Mechaninė pavarų dėžė: įrenginys, tipai, savybės. Kombinatorikos uždavinių sprendimų pavyzdžiai

Parašykite programą, kuri palygintų du sveikuosius skaičius, įvestus iš klaviatūros. Programa turi nurodyti, kuris skaičius didesnis, arba, jei skaičiai lygūs, rodyti atitinkamą pranešimą.

Įveskite du sveikuosius skaičius ir paspauskite Enter.
-> 34 67
34 mažiau nei 67

su Ada.Text_IO; naudoti Ada.Text_IO; su Ada.Integer_Text_IO; naudoti Ada.Integer_Text_IO; Procedūra pagrindinė yra A, B: Sveikasis skaičius; begin Put_Line("Įveskite du sveikuosius skaičius vienoje eilutėje ir paspauskite Enter.");< B then Put(Item =>Įdėti("-> ");

Gauti(A); Gauti(B); --Įveskite 2 skaičius, jei A > B, tada Put(Prekė =>; A, plotis =>; 1);

-> 1 2 3
Įdėkite (" daugiau "); 3

Įdėti(Prekė => B, plotis => 1); elsif A A, plotis => 1); Įdėti(" mažiau nei ");Įdėti(Prekė => B, plotis => 1); else Put("Įvesti skaičiai yra lygūs!"); end if; pabaigos pagrindinis; Pateikiami trys sveikieji skaičiai. Raskite didžiausią iš jų (programa turėtų atspausdinti tiksliai vieną sveikąjį skaičių). Šioje užduotyje didžiausias yra skaičius, kuris yra ne mažesnis nei bet kuris kitas. Daugiausia trys skaičiai: su Ada.Text_IO ; naudoti Ada.Text_IO ; su Ada.Integer_Text_IO ; naudoti Ada.Integer_Text_IO ; Procedūra pagrindinė yra A, B, C: Sveikasis skaičius; maks: sveikasis skaičius; pradėti Put_Line( "Įveskite tris sveikuosius skaičius vienoje eilutėje ir paspauskite Enter.") ; Įdėkite("-> " ) ; Gauti(A); Gauti(B); Gauti(C) ; --Įveskite tris sveikuosius skaičius max:= A;

-- Pagal numatytuosius nustatymus manome, kad skaičius A yra didžiausias

Duoti trys natūralieji skaičiai A, B, C. Nustatykite, ar yra trikampis su tokiomis kraštinėmis. Jei trikampis egzistuoja, atspausdinkite pranešimą, kad trikampis su šiomis kraštinėmis egzistuoja, kitu atveju atspausdinkite, kad trikampio nėra.

Įveskite tris trikampio kraštines ir paspauskite Enter.
-> 3 4 5
Egzistuoja trikampis, kurio kraštinės yra 3, 4, 5.

Trikampis yra trys taškai, kurie nėra vienoje tiesėje. Trikampis egzistuoja tik tada, kai bet kurių dviejų jo kraštinių suma yra didesnė už trečiąją.

su Ada.Integer_Text_IO ; naudoti Ada.Integer_Text_IO ; -- Skaityti sveikuosius skaičius su Ada.Text_IO ; naudoti Ada.Text_IO ; -- Norėdami išvesti eilutes Procedūra pagrindinė yra a, b, c: Sveikasis skaičius; pradėti Put_Line( "Įveskite tris trikampio kraštines ir paspauskite Enter.Enter.") ; Įdėkite("-> " ) ; Gaukite (a) ; Gauti(b) ; Gauti(c); - Perskaitykite trikampio kraštines jei a + b > c ir tada b + c > a ir tada c + a > b tada - Išbandykite visas sąlygas vienoje eilutėjeĮdėkite ( - Išbandykite visas sąlygas vienoje eilutėje"Trikampis su šonais"

& Sveikasis skaičius"vaizdas(a) & "," & Sveikasis skaičius"vaizdas(b) & "," & Sveikasis skaičius"vaizdas(c) & " egzistuoja" ) ; else Įdėti(

& Sveikasis skaičius"vaizdas(a) & "," & Sveikasis skaičius"vaizdas(b) & "," & Sveikasis skaičius"vaizdas(c) & " neegzistuoja" ) ; end if ; end main;

su Ada.Integer_Text_IO; naudoti Ada.Integer_Text_IO; -- Skaityti sveikuosius skaičius su Ada.Text_IO; naudoti Ada.Text_IO; --Norėdami rodyti eilutes, procedūros pagrindinis yra a, b, c: Integer; begin Put_Line("Įveskite tris trikampio kraštines ir paspauskite Enter.Enter.");
-> 1 2 3
0

Įdėti("-> "); Gaukite (a); Gauti(b); Gauti(c); --Perskaitykite trikampio kraštines, jei a + b > c ir tada b + c > a ir c + a > b tada --Patikrinkite visas sąlygas vienoje eilutėje Put("Trikampis su kraštinėmis" & Sveikasis skaičius"image(a ) & "," & Sveikasis skaičius"vaizdas(b) & "," & Sveikasis skaičius"vaizdas(c) & " egzistuoja"); else Put("Trikampis su kraštinėmis" & Sveikasis skaičius"vaizdas(a) & "," & Sveikasis skaičius "image(b) & "," & Integer"vaizdas(c) & " neegzistuoja"); end if; pabaigos pagrindinis; Pateikiami trys sveikieji skaičiai. Nustatykite, kiek iš jų atitinka. Programa turi išvesti vieną iš skaičių: 3 (jei visi skaičiai vienodi), 2 (jei du vienodi) arba 0 (jei visi skaičiai skirtingi).Įveskite tris sveikuosius skaičius ir paspauskite Enter. su Ada.Text_IO ; naudoti Ada.Text_IO ; su Ada.Integer_Text_IO ; naudoti Ada.Integer_Text_IO ; procedūra Pagrindinis yra A, B, C: Sveikasis skaičius; pradėti Put_Line(Įdėti(Prekė => 2 , Plotis => 1 ) ; kitaip--Jei nėra vienodų skaičių

Įdėti(Prekė => 0 , Plotis => 1 ) ;

pabaiga jei ; pabaiga Pagrindinis;

4 4
5 5
su Ada.Text_IO; naudoti Ada.Text_IO; su Ada.Integer_Text_IO; naudoti Ada.Integer_Text_IO; procedūra Pagrindinis yra A, B, C: Sveikasis skaičius; begin Put_Line("Įveskite tris sveikuosius skaičius ir paspauskite Enter.");
Įdėti("-> ");
Gauti(A); Gauti(B); Gauti(C);

jei A = B ir tada A = C tada --Jei visi trys skaičiai sutampa su Put(Elementas => 3, plotis => 1); elsif A = B arba A = C arba B = C tada --Jei du skaičiai sutampa su Put(Elementas => 2, plotis => 1);

else --Jei nėra vienodų skaičių Įdėkite(Item => 0, Width => 1);
end if; pabaiga Pagrindinis; 4 4
Šachmatų bokštas juda horizontaliai arba vertikaliai. Atsižvelgdami į du skirtingus šachmatų lentos langelius, nustatykite, ar bokštas vienu ėjimu gali pereiti iš pirmo langelio į antrą. Programa kaip įvestį gauna keturis skaičius nuo 1 iki 8, pirmiausia nurodant stulpelio numerį ir eilutės numerį pirmam langeliui, tada antram langeliui. Programa turėtų išvesti „TAIP“, jei bokšto judėjimas iš pirmos ląstelės gali patekti į antrąjį, arba „NE“, kitaip. 5 5
NE

) ;Įdėti() ; Gauti(A); Gauti(B);Įdėti() ; "Įveskite antrojo langelio stulpelio ir eilučių numerius ir spustelėkite: ") ;<= 1 and then abs (B - D) <= 1 then Gauti(C) ; Gauti(D); jei abs (A–C)-- komanda abs() grąžina absoliučią

--skaičiaus reikšmė (modulis).<= 1 and then abs(B - D) <= 1 then -- команда abs() возвращает абсолютное --значение (модуль) числа Put("ДА"); else Put("НЕТ"); end if; end main;

Įdėti("TAIP" );

else --Jei nėra vienodų skaičių Įdėkite(Item => 0, Width => 1);
end if; pabaiga Pagrindinis; 4 4
Šachmatų bokštas juda horizontaliai arba vertikaliai. Atsižvelgdami į du skirtingus šachmatų lentos langelius, nustatykite, ar bokštas vienu ėjimu gali pereiti iš pirmo langelio į antrą. Programa kaip įvestį gauna keturis skaičius nuo 1 iki 8, pirmiausia nurodant stulpelio numerį ir eilutės numerį pirmam langeliui, tada antram langeliui. Programa turėtų išvesti „TAIP“, jei bokšto judėjimas iš pirmos ląstelės gali patekti į antrąjį, arba „NE“, kitaip. 5 5
NE
else Padėkite("NE" ); ) ;Įdėti() ; Gauti(A); Gauti(B);Įdėti() ; "Įveskite antrojo langelio stulpelio ir eilučių numerius ir spustelėkite: " pabaiga jei ; pabaigos pagrindinis;
su Ada.Integer_Text_IO; naudoti Ada.Integer_Text_IO; su Ada.Text_IO; naudoti Ada.Text_IO; Procedūra pagrindinė yra potipis checkboard yra sveikųjų skaičių diapazonas 1...8;

A, B, C, D: čekių lenta; begin Put_Line("Įveskite dviejų langelių stulpelių ir eilučių numerius:");

