− Mokytojas Dumbadze V.A.
iš Sankt Peterburgo Kirovo rajono 162 mokyklos.

Mūsų VKontakte grupė
Mobiliosios programos:

(Kur x t- laikas sekundėmis, matuojamas nuo judėjimo pradžios). Raskite jo greitį (m/s) laiko momentu t= 9 s.

At t= 9 s turime:

Kodėl iš pradinės lygties išbraukiame skaičių 17?

rasti pradinės funkcijos išvestinę.

išvestinėje nėra skaičiaus 17

Kodėl reikia rasti išvestinę?

Greitis yra koordinatės išvestinė laiko atžvilgiu.

Problema prašo rasti greitį

x- atstumas nuo atskaitos taško metrais, t- laikas sekundėmis, matuojamas nuo judėjimo pradžios). Raskite jo greitį (m/s) laiko momentu t= 6 s.

Raskime greičio kitimo dėsnį:

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16, o ne 20

prisimink procedūrą

Nuo kada geriau sudėti, o ne atimti?

Daugyba turi viršenybę prieš sudėjimą ir atimtį. Prisiminkite vaikų mokyklos pavyzdį: 2 + 2 · 2. Priminsiu, kad čia pasirodo ne 8, kaip kai kas galvoja, o 6.

Jūs nesupratote svečio atsakymo.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

Taigi viskas teisinga, paskaičiuokite patys.

2) daugyba/dalyba (priklauso nuo eilės lygtyje; pirmiausia išsprendžiama, kas eina pirmiau);

3) sudėjimas/atimtis (panašiai priklauso nuo eilės pavyzdyje).

Daugyba = dalyba, pridėjimas = atimtis =>

Ne 54 – (36+2), o 54–36+2 = 54+2–36 = 20

Pirma, jums - Sergejus Batkovičius. Antra, ar supratote, ką norėjote pasakyti ir kam? Aš tavęs nesupratau.

Materialus taškas juda tiesia linija pagal dėsnį (kur x – atstumas nuo atskaitos taško metrais, t – laikas sekundėmis, matuojamas nuo judėjimo pradžios). Raskite jo greitį (m/s) laiku s.

Raskime greičio kitimo dėsnį: m/s. Kai turime:

Pamoka tema: „Diferencijavimo taisyklės“, 11 kl

Skyriai: Matematika

Pamokos tipas: žinių apibendrinimas ir sisteminimas.

Pamokos tikslai:

edukacinis:
- apibendrinti ir sisteminti medžiagą vedinio radimo tema;
- įtvirtinti diferenciacijos taisykles;
- atskleisti studentams temos politechninę ir taikomąją reikšmę;
kuriant:
- vykdyti žinių ir įgūdžių įgijimo kontrolę;
- ugdyti ir tobulinti gebėjimus pritaikyti žinias pasikeitusioje situacijoje;
- ugdyti kalbos kultūrą ir gebėjimą daryti išvadas bei apibendrinti;
edukacinis:
- plėtoti pažinimo procesą;
- Įskiepyti studentams dizaino tikslumą ir ryžtą.

Įranga:

grafinis projektorius, ekranas;
kortelės;
kompiuteriai;
stalas;
diferencijuotos užduotys daugialypės terpės pristatymų forma.

I. Namų darbų tikrinimas.

1. Išklausykite mokinių pranešimų apie išvestinių priemonių naudojimo pavyzdžius.

2. Apsvarstykite studentų siūlomus darinių panaudojimo fizikos, chemijos, inžinerijos ir kitose srityse pavyzdžius.

II. Žinių atnaujinimas.

Mokytojas:

Apibrėžkite funkcijos išvestinę.
Kokia operacija vadinama diferenciacija?
Kokios diferenciacijos taisyklės naudojamos apskaičiuojant išvestinę priemonę? (Norimi studentai kviečiami ateiti prie lentos).
- sumos išvestinė;
- kūrinio išvestinė;
- išvestinė priemonė, turinti pastovų koeficientą;
- dalinio išvestinė;
- sudėtingos funkcijos išvestinė;
Pateikite taikomų problemų, kurios veda prie išvestinės sąvokos, pavyzdžių.

Nemažai konkrečių problemų iš įvairių mokslo sričių.

Užduotis Nr.1. Kūnas juda tiesia linija pagal dėsnį x(t). Užrašykite kūno greičio ir pagreičio momentu t formulę.

2 užduotis. Apskritimo R spindulys kinta pagal dėsnį R = 4 + 2t 2. Nustatykite greitį, kuriuo keičiasi jo plotas V momentas t = 2 s. Apskritimo spindulys matuojamas centimetrais. Atsakymas: 603 cm 2 /s.

