Logaritminių lygčių sprendimo būdai. Logaritmų skaičiavimas, pavyzdžiai, sprendiniai

Šiandien kalbėsime apie logaritmines formules ir pateiksime orientacinius sprendimų pavyzdžiai.

Jie patys reiškia sprendimų modelius pagal pagrindines logaritmų savybes. Prieš spręsdami taikydami logaritmines formules, priminsime visas savybes:

Dabar, remdamiesi šiomis formulėmis (ypatybėmis), parodysime logaritmų sprendimo pavyzdžiai.

Logaritmų sprendimo pagal formules pavyzdžiai.

Logaritmas teigiamas skaičius b bazei a (žymimas log a b) yra eksponentas, iki kurio a turi būti padidintas, kad būtų gautas b, kai b > 0, a > 0 ir 1.

Pagal apibrėžimą log a b = x, kuris yra ekvivalentas a x = b, todėl log a a x = x.

Logaritmai, pavyzdžiai:

log 2 8 = 3, nes 2 3 = 8

log 7 49 = 2, nes 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, nes 5 -1 = 1/5

Dešimtainis logaritmas- tai paprastas logaritmas, kurio pagrindas yra 10. Jis žymimas kaip lg.

log 10 100 = 2, nes 10 2 = 100

Natūralus logaritmas- taip pat paprastasis logaritmas, logaritmas, bet su baze e (e = 2,71828... - neracionalus skaičius). Žymima kaip ln.

Patartina įsiminti logaritmų formules ar savybes, nes vėliau jų prireiks sprendžiant logaritmus, logaritmines lygtis ir nelygybes. Dar kartą panagrinėkime kiekvieną formulę su pavyzdžiais.

• Pagrindinė logaritminė tapatybė
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Produkto logaritmas lygus logaritmų sumai
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Dalinio logaritmas lygus logaritmų skirtumui
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Logaritminio skaičiaus laipsnio ir logaritmo pagrindo savybės

  Logaritminio skaičiaus eksponentas log a b m = mlog a b

  Logaritmo pagrindo eksponentas log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  jei m = n, gauname log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Perėjimas prie naujo pagrindo
  log a b = log c b/log c a,

  jei c = b, gauname log b b = 1

  tada log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Kaip matote, logaritmų formulės nėra tokios sudėtingos, kaip atrodo. Dabar, pažvelgę ​​į logaritmų sprendimo pavyzdžius, galime pereiti prie logaritminių lygčių. Išsamiau pažvelgsime į logaritminių lygčių sprendimo pavyzdžius straipsnyje: "". Nepraleiskite!

Jei vis dar turite klausimų apie sprendimą, parašykite juos straipsnio komentaruose.

Pastaba: nusprendėme įgyti kitos klasės išsilavinimą ir studijuoti užsienyje.

Logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galima visais būdais sudėti, atimti ir transformuoti. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

Jūs tikrai turite žinoti šias taisykles – be jų nepavyks išspręsti nė vienos rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – viską gali išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų pridėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su tais pačiais pagrindais: log a x ir žurnalas a y. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

1. žurnalas a x+ žurnalas a y=log a (x · y);
2. žurnalas a x− žurnalas a y=log a (x : y).

Taigi, logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas lygus koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra identiškais pagrindais. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės neveikia!

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Rąstas 6 4 + rąstas 6 9.

Kadangi logaritmai turi tas pačias bazes, naudojame sumos formulę:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 2 48 − log 2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 3 135 − log 3 5.

Vėlgi bazės yra tos pačios, todėl turime:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kaip matote, pradinės išraiškos yra sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra skaičiuojami atskirai. Bet po transformacijų gaunami visiškai normalūs skaičiai. Daugelis testų yra pagrįsti šiuo faktu. Taip, vieningo valstybinio egzamino metu į testus panašūs posakiai siūlomi labai rimtai (kartais praktiškai be pakeitimų).

Rodiklio išskyrimas iš logaritmo

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo pagrindas arba argumentas yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti - kai kuriais atvejais tai žymiai sumažins skaičiavimų skaičių.

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai, t.y. Skaičius prieš logaritmo ženklą galite įvesti į patį logaritmą. Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 7 49 6 .

Atsikratykime argumento laipsnio naudodami pirmąją formulę:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

[Paveikslo antraštė]

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, kurio pagrindas ir argumentas yra tikslieji laipsniai: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Turime:

Manau, kad paskutinis pavyzdys reikalauja šiek tiek paaiškinimo. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu. Pateikėme ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą galių pavidalu ir išėmėme eksponentus - gavome „trijų aukštų“ trupmeną.

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklyje ir vardiklyje yra tas pats skaičius: log 2 7. Kadangi log 2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas buvo atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. O jei priežastys kitokios? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

Į pagalbą ateina perėjimo prie naujo pagrindo formulės. Suformuluokime juos teoremos forma:

Tegu pateikiamas logaritmo žurnalas a x. Tada už bet kokį skaičių c toks kad c> 0 ir c≠ 1, lygybė yra teisinga:

[Paveikslo antraštė]

Visų pirma, jei įdėtume c = x, gauname:

[Paveikslo antraštė]

Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti vietomis, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra problemų, kurių niekaip nepavyks išspręsti, išskyrus persikėlimą į naują fondą. Pažvelkime į porą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 5 16 log 2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentuose yra tikslios galios. Išimkime rodiklius: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Dabar „apverskime“ antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia keičiant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime tai ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui. Šiuo atveju mums padės šios formulės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa argumentu stovinčio laipsnio rodikliu. Skaičius n gali būti visiškai bet kas, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Taip ji vadinama: pagrindinė logaritminė tapatybė.

Tiesą sakant, kas atsitiks, jei numeris b pakelti iki tokios galios, kad skaičius bšiai galiai suteikia skaičių a? Teisingai: jūs gaunate tą patį numerį a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą – daugeliui žmonių ji užstringa.

Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

[Paveikslo antraštė]

Atkreipkite dėmesį, kad log 25 64 = log 5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš logaritmo pagrindo ir argumento. Atsižvelgdami į galių dauginimo su ta pačia baze taisykles, gauname:

Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš Vieningo valstybinio egzamino :)

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias vargu ar galima pavadinti savybėmis – veikiau tai yra logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat atsiranda problemų ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

1. žurnalas a a= 1 yra logaritminis vienetas. Prisiminkite kartą ir visiems laikams: logaritmas bet kokiam pagrindui a nuo šio pagrindo yra lygus vienetui.
2. žurnalas a 1 = 0 yra logaritminis nulis. Bazė a gali būti bet koks, bet jei argumente yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Nes a 0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

Šiame puslapyje aptariami būdai logaritmų sprendimai, kaip dar viena funkcija gausiame mūsų svetainėje pasiekiamame arsenale. Internetu logaritmus skaičiuojantis skaičiuotuvas taps nepakeičiamu pagalbininku tiems, kuriems reikia paprasto matematinių išraiškų sprendimo. Mūsų skaičiuoklėje kiekvienas gali lengvai ir greitai apskaičiuoti logaritmą, nežinodamas logaritminių formulių ir net nesuvokdamas logaritmo esmės.