Put("Įveskite pirmojo langelio stulpelio ir eilučių numerius ir spustelėkite: ");
Gauti(A); Gauti(B);
Put("Įveskite antrojo langelio stulpelio ir eilučių numerius ir spustelėkite: ");
Gauti(C); Gauti(D);

jei abs (A–C)
else --Jei nėra vienodų skaičių Įdėkite(Item => 0, Width => 1);
end if; pabaiga Pagrindinis; 1 1
Šachmatų bokštas juda horizontaliai arba vertikaliai. Atsižvelgdami į du skirtingus šachmatų lentos langelius, nustatykite, ar bokštas vienu ėjimu gali pereiti iš pirmo langelio į antrą. Programa kaip įvestį gauna keturis skaičius nuo 1 iki 8, pirmiausia nurodant stulpelio numerį ir eilutės numerį pirmam langeliui, tada antram langeliui. Programa turėtų išvesti „TAIP“, jei bokšto judėjimas iš pirmos ląstelės gali patekti į antrąjį, arba „NE“, kitaip. 2 2
NE

Šachmatų vyskupas juda įstrižai. Atsižvelgdami į du skirtingus šachmatų lentos langelius, nustatykite, ar vyskupas vienu ėjimu gali pereiti iš pirmojo langelio į antrą. Programa kaip įvestį gauna keturis skaičius nuo 1 iki 8, pirmiausia nurodant stulpelio numerį ir eilutės numerį pirmam langeliui, tada antram langeliui. Programa turėtų išvesti „TAIP“, jei vyskupo judėjimas iš pirmos ląstelės gali patekti į antrąjį, arba „Ne“, kitaip.
else --Jei nėra vienodų skaičių Įdėkite(Item => 0, Width => 1);
end if; pabaiga Pagrindinis; 1 1
Šachmatų bokštas juda horizontaliai arba vertikaliai. Atsižvelgdami į du skirtingus šachmatų lentos langelius, nustatykite, ar bokštas vienu ėjimu gali pereiti iš pirmo langelio į antrą. Programa kaip įvestį gauna keturis skaičius nuo 1 iki 8, pirmiausia nurodant stulpelio numerį ir eilutės numerį pirmam langeliui, tada antram langeliui. Programa turėtų išvesti „TAIP“, jei bokšto judėjimas iš pirmos ląstelės gali patekti į antrąjį, arba „NE“, kitaip. 2 3
su Ada.Text_IO; naudoti Ada.Text_IO; su Ada.Integer_Text_IO; naudoti Ada.Integer_Text_IO; procedūra Pagrindinis yra A, B, C: Sveikasis skaičius; begin Put_Line("Įveskite tris sveikuosius skaičius ir paspauskite Enter.");

su Ada.Integer_Text_IO ; naudoti Ada.Integer_Text_IO ; su Ada.Text_IO ; naudoti Ada.Text_IO ; procedūra Pagrindinis yra potipis tikrinimo lenta yra sveikųjų skaičių diapazonas 1 ..8 ; ) ;Įdėti() ; Gauti(A); Gauti(B);Įdėti() ; "Įveskite antrojo langelio stulpelio ir eilučių numerius ir spustelėkite: " A, B, C, D: čekių lenta; pradėti Put_Line(

) ;

Gauti(C) ; Gauti(D);

Šachmatų vyskupas juda įstrižai. Atsižvelgdami į du skirtingus šachmatų lentos langelius, nustatykite, ar vyskupas vienu ėjimu gali pereiti iš pirmojo langelio į antrą. Programa kaip įvestį gauna keturis skaičius nuo 1 iki 8, pirmiausia nurodant stulpelio numerį ir eilutės numerį pirmam langeliui, tada antram langeliui. Programa turėtų išvesti „TAIP“, jei vyskupo judėjimas iš pirmos ląstelės gali patekti į antrąjį, arba „Ne“, kitaip.
else --Jei nėra vienodų skaičių Įdėkite(Item => 0, Width => 1);
end if; pabaiga Pagrindinis; 1 1
Šachmatų bokštas juda horizontaliai arba vertikaliai. Atsižvelgdami į du skirtingus šachmatų lentos langelius, nustatykite, ar bokštas vienu ėjimu gali pereiti iš pirmo langelio į antrą. Programa kaip įvestį gauna keturis skaičius nuo 1 iki 8, pirmiausia nurodant stulpelio numerį ir eilutės numerį pirmam langeliui, tada antram langeliui. Programa turėtų išvesti „TAIP“, jei bokšto judėjimas iš pirmos ląstelės gali patekti į antrąjį, arba „NE“, kitaip. 8 8
su Ada.Text_IO; naudoti Ada.Text_IO; su Ada.Integer_Text_IO; naudoti Ada.Integer_Text_IO; procedūra Pagrindinis yra A, B, C: Sveikasis skaičius; begin Put_Line("Įveskite tris sveikuosius skaičius ir paspauskite Enter.");

jei abs (A - C) = abs (B - D) arba A = D arba B = C, tada Put("TAIP" ) ; ) ;Įdėti() ; Gauti(A); Gauti(B);Įdėti() ; "Įveskite antrojo langelio stulpelio ir eilučių numerius ir spustelėkite: " else Padėkite("NE" );

pabaiga jei ; pabaiga Pagrindinis;

Šokoladas yra stačiakampio formos, padalintas į N × M griežinėlius. Šokoladą galima vieną kartą tiesia linija perlaužti į dvi dalis. Nustatykite, ar tokiu būdu galima nuo šokolado plytelės atplėšti tiksliai K riekelių. Programa kaip įvestį gauna tris skaičius: N, M, K. Programa turi išvesti vieną iš dviejų žodžių: „TAIP“ arba „Ne“.

jei abs (A–C)
4
2
6
NE

su Ada.Text_IO ; naudoti Ada.Text_IO ; su Ada.Integer_Text_IO ; naudoti Ada.Integer_Text_IO ; procedūra Pagrindinis yra N, M, K: Sveikasis skaičius; pradėti Put ( "Skilčių skaičius horizontaliai:") ; Gauti(N) ;Įdėkite ( „Skaičius vertikaliai:“) ; Gauti(M);Įdėkite ( „Kiek griežinėlių reikia atskirti:“) ; Gauti(K) ; jei K > M * N tada

-Jei jūsų paprašys nulaužti nuo šokolado plytelės daugiau nei patį šokoladą

Įdėkite ("NE");

elsif K rem N = 0 ir tada K >= N tada 23
-- Nutraukite horizontaliai 52
Įdėti("TAIP" ); 8
elsif K rem M = 0 ir tada K >= M tada 43
-- Nutraukite vertikaliai 8

Įdėti("TAIP" );

a, b, tmp: sveikasis skaičius; -- Kintamųjų deklaravimas. Du pagrindiniai ir vienas pagalbinis a:= 3; --Inicijuoti kintamąjį a b:= 5; --Kintamojo b inicijavimas --Pats algoritmas: tmp:= a; --Dabar tmp = 3 ir a = 3 a:= b; --Dabar a = 5 ir b = 5; b:=tmp; – Dabar b = 3

su Ada.Text_IO ; naudoti Ada.Text_IO ; su Ada.Integer_Text_IO ; naudoti Ada.Integer_Text_IO ; procedūra Pagrindinis yra N, M, X, Y: Sveikasis skaičius; -- N - trumpoji pusė, M - ilgoji pusė: -- X - Atstumas iki vienos iš ilgųjų kraštų -- Y - Atstumas iki vienos iš trumpųjų kraštų Tmp: sveikasis skaičius; pradėti Put ( "Baseino plotis:") ; Gauti(N) ; Įdėkite ("Baseino ilgis:" ) ; Gauti(M);Įdėkite ( "Atstumas nuo Yasha iki ilgosios pusės: ") ; Gauti(X); Įdėkite ("Atstumas nuo Yasha iki trumposios pusės: " ) ; Gauti(Y); jei N > M tada --Jei įeinant sumaišytos pusės, pakeiskite jas: Tmp:= M; --Išsaugokite ilgį M į laikinąjį kintamąjį M: = N; – Priskirkite kintamajam M naują reikšmę N:= Tmp;< X then – Atkurkite ilgį M kintamajame N pabaiga jei ; Tmp:=X;-- Tarkime, kad minimalus atstumas yra X< Tmp then jei abs (N - X) --Jei atstumas iki antrosios ilgosios kraštinės yra mažesnis nei X, tada Tmp: = N - X; --minimalus atstumas lygus atstumui iki antrosios ilgosios pusės pabaiga jei ;< Tmp then jei Y--Jei atstumas iki trumposios pusės yra mažesnis nei nurodytas aukščiau - tada mažiausiai Gauti(A); Gauti(B); Gauti(C) ; Tmp:=Y;– Mažiausias atstumas yra Y

pabaiga jei ;< X then --Если до второго длинного бортика расстояние меньше X, то Tmp:= N - X; --минимальное расстояние равно расстоянию до второго длинного бортика end if; if Y < Tmp then --Если до короткого бортика расстояние меньше найденного выше --минимального, то Tmp:= Y; --Минимальное расстояние равно Y end if; if abs(M - Y) < Tmp then --Если до второго короткого бортика плыть ближе, то Tmp:= abs(M - Y); --минимальное расстояние равно расстоянию до второго короткого бортика end if; Put("Нужно проплыть минимум, чтобы выбраться из бассейна: "); Put(Item =>jei abs (M - Y)

Elektroniniai laikrodžiai rodo laiką h:mm:ss formatu (nuo 0:00:00 iki 23:59:59), tai yra, pirmiausia įrašomas valandų skaičius, tada reikia dviženklio minučių skaičiaus, tada reikalingas dviženklis sekundžių skaičius. Minučių ir sekundžių skaičius, jei reikia, užpildomas dviženkliu skaičiumi su nuliais. Nuo dienos pradžios praėjo N sekundžių. Atsispausdinkite, ką parodys laikrodis. Įvestis suteikiamas natūralusis skaičius N, ne didesnis kaip 10 7 (10000000). Išspausdinkite problemos atsakymą.

