Matricos operacijos. Kvadratinės matricos daugyba

Matrica matmuo yra stačiakampė lentelė, susidedanti iš elementų, esančių m linijos ir n stulpelius.

Matricos elementai (pirmasis indeksas i− eilutės numeris, antrasis indeksas j− stulpelio numeris) gali būti skaičiai, funkcijos ir kt. Matricos žymimos lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis.

Matrica vadinama kvadratas, jei jame yra toks pat eilučių skaičius kaip ir stulpelių ( m = n). Šiuo atveju skaičius n vadinama matricos tvarka, o pati matrica vadinama matrica n– įsakymas.

Elementai su tais pačiais indeksais forma pagrindinė įstrižainė kvadratinė matrica ir elementai (t. y. kurių indeksų suma lygi n+1) − šoninė įstrižainė.

Vienišas matrica yra kvadratinė matrica, kurios visi pagrindinės įstrižainės elementai lygūs 1, o likę elementai lygūs 0. Ji žymima raide E.

Nulis matrica− yra matrica, kurios visi elementai lygūs 0. Nulinė matrica gali būti bet kokio dydžio.

Prie numerio tiesinės operacijos su matricomis apima:

1) matricos pridėjimas;

2) matricų dauginimas iš skaičiaus.

Matricos pridėjimo operacija apibrėžiama tik to paties matmens matricoms.

Dviejų matricų suma A Ir IN vadinama matrica SU, kurio visi elementai yra lygūs atitinkamų matricos elementų sumoms A Ir IN:

.

Matricos produktas A už skaičių k vadinama matrica IN, kurio visi elementai yra lygūs atitinkamiems šios matricos elementams A, padaugintas iš skaičiaus k:

Operacija matricos daugybaįvedamas matricoms, kurios tenkina sąlygą: pirmosios matricos stulpelių skaičius yra lygus antrosios matricos eilučių skaičiui.

Matricos produktas A matmenys į matricą IN matmuo vadinamas matrica SU matmenys, elementas i-toji eilutė ir j kurio stulpelis yra lygus elementų sandaugų sumai i matricos eilutė Aį atitinkamus elementus j matricos stulpelis IN:

Matricų sandauga (skirtingai nei realiųjų skaičių sandauga) nepaklūsta komutaciniam dėsniui, t.y. bendru atveju A IN IN A.

1.2. Determinantai. Determinantų savybės

Determinanto samprataįvedamas tik kvadratinėms matricoms.

2 eilės matricos determinantas yra skaičius, apskaičiuotas pagal šią taisyklę

.

3 eilės matricos determinantas yra skaičius, apskaičiuotas pagal šią taisyklę:

Pirmasis terminas su „+“ ženklu yra elementų, esančių pagrindinėje matricos įstrižainėje (), sandauga. Likusiuose dviejuose yra elementai, esantys trikampių viršūnėse, kurių pagrindas yra lygiagretus pagrindinei įstrižai (i). Ženklas „-“ apima antrinės įstrižainės () elementų sandaugą ir elementus, sudarančius trikampius su pagrindais, lygiagrečiai šiai įstrižai (ir).

Ši 3 eilės determinanto skaičiavimo taisyklė vadinama trikampio taisykle (arba Sarruso taisykle).

Determinantų savybės Pažvelkime į 3 eilės determinantų pavyzdį.

1. Visas determinanto eilutes pakeičiant stulpeliais su tokiais pat skaičiais kaip ir eilutės, determinantas nekeičia savo reikšmės, t.y. determinanto eilutės ir stulpeliai yra lygūs

.

2. Pertvarkius dvi eilutes (stulpelius), determinantas pakeičia savo ženklą.

3. Jei visi tam tikros eilutės (stulpelio) elementai yra nuliai, tada determinantas yra 0.

4. Bendras visų eilutės (stulpelio) elementų koeficientas gali būti išimtas iš determinanto ženklo.

5. Determinantas, turintis dvi identiškas eilutes (stulpelius), yra lygus 0.

6. Determinantas, turintis dvi proporcingas eilutes (stulpelius), yra lygus nuliui.

7. Jei kiekvienas determinanto tam tikro stulpelio (eilutės) elementas reiškia dviejų dėmenų sumą, tai determinantas yra lygus dviejų determinantų sumai, viename kurių yra pirmieji to paties stulpelio (eilutės) nariai, o kitame yra antrasis. Likę abiejų determinantų elementai yra vienodi. Taigi,

.

8. Determinantas nepasikeis, jei prie kurio nors jo stulpelio (eilutės) elementų bus pridėti atitinkami kito stulpelio (eilutės) elementai, padauginti iš to paties skaičiaus.

Matricos papildymas:

Matricų atėmimas ir pridėjimas sumažina iki atitinkamų operacijų su jų elementais. Matricos pridėjimo operacijaįėjo tik už matricos tokio pat dydžio, t.y matricos, kuriame eilučių ir stulpelių skaičius yra atitinkamai lygus. Matricų suma A ir B vadinami matrica C, kurio elementai yra lygūs atitinkamų elementų sumai. C = A + B c ij = a ij + b ij Apibrėžiama panašiai matricos skirtumas.

Matricos padauginimas iš skaičiaus:

Matricos daugybos (dalybos) operacija bet kokio dydžio iš savavališko skaičiaus sumažinamas iki kiekvieno elemento padauginimo (padalinimo). matricosšiam numeriui. Matricos produktas Ir vadinamas skaičius k matrica B, toks

b ij = k × a ij . B = k × A b ij = k × a ij . Matrica- A = (-1) × A vadinama priešinga matrica A.

Matricų pridėjimo ir matricos dauginimo iš skaičiaus savybės:

Matricos pridėjimo operacijos Ir matricos daugyba ant skaičiaus turi šias savybes: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5. 1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , kur A, B ir C yra matricos, α ir β yra skaičiai.

