perelmano sprendimas buvo teisingas.

Poincaré spėjimas yra viena iš septynių svarbiausių matematinių „tūkstantmečio problemų“, už kurių kiekvieną sprendimą Molio matematikos institutas skyrė po vieną milijoną dolerių, todėl Perelmanas turėtų gauti atlygį su spauda, tačiau laikraštis tapo žinoma, kad Perelmanas nenori imti šių pinigų.

„Sankt Peterburge nesaugu turėti milijoną dolerių“, – juokaudama profesionalų bendruomenė siūlo dar vieną neįprasto Perelman elgesio priežastį. Apie tai laikraščiui pasakojo Oksfordo universiteto matematikos profesorius Nigelas Hitchinas.

Kitą savaitę, remiantis gandais, bus paskelbta, kad Perelmanas buvo apdovanotas prestižiškiausiu tarptautiniu Fields medaliu šioje srityje, susidedančiu iš brangaus medalio ir piniginio apdovanojimo. Fieldso medalis laikomas matematiniu Nobelio premijos atitikmeniu. Jis įteikiamas kas ketverius metus Tarptautiniame matematikos kongrese, o laureatai neturėtų būti vyresni nei 40 metų. Perelmanas, kuriam 2006 m. sukaks keturiasdešimt ir praras galimybę kada nors gauti šį prizą, šio apdovanojimo priimti taip pat nenori.

Apie Perelmaną jau seniai žinoma, kad jis vengia oficialių renginių ir nemėgsta, kai juo žavisi. Tačiau dabartinėje situacijoje mokslininko elgesys peržengia fotelio teoretiko ekscentriškumą. Perelmanas jau paliko akademinį darbą ir atsisako eiti profesoriaus funkcijas. Dabar jis nori pasislėpti nuo pripažinimo už nuopelnus matematikai – savo gyvenimo darbui.

Grigorijus Perelmanas aštuonerius metus dirbo su Puankarės teoremos įrodymu. 2002 m. Los Alamos mokslinės laboratorijos išankstinio spausdinimo svetainėje jis paskelbė problemos sprendimą. Iki šiol jis niekada nepublikavo savo darbų recenzuojamuose žurnaluose, o tai yra daugelio apdovanojimų sąlyga.

Perelmaną galima laikyti standartiniu sovietinio švietimo produktų pavyzdžiu. Jis gimė 1966 metais Leningrade. Jis vis dar gyvena šiame mieste. Perelmanas mokėsi specializuotoje mokykloje Nr. 239, giliai studijuodamas matematiką. Jis laimėjo daugybę olimpinių žaidynių. Leningrado valstybiniame universitete įstojau į matematiką ir mechaniką be egzaminų. Gavo Lenino stipendiją. Baigęs universitetą, jis įstojo į V. A. Steklovo matematikos instituto Leningrado filialą, kur liko dirbti. Devintojo dešimtmečio pabaigoje Perelmanas persikėlė į JAV, dėstė keliuose universitetuose, o vėliau grįžo į savo senąją vietą.

Dėl grafo Muravjovo Sankt Peterburgo dvaro ant Fontankos, kur yra Matematikos institutas, Perelmano sidabro trūkumas yra ypač nepakankamas. Pastatas, kaip rašo laikraštis „Izvestija“, gali bet kurią akimirką sugriūti ir įkristi į upę. Kompiuterinės įrangos (vienintelės matematikams reikalingos įrangos) pirkimas dar gali būti finansuojamas iš įvairių dotacijų, tačiau labdaros organizacijos nepasirengusios. sumokėti už istorinio pastato restauravimą.

==========================

http://www.newsinfo.ru/news/2006/08/news1325575.php

Matematikas atsiskyrėlis, įrodęs vieną sunkiausių mokslinių hipotezių – Puankarės teoremą, yra ne mažiau paslaptinga nei pati problema.

Apie jį mažai žinoma. Į institutą įstojau pagal mokyklinių olimpiadų rezultatus ir gavau Lenino stipendiją. Sankt Peterburgo specialiojoje mokykloje Nr. 239 jis prisimenamas kaip Jakovo Perelmano, garsaus vadovėlio „Pramoginė fizika“ autoriaus, sūnus. Grišos Perelmano nuotrauka - didžiūnų lentoje kartu su Lobačevskiu ir Leibnizu.