Užduotis Nr.3. Materialus taškas, kurio masė 5 kg, juda tiesiai pagal dėsnį

S(t) = 2t+ , kur S- atstumas metrais, t– laikas sekundėmis. Raskite jėgą, šiuo metu veikiančią tašką t = 4 s.

Atsakymas: N.

4 užduotis. Smagratis, laikomas stabdžio, pasisuka atgal t s 3t kampu - 0,1t 2 (rad). Rasti:

a) kampinis smagračio sukimosi greitis momentu t = 7 Su;
b) kuriuo metu smagratis sustos.

Atsakymas: a) 2,86; b) 150 s.

Darinio panaudojimo pavyzdžiais taip pat gali būti ieškojimo problemos: tam tikro kūno medžiagos savitoji šiluminė talpa, kūno linijinis tankis ir kinetinė energija ir kt.

III. Diferencijuotų užduočių atlikimas.

Norintys atlikti „A“ lygio užduotis, sėda prie kompiuterio ir pildo testą su užprogramuotu atsakymu. ( Taikymas. )

1. Raskite funkcijos išvestinės reikšmę taške x 0 = 3.

2. Raskite funkcijos y = xe x išvestinės reikšmę taške x 0 = 1.

1) 2e;
2) e;
3) 1 + e;
4) 2 + e.

3. Išspręskite lygtį f / (x) = 0, jei f (x) = (3x 2 + 1)(3x 2 – 1).

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. Apskaičiuokite f/(1), jei f(x) = (x 2 + 1)(x 3 – x).

5. Raskite funkcijos f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) išvestinės reikšmę taške t0 = 1.

6. Taškas juda tiesia linija pagal dėsnį: S(t) = t 3 – 3t 2. Pasirinkite formulę, kuri nurodo šio taško judėjimo greitį momentu t.

1) t 2 – 2t;
2) 3t 2 – 3t;
3) 3t 2 – 6t;
4) t 3 + 6t.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Darinių taikymas fizikoje, technikoje, biologijoje, gyvenime

Pamokos pristatymas

Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo funkcijų. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.

Pamokos tipas: integruotas.

Pamokos tikslas: ištirti kai kuriuos darinių taikymo įvairiose fizikos, chemijos ir biologijos srityse aspektus.

Užduotys: plečiant mokinių akiratį ir pažintinę veiklą, ugdant loginį mąstymą ir gebėjimą taikyti savo žinias.

Techninė pagalba: interaktyvi lenta; kompiuteris ir diskas.

I. Organizacinis momentas

II. Pamokos tikslo nustatymas

– Norėčiau vesti pamoką pagal sovietų matematiko ir laivų statytojo Aleksejaus Nikolajevičiaus Krylovo devizą: „Teorija be praktikos yra mirusi arba nenaudinga, praktika be teorijos neįmanoma arba žalinga“.

– Peržvelkime pagrindines sąvokas ir atsakykime į klausimus:

– Pasakyk man pagrindinį darinio apibrėžimą?
– Ką žinote apie išvestinę (savybes, teoremas)?
– Ar žinote fizikos, matematikos ir biologijos išvestinių problemų pavyzdžių?

Apsvarstykite pagrindinį išvestinės finansinės priemonės apibrėžimą ir jo pagrindimą (atsakymas į pirmąjį klausimą):

Darinys – viena iš pagrindinių matematikos sąvokų. Gebėjimas spręsti problemas naudojant išvestines reikalauja gerai išmanyti teorinę medžiagą ir gebėti atlikti tyrimus įvairiose situacijose.

Todėl šiandien pamokoje įtvirtinsime ir susisteminsime įgytas žinias, apsvarstysime ir įvertinsime kiekvienos grupės darbą ir, pasitelkę kai kurių uždavinių pavyzdį, parodysime kaip panaudoti išvestinę sprendžiant kitas problemas ir nestandartines problemas naudojant išvestinė.

III. Naujos medžiagos paaiškinimas

1. Momentinė galia yra darbo išvestinė laiko atžvilgiu:

W = rib ΔA/Δt ΔA – darbo pakeitimas.

2. Jei kūnas sukasi aplink ašį, tai sukimosi kampas yra laiko funkcija t
Tada kampinis greitis lygus:

W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δ t → 0

3. Srovės stiprumas yra išvestinė Ι = lim Δg/Δt = g′, Kur g– teigiamas elektros krūvis, perduodamas per laidininko skerspjūvį laikui bėgant Δt.

