Minusas pliusas pridedant duoda ženklą. Kodėl minusas kartus minusas duoda pliusą?

Minusas ir pliusas yra neigiamų ir teigiamų skaičių ženklai matematikoje. Jie skirtingai sąveikauja su savimi, todėl atliekant bet kokias operacijas su skaičiais, pavyzdžiui, dalyba, daugyba, atėmimas, sudėtis ir pan., būtina atsižvelgti į pasirašyti taisykles. Be šių taisyklių niekada nepavyks išspręsti net paprasčiausio algebrinio ar geometrinio uždavinio. Nežinodami šių taisyklių negalėsite mokytis ne tik matematikos, bet ir fizikos, chemijos, biologijos ir net geografijos.

Pažvelkime atidžiau į pagrindines ženklų taisykles.

Padalinys.

Jei „pliusą“ padaliname iš „minuso“, visada gauname „minusą“. Jei „minusą“ padaliname iš „pliuso“, visada gauname ir „minusą“. Jei „pliusą“ padalinsime iš „pliuso“, gausime „pliusą“. Jei „minusą“ padalinsime iš „minuso“, kaip bebūtų keista, gauname ir „pliusą“.

Daugyba.

Jei „minusą“ padauginame iš „pliuso“, visada gauname „minusą“. Jei „pliusą“ padauginame iš „minuso“, visada gauname ir „minusą“. Jei „pliusą“ padauginsime iš „pliuso“, gausime teigiamą skaičių, tai yra „pliusą“. Tas pats pasakytina apie du neigiamus skaičius. Jei „minusą“ padauginsime iš „minuso“, gausime „pliusą“.

Atimtis ir pridėjimas.

Jie pagrįsti skirtingais principais. Jei neigiamas skaičius absoliučia verte yra didesnis už mūsų teigiamą, tada rezultatas, žinoma, bus neigiamas. Žinoma, jums įdomu, kas yra modulis ir kodėl jis čia yra. Tai labai paprasta. Modulis yra skaičiaus reikšmė, bet be ženklo. Pavyzdžiui -7 ir 3. Modulo -7 tiesiog bus 7, o 3 liks 3. Dėl to matome, kad 7 yra didesnis, tai yra, pasirodo, kad mūsų neigiamas skaičius yra didesnis. Taigi išeina -7+3 = -4. Jį galima padaryti dar paprasčiau. Tiesiog įdėkite teigiamą skaičių į pirmąją vietą ir jis išeis 3-7 = -4, galbūt kažkam tai yra aiškiau. Atimtis veikia lygiai tuo pačiu principu.

Du neigiami dalykai daro teigiamą– Tai taisyklė, kurios išmokome mokykloje ir taikome visą gyvenimą. O kam iš mūsų buvo įdomu kodėl? Žinoma, lengviau atsiminti šį teiginį neuždarant nereikalingų klausimų ir nesigilinti į problemos esmę. Dabar jau yra pakankamai informacijos, kurią reikia „suvirškinti“. Tačiau tiems, kurie vis dar domisi šiuo klausimu, pabandysime paaiškinti šį matematinį reiškinį.

Nuo seniausių laikų žmonės naudojo teigiamus natūraliuosius skaičius: 1, 2, 3, 4, 5,... Skaičiais buvo skaičiuojami gyvuliai, derliai, priešai ir kt. Sudėjus ir padauginus du teigiamus skaičius, jie visada gaudavo teigiamą skaičių dalijant vieną dydį iš kito, ne visada gaudavo natūraliuosius skaičius – taip atsirado trupmeniniai skaičiai. O atimti? Nuo vaikystės žinome, kad prie daugiau geriau pridėti mažiau, o iš daugiau atimti mažiau, ir vėlgi nenaudojame neigiamų skaičių. Pasirodo, jei turiu 10 obuolių, galiu kažkam duoti tik mažiau nei 10 ar 10. Jokiu būdu negaliu duoti 13 obuolių, nes aš jų neturiu. Neigiamų skaičių ilgai nereikėjo.

Tik nuo VII a. Neigiami skaičiai kai kuriose skaičiavimo sistemose buvo naudojami kaip pagalbiniai dydžiai, kurie leido gauti teigiamą skaičių atsakyme.

Pažiūrėkime į pavyzdį, 6x – 30 = 3x – 9. Norint rasti atsakymą, reikia kairėje pusėje palikti terminus su nežinomais, o likusius – dešinėje: 6x – 3x = 30 – 9, 3x = 21, x = 7 Sprendžiant šią lygtį, mes net Nebuvo neigiamų skaičių. Terminus su nežinomaisiais galėtume perkelti į dešinę, o be nežinomųjų į kairę: 9 – 30 = 3x – 6x, (-21) = (-3x). Neigiamą skaičių dalijant iš neigiamo, gauname teigiamą atsakymą: x = 7.