1 įvesties pavyzdys:
3602
1 išvesties pavyzdys:
1:00:02

2 įvesties pavyzdys:
129700
2 išvesties pavyzdys:
12:01:40

su Ada.Long_Integer_Text_IO ; naudoti Ada.Long_Integer_Text_IO ; su Ada.Text_IO ; naudoti Ada.Text_IO ; procedūra Pagrindinis yra potipis Sub_LI yra Long_Integer diapazonas 1 ..10000000 ; N: Sub_LI; h, m, s: ilgas_sveikasis skaičius; beginGet(N) ; h:= N/3600;- Mes gauname laikrodį. Likusi padalijimo dalis atmetama N: = N - h * 3600;- Gaukite likusias sekundes (atėmus valandas) jei h > 24 tada--Kadangi laikrodis negali rodyti > 24, viską pateikiame skaitoma forma h:= h rem 24 ;– Likusi dalyba iš 24 parodys tikslų valandų skaičių elsif h = 24 tada h:= 0 ; pabaiga jei ; m: = N/60;-- Gauna minučių< 10 then s:= N rem 60 ;-- Gauna sekundes Įdėti(Prekė => h, Plotis => 1 ) ; Įdėkite(":" ) ;-- Valandų išvestis ir ":"< 10 then jei m--Jei minučių skaičius yra mažesnis nei 10, išvestis prieš 0

Įdėti(Prekė => 0 , Plotis => 1 ) ;< 10 then --Если количество минут меньше 10, выводим ведущий 0 Put(Item =>pabaiga jei ;< 10 then --Если количество секунд меньше 10, выводим ведущий 0 Put(Item =>Įdėti(Prekė => m, Plotis => 1 ) ; Įdėkite(":" ) ;

-- Išvesties minutės ir ":"
jei s
1 2 1
--Jei sekundžių skaičius yra mažesnis nei 10, išvestis prieš 0
1 1 2

su Ada.Integer_Text_IO ; naudoti Ada.Integer_Text_IO ; su Ada.Text_IO ; naudoti Ada.Text_IO ; procedūra Pagrindinis yra A, B, C: Sveikasis skaičius; min, vidurio, maks.: Sveikasis skaičius; beginGet(A) ; Gauti(B); Gauti(C) ;--Ieškote minimalios vertės< min then min:= B; end if ; if C < min then min:= C; end if ; min:= A; jei B --Ieškote didžiausios vertės max:= A;< max then mid:= B; end if ; if C >jei B > max tai max:= B; pabaiga jei ;< max then mid:= C; end if ; Put(Item =>jei C > max tai max:= C; pabaiga jei ;

--Ieškoma vidutinės vertės< min then min:= B; end if; if C < min then min:= C; end if; --Ищем максимальное значение max:= A; if B >vidurys:= A;< max then mid:= B; end if; if C >jei B > min ir B< max then mid:= C; end if; Put(Item =>min ir C

min, plotis => 1 );
Įdėkite (" ");
Įdėti(Prekė => vidurys, plotis => 1 ) ;
Įdėkite (" ");

jei abs (A–C)
Įdėti(Prekė => maks., plotis => 1 ) ; pabaiga Pagrindinis; 1 2 3
su Ada.Integer_Text_IO; naudoti Ada.Integer_Text_IO; su Ada.Text_IO; naudoti Ada.Text_IO; procedūra Pagrindinis yra A, B, C: Sveikasis skaičius; 3 2 1
min, vidurio, maks.: Sveikasis skaičius; beginGet(A); Gauti(B); Gauti(C);

jei B max tada max:= B; end if; jei C > max tai max:= C; end if; --Ieškoma vidutinės reikšmės mid:= A; jei B > min ir B< min then mid:= min; min:= B1; end if ; if C1 < min then max:= min; min:= C1; end if ; if mid >min ir C min, plotis => 1);Įdėkite (" ");< min then mid:= min; min:= B2; end if ; if C2 < min then max:= min; min:= C2; end if ; if mid >Įdėti(Prekė => vidurys, plotis => 1); Įdėkite (" "); jei A1 = A2 ir tada B1 = B2 ir tada C1 = C2, tada Put_Line("Dėžutės lygios" ) ; elsif A1 >= A2 ir tada B1 >= B2 ir tada C1 >= C2 tada Put_Line(„Pirmoji dėžutė didesnė už antrą“<= A2 and then B1 <= B2 and then C1 <= C2 then Put_Line() ; elsif A1

„Pirmoji dėžutė mažesnė už antrą“< min then mid:= min; min:= B1; end if; if C1 < min then max:= min; min:= C1; end if; if mid >) ;< min then mid:= min; min:= B2; end if; if C2 < min then max:= min; min:= C2; end if; if mid >pabaiga jei ; pabaigos pagrindinis;<= A2 and then B1 <= B2 and then C1 <= C2 then Put_Line("Первая коробка меньше второй"); end if; end main;

su Ada.Integer_Text_IO; naudoti Ada.Integer_Text_IO; su Ada.Text_IO; naudoti Ada.Text_IO; Procedūra pagrindinė yra A1, B1, C1, A2, B2, C2: Sveikasis skaičius;

min, maks., vidurio, tmp: sveikasis skaičius; beginGet(A1); Gauti(B1); Gauti(C1); Gauti(A2); Gauti(B2); Gauti(C2);
--Kraštines sujungiame į ilgį A1 => A2, B1 => B2, C1 => C2: --A1 ir A2 yra ilgiausi, C1 ir C2 yra trumpiausi -- "Sukite" pirmąjį langelį: min. := A1 ;
vidurys:= B1; 423
maks.:= C1; 3
jei B1
max tada tmp:= mid;
vidurys:=maks.

max:=tmp; end if; A1:=min; B1: = vidurys; C1:= maks. (-- "Sukite" antrą langelį: min:= A2;) vidurys:= B2; (maks.:= C2;) jei B2 (max tada tmp:= mid;) vidurys:=maks. ( max:=tmp; ) jei B2 (end if;) vidurys:=maks. ( A2:=min; ) ; B2:=vidutinis; C2:= maks. end if; --Patikrinti langelių atitikimą ir parodyti rezultatą: jei A1 = A2 ir tada B1 = B2 ir tada C1 = C2, tada Put_Line("Dėžutės lygios"); 423 elsif A1 >= A2 and then B1 >= B2 and then C1 >= C2 then Put_Line("Pirmasis langelis didesnis nei antrasis"); (elsif A1) vidurys:= B2; (Parašykite programą, kuri apskaičiuoja tolimojo telefono skambučio kainą (vienos minutės kaina nustatoma pagal atstumą iki miesto, kuriame yra abonentas). Programos įvesties duomenys yra vietovės kodas ir skambučio trukmė. Toliau pateikiami kai kurių miestų kodai ir rekomenduojamas ekrano vaizdas, kai programa veikia:) jei B2 (Pokalbio telefonu kainos apskaičiavimas.) jei B2 (Įveskite pradinius duomenis: 4 Rajono kodas -> 1 ) Trukmė (sveikasis minučių skaičius) -> (Miestas: Vladivostokas) ; --Patikrinti langelių atitikimą ir parodyti rezultatą: jei A1 = A2 ir tada B1 = B2 ir tada C1 = C2, tada Put_Line("Dėžutės lygios"); Minutės kaina: 4 rubliai. (Skambučio kaina: 12 rublių.) vidurys:= B2; (su Ada.Integer_Text_IO ; naudoti Ada.Integer_Text_IO ; su Ada.Text_IO ; naudoti Ada.Text_IO ; procedūra Pagrindinė) jei B2 (Pokalbio telefonu kainos apskaičiavimas.) jei B2 (Įveskite pradinius duomenis: 2 Rajono kodas -> 1 ) Trukmė (sveikasis minučių skaičius) -> (Miestas: Vladivostokas) ; --Patikrinti langelių atitikimą ir parodyti rezultatą: jei A1 = A2 ir tada B1 = B2 ir tada C1 = C2, tada Put_Line("Dėžutės lygios"); 815 elsif A1 >= A2 and then B1 >= B2 and then C1 >= C2 then Put_Line("Pirmasis langelis didesnis nei antrasis"); (yra) vidurys:= B2; (Kodas, Len: sveikasis skaičius;) jei B2 (Pokalbio telefonu kainos apskaičiavimas.) jei B2 (Įveskite pradinius duomenis: 3 Rajono kodas -> 1 ) Trukmė (sveikasis minučių skaičius) -> (Miestas: Vladivostokas) ; --Patikrinti langelių atitikimą ir parodyti rezultatą: jei A1 = A2 ir tada B1 = B2 ir tada C1 = C2, tada Put_Line("Dėžutės lygios"); 846 elsif A1 >= A2 and then B1 >= B2 and then C1 >= C2 then Put_Line("Pirmasis langelis didesnis nei antrasis"); (pradėti) vidurys:= B2; (Įdėti_Line) jei B2 (Pokalbio telefonu kainos apskaičiavimas.) jei B2 („Skaičiuojant pokalbio telefonu kainą“. 1 ) Trukmė (sveikasis minučių skaičius) -> (Miestas: Vladivostokas) ; --Patikrinti langelių atitikimą ir parodyti rezultatą: jei A1 = A2 ir tada B1 = B2 ir tada C1 = C2, tada Put_Line("Dėžutės lygios"); ;Įdėti_Line ("Įveskite pradinius duomenis:") ; ; B2:=vidutinis;; ;Įdėkite

su Ada.Integer_Text_IO; naudoti Ada.Integer_Text_IO; su Ada.Text_IO; naudoti Ada.Text_IO; procedūra Pagrindinis yra kodas, Len: Integer; begin Put_Line("Telefoninio pokalbio kainos apskaičiavimas.");

Put_Line("Įveskite pradinius duomenis:"); Put("Vietos kodas -> "); Gauti(Kodas); Put("Trukmė (sveikasis minučių skaičius) -> "); Get(len); B2:=vidutinis; atvejis Kodas yra kai 423 => Put_Line("Miestas: Vladivostokas"); Put_Line("Kaina už minutę: 4 rubliai."); Put("Skambučio kaina: ");

Įdėti(Prekė => len * 4, plotis => 1); Put_Line(" patrinti.");

1 kai 095 => Put_Line("Miestas: Maskva");

2 Put_Line("Kaina už minutę: 2 rub.");

3 Put("Skambučio kaina: ");

4 Įdėti(Prekė => len * 2, plotis => 1); Put_Line(" patrinti.");

5. kai 815 => Put_Line("Miestas: Murmanskas");

6. Mokyklos valgykloje pietums ruošdavo pirmuosius patiekalus sriubą su mėsa ir vegetarišką sriubą, antrajam patiekalui – mėsą, kotletus ir žuvį, o desertui – ledus, vaisius ir pyragą. Kiek skirtingų variantų yra trijų patiekalų patiekalui?