4. Leiskite ΔQ– šilumos kiekis, reikalingas temperatūrai pakeisti Δt tada laikas lim ΔQ/Δt = Q′ = C – specifinė šiluma.

5. Uždavinys apie cheminės reakcijos greitį

m(t) – m(t0) – medžiagos kiekis, kuris laikui bėgant reaguoja t0į t

V= lim Δm/Δt = m Δt → 0

6. Tegu m yra radioaktyviosios medžiagos masė. Radioaktyvaus skilimo greitis: V = lim Δm/Δt = m׳(t) Δt→0

Diferencijuota forma radioaktyvaus skilimo dėsnis turi tokią formą: dN/dt = – λN, Kur N– laiko nesuirusių branduolių skaičius t.

Integruodami šią išraišką gauname: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = const adresu t = 0 radioaktyviųjų branduolių skaičius N = N0, iš čia turime: ln N0 = pastovus, vadinasi

n N = – λt + ln N0.

Sustiprindami šią išraišką gauname:

– radioaktyvaus skilimo dėsnis, kur N0– branduolių skaičius vienu metu t0 = 0, N– per laiką nesuirusių branduolių skaičius t.

7. Pagal Niutono šilumos perdavimo lygtį šilumos srauto greitis dQ/dt yra tiesiogiai proporcingas lango plotui S ir temperatūrų skirtumui ΔT tarp vidinio ir išorinio stiklo ir atvirkščiai proporcingas jo storiui d:

dQ/dt =A S/d ΔT

8. Difuzijos reiškinys – tai pusiausvyros skirstinio nustatymo procesas

Koncentracijos fazėse. Difuzija eina į šoną, išlygindama koncentracijas.

m = D Δc/Δx c – koncentracija
m = D c׳x x – koordinuoti, D – difuzijos koeficientas

9. Buvo žinoma, kad elektrinis laukas sužadina arba elektros krūvius, arba magnetinį lauką, kuris turi vieną šaltinį – elektros srovę. Jamesas Clarkas Maxwellas pristatė vieną prieš jį atrastų elektromagnetizmo dėsnių pataisą: magnetinis laukas atsiranda ir pasikeitus elektriniam laukui. Iš pažiūros nedidelė pataisa turėjo milžiniškų pasekmių: atsirado visiškai naujas fizinis objektas, tiesa, tik rašiklio gale – elektromagnetinė banga. Maksvelas meistriškai, skirtingai nei Faradėjus, manęs, kad jo egzistavimas yra įmanomas, išvedė elektrinio lauko lygtį:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = const t

Elektrinio lauko pasikeitimas sukelia magnetinio lauko atsiradimą bet kuriame erdvės taške, kitaip tariant, elektrinio lauko kitimo greitis lemia magnetinio lauko dydį. Esant didesnei elektros srovei, yra didesnis magnetinis laukas.

IV. To, kas išmokta, įtvirtinimas

– Mes su mumis ištyrėme darinį ir jo savybes. Norėčiau perskaityti Gilberto filosofinį teiginį: „Kiekvienas žmogus turi tam tikrą požiūrį. Kai šis horizontas susiaurėja iki be galo mažo, jis virsta tašku. Tada žmogus sako, kad tai yra jo požiūris.
Pabandykime išmatuoti požiūrį į išvestinės taikymą!

„Lapas“ siužetas(darinio naudojimas biologijoje, fizikoje, gyvenime)

Laikykime kritimą netolygų judėjimą, priklausantį nuo laiko.

Taigi: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

(Teorinė apžvalga: mechaninė vedinio reikšmė).

1. Problemų sprendimas

Spręskite problemas patys.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

Užrašykime Portono II dėsnį ir, atsižvelgdami į mechaninę išvestinės reikšmę, perrašykime į formą: F = mV′ F = mS″

„Vilkai, goferiai“ siužetas

Grįžkime prie lygčių: apsvarstykite eksponentinės augimo ir mažėjimo diferencialines lygtis: F = ma F = mV’ F = mS"
Daugelio fizikos, techninės biologijos ir socialinių mokslų problemų sprendimas yra susijęs su funkcijų paieškos problema f"(x) = kf(x), tenkinantis diferencialinę lygtį, kur k = konst .

Žmogaus formulė

Žmogus yra tiek kartų didesnis už atomą, kiek mažesnis už žvaigždę:

Iš to išplaukia
Tai yra formulė, kuri lemia žmogaus vietą visatoje. Pagal jį žmogaus dydis atspindi vidutinį žvaigždės ir atomo proporcingumą.