Ką mes matome?

Dirbdami su neigiamais skaičiais turėtume gauti tą patį atsakymą, kaip ir dirbant tik su teigiamais skaičiais. Nebereikia galvoti apie praktinį veiksmų neįmanomumą ir prasmingumą – jie padeda daug greičiau išspręsti problemą, nesumažinant lygties iki formos, kurioje yra tik teigiami skaičiai. Mūsų pavyzdyje mes nenaudojome sudėtingų skaičiavimų, tačiau jei yra daug terminų, skaičiavimai su neigiamais skaičiais gali palengvinti mūsų darbą.

Laikui bėgant, po ilgų eksperimentų ir skaičiavimų, buvo galima nustatyti taisykles, kurios reglamentuoja visus skaičius ir su jais susijusias operacijas (matematikoje jos vadinamos aksiomomis). Štai iš kur jis atsirado aksioma, teigianti, kad padauginus du neigiamus skaičius, gauname teigiamą skaičių.

www.svetainė, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Klausydamiesi matematikos mokytojo, dauguma mokinių medžiagą suvokia kaip aksiomą. Tuo pačiu metu nedaugelis bando įsijausti į esmę ir išsiaiškinti, kodėl „minusas“ iš „pliuso“ suteikia „minuso“ ženklą, o padauginus du neigiamus skaičius gaunamas teigiamas rezultatas.

Matematikos dėsniai

Dauguma suaugusiųjų negali paaiškinti nei sau, nei savo vaikams, kodėl taip nutinka. Jie tvirtai įsisavino šią medžiagą mokykloje, bet net nebandė išsiaiškinti, iš kur atsirado tokios taisyklės. Bet veltui. Dažnai šiuolaikiniai vaikai nėra tokie patiklūs, kad jiems reikia įsigilinti į esmę ir suprasti, tarkime, kodėl „pliusas“ ir „minusas“ suteikia „minusą“. Ir kartais berniukai sąmoningai užduoda keblius klausimus, kad galėtų mėgautis akimirka, kai suaugusieji negali duoti suprantamo atsakymo. Ir tai tikrai nelaimė, jei jaunas mokytojas patenka į bėdą...

Beje, reikia pastebėti, kad aukščiau minėta taisyklė galioja tiek dauginant, tiek dalinant. Neigiamo ir teigiamo skaičiaus sandauga duos tik „minusą“. Jei kalbame apie du skaitmenis su „-“ ženklu, rezultatas bus teigiamas skaičius. Tas pats pasakytina ir apie padalijimą. Jei vienas iš skaičių yra neigiamas, koeficientas taip pat turės ženklą „-“.

Norint paaiškinti šio matematikos dėsnio teisingumą, būtina suformuluoti žiedo aksiomas. Bet pirmiausia turite suprasti, kas tai yra. Matematikoje žiedas yra rinkinys, apimantis dvi operacijas su dviem elementais. Bet geriau tai suprasti pavyzdžiu.

Žiedo aksioma

Yra keli matematiniai dėsniai.

Pirmasis iš jų yra komutacinis, pagal jį C + V = V + C.
Antrasis vadinamas asociatyviniu (V + C) + D = V + (C + D).

Jiems paklūsta ir daugyba (V x C) x D = V x (C x D).

Niekas nepanaikino taisyklių, pagal kurias atidaromi skliaustai (V + C) x D = V x D + C x D, tiesa, kad C x (V + D) = C x V + C x D.

Be to, nustatyta, kad į žiedą galima įvesti specialų, papildomo neutralumo elementą, kurį naudojant bus teisinga: C + 0 = C. Be to, kiekvienam C yra priešingas elementas, kuris gali žymimas (-C). Šiuo atveju C + (-C) = 0.

Neigiamų skaičių aksiomų išvedimas

Priėmę aukščiau pateiktus teiginius, galime atsakyti į klausimą: „Kokį ženklą duoda pliusas ir minusas? Žinant aksiomą apie neigiamų skaičių dauginimą, būtina patvirtinti, kad iš tiesų (-C) x V = -(C x V). Ir taip pat, kad ši lygybė yra teisinga: (-(-C)) = C.

Norėdami tai padaryti, pirmiausia turėsite įrodyti, kad kiekvienas elementas turi tik vieną priešingą „brolį“. Apsvarstykite toliau pateiktą įrodymo pavyzdį. Pabandykime įsivaizduoti, kad C du skaičiai yra priešingi - V ir D. Iš to išplaukia, kad C + V = 0 ir C + D = 0, tai yra, C + V = 0 = C + D. Prisimenant dėsnius komutaciją ir apie skaičiaus 0 savybes, galime svarstyti visų trijų skaičių sumą: C, V ir D. Pabandykime išsiaiškinti V reikšmę. Logiška, kad V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, nes C + D reikšmė, kaip buvo manoma aukščiau, lygi 0. Tai reiškia, kad V = V + C + D.