„Jis buvo toks puikus mokinys, tik kūno kultūros... Kitaip būtų buvęs medalis“, – interviu „Channel One“ prisimena jo mokytoja Tamara Efimova, Fizikos ir matematikos licėjaus 239 direktorė.

Jis visada buvo už gryną mokslą, prieš formalumus – taip kalbėjo buvęs jo mokyklos mokytojas, vienas iš nedaugelio, su kuriuo Perelmanas palaikė ryšius visus aštuonerius savo paieškų metus. Kaip pats sako, matematikas turėjo palikti darbą, nes turėjo rašyti straipsnius ir ataskaitas, o Poincare'as absorbavo visą savo laiką. Matematika yra pirmoje vietoje.

Perelmanas praleido aštuonerius savo gyvenimo metus spręsdamas vieną iš septynių neišsprendžiamų matematinių problemų. Dirbo vienas, kažkur palėpėje, slapta. Jis skaitė paskaitas Amerikoje, kad galėtų išsilaikyti namuose. Išėjo iš darbo, kuris atitraukė nuo pagrindinio tikslo, į skambučius neatsiliepia ir su spauda nebendrauja.

Milijonas dolerių skiriamas už vienos iš septynių neišsprendžiamų matematinių problemų sprendimą. Tai Fieldso medalis, matematikų Nobelio premija. Grigorijus Perelmanas tapo pagrindiniu kandidatu jį gauti.

Mokslininkas tai žino, bet, matyt, jo akivaizdžiai nedomina piniginis pripažinimas. Kolegų teigimu, jis net nepateikė dokumentų apdovanojimui gauti.

„Kaip suprantu, pačiam Grigorijui Jakovlevičiui milijonas visiškai nerūpi, – sako Rusijos mokslų akademijos akademikas Ildaras Ibragimovas dėl šių pinigų jie jus jaudins visiškai kitaip.

Perelmanas vienintelį kartą prieš trejus metus paskelbė darbą apie Poincaré spėjimą internete. Greičiausiai net ne kūrinys, o 39 puslapių eskizas. Jis nesutinka rašyti išsamesnės ataskaitos su išsamiais įrodymais. To padaryti nepavyko net Pasaulio matematikų draugijos viceprezidentui, specialiai atvykusiam į Sankt Peterburgą surasti Perelmano.

Per pastaruosius trejus metus niekam nepavyko rasti klaidos Perelmano skaičiavimuose, kaip to reikalauja Fields Prize nuostatai. Q.E.D.

==============================

http://elementy.ru/news/430288

Poincaré spėlionių įrodinėjimo procesas dabar, matyt, įžengia į galutinį etapą. Trys matematikų grupės pagaliau išsiaiškino Grigorijaus Perelmano idėjas ir per pastaruosius porą mėnesių pateikė savo versijas apie visišką šios hipotezės įrodymą.

1904 m. Poincaré suformuluotas spėjimas teigia, kad visi trimačiai paviršiai keturmatėje erdvėje, homotopiškai prilygstantys sferai, yra jai homeomorfiniai. Paprasčiau tariant, jei trimatis paviršius yra šiek tiek panašus į sferą, tada, jei jis yra išskleistas, jis gali tapti tik sfera ir niekuo kitu. Norėdami gauti daugiau informacijos apie šį spėjimą ir jo įrodinėjimo istoriją, skaitykite populiarų straipsnį „Problemos 2000: Poincaré's conjecture“ žurnale „Computerra“.

Poincaré spėliojimų įrodymui, Matematikos institutas. Clay buvo apdovanotas milijono dolerių prizu, kas gali pasirodyti stebina: juk kalbame apie labai privatų, neįdomų faktą. Tiesą sakant, matematikams svarbu ne tiek trimačio paviršiaus savybės, kiek tai, kad pats įrodymas yra sunkus. Ši problema koncentruotai suformuluoja tai, ko nepavyko įrodyti naudojant anksčiau egzistuojančias geometrijos ir topologijos idėjas bei metodus. Tai leidžia pažvelgti į gilesnį lygmenį, į tą problemų klodą, kurį galima išspręsti tik pasitelkus „naujosios kartos“ idėjas.