Pamoką norėčiau užbaigti Lobačevskio žodžiais: „Nėra nei vienos matematikos srities, kad ir kokia abstrakti ji būtų, kuri kada nors nebus taikoma realaus pasaulio reiškiniams“.

V. Skaičių iš kolekcijos sprendimas:

Savarankiškas problemų sprendimas lentoje, kolektyvinė problemų sprendimų analizė:

№ 1 Raskite materialaus taško judėjimo greitį 3 sekundės pabaigoje, jei taško judėjimas pateikiamas lygtimi s = t^2 –11t + 30.

№ 2 Taškas juda tiesia linija pagal dėsnį s = 6t – t^2. Kuriuo momentu jo greitis bus lygus nuliui?

№ 3 Du kūnai juda tiesia linija: vienas pagal dėsnį s = t^3 – t^2 – 27t, kitas pagal dėsnį s = t^2 + 1. Nustatykite momentą, kada šių kūnų greičiai pasirodo lygūs .

№ 4 Automobiliui, važiuojančiam 30 m/s greičiu, stabdymo kelias nustatomas pagal formulę s(t) = 30t-16t^2, kur s(t) – atstumas metrais, t – stabdymo laikas sekundėmis. . Kiek laiko užtrunka stabdyti, kol automobilis visiškai sustoja? Kiek toli automobilis nuvažiuos nuo stabdymo pradžios iki visiško sustojimo?

№5 8 kg sveriantis kūnas tiesia linija juda pagal dėsnį s = 2t^2+ 3t – 1. Raskite kūno kinetinę energiją (mv^2/2) praėjus 3 sekundėms nuo judėjimo pradžios.

Sprendimas: Raskime kūno judėjimo greitį bet kuriuo laiko momentu:
V = ds / dt = 4t + 3
Apskaičiuokime kūno greitį momentu t = 3:
V t = 3 = 4 * 3 + 3 = 15 (m/s).
Nustatykime kūno kinetinę energiją momentu t = 3:
mv2/2 = 8 – 15^2 /2 = 900 (J).

№6 Raskite kūno kinetinę energiją praėjus 4 s nuo judėjimo pradžios, jei jo masė yra 25 kg, o judėjimo dėsnis yra s = 3t^2- 1.

№7 Kūnas, kurio masė yra 30 kg, juda tiesia linija pagal dėsnį s = 4t^2 + t. Įrodykite, kad kūno judėjimas vyksta veikiant pastoviai jėgai.
Sprendimas: Turime s' = 8t + 1, s” = 8. Todėl a(t) = 8 (m/s^2), t.y., esant tam tikram judėjimo dėsniui, kūnas juda pastoviu 8 m pagreičiu /s^2. Be to, kadangi kūno masė yra pastovi (30 kg), tai pagal antrąjį Niutono dėsnį jį veikianti jėga F = ma = 30 * 8 = 240 (H) taip pat yra pastovi vertė.

№8 3 kg sveriantis kūnas tiesia linija juda pagal dėsnį s(t) = t^3 – 3t^2 + 2. Raskite jėgą, veikiančią kūną momentu t = 4s.

№9 Materialus taškas juda pagal dėsnį s = 2t^3 – 6t^2 + 4t. Raskite jo pagreitį 3 sekundės pabaigoje.

VI. Išvestinės taikymas matematikoje:

Išvestinė matematikoje rodo skaitinę dydžio, esančio tame pačiame taške, veikiant įvairioms sąlygoms, kitimo laipsnio išraišką.

Išvestinė formulė datuojama XV a. Didysis italų matematikas Tartagli, svarstydamas ir plėtodamas klausimą, kiek sviedinio skrydžio nuotolis priklauso nuo ginklo polinkio, tai taiko savo darbuose.

Išvestinė formulė dažnai aptinkama žymių XVII amžiaus matematikų darbuose. Jį naudojo Niutonas ir Leibnicas.

Garsus mokslininkas Galilėjus Galilėjus skiria visą traktatą apie išvestinių vaidmenį matematikoje. Tada darinys ir įvairūs pristatymai su jo taikymu ėmė rastis Dekarto, prancūzų matematiko Robervalio ir anglo Gregory darbuose. Didelį indėlį į darinio tyrimą įnešė tokie protai kaip L'Hopital, Bernoulli, Langrange ir kiti.