7. Keliais būdais trys mokiniai gali sėdėti eilėje ant kėdžių? Užsirašykite visus galimus atvejus.

8 . Keliais būdais keturi (penki) žmonės gali stovėti iš eilės?

9 . Trys takai kyla į kalvą iš skirtingų pusių ir susilieja viršuje. Sukurkite kelis maršrutus, kaip pakilti ir nusileisti nuo kalno. Išspręskite tą pačią problemą, jei turite eiti aukštyn ir žemyn skirtingais keliais.

10 . Yra trys keliai, vedantys iš Akulovo į Rybnitsa ir keturi keliai iš Rybnitsa į Kitovo. Kokiais būdais galite keliauti iš Akulovo į Kitovą per Rybnitsa?

11 . Skiemuo vadinamas atviruoju, jei jis prasideda priebalsiu ir baigiasi balse. Kiek atvirų dviejų raidžių skiemenų galima parašyti naudojant raides „a“, „b“, „c“, „d“, „e“, „i“, „o“? Užsirašykite šiuos skiemenis.

12. Kiek skirtingų kostiumų galima pasiūti iš palaidinės ir sijono, jei yra 4 palaidinės ir 4 sijonai?

13. Kai Petya eina į mokyklą, jis kartais susitinka su vienu ar keliais savo draugais: Vasia, Lenya, Tolja. Išvardykite visus galimus atvejus, kurie gali įvykti.

14 . Užrašykite visus galimus dviženklius skaičius naudodami skaičius 7 ir 4.

15 . Miša planavo pirkti: pieštuką, liniuotę, bloknotą ir sąsiuvinį. Šiandien jis nusipirko tik dvi skirtingas prekes. Ką Miša galėtų nusipirkti, jei manytume, kad parduotuvėje yra visos jam reikalingos mokymo priemonės?

16 . Keturi žmonės paspaudė rankas.

17 Kiek rankų paspaudimų iš viso buvo?

18 . Kiek yra dviženklių skaičių, kuriuose nėra skaitmens 0?

19 . Užrašykite visus įmanomus triženklius skaičius, kuriuos galima padaryti iš skaičių 1 ir 2.

20 . Užrašykite visus galimus net triženklius skaičius, sudarytus iš 1 ir 2 skaitmenų.

21 . Užrašykite visus galimus dviženklius skaičius, kuriuose naudojami skaičiai 2, 8 ir 5.

22 . Kiek yra skirtingų dviženklių skaičių, kurių visi skaitmenys yra nelyginiai?

23 . Kokius triženklius skaičius galima parašyti naudojant skaičius 3, 7 ir 1, jei skaičiuje neturi būti identiškų skaitmenų? Kiek tokių skaičių?

24 . Kiek triženklių skaičių galima sudaryti iš skaitmenų 1, 2, 4, 6, jei nė vienas skaitmuo nenaudojamas daugiau nei vieną kartą? Kiek iš šių skaičių bus lyginių? Kiek nelyginių?

25. Klasėje yra 5 vienviečiai stalai. Kiek būdų ant jų galima pasodinti du (tris) naujai atvykusius moksleivius?

26 . Prisiminkite I. Krylovo pasakėčią „Kvartetas“:

Išdykęs Beždžionė, Asilas, Ožka ir kuokas Meškiukas pradėjo groti kvartetu. Jie muša lankus, kovoja, bet nėra prasmės. „Sustokite, broliai, sustokite! - šaukia beždžionė. - Palauk! Kaip turėtų skambėti muzika? Jūs ne taip sėdite“. Kiek skirtingų būdų šie muzikantai gali bandyti sėdėti? Ar tai galėtų pagerinti jų žaidimo kokybę?

27 . Berniukai ir mergaitės sėdi iš eilės ant sėdynių iš eilės, berniukai sėdi nelyginiuose, o mergaitės poriniuose. Kiek būdų tai galima padaryti, jei:

a) 3 berniukai ir 3 mergaitės sėdi 6 vietose;

b) 5 berniukai ir 5 merginos sėdi 10 vietų?

28 . Ant tuščios šaškių lentos reikia pastatyti dvi šaškes – juodą ir baltą. Kiek skirtingų pozicijų jie gali užimti lentoje?

29. Tegul automobilio numerį sudaro dvi raidės ir du skaičiai, pavyzdžiui, AB-53. Kiek skirtingų skaičių galite padaryti, jei naudosite 5 raides ir 6 skaičius?

30 . Automobilio numerį sudaro trys raidės ir keturi skaičiai. Kiek skirtingų valstybinių numerių yra (trys raidės paimtos iš 29 rusiškos abėcėlės raidžių)?

31 . Tarkime, reikėjo nueiti į biblioteką, taupomąją kasą, paštą ir pasitaisyti batus. Norint pasirinkti trumpiausią maršrutą, reikia apgalvoti visus galimus variantus. Kiek galimų maršrutų, jei biblioteka, taupyklė, paštas ir batsiuvys yra toli vienas nuo kito?

32. Tarkime, reikėjo nueiti į biblioteką, taupomąją kasą, paštą ir pasitaisyti batus. Norint pasirinkti trumpiausią maršrutą, reikia apgalvoti visus galimus variantus. Kiek yra pagrįstų maršrutų, jei biblioteka ir paštas yra šalia, bet toli nuo taupomosios kasos ir batsiuvio, esančios toli vienas nuo kito?

33. Tarp vagone važiavusių keleivių kilo gyva diskusija dėl keturių žurnalų. Paaiškėjo, kad visi prenumeruoja du žurnalus, o kiekvieną iš galimų dviejų žurnalų kombinacijų prenumeruoja vienas žmogus. Kiek žmonių buvo šioje grupėje?

34 . Yra penki kubeliai, kurie vienas nuo kito skiriasi tik spalva: 2 raudoni, 1 baltas ir 2 juodi. Yra dvi dėžės A ir B, o A talpina 2 kubelius, o B – 3. Kiek skirtingų būdų šiuos kubelius galima sudėti į A ir B dėžutes?

35. Kad carui-tėvui atgabentų jauninančius obuolius, Ivanas Tsarevičius turi rasti vienintelį tikrą kelią į stebuklingą sodą. Ivanas Tsarevičius trijų kelių išsišakojime sutiko seną varną ir štai ką iš jo išgirdo patarimas:

1) dabar eik teisingu keliu;

2) prie kito išsišakojimo nepasukti teisingu keliu;

3) trečiame išsišakojime nevažiuokite kairiuoju keliu.

Praskridęs balandis sušnibždėjo Ivanui Carevičiui, kad tik vienas varno patarimas buvo teisingas ir kad būtina eiti keliais skirtingomis kryptimis. Mūsų herojus atliko užduotį ir atsidūrė stebuklingame sode. Kokiu keliu jis važiavo?

2017-2018 Matematikos mokomieji darbai 11 kl

2 variantas (pagrindinis)

Kiekvienos užduoties atsakymas yra paskutinė dešimtainė trupmena, sveikas skaičius arba skaičių seka. Užduočių atsakymus surašykite darbo tekste esančiame atsakymų laukelyje, o po to perkelkite į atsakymo formą Nr.1 dešinėje nuo atitinkamos užduoties numerio. Jei atsakymas yra skaičių seka, parašykite šią seką atsakymo formoje Nr. 1be tarpų, kablelių ar kitų papildomų simbolių. Įrašykite kiekvieną skaičių, minuso ženklą ir kablelį į atskirą langelį. Matavimo vienetų rašyti nereikia.

Atsakymas: _________________.

2 . Raskite posakio prasmę:

Atsakymas: _________________.

3 . Mokykloje mergaitės sudaro 51% visų mokinių. Kiek mergaičių yra šioje mokykloje, jei jų 8 daugiau nei berniukų?

Atsakymas: _________________.

4 . Harmoninis trijų skaičių vidurkisA , b Irsu, apskaičiuojamas pagal formulę Raskite skaičių harmoninį vidurkį

Atsakymas: _________________.

5. Apskaičiuokite:

Atsakymas: _________________.

6 . Instituto vyrų bendrabutyje kiekviename kambaryje gali apsistoti ne daugiau kaip trys žmonės. Kiek mažiausia kambarių reikia 79 užmiesčio studentams apgyvendinti?