Kaip ir Ferma teoremos atveju, paaiškėjo, kad Puankarės spėjimas yra ypatingas daug bendresnio teiginio apie savavališkų trimačių paviršių geometrines savybes – Thurstono geometrizavimo spėjimas. Todėl matematikų pastangos nebuvo nukreiptos sprendžiant šį konkretų atvejį, bet sukurti naują matematinį metodą, galintį susidoroti su tokiomis problemomis.

Proveržį 2002-2003 metais padarė rusų matematikas Grigorijus Perelmanas. Trijuose savo straipsniuose math.DG/0211159, math.DG/0303109, math.DG/0307245, siūlydamas daugybę naujų idėjų, jis sukūrė ir užbaigė devintajame dešimtmetyje Richardo Hamiltono pasiūlytą metodą. Savo darbuose Perelmanas teigia, kad jo sukonstruota teorija leidžia įrodyti ne tik Puankarės spėjimą, bet ir geometrizavimo hipotezę.

Metodo esmė ta, kad geometriniams objektams galima apibrėžti kokią nors „sklandžiosios evoliucijos“ lygtį, panašią į renormalizavimo grupės lygtį teorinėje fizikoje. Pradinis paviršius šios evoliucijos metu bus deformuotas ir, kaip parodė Perelmanas, ilgainiui sklandžiai pavirs į sferą. Šio požiūrio stiprybė yra ta, kad apeidami visus tarpinius momentus galite iš karto pažvelgti „į begalybę“, pačioje evoliucijos pabaigoje, ir atrasti ten sferą.

Perelmano darbai pažymėjo intrigos pradžią. Savo straipsniuose jis sukūrė bendrąją teoriją ir išdėstė pagrindinius ne tik Puankarės spėlionių, bet ir geometrizavimo hipotezės įrodymo taškus. Perelmanas nepateikė išsamių įrodymų visomis detalėmis, nors tvirtino, kad įrodė abi hipotezes. Taip pat 2003 m. Perelmanas gastroliavo Jungtinėse Valstijose su paskaitų ciklu, kurio metu aiškiai ir išsamiai atsakė į visus techninius klausytojų klausimus.

Iškart po Perelmano išankstinių spaudinių paskelbimo ekspertai pradėjo tikrinti pagrindinius jo teorijos punktus ir dar nerasta nė vienos klaidos. Be to, per pastaruosius metus kelios matematikų komandos sugebėjo įsisavinti Perelmano pasiūlytas idėjas tiek, kad pradėjo rašyti visą įrodymą „aiškia forma“.

2006 m. gegužės mėn. pasirodė B. Kleiner, J. Lott darbas, math.DG/0605667, kuriame buvo pateiktas išsamus Perelmano įrodyme praleistų punktų išvedimas. (Beje, šie autoriai turi tinklalapį, skirtą Perelmano straipsniams ir susijusiems darbams.)

Tada 2006 m. birželio mėn. Asian Journal of Mathematics paskelbė 327 puslapių kinų matematikų Huai-Dong Cao ir Xi-Ping Zhu straipsnį „Visiškas Puankarės ir geometrizavimo spėjimų įrodymas – Hamiltono-Perelmano Ricci teorijos taikymas. teka“. Patys autoriai nepretenduoja į visiškai naują įrodymą, o tik teigia, kad Perelmano požiūris tikrai veikia.

Galiausiai kitą dieną pasirodė J. W. Morgan, G. Tian, math.DG/0607607 473 puslapių straipsnis (ar jau knyga?), kuriame autoriai, sekdami Perelmano pėdomis, pateikia savo įrodymus, kad Poincaré spėjimas (o ne bendresnė geometrizavimo hipotezė). Johnas Morganas laikomas vienu pagrindinių šios problemos ekspertų, o paskelbus jo darbą, matyt, galima laikyti, kad Puankarės spėjimas galutinai pasitvirtino.

Įdomu, beje, tai, kad iš pradžių Kinijos matematikų straipsnis buvo platinamas tik popieriniu variantu už 69 USD, todėl ne visi turėjo galimybę į jį pažiūrėti. Tačiau jau kitą dieną po to, kai Morgan-Tian straipsnis pasirodė išankstinių spaudinių archyve, Azijos matematikos žurnalo svetainėje pasirodė elektroninė straipsnio versija.

