Loginių lygčių sprendimo metodai ir metodai. Loginių lygčių sprendimas matematikoje

Yra įvairių loginių lygčių sistemų sprendimo būdų. Tai redukcija į vieną lygtį, tiesos lentelės konstravimas ir skaidymas.

Užduotis: Išspręskite loginių lygčių sistemą:

Pasvarstykime redukcinis metodas į vieną lygtį . Šis metodas apima loginių lygčių transformavimą taip, kad jų dešinės pusės būtų lygios tiesos vertei (ty 1). Norėdami tai padaryti, naudokite loginio neigimo operaciją. Tada, jei lygtyse yra sudėtingų loginių operacijų, jas pakeičiame pagrindinėmis: „IR“, „ARBA“, „NE“. Kitas žingsnis – sujungti lygtis į vieną, lygiavertę sistemai, naudojant loginę operaciją „IR“. Po to gautą lygtį turėtumėte transformuoti pagal loginės algebros dėsnius ir gauti konkretų sistemos sprendimą.

1 sprendimas: Taikykite inversiją abiejose pirmosios lygties pusėse:

Įsivaizduokime pasekmes per pagrindines operacijas „ARBA“ ir „NE“:

Kadangi kairiosios lygčių pusės yra lygios 1, galime jas sujungti naudodami operaciją „IR“ į vieną lygtį, kuri yra lygiavertė pradinei sistemai:

Mes atidarome pirmąjį skliaustą pagal De Morgano dėsnį ir transformuojame gautą rezultatą:

Gauta lygtis turi vieną sprendinį: A =0, B=0 ir C=1.

Kitas metodas yra tiesos lentelių kūrimas . Kadangi loginiai dydžiai turi tik dvi reikšmes, galite tiesiog peržiūrėti visas parinktis ir rasti tarp jų tuos, kuriems tenkinama nurodyta lygčių sistema. Tai yra, mes sudarome vieną bendrą tiesos lentelę visoms sistemos lygtims ir randame eilutę su reikiamomis reikšmėmis.

2 sprendimas: Sukurkime sistemos tiesos lentelę:

Eilutė, kuriai įvykdytos užduoties sąlygos, paryškinta pusjuodžiu šriftu. Taigi A = 0, B = 0 ir C = 1.

Būdas skilimas . Idėja yra nustatyti vieno iš kintamųjų reikšmę (nustatykite ją 0 arba 1) ir taip supaprastinti lygtis. Tada galite pataisyti antrojo kintamojo reikšmę ir pan.

3 sprendimas: Tegul A = 0, tada:

Iš pirmosios lygties gauname B = 0, o iš antrosios - C = 1. Sistemos sprendimas: A = 0, B = 0 ir C = 1.

Vieningame informatikos valstybiniame egzamine labai dažnai reikia nustatyti loginių lygčių sistemos sprendinių skaičių, nerandant pačių sprendinių, tam yra ir tam tikrų metodų. Pagrindinis būdas rasti loginių lygčių sistemos sprendinių skaičių yrapakeičiant kintamuosius. Pirmiausia turite kiek įmanoma supaprastinti kiekvieną lygtį, remdamiesi loginės algebros dėsniais, o tada pakeisti sudėtingas lygčių dalis naujais kintamaisiais ir nustatyti naujos sistemos sprendimų skaičių. Tada grįžkite į pakeitimą ir nustatykite jo sprendimų skaičių.

Užduotis: Kiek sprendinių turi lygtis (A →B) + (C →D) = 1? Kur A, B, C, D yra loginiai kintamieji.

Sprendimas:Įveskime naujus kintamuosius: X = A →B ir Y = C →D. Atsižvelgiant į naujus kintamuosius, lygtis bus parašyta taip: X + Y = 1.

Disjunkcija teisinga trimis atvejais: (0;1), (1;0) ir (1;1), o X ir Y yra implikacijos, tai yra, tiesa trimis atvejais, o klaidinga vienu. Todėl atvejis (0;1) atitiks tris galimas parametrų kombinacijas. Atvejis (1;1) – atitiks devynias galimas pradinės lygties parametrų kombinacijas. Tai reiškia, kad visos galimos šios lygties sprendiniai yra 3+9=15.

Kitas būdas nustatyti loginių lygčių sistemos sprendinių skaičių yra dvejetainis medis. Pažvelkime į šį metodą naudodami pavyzdį.

Užduotis: Kiek skirtingų sprendinių turi loginių lygčių sistema:

Pateikta lygčių sistema yra lygiavertė lygčiai:

(x 1 → x 2 )*(x 2 → x 3 )*…*(x m -1 → x m) = 1.

