Polinomo laipsnis ir standartinė daugianario forma. Žodžio daugianomas reikšmė

- daugianario. Šiame straipsnyje pateiksime visą pradinę ir reikalingą informaciją apie daugianario. Tai, pirma, apima daugianario apibrėžimą su pridedamais daugianario terminų apibrėžimais, ypač laisvuoju terminu ir panašiais terminais. Antra, pasiliksime ties standartinės formos daugianariais, pateiksime atitinkamą apibrėžimą ir pateiksime jų pavyzdžių. Galiausiai supažindinsime su daugianario laipsnio apibrėžimu, išsiaiškinsime, kaip jį rasti, ir pakalbėsime apie daugianario narių koeficientus.

Puslapio naršymas.

Polinomas ir jo terminai – apibrėžimai ir pavyzdžiai

7 klasėje daugianariai tiriami iškart po mononomų, tai suprantama, nes daugianario apibrėžimas duodama per monomiją. Pateiksime šį apibrėžimą, kad paaiškintume, kas yra daugianomas.

Apibrėžimas.

Polinomas yra monomijų suma; Monomalis laikomas specialiu daugianario atveju.

Rašytinis apibrėžimas leidžia pateikti tiek daugianarių pavyzdžių, kiek norite. Bet kuris iš monomijų 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0,6 x (−2) y 12 ir kt. yra daugianario. Be to, pagal apibrėžimą 1+x, a 2 +b 2 ir yra daugianariai.

Polinomų apibūdinimo patogumui pateikiamas daugianario termino apibrėžimas.

Apibrėžimas.

Polinominiai terminai yra daugianario sudėtiniai monomai.

Pavyzdžiui, daugianomas 3 x 4 −2 x y+3−y 3 susideda iš keturių narių: 3 x 4 , −2 x y , 3 ir −y 3 . Monomialu laikomas daugianomas, susidedantis iš vieno nario.

Apibrėžimas.

Polinomai, susidedantys iš dviejų ir trijų terminų, turi specialius pavadinimus - dvinario Ir trinamis atitinkamai.

Taigi x+y yra dvinaris, o 2 x 3 q−q x x x+7 b yra trinaris.

Mokykloje dažniausiai tenka dirbti su tiesinis dvinaris a x+b , kur a ir b yra kai kurie skaičiai, o x yra kintamasis, taip pat c kvadratinis trinaris a·x 2 +b·x+c, kur a, b ir c yra kai kurie skaičiai, o x yra kintamasis. Čia pateikiami tiesinių dvinarių pavyzdžiai: x+1, x 7,2–4, o štai kvadratinių trinarių pavyzdžiai: x 2 +3 x–5 ir .

Polinomai savo žymėjime gali turėti panašius terminus. Pavyzdžiui, daugianario 1+5 x−3+y+2 x panašūs nariai yra 1 ir −3, taip pat 5 x ir 2 x. Jie turi savo specialų pavadinimą – panašius daugianario terminus.

Apibrėžimas.

Panašūs daugianario terminai vadinami panašūs daugianario terminai.

Ankstesniame pavyzdyje 1 ir −3, taip pat pora 5 x ir 2 x yra panašūs daugianario nariai. Polinomuose, kurių terminai yra panašūs, galite sumažinti panašius terminus, kad supaprastintumėte jų formą.

Standartinės formos polinomas

Polinomams, kaip ir mononomams, yra vadinamoji standartinė forma. Ištarkime atitinkamą apibrėžimą.

Remdamiesi šiuo apibrėžimu, galime pateikti standartinės formos daugianario pavyzdžių. Taigi daugianariai 3 x 2 −x y+1 ir parašyta standartine forma. O išraiškos 5+3 x 2 −x 2 +2 x z ir x+x y 3 x x z 2 +3 z nėra standartinės formos daugianariai, nes pirmajame iš jų yra panašūs terminai 3 x 2 ir −x 2, o antrasis – vienatūris x·y 3 ·x·z 2 , kurio forma skiriasi nuo standartinės.