Laikas parodys, kieno Perelmano įrodymų patikslinimas yra tikslesnis ir skaidresnis. Gali būti, kad ateinančiais metais tai taps paprastesnė, kaip atsitiko su Ferma teorema. Kol kas galime pastebėti tik publikacijų apimties padidėjimą: nuo Perelmano 30 puslapių straipsnių iki storos Morgano ir Tiano knygos, bet tai ne dėl įrodinėjimo sudėtingumo, o dėl išsamesnio išvedimo. visų tarpinių žingsnių.

Tuo tarpu galutinis spėliojimo įrodymas ir, ko gero, kas bus apdovanotas Clay instituto premija, tikimasi „oficialiai“ paskelbti Tarptautiniame matematikų kongrese Madride šį rugpjūtį. Be to, sklando gandai, kad Grigory Perelman taps vienu iš keturių Fields medalininkų – aukščiausiu jaunųjų matematikų apdovanojimu.

« Tūkstantmečio iššūkis“, kurį išsprendė rusų matematikos genijus, yra susijęs su Visatos kilme. Ne kiekvienas matematikas gali suprasti mįslės esmę...

PROTO ŽAIDIMAS

Situacija pasikeitė 2000 m. Privatus matematinis Clay matematikos institutas atrinko septynias sunkiausius uždavinius ir už kiekvieno išsprendimą pažadėjo sumokėti po milijoną dolerių.

Jie su pagarba žiūrėjo į matematikus. 2001 m. netgi buvo išleistas filmas „Gražus protas“, kurio pagrindinis veikėjas buvo matematikas.

Dabar tik žmonės, nutolę nuo civilizacijos, nežino: vienas iš pažadėtų milijonų – pats pirmasis – jau apdovanotas. Premija įteikta Rusijos piliečiui, Sankt Peterburgo gyventojui Grigorijus Perelmanas. Jis įrodė Puankarės spėjimą – galvosūkį, kurio niekas negalėjo išspręsti ilgiau nei 100 metų ir kuris jo pastangomis tapo teorema.

Mūsų mielas 44 metų barzdotas vyras ištrynė nosį viso pasaulio akimis. Ir dabar jis ir toliau laiko jį – pasaulį – nežinioje. Nes nežinoma, ar matematikas paims sąžiningai pelnytą milijoną dolerių, ar atsisakys. Daugelio šalių progresyvi visuomenė natūraliai nerimauja. Bent jau visų žemynų laikraščiai aprašo finansines ir matematinę intrigą.

Griša jaunystėje – net tada jis buvo genijus.

POINCARE HIPOTEZĖ – KAS TAI?

Tada jie siūlo užtraukti tą patį diską ant spurgos. Panašu, kad tai pavyks. Bet disko kraštai susilies į apskritimą, kurio nebegalima traukti į tašką – jis nupjaus spurgą.

Taigi, pagal Puankarės hipotezę, trimatis rutulys yra vienintelis trimatis dalykas, kurio paviršius gali būti ištrauktas į vieną tašką kokia nors hipotetine „hipervirvele“.

Grigory Perelman: - Tik pagalvok, Niutono dvinaris...

Julesas Henri Poincaré tai pasiūlė 1904 m. Dabar Perelmanas įtikino visus, kurie supranta, kad prancūzų topologas buvo teisus. Ir pavertė savo hipotezę teorema.

Įrodymas padeda suprasti, kokią formą turi mūsų Visata. Ir tai leidžia mums labai pagrįstai manyti, kad tai ta pati trimatė sfera.

Bet jei Visata yra vienintelė „figūra“, kurią galima sutraukti iki taško, tai tikriausiai ji gali būti ištempta iš taško. Tai yra netiesioginis Didžiojo sprogimo teorijos, teigiančios, kad Visata atsirado iš taško, patvirtinimas.

Pasirodo, Perelmanas kartu su Puankarė nuliūdino vadinamuosius kreacionistus – dieviškosios visatos pradžios šalininkus. Ir jie išliejo grūdus materialistų fizikų malūnui.

Genialus matematikas iš Sankt Peterburgo Grigorijus Perelmanas, išgarsėjęs visame pasaulyje, įrodęs Puankarės spėjimą, galiausiai paaiškino, kad atsisakė už tai skirtos milijono dolerių premijos. Kaip rašo „Komsomolskaja Pravda“, atsiskyrėlis mokslininkas atsiskleidė pokalbyje su žurnalistu ir kino kompanijos „President-Film“ prodiuseriu, kuri, Perelmanui sutikus, filmuos vaidybinį filmą „Visatos formulė“ apie jį.