Tarkime, kad x 1 – tiesa, tada iš pirmosios lygties gauname tai x 2 taip pat tiesa, nuo antrojo - x 3 =1 ir taip toliau iki x m= 1. Tai reiškia, kad aibė (1; 1; …; 1) iš m vienetų yra sistemos sprendimas. Leisk tai dabar x 1 =0, tada iš pirmosios lygties turime x 2 =0 arba x 2 =1.

Kada x 2 tiesa, gauname, kad likę kintamieji taip pat yra teisingi, tai yra, aibė (0; 1; ...; 1) yra sistemos sprendimas. At x 2 =0 mes tai gauname x 3 =0 arba x 3 = ir taip toliau. Tęsdami paskutinį kintamąjį, matome, kad lygties sprendiniai yra šios kintamųjų rinkiniai (m +1 sprendimas, kiekviename sprendime yra m kintamųjų reikšmių):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

Šį požiūrį gerai iliustruoja dvejetainio medžio sukūrimas. Galimų sprendimų skaičius – tai skirtingų sukonstruoto medžio šakų skaičius. Nesunku pastebėti, kad jis lygus m +1.

Iškilus sunkumų samprotaujant tyrimai ir statybasprendimų, su kuriais galite ieškoti sprendimo naudojant tiesos lenteles, vienai ar dviem lygtims.

Perrašykime lygčių sistemą į formą:

Ir sukurkime tiesos lentelę atskirai vienai lygčiai:

Sukurkime dviejų lygčių tiesos lentelę:

Savivaldybės biudžetinė švietimo įstaiga

"Vidurinė mokykla Nr. 18"

Baškirijos Respublikos Salavato miesto miesto rajonas

Loginių lygčių sistemos

Vieningo valstybinio egzamino uždaviniuose informatikos srityje

Vieningo valstybinio egzamino užduočių skyrius „Logikos algebros pagrindai“ laikomas vienu sunkiausių ir sunkiausiai sprendžiamų. Vidutinis atliktų užduočių šia tema procentas yra mažiausias ir yra 43,2.

Remiantis 2018 m. KIM specifikacija, šiame bloke yra keturios skirtingo sudėtingumo užduotys.

23 užduotis yra aukšto sudėtingumo lygio, todėl jos atlikimo procentas yra mažiausias. Iš pasiruošusių abiturientų (81-100 balų) užduotį atliko 49,8% vidutiniškai pasirengusių abiturientų (61-80 balų), likusi studentų grupė šios užduoties neatliko.

Loginių lygčių sistemos sprendimo sėkmė priklauso nuo logikos dėsnių išmanymo ir nuo tikslaus sistemos sprendimo metodų taikymo.

Apsvarstykime, kaip išspręsti loginių lygčių sistemą, naudojant atvaizdavimo metodą.

(23.154 Polyakov K.Yu.) Kiek skirtingų sprendinių turi lygčių sistema?

((x1  y1 )  (x2  y2 ))  (x1  x2 )  (y1  y2 ) =1

((x2  y2 )  (x3  y3 ))  (x2  x3 )  (y2  y3 ) =1

((x7  y7 )  (x8  y8 ))  (x7  x8 )  (y7  y8 ) =1

Kur x1 , x2 ,…, x8, adresu1 ,y2 ,…,y8 - loginiai kintamieji? Atsakyme nebūtina išvardyti visų skirtingų kintamųjų reikšmių rinkinių, kuriems galioja ši lygybė. Kaip atsakymą turite nurodyti tokių rinkinių skaičių.

Sprendimas. Visos į sistemą įtrauktos lygtys yra to paties tipo ir kiekviena lygtis apima keturis kintamuosius. Žinodami x1 ir y1, galime rasti visas įmanomas x2 ir y2 reikšmes, kurios tenkina pirmąją lygtį. Panašiai samprotaujant, iš žinomų x2 ir y2 galime rasti x3, y3, kurie tenkina antrąją lygtį. Tai yra, žinodami porą (x1, y1) ir nustatę poros vertę (x2, y2), rasime porą (x3, y3), kuri, savo ruožtu, nuves į porą (x4, y4) ir taip toliau.

Raskime visus pirmosios lygties sprendinius. Tai galima padaryti dviem būdais: sudaryti tiesos lentelę, samprotaujant ir taikant logikos dėsnius.

Tiesos lentelė:

Tiesos lentelės sudarymas yra daug darbo ir laiko neefektyvus, todėl naudojame antrąjį metodą – loginį samprotavimą. Produktas yra lygus 1 tada ir tik tada, kai kiekvienas veiksnys yra lygus 1.