Atminkite, kad, jei reikia, visada galite sumažinti daugianarį iki standartinės formos.

Kita sąvoka, susijusi su standartinės formos daugianariais, yra daugianario laisvojo nario sąvoka.

Apibrėžimas.

Laisvasis daugianario narys yra standartinės formos daugianario narys be raidės dalies.

Kitaip tariant, jei standartinės formos daugianario yra skaičius, tada jis vadinamas laisvuoju nariu. Pavyzdžiui, 5 yra daugianario x 2 z+5 laisvasis narys, tačiau daugianario 7 a+4 a b+b 3 laisvasis narys neturi.

Polinomo laipsnis – kaip jį rasti?

Kitas svarbus susijęs apibrėžimas yra daugianario laipsnio apibrėžimas. Pirma, apibrėžiame standartinės formos daugianario laipsnį.

Apibrėžimas.

Standartinės formos daugianario laipsnis yra didžiausias iš monomijų, įtrauktų į jo žymėjimą, galių.

Pateikime pavyzdžių. Polinomo 5 x 3 −4 laipsnis yra lygus 3, nes į jį įtraukti monomai 5 x 3 ir −4 turi atitinkamai 3 ir 0 laipsnius, didžiausias iš šių skaičių yra 3, tai yra daugianario laipsnis. pagal apibrėžimą. Ir daugianario laipsnis 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 x lygus didžiausiam iš skaičių 2+3=5, 4+1=5 ir 1, tai yra 5.

Dabar išsiaiškinkime, kaip rasti bet kokios formos daugianario laipsnį.

Apibrėžimas.

Savavališkos formos daugianario laipsnis vadinti atitinkamo standartinės formos daugianario laipsnį.

Taigi, jei daugianario parašytas ne standartine forma, o reikia rasti jo laipsnį, tuomet reikia redukuoti pradinį daugianarį į standartinę formą ir rasti gauto daugianario laipsnį – jis bus reikalingas. Pažvelkime į sprendimo pavyzdį.

Pavyzdys.

Raskite daugianario laipsnį 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

Sprendimas.

Pirmiausia turite pavaizduoti daugianarį standartine forma:
3 a 12 -2 a b c a c b+y 2 z 2 -2 a 12 -a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

Gautą standartinės formos daugianarį sudaro du vienanaliai −2 · a 2 · b 2 · c 2 ir y 2 · z 2 . Raskime jų galias: 2+2+2=6 ir 2+2=4. Akivaizdu, kad didžiausias iš šių laipsnių yra 6, kuris pagal apibrėžimą yra standartinės formos daugianario laipsnis −2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2, taigi ir pradinio daugianario laipsnis., 3 x ir 7 daugianario 2 x−0.5 x y+3 x+7 .

Nuorodos.

• Algebra: vadovėlis 7 klasei bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 17 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 240 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 7 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich. - 17 leidimas, pridėti. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Algebra ir matematinės analizės pradžia. 10 klasė: vadovėlis. bendrajam lavinimui institucijos: pagrindinės ir profilio. lygiai / [Yu. M. Koliaginas, M. V. Tkačiova, N. E. Fedorova, M. I. Šabuninas]; redagavo A. B. Žižčenka. - 3 leidimas. - M.: Švietimas, 2010.- 368 p. : serga. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.

daugianaris, formos išraiška

Axkyl┘..wm + Bxnyp┘..wq + ┘┘ + Dxrts┘..wt,

kur x, y, ..., w ≈ kintamieji, o A, B, ..., D (M koeficientai) ir k, l, ..., t (rodikliai ≈ neneigiami sveikieji skaičiai) ≈ konstantos. Atskiri Ахkyl┘..wm formos terminai vadinami M terminais. Terminų eiliškumas, kaip ir faktorių tvarka kiekviename termine, gali būti savavališkai keičiami; lygiai taip pat galite įvesti arba praleisti terminus su nuliniais koeficientais, o kiekviename atskirame termine ≈ laipsnius su nuliniais koeficientais. Kai struktūra turi vieną, du ar tris narius, ji vadinama vienanariu, dvinariu arba trinariu. Du lygties nariai vadinami panašiais, jei jų eksponentai identiškiems kintamiesiems yra poromis lygūs. Panašūs nariai