Žodžiu, prieš 20-30 metų logaritmams spręsti reikėjo rimtų matematikos žinių ir bent jau mokėti naudotis logaritmų lentele ar skaidres taisykle. Norint sumažinti pradinę išraišką iki lentelės formos, dažnai reikėjo atlikti sudėtingas transformacijas, atsižvelgiant į logaritmų savybes ir jų funkcijas.

Šiandien pakanka turėti prieigą prie interneto, kad būtų galima lengvai apskaičiuoti visas logaritmines lygtis ir bet kokio sudėtingumo nelygybes. Paskelbta mūsų svetainėje gali akimirksniu apskaičiuoti bet kokį logaritmą!

Išsprendus logaritmo log y x, reikia rasti atsakymą į klausimą, kokios galios reikia pakelti logaritmo y bazę, kad gautumėte reikšmę, lygią x. Internetinis logaritmų skaičiuotuvas padės apskaičiuoti visų tipų logaritmus: dvejetainius, dešimtainius ir natūraliuosius, taip pat kompleksinio skaičiaus logaritmą ir neigiamo skaičiaus logaritmą ir kt.

Logaritmų skaičiavimas internetinėje skaičiuoklėje rašomas kaip log ir atliekamas naudojant keturis mygtukus: dvejetainio logaritmo suradimas, dešimtainių logaritmų sprendimas su savavališka baze ir natūralaus logaritmo skaičiavimas.

Kai kurie mygtukai gali būti naudojami tam pačiam veiksmui įrašyti. Paimkite, pavyzdžiui, logaritmų skaičiavimą su savavališka baze. Aišku, jei nurodysite bazę 10, tada bus skaičiuojamas dešimtainis logaritmas, o jei 2, tada dvejetainis logaritmas. Atsižvelgiant į tai, kad matematinę išraišką galima įvesti rankiniu būdu, tą patį dešimtainį logaritmą galima apskaičiuoti trimis būdais (tiksliau, šią operaciją parašykite skaičiuoklėje):

1. naudodami žurnalo mygtuką, jums tereikia nurodyti skaičių,
2. mygtuku log y x nurodykite logaritmo skaičių ir pagrindą, atskirtą kableliais,
3. Įveskite logaritmo žymėjimą rankiniu būdu.

Išsamią informaciją apie tai, kaip dirbti su skaičiuotuvo klaviatūra, taip pat apžvelgti visas jos galimybes, rasite puslapiuose ir.

Logaritmas iki 2 bazės

Įvesties eilutėje bus rodomas žurnalas 2 (x), todėl tereikia įvesti skaičių, nenurodant pagrindo, ir atlikti skaičiavimą. Pavyzdyje randamas atsakymas, koks yra 8 logaritmas iki 2 bazės.

Logaritmas iki 2 bazės:

Dešimtainis logaritmas

Šis mygtukas padės rasti 10 bazės skaičiaus logaritmą.

Internetinis dešimtainis skaičiuotuvas žymi logaritmą įrašydamas log(x x,y). Paveikslas apskaičiuoja, kam yra lygus skaičiaus 10000 dešimtainis logaritmas.

Logaritmas iki 10 bazės:

Natūralus logaritmas

Klavišas ln sprendžia natūraliuosius logaritmus, kurių pagrindas yra skaičius e Natūralaus logaritmo e bazė, Eulerio skaičius, yra lygus 2,71828182845905.

Logaritmų sprendimas internetiniu skaičiuotuvu paskutinį kartą keitė: 2016 m. kovo 3 d Admin

Mes ir toliau studijuojame logaritmus. Šiame straipsnyje mes kalbėsime apie logaritmų skaičiavimas, šis procesas vadinamas logaritmas. Pirmiausia suprasime logaritmų skaičiavimą pagal apibrėžimą. Toliau pažiūrėkime, kaip logaritmų reikšmės randamos naudojant jų savybes. Po to mes sutelksime dėmesį į logaritmų skaičiavimą pagal iš pradžių nurodytas kitų logaritmų reikšmes. Galiausiai, išmokime naudoti logaritmų lenteles. Visa teorija pateikiama su pavyzdžiais su išsamiais sprendimais.

Puslapio naršymas.

Logaritmų skaičiavimas pagal apibrėžimą

Paprasčiausiais atvejais galima atlikti gana greitai ir lengvai logaritmo radimas pagal apibrėžimą. Pažiūrėkime atidžiau, kaip vyksta šis procesas.

Jo esmė yra pavaizduoti skaičių b forma a c, iš kurios pagal logaritmo apibrėžimą skaičius c yra logaritmo reikšmė. Tai yra, pagal apibrėžimą, logaritmo radimą atitinka tokia lygybių grandinė: log a b=log a a c =c.

Taigi, apskaičiuojant logaritmą pagal apibrėžimą, reikia rasti tokį skaičių c, kad a c = b, o pats skaičius c yra norima logaritmo reikšmė.

Atsižvelgiant į ankstesnėse pastraipose pateiktą informaciją, kai skaičius po logaritmo ženklu pateikiamas tam tikra logaritmo bazės galia, galite iš karto nurodyti, kam logaritmas yra lygus - jis lygus eksponentui. Parodykime pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Raskite log 2 2 −3, taip pat apskaičiuokite skaičiaus e 5,3 natūralųjį logaritmą.

Sprendimas.

Logaritmo apibrėžimas leidžia iš karto pasakyti, kad log 2 2 −3 =−3. Iš tiesų, skaičius po logaritmo ženklu yra lygus bazei 2 iki –3 laipsnio.

Panašiai randame ir antrą logaritmą: lne 5.3 =5.3.

Atsakymas:

log 2 2 −3 =−3 ir lne 5,3 =5,3.

Jei skaičius b po logaritmo ženklu nenurodytas kaip logaritmo pagrindo laipsnis, tuomet reikia atidžiai pažiūrėti, ar įmanoma sugalvoti skaičiaus b atvaizdavimą a c forma. Dažnai šis vaizdavimas yra gana akivaizdus, ​​ypač kai skaičius po logaritmo ženklu yra lygus bazei 1, 2, 3, ...

Pavyzdys.

Apskaičiuokite logaritmus log 5 25 , ir .

Sprendimas.

Nesunku pastebėti, kad 25=5 2, tai leidžia apskaičiuoti pirmąjį logaritmą: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Pereikime prie antrojo logaritmo skaičiavimo. Skaičius gali būti pavaizduotas kaip 7 laipsnis: (jei reikia, žiūrėkite). Vadinasi, .