(x1  y1 )  (x2  y2 ))=1

(x1  x2 ) =1

(y1  y2 ) =1

Pažvelkime į pirmąją lygtį. Pasekmė lygi 1, kai 0 0, 0 1, 1 1, tai reiškia (x1 y1)=0 (01), (10), tada pora (x2  y2 ) gali būti bet koks (00), (01), (10), (11) ir kai (x1 y1) = 1, tai yra, (00) ir (11) pora (x2 y2) = 1 įgyja tos pačios reikšmės (00) ir (11). Išskirkime iš šio sprendinio tas poras, kurių antroji ir trečioji lygtys yra klaidingos, tai yra x1=1, x2=0, y1=1, y2=0.

Bendras porų skaičius 1+1+1+22= 25

2) (23.160 Polyakov K.Yu.) Kiek skirtingų sprendinių turi loginių lygčių sistema?

(x 1  (x 2  y 2 ))  (y 1  y 2 ) = 1

(x 2  (x 3  y 3 ))  (y 2  y 3 ) = 1

...

( x 6  ( x 7  y 7 ))  ( y 6  y 7 ) = 1

x 7  y 7 = 1

Sprendimas. 1) Lygtys yra to paties tipo, todėl naudodamiesi samprotavimais rasime visas įmanomas pirmosios lygties poras (x1,y1), (x2,y2).

(x1  (x2  y2 ))=1

(y1  y2 ) = 1

Antrosios lygties sprendimas yra poros (00), (01), (11).

Raskime pirmosios lygties sprendinius. Jei x1=0, tai x2, y2 – bet koks, jei x1=1, tai x2, y2 įgauna reikšmę (11).

Padarykime ryšius tarp porų (x1, y1) ir (x2, y2).

Sukurkime lentelę porų skaičiui kiekviename etape apskaičiuoti.

Atsižvelgiant į paskutinės lygties sprendinius x 7  y 7 = 1, išskirkime porą (10). Raskite bendrą sprendinių skaičių 1+7+0+34=42

3)(23.180) Kiek skirtingų sprendinių turi loginių lygčių sistema?

(x1  x2 )  (x3  x4 ) = 1

(x3  x4 )  (x5  x6 ) = 1

(x5  x6 )  (x7  x8 ) = 1

(x7  x8 )  (x9  x10 ) = 1

x1  x3  x5  x7  x9 = 1

Sprendimas. 1) Lygtys yra to paties tipo, todėl naudodamiesi samprotavimais rasime visas įmanomas pirmosios lygties poras (x1,x2), (x3,x4).

(x1  x2 )  (x3  x4 ) = 1

Iš sprendinio išskirkime poras, kurios sekoje duoda 0 (1 0), tai yra poros (01, 00, 11) ir (10).

Užmegzkime ryšius tarp porų (x1,x2), (x3,x4)

Pamokos tema: Logikos lygčių sprendimas

Vystomasis – sudaryti sąlygas ugdyti mokinių pažintinį susidomėjimą, skatinti lavinti atmintį, dėmesį, loginį mąstymą;

Švietimo : skatinti gebėjimą įsiklausyti į kitų nuomonę, ugdant valią ir užsispyrimą siekiant galutinių rezultatų.

Pamokos tipas: kombinuota pamoka

Įranga: kompiuteris, multimedijos projektorius, pristatymas 6.

Pamokos eiga

Pagrindinių žinių kartojimas ir atnaujinimas. Namų darbų tikrinimas (10 minučių)

Ankstesnėse pamokose susipažinome su pagrindiniais loginės algebros dėsniais ir išmokome šiuos dėsnius panaudoti loginėms išraiškoms supaprastinti.

Patikrinkime namų darbus, kaip supaprastinti logines išraiškas:

1. Kuris iš šių žodžių atitinka loginę sąlygą:

(pirmos raidės priebalsis → antrosios raidės priebalsis)٨ (paskutinės raidės balsis → priešpaskutinės raidės balsis)? Jei tokių žodžių yra keli, nurodykite mažiausią iš jų.

1) ANNA 2) MARIJA 3) OLEGAS 4) STEPANAS

Pateikiame tokį užrašą:

A – pirmosios raidės priebalsis

B – antrosios raidės priebalsis

S – paskutinės raidės balsis

D – priešpaskutinė balsės raidė

Padarykime išraišką:

Padarykime lentelę:

2. Nurodykite, kuri loginė išraiška atitinka išraišką

Supaprastinkime pradinės išraiškos ir siūlomų parinkčių įrašymą:

3. Pateiktas F išraiškos tiesos lentelės fragmentas:

Nustatykime šių išraiškų reikšmes nurodytoms argumentų reikšmėms:

Įvadas į pamokos temą, naujos medžiagos pristatymas (30 minučių)

Mes ir toliau studijuojame logikos pagrindus, o šiandienos pamokos tema yra „Loginių lygčių sprendimas“. Išstudijavę šią temą, išmoksite pagrindinių loginių lygčių sprendimo būdų, įgysite šių lygčių sprendimo įgūdžių naudojant loginės algebros kalbą ir gebėsite sudaryti loginę išraišką tiesos lentele.