A"хkil┘..wm, B"xkil┘..wm, ┘.., D"xkil┘..wm

gali būti pakeistas vienu (atnešant panašius terminus). Du modeliai vadinami lygiais, jei, sumažinus panašius, visi terminai, kurių koeficientai nėra nuliniai, yra poromis identiški (bet galbūt parašyti kita tvarka), taip pat jei visi šių modelių koeficientai yra lygūs nulis. Pastaruoju atveju dydis vadinamas identišku nuliu ir žymimas ženklu 0. Vieno kintamojo x dydis visada gali būti parašytas forma

P(x) = a0xn+ a1xn-1 + ... + an-1x+ an,

kur a0, a1,..., an ≈ koeficientai.

Bet kurio modelio nario eksponentų suma vadinama to nario laipsniu. Jei M nėra identiškas nulis, tai tarp nulinių koeficientų dėmenų (manoma, kad visi tokie nariai pateikti) yra vienas ar keli aukščiausio laipsnio; šis didžiausias laipsnis vadinamas M laipsniu. Identiškas nulis laipsnio neturi. Nulinio laipsnio M. sumažinamas iki vieno nario A (pastovi, nelygu nuliui). Pavyzdžiai: xyz + x + y + z yra trečiojo laipsnio daugianomas, 2x + y ≈ z + 1 yra pirmojo laipsnio daugianario (tiesinis M), 5x2 ≈ 2x2 ≈ 3x2 neturi laipsnio, nes yra identiškas nulis . Modelis, kurio visi nariai yra vienodo laipsnio, vadinamas homogeniniu modeliu arba forma; pirmojo, antrojo ir trečiojo laipsnio formos vadinamos tiesine, kvadratine, kubine, o pagal kintamųjų skaičių (du, trys) dvinare (dvejetaine), trišakiu (trišaliu) (pvz., x2 + y2 + z2 ≈ xy ≈ yz ≈ xz yra trišakio kvadratinė forma ).

Kalbant apie matematikos koeficientus, daroma prielaida, kad jie priklauso tam tikram laukui (žr. Algebrinį lauką), pavyzdžiui, racionaliųjų, realiųjų ar kompleksinių skaičių sričiai. Atliekant sudėties, atimties ir daugybos operacijas pagal modelį, pagrįstą komutaciniais, kombinaciniais ir skirstymo dėsniais, vėl gaunamas modelis. Taigi visų modelių rinkinys su koeficientais iš tam tikro lauko sudaro žiedą (žr žiedas) ≈ daugianario žiedas tam tikrame lauke; šis žiedas neturi nulio daliklių, tai yra, skaičių sandauga, nelygi 0, negali duoti 0.

Jei dviem daugianariams P(x) ir Q(x) galima rasti tokį daugianarį R(x), kad P = QR, tai P sakoma, kad jis dalijasi iš Q; Q vadinamas dalikliu, o R ≈ koeficientas. Jei P nesidalija iš Q, tada galima rasti polinomus P(x) ir S(x), kad P = QR + S, o S(x) laipsnis yra mažesnis už Q(x) laipsnį.

Pakartotinai taikant šią operaciją, galima rasti didžiausią bendrą P ir Q daliklį, tai yra P ir Q daliklį, kuris dalijasi iš bet kurio bendro šių daugianario daliklio (žr. Euklido algoritmą). Matrica, kurią galima pavaizduoti kaip žemesnio laipsnio matricos sandaugą su koeficientais iš tam tikro lauko, vadinama redukuojama (duotame lauke), kitu atveju ji vadinama neredukuojama. Neredukuojami skaičiai vaidina skaičių žiede, panašų į pirminius skaičius sveikųjų skaičių teorijoje. Taigi, pavyzdžiui, teorema yra teisinga: jei sandauga PQ dalijasi iš neredukuojamo daugianario R, bet P nesidalija iš R, tai Q turi dalytis iš R. Kiekvienas M laipsnis, didesnis už nulį, gali būti išskaidomas duotas laukas unikaliu būdu (iki nulinio laipsnio faktorių) paverčiamas neredukuojamų veiksnių sandauga. Pavyzdžiui, daugianomas x4 + 1, neredukuojamas racionaliųjų skaičių lauke, yra koeficientas