1. Nubraižykite grafiką ir patikrinkite funkciją:

Šios problemos sprendimas:

Atsipalaidavimo akimirka

VII. Išvestinės taikymas fizikoje:

Tiriant tam tikrus procesus ir reiškinius, dažnai iškyla uždavinys nustatyti šių procesų greitį. Jo sprendimas veda prie išvestinės sąvokos, kuri yra pagrindinė diferencialinio skaičiavimo samprata.

Diferencialinio skaičiavimo metodas buvo sukurtas XVII–XVIII a. Su šio metodo atsiradimu siejami dviejų didžiųjų matematikų – I. Niutono ir G.V. Leibnicas.

Niutonas atrado diferencialinį skaičiavimą spręsdamas uždavinius apie materialaus taško judėjimo greitį tam tikru laiko momentu (momentinis greitis).

Fizikoje išvestinė daugiausia naudojama apskaičiuojant didžiausias arba mažiausias bet kokio dydžio vertes.

№1 Potenciali energija U dalelės laukas, kuriame yra kita, lygiai tokia pati dalelė, turi tokią formą: U = a/r 2 – b/r, Kur a Ir b- teigiamos konstantos, r- atstumas tarp dalelių. Raskite: a) reikšmę r0 atitinkanti dalelės pusiausvyros padėtį; b) išsiaiškinti, ar ši situacija stabili; V) Fmaks traukos jėgos vertė; d) nubraižyti apytiksles priklausomybės grafikus U(r) Ir F(r).

Šios problemos sprendimas: nustatyti r0 atitinkančią mūsų tiriamos dalelės pusiausvyros padėtį f = U(r) iki kraštutinumo.

Naudojant ryšį tarp lauko potencinės energijos

U Ir F, Tada F = – dU/dr, gauname F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; tuo pačiu metu r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; Stabilią arba nestabilią pusiausvyrą nustatome pagal antrosios išvestinės ženklą:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt ) 2

Apsvarstykite atvejį, kai iš užpildytos platformos išsilieja smėlis.
Pagreičio pasikeitimas per trumpą laiką:
Δ p = (M – µ(t + Δ t))(u+ Δ u) +Δ µtu – (M – µt)u = FΔ t
Terminas Δ µtu yra smėlio kiekio, išpilto iš platformos per laiką Δ, impulsas t. Tada:
Δ p = MΔ u – µtΔ tu – Δ µtΔ u = FΔ t
Padalinkite iš Δ t ir pereiti prie ribos Δ t → 0
(M – µt)du/dt = F
Arba a1 = du/dt = F/(M – µt)

Atsakymas: a = FM / (M + µt) 2, a1 = F/(M – µt)

VIII. Savarankiškas darbas:

Raskite funkcijų išvestinius:

Tiesė y = 2x yra funkcijos liestinė: y = x 3 + 5x 2 + 9x + 3. Raskite lietimo taško abscises.

IX. Apibendrinant pamoką:

– Kokie klausimai buvo skirti pamokoje?
– Ko išmokote per pamoką?
– Kokie teoriniai faktai buvo apibendrinti pamokoje?
– Kurios užduotys pasirodė pačios sunkiausios? Kodėl?

Nuorodos:

Amelkinas V.V., Sadovskis A.P. Matematiniai modeliai ir diferencialinės lygtys. – Minskas: Aukštoji mokykla, 1982. – 272 p.
Amelkinas V.V. Diferencialinės lygtys programose. M.: Mokslas. Pagrindinė fizinės ir matematinės literatūros redakcija, 1987. – 160 p.
Eruginas N.P. Knyga skaitymui apie bendrą diferencialinių lygčių eigą. – Minskas: Mokslas ir technika, 1979. – 744 p.
.Žurnalas "Potencialas" 2007 lapkritis Nr.11
„Algebra ir analizės principai“ 11 klasė S.M. Nikolskis, M.K. Potapovas ir kiti.
„Algebra ir matematinė analizė“ N.Ya. Vilenkin ir kt.
„Matematika“ V.T. Lisichkin, I.L. Soloveičikas, 1991 m

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Fizinė vedinio reikšmė. Užduotys!

Fizinė vedinio reikšmė. Vieningas valstybinis matematikos egzaminas apima grupę uždavinių, kuriuos spręsti reikia žinoti ir suprasti fizinę išvestinio reikšmę. Visų pirma, kyla problemų, kai yra duotas tam tikro taško (objekto) judėjimo dėsnis, išreikštas lygtimi, ir reikia rasti jo greitį tam tikru judėjimo momentu arba laiku, po kurio objektas įgis tam tikrą duotą greitį. Užduotys labai paprastos, jas galima išspręsti vienu veiksmu. Taigi:

Tegu pateiktas materialaus taško x (t) judėjimo išilgai koordinačių ašies dėsnis, kur x – judančio taško koordinatė, t – laikas.