1. Išspręskite loginę lygtį

(¬K M) → (¬L M N) = 0

Parašykite savo atsakymą kaip keturių simbolių eilutę: kintamųjų K, L, M ir N reikšmės (ta tvarka). Taigi, pavyzdžiui, 1101 eilutė atitinka tai, kad K=1, L=1, M=0, N=1.

Sprendimas:

Pakeiskime išraišką(¬K  M) → (¬L  M  N)

Išraiška yra klaidinga, kai abu terminai yra klaidingi. Antrasis narys lygus 0, jei M =0, N =0, L =1. Pirmajame termine K = 0, nes M = 0, ir
.

Atsakymas: 0100

2. Kiek sprendinių turi lygtis (atsakyme nurodykite tik skaičių)?

Sprendimas: transformuokite išraišką

(A +B )*(C +D )=1

A +B =1 ir C +D =1

2 metodas: tiesos lentelės sudarymas

Transformuokime pradinę išraišką, atidarykime skliaustus, kad gautume jungtukų disjunkciją:

(A+B)*(C+D)=A*C+B*C+A*D+B*D=

Papildykime jungtukus iki užbaigtų jungtukų (visų argumentų sandauga), atidarykite skliaustus:

Atsižvelkime į tuos pačius jungtukus:

Dėl to gauname SDNF, kuriame yra 9 jungtukai. Todėl šios funkcijos tiesos lentelė turi reikšmę 1 9 eilutėse iš 2 4 =16 kintamųjų reikšmių rinkinių.

3. Kiek sprendinių turi lygtis (atsakyme nurodykite tik skaičių)?

Supaprastinkime išraišką:

,

3 būdas: SDNF statyba

Atsižvelkime į tuos pačius jungtukus:

Dėl to gauname SDNF, kuriame yra 5 jungtukai. Todėl šios funkcijos tiesos lentelė turi reikšmę 1 5 eilutėse iš 2 4 =16 kintamųjų reikšmių rinkinių.

Loginės išraiškos konstravimas naudojant tiesos lentelę:

kiekvienai tiesos lentelės eilutei, kurioje yra 1, sudarome argumentų sandaugą, o kintamieji, lygūs 0, įtraukiami į sandaugą su neigimu, o kintamieji, lygūs 1, įtraukiami be neigimo. Norima išraiška F bus sudaryta iš gautų sandaugų sumos. Tada, jei įmanoma, ši išraiška turėtų būti supaprastinta.

Pavyzdys: pateikta išraiškos teisingumo lentelė. Sukurkite loginę išraišką.

3. Namų darbai (5 min.)

Išspręskite lygtį:

Kiek sprendinių turi lygtis (atsakyme nurodykite tik skaičių)?

Naudodamiesi duota tiesos lentele, sukonstruokite loginę išraišką ir

supaprastinti.

Loginių lygčių sistemų sprendimo metodai

Galite išspręsti loginių lygčių sistemą, pavyzdžiui, naudodami tiesos lentelę (jei kintamųjų skaičius nėra per didelis) arba sprendimų medį, prieš tai supaprastinę kiekvieną lygtį.

1. Kintamojo pakeitimo metodas.

Naujų kintamųjų įvedimas leidžia supaprastinti lygčių sistemą, sumažinti nežinomųjų skaičių.Nauji kintamieji turi būti nepriklausomi vienas nuo kito. Išsprendę supaprastintą sistemą, turime grįžti prie pradinių kintamųjų.

Panagrinėkime šio metodo taikymą naudodami konkretų pavyzdį.

Pavyzdys.

((X1 ≡ X2) ∧ (X3 ≡ X4)) ∨ (¬(X1 ≡ X2) ∧ ¬(X3 ≡ X4)) = 0

((X3 ≡ X4) ∧ (X5 ≡ X6)) ∨ (¬(X3 ≡ X4) ∧ ¬(X5 ≡ X6)) = 0

((X5 ≡ X6) ∧ (X7 ≡ X8)) ∨ (¬(X5 ≡ X6) ∧ ¬(X7 ≡ X8)) = 0

((X7 ≡ X8) ∧ (X9 ≡ X10)) ∨ (¬(X7 ≡ X8) ∧ ¬(X9 ≡ X10)) = 0

Sprendimas:

Pristatome naujus kintamuosius: A=(X1≡ X2); B=(X3 ≡ X4); С=(X5 ≡ X6); D=(X7 ≡ X8); E=(X9 ≡ X10).