Atsakymas: _________________.

7 .Rasti lygties šaknį

Atsakymas: _________________.

8 . Butą sudaro du kambariai, virtuvė, koridorius ir vonios kambarys (žr. brėžinį). Pirmasis kambarys yra 4 m x 4 m, antrasis kambarys yra 4 m x 3,5 m, virtuvė - 4 m x 3,5 m, vonios kambarys - 1,5 m x 2 m Raskite koridoriaus plotą. Atsakymą pateikite kvadratiniais metrais.

Atsakymas: _________________.

9 . Nustatykite atitiktį tarp dydžių ir galimų jų reikšmių: kiekvienam pirmojo stulpelio elementui pasirinkite atitinkamą elementą iš antrojo stulpelio.

VERTYBĖS VERTYBĖS

A) komodos stalčiaus tūris 1) 0,75 l

B) vandens tūris Kaspijos jūroje 2) 78200 km 3

C) ryazhenka pakuotės tūris 3) 96 l

D) geležinkelio vagono tūris 4) 90 m 3

Lentelėje po kiekviena raide, atitinkančia reikšmę, nurodykite jos galimos reikšmės skaičių.

Atsakymas:

Atsakymas: _________________.

10 . Rusų kalbos olimpiadoje dalyviai susodinti į tris auditorijas. Pirmuosiuose dviejuose yra po 130 žmonių, likusieji nuvežami į rezervinę auditoriją kitame pastate. Suskaičiavus paaiškėjo, kad iš viso buvo 400 dalyvių. Raskite tikimybę, kad atsitiktinai pasirinktas dalyvis parašė konkursą laisvoje klasėje.

Atsakymas: _________________.

11 . Paveikslėlyje parodytas atmosferos slėgio verčių tam tikrame mieste per tris dienas grafikas. Savaitės dienos ir laikas nurodomi horizontaliai, o atmosferos slėgio reikšmės gyvsidabrio stulpelio milimetrais – vertikaliai. Raskite atmosferos slėgį trečiadienį 12 val. Atsakymą pateikite gyvsidabrio stulpelio milimetrais.

Atsakymas: ____________.

12. Iš taškoA nurodytiD Yra trys keliai. Per taškąIN Sunkvežimis per tašką važiuoja vidutiniu 44 km/h greičiuSU Autobusas važiuoja vidutiniu 36 km/h greičiu. Trečias kelias neturi tarpinių taškų, juo lengvasis automobilis važiuoja vidutiniu 48 km/h greičiu. Diagrama rodo atstumą tarp taškų kilometrais. Autobusas, sunkvežimis ir lengvasis automobilis iš punkto išvyko vienu metuA . Kuris automobilis patekoD vėliau nei kiti? Atsakyme nurodykite, kiek valandų ji buvo kelyje.

Atsakymas: _________________.

13. Taisyklinga šešiakampė piramidė su 1 briauna buvo priklijuota prie taisyklingos šešiakampės prizmės su briauna 1 taip, kad pagrindų kraštai sutaptų. Kiek veidų turi gautas daugiakampis (nematomos briaunos paveikslėlyje nerodomos)?

Atsakymas: _________________.

14. Paveikslėlyje parodytas funkcijos grafikas TaškaiA, B, C, DIrEnustatyti ant ašiesX keturi intervalai. Naudodami grafiką suderinkite kiekvieną intervalą su funkcijos charakteristika arba jos išvestine.

FUNKCIJOS AR IŠVEDINĖS CHARAKTERISTIKŲ INTERVALAI

A) (A; B) 1) funkcija keičia ženklą iš „–“ į „+“

B) (B; C) 2) išvestinė keičia ženklą iš „–“ į „+“

B) (C;D) 3) išvestinė keičia ženklą iš „+“ į „–“

G) (D; E) 4) funkcija yra teigiama ir didėja

Lentelėje po kiekviena raide nurodykite atitinkamą skaičių.

15 . Ant apskritimo su centruAPIE pažymėti taškaiA IrIN kad mažojo lanko ilgisAB yra lygus 3. Raskite didesnio lanko ilgį.

Atsakymas: _________________.

16 . Duotos dvi taisyklingos keturkampės prizmės formos dėžės. Pirmasis langelis yra keturis su puse karto žemesnis nei antrasis, o antrasis - tris kartus siauresnis nei pirmasis. Kiek kartų pirmosios dėžutės tūris yra didesnis už antrosios?

Atsakymas: _________________.

17. Kiekviena iš keturių nelygybių kairiajame stulpelyje atitinka vieną iš sprendinių dešiniajame stulpelyje. Nustatyti atitikmenis tarp nelygybių ir jų sprendimų.

NELYGYBĖS SPRENDIMAI

IN)

Lentelėje, pateiktoje atsakyme po kiekviena raide, įveskite atitinkamą sprendimo numerį.

Atsakymas:

18 . Žiemos olimpinėse žaidynėse Rusijos komanda iškovojo daugiau medalių nei Kanados komanda, Kanados komanda iškovojo daugiau nei Vokietijos, o Norvegijos komanda iškovojo mažiau nei Kanados komanda.

Pasirinkite teiginius, kurie yra teisingi nurodytomis sąlygomis.

1) Iš įvardintų komandų Kanados komanda užėmė antrąją vietą pagal medalių skaičių.

2) Tarp įvardintų komandų yra trys, kurios laimėjo vienodą skaičių medalių.

3) Vokietijos komanda iškovojo daugiau medalių nei Rusijos komanda.

4) Rusijos komanda iškovojo daugiau medalių nei kiekviena iš kitų trijų komandų.

Atsakyme nurodykite teisingų teiginių skaičius didėjančia tvarka.

Atsakymas: _________________.

19 . Porostriženklį skaičiųA susideda iš skaičių 3; 4; 8; 9, aporostriženklį skaičiųIN – iš skaičių 6; 7; 8; 9. Yra žinoma, kadIN = 2 A. Raskite numerįA. Atsakyme nurodykite bet kurį tokį skaičių, išskyrus numerį 3489.

Atsakymas: _________________.

20 . Stačiakampis yra padalintas į keturis mažus stačiakampius dviem tiesiais pjūviais. Trijų iš jų perimetrai, pradedant nuo viršaus į kairę, o po to pagal laikrodžio rodyklę, yra 17, 15 ir 18. Raskite ketvirtojo stačiakampio perimetrą.

Kurį radau DataGenetics svetainėje. Su šiuo straipsniu susijusias klaidas prašome siųsti asmenine žinute.

Pagal šią problemą kalėjime yra 100 kalinių, kiekvienas jų sunumeruotas nuo 1 iki 100. Kalėjimo prižiūrėtojas nusprendžia suteikti kaliniams galimybę išeiti į laisvę, pasako jiems testo sąlygas ir jei visi kaliniai išlaikys testą, tada jie bus išleisti. Jei nors vienas iš jų neišlaikys testo, visi kaliniai mirs.

Užduotis

Kalėjimo prižiūrėtojas nueina į slaptą kambarį ir paruošia 100 dėžių su dangčiais. Ant kiekvienos dėžutės jis uždeda skaičius, sunumeruotus nuo 1 iki 100. Tada atneša 100 popierinių tablečių pagal kalinių skaičių ir šias lenteles sunumeruoja nuo 1 iki 100. Po to jis sumaišo 100 tablečių ir įdeda po vieną tabletę į kiekvieną dėžutę. uždarant dangtį. Kaliniai nemato, kad kalėjimo prižiūrėtojas atlieka visus šiuos veiksmus.

Prasideda varžybos, kalėjimo prižiūrėtojas nuveda kiekvieną kalinį po vieną į kambarį su dėžėmis ir sako kaliniams, kad jie turi surasti dėžutę, kurioje bus lentelė su kalinio numeriu. Kaliniai bando surasti savo numerį atidarydami dėžes. Kiekvienam asmeniui leidžiama atidaryti iki 50 dėžių; jei kiekvienas iš kalinių ras savo numerį, tada kaliniai bus paleisti, jei bent vienas iš jų neras savo numerio per 50 bandymų, tada visi kaliniai mirs.

Kad kaliniai būtų paleisti, VISI kaliniai turi išlaikyti testą.

Taigi kokia tikimybė, kad kaliniai bus atleisti?

Kaliniui atidarius dėžutę ir patikrinus ženklą, ji įdedama atgal į dėžę ir vėl uždaromas dangtis;
Plokštės vietomis nekeičiamos;
Prasidėjus testui, kaliniai negali vienas kitam palikti įkalčių arba kaip nors bendrauti tarpusavyje;
Prieš pradedant testą, kaliniams leidžiama aptarti strategiją.

Kokia yra geriausia kalinių strategija?

Papildomas klausimas:

Jei kalinys (ne testo dalyvis) galės patekti į slaptą kambarį prieš bandymo pradžią, apžiūrėkite visus ženklus visuose langeliuose ir (neprivaloma, bet nebūtina) sukeiskite du ženklus iš dviejų langelių (į tokiu atveju draugas neturės galimybės - informuoti kalinius apie savo veiksmų rezultatą), kokios strategijos jis turėtų imtis, kad padidintų kalinių galimybes išsigelbėti?

Ar sprendimas mažai tikėtinas?

Iš pirmo žvilgsnio ši užduotis atrodo beveik beviltiška. Panašu, kad galimybė kiekvienam kaliniui rasti savo planšetę yra mikroskopiškai maža. Be to, kaliniai negali keistis informacija vieni su kitais testo metu.

Vieno kalinio tikimybė yra 50:50. Yra tik 100 dėžių ir jis gali atidaryti iki 50 dėžių ieškodamas savo ženklo. Jei jis atidaro dėžutes atsitiktinai ir atidaro pusę visų dėžių, jis ras savo ženklą atviroje dėžių pusėje arba jo ženklas liks uždarytose 50 dėžių. Jo sėkmės tikimybė yra ½.