Greitis tam tikru laiko momentu yra koordinatės išvestinė laiko atžvilgiu. Tai mechaninė vedinio reikšmė.

Taip pat pagreitis yra greičio išvestinė laiko atžvilgiu:

Taigi fizinė išvestinės reikšmė yra greitis. Tai gali būti judėjimo greitis, proceso kitimo greitis (pavyzdžiui, bakterijų dauginimasis), darbo greitis (ir taip toliau, yra daug taikomų problemų).

Be to, reikia žinoti išvestinę lentelę (ją reikia žinoti taip pat, kaip daugybos lentelę) ir diferenciacijos taisykles. Konkrečiai, norint išspręsti nurodytas problemas, reikia žinoti pirmąsias šešias išvestines (žr. lentelę):

x (t) = t 2 – 7t – 20

čia x – atstumas nuo atskaitos taško metrais, t – laikas sekundėmis, matuojamas nuo judėjimo pradžios. Raskite jo greitį (metrais per sekundę) momentu t = 5 s.

Fizinė išvestinės reikšmė yra greitis (judesio greitis, proceso kitimo greitis, darbo greitis ir kt.)

Raskime greičio kitimo dėsnį: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Materialus taškas juda tiesia linija pagal dėsnį x (t) = 6t 2 – 48t + 17, kur x- atstumas nuo atskaitos taško metrais, t- laikas sekundėmis, matuojamas nuo judėjimo pradžios. Raskite jo greitį (metrais per sekundę) momentu t = 9 s.

Materialusis taškas juda tiesia linija pagal dėsnį x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, kur x- atstumas nuo atskaitos taško metrais, t- laikas sekundėmis, matuojamas nuo judėjimo pradžios. Raskite jo greitį (metrais per sekundę) momentu t = 6 s.

Materialus taškas juda tiesiai pagal dėsnį

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5 t + 23

Kur x- atstumas nuo atskaitos taško metrais, t- laikas sekundėmis, matuojamas nuo judėjimo pradžios. Raskite jo greitį (metrais per sekundę) momentu t = 3 s.

Materialus taškas juda tiesiai pagal dėsnį

x(t) = (1/6) t 2 + 5 t + 28

čia x – atstumas nuo atskaitos taško metrais, t – laikas sekundėmis, matuojamas nuo judėjimo pradžios. Kuriuo laiko momentu (sekundėmis) jo greitis buvo lygus 6 m/s?

Raskime greičio kitimo dėsnį:

Norėdami sužinoti, kuriuo laiko momentu t greitis buvo 3 m/s, reikia išspręsti lygtį:

Materialus taškas juda tiesia linija pagal dėsnį x (t) = t 2 – 13t + 23, kur x- atstumas nuo atskaitos taško metrais, t- laikas sekundėmis, matuojamas nuo judėjimo pradžios. Kuriuo laiko momentu (sekundėmis) jo greitis buvo lygus 3 m/s?

Materialus taškas juda tiesiai pagal dėsnį

x (t) = (1/3) t 3 – 3 t 2 – 5 t + 3

Kur x- atstumas nuo atskaitos taško metrais, t- laikas sekundėmis, matuojamas nuo judėjimo pradžios. Kuriuo laiko momentu (sekundėmis) jo greitis buvo lygus 2 m/s?

Norėčiau atkreipti dėmesį, kad vieningo valstybinio egzamino metu neturėtumėte sutelkti dėmesio tik į tokio tipo užduotis. Jie gali visiškai netikėtai sukelti problemų, kurios yra priešingos pateiktoms. Kai bus duotas greičio kitimo dėsnis ir klausimas bus apie judėjimo dėsnio radimą.

Patarimas: šiuo atveju reikia rasti greičio funkcijos integralą (tai taip pat yra vieno žingsnio užduotis). Jei reikia rasti tam tikru laiko momentu nuvažiuotą atstumą, gautoje lygtyje turite pakeisti laiką ir apskaičiuoti atstumą. Tačiau mes taip pat analizuosime tokias problemas, nepraleiskite to! Sėkmės tau!

matematikalegko.ru

Algebra ir matematinės analizės principai, 11 klasė (S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin) 2009 m.

Puslapis Nr.094.

Vadovėlis:

Puslapio OCR versija iš vadovėlio (viršuje esančio puslapio tekstas):

Kaip matyti iš šios pastraipos pradžioje nagrinėtų problemų, šie teiginiai yra teisingi:

1. Jei tiesiojo judėjimo metu taško kertamas kelias s yra laiko t funkcija, ty s = f(t), tai taško greitis yra kelio išvestinė laiko atžvilgiu, ty v( t) =

Šis faktas išreiškia mechaninę vedinio reikšmę.