Matricos daugyba (Matricos sandauga):

Dviejų matricų dauginimo operacijaįvedamas tik tuo atveju, kai stulpelių skaičius yra pirmasis matricos lygus sekundės eilučių skaičiui matricos. Matricos gaminys Ir m×n ant matricaĮ n×p, vadinamas matrica Su m×p taip, kad su ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , t.y., randama i-osios eilutės elementų sandaugų suma matricos Ir į atitinkamus j-ojo stulpelio elementus matricos B. Jei matricos A ir B yra vienodo dydžio kvadratai, tada sandaugai AB ir BA visada egzistuoja. Nesunku parodyti, kad A × E = E × A = A, kur A yra kvadratas matrica, E - vienetas matrica tokio pat dydžio.

Matricos daugybos savybės:

Matricos daugyba ne komutacinės, t.y. AB ≠ BA, net jei abu produktai yra apibrėžti. Tačiau jei dėl kokių nors matricos patenkintas santykis AB=BA, tada toks matricos vadinami komutaciniais. Tipiškiausias pavyzdys yra vienas matrica, kuris važinėja su bet kuriuo kitu matrica tokio pat dydžio. Tik kvadratiniai gali būti keičiami matricos tos pačios eilės. A × E = E × A = A

Matricos daugyba turi šias savybes: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T V T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;

2. 2 ir 3 eilės determinantai. Determinantų savybės.

Matricos determinantas antra eilė, arba determinantas antroji eilė yra skaičius, kuris apskaičiuojamas pagal formulę:

Matricos determinantas trečioji tvarka arba determinantas trečioji eilė yra skaičius, kuris apskaičiuojamas pagal formulę:

Šis skaičius reiškia algebrinę sumą, kurią sudaro šeši terminai. Kiekviename termine yra tiksliai vienas elementas iš kiekvienos eilutės ir kiekvieno stulpelio matricos. Kiekvienas terminas susideda iš trijų veiksnių sandaugos.

Ženklai su kuriais nariais matricos determinantasįtraukta į formulę matricos determinanto radimas trečią tvarką galima nustatyti naudojant pateiktą schemą, kuri vadinama trikampių taisykle arba Sarruso taisykle. Pirmieji trys terminai imami su pliuso ženklu ir nustatomi iš kairiosios figūros, o kiti trys terminai paimami su minuso ženklu ir nustatomi iš dešinės figūros.

Nustatykite, kiek terminų reikia rasti matricos determinantas, algebrine suma, galite apskaičiuoti faktorialą: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Matricinių determinantų savybės

Matricos determinantų savybės:

1 nuosavybė:

Matricos determinantas nepasikeis, jei jos eilutės bus pakeistos stulpeliais, kiekviena eilutė – stulpeliu su tuo pačiu numeriu ir atvirkščiai (Perkėlimas). |A| = |A| T

Pasekmė:

Stulpeliai ir eilutės matricos determinantas yra vienodi, todėl eilutėms būdingos savybės taikomos ir stulpeliams.

2 nuosavybė:

Pertvarkant 2 eilutes ar stulpelius matricos determinantas pakeis ženklą į priešingą, išlaikydamas absoliučią reikšmę, t.y.:

3 nuosavybė:

Matricos determinantas turinčios dvi vienodas eilutes yra lygus nuliui.

4 nuosavybė:

Bendras bet kurios serijos elementų veiksnys matricos determinantas gali būti priimtas kaip ženklas determinantas.

Išvados iš savybių Nr. 3 ir Nr. 4:

Jei visi tam tikros serijos elementai (eilutė ar stulpelis) yra proporcingi atitinkamiems lygiagrečios serijos elementams, tai tokie matricos determinantas lygus nuliui.

5 nuosavybė:

matricos determinantas tada yra lygūs nuliui matricos determinantas lygus nuliui.

6 nuosavybė:

Jei visi eilutės ar stulpelio elementai determinantas pateikiama kaip 2 terminų suma, tada determinantas matricos gali būti pavaizduota kaip 2 suma determinantai pagal formulę:

7 nuosavybė:

Jei į kurią nors eilutę (ar stulpelį) determinantas pridėkite atitinkamus kitos eilutės (ar stulpelio) elementus, padaugintus iš to paties skaičiaus, tada matricos determinantas nepakeis jo vertės.

Savybių panaudojimo skaičiavimui pavyzdys matricos determinantas:

Taigi, ankstesnėje pamokoje apžvelgėme matricų pridėjimo ir atėmimo taisykles. Tai tokios paprastos operacijos, kad dauguma studentų jas supranta tiesiogine prasme.

Tačiau jūs džiaugiatės anksti. Dovana baigėsi – pereikime prie daugybos. Iškart perspėsiu: dviejų matricų dauginimas visai nereiškia skaičių dauginimas langeliuose su tomis pačiomis koordinatėmis, kaip jūs manote. Čia viskas daug smagiau. Ir mes turėsime pradėti nuo preliminarių apibrėžimų.

Suderintos matricos

Viena iš svarbiausių matricos savybių yra jos dydis. Apie tai jau kalbėjome šimtą kartų: žymėjimas $A=\left[ m\times n \right]$ reiškia, kad matricoje yra lygiai $m$ eilučių ir $n$ stulpelių. Jau aptarėme, kaip nepainioti eilučių su stulpeliais. Dabar svarbu kažkas kita.

Apibrėžimas. $A=\left[ m\times n \right]$ ir $B=\left[ n\times k \right]$ formos matricos, kuriose pirmosios matricos stulpelių skaičius sutampa su eilučių skaičiumi antrajame, vadinami nuosekliais.