Trečiąjį logaritmą perrašykime tokia forma. Dabar jūs galite tai pamatyti , iš ko darome išvadą . Todėl pagal logaritmo apibrėžimą .

Trumpai sprendimą būtų galima parašyti taip: .

Atsakymas:

log 5 25 = 2 , Ir .

Kai po logaritmo ženklu yra pakankamai didelis natūralusis skaičius, nepakenks jį įtraukti į pirminius veiksnius. Dažnai padeda tokį skaičių pavaizduoti kaip tam tikrą logaritmo pagrindo laipsnį ir todėl apskaičiuoti šį logaritmą pagal apibrėžimą.

Pavyzdys.

Raskite logaritmo reikšmę.

Sprendimas.

Kai kurios logaritmų savybės leidžia iš karto nurodyti logaritmų reikšmę. Šios savybės apima vieneto logaritmo savybę ir skaičiaus, lygaus bazei, logaritmo savybę: log 1 1=log a a 0 =0 ir log a a=log a a 1 =1. Tai yra, kai po logaritmo ženklu yra skaičius 1 arba skaičius a, lygus logaritmo pagrindui, tada šiais atvejais logaritmai yra atitinkamai lygūs 0 ir 1.

Pavyzdys.

Kam lygūs logaritmai ir log10?

Sprendimas.

Kadangi , tada iš logaritmo apibrėžimo išplaukia .

Antrame pavyzdyje skaičius 10 po logaritmo ženklu sutampa su jo pagrindu, todėl dešimtainis dešimtainis logaritmas yra lygus vienetui, tai yra lg10=lg10 1 =1.

Atsakymas:

IR lg10=1 .

Atkreipkite dėmesį, kad logaritmų apskaičiavimas pagal apibrėžimą (kurį aptarėme ankstesnėje pastraipoje) reiškia, kad reikia naudoti lygybę log a a p =p, kuri yra viena iš logaritmų savybių.

Praktikoje, kai skaičius po logaritmo ženklu ir logaritmo pagrindas lengvai vaizduojami kaip tam tikro skaičiaus laipsnis, labai patogu naudoti formulę , kuris atitinka vieną iš logaritmų savybių. Panagrinėkime logaritmo radimo pavyzdį, iliustruojantį šios formulės naudojimą.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite logaritmą.

Sprendimas.

Atsakymas:

.

Skaičiavimams naudojamos ir aukščiau nepaminėtos logaritmų savybės, tačiau apie tai kalbėsime tolesnėse pastraipose.

Logaritmų paieška naudojant kitus žinomus logaritmus

Šioje pastraipoje pateikta informacija tęsia logaritmų savybių naudojimo juos skaičiuojant temą. Tačiau čia pagrindinis skirtumas yra tas, kad logaritmų savybės naudojamos pirminiam logaritmui išreikšti kitu logaritmu, kurio reikšmė yra žinoma. Pateiksime aiškumo pavyzdį. Tarkime, žinome, kad log 2 3≈1,584963, tada galime rasti, pavyzdžiui, log 2 6, atlikdami nedidelę transformaciją naudodami logaritmo savybes: log 2 6 = log 2 (2 3) = log 2 2 + log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Aukščiau pateiktame pavyzdyje mums pakako panaudoti sandaugos logaritmo savybę. Tačiau daug dažniau reikia naudoti platesnį logaritmų savybių arsenalą, norint apskaičiuoti pirminį logaritmą per duotus.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite logaritmą nuo 27 iki 60, jei žinote, kad log 60 2=a ir log 60 5=b.

Sprendimas.

Taigi turime rasti žurnalą 60 27 . Nesunku pastebėti, kad 27 = 3 3 , o pradinis logaritmas dėl laipsnio logaritmo savybės gali būti perrašytas į 3·log 60 3 .

Dabar pažiūrėkime, kaip išreikšti log 60 3 žinomais logaritmais. Skaičiaus, lygaus bazei, logaritmo savybė leidžia parašyti lygybės log 60 60=1. Kita vertus, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Taigi, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Vadinasi, log 60 3=1–2·log 60 2–log 60 5=1–2·a–b.

Galiausiai apskaičiuojame pradinį logaritmą: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Atsakymas:

log 60 27=3·(1–2·a–b)=3–6·a–3·b.

Atskirai verta paminėti perėjimo prie naujos formos logaritmo bazės formulės reikšmę . Tai leidžia pereiti nuo logaritmų su bet kuria baze prie logaritmų su konkrečia baze, kurių reikšmės yra žinomos arba jas galima rasti. Paprastai iš pradinio logaritmo, naudojant perėjimo formulę, jie pereina prie logaritmų vienoje iš 2, e arba 10 bazių, nes šioms bazėms yra logaritmų lentelės, leidžiančios apskaičiuoti jų reikšmes tam tikru laipsniu. tikslumu. Kitoje pastraipoje parodysime, kaip tai daroma.

Logaritmų lentelės ir jų panaudojimas

Apytiksliai logaritmų reikšmių skaičiavimas gali būti naudojamas logaritmų lentelės. Dažniausiai naudojama 2 bazinių logaritmų lentelė, natūraliųjų logaritmų lentelė ir dešimtainių logaritmų lentelė. Dirbant dešimtainių skaičių sistemoje patogu naudoti logaritmų lentelę, pagrįstą dešimtuku. Su jo pagalba išmoksime rasti logaritmų reikšmes.

Pateiktoje lentelėje galite rasti skaičių dešimtainių logaritmų reikšmes nuo 1 000 iki 9 999 (su trimis skaitmenimis po kablelio) dešimties tūkstantųjų tikslumu. Išanalizuosime logaritmo vertės nustatymo principą naudodami dešimtainių logaritmų lentelę naudodami konkretų pavyzdį - taip aiškiau. Raskime log1.256.

Dešimtainių logaritmų lentelės kairiajame stulpelyje randame pirmuosius du skaičiaus 1,256 skaitmenis, tai yra, randame 1,2 (šis skaičius aiškumo dėlei apvestas mėlynai). Trečiasis skaičiaus 1,256 skaitmuo (5 skaitmuo) yra pirmoje arba paskutinėje eilutėje, esančioje kairėje nuo dvigubos eilutės (šis skaičius apibrėžiamas raudonai). Ketvirtasis pradinio skaičiaus 1,256 skaitmuo (6 skaitmuo) randamas pirmoje arba paskutinėje eilutėje, esančioje dešinėje dvigubos eilutės pusėje (šis skaičius apibrauktas žalia linija). Dabar skaičius randame logaritmų lentelės langeliuose pažymėtos eilutės ir pažymėtų stulpelių sankirtoje (šie skaičiai paryškinti oranžine spalva). Pažymėtų skaičių suma suteikia pageidaujamą dešimtainio logaritmo reikšmę ketvirtos skaitmens po kablelio tikslumu, t. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Ar galima naudojant aukščiau pateiktą lentelę rasti skaičių, turinčių daugiau nei tris skaitmenis po kablelio, dešimtainių logaritmų reikšmes, taip pat tų, kurios viršija diapazoną nuo 1 iki 9,999? Taip, galite. Parodykime, kaip tai daroma su pavyzdžiu.