Aleksandrui Zabrovskiui pasisekė bendrauti su didžiuoju matematiku – jis prieš keletą metų išvyko iš Maskvos į Izraelį ir spėjo pirmiausia susisiekti su Grigorijaus Jakovlevičiaus motina per Sankt Peterburgo žydų bendruomenę, suteikdamas jai pagalbą. Ji kalbėjosi su sūnumi, o po jos gero charakterio jis sutiko susitikti. Tai tikrai galima pavadinti pasiekimu - žurnalistams nepavyko „pagauti“ mokslininko, nors ištisas dienas sėdėjo prie jo įėjimo.

Kaip laikraščiui sakė Zabrovskis, Perelmanas padarė „visiškai sveiko, sveiko, adekvataus ir normalaus žmogaus“ įspūdį: „Reališkas, pragmatiškas ir protingas, bet ne be sentimentalumo ir aistros... Viskas, kas jam buvo priskiriama spaudoje, tarsi jis būtų „iš proto“ - visiška nesąmonė, jis tiksliai žino, ko nori, ir žino, kaip pasiekti savo tikslą.

Filmas, dėl kurio matematikas susisiekė ir sutiko padėti, bus ne apie jį patį, o apie trijų pagrindinių pasaulio matematikos mokyklų: Rusijos, Kinijos ir Amerikos, kurios yra labiausiai pažengusios studijų kelyje, bendradarbiavimą ir konfrontaciją. ir valdyti Visatą.

Paklaustas, kodėl Perelmanas atsisakė milijono, jis atsakė:

„Aš žinau, kaip valdyti Visatą, ir pasakyk man, kodėl turėčiau bėgti už milijoną?

Mokslininką žeidžia tai, kaip jį vadina Rusijos spauda

Perelmanas aiškino, kad su žurnalistais nebendrauja, nes juos domina ne mokslas, o asmeninio ir kasdieninio pobūdžio reikalai – nuo milijono atsisakymo priežasčių iki plaukų ir nagų kirpimo klausimo.

Specialiai susisiekti su Rusijos žiniasklaida jis nenori dėl nepagarbaus požiūrio į jį. Pavyzdžiui, spaudoje jį vadina Griša, o toks pažinimas jį žeidžia.

Grigorijus Perelmanas sakė, kad nuo mokyklos metų jis buvo pripratęs prie vadinamojo „smegenų lavinimo“. Prisimindamas, kaip būdamas „delegatas“ iš SSRS matematikos olimpiadoje Budapešte gavo aukso medalį, jis sakė: „Bandėme spręsti problemas, kur sugebėjimas mąstyti abstrakčiai buvo būtina sąlyga.

Šis atitraukimas nuo matematinės logikos buvo pagrindinis kasdienio mokymo taškas. Norint rasti tinkamą sprendimą, reikėjo įsivaizduoti „gabalėlį pasaulio“.

Kaip tokios „sunkiai išsprendžiamos“ problemos pavyzdį jis pateikė: „Prisiminkite Biblijos legendą apie tai, kaip Jėzus Kristus vaikščiojo vandeniu ir sausa žeme, todėl man reikėjo apskaičiuoti, kaip greitai jis turi judėti per vandenis kad neiškristų“.

Nuo to laiko Perelmanas visą savo veiklą skyrė trimatės Visatos ypatybių tyrimo problemai: „Tai labai įdomu, bet bet kokia begalybė taip pat yra didžiulė. “, – argumentuoja jis.

Mokslininkas parašė savo disertaciją, vadovaujamas akademiko Aleksandrovo. „Tema nebuvo sudėtinga: „Balno formos paviršiai euklido geometrijoje“.

Ką reiškia Perelmano atradimas, bauginantis pasaulio žvalgybos tarnybas?

Puankarės teiginys vadinamas „Visatos formule“ dėl jo svarbos tiriant sudėtingus fizikinius procesus Visatos teorijoje ir dėl to, kad jis atsako į klausimą apie Visatos formą. Šie įrodymai vaidins svarbų vaidmenį plėtojant nanotechnologijas.