Dar kartą: pirmosios matricos stulpelių skaičius yra lygus antrosios matricos eilučių skaičiui! Iš čia iš karto gauname dvi išvadas:

1. Mums svarbi matricų tvarka. Pavyzdžiui, matricos $A=\left[ 3\time 2 \right]$ ir $B=\left[ 2\times 5 \right]$ yra nuoseklios (2 stulpeliai pirmoje matricoje ir 2 eilutės antroje) , bet atvirkščiai – matricos $B=\left[ 2\time 5 \right]$ ir $A=\left[ 3\time 2 \right]$ nebėra nuoseklios (5 stulpeliai pirmoje matricoje nėra 3 eilutės antrajame).
2. Nuoseklumas nesunkiai patikrinamas surašant visus matmenis vieną po kito. Naudojant pavyzdį iš ankstesnės pastraipos: „3 2 2 5“ - viduryje yra identiški skaičiai, todėl matricos yra nuoseklios. Tačiau „2 5 3 2“ nėra nuoseklūs, nes viduryje yra skirtingi skaičiai.

Be to, Captain Obviousness, atrodo, užsimena, kad tokio pat dydžio kvadratinės matricos $\left[ n\times n \right]$ visada yra nuoseklios.

Matematikoje, kai svarbi objektų surašymo tvarka (pavyzdžiui, aukščiau aptartame apibrėžime svarbi matricų tvarka), dažnai kalbame apie sutvarkytas poras. Mes su jais susipažinome dar mokykloje: manau, kad niekam tikęs, kad koordinatės $\left(1;0 \right)$ ir $\left(0;1 \right)$ apibrėžia skirtingus plokštumos taškus.

Taigi: koordinatės taip pat yra išdėstytos poros, sudarytos iš skaičių. Tačiau niekas netrukdo jums sudaryti tokios poros iš matricų. Tada galime pasakyti: „Sutvarkyta matricų pora $\left(A;B \right)$ yra nuosekli, jei pirmosios matricos stulpelių skaičius yra toks pat kaip ir antrosios matricos eilučių skaičius.

Taigi ką?

Daugybos apibrėžimas

Apsvarstykite dvi nuoseklias matricas: $A=\left[ m\times n \right]$ ir $B=\left[ n\times k \right]$. Ir mes apibrėžiame jiems daugybos operaciją.

Apibrėžimas. Dviejų suderintų matricų $A=\left[ m\times n \right]$ ir $B=\left[ n\times k \right]$ sandauga yra nauja matrica $C=\left[ m\times k \ dešinėje] $, kurios elementai apskaičiuojami naudojant formulę:

\[\begin(lygiuoti) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ltaškai +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(lygiuoti)\]

Toks produktas žymimas standartiniu būdu: $C=A\cdot B$.

Tiems, kurie šį apibrėžimą mato pirmą kartą, iš karto kyla du klausimai:

1. Kas čia per įnirtingas žaidimas?
2. Kodėl taip sunku?

Na, pirmieji dalykai. Pradėkime nuo pirmojo klausimo. Ką reiškia visi šie indeksai? O kaip nesuklysti dirbant su tikromis matricomis?

Visų pirma atkreipiame dėmesį, kad ilga eilutė $((c)_(i;j))$ apskaičiavimui (specialiai tarp indeksų dedu kabliataškį, kad nesusipainiočiau, bet nereikia jų dėti bendras dalykas - man pačiam atsibodo įvesti formulę apibrėžime) iš tikrųjų yra paprasta taisyklė:

1. Paimkite $i$-ąją pirmosios matricos eilutę;
2. Paimkite $j$-ąjį stulpelį antroje matricoje;
3. Gauname dvi skaičių sekas. Šių sekų elementus padauginame iš tų pačių skaičių ir tada pridedame gautus produktus.

Šį procesą lengva suprasti iš paveikslėlio:

Dar kartą: pirmoje matricoje pataisome $i$ eilutę, antroje matricoje $j$ stulpelį, padauginame elementus su tais pačiais skaičiais ir sudedame gautus sandaugus – gauname $((c)_(ij))$ . Ir taip toliau už visus $1\le i\le m$ ir $1\le j\le k$. Tie. Tokių „iškrypimų“ iš viso bus $m\times k$.

Tiesą sakant, mes jau susidūrėme su matricine daugyba mokyklos programoje, tik labai sumažinta forma. Tegul vektoriai pateikiami:

\[\begin(lygiuoti) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));(y)_(b));((z)_(b)) \right). \\ \end(lygiuoti)\]

Tada jų skaliarinė sandauga bus tiksliai porinių sandaugų suma:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y) )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

Iš esmės, kai medžiai buvo žalesni, o dangus šviesesnis, mes tiesiog padauginome eilutės vektorių $\overrightarrow(a)$ iš stulpelio vektoriaus $\overrightarrow(b)$.

Šiandien niekas nepasikeitė. Tiesiog dabar yra daugiau šių eilučių ir stulpelių vektorių.

Bet teorijos užteks! Pažvelkime į tikrus pavyzdžius. Ir pradėkime nuo paprasčiausio atvejo – kvadratinių matricų.

Kvadratinės matricos daugyba

1 užduotis. Atlikite daugybą:

\[\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(masyvas) \right]\cdot \left[ \begin(masyvas)(* (35) (r)) -2 ir 4 \\ 3 ir 1 \\\pabaiga (masyvas) \right]\]

Sprendimas. Taigi, turime dvi matricas: $A=\kairė[ 2\kartai 2 \dešinė]$ ir $B=\kairysis[ 2\kartas 2 \dešinė]$. Akivaizdu, kad jie yra nuoseklūs (vienodo dydžio kvadratinės matricos visada yra nuoseklios). Todėl atliekame dauginimą:

\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(masyvas) \right]\cdot \left[ \ pradžia(masyvas)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(masyvas) \right]=\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(masyvas) \right]= \\ & =\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ pabaiga(masyvas)\dešinė]. \end(lygiuoti)\]

tai viskas!

Atsakymas: $\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(masyvas) \right]$.