realiųjų skaičių srityje ir keturiais veiksniais ═kompleksinių skaičių srityje. Apskritai kiekvienas vieno kintamojo x modelis realiųjų skaičių lauke išskaidomas į pirmojo ir antrojo laipsnio veiksnius, o kompleksinių skaičių – į pirmojo laipsnio veiksnius (pagrindinė algebros teorema). Dėl dviejų ar daugiau kintamųjų to nebegalima pasakyti; pavyzdžiui, daugianomas x3 + yz2 + z3 yra neredukuojamas bet kuriame skaičių lauke.

Jei kintamiesiems x, y, ..., w suteikiamos tam tikros skaitinės reikšmės (pavyzdžiui, tikroji arba kompleksinė), tada M taip pat gaus tam tikrą skaitinę reikšmę. Iš to seka, kad kiekvienas modelis gali būti laikomas atitinkamų kintamųjų funkcija. Ši funkcija yra nuolatinė ir diferencijuojama bet kokioms kintamųjų reikšmėms; ją galima apibūdinti kaip visą racionalią funkciją, ty funkciją, gaunamą iš kintamųjų ir kai kurių konstantų (koeficientų) sudėjus, atimant ir dauginant tam tikra tvarka. Visos racionalios funkcijos yra įtrauktos į platesnę racionaliųjų funkcijų klasę, kur prie išvardytų veiksmų pridedamas padalijimas: bet kurią racionaliąją funkciją galima pavaizduoti kaip dviejų M koeficientą. Galiausiai racionaliosios funkcijos yra įtrauktos į algebrinių funkcijų klasę.

Viena iš svarbiausių matematikos savybių yra ta, kad bet kurią ištisinę funkciją matematika gali pakeisti savavališkai maža paklaida (Weierstrasso teorema; tiksli jos formuluotė reikalauja, kad duotoji funkcija būtų tolydi tam tikroje ribotoje, uždaroje taškų aibėje, pvz. tikrosios linijos atkarpa). Šis faktas, įrodytas matematine analize, leidžia apytiksliai matematiškai išreikšti bet kokį ryšį tarp dydžių, tirtų bet kuriame gamtos mokslų ir technologijų klausimais. Tokios išraiškos metodai tiriami specialiose matematikos skyriuose (žr. Funkcijų aproksimacija ir interpoliacija, Mažiausių kvadratų metodas).

Elementariojoje algebroje polinomas kartais vadinamas algebrine išraiška, kurioje paskutinis veiksmas yra sudėjimas arba atėmimas, pvz.

Lit. : Kurosh A.G., Aukštosios algebros kursas, 9 leidimas, M., 1968; Mishina A.P., Proskuryakov I.V., Aukštoji algebra, 2 leidimas, M., 1965 m.

Pagal apibrėžimą daugianomas yra algebrinė išraiška, vaizduojanti monomijų sumą.

Pavyzdžiui: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 yra daugianariai, o išraiška z/(x - x*y^2 + 4) nėra daugianario, nes ji nėra vienanarių suma. Dauginamas taip pat kartais vadinamas daugianario, o mononomas, kuris yra daugianario dalis, yra daugianario arba mononario nariai.

Sudėtinga daugianario samprata

Jei daugianaris susideda iš dviejų narių, tada jis vadinamas dvinariu, jei susideda iš trijų, jis vadinamas trinamiu. Pavadinimai keturnamis, penkenomis ir kiti nevartojami, o tokiais atvejais tiesiog sakoma daugianaris. Tokie pavadinimai, priklausomai nuo terminų skaičiaus, viską sustato į savo vietas.