Paimkime du kalinius. Jei abu langelius pasirenka atsitiktinai, kiekvienos iš jų tikimybė bus ½, o abiejų - ½x½=¼.
(dviem kaliniams sėkmė bus vienu atveju iš keturių).

Trims kaliniams tikimybė bus ½ × ½ × ½ = ⅛.

100 kalinių tikimybė yra tokia: ½ × ½ × … ½ × ½ (padauginta iš 100 kartų).

Tai lygu

Pr ≈ 0,00000000000000000000000000000008

Tai yra, tai yra labai maža galimybė. Šioje situacijoje greičiausiai visi kaliniai bus mirę.

Neįtikėtinas atsakymas

Jei kiekvienas kalinys atsitiktinai atidarytų dėžes, vargu ar išlaikytų testą. Yra strategija, pagal kurią kaliniai gali tikėtis sėkmės daugiau nei 30 % laiko. Tai stulbinančiai neįtikėtinas rezultatas (jei anksčiau negirdėjote apie šią matematikos problemą).

Daugiau nei 30% visiems 100 kalinių! Taip, tai net geriau nei dviejų kalinių tikimybė, jei jie dėžes atidarys atsitiktinai. Bet kaip tai įmanoma?

Aišku, kad kiekvienam kaliniui po vieną, šansai negali būti didesni nei 50% (juk tarp kalinių nėra galimybės bendrauti). Tačiau nepamirškite, kad informacija saugoma plokščių išdėstyme dėžutėse. Niekas nemaišo ženklų tarp atskirų kalinių apsilankymų kambaryje, todėl galime pasinaudoti šia informacija.

Sprendimas

Pirmiausia papasakosiu jums sprendimą, tada paaiškinsiu, kodėl jis veikia.

Strategija yra labai paprasta. Pirmasis kalinys atidaro dėžutę su numeriu, užrašytu ant jo drabužių. Pavyzdžiui, kalinys numeris 78 atidaro dėžutę su numeriu 78. Jei jis ras savo numerį ant lentelės dėžutės viduje, puiku! Jei ne, jis žiūri į numerį ant plokštelės „savo“ langelyje ir atidaro kitą langelį su tuo numeriu. Atidaręs antrą dėžutę, jis žiūri į šios dėžutės viduje esančios plokštelės numerį ir atidaro trečią dėžutę su šiuo numeriu. Toliau šią strategiją tiesiog perkeliame į likusius langelius. Aiškumo dėlei žiūrėkite paveikslėlį:

Galų gale kalinys arba suras savo numerį, arba pasieks 50 dėžių ribą. Iš pirmo žvilgsnio tai atrodo beprasmiška, palyginti su tiesiog atsitiktiniu dėžutės parinkimu (ir vienam kaliniui tai daro), bet kadangi visi 100 kalinių naudos tą patį dėžių rinkinį, tai prasminga.

Šios matematikos problemos grožis yra ne tik rezultato žinojimas, bet ir supratimas Kodėlši strategija veikia.

Taigi kodėl strategija veikia?

Kiekvienoje dėžutėje yra vienas ženklas – ir šis ženklas yra unikalus. Tai reiškia, kad plokštelė yra dėžutėje su tuo pačiu numeriu arba ji nurodo į kitą dėžutę. Kadangi visi ženklai yra unikalūs, kiekvienam langeliui yra tik vienas ženklas, rodantis į jį (ir tik vienas būdas patekti į tą langelį).

Jei pagalvoji, dėžutės sudaro uždarą apskritą grandinę. Vienas langelis gali būti tik vienos grandinės dalis, nes dėžutės viduje yra tik viena rodyklė į kitą ir atitinkamai ankstesniame langelyje yra tik viena žymeklis į tam tikrą langelį (programuotojai gali matyti analogiją su susietais sąrašais) .

Jei dėžutė nenurodo į save (dėžutės numeris lygus joje esančios plokštelės skaičiui), tada ji bus grandinėje. Kai kurios grandinės gali būti sudarytos iš dviejų dėžių, kai kurios yra ilgesnės.

Kadangi visi kaliniai pradeda nuo dėžės, kurios numeris yra toks pat kaip ir jų drabužių, jie pagal apibrėžimą yra dedami ant grandinės, kurioje yra jų ženklas (yra tik vienas ženklas, rodantis į tą dėžutę).

Tyrinėdami dėžutes ratu išilgai šios grandinės, jie garantuotai galiausiai suras savo ženklą.

Lieka tik klausimas, ar jie ras savo ženklą per 50 ėjimų.

Grandinės ilgis

Kad visi kaliniai išlaikytų testą, didžiausias grandinės ilgis turi būti mažesnis nei 50 dėžių. Jei grandinė yra ilgesnė nei 50 dėžių, kaliniai, turintys numerius iš šių grandinių, neišlaikys testo – ir visi kaliniai bus mirę.

Jei maksimalus ilgiausios grandinės ilgis yra mažesnis nei 50 dėžių, tada visi kaliniai išlaikys testą!

Pagalvokite apie tai sekundę. Pasirodo, bet kokiame plokščių išdėstyme gali būti tik viena grandinė ilgesnė nei 50 dėžių (turime tik 100 dėžių, todėl jei viena grandinė yra ilgesnė nei 50, tai likusi dalis bus trumpesnė nei 50) .

Išdėstymo su ilga grandine tikimybė

Įsitikinus, kad norint pasisekti, maksimalus grandinės ilgis turi būti mažesnis arba lygus 50, o bet kuriame rinkinyje gali būti tik viena ilga grandinė, galime apskaičiuoti tikimybę, kad pavyks išlaikyti testą:

Dar šiek tiek matematikos

Taigi ko mums reikia norint išsiaiškinti ilgos grandinės egzistavimo tikimybę?

Jei grandinės ilgis l, tikimybė, kad dėžės bus už šios grandinės ribų, yra lygi:

Šioje skaičių rinkinyje yra (l-1)! ženklų išdėstymo būdai.

Likusius ženklus galima rasti (100-l)! būdai (nepamirškite, kad grandinės ilgis neviršija 50).

Atsižvelgiant į tai, permutacijų, turinčių tikslaus ilgio l grandinę, skaičius: (>50)

Pasirodo, yra 100(!) ženklų išdėstymo būdų, todėl l ilgio grandinės egzistavimo tikimybė lygi 1/l. Beje, šis rezultatas nepriklauso nuo dėžių skaičiaus.

Kaip jau žinome, gali būti tik vienas variantas, kai grandinės ilgis > 50, todėl sėkmės tikimybė apskaičiuojama naudojant šią formulę:

Rezultatas

31,18% - tikimybė, kad ilgiausios grandinės dydis bus mažesnis nei 50 ir kiekvienas iš kalinių galės rasti savo ženklą, atsižvelgiant į 50 bandymų ribą.

Tikimybė, kad visi kaliniai ras savo ženklus ir išlaikys testą, yra 31,18%.

Žemiau yra grafikas, rodantis visų l ilgio grandinių (x ašyje) tikimybes (y ašyje). Raudona spalva žymi visus „gedimus“ (pateikta kreivė čia yra tik 1/l grafikas). Žalia reiškia "sėkmę" (šioje grafiko dalyje skaičiavimas yra šiek tiek sudėtingesnis, nes yra keli būdai nustatyti maksimalų ilgį<50). Общая вероятность складывается из зеленых столбцов в 31.18% шанс на спасение.

Harmoninis skaičius (ši straipsnio dalis skirta geeksams)

Matematikoje n-asis harmoninis skaičius yra pirmųjų n iš eilės skaičių natūraliosios eilutės atvirkštinių dydžių suma.

Apskaičiuokime limitą, jei vietoje 100a dėžučių turime savavališkai daug dėžučių (tarkime, kad iš viso turime 2n dėžučių).

Eulerio-Mascheroni konstanta yra konstanta, apibrėžiama kaip skirtumo tarp harmoninės serijos dalinės sumos ir skaičiaus natūralaus logaritmo riba.

Didėjant kalinių skaičiui, jei prižiūrėtojas leidžia kaliniams atidaryti pusę visų dėžių, išgelbėjimo tikimybė siekia 30,685%.

(Jei priėmėte sprendimą, pagal kurį kaliniai atsitiktinai atspėjo langelius, tada, didėjant kalinių skaičiui, išsigelbėjimo tikimybė yra lygi nuliui!)

Papildomas klausimas

Ar kas nors prisimena tolesnį klausimą? Ką mūsų naudingas draugas gali padaryti, kad padidintų mūsų galimybes išgyventi?

Dabar mes jau žinome sprendimą, todėl strategija čia paprasta: jis turi ištirti visus ženklus ir surasti ilgiausią dėžių grandinę. Jei ilgiausia grandinėlė yra mažesnė nei 50, tada plokštelių jam visai nereikia keisti arba keisti taip, kad ilgiausia grandinė netaptų ilgesnė nei 50. Tačiau jei jis randa ilgesnę nei 50 dėžučių grandinę, tereikia sukeisti dviejų tos grandinės dėžučių turinį, kad grandinė būtų padalinta į dvi trumpesnes grandines.

Dėl šios strategijos nebus ilgų grandinių ir garantuotai visi kaliniai ras savo ženklą ir išsigelbėjimą. Taigi, sukeisdami du ženklus, mes sumažiname išsigelbėjimo tikimybę iki 100%!