2 užduotis. Atlikite daugybą:

\[\left[ \begin(matrica) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrica) \right]\cdot \left[ \begin (masyvas)(*(35)(r))9 ir 6 \\ -3 ir -2 \\\pabaiga (masyvas) \right]\]

Sprendimas. Vėlgi, nuoseklios matricos, todėl atliekame šiuos veiksmus:\[\]

\[\begin(lygiuoti) & \left[ \begin(matrica) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrica) \right]\cdot \left[ \begin(masyvas)(*(35)( ) r)) 9 ir 6 \\ -3 & -2 \\\end(masyvas) \right]=\left[ \begin (masyvas)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ kairysis (-3 \right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \right) \\\end(masyvas) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrica) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrica) \right ] . \end(lygiuoti)\]

Kaip matote, rezultatas yra matrica, užpildyta nuliais

Atsakymas: $\left[ \begin(matrica) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrica) \right]$.

Iš aukščiau pateiktų pavyzdžių akivaizdu, kad matricos daugyba nėra tokia sudėtinga operacija. Bent 2 x 2 kvadratinėms matricoms.

Skaičiavimų metu mes sudarėme tarpinę matricą, kurioje tiesiogiai apibūdinome, kurie skaičiai yra įtraukti į tam tikrą langelį. Būtent tai turėtumėte daryti spręsdami tikras problemas.

Pagrindinės matricinio produkto savybės

Trumpai tariant. Matricos daugyba:

1. Nekomutacinis: $A\cdot B\ne B\cdot A$ bendruoju atveju. Žinoma, yra specialių matricų, kurioms lygybė $A\cdot B=B\cdot A$ (pavyzdžiui, jei $B=E$ yra tapatybės matrica), tačiau daugeliu atvejų tai neveikia ;
2. Asociatyviai: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Čia nėra jokių variantų: gretimas matricas galima padauginti nesirūpinant, kas yra kairėje ir dešinėje nuo šių dviejų matricų.
3. Paskirstymas: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ ir $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (dėl gaminio nekomitatyvumo būtina atskirai nurodyti dešinįjį ir kairįjį skirstinį.

O dabar – viskas taip pat, tik išsamiau.

Matricos daugyba daugeliu atžvilgių yra panaši į klasikinį skaičių daugybą. Tačiau yra skirtumų, iš kurių svarbiausias yra tas Matricos daugyba paprastai yra nekomutacinė.

Dar kartą pažvelkime į 1 uždavinio matricas. Mes jau žinome jų tiesioginį produktą:

\[\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(masyvas) \right]\cdot \left[ \begin(masyvas)(* (35) (r)) -2 ir 4 \\ 3 & 1 \\\end(masyvas) \right]=\left[ \begin (masyvas)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\pabaiga (masyvas) \right]\]

Bet jei sukeisime matricas, gausime visiškai kitokį rezultatą:

\[\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(masyvas) \right]\cdot \left[ \begin(masyvas)(* (35) (r)) 1 ir 2 \\ -3 ir 4 \\\pabaiga (masyvas) \right]=\left[ \begin (matrica) -14 ir 4 \\ 0 ir 10 \\\pabaiga (matrica) )\right]\]

Pasirodo, $A\cdot B\ne B\cdot A$. Be to, daugybos operacija apibrėžiama tik nuoseklioms matricoms $A=\left[ m\times n \right]$ ir $B=\left[ n\times k \right]$, tačiau niekas negarantavo, kad jos išliks nuoseklūs, jei jie bus pakeisti. Pavyzdžiui, matricos $\left[ 2\time 3 \right]$ ir $\left[ 3\times 5 \right]$ yra gana nuoseklios nurodyta tvarka, tačiau tos pačios matricos $\left[ 3\x 5 \right] $ ir $\left[ 2\time 3 \right]$, parašyti atvirkštine tvarka, nebetinka. Liūdna. :(

Tarp nurodyto dydžio $n$ kvadratinių matricų visada bus tokių, kurios duoda tą patį rezultatą tiek padauginus tiesiogine, tiek atvirkštine tvarka. Kaip aprašyti visas tokias matricas (ir kiek jų apskritai yra) – atskiros pamokos tema. Šiandien apie tai nekalbėsime :)

Tačiau matricos daugyba yra asociatyvi:

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

Todėl, kai reikia iš karto padauginti kelias matricas iš eilės, visai nebūtina to daryti iš karto: visai gali būti, kad kai kurios gretimos matricos padauginus duoda įdomų rezultatą. Pavyzdžiui, nulinė matrica, kaip aprašyta aukščiau aptartoje 2 užduotyje.

Realiuose uždaviniuose dažniausiai turime padauginti kvadratines matricas, kurių dydis yra $\left[ n\times n \right]$. Visų tokių matricų aibė žymima $((M)^(n))$ (t. y. įrašai $A=\left[ n\times n \right]$ ir \ reiškia tą patį), ir tai bus būtinai turi būti matrica $E$, kuri vadinama tapatybės matrica.

Apibrėžimas. $n$ dydžio tapatybės matrica yra tokia matrica $E$, kad bet kuriai kvadratinei matricai $A=\left[ n\times n \right]$ galioja lygybė:

Tokia matrica visada atrodo vienodai: pagrindinėje jos įstrižainėje yra vienetai, o visose kitose ląstelėse – nuliai.

\[\begin(lygiuoti) & A\cdot \left(B+C \right)=A\ctaškas B+A\ctaškas C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\ctaškas C. \\ \end (lygiuoti)\]

Kitaip tariant, jei jums reikia padauginti vieną matricą iš dviejų kitų sumos, galite padauginti ją iš šių „kitų dviejų“ ir tada pridėti rezultatus. Praktikoje dažniausiai tenka atlikti priešingą operaciją: pastebime tą pačią matricą, išimame ją iš skliaustų, atliekame sudėjimą ir taip supaprastiname savo gyvenimą :)

Pastaba: pasiskirstymui apibūdinti turėjome parašyti dvi formules: kur suma yra antrajame faktoriuje ir kur suma yra pirmame. Taip atsitinka būtent dėl ​​to, kad matricos daugyba yra nekomutacinė (ir apskritai nekomutacinėje algebroje yra daug smagių dalykų, kurie net neateina į galvą dirbant su paprastais skaičiais). O jei, pavyzdžiui, egzamine reikia užsirašyti šią savybę, būtinai parašykite abi formules, kitaip mokytojas gali šiek tiek supykti.