2. Jei taške x 0 nubrėžta funkcijos y = f (jc) grafiko liestinė, tai skaičius f"(xo) yra kampo a liestinė tarp šios liestinės ir teigiamos Ox ašies krypties. , t. y. /"(x 0) =

Tga. Šis kampas vadinamas liestinės kampu.

Šis faktas išreiškia geometrinę išvestinės reikšmę.

PAVYZDYS 3. Raskime funkcijos y = 0.5jc 2 - 2x + 4 grafiko liestinės polinkio kampo liestinę taške, kurio abscisė x = 0.

Raskime funkcijos f(x) = 0,5jc 2 - 2x + 4 išvestinę bet kuriame x taške, naudodami lygybę (2):

0,5 2 x - 2 = jc - 2.

Apskaičiuokime šios išvestinės reikšmę taške x = 0:

Todėl tga = -2. Funkcijos y = /(jc) x grafikas ir jos grafiko liestinė taške, kurio abscisė jc = 0, parodyta 95 paveiksle.

4.1 Tegul taškas juda tiesia linija pagal dėsnį s = t 2. Rasti:

a) laiko prieaugis D£ per laiko intervalą nuo t x = 1 iki £ 2 - 2;

b) kelio As padidėjimas per laikotarpį nuo t x = 1 iki t 2 = 2;

c) vidutinis greitis per laiko intervalą nuo t x = 1 iki t 2 = 2.

4.2 4.1 užduotyje raskite:

b) vidutinis greitis per laiko intervalą nuo t iki t + At;

c) momentinis greitis momentu t;

d) momentinis greitis momentu t = 1.

4.3 Tegul taškas juda tiesiai pagal dėsnį:

1) s = 3t + 5; 2) s = t 2 - bt.

a) kelio As padidėjimas per laikotarpį nuo t iki t + At;

Vadovėlis: Algebra ir matematinės analizės pradžia. 11 klasė: mokomoji. bendrajam lavinimui institucijos: pagrindinės ir profilio. lygiai / [S. M. Nikolskis, M. K. Potapovas, N. N. Rešetnikovas, A. V. Ševkinas]. – 8-asis leidimas. - M.: Išsilavinimas, 2009. - 464 p.: iliustr.

Taškas juda tiesia linija pagal dėsnį S = t 4 + 2 t (S - metrais, t- sekundėmis). Raskite jo vidutinį pagreitį intervale tarp akimirkų t 1 = 5 s, t 2 = 7 s, taip pat jo tikrasis pagreitis šiuo metu t 3 = 6 s.

Sprendimas.

1. Raskite taško greitį kaip kelio S išvestinę laiko atžvilgiu t, tie.

2. Vietoj t pakeitę jo reikšmes t 1 = 5 s ir t 2 = 7 s, randame greičius:

V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 m/s; V 2 = 4 7 3 + 2 = 1374 m/s.

3. Nustatykite greičio padidėjimą ΔV laikui Δt = 7 - 5 =2 s:

ΔV = V 2 – V 1= 1374 - 502 = 872 m/s.

4. Taigi vidutinis taško pagreitis bus lygus

5. Norėdami nustatyti tikrąją taško pagreičio reikšmę, imame greičio išvestinę laiko atžvilgiu:

6. Vietoj to pakeitimas t reikšmę t 3 = 6 s, šiuo laiko momentu gauname pagreitį

av =12-6 3 =432 m/s 2 .

Kreivinis judėjimas. Kreivinio judėjimo metu taško greitis keičiasi pagal dydį ir kryptį.

Įsivaizduokime tašką M, kuris per laiką Δt, judėdamas tam tikra kreivine trajektorija, pasislinko į padėtį M 1(6 pav.).

Greičio prieaugio (pokyčio) vektorius ΔV valios

Už norėdami rasti vektorių ΔV, vektorių V 1 perkelkite į tašką M ir sukonstruoti greičio trikampį. Nustatykime vidutinio pagreičio vektorių:

Vektorius trečiadienį yra lygiagreti vektoriui ΔV, nes vektoriaus dalijimas iš skaliarinio dydžio nekeičia vektoriaus krypties. Tikrasis pagreičio vektorius – tai riba, iki kurios greičio vektoriaus santykis su atitinkamu laiko intervalu Δt linksta į nulį, t.y.