Sudėjimo taisyklė naudojama, jei turime du ar daugiau aibių, kurios yra poromis nejungtos, tai yra, jie neturi bendrų elementų. Ir mes turime sužinoti, kiek elementų yra šių rinkinių sąjungoje. Tokiu atveju susumuojame kiekvieno rinkinio elementų skaičių. Paprasčiausias pavyzdys: jei turime du krepšelius vaisių: viename yra 5 obuoliai, o kitame - 7 kriaušės. Jei šiuos vaisius supilstysime į vieną krepšelį (sujungsime rinkinius), tai naujame krepšelyje bus 5+7=12 vaisių.

Daugybos taisyklė

Daugybos taisyklė naudojama tada, kai turime dvi aibes, o visas įmanomas poras sudarome iš šių aibių elementų. Pavyzdžiui, jei paimsime rinkinį iš 5 obuolių ir rinkinį iš 7 kriaušių ir iš šių vaisių padarysime visas įmanomas poras, tai gausime visas įmanomas poras.

Tikrai. Paimkime pirmąjį obuolį. Ant jo galime uždėti bet kurią iš septynių kriaušių, tai yra, gauname 7 poras. Imkime antrą obuolį, taip pat į jį galime pridėti bet kurią iš 7 kriaušių, gauname dar 7 poras. Ir taip toliau. Iš viso yra garas.

Daugybos taisyklę lengva suprasti, jei bandysite atsakyti, pavyzdžiui, į šį klausimą: " Kiek yra dviženklių skaičių?"

Tegul dviženklis skaičius turi formą , kur yra dešimčių skaičius ir vienetų skaičius. Šiuo atveju skaitmuo gali turėti reikšmes nuo 1 iki 9 (skaitmuo 0 negali būti pirmoje vietoje, nes tokiu atveju gausime vienaženklį skaičių), skaitmuo gali būti nuo 0 iki 9.

Leiskite , ir mes turime 10 skaičių variantų, kurie gali būti antroje vietoje. Tada turime 10 dviženklių skaičių, kurių 1 yra dešimt.

Tada imame ir taip pat gauname 10 dviženklių skaičių, kurie dabar turi 2 dešimtis.

Kadangi skaičius gali turėti 9 skirtingas reikšmes, gauname dviženklius skaičius.

Žinodami, kad pirmoje vietoje gali būti 9 skirtingi skaitmenys, o antroje – 10, gauname šių skaitmenų derinius, tai yra visus įmanomus dviženklius skaičius. Čia svarbu suprasti, kad bet koks skaičius pirmoje vietoje gali būti derinamas su bet kokiu antroje vietoje esančiu skaičiumi.

Apskritai daugybos taisyklė skamba taip:

Jei elementą A galima pasirinkti n būdų, o bet kokiam A pasirinkimui elementą B galima pasirinkti m, tai porą (A, B) galima pasirinkti n m būdų. Ši taisyklė taikoma bet kuriam nepriklausomai pasirenkamų elementų skaičiui.

Jei norime atsakyti į klausimą, kiek yra triženklių skaičių, pastebėsime, kad triženkliame skaičiuje pirmasis skaitmuo gali turėti 9 reikšmes, antrasis – 10, o trečiasis – 10 reikšmių. Ir gauname triženklius skaičius.

Įtraukimo-išskyrimo formulė

naudojamas, jei reikia rasti elementų skaičių dviejų aibių sąjungoje, jei šios aibės susikerta.

Tegul aibėje A yra n elementų, aibėje B yra m elementų, o šių aibių sankirtoje yra k elementų. Tai yra, k elementų yra ir aibėje A, ir aibėje B. Tada aibių sąjungoje yra m+n-k elementų.

Iš tiesų, sujungdami dvi aibes, k elementus suskaičiavome du kartus, o dabar turime juos atimti vieną kartą.

Elementų skaičius rinkinyje nurodomas bendru # simboliu. Tada elementų skaičiaus trijų rinkinių sąjungoje skaičiavimo formulė yra tokia:

## # # # # # #

Pažvelkime į problemų pavyzdžius.

1. Kiek triženklių skaičių turi bent vieną skaitmenį 3?

Jei probleminiame klausime yra žodžiai „bent“, tada daugeliu atvejų pirmiausia turite atsakyti į priešingą teiginį.

Raskime, kiek triženklių skaičių NĖRA skaitmens 3. Tokiu atveju pirmoje, antroje ir trečioje skaičiaus vietose gali būti bet koks skaitmuo, išskyrus 3. Tai yra, pirmas skaitmuo gali turėti 8 reikšmes, antrasis - 9, o trečioji – 9 reikšmės. Tada gauname triženklius skaičius, kuriuose NĖRA skaitmens 3. Todėl likusiuose skaičiuose yra bent vienas skaitmuo 3.

2. Kiek keturženklių skaičių yra 5 kartotiniai?

Žinome, kad skaičius dalijasi iš 5, jei baigiasi 0 arba 5. Todėl keturženkliame skaičiuje paskutinis skaitmuo gali turėti tik dvi reikšmes: 0 ir 5.
Pirmasis skaitmuo gali turėti 9 reikšmes, antrasis - 10, o trečias - 10 reikšmių, ketvirtas - 2 reikšmes.

Tada gauname keturženklius skaičius, kurie dalijasi iš 5.

Pertvarkymai

Naudokime daugybos taisyklę atsakydami į klausimą " Kiek būdų gali išsirikiuoti 7 žmonės?.

Pirmą eilėje stovintį asmenį galima pasirinkti septyniais būdais, antrąjį – iš likusių šešių žmonių, tai yra šešiais būdais. Trečias, atitinkamai, yra penki. Ir taip toliau. Pastarąjį galima pasirinkti tik vienu būdu. Iš viso gauname būdus suformuoti 7 žmones į eilę.

Apskritai, jei turime objektus, kuriuos norime išdėstyti tam tikra tvarka (juos sunumeruoti), tada ir gausime

šių objektų išdėstymo būdai.

Faktorinis Natūralusis skaičius yra visų natūraliųjų skaičių sandauga nuo 1 iki:

Pagal apibrėžimą 0!=1; 1!=1.

Pertvarkymas objektų yra bet koks šių objektų numeravimo metodas (jų išdėstymo iš eilės metodas).

Permutacijų skaičius elementai yra lygūs .

3. Yra 10 kompiuterių diskų ir 10 jų dėžučių. Raskite tikimybę, kad atsitiktinai sudėjus diskus į dėžutes, tai rasime

1. Kiekvienas diskas yra savo dėžutėje.

2. Dėžutėje nėra bent vieno disko.

3. Du konkretūs diskai yra sukeisti, o likusieji yra savo dėžutėse.

4. Tiksliai vieno nėra jo dėžutėje, o likusios yra jų dėžėse.

1. Sunumeruokime diskus ir dėžutes. Išdėliokime dėžutes tam tikra seka. Mums reikia, kad jei diskai yra atsitiktinai išdėstyti iš eilės, jų numeriai taip pat būtų išdėstyti ta pačia seka.

Yra tik vienas būdas išdėstyti 10 skaičių tam tikroje sekoje, tai yra, turime 1 palankų rezultatą.

Galite išdėstyti 10 skaičių bet kokia tvarka 10! būdais.

Todėl tikimybė, kad kiekvienas diskas atsidurs savo dėžutėje, yra lygi

2. Renginys " bent vieno disko nėra jo dėžutėje„priešingas įvykiui“ “, o jo tikimybė yra lygi

3. Renginys " du konkretūs diskai yra sukeisti, o likusieji yra jų dėžutėse" tas pats kaip renginys" kiekvienas diskas yra savo dėžutėje“, turi vieną palankią baigtį, todėl šio įvykio tikimybė yra lygi

4. Renginys " lygiai vieno nėra jo dėžėje, o likusios yra jų dėžėse"neįmanoma, nes jei vieno disko nėra jo dėžutėje, tai turi būti kitas, kuris taip pat yra ne toje dėžutėje. Todėl šio įvykio tikimybė lygi nuliui.

4. Ant kartono juostelės buvo užrašytas žodis „MATEMATIKA“ ir juostelė supjaustyta raidėmis. Raskite tikimybę, kad visas šias raides sudėjus atsitiktinai iš eilės vėl gausime žodį „MATEMATIKA“.

MATEMATIKA"?

Tikimybė, kad M raidė bus pirmoje vietoje, yra 2/10 – turime dvi raides M, o iš viso 10 raidžių.

Tikimybė, kad raidė A bus antroje vietoje, yra 3/9 – mums liko 9 raidės, iš kurių 3 yra A.

Tikimybė, kad raidė T bus antroje vietoje, yra 2/8 – mums liko 8 raidės, iš kurių 2 yra T.

Sunumeruokime visas žodžio „MATEMATIKA“ raides. Pažiūrėkime, kiek būdų galime juos išdėstyti tam tikra tvarka. Žodyje yra 10 raidžių, kurias galime išdėstyti 10!=3628800 skirtingų būdų.

Kadangi žodis turi tas pačias raides, pertvarkydami šias raides gauname tą patį žodį:

žodyje „MATEMATIKA“ yra 2 raidės „M“; 3 raidės "A"; 2 raidės „T“, todėl pagal gaminio taisyklę tai suteikia galimybę šias raides pertvarkyti išsaugant žodį „MATEMATIKA“.

Taigi tikimybė vėl gauti žodį „MATA“ yra:

Kiek raidžių kombinacijų galima sudaryti iš žodžio raidžių " MATEMATIKA"?

Iš 10 žodžio raidžių MATEMATIKA" galite padaryti 10! raidžių deriniai. Tačiau kai kurios iš jų bus vienodos, nes pertvarkydami tas pačias raides gausime tuos pačius raidžių derinius. Tai yra, galų gale mes gausime

raidžių deriniai.