Gerai, visos tai buvo pasakos apie kvadratines matricas. O kaip su stačiakampiais?

Stačiakampių matricų atvejis

Bet nieko – viskas kaip ir su kvadratiniais.

3 užduotis. Atlikite daugybą:

\[\left[ \begin (matrica) \begin (matrica) 5 \\ 2 \\ 3 \\\pabaiga (matrica) & \begin (matrica) 4 \\ 5 \\ 1 \\\pabaiga (matrica) \ \\pabaiga(matrica) \right]\cdot \left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(masyvas) \right]\]

Sprendimas. Turime dvi matricas: $A=\kairė[ 3\kartai 2 \dešinė]$ ir $B=\kairysis[ 2\kartas 2 \dešinė]$. Iš eilės surašykime skaičius, nurodančius dydžius:

Kaip matote, centriniai du skaičiai sutampa. Tai reiškia, kad matricos yra nuoseklios ir gali būti padaugintos. Be to, išvestyje gauname matricą $C=\left[ 3\time 2 \right]$:

\[\begin(matrica) & \left[ \begin(matrica) \begin(matrica) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrica) & \begin(matrica) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matrica) \\\pabaiga(matrica) \right]\cdot \left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(masyvas) \right]=\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(masyvas) \right]= \\ & =\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\pabaiga (masyvas) \dešinė]. \end(lygiuoti)\]

Viskas aišku: galutinė matrica turi 3 eilutes ir 2 stulpelius. Gana $=\left[ 3\time 2 \right]$.

Atsakymas: $\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) \begin(masyvas)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(masyvas) & \begin(matrica) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(matrica) \\\end(masyvas) \right]$.

Dabar pažvelkime į vieną geriausių treniruočių užduočių tiems, kurie tik pradeda dirbti su matricomis. Jame reikia ne tik padauginti kokias dvi tabletes, bet pirmiausia nustatyti: ar toks dauginimas leistinas?

4 uždavinys. Raskite visas įmanomas matricų porines sandaugas:

\\]; $B=\left[ \begin (matrica) \begin (matrica) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\pabaiga (matrica) & \begin (matrica) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\pabaiga(matrica) \\\pabaiga(matrica) \right]$; $C=\left[ \begin(matrica)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrica) \right]$.

Sprendimas. Pirmiausia užsirašykime matricų dydžius:

\;\ B=\kairė[ 4\kartai 2 \dešinė];\ C=\kairė[ 2\kartai 2 \dešinė]\]

Pastebime, kad matrica $A$ gali būti suderinta tik su matrica $B$, nes $A$ stulpelių skaičius yra 4, o tiek eilučių turi $B$. Todėl galime rasti produktą:

\\cdot \left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(masyvas) \right]=\ left[ \begin (masyvas)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(masyvas) \right]\]

Siūlau skaitytojui tarpinius veiksmus atlikti savarankiškai. Pastebėsiu tik tai, kad gautos matricos dydį geriau nustatyti iš anksto, net prieš atliekant bet kokius skaičiavimus:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

Kitaip tariant, tiesiog pašaliname „tranzito“ koeficientus, kurie užtikrino matricų nuoseklumą.

Kokie dar variantai galimi? Žinoma, galima rasti $B\cdot A$, nes $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, taigi užsakyta pora $\ left(B ;A \right)$ yra nuoseklus, o produkto matmenys bus:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

Trumpai tariant, išvestis bus matrica $\left[ 4\time 4 \right]$, kurios koeficientus galima nesunkiai apskaičiuoti:

\\cdot \left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(masyvas) \right]=\ left[ \begin(masyvas)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 ir -8 \\\pabaiga (masyvas) \right]\]

Akivaizdu, kad taip pat galime susitarti dėl $C\cdot A$ ir $B\cdot C$ – ir viskas. Todėl mes tiesiog užrašome gautus produktus:

Buvo lengva :)

Atsakymas: $AB=\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(masyvas) \right]$; $BA=\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(masyvas) \right]$; $CA=\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(masyvas) \right]$; $BC=\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(masyvas) \right]$.

Apskritai labai rekomenduoju šią užduotį atlikti patiems. Ir dar viena panaši užduotis, kuri yra namų darbuose. Šios iš pažiūros paprastos mintys padės jums praktikuoti visus pagrindinius matricos daugybos etapus.

Tačiau istorija tuo nesibaigia. Pereikime prie ypatingų dauginimo atvejų :)

Eilučių vektorius ir stulpelio vektorius

Viena iš labiausiai paplitusių matricos operacijų yra dauginimas iš matricos, kuri turi vieną eilutę arba vieną stulpelį.

Apibrėžimas. Stulpelio vektorius yra $\left[ m\times 1 \right]$ dydžio matrica, t.y. susidedantis iš kelių eilučių ir tik vieno stulpelio.

Eilučių vektorius yra $\left[ 1\times n \right]$ dydžio matrica, t.y. susidedanti iš vienos eilutės ir kelių stulpelių.

Tiesą sakant, mes jau susidūrėme su šiais objektais. Pavyzdžiui, įprastas trimatis vektorius iš stereometrijos $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ yra ne kas kita, kaip eilutės vektorius. Žvelgiant iš teorinės pusės, tarp eilučių ir stulpelių beveik nėra skirtumo. Tik derindami su aplinkinėmis daugiklio matricomis turite būti atsargūs.