Apskaičiuokime lg102.76332. Pirmiausia reikia užsirašyti numeris standartine forma: 102.76332=1.0276332·10 2. Po to mantisa turėtų būti suapvalinta iki trečio skaičiaus po kablelio 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, o pradinis dešimtainis logaritmas yra maždaug lygus gauto skaičiaus logaritmui, tai yra, imame log102.76332≈lg1.028·10 2. Dabar taikome logaritmo savybes: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Galiausiai iš dešimtainių logaritmų lentelės randame logaritmo reikšmę lg1,028 lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Dėl to visas logaritmo skaičiavimo procesas atrodo taip: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

Apibendrinant verta paminėti, kad naudodamiesi dešimtainių logaritmų lentele galite apskaičiuoti apytikslę bet kurio logaritmo vertę. Norėdami tai padaryti, pakanka naudoti perėjimo formulę, kad pereitumėte prie dešimtainių logaritmų, suraskite jų reikšmes lentelėje ir atlikite likusius skaičiavimus.

Pavyzdžiui, apskaičiuokime log 2 3 . Pagal perėjimo prie naujos logaritmo bazės formulę turime . Iš dešimtainių logaritmų lentelės randame log3≈0,4771 ir log2≈0,3010. Taigi, .

Nuorodos.

• Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnicinas Yu.P. ir kt. Algebra ir analizės pradžia: Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų 10 - 11 klasėms.
• Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas).

Šiuo vaizdo įrašu pradedu ilgą pamokų apie logaritmines lygtis seriją. Dabar turite tris pavyzdžius, kurių pagrindu išmoksime išspręsti paprasčiausias problemas, kurios vadinamos - pirmuonys.

log 0,5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Leiskite jums priminti, kad paprasčiausia logaritminė lygtis yra tokia:

log a f(x) = b

Šiuo atveju svarbu, kad kintamasis x būtų tik argumento viduje, tai yra tik funkcijoje f (x). O skaičiai a ir b yra tik skaičiai ir jokiu būdu nėra funkcijos, turinčios kintamąjį x.

Pagrindiniai sprendimo būdai

Yra daug būdų, kaip išspręsti tokias struktūras. Pavyzdžiui, dauguma mokytojų mokykloje siūlo tokį metodą: Nedelsdami išreikškite funkciją f (x) naudodami formulę f ( x ) = a b . Tai yra, kai susiduriate su paprasčiausia konstrukcija, galite iškart pereiti prie sprendimo be papildomų veiksmų ir konstrukcijų.

Taip, žinoma, sprendimas bus teisingas. Tačiau šios formulės problema yra ta, kad dauguma studentų nesuprantu, iš kur ji kilusi ir kodėl a raidę keliame į raidę b.

Dėl to dažnai matau labai erzinančių klaidų, kai, pavyzdžiui, sukeičiamos šios raidės. Šią formulę reikia arba suprasti, arba prikimšti, o antrasis metodas priveda prie klaidų pačiais netinkamiausiais ir svarbiausiais momentais: per egzaminus, testus ir pan.

Todėl siūlau visiems savo mokiniams atsisakyti standartinės mokyklos formulės ir sprendžiant logaritmines lygtis antruoju būdu, kuris, kaip tikriausiai atspėjote iš pavadinimo, vadinasi kanoninė forma.

Kanoninės formos idėja yra paprasta. Dar kartą pažvelkime į savo problemą: kairėje turime log a, o raide a reiškia skaičių, o jokiu būdu ne funkciją, kurioje yra kintamasis x. Todėl šiai raidei taikomi visi apribojimai, taikomi logaritmo pagrindui. būtent:

1 ≠ a > 0

Kita vertus, iš tos pačios lygties matome, kad logaritmas turi būti lygus skaičiui b, ir šiai raidei nėra taikomi jokie apribojimai, nes ji gali įgauti bet kokią reikšmę – ir teigiamą, ir neigiamą. Viskas priklauso nuo to, kokias reikšmes įgyja funkcija f(x).

Ir čia mes prisimename mūsų nuostabią taisyklę, kad bet kuris skaičius b gali būti pavaizduotas kaip logaritmas su baziniu a iš a iki b laipsnio:

b = log a a b

Kaip atsiminti šią formulę? Taip, labai paprasta. Parašykime tokią konstrukciją:

b = b 1 = b log a a

Žinoma, tokiu atveju atsiranda visi apribojimai, kuriuos užsirašėme pradžioje. Dabar panaudokime pagrindinę logaritmo savybę ir įveskime daugiklį b kaip a laipsnį. Mes gauname:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Dėl to pradinė lygtis bus perrašyta taip:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Tai viskas. Naujojoje funkcijoje nebėra logaritmo ir ją galima išspręsti naudojant standartinius algebrinius metodus.

Žinoma, dabar kas nors paprieštaraus: kodėl išvis reikėjo sugalvoti kokią nors kanoninę formulę, kam atlikti du papildomus nereikalingus veiksmus, jei buvo galima iš karto pereiti nuo pirminio dizaino prie galutinės formulės? Taip, jei tik todėl, kad dauguma studentų nesupranta, iš kur atsiranda ši formulė, ir dėl to reguliariai klysta ją taikydami.

Tačiau ši veiksmų seka, susidedanti iš trijų žingsnių, leidžia išspręsti pradinę logaritminę lygtį, net jei nesuprantate, iš kur kyla galutinė formulė. Beje, šis įrašas vadinamas kanonine formule:

log a f (x) = log a a b

Kanoninės formos patogumas slypi ir tame, kad ja galima išspręsti labai plačią logaritminių lygčių klasę, o ne tik pačias paprasčiausias, kurias šiandien svarstome.

Sprendimų pavyzdžiai

Dabar pažvelkime į tikrus pavyzdžius. Taigi, nuspręskime:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Perrašykime taip:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Daugelis studentų skuba ir stengiasi iš karto pakelti skaičių 0,5 iki galios, kuri mums kilo iš pradinės problemos. Iš tiesų, kai jau esate gerai apmokytas spręsti tokias problemas, galite nedelsdami atlikti šį veiksmą.

Tačiau jei dabar tik pradedate nagrinėti šią temą, geriau niekur neskubėkite, kad išvengtumėte įžeidžiančių klaidų. Taigi, turime kanoninę formą. Turime:

3x − 1 = 0,5 −3

Tai nebėra logaritminė lygtis, o tiesinė kintamojo x atžvilgiu. Norėdami tai išspręsti, pirmiausia panagrinėkime skaičių 0,5 iki −3 laipsnio. Atminkite, kad 0,5 yra 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Spręsdami logaritminę lygtį, visas dešimtaines trupmenas paverskite paprastosiomis trupmenomis.