(Dėmesio! Kiekvienas jų kintamasis x1, x2, ..., x10 turi būti įtrauktas tik į vieną iš naujų kintamųjų A, B, C, D, E, t. y. naujieji kintamieji nepriklauso vienas nuo kito).

Tada lygčių sistema atrodys taip:

(A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)=0

(B ∧ C) ∨ (¬B ∧ ¬C)=0

(C ∧ D) ∨ (¬C ∧ ¬D)=0

(D ∧ E) ∨ (¬D ∧ ¬E)=0

Sukurkime gautos sistemos sprendimų medį:

Panagrinėkime lygtį A=0, t.y. (X1≡ X2) = 0. Jis turi 2 šaknis:

Iš tos pačios lentelės matyti, kad lygtis A=1 taip pat turi 2 šaknis. Išdėstykime šaknų skaičių sprendimų medyje:

Norėdami rasti vienos šakos sprendinių skaičių, turite padauginti sprendinių skaičių kiekviename lygyje. Kairėje šakoje yra 2⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=32 tirpalai; dešinėje šakoje taip pat yra 32 sprendimai. Tie. visa sistema turi 32+32=64 sprendimus.

Atsakymas: 64.

2. Samprotavimo metodas.

Sunkumai sprendžiant loginių lygčių sistemas slypi viso sprendimų medžio sudėtingame. Samprotavimo metodas leidžia nestatyti viso medžio, o suprasti, kiek jis turės šakų. Pažvelkime į šį metodą naudodami konkrečius pavyzdžius.

1 pavyzdys. Kiek yra skirtingų loginių kintamųjų x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 reikšmių rinkinių, atitinkančių visas toliau išvardytas sąlygas?

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1

(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1

x1\/y1 =1

Atsakyme nebūtina išvardyti visų skirtingų kintamųjų x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 reikšmių rinkinių, kuriems ši lygybių sistema yra patenkinta. Kaip atsakymą turite nurodyti tokių rinkinių skaičių.

Sprendimas:

Pirmoje ir antroje lygtyse yra nepriklausomi kintamieji, kurie yra susiję su trečiąja sąlyga. Sukurkime pirmosios ir antrosios lygčių sprendimų medį.

Norint pavaizduoti pirmosios ir antrosios lygčių sistemos sprendimų medį, kiekviena pirmojo medžio šaka turi būti tęsiama su kintamųjų medžiu adresu . Taip pastatytame medyje bus 36 šakos. Kai kurios iš šių šakų netenkina trečiosios sistemos lygties. Pirmajame medyje pažymėkime medžio šakų skaičių"y" , kurios tenkina trečiąją lygtį:

Paaiškinkime: kad būtų įvykdyta trečioji sąlyga, kai x1=0 turi būti y1=1, t.y. visos medžio šakos"X" , kur x1=0 galima tęsti tik viena šaka nuo medžio"y" . Ir tik vienai medžio šakai"X" (dešinėje) tinka visos medžio šakos"y". Taigi visą sistemos medį sudaro 11 šakų. Kiekviena šaka reiškia vieną pradinės lygčių sistemos sprendinį. Tai reiškia, kad visoje sistemoje yra 11 sprendimų.

Atsakymas: 11.

2 pavyzdys. Kiek skirtingų sprendinių turi lygčių sistema?

(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ∧ X10) ∨ (¬X1 ∧ ¬ X10) = 1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ∧ X10) ∨ (¬X2 ∧ ¬ X10) = 1.

………………

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ∧ X10) ∨ (¬X9 ∧ ¬ X10) = 1

(X1 ≡ X10) = 0

kur x1, x2, …, x10 yra loginiai kintamieji? Atsakyme nebūtina išvardyti visų skirtingų kintamųjų reikšmių rinkinių, kuriems galioja ši lygybė. Kaip atsakymą turite nurodyti tokių rinkinių skaičių.

Sprendimas: Supaprastinkime sistemą. Sukurkime pirmosios lygties dalies tiesos lentelę:

Atkreipkite dėmesį į paskutinį stulpelį, jis atitinka veiksmo rezultatą X1 ≡ X10.

Supaprastinus gauname:

(X1 ≡ X2) ∨ (X1 ≡ X10) = 1

(X2 ≡ X3) ∨ (X2 ≡ X10) = 1

(X3 ≡ X4) ∨ (X3 ≡ X10) = 1

……

(X9 ≡ X10) ∨ (X9 ≡ X10) = 1

(X1 ≡ X10) = 0

Apsvarstykite paskutinę lygtį:(X1 ≡ X10) = 0, t.y. x1 neturėtų sutapti su x10. Kad pirmoji lygtis būtų lygi 1, lygybė turi būti teisinga(X1 ≡ X2)=1, t.y. x1 turi atitikti x2.