Ši riba vadinama vektoriaus išvestine.

Taigi, tikrasis taško pagreitis kreivinio judėjimo metu yra lygus vektoriaus išvestinei greičio atžvilgiu.

Iš pav. 6 aišku, kad pagreičio vektorius kreivinio judėjimo metu visada nukreiptas į trajektorijos įdubimą.

Skaičiavimų patogumui pagreitis pagal judėjimo trajektoriją skaidomas į du komponentus: palei liestinę, vadinamą tangentiniu (tangentiniu) pagreičiu. A, o išilgai normalaus, vadinamo normaliuoju pagreičiu a n (7 pav.).

Šiuo atveju bendras pagreitis bus lygus

Tangentinis pagreitis sutampa su taško greičiu arba yra priešingas jam. Jis apibūdina greičio pokytį ir atitinkamai nustatomas pagal formulę

Normalus pagreitis yra statmenas taško greičio krypčiai, o jo skaitinė reikšmė nustatoma pagal formulę

kur r - trajektorijos kreivumo spindulys nagrinėjamame taške.

Kadangi tangentinis ir normalusis pagreičiai yra vienas kitam statmeni, tai bendro pagreičio vertė nustatoma pagal formulę

ir jo kryptis

Jeigu , tada tangentinio pagreičio ir greičio vektoriai nukreipiami viena kryptimi ir judėjimas bus pagreitintas.

Jeigu , tada tangentinio pagreičio vektorius nukreipiamas priešinga greičio vektoriui kryptimi, ir judėjimas bus lėtas.

Normalus pagreičio vektorius visada yra nukreiptas į kreivumo centrą, todėl jis vadinamas įcentriniu.

Fizinė vedinio reikšmė. Vieningas valstybinis matematikos egzaminas apima grupę uždavinių, kuriuos spręsti reikia žinoti ir suprasti fizinę išvestinio reikšmę. Visų pirma, kyla problemų, kai yra duotas tam tikro taško (objekto) judėjimo dėsnis, išreikštas lygtimi, ir reikia rasti jo greitį tam tikru judėjimo momentu arba laiku, po kurio objektas įgis tam tikrą duotą greitį.Užduotys labai paprastos, jas galima išspręsti vienu veiksmu. Taigi:

Tegu pateiktas materialaus taško x (t) judėjimo išilgai koordinačių ašies dėsnis, kur x – judančio taško koordinatė, t – laikas.

Greitis tam tikru laiko momentu yra koordinatės išvestinė laiko atžvilgiu. Tai mechaninė vedinio reikšmė.

Taip pat pagreitis yra greičio išvestinė laiko atžvilgiu:

Apsvarstykime užduotis:

x (t) = t 2 – 7t – 20

čia x t yra laikas sekundėmis, matuojamas nuo judėjimo pradžios. Raskite jo greitį (metrais per sekundę) momentu t = 5 s.

Fizinė išvestinės reikšmė yra greitis (judesio greitis, proceso kitimo greitis, darbo greitis ir kt.)

Raskime greičio kitimo dėsnį: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Esant t = 5, turime:

Atsakymas: 3

Spręskite patys:

Materialusis taškas juda tiesia linija pagal dėsnį x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, kur xt- laikas sekundėmis, matuojamas nuo judėjimo pradžios. Raskite jo greitį (metrais per sekundę) momentu t = 6 s.

Materialus taškas juda tiesiai pagal dėsnį

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5 t + 23

Kur x- atstumas nuo atskaitos taško metrais,t- laikas sekundėmis, matuojamas nuo judėjimo pradžios. Raskite jo greitį (metrais per sekundę) momentu t = 3 s.

Materialus taškas juda tiesiai pagal dėsnį

x(t) = (1/6) t 2 + 5 t + 28

čia x – atstumas nuo atskaitos taško metrais, t – laikas sekundėmis, matuojamas nuo judėjimo pradžios. Kuriuo laiko momentu (sekundėmis) jo greitis buvo lygus 6 m/s?

Raskime greičio kitimo dėsnį:

Norėdami sužinoti, kuriuo laiko momentutgreitis buvo 3 m/s, reikia išspręsti lygtį:

Atsakymas: 3

Spręskite patys:

Materialus taškas juda tiesiai pagal dėsnį

x (t) = (1/3) t 3 – 3 t 2 – 5 t + 3

Kur x- atstumas nuo atskaitos taško metrais, t- laikas sekundėmis, matuojamas nuo judėjimo pradžios. Kuriuo laiko momentu (sekundėmis) jo greitis buvo lygus 2 m/s?

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.