Perrašome ir gauname:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Štai ir gavome atsakymą. Pirmoji problema išspręsta.

Antra užduotis

Pereikime prie antrosios užduoties:

Kaip matome, ši lygtis nebėra pati paprasčiausia. Jei tik dėl to, kad kairėje yra skirtumas, o ne vieno pagrindo logaritmas.

Todėl turime kažkaip atsikratyti šio skirtumo. Šiuo atveju viskas labai paprasta. Pažvelkime atidžiau į pagrindus: kairėje yra skaičius po šaknimi:

Bendra rekomendacija: visose logaritminėse lygtyse stenkitės atsikratyti radikalų, t. y. nuo įrašų su šaknimis ir pereikite prie laipsnių funkcijų vien todėl, kad šių galių rodikliai lengvai pašalinami iš logaritmo ženklo ir galiausiai tokie. įrašas žymiai supaprastina ir pagreitina skaičiavimus. Užrašykime taip:

Dabar prisiminkime nuostabią logaritmo savybę: galias galima išvesti iš argumento, taip pat iš bazės. Esant pagrindams, atsitinka taip:

log a k b = 1/k loga b

Kitaip tariant, skaičius, kuris buvo bazinėje laipsnėje, pakeliamas į priekį ir tuo pačiu apverčiamas, tai yra, jis tampa abipusiu skaičiumi. Mūsų atveju bazinis laipsnis buvo 1/2. Todėl galime jį išimti kaip 2/1. Mes gauname:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Atkreipkite dėmesį: šiame žingsnyje jokiu būdu neturėtumėte atsikratyti logaritmų. Prisiminkite 4-5 klasių matematiką ir operacijų eiliškumą: pirmiausia atliekama daugyba, o tik tada sudėjimas ir atėmimas. Šiuo atveju iš 10 elementų atimame vieną iš tų pačių elementų:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Dabar mūsų lygtis atrodo taip, kaip turėtų. Tai paprasčiausia konstrukcija, kurią išsprendžiame naudodami kanoninę formą:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Tai viskas. Antroji problema išspręsta.

Trečias pavyzdys

Pereikime prie trečios užduoties:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Leiskite jums priminti šią formulę:

log b = log 10 b

Jei dėl kokių nors priežasčių jus glumina žymėjimo žurnalas b , tada atlikdami visus skaičiavimus galite tiesiog įrašyti log 10 b . Su dešimtainiais logaritmais galite dirbti taip pat, kaip ir su kitais: imkite laipsnius, sudėkite ir pavaizduokite bet kokius skaičius lg 10 forma.

Būtent šias savybes dabar naudosime spręsdami problemą, nes tai nėra pati paprasčiausia, kurią užsirašėme pačioje pamokos pradžioje.

Pirma, atkreipkite dėmesį, kad koeficientas 2 priešais lg 5 gali būti įvestas ir tampa 5 bazės laipsniu. Be to, laisvasis terminas 3 taip pat pavaizduojamas kaip logaritmas – tai labai lengva pastebėti iš mūsų žymėjimo.

Spręskite patys: bet koks skaičius gali būti pavaizduotas kaip žurnalas iki 10 bazės:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Perrašykime pradinę problemą, atsižvelgdami į gautus pakeitimus:

log (x – 3) = log 1000 + log 25
log (x – 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25 000

Prieš mus vėl kanoninė forma, kurią gavome neperėję transformacijos etapo, t.y., niekur neatsirado paprasčiausia logaritminė lygtis.

Būtent apie tai kalbėjau pačioje pamokos pradžioje. Kanoninė forma leidžia išspręsti platesnę problemų grupę nei standartinė mokyklos formulė, kurią pateikia dauguma mokyklų mokytojų.

Na, štai, atsikratome dešimtainio logaritmo ženklo ir gauname paprastą tiesinę konstrukciją:

x + 3 = 25 000
x = 24 997

Viskas! Problema išspręsta.

Pastaba apie taikymo sritį

Čia norėčiau pateikti svarbią pastabą dėl apibrėžimo apimties. Tikrai dabar atsiras mokinių ir mokytojų, kurie sakys: „Spręsdami reiškinius logaritmais, turime atsiminti, kad argumentas f (x) turi būti didesnis už nulį! Šiuo atžvilgiu kyla logiškas klausimas: kodėl mes nereikalavome, kad ši nelygybė būtų patenkinta nė vienoje iš nagrinėjamų problemų?

Nesijaudink. Tokiais atvejais neatsiras papildomų šaknų. Ir tai dar vienas puikus triukas, leidžiantis paspartinti sprendimą. Tiesiog žinokite, kad jei uždavinyje kintamasis x yra tik vienoje vietoje (tiksliau, viename vieno logaritmo argumente), o niekur kitur mūsų atveju kintamasis x nepasirodo, tada užrašykite apibrėžimo sritį. nereikia, nes jis bus vykdomas automatiškai.

Spręskite patys: pirmoje lygtyje gavome, kad 3x − 1, t.y. argumentas turi būti lygus 8. Tai automatiškai reiškia, kad 3x − 1 bus didesnis už nulį.

Su ta pačia sėkme galime rašyti, kad antruoju atveju x turėtų būti lygus 5 2, t.y. jis tikrai didesnis už nulį. Ir trečiuoju atveju, kur x + 3 = 25 000, t.y., vėlgi, akivaizdžiai didesnis už nulį. Kitaip tariant, apimtis patenkinama automatiškai, bet tik tuo atveju, jei x yra tik vieno logaritmo argumente.

Tai viskas, ką reikia žinoti norint išspręsti paprasčiausias problemas. Vien ši taisyklė kartu su transformacijos taisyklėmis leis išspręsti labai plačią problemų klasę.

Bet būkime sąžiningi: norint pagaliau suprasti šią techniką ir išmokti taikyti kanoninę logaritminės lygties formą, neužtenka tik žiūrėti vieną vaizdo pamoką. Todėl jau dabar atsisiųskite nepriklausomų sprendimų parinktis, kurios pridedamos prie šios vaizdo pamokos, ir pradėkite spręsti bent vieną iš šių dviejų savarankiškų darbų.

Tai užtruks tiesiog kelias minutes. Tačiau tokių mokymų poveikis bus daug didesnis nei tuo atveju, jei tiesiog žiūrėtumėte šią vaizdo pamoką.

Tikiuosi, kad ši pamoka padės suprasti logaritmines lygtis. Naudokite kanoninę formą, supaprastinkite išraiškas naudodamiesi darbo su logaritmais taisyklėmis - ir jūs nebijosite jokių problemų. Tai viskas, ką šiandien turiu.