5 užduotis. Atlikite daugybą:

\[\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(masyvas) \right] \cdot \left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(masyvas) \right]\]

Sprendimas. Čia turime suderintų matricų sandaugą: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Suraskime šią dalį:

\[\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(masyvas) \right] \cdot \left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(masyvas) \right]=\left[ \begin(masyvas)(*(35) )(r)) 2\ctaškas 1+\kairė(-1 \dešinė)\ctaškas 2+3\ctaškas \kairė(-1 \dešinė) \\ 4\ctaškas 1+2\ctaškas 2+0\ctaškas 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(masyvas) \right]=\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\pabaiga (masyvas) \right]\]

Atsakymas: $\left[\begin(masyvas)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(masyvas) \right]$.

6 užduotis. Atlikite daugybą:

\[\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(masyvas) \right]\cdot \left[ \begin(masyvas)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(masyvas) \right]\]

Sprendimas. Vėlgi viskas sutarta: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Skaičiuojame prekę:

\[\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(masyvas) \right]\cdot \left[ \begin(masyvas)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(masyvas) \right]=\left[ \begin(masyvas)(*(35)( ) r))5 & -19 & 5 \\\end(masyvas) \right]\]

Atsakymas: $\left[ \begin(matrica) 5 & -19 & 5 \\\end(matrica) \right]$.

Kaip matote, padauginus eilutės vektorių ir stulpelio vektorių iš kvadratinės matricos, išvesties rezultatas visada yra tokio paties dydžio eilutė arba stulpelis. Šis faktas turi daug pritaikymų – nuo ​​tiesinių lygčių sprendimo iki visokių koordinačių transformacijų (kurios galiausiai taip pat susiveda į lygčių sistemas, bet nekalbėkime apie liūdnus dalykus).

Manau, čia viskas buvo akivaizdu. Pereikime prie paskutinės šios dienos pamokos dalies.

Matricos eksponencija

Tarp visų daugybos operacijų ypatingo dėmesio nusipelno eksponencija – štai kai tą patį objektą padauginame iš savęs kelis kartus. Matricos nėra išimtis, jas taip pat galima pakelti į įvairias galias.

Visada susitariama dėl tokių darbų:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

Ir jie žymimi lygiai taip pat, kaip ir įprasti laipsniai:

\[\begin(lygiuoti) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \end(lygiuoti)\]

Iš pirmo žvilgsnio viskas paprasta. Pažiūrėkime, kaip tai atrodo praktiškai:

7 užduotis. Pakelkite matricą iki nurodytos galios:

$((\left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right])^(3))$

Sprendimas. Na gerai, statykime. Pirmiausia išlyginkime kvadratą:

\[\begin(lygiuoti) & ((\left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right])^(2))=\left[ \begin(matrica) ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right]\cdot \left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right]= \\ & =\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(masyvas) \right]= \\ & =\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\pabaiga (masyvas) \right] \end (lygiuoti)\]

\[\begin(lygiuoti) & ((\left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right])^(3))=((\left[ \begin (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right])^(3))\cdot \left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\pabaiga( matrica) \right]= \\ & =\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(masyvas) \right]\cdot \left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right]= \\ & =\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 ir 1 \\\pabaiga (masyvas) \right] \end (lygiuoti)\]

tai viskas :)

Atsakymas: $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right]$.

8 uždavinys. Pakelkite matricą iki nurodytos galios:

\[((\left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right])^(10))\]

Sprendimas. Tik neverk dabar dėl to, kad „laipsnis per didelis“, „pasaulis neteisingas“ ir „dėstytojai visiškai prarado savo krantus“. Iš tikrųjų tai lengva:

\[\begin(lygiuoti) & ((\left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right])^(10))=((\left[ \begin (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ pabaiga(matrica) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrica) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\pabaiga (matrica) \right]\cdot \left[ \begin (matrica) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(matrica) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right]\cdot \left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right ] \right)= \\ & =\left[ \begin(matrica) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right]\cdot \left[ \begin(matrica) 1 & 4 \\ 0 ir 1 \\\pabaiga(matrica) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrica) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right] \end(lygiuoti)\ ]

Atkreipkite dėmesį, kad antroje eilutėje naudojome daugybos asociatyvumą. Tiesą sakant, mes jį naudojome atlikdami ankstesnę užduotį, bet ten tai buvo numanoma.

Atsakymas: $\left[ \begin(matrica) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right]$.

Kaip matote, pakelti matricą į galią nėra nieko sudėtingo. Paskutinį pavyzdį galima apibendrinti:

\[((\left[ \begin(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right])^(n))=\left[ \begin(masyvas)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(masyvas) \right]\]

Šį faktą nesunku įrodyti matematine indukcija arba tiesiogine daugyba. Tačiau ne visada įmanoma pagauti tokius modelius, kai keliama į valdžią. Todėl būkite atsargūs: dažnai „atsitiktinai“ padauginti kelias matricas yra lengviau ir greičiau, nei ieškoti kokių nors šablonų.

Apskritai neieškokite aukštesnės prasmės ten, kur jos nėra. Apibendrinant, panagrinėkime didesnės matricos eksponenciją – tiek, kiek $\left[ 3\time 3 \right]$.

9 uždavinys. Pakelkite matricą iki nurodytos galios:

\[((\left[ \begin(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \right])^(3))\]

Sprendimas. Neieškokime raštų. Dirbame į priekį:

\[((\left[ \begin(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \right])^(3))=(( \left[ \begin(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (matrica)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \right]\]

Pirmiausia išlyginkime šią matricą kvadratu:

\[\begin(lygiuoti) & ((\left[ \begin(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \right])^( 2))=\left[ \begin(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \right]\cdot \left[ \begin(matrica ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\pabaiga(matrica) \right]= \\ & =\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(masyvas) \right] \end(lygiuoti)\]

Dabar supjaustykime jį kubeliu:

\[\begin(lygiuoti) & ((\left[ \begin(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \right])^( 3))=\left[ \begin(masyvas)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(masyvas) \right] \cdot \left[ \begin(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrica) \right]= \\ & =\left[ \begin( masyvas)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(masyvas) \right] \end(lygiuoti)\]

tiek. Problema išspręsta.