Sukurkime pirmosios lygties sprendimų medį:

Apsvarstykite antrąją lygtį: jei x10=1 ir x2=0 – skliaustasturi būti lygus 1 (t.y. x2 sutampa su x3); x10=0 ir x2=1 skliausteliui(X2 ≡ X10) = 0, o tai reiškia skliaustą (X2 ≡ X3) turėtų būti lygus 1 (t. y. x2 sutampa su x3):

Taip samprotaudami sukuriame visų lygčių sprendimų medį:

Taigi lygčių sistema turi tik 2 sprendinius.

Atsakymas: 2.

3 pavyzdys.

Kiek skirtingų loginių kintamųjų x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4, z1, z2, z3, z4 reikšmių rinkinių yra, atitinkančių visas toliau išvardytas sąlygas?

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) = 1

(¬x1 /\ y1 /\ z1) \/ (x1 /\ ¬y1 /\ z1) \/ (x1 /\ y1 /\ ¬z1) = 1

(¬x2 /\ y2 /\ z2) \/ (x2 /\ ¬y2 /\ z2) \/ (x2 /\ y2 /\ ¬z2) = 1

(¬x3 /\ y3 /\ z3) \/ (x3 /\ ¬y3 /\ z3) \/ (x3 /\ y3 /\ ¬z3) = 1

(¬x4 /\ y4 /\ z4) \/ (x4 /\ ¬y4 /\ z4) \/ (x4 /\ y4 /\ ¬z4) = 1

Sprendimas:

Sukurkime 1-osios lygties sprendimų medį:

Apsvarstykite antrąją lygtį:

• Kai x1=0 : antrasis ir trečiasis skliaustai bus lygūs 0; kad pirmasis skliaustas būtų lygus 1, y1=1, z1=1 (t. y. šiuo atveju – 1 sprendimas)
• Kai x1=1 : pirmasis skliaustas bus lygus 0; antra arba trečiasis skliaustas turi būti lygus 1; antrasis skliaustas bus lygus 1, kai y1=0 ir z1=1; trečiasis skliaustas bus lygus 1, kai y1=1 ir z1=0 (t.y. šiuo atveju - 2 sprendiniai).

Panašiai ir su likusiomis lygtimis. Atkreipkite dėmesį į gautą kiekvieno medžio mazgo sprendimų skaičių:

Norėdami sužinoti kiekvienos šakos sprendinių skaičių, gautus skaičius padauginkite kiekvienai šakai atskirai (iš kairės į dešinę).

1 šaka: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 sprendimas

2 atšaka: 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 2 = 2 sprendimai

3 šaka: 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 2 = 4 sprendimai

4 šaka: 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 sprendimai

5 šaka: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 sprendimų

Sudėkime gautus skaičius: iš viso yra 31 sprendimas.

Atsakymas: 31.

3. Natūralus šaknų skaičiaus padidėjimas

Kai kuriose sistemose kitos lygties šaknų skaičius priklauso nuo ankstesnės lygties šaknų skaičiaus.

1 pavyzdys. Kiek skirtingų loginių kintamųjų x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10 verčių rinkinių yra, atitinkančių visas toliau išvardytas sąlygas?

¬(x1 ≡ x2) ∧ ((x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)) = 0

¬(x2 ≡ x3) ∧ ((x2 ∧ ¬x4) ∨ (¬x2 ∧ x4)) = 0

¬(x8 ≡ x9) ∧ ((x8 ∧ ¬x10) ∨ (¬x8 ∧ x10)) = 0

Supaprastinkime pirmoji lygtis:(x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)=x1 ⊕ x3=¬(x1 ≡ x3). Tada sistema įgis tokią formą:

¬(x1 ≡ x2) ∧ ¬(x1 ≡ x3) = 0

¬(x2 ≡ x3) ∧ ¬(x2 ≡ x4) = 0

¬(x8 ≡ x9) ∧ ¬(x8 ≡ x10) = 0

ir kt.

Kiekviena kita lygtis turi 2 šaknis daugiau nei ankstesnė.

4 lygtis turi 12 šaknų;

5 lygtis turi 14 šaknų

8 lygtis turi 20 šaknų.

Atsakymas: 20 šaknų.

Kartais šaknų skaičius auga pagal Fibonačio dėsnį.

Norint išspręsti loginių lygčių sistemą, reikia kūrybiško požiūrio.

Loginių lygčių sistemų sprendimo metodai

Kirgizova E.V., Nemkova A.E.