Atsižvelgiant į apibrėžimo sritį

Dabar pakalbėkime apie logaritminės funkcijos apibrėžimo sritį ir kaip tai veikia logaritminių lygčių sprendimą. Apsvarstykite formos konstrukciją

log a f (x) = b

Tokia išraiška vadinama paprasčiausia – joje yra tik viena funkcija, o skaičiai a ir b yra tik skaičiai, ir jokiu būdu ne funkcija, kuri priklauso nuo kintamojo x. Tai galima išspręsti labai paprastai. Jums tereikia naudoti formulę:

b = log a a b

Ši formulė yra viena iš pagrindinių logaritmo savybių, o pakeitę pradinę išraišką gauname:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Tai pažįstama formulė iš mokyklinių vadovėlių. Daugeliui studentų tikriausiai kils klausimas: kadangi pradinėje išraiškoje funkcija f (x) yra po žurnalo ženklu, jai taikomi šie apribojimai:

f(x) > 0

Šis apribojimas taikomas, nes neigiamų skaičių logaritmas neegzistuoja. Taigi, galbūt dėl ​​šio apribojimo reikėtų pradėti tikrinti atsakymus? Galbūt juos reikia įterpti į šaltinį?

Ne, paprasčiausiose logaritminėse lygtyse papildomas tikrinimas nereikalingas. Ir štai kodėl. Pažvelkite į mūsų galutinę formulę:

f (x) = a b

Faktas yra tas, kad skaičius a bet kuriuo atveju yra didesnis nei 0 - šį reikalavimą taip pat nustato logaritmas. Skaičius a yra pagrindas. Šiuo atveju skaičiui b netaikomi jokie apribojimai. Bet tai nesvarbu, nes kad ir kokia galia padidintume teigiamą skaičių, vis tiek gausime teigiamą skaičių išvestyje. Taigi reikalavimas f(x) > 0 tenkinamas automatiškai.

Tikrai verta patikrinti funkcijos domeną po žurnalo ženklu. Gali būti gana sudėtingų struktūrų, todėl sprendimo proceso metu tikrai turite jas stebėti. Pažiūrėsim.

Pirma užduotis:

Pirmas žingsnis: konvertuokite dešinėje esančią trupmeną. Mes gauname:

Atsikratome logaritmo ženklo ir gauname įprastą neracionalią lygtį:

Iš gautų šaknų mums tinka tik pirmoji, nes antroji šaknis mažesnė už nulį. Vienintelis atsakymas bus skaičius 9. Štai ir viskas, problema išspręsta. Norint įsitikinti, kad išraiška po logaritmo ženklu yra didesnė už 0, papildomų patikrų nereikia, nes ji ne tik didesnė už 0, bet pagal lygties sąlygą lygi 2. Todėl reikalavimas „didesnis už nulį “ patenkinamas automatiškai.

Pereikime prie antrosios užduoties:

Čia viskas taip pat. Perrašome konstrukciją, pakeisdami trigubą:

Atsikratome logaritmo ženklų ir gauname neracionalią lygtį:

Atsižvelgdami į apribojimus išlyginame abi puses ir gauname:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Gautą lygtį išsprendžiame per diskriminantą:

D = 49 - 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Bet x = −6 mums netinka, nes jei šį skaičių pakeisime į savo nelygybę, gausime:

−6 + 4 = −2 < 0

Mūsų atveju reikalaujama, kad jis būtų didesnis nei 0 arba, kraštutiniais atvejais, lygus. Bet x = −1 mums tinka:

−1 + 4 = 3 > 0

Vienintelis atsakymas mūsų atveju bus x = −1. Štai ir sprendimas. Grįžkime į pačią mūsų skaičiavimo pradžią.

Pagrindinė šios pamokos pamoka yra ta, kad jums nereikia tikrinti funkcijos apribojimų paprastose logaritminėse lygtyse. Kadangi sprendimo proceso metu visi apribojimai tenkinami automatiškai.

Tačiau tai jokiu būdu nereiškia, kad galite visiškai pamiršti apie patikrinimą. Darbo su logaritmine lygtimi procese ji gali virsti neracionalia, kuri turės savo apribojimus ir reikalavimus dešinei pusei, kurią šiandien matėme dviejuose skirtinguose pavyzdžiuose.

Nedvejodami spręskite tokias problemas ir būkite ypač atsargūs, jei ginče yra šaknis.

Logaritminės lygtys su skirtingais pagrindais

Toliau tiriame logaritmines lygtis ir apžvelgiame dar du gana įdomius metodus, kuriais madinga spręsti sudėtingesnes konstrukcijas. Tačiau pirmiausia prisiminkime, kaip išsprendžiamos paprasčiausios problemos:

log a f (x) = b

Šiame įraše a ir b yra skaičiai, o funkcijoje f (x) turi būti kintamasis x ir tik ten, tai yra, x turi būti tik argumente. Tokias logaritmines lygtis transformuosime naudodami kanoninę formą. Norėdami tai padaryti, atkreipkite dėmesį į tai

b = log a a b

Be to, a b yra būtent argumentas. Perrašykime šią išraišką taip:

log a f (x) = log a a b

Būtent to mes ir siekiame, kad būtų logaritmas, pagrįsti a kairėje ir dešinėje. Šiuo atveju galime, vaizdžiai tariant, perbraukti rąsto ženklus, o matematiniu požiūriu galime teigti, kad argumentus tiesiog tapatiname:

f (x) = a b

Dėl to gausime naują išraišką, kurią bus daug lengviau išspręsti. Taikykime šią taisyklę savo problemoms šiandien.

Taigi, pirmasis dizainas:

Pirmiausia atkreipiu dėmesį, kad dešinėje yra trupmena, kurios vardiklis yra log. Kai matote tokią išraišką, verta prisiminti nuostabią logaritmų savybę:

Išvertus į rusų kalbą, tai reiškia, kad bet kurį logaritmą galima pavaizduoti kaip dviejų logaritmų su bet kuria baze c koeficientą. Žinoma 0< с ≠ 1.

Taigi: ši formulė turi vieną nuostabų ypatingą atvejį, kai kintamasis c yra lygus kintamajam b. Šiuo atveju gauname tokią konstrukciją:

Būtent tokią konstrukciją matome iš ženklo dešinėje mūsų lygtyje. Pakeiskime šią konstrukciją log a b , gausime:

Kitaip tariant, palyginus su pradine užduotimi, mes sukeitėme argumentą ir logaritmo bazę. Vietoj to, mes turėjome pakeisti trupmeną.