Vietos

Tikimybių teorijos uždaviniuose dažnai reikia nustatyti, kiek būdų tam tikrą objektų skaičių galima pasirinkti ir išdėstyti tam tikra tvarka.

5. Kiek skirtingų variantų yra atrinkus 4 kandidatus iš 9 specialistų keliauti į 4 skirtingas šalis?

Naudokime daugybos taisyklę.

Pirmajai šaliai renkamės iš 9 specialistų, tai yra, turime 9 pasirinkimus. Pasirinkus specialistą kelionei į pirmąją šalį, mums lieka 8 specialistai, o kelionei į antrąją šalį turime 8 pasirinkimo galimybes. Ir taip toliau... ketvirtai šaliai kandidatą galime pasirinkti iš 6 specialistų.

Taigi, gauname galimybes pasirinkti 4 kandidatus iš 9 specialistų keliauti į 4 skirtingas šalis.

Apibendrinkime šią problemą pasirinkimo atveju k kandidatai iš n specialistų keliauti į k skirtingas šalis.

Ginčiuodami panašiai gauname

parinktys.

Jei šią išraišką padauginsime ir padalinsime iš , gausime tokią formulę:

Šioje užduotyje mes pasirinkome iš rinkinio, susidedančio iš elementų užsakyta poaibiai (mums buvo svarbi poaibyje esančių elementų tvarka), susidedantis iš elementų. Užduotis apsiribojo tokių pogrupių skaičiaus paieška.

Tokie sutvarkyti poaibiai vadinami n elementų išdėstymais pagal k.

Apgyvendinimas(nuo n iki k) vadinamas užsakytas poaibis iš skirtingų elementų iš kažkokio rinkinio, susidedančio iš skirtingų elementų.

Vietų skaičius nuo elementai pagal žymimas ir randamas formule:

Vietos su pasikartojimais

6. Kauliukai metami tris kartus. Kiek skirtingų atmestų taškų kombinacijų bus?

Mesdami kauliuką pirmą kartą gausime 6 skirtingus variantus: 1 taškas, 2, 3... arba 6. Panašiai mesdami kauliuką antrą ir trečią kartą taip pat gausime 6 skirtingus variantus. Naudodami daugybos taisyklę, gauname skirtingų trijų skaičių kombinacijų skaičių, paimdami reikšmes nuo 1 iki 6:

Apskritai:

Turėkime rinkinį, kurį sudaro elementai.

Bet koks užsakytas rinkinys vadinami aibės, susidedančios iš elementų, elementai apgyvendinimas su kartojimas iš elementų pagal . Skirtingų vietų skaičius su pasikartojimais yra lygus

Tikrai. Įsivaizduokite dėžutę su sunumeruotais rutuliais. Išimame kamuolį, užrašome jo numerį ir grąžiname atgal ir t.t vieną kartą. Kiek derinių ar galime gauti skaičius?

Kadangi kamuoliukai grąžinami kiekvieną kartą, kiekvieną kartą, kai išimame kamuolį iš dėžutės, kurioje yra kamuoliukai, galime gauti skirtingus skaičius. Pagal turimą daugybos taisyklę

Deriniai

Panagrinėkime problemą, panašią į 5 uždavinį, bet su reikšmingu skirtumu.

7. Kiek skirtingų galimybių yra pasirinkti 4 kandidatus iš 9 specialistų?

Šioje problemoje turime pasirinkti 4 kandidatus, bet nesvarbu kokia tvarka juos pasirinksime, mus domina tik pasirinktų elementų kompozicija, bet ne jų išdėstymo tvarka.

Jei mus domintų elementų tvarka, kaip 5 uždavinyje, galėtume pritaikyti formulę, kad surastume vietų skaičių nuo 9 iki 4:

4 skirtingi elementai gali būti išdėstyti tam tikra tvarka 4! įvairiais būdais. Kadangi mes Ne domina elementų tvarka, būdų, kaip galime pasirinkti 4 elementus, nesudėliodami jų tam tikra tvarka, skaičius sumažėja 4! kartų, palyginti su ankstesne problema (kadangi šiai problemai spręsti vienas iš šių elementų išdėstymo laikomi skirtingais būdais), ir gauname

būdais.

Šioje problemoje atsiranda koncepcija deriniai.

Deriniai n elementų, kiekvienas k elementas vadinamas poaibiais, susidedančiais iš k aibės elementų (aibės, kurią sudaro n elementų).

Dėmesio! Vienas derinys nuo kito skiriasi tik pasirinktų elementų kompozicija (bet ne jų išdėstymo tvarka, kaip su išdėstymais).

Derinių skaičius iš n elementai pagal k elementai yra pažymėti

ir randama pagal formulę:

Derinių skaičius n Autorius k parodo, kiek būdų galime pasirinkti k elementai iš n elementų arba kiek būdų galime išdėstyti k objektai pagal n vietos .

Tai nesunku pastebėti

8. Dėžutėje yra 8 raudoni pieštukai ir 4 mėlyni pieštukai. Iš dėžutės atsitiktine tvarka išimami 4 pieštukai. Kokia tikimybė, kad tarp jų bus 2 raudonos ir 2 mėlynos?

Iš viso dėžutėje yra 12 pieštukų. Pažiūrėkime, kiek būdų iš dėžutės galima išimti 4 pieštukus. Kadangi mus domina ne pieštukų išėmimo iš dėžutės tvarka, o tik pieštukų sudėtis, šis skaičius yra lygus derinių skaičiui iš 12 x 4:

Iš 8 raudonų pieštukų galite išgauti du pieštukus būdais.

Iš 4 mėlynų pieštukų galite ištraukti du pieštukus būdais.

Pagal gaminio taisyklę matome, kad yra būdų išgauti 2 mėlynus ir 2 raudonus pieštukus.

Taigi, reikalinga tikimybė yra:

Rutulio ir pertvaros metodas

9. Keliais būdais 10 kamuoliukų galima sudėti į 4 dėžutes? Tikimasi, kad kai kurios dėžės gali būti tuščios.

Apsvarstykite 10 kamuoliukų:

Kamuoliukus „sudėsime į dėžutes“, išdėliodami pertvaras.

Pavyzdžiui, taip:

Šiame pavyzdyje pirmoje dėžutėje yra 3 kamuoliukai, antroje – 2, trečioje – 4, ketvirtoje – 2. Perstatydami kamuoliukus ir pertvaras gauname skirtingas kamuoliukų kombinacijas dėžėse. Pavyzdžiui, pertvarkydami paskutinį rutulį pirmajame langelyje ir pirmoje vidinėje pertvaroje, gauname tokią kombinaciją:

Taigi, sujungę 10 kamuoliukų ir 3 vidinių pertvarų vietas, dėžėse gauname skirtingą kamuoliukų skaičių. Norėdami nustatyti, kiek skirtingų kombinacijų galime gauti, turime rasti derinių skaičių nuo 13 iki 3. (Arba, lygiaverčiai, derinių skaičius nuo 13 iki 10.) Yra tiek daug būdų, kaip pasirinkti 3 vietas pertvaroms. iš 13 galimų pozicijų. Arba, kas yra tas pats, 10 erdvių kamuoliams.

10. Kiek sprendinių turi lygtis? neneigiamais sveikaisiais skaičiais?

Kadangi kintamieji gali įgyti tik neneigiamas sveikųjų skaičių reikšmes, turime 10 kintamųjų ir jie gali turėti reikšmes 0, 1, 2, 3 ir 4. Įsivaizduokite, kad turime 10 langelių (tai yra kintamieji) ir turime faktorius, šiose dėžutėse yra 4 rutuliai. Kiek kamuoliukų patenka į dėžutę, yra atitinkamo kintamojo reikšmė. Jei turime 10 dėžučių, 10-1 = 9 vidinės pertvaros. Ir 4 kamuoliukai. Iš viso yra 13 vietų. Ant šių 13 vietų turime padėti 4 kamuoliukus. Tokių galimybių skaičius:

Apskritai, jei mums reikia sudėlioti kamuoliukus į dėžutes, gauname kamuoliukų ir vidinės pertvaros derinius. O tokių kombinacijų skaičius lygus kombinacijų skaičiui nuo .

Šią problemą mes sprendėme deriniai su pakartojimais.

Deriniai su pakartojimais

Elementų ir elementų deriniai su pasikartojimais yra grupės, turinčios elementus, kurių kiekvienas priklauso vienam iš tipų.

Kas yra elementų deriniai su elementais su pasikartojimais, galima suprasti naudojant tokį minties eksperimentą. Įsivaizduokite dėžutę su sunumeruotais rutuliais. Išimame kamuolį, užrašome jo numerį ir grąžiname atgal ir t.t vieną kartą. Skirtingai nei išdėstymai su pasikartojimais, mus domina ne užrašytų skaičių tvarka, o tik jų sudėtis. Pavyzdžiui, skaičių grupės (1,1,2,1,3,1,2) ir (1,1,1,1,2,2,3) laikomos vienodomis. Kiek tokių grupių yra ar galime gauti skaičius?

Galiausiai mus domina, kiek kiekvieno tipo elementų (iš viso n elementų tipai) yra kiekvienoje grupėje (iš k elementai ) , ir kiek skirtingų variantų gali būti. Tai yra, mes nustatome, kiek sveikųjų skaičių neneigiamų sprendinių turi lygtis - užduotis yra panaši į skaidymo užduotį n kamuoliai į vidų k dėžės

Derinių su pakartojimais skaičius nustatomas pagal šią formulę:

Taigi, derinių su pasikartojimais skaičius yra būdų, kaip skaičių k pavaizduoti kaip n terminų sumą, skaičius.