Ir terminas monomialas tampa intuityvus. Matematiniu požiūriu monomialas yra ypatingas daugianario atvejis. Monomas yra daugianomas, kurį sudaro vienas narys.

Kaip ir mononomas, daugianomas turi savo standartinę formą. Standartinė daugianario forma – tai toks daugianario žymėjimas, kuriame visi vienanaliai, įtraukti į jį kaip terminai, užrašomi standartine forma ir pateikiami panašūs terminai.

Standartinė daugianario forma

Polinomo sumažinimo iki standartinės formos procedūra yra sumažinti kiekvieną vienanarį į standartinę formą, o tada pridėti visus panašius mononomus. Panašių daugianario narių pridėjimas vadinamas panašumo redukcija.
Pavyzdžiui, pateiksime panašius terminus daugianario 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Sąvokos 4*a*b^2*c^3 ir 6*a*b^2*c^3 čia yra panašios. Šių dėmenų suma bus vienanarė 10*a*b^2*c^3. Todėl pradinį daugianarį 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b galima perrašyti į 10*a*b^2*c^3 - a* b . Šis įrašas bus standartinė daugianario forma.

Iš to, kad bet kurį vienanarį galima redukuoti į standartinę formą, taip pat išplaukia, kad bet kurį daugianarį galima redukuoti į standartinę formą.

Kai daugianario redukuojama į standartinę formą, galime kalbėti apie tokią sąvoką kaip daugianario laipsnis. Polinomo laipsnis yra didžiausias mononomo, įtraukto į tam tikrą daugianarį, laipsnis.
Taigi, pavyzdžiui, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 yra penktojo laipsnio daugianario, nes didžiausias mononomo laipsnis, įtrauktas į daugianarį (5*x^3*y^ 2) yra penktas.

Arba griežtai tai yra baigtinė formali formos suma

Visų pirma, vieno kintamojo daugianario yra baigtinė formali formos suma

Naudojant daugianarį, išvedamos „algebrinės lygties“ ir „algebrinės funkcijos“ sąvokos.

Studijos ir taikymas[ | ]

Polinominių lygčių ir jų sprendimų tyrimas buvo galbūt pagrindinis „klasikinės algebros“ objektas.

Su polinomų studijomis siejama daugybė matematikos transformacijų: įtraukimas į nulio, neigiamų, o vėliau ir kompleksinių skaičių svarstymą, taip pat grupių teorijos, kaip matematikos šakos, atsiradimas ir specialiųjų klasių nustatymas. funkcijos analizėje.

Su polinomais susijusių skaičiavimų techninis paprastumas, palyginti su sudėtingesnėmis funkcijų klasėmis, taip pat tai, kad polinomų aibė yra tanki nepertraukiamų funkcijų erdvėje kompaktiškuose Euklido erdvės poaibiuose (žr. Weierstrass aproksimacijos teoremą). eilučių išplėtimo ir daugianario išplėtimo metodų kūrimas matematinėje analizėje.

Polinomai taip pat atlieka pagrindinį vaidmenį algebrinėje geometrijoje, kurios objektas yra aibės, apibrėžtos kaip polinomų sistemų sprendiniai.

Ypatingos transformavimo koeficientų savybės dauginant polinomus naudojamos algebrinėje geometrijoje, algebroje, mazgų teorijoje ir kitose matematikos šakose, koduojant ar išreiškiant įvairių objektų savybes polinomuose.