D reikšmė išvedama tokiu pačiu būdu: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Iš to paaiškėja, kad V = D.

Kad suprastumėte, kodėl „pliusas“ prie „minuso“ vis tiek suteikia „minusą“, turite suprasti šiuos dalykus. Taigi elementui (-C) C ir (-(-C)) yra priešingi, tai yra, jie yra lygūs vienas kitam.

Tada akivaizdu, kad 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Iš to išplaukia, kad C x V yra (-)C x V priešingybė, o tai reiškia (- C) x V = -(C x V).

Siekiant visiško matematinio griežtumo, taip pat būtina patvirtinti, kad 0 x V = 0 bet kuriam elementui. Jei vadovausitės logika, tai 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. Tai reiškia, kad sudėjus sandaugą 0 x V, nustatyta suma niekaip nekeičiama. Juk šis produktas lygus nuliui.

Žinodami visas šias aksiomas, galite išvesti ne tik tai, kiek duoda "pliusas" ir "minusas", bet ir tai, kas atsitinka dauginant neigiamus skaičius.

Dviejų skaičių padauginimas ir padalijimas su „-“ ženklu

Jei nesigilinate į matematinius niuansus, galite pabandyti paprasčiau paaiškinti veikimo su neigiamais skaičiais taisykles.

Tarkime, kad C - (-V) = D, remiantis tuo, C = D + (-V), tai yra, C = D - V. Perkeliame V ir gauname, kad C + V = D. Tai yra, C + V = C - (-V). Šis pavyzdys paaiškina, kodėl reiškinyje, kuriame yra du „minusai“ iš eilės, minėti ženklai turėtų būti pakeisti į „pliusą“. Dabar pažiūrėkime į dauginimą.

(-C) x (-V) = D, prie išraiškos galite pridėti ir atimti du vienodus sandaugus, kurie nepakeis jo reikšmės: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) = D.

Prisimindami darbo su skliausteliais taisykles, gauname:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Iš to išplaukia, kad C x V = (-C) x (-V).

Panašiai galima įrodyti, kad padalijus du neigiamus skaičius gaunamas teigiamas skaičius.

Bendrosios matematikos taisyklės

Žinoma, šis paaiškinimas netinka pradinių klasių mokiniams, kurie tik pradeda mokytis abstrakčių neigiamų skaičių. Jiems geriau aiškinti ant matomų objektų, manipuliuojant jiems pažįstamu terminu „žiūri stiklas“. Pavyzdžiui, ten stovi sugalvoti, bet neegzistuojantys žaislai. Jie gali būti rodomi su „-“ ženklu. Padauginus du veidrodinius objektus, jie perkeliami į kitą pasaulį, kuris prilyginamas tikrajam, tai yra, dėl to gauname teigiamus skaičius. Tačiau padauginus abstraktų neigiamą skaičių iš teigiamo, gaunamas tik visiems žinomas rezultatas. Juk „pliusas“ padaugintas iš „minuso“ duoda „minusą“. Tiesa, vaikai tikrai nesistengia perprasti visų matematinių niuansų.

Nors, tiesą sakant, daugeliui žmonių, net ir turintiems aukštąjį išsilavinimą, daugelis taisyklių lieka paslaptimi. Kiekvienas laiko savaime suprantamu dalyku tai, ko mokytojai juos moko, nesunkiai įsigilina į visus matematikos slypinčius sudėtingumus. „Minusas“ reiškia „minusą“ suteikia „pliusą“ - tai žino visi be išimties. Tai galioja tiek sveikiesiems, tiek trupmeniniams skaičiams.

Matematikos dėsniai

Žiedo aksioma

Yra keli matematiniai dėsniai.

Pirmasis iš jų yra komutacinis, pagal jį C + V = V + C.
Antrasis vadinamas asociatyviniu (V + C) + D = V + (C + D).

Jiems paklūsta ir daugyba (V x C) x D = V x (C x D).

Niekas nepanaikino taisyklių, pagal kurias atidaromi skliaustai (V + C) x D = V x D + C x D, tiesa, kad C x (V + D) = C x V + C x D.

Neigiamų skaičių aksiomų išvedimas

D reikšmė išvedama tokiu pačiu būdu: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Iš to paaiškėja, kad V = D.

Tada akivaizdu, kad 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Iš to išplaukia, kad C x V yra (-)C x V priešingybė, o tai reiškia (- C) x V = -(C x V).

Žinodami visas šias aksiomas, galite išvesti ne tik tai, kiek duoda "pliusas" ir "minusas", bet ir tai, kas atsitinka dauginant neigiamus skaičius.