„Išmokau skaičiuoti tuštumas, kartu su kolegomis mokomės socialinių ir ekonominių „tuštumų“ užpildymo mechanizmų, – sakė jis, „Tuštumos yra visur, ir tai suteikia puikių galimybių...

Kaip rašo leidinys, Grigorijus Jakovlevičius atrado mastą, iš tikrųjų žengdamas į priekį šiandienos pasaulio mokslui, padarė jį nuolatinio ne tik Rusijos, bet ir užsienio žvalgybos tarnybų susidomėjimo objektu.

Jis įgijo tam tikrų superžinių, padedančių suprasti visatą. Ir čia kyla tokių klausimų: „Kas bus, jei jo žinios bus praktiškai įgyvendintos?

Iš esmės žvalgybos tarnybos turi žinoti, ar Perelmanas, tiksliau, jo žinios nekelia grėsmės žmonijai? Juk jei jo žinių pagalba galima Visatą sugriauti į tašką, o paskui ją išplėsti, tai mes galime mirti ar atgimti kitokiu pajėgumu? Ir tada tai būsime mes? Ir ar mums apskritai reikia valdyti Visatą?

IR ŠIUO METU

Genialioji mama: „Neklausk mums klausimų apie pinigus!

Kai tapo žinoma, kad matematikas apdovanotas Tūkstantmečio premija, prie jo durų susirinko minia žurnalistų. Visi norėjo asmeniškai pasveikinti Perelmaną ir sužinoti, ar jis paims teisėtą milijoną.

Ilgai beldėmės į menkas duris (jei tik galėtume jas pakeisti premijiniais pinigais), bet matematikas jų neatidarė. Bet jo motina gana aiškiai pažymėjo i tiesiai iš koridoriaus.

Nenorime su niekuo kalbėtis ir neduosime interviu“, – šaukė Liubovas Leibovna. - Ir neklauskite mums klausimų apie šią premiją ir pinigus.

Tame pačiame įėjime gyvenantys žmonės labai nustebo pamatę netikėtą susidomėjimą Perelmanu.

Ar mūsų Griša tikrai susituokė? - nusišypsojo vienas kaimynas. – O, gavau prizą. Vėlgi. Ne, jis nepriims. Jam visiškai nieko nereikia, jis gyvena iš centų, bet yra savaip laimingas.

Sakoma, kad dieną prieš matematiką iš parduotuvės matė pilnais maišais bakalėjos. Ruošiausi „sulaikyti apgultį“ su mama. Paskutinį kartą, kai spaudoje kilo triukšmas dėl apdovanojimo, Perelmanas tris savaites neišėjo iš savo buto.

BEJE

Kodėl dar jie duotų milijoną dolerių...

1998 m., gavus milijardieriaus Landono T. Clay lėšas, Kembridže (JAV) buvo įkurtas Clay matematikos institutas, skirtas matematikai populiarinti. 2000 m. gegužės 24 d. instituto ekspertai išrinko septynias, jų nuomone, mįslingiausias problemas. Ir kiekvienam skyrė po milijoną dolerių.

Sąrašas buvo pavadintas .

1. Kuko problema

2. Riemano hipotezė

Yra vadinamieji pirminiai skaičiai, tokie kaip 2, 3, 5, 7 ir tt, kurie dalijasi tik iš savęs. Kiek jų iš viso yra, nežinoma. Riemannas manė, kad tai gali būti nustatyta ir galima rasti jų pasiskirstymo modelį. Kas jį ras, teiks ir kriptografijos paslaugas.

3. Birch ir Swinnerton-Dyer spėjimas

Problema apima lygčių su trimis nežinomaisiais, pakeltomis į laipsnius, sprendimą. Jūs turite išsiaiškinti, kaip juos išspręsti, nepaisant sudėtingumo.

4. Hodge spėjimas

5. Navier – Stokso lygtys

6. Yang – Mills lygtys

Fizikos pasaulyje egzistuoja hipotezė: jei elementarioji dalelė turi masę, vadinasi, jai yra apatinė riba. Bet kuris iš jų – neaišku. Turime prieiti prie jo. Tai turbūt pati sunkiausia užduotis. Norėdami tai išspręsti, būtina sukurti „visko teoriją“ - lygtis, sujungiančias visas gamtos jėgas ir sąveikas. Kas gali tai padaryti, tikriausiai gaus Nobelio premiją.