Atsakymas: $\left[ \begin(matrica) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrica) \right]$.

Kaip matote, skaičiavimų apimtis tapo didesnė, bet prasmė nė kiek nepasikeitė :)

Tuo pamoka baigiama. Kitą kartą svarstysime atvirkštinį veiksmą: naudodami esamą produktą ieškosime pirminių faktorių.

Kaip tikriausiai jau atspėjote, kalbėsime apie atvirkštinę matricą ir jos radimo būdus.

Tai koncepcija, kuri apibendrina visas galimas operacijas, atliekamas su matricomis. Matematinė matrica – elementų lentelė. Apie stalą, kur m linijos ir n stulpelius, teigiama, kad ši matrica turi matmenis mįjungta n.

Bendras matricos vaizdas:

Už matriciniai sprendimai Būtina suprasti, kas yra matrica, ir žinoti pagrindinius jos parametrus. Pagrindiniai matricos elementai:

• Pagrindinė įstrižainė, susidedanti iš elementų a 11, a 22…a mn.
• Šoninė įstrižainė, susidedanti iš elementų a 1n , a 2n-1 .....a m1.

Pagrindiniai matricų tipai:

• Kvadratas yra matrica, kurioje eilučių skaičius = stulpelių skaičius ( m=n).
• Nulis – kur visi matricos elementai = 0.
• Transponuota matrica – matrica IN, kuris buvo gautas iš pradinės matricos A eilutes pakeičiant stulpeliais.
• Vienybė – visi pagrindinės įstrižainės elementai = 1, visi kiti = 0.
• Atvirkštinė matrica yra matrica, kurią padauginus iš pradinės matricos gaunama tapatybės matrica.

Matrica gali būti simetriška pagrindinės ir antrinės įstrižainės atžvilgiu. Tai yra, jei a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, tada matrica yra simetriška pagrindinei įstrižai. Tik kvadratinės matricos gali būti simetriškos.

Matricų sprendimo metodai.

Beveik viskas matricos sprendimo metodai susideda iš jo determinanto suradimo n-oji tvarka ir dauguma jų yra gana sudėtingos. Norint rasti 2 ir 3 eilės determinantą, yra kiti, racionalesni metodai.

2 eilės determinantų radimas.

Apskaičiuoti matricos determinantą A 2 eilės, antrinės įstrižainės elementų sandaugą reikia atimti iš pagrindinės įstrižainės elementų sandaugos:

3 eilės determinantų radimo metodai.

Žemiau pateikiamos 3 eilės determinanto radimo taisyklės.

Supaprastinta trikampio taisyklė kaip viena iš matricos sprendimo metodai, galima pavaizduoti taip:

Kitaip tariant, pirmojo determinanto elementų, sujungtų tiesiomis linijomis, sandauga paimama su „+“ ženklu; Be to, 2-ojo determinanto atveju atitinkami produktai imami su „-“ ženklu, tai yra, pagal šią schemą:

At sprendžiant matricas naudojant Sarrus taisyklę, determinanto dešinėje, pridėkite pirmąsias 2 stulpelius ir atitinkamų elementų sandaugos pagrindinėje įstrižainėje ir lygiagrečiose jai įstrižainėse paimkite su „+“ ženklu; ir antrinės įstrižainės ir jai lygiagrečių įstrižainių atitinkamų elementų sandaugos su ženklu „-“:

Determinanto išskaidymas eilutėje ar stulpelyje sprendžiant matricas.

Determinantas lygus determinanto eilutės elementų ir jų algebrinių papildinių sandaugų sumai. Paprastai pasirenkama eilutė / stulpelis, kuriame yra nuliai. Eilutė ar stulpelis, išilgai kurio atliekamas skaidymas, bus pažymėtas rodykle.

Determinanto sumažinimas iki trikampio formos sprendžiant matricas.

At sprendžiant matricas determinanto redukavimo į trikampę metodą, jie veikia taip: naudojant paprasčiausias eilučių ar stulpelių transformacijas, determinantas tampa trikampio formos ir tada jo reikšmė, atsižvelgiant į determinanto savybes, bus lygi sandaugai elementų, kurie yra pagrindinėje įstrižainėje.

Laplaso teorema matricoms spręsti.

Sprendžiant matricas naudojant Laplaso teoremą, reikia žinoti pačią teoremą. Laplaso teorema: Tegu Δ - tai yra lemiamas veiksnys n– įsakymas. Mes pasirenkame bet kurį k eilučių (arba stulpelių). k≤ n - 1. Šiuo atveju visų nepilnamečių produktų suma k- užsakymas, esantis pasirinktame k eilučių (stulpelių), pagal jų algebrinius papildinius bus lygūs determinantui.

Atvirkštinės matricos sprendimas.

Veiksmų seka, skirta atvirkštinės matricos sprendimai:

1. Nustatykite, ar duota matrica yra kvadratinė. Jei atsakymas yra neigiamas, tampa aišku, kad jam negali būti atvirkštinė matrica.
2. Skaičiuojame algebrinius papildinius.
3. Sudarome sąjunginę (abipusę, adjungtinę) matricą C.
4. Atvirkštinę matricą sudarome iš algebrinių priedų: visi adjungtinės matricos elementai C padalinti iš pradinės matricos determinanto. Galutinė matrica bus reikiama atvirkštinė matrica, palyginti su duota.
5. Tikriname atliktą darbą: padauginame pradinę matricą ir gautą matricą, rezultatas turėtų būti tapatumo matrica.

Matricinių sistemų sprendimas.