Lesosibirsko pedagoginis institutas -

Sibiro federalinio universiteto filialas, Rusija

Gebėjimas nuosekliai mąstyti, įtikinamai samprotauti, kelti hipotezes ir paneigti neigiamas išvadas neatsiranda savaime šis įgūdis yra išugdomas logikos mokslo. Logika yra mokslas, tiriantis metodus, kaip nustatyti kai kurių teiginių tiesą ar klaidingumą remiantis kitų teiginių tiesa ar klaidingumu.

Įvaldyti šio mokslo pagrindus neįmanoma be loginių problemų sprendimo. Įgūdžių pritaikyti žinias naujoje situacijoje ugdymo tikrinimas atliekamas per praėjimą. Visų pirma, tai yra gebėjimas spręsti logines problemas. Vieningo valstybinio egzamino B15 užduotys yra sudėtingesnės, nes jose yra loginių lygčių sistemos. Yra įvairių loginių lygčių sistemų sprendimo būdų. Tai redukcija į vieną lygtį, tiesos lentelės sudarymas, skaidymas, nuoseklus lygčių sprendimas ir kt.

Užduotis:Išspręskite loginių lygčių sistemą:

Pasvarstykime redukcinis metodas į vieną lygtį . Šis metodas apima loginių lygčių transformavimą taip, kad jų dešinės pusės būtų lygios tiesos vertei (ty 1). Norėdami tai padaryti, naudokite loginio neigimo operaciją. Tada, jei lygtyse yra sudėtingų loginių operacijų, jas pakeičiame pagrindinėmis: „IR“, „ARBA“, „NE“. Kitas žingsnis – sujungti lygtis į vieną, lygiavertę sistemai, naudojant loginę operaciją „IR“. Po to gautą lygtį turėtumėte transformuoti pagal loginės algebros dėsnius ir gauti konkretų sistemos sprendimą.

1 sprendimas:Taikykite inversiją abiejose pirmosios lygties pusėse:

Įsivaizduokime pasekmes per pagrindines operacijas „ARBA“ ir „NE“:

Kadangi kairiosios lygčių pusės yra lygios 1, galime jas sujungti naudodami operaciją „IR“ į vieną lygtį, kuri yra lygiavertė pradinei sistemai:

Mes atidarome pirmąjį skliaustą pagal De Morgano dėsnį ir transformuojame gautą rezultatą:

Gauta lygtis turi vieną sprendimą: A= 0, B = 0 ir C = 1.

Kitas metodas yra tiesos lentelių kūrimas . Kadangi loginiai dydžiai turi tik dvi reikšmes, galite tiesiog peržiūrėti visas parinktis ir rasti tarp jų tuos, kuriems tenkinama nurodyta lygčių sistema. Tai yra, mes sudarome vieną bendrą tiesos lentelę visoms sistemos lygtims ir randame eilutę su reikiamomis reikšmėmis.

2 sprendimas:Sukurkime sistemos tiesos lentelę:

Eilutė, kuriai įvykdytos užduoties sąlygos, paryškinta pusjuodžiu šriftu. Taigi A =0, B =0 ir C =1.

Būdas skilimas . Idėja yra nustatyti vieno iš kintamųjų reikšmę (nustatykite ją 0 arba 1) ir taip supaprastinti lygtis. Tada galite pataisyti antrojo kintamojo reikšmę ir pan.

3 sprendimas: Leiskite A = 0, tada:

Iš pirmosios lygties gauname B =0, o iš antrojo – C=1. Sistemos sprendimas: A = 0, B = 0 ir C = 1.

Taip pat galite naudoti metodą nuoseklus lygčių sprendimas , kiekviename žingsnyje prie nagrinėjamo rinkinio pridedamas vienas kintamasis. Norėdami tai padaryti, reikia transformuoti lygtis taip, kad kintamieji būtų įvesti abėcėlės tvarka. Tada sukuriame sprendimų medį, nuosekliai įtraukdami į jį kintamuosius.

Pirmoji sistemos lygtis priklauso tik nuo A ir B, o antroji – nuo ​​A ir C. Kintamasis A gali turėti 2 reikšmes 0 ir 1:

Iš pirmosios lygties išplaukia, kad , taigi kada A = 0 ir gauname B = 0, o jei A = 1, turime B = 1. Taigi pirmoji lygtis turi du kintamųjų A ir B sprendinius.

Pavaizduokime antrąją lygtį, iš kurios nustatome kiekvienos parinkties C reikšmes. Kai A =1, implikacija negali būti klaidinga, tai yra, antroji medžio šaka neturi sprendimo. At A= 0 mes gauname vienintelį sprendimą C= 1 :

Taigi, mes gavome sistemos sprendimą: A = 0, B = 0 ir C = 1.