Susiję apibrėžimai[ | ]

• Formos polinomas c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle cx_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_(n))) paskambino monominė arba monominė kelių indeksų I = (i 1 , … , i n) (\displaystyle I=(i_(1),\dots ,\,i_(n))).
• Monominis, atitinkantis daugiaindeksę I = (0 , … , 0) (\displaystyle I=(0,\taškai ,\,0)) paskambino laisvas narys.
• Pilnas laipsnis(ne nulinis) vienatūris c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_ (n))) vadinamas sveikuoju skaičiumi |.
• aš | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n (\displaystyle |I|=i_(1)+i_(2)+\taškai +i_(n)) Daug kelių indeksų aš, kurio koeficientai c I (\displaystyle c_(I)) ne nulis, vadinamas daugianario nešėjas.
• , o jo išgaubtas korpusas yra Niutono daugiakampis Polinominis laipsnis.
• vadinamas jo monomijų galių maksimumu. Identiško nulio laipsnis toliau nustatomas pagal vertę − ∞ (\displaystyle -\infty ) arba Vadinamas daugianomas, kuris yra dviejų vienanarių suma,
• dvinario dvinario.
• Vadinamas daugianomas, kuris yra trijų vienanarių suma trinamis Dauginamo koeficientai paprastai imami iš konkretaus komutacinio žiedo trinamis R (\displaystyle R) (dažniausiai laukai, pavyzdžiui, realiųjų arba kompleksinių skaičių laukai). Šiuo atveju, atsižvelgiant į sudėties ir daugybos operacijas, daugianariai sudaro žiedą (be to, asociatyvinė-komutacinė algebra virš žiedo
• be nulio daliklių) kuri yra žymima R [ x 1 , x 2 , … , x n ] .(\displaystyle R.) Dėl daugianario p (x) (\displaystyle p(x))

vienas kintamasis, išsprendžiantis lygtį[ | ]

p (x) = 0 (\displaystyle p(x) = 0) vadinamas jo šaknimi. Polinominės funkcijos trinamis Leiskite A (\displaystyle A) virš žiedo yra algebra

p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] (\displaystyle p(x)\in R) apibrėžia daugianario funkciją.

p R: A → A (\displaystyle p_(R):A\iki A) trinamis Dažniausiai svarstomas atvejis yra A = R (\displaystyle A = R) Tuo atveju yra realiųjų arba kompleksinių skaičių laukas (kaip ir bet kuris kitas laukas su begaliniu elementų skaičiumi), funkcija Ir f p: R n → R (\displaystyle f_(p):R^(n)\to R) visiškai apibrėžia daugianarį p. Tačiau apskritai tai netiesa, pavyzdžiui: daugianariai p 1 (x) ≡ x (\displaystyle p_(1)(x)\equiv x) p 2 (x) ≡ x 2 (\displaystyle p_(2)(x)\equiv x^(2)) iš.

Vieno realaus kintamojo daugianario funkcija vadinama visa racionalia funkcija.

Polinomų tipai[ | ]

Savybės [ | ]

Dalijamumas [ | ]

Neredukuojamų daugianarių vaidmuo daugianario žiede yra panašus į pirminių skaičių vaidmenį sveikųjų skaičių žiede. Pavyzdžiui, teisinga teorema: jei daugianario sandauga p q (\displaystyle pq) dalijasi iš neredukuojamo daugianario, tada p arba q padalintas iš λ (\displaystyle \lambda). Kiekvienas didesnio už nulį laipsnio daugianomas tam tikrame lauke gali būti unikaliu būdu išskaidytas į neredukuojamų veiksnių sandaugą (iki nulinio laipsnio koeficientų).

Pavyzdžiui, daugianario x 4 − 2 (\displaystyle x^(4)-2), neredukuojamas racionaliųjų skaičių srityje, realiųjų skaičių srityje suskaidomas į tris veiksnius ir kompleksinių skaičių srityje į keturis veiksnius.

Apskritai kiekvienas daugianomas viename kintamajame x (\displaystyle x) realiųjų skaičių srityje išskaidomas į pirmojo ir antrojo laipsnio veiksnius, kompleksinių – į pirmojo laipsnio veiksnius (pagrindinė algebros teorema).

Dėl dviejų ar daugiau kintamųjų to nebegalima pasakyti. Virš bet kokio lauko bet kam n > 2 (\displaystyle n>2) yra daugianariai iš n (\displaystyle n) kintamieji, kurie yra nesumažinami bet kuriame šio lauko plėtinyje. Tokie daugianariai vadinami absoliučiai neredukuojamais.