Už matricinių sistemų sprendimai Dažniausiai naudojamas Gauso metodas.

Gauso metodas yra standartinis tiesinių algebrinių lygčių (SLAE) sistemų sprendimo metodas ir susideda iš to, kad kintamieji yra eliminuojami nuosekliai, t. iš jo nuosekliai, pradedant nuo pastarojo (pagal skaičių), raskite kiekvieną sistemos elementą.

Gauso metodas yra universaliausias ir geriausias įrankis ieškant matricinių sprendimų. Jei sistemoje yra begalinis sprendinių skaičius arba sistema nesuderinama, tai jos negalima išspręsti naudojant Cramerio taisyklę ir matricos metodą.

Gauso metodas taip pat apima tiesioginius (išplėstinės matricos sumažinimas į laipsnišką formą, t. y. nulių gavimą po pagrindine įstrižaine) ir atvirkštinį (nulių gavimą virš pagrindinės išplėstinės matricos įstrižainės) judesius. Judėjimas pirmyn yra Gausso metodas, o atvirkštinis judėjimas yra Gauso-Jordano metodas. Gauso-Jordano metodas nuo Gauso metodo skiriasi tik kintamųjų eliminavimo seka.

Matricų sprendimas– sąvoka, apibendrinanti operacijas su matricomis. Matematinė matrica yra elementų lentelė. Panaši lentelė su m eilučių ir n stulpelių yra m x n matrica.
Bendras matricos vaizdas

Pagrindiniai matricos elementai:
Pagrindinė įstrižainė. Jį sudaro elementai a 11, a 22.....a mn
Šoninė įstrižainė. Jį sudaro elementai a 1n ir 2n-1.....a m1.
Prieš pereidami prie matricų sprendimo, apsvarstykite pagrindinius matricų tipus:
Kvadratas– kuriame eilučių skaičius lygus stulpelių skaičiui (m=n)
Nulis – visi šios matricos elementai yra lygūs 0.
Transponuota matrica- matrica B, gauta iš pradinės matricos A, eilutes pakeitus stulpeliais.
Vienišas– visi pagrindinės įstrižainės elementai lygūs 1, visi kiti – 0.
Atvirkštinė matrica- matrica, padauginta iš kurios pradinė matrica sukuria tapatybės matricą.
Matrica gali būti simetriška pagrindinės ir antrinės įstrižainės atžvilgiu. Tai yra, jei a 12 = a 21, a 13 = a 31,…a 23 = a 32…. a m-1n =a mn-1. tada matrica yra simetriška pagrindinei įstrižai. Tik kvadratinės matricos yra simetriškos.
Dabar pereikime tiesiai prie klausimo, kaip išspręsti matricas.

Matricos papildymas.

Matricos gali būti pridedamos algebriškai, jei jų matmenys yra vienodi. Norėdami pridėti matricą A su matrica B, turite pridėti A matricos pirmojo stulpelio pirmosios eilutės elementą su pirmosios matricos B eilutės pirmuoju elementu, pirmosios matricos A eilutės antrojo stulpelio elementą. su pirmosios matricos B eilutės antrojo stulpelio elementu ir kt.
Papildymo savybės
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)

Matricos daugyba.

Matricas galima padauginti, jei jos yra nuoseklios. Matricos A ir B laikomos nuosekliomis, jei matricos A stulpelių skaičius yra lygus matricos B eilučių skaičiui.
Jei A matmenys yra m x n, B matmenys n x k, tada matrica C=A*B bus matmenų m x k ​​ir sudaryta iš elementų

Kur C 11 yra matricos A eilutės ir matricos B stulpelio elementų porinių sandaugų suma, tai yra, elementas yra pirmosios matricos A eilutės pirmojo stulpelio elemento sandaugų suma su pirmosios matricos B eilutės pirmojo stulpelio elementu, pirmosios matricos A eilės antrojo stulpelio elementu su antrosios eilės matricų B pirmojo stulpelio elementu ir kt.
Dauginant svarbu daugybos tvarka. A*B nėra lygus B*A.

Determinanto radimas.

Bet kuri kvadratinė matrica gali generuoti determinantą arba determinantą. Rašo det. Arba | matricos elementai |
2 matmenų matricoms 2. Nustatykite skirtumą tarp pagrindinės ir antrinės įstrižainės elementų sandaugos.

Matricoms, kurių matmenys yra 3 x 3 ar daugiau. Determinanto radimo operacija yra sudėtingesnė.
Supažindinkime su sąvokomis:
Elementas nepilnametis– yra matricos determinantas, gautas iš pradinės matricos, perbraukus pradinės matricos eilutę ir stulpelį, kuriame buvo šis elementas.
Algebrinis papildinys matricos elementas yra šio elemento minoro sandauga iš -1 iki pradinės matricos, kurioje buvo šis elementas, eilutės ir stulpelio sumos laipsnio.
Bet kurios kvadratinės matricos determinantas yra lygus bet kurios matricos eilutės elementų sandaugai pagal atitinkamus algebrinius papildinius.

Matricos inversija

Matricos inversija yra matricos atvirkštinės vertės suradimo procesas, kurio apibrėžimą pateikėme pradžioje. Atvirkštinė matrica žymima taip pat, kaip ir pradinė, pridedant laipsnį -1.
Raskite atvirkštinę matricą naudodami formulę.
A -1 = A * T x (1/|A|)
Kur A * T yra perkelta algebrinių komplementų matrica.

Padarėme matricų sprendimo pavyzdžius vaizdo pamokos forma

:

Jei norite tai išsiaiškinti, būtinai pažiūrėkite.

Tai yra pagrindinės matricų sprendimo operacijos. Jei turite papildomų klausimų apie kaip išspręsti matricas, drąsiai rašykite komentaruose.

Jei vis tiek negalite to išsiaiškinti, pabandykite susisiekti su specialistu.