Dviejų skaičių padauginimas ir padalijimas su „-“ ženklu

Jei nesigilinate į matematinius niuansus, galite pabandyti paprasčiau paaiškinti veikimo su neigiamais skaičiais taisykles.

(-C) x (-V) = D, prie išraiškos galite pridėti ir atimti du vienodus sandaugus, kurie nepakeis jo reikšmės: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) = D.

Prisimindami darbo su skliausteliais taisykles, gauname:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Iš to išplaukia, kad C x V = (-C) x (-V).

Panašiai galima įrodyti, kad padalijus du neigiamus skaičius gaunamas teigiamas skaičius.

Bendrosios matematikos taisyklės

Kodėl minusas kartus minusas duoda pliusą?

- (1 pagaliukas) - (2 pagaliukai) = ((1 pagaliukas)+(2 pagaliukai))= 2 pagaliukai (Ir du pagaliukai yra lygūs + nes prie stulpo yra 2 pagaliukai)))

Minusas ant minuso suteikia pliusą, nes tai yra mokyklos taisyklė. Šiuo metu, mano nuomone, nėra tikslaus atsakymo, kodėl. Tai yra taisyklė ir ji galioja daugelį metų. Tik reikia atsiminti, kad šleifas už šlakelį duoda skalbinių segtuką.

Iš mokyklinio matematikos kurso žinome, kad minusas kartus minusas duoda pliusą. Taip pat yra supaprastintas, humoristinis šios taisyklės paaiškinimas: minusas yra viena eilutė, du minusai yra dvi eilutės, pliusas susideda iš dviejų eilučių. Todėl minusas po minuso suteikia pliuso ženklą.

Aš galvoju taip: minusas yra lazdelė - pridėkite dar vieną minuso lazdelę - tada gausite du pagaliukus, o jei juos sujungsite skersai, gausite + ženklą, štai ką aš pasakiau apie savo nuomonę klausimu: minusas prie minuso pliuso .

Minusas už minusą ne visada duoda pliusą, net ir matematikoje. Bet iš esmės šį teiginį lyginu su matematika, kur jis pasitaiko dažniausiai. Dar sako, kad išmuša laužtuvu – man tai irgi kažkaip asocijuojasi su trūkumais.

Įsivaizduokite, kad pasiskolinote 100 rublių. Dabar jūsų rezultatas: -100 rublių. Tada jūs grąžinote šią skolą. Taigi išeina, kad jūs sumažinote (-) savo skolą (-100) ta pačia pinigų suma. Gauname: -100-(-100)=0

Minuso ženklas rodo priešingai: priešingas skaičius 5 yra -5. Bet -(-5) yra priešingas skaičius priešingai, t.y. 5.

Kaip pokštuose:

1 - Kur yra priešinga gatvės pusė?

2 - iš kitos pusės

1 - ir jie pasakė, kad apie tai...

Įsivaizduokime svarstykles su dviem dubenimis. Kas visada turi pliuso ženklą dešiniajame dubenyje, visada turi minuso ženklą kairiajame dubenyje. Dabar padauginus iš skaičiaus su pliuso ženklu reikš, kad jis bus tame pačiame dubenyje, o padauginus iš skaičiaus su minuso ženklu, rezultatas bus perkeltas į kitą dubenį. Pavyzdžiai. 5 obuolius padauginame iš 2. Ant dešiniojo dubenėlio gauname 10 obuolių. Padauginame - 5 obuolius iš 2, ir kairiajame dubenyje gauname 10 obuolių, tai yra -10. Dabar padauginkite -5 iš -2. Tai reiškia, kad 5 obuoliai kairiajame dubenyje buvo padauginti iš 2 ir perkelti į dešinįjį dubenį, tai yra, atsakymas yra 10. Įdomu tai, kad padauginus pliusą iš minuso, tai yra obuolius dešiniajame dubenyje, gaunamas neigiamas rezultatas. , tai yra, obuoliai juda į kairę. O paliktus minuso obuolius padauginus iš pliuso, jie lieka minuse, kairiajame dubenyje.

Manau, kad tai galima parodyti taip. Jei į penkis krepšelius sudėsite penkis obuolius, iš viso bus 25 obuoliai. Krepšiuose. O minus penki obuoliai reiškia, kad aš apie juos nepranešiau, o išėmiau iš kiekvieno iš penkių krepšelių. ir pasirodė tie patys 25 obuoliai, bet ne krepšeliuose. Todėl krepšeliai eina į minusą.

Tai taip pat puikiai galima parodyti tokiu pavyzdžiu. Jei jūsų namuose kilo gaisras, tai yra minusas. Bet jei taip pat pamiršote atsukti čiaupą vonioje ir užliejo potvynis, tai taip pat yra minusas. Bet tai yra atskirai. Bet jei viskas įvyko tuo pačiu metu, tai minusas už minusą suteikia pliusą, o jūsų butas turi galimybę išgyventi.