Prisiminkime, kad bet koks laipsnis gali būti išvestas iš bazės pagal šią taisyklę:

Kitaip tariant, koeficientas k, kuris yra bazės laipsnis, išreiškiamas kaip atvirkštinė trupmena. Pateiksime ją kaip apverstą trupmeną:

Trupmeninio koeficiento negalima palikti priekyje, nes tokiu atveju šio žymėjimo negalėsime pavaizduoti kaip kanoninės formos (juk kanoninėje formoje prieš antrąjį logaritmą papildomo koeficiento nėra). Todėl kaip laipsnį prie argumento pridėkime trupmeną 1/4:

Dabar sulyginame argumentus, kurių pagrindai yra vienodi (o mūsų pagrindai iš tikrųjų yra tokie patys), ir rašome:

x + 5 = 1

x = −4

Tai viskas. Gavome atsakymą į pirmąją logaritminę lygtį. Atkreipkite dėmesį: pradinėje užduotyje kintamasis x rodomas tik viename žurnale ir jo argumente. Todėl nereikia tikrinti domeno, o mūsų skaičius x = −4 iš tikrųjų yra atsakymas.

Dabar pereikime prie antrosios išraiškos:

log 56 = log 2 log 2 7 – 3 log (x + 4)

Čia, be įprastų logaritmų, teks dirbti su log f (x). Kaip išspręsti tokią lygtį? Nepasiruošusiam mokiniui gali atrodyti, kad tai sunki užduotis, bet iš tikrųjų viską galima išspręsti elementariai.

Atidžiai pažvelkite į terminą lg 2 log 2 7. Ką apie tai galime pasakyti? Log ir lg pagrindai ir argumentai yra vienodi, ir tai turėtų suteikti tam tikrų idėjų. Dar kartą prisiminkime, kaip galios išimamos iš po logaritmo ženklo:

log a b n = nlog a b

Kitaip tariant, tai, kas argumente buvo b galia, tampa veiksniu prieš patį logą. Šią formulę pritaikykime reiškiniui lg 2 log 2 7. Neišsigąskite lg 2 – tai dažniausiai pasitaikanti išraiška. Galite perrašyti taip:

Jam galioja visos taisyklės, taikomos bet kuriam kitam logaritmui. Visų pirma prie argumento laipsnio gali būti pridėtas veiksnys priešais. Užsirašykime:

Labai dažnai mokiniai šio veiksmo tiesiogiai nemato, nes nėra gerai įvesti vieną rąstą po kito ženklu. Tiesą sakant, tame nėra nieko nusikalstamo. Be to, gauname formulę, kurią lengva apskaičiuoti, jei atsimenate svarbią taisyklę:

Šią formulę galima laikyti ir apibrėžimu, ir viena iš jos savybių. Bet kokiu atveju, jei konvertuojate logaritminę lygtį, turėtumėte žinoti šią formulę taip, kaip žinotumėte bet kurio skaičiaus logaritmą.

Grįžkime prie savo užduoties. Perrašome atsižvelgdami į tai, kad pirmasis lygybės ženklo dešinėje esantis narys bus tiesiog lygus lg 7. Turime:

lg 56 = lg 7–3 lg (x + 4)

Perkelkime lg 7 į kairę, gausime:

lg 56 – lg 7 = –3 lg (x + 4)

Atimame kairėje esančias išraiškas, nes jų pagrindas yra tas pats:

lg (56/7) = –3 lg (x + 4)

Dabar atidžiau pažvelkime į gautą lygtį. Tai praktiškai kanoninė forma, tačiau dešinėje yra koeficientas −3. Pridėkime jį prie tinkamo lg argumento:

log 8 = log (x + 4) −3

Prieš mus yra kanoninė logaritminės lygties forma, todėl išbraukiame lg ženklus ir sulyginame argumentus:

(x + 4) –3 = 8

x + 4 = 0,5

tai viskas! Išsprendėme antrąją logaritminę lygtį. Šiuo atveju papildomų patikrinimų nereikia, nes pradinėje užduotyje x buvo tik viename argumente.

Leiskite dar kartą išvardinti pagrindinius šios pamokos dalykus.

Pagrindinė formulė, kuri mokoma visose šio puslapio pamokose, skirtose logaritminėms lygtims spręsti, yra kanoninė forma. Ir neišsigąskite dėl to, kad daugumoje mokyklinių vadovėlių tokias problemas mokoma spręsti kitaip. Šis įrankis veikia labai efektyviai ir leidžia išspręsti daug platesnę užduočių grupę nei pačios paprasčiausios, kurias nagrinėjome pačioje pamokos pradžioje.

Be to, norint išspręsti logaritmines lygtis, bus naudinga žinoti pagrindines savybes. Būtent:

1. Perėjimo į vieną bazę formulė ir specialus atvejis, kai registruojame atvirkščiai (tai mums buvo labai naudinga atliekant pirmąją problemą);
2. Logaritmo ženklo galių pridėjimo ir atėmimo formulė. Čia daugelis studentų įstringa ir nemato, kad paimtame ir įvestame laipsnyje gali būti log f (x). Nėra nieko blogo. Galime įvesti vieną rąstą pagal kito ženklą ir tuo pačiu gerokai supaprastinti problemos sprendimą, ką ir stebime antruoju atveju.

Baigdamas noriu pridurti, kad nebūtina tikrinti apibrėžimo srities kiekvienu iš šių atvejų, nes visur kintamasis x yra tik viename log ženkle, o tuo pačiu yra ir jo argumente. Dėl to visi taikymo srities reikalavimai įvykdomi automatiškai.

Problemos su kintamu pagrindu

Šiandien pažvelgsime į logaritmines lygtis, kurios daugeliui studentų atrodo nestandartinės, jei ne visiškai neišsprendžiamos. Kalbame apie išraiškas, kurios pagrįstos ne skaičiais, o kintamaisiais ir net funkcijomis. Tokias konstrukcijas spręsime naudodami standartinę techniką, būtent per kanoninę formą.

Pirmiausia prisiminkime, kaip sprendžiamos paprasčiausios problemos, remiantis įprastais skaičiais. Taigi, vadinama paprasčiausia konstrukcija

log a f (x) = b

Norėdami išspręsti tokias problemas, galime naudoti šią formulę:

b = log a a b

Perrašome savo pradinę išraišką ir gauname:

log a f (x) = log a a b

Tada sulyginame argumentus, t.y. rašome:

f (x) = a b

Taip atsikratome rąsto ženklo ir išsprendžiame įprastą problemą. Šiuo atveju iš sprendinio gautos šaknys bus pradinės logaritminės lygties šaknys. Be to, įrašas, kai ir kairė, ir dešinė yra tame pačiame logaritme su ta pačia baze, vadinamas kanonine forma. Būtent iki tokio rekordo mes stengsimės sumažinti šiandienos dizainą. Taigi, eime.

Pirma užduotis:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

Pakeiskite 1 log x − 2 (x − 2) 1 . Laipsnis, kurį stebime argumente, iš tikrųjų yra skaičius b, esantis lygybės ženklo dešinėje. Taigi, perrašykime savo išraišką. Mes gauname:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Ką mes matome? Prieš mus yra kanoninė logaritminės lygties forma, todėl galime saugiai sulyginti argumentus. Mes gauname:

2x 2 - 13x + 18 = x - 2

Tačiau sprendimas tuo nesibaigia, nes ši lygtis nėra lygiavertė pradinei. Galų gale, gauta konstrukcija susideda iš funkcijų, kurios yra apibrėžtos visoje skaičių eilutėje, o mūsų pradiniai logaritmai yra apibrėžti ne visur ir ne visada.