Vieningame informatikos valstybiniame egzamine labai dažnai reikia nustatyti loginių lygčių sistemos sprendinių skaičių, nerandant pačių sprendinių, tam yra ir tam tikrų metodų. Pagrindinis būdas rasti loginių lygčių sistemos sprendinių skaičių yra pakeičiant kintamuosius. Pirmiausia turite kiek įmanoma supaprastinti kiekvieną lygtį, remdamiesi loginės algebros dėsniais, o tada pakeisti sudėtingas lygčių dalis naujais kintamaisiais ir nustatyti naujos sistemos sprendimų skaičių. Tada grįžkite į pakeitimą ir nustatykite jo sprendimų skaičių.

Užduotis:Kiek sprendinių turi lygtis ( A → B ) + (C → D ) = 1? Kur A, B, C, D yra loginiai kintamieji.

Sprendimas:Pristatome naujus kintamuosius: X = A → B ir Y = C → D . Atsižvelgiant į naujus kintamuosius, lygtis bus parašyta taip: X + Y = 1.

Disjunkcija teisinga trimis atvejais: (0;1), (1;0) ir (1;1), tuo tarpu X ir Y yra implikacija, ty trimis atvejais yra teisinga, o vienu – klaidinga. Todėl atvejis (0;1) atitiks tris galimas parametrų kombinacijas. Atvejis (1;1) – atitiks devynias galimas pradinės lygties parametrų kombinacijas. Tai reiškia, kad visos galimos šios lygties sprendiniai yra 3+9=15.

Kitas būdas nustatyti loginių lygčių sistemos sprendinių skaičių yra dvejetainis medis. Pažvelkime į šį metodą naudodami pavyzdį.

Užduotis:Kiek skirtingų sprendinių turi loginių lygčių sistema:

Pateikta lygčių sistema yra lygiavertė lygčiai:

( x 1 → x 2 )*( x 2 → x 3 )*…*( x m -1 → x m) = 1.

Tarkime, kadx 1 – tiesa, tada iš pirmosios lygties gauname taix 2 taip pat tiesa, nuo antrojo -x 3 =1 ir taip toliau iki x m= 1. Taigi aibė (1; 1; …; 1) iš m vienetai yra sistemos sprendimas. Leisk tai dabarx 1 =0, tada iš pirmosios lygties turimex 2 =0 arba x 2 =1.

Kada x 2 tiesa, gauname, kad likę kintamieji taip pat yra teisingi, tai yra, aibė (0; 1; ...; 1) yra sistemos sprendimas. Atx 2 =0 mes tai gauname x 3 =0 arba x 3 = ir taip toliau. Tęsdami paskutinį kintamąjį, matome, kad lygties sprendiniai yra šie kintamųjų rinkiniai ( m +1 tirpalas kiekviename tirpale m kintamos reikšmės):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

Šį požiūrį gerai iliustruoja dvejetainio medžio sukūrimas. Galimų sprendimų skaičius – tai skirtingų sukonstruoto medžio šakų skaičius. Nesunku pastebėti, kad jis lygus m +1.

Iškilus sunkumams argumentuojant ir kuriant sprendimų medį, sprendimo galite ieškoti naudodami tiesos lenteles, vienai ar dviem lygtims.

Perrašykime lygčių sistemą į formą:

Ir sukurkime tiesos lentelę atskirai vienai lygčiai:

Sukurkime dviejų lygčių tiesos lentelę:

Toliau galite pamatyti, kad viena lygtis yra teisinga šiais trimis atvejais: (0; 0), (0; 1), (1; 1). Dviejų lygčių sistema yra teisinga keturiais atvejais (0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 1), (1; 1; 1). Tokiu atveju iš karto aišku, kad yra sprendimas, susidedantis tik iš nulių ir daugiau m sprendimai, kuriuose vienu metu pridedamas vienas vienetas, pradedant nuo paskutinės pozicijos, kol užpildomos visos galimos vietos. Galima daryti prielaidą, kad bendras sprendimas turės tą pačią formą, tačiau kad toks požiūris taptų sprendimu, reikia įrodyti, kad prielaida yra teisinga.

Apibendrinant visa tai, kas išdėstyta pirmiau, norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į tai, kad ne visi aptarti metodai yra universalūs. Sprendžiant kiekvieną loginių lygčių sistemą reikia atsižvelgti į jos ypatybes, kuriomis remiantis ir pasirenkamas sprendimo būdas.

Literatūra:

1. Loginės problemos / O.B. Bogomolovas – 2 leid. – M.: BINOM. Žinių laboratorija, 2006. – 271 p.: iliustr.

2. Poliakovas K. Yu. Loginių lygčių sistemos / Edukacinis ir metodinis laikraštis informatikos mokytojams: Informatika 2011 Nr.14.