Todėl apibrėžimo sritį turime užrašyti atskirai. Neskaidykime plaukų ir pirmiausia surašykime visus reikalavimus:

Pirma, kiekvieno logaritmo argumentas turi būti didesnis nei 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Antra, bazė turi būti ne tik didesnė nei 0, bet ir skirtis nuo 1:

x – 2 ≠ 1

Kaip rezultatas, mes gauname sistemą:

Tačiau neišsigąskite: apdorojant logaritmines lygtis tokia sistema gali būti gerokai supaprastinta.

Spręskite patys: viena vertus, iš mūsų reikalaujama, kad kvadratinė funkcija būtų didesnė už nulį, kita vertus, ši kvadratinė funkcija prilyginama tam tikrai tiesinei išraiškai, kuri taip pat reikalaujama, kad ji būtų didesnė už nulį.

Šiuo atveju, jei reikalaujame, kad x − 2 > 0, tada reikalavimas 2x 2 − 13x + 18 > 0 bus automatiškai įvykdytas. Todėl galime saugiai išbraukti nelygybę, kurioje yra kvadratinė funkcija. Taigi mūsų sistemoje esančių išraiškų skaičius bus sumažintas iki trijų.

Žinoma, su tokia pačia sėkme galėtume nubraukti tiesinę nelygybę, tai yra, nubraukti x − 2 > 0 ir reikalauti, kad 2x 2 − 13x + 18 > 0. Tačiau sutiksite, kad paprasčiausią tiesinę nelygybę išspręsti yra daug greičiau. ir paprastesnis, nei kvadratinis, net su sąlyga, kad išsprendę visą šią sistemą gausime tas pačias šaknis.

Apskritai, kai tik įmanoma, stenkitės optimizuoti skaičiavimus. O logaritminių lygčių atveju išbraukite sunkiausias nelygybes.

Perrašykime savo sistemą:

Čia yra trijų posakių sistema, iš kurių dvi iš tikrųjų jau nagrinėjome. Atskirai išrašykime kvadratinę lygtį ir išspręskime:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Prieš mus yra sumažintas kvadratinis trinaris, todėl galime naudoti Vietos formules. Mes gauname:

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Dabar grįžtame į savo sistemą ir nustatome, kad x = 2 mums netinka, nes reikalaujama, kad x būtų griežtai didesnis už 2.

Bet x = 5 mums puikiai tinka: skaičius 5 didesnis už 2, o tuo pačiu 5 nelygus 3. Todėl vienintelis šios sistemos sprendimas bus x = 5.

Štai viskas, problema išspręsta, įskaitant atsižvelgiant į ODZ. Pereikime prie antrosios lygties. Daugiau įdomių ir informatyvių skaičiavimų mūsų laukia čia:

Pirmas žingsnis: kaip ir praėjusį kartą, visą šį reikalą perkeliame į kanoninę formą. Norėdami tai padaryti, skaičių 9 galime parašyti taip:

Jūs neturite liesti pagrindo su šaknimi, bet geriau pakeisti argumentą. Pereikime nuo šaknies prie laipsnio su racionaliuoju rodikliu. Užsirašykime:

Leiskite neperrašyti visos mūsų didelės logaritminės lygties, o tiesiog iš karto sulyginti argumentus:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Prieš mus yra naujai sumažintas kvadratinis trinaris, panaudokime Vietos formules ir parašykime:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Taigi, gavome šaknis, bet niekas negarantavo, kad jos atitiks pradinę logaritminę lygtį. Juk rąstų ženklai nustato papildomus apribojimus (čia turėjome užsirašyti sistemą, bet dėl ​​visos struktūros gremėzdiškumo nusprendžiau apibrėžimo sritį skaičiuoti atskirai).

Visų pirma, atminkite, kad argumentai turi būti didesni nei 0, būtent:

Tai yra apibrėžimo apimties keliami reikalavimai.

Iš karto atkreipkime dėmesį, kad kadangi pirmąsias dvi sistemos išraiškas prilyginsime viena kitai, bet kurią iš jų galime išbraukti. Pirmąjį išbraukime, nes jis atrodo grėsmingesnis nei antrasis.

Be to, atkreipkite dėmesį, kad antrosios ir trečiosios nelygybės sprendiniai bus tos pačios aibės (kai kurių skaičių kubas yra didesnis už nulį, jei pats skaičius yra didesnis už nulį; panašiai ir su trečiojo laipsnio šaknimi - šios nelygybės yra visiškai analogiški, todėl galime išbraukti).

Tačiau su trečiąja nelygybe tai neveiks. Atsikratykime radikalaus ženklo kairėje, pakeldami abi dalis į kubą. Mes gauname:

Taigi gauname šiuos reikalavimus:

− 2 ≠ x > −3

Kuri iš mūsų šaknų: x 1 = −3 arba x 2 = −1 atitinka šiuos reikalavimus? Akivaizdu, kad tik x = −1, nes x = −3 netenkina pirmosios nelygybės (nes mūsų nelygybė yra griežta). Taigi, grįžtant prie uždavinio, gauname vieną šaknį: x = −1. Štai ir viskas, problema išspręsta.

Vėlgi, pagrindiniai šios užduoties punktai:

1. Nedvejodami pritaikykite ir spręskite logaritmines lygtis naudodami kanoninę formą. Studentai, kurie daro tokį žymėjimą, užuot pereidami tiesiai nuo pradinės problemos prie tokios konstrukcijos kaip log a f (x) = b, daro daug mažiau klaidų nei tie, kurie kažkur skuba, praleidžiant tarpinius skaičiavimo veiksmus;
2. Kai tik logaritme atsiranda kintamoji bazė, problema nustoja būti pati paprasčiausia. Todėl ją sprendžiant būtina atsižvelgti į apibrėžimo sritį: argumentai turi būti didesni už nulį, o pagrindai turi būti ne tik didesni už 0, bet ir nelygūs 1.

Galutiniai reikalavimai gali būti taikomi galutiniams atsakymams įvairiais būdais. Pavyzdžiui, galite išspręsti visą sistemą, kurioje yra visi apibrėžimo srities reikalavimai. Kita vertus, pirmiausia galite išspręsti pačią problemą, o tada prisiminti apibrėžimo sritį, atskirai ją sukurti sistemos pavidalu ir pritaikyti gautoms šaknims.

Kurį metodą pasirinkti sprendžiant konkrečią logaritminę lygtį, priklauso nuo jūsų. Bet kokiu atveju atsakymas bus tas pats.