I. Revoliucijos kūnų tūriai. Preliminariai išstudijuokite XII skyriaus 197, 198 pastraipas iš G. M. Fikhtengoltso vadovėlio * Išsamiai išanalizuokite 198 pastraipoje pateiktus pavyzdžius.

508. Apskaičiuokite kūno, susidariusio sukant elipsę aplink Ox ašį, tūrį.

Taigi,

530. Raskite sinusoidinio lanko y = sin x sukimosi aplink Ox ašį paviršiaus plotą nuo taško X = 0 iki taško X = It.

531. Apskaičiuokite kūgio, kurio aukštis h ir spindulys r, paviršiaus plotą.

532. Apskaičiuokite susidariusį paviršiaus plotą

astroido x3 -)- y* - a3 sukimasis aplink Ox ašį.

533. Apskaičiuokite paviršiaus plotą, susidarantį sukant kreivės kilpą 18 ug - x (6 - x) z aplink Ox ašį.

534. Raskite toro paviršių, susidarantį sukantis apskritimui X2 - j - (y-3)2 = 4 aplink Ox ašį.

535. Apskaičiuokite paviršiaus plotą, susidarantį sukantis apskritimui X = kaina, y = asint aplink Ox ašį.

536. Apskaičiuokite paviršiaus plotą, susidarantį sukantis kreivės x = 9t2, y = St - 9t3 kilpai aplink Ox ašį.

537. Raskite paviršiaus plotą, susidarantį sukant kreivės x = e*sint, y = el kaštų lanką aplink Ox ašį

nuo t = 0 iki t = —.

538. Parodykite, kad paviršius, susidaręs sukantis cikloidiniam lankui x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) aplink Oy ašį, lygus 16 u2 o2.

539. Raskite paviršių, gautą sukant kardioidą aplink poliarinę ašį.

540. Raskite lemniskato sukimosi suformuotą paviršiaus plotą Aplink poliarinę ašį.

Papildomos IV skyriaus užduotys

Plokštumos figūrų plotai

541. Raskite visą kreivės apribotos srities plotą Ir ašis Jautis.

542. Raskite kreivės ribojamos srities plotą

Ir ašis Jautis.

543. Raskite regiono ploto dalį, esančią pirmame kvadrante ir apribotą kreivės

l koordinačių ašys.

544. Raskite viduje esančios srities plotą

kilpos:

545. Raskite srities, kurią riboja viena kreivės kilpa, plotą:

546. Raskite srities, esančios kilpoje, plotą:

547. Raskite kreivės apribotos srities plotą

Ir ašis Jautis.

548. Raskite kreivės apribotos srities plotą

Ir ašis Jautis.

549. Raskite srities, kurią riboja Oxr ašis, plotą

tiesus ir kreivas

Todėl iš karto pereisiu prie pagrindinių sąvokų ir praktinių pavyzdžių.

Pažvelkime į paprastą paveikslėlį

Ir atminkite: pagal ką galima apskaičiuoti apibrėžtasis integralas?

Visų pirma, žinoma, lenktos trapecijos plotas. Pažįstamas iš mokyklos laikų.

Jei šis skaičius sukasi aplink koordinačių ašį, tada mes kalbame apie radimą revoliucijos kūno tūris. Tai taip pat paprasta.

Kas dar? Neseniai buvo peržiūrėtas lanko ilgio problema .

Ir šiandien mes išmoksime apskaičiuoti dar vieną charakteristiką - kitą sritį. Įsivaizduokite tą eilutę sukasi aplink ašį. Dėl šio veiksmo gaunama geometrinė figūra, vadinama sukimosi paviršius. Šiuo atveju jis primena puodą be dugno. Ir be dangčio. Kaip pasakytų Eeyore, širdį veriantis vaizdas =)

Kad būtų pašalintas bet koks dviprasmiškas aiškinimas, pateiksiu nuobodų, bet svarbų paaiškinimą:

geometriniu požiūriu mūsų „puodas“ turi be galo plonas siena ir du vienodo ploto paviršiai – išoriniai ir vidiniai. Taigi, visi tolesni skaičiavimai reiškia plotą tik išorinis paviršius.

Stačiakampėje koordinačių sistemoje apsisukimo paviršiaus plotas apskaičiuojamas pagal formulę:

arba kompaktiškiau: .

Funkcijai ir jos išvestinei keliami tokie patys reikalavimai kaip ir ieškant kreivės lanko ilgis, bet, be to, kreivė turi būti išdėstyta aukštesnė kirvius Tai reikšminga! Tai lengva suprasti, jei linija yra pagal ašyje, tada integrandas bus neigiamas: , todėl formulėje turėsite pridėti minuso ženklą, kad išsaugotumėte geometrinę uždavinio reikšmę.

Pažvelkime į nepelnytai nepastebėtą figūrą:

Toro paviršiaus plotas

Trumpai tariant, Torus yra spurgos. Vadovėlio pavyzdys, aptartas beveik visuose matano vadovėliuose, yra skirtas paieškai apimtis torus, todėl įvairovės dėlei panagrinėsiu retesnę problemą jo paviršiaus plotas. Pirmiausia su konkrečiomis skaitinėmis reikšmėmis:

1 pavyzdys

Apskaičiuokite toro paviršiaus plotą, gautą sukant apskritimą aplink ašį.

Sprendimas: kaip žinote, lygtis rinkiniai ratas vieneto spindulys su centru taške . Šiuo atveju lengva gauti dvi funkcijas:

– nustato viršutinį puslankį;
– nustato apatinį puslankį:

Esmė yra visiškai aiški: ratas sukasi aplink x ašį ir formuojasi paviršius riestainis. Vienintelis dalykas, norint išvengti grubių išlygų, yra atsargus terminologijoje: jei rotuosite ratas, apribotas apskritimu , tada jis bus geometrinis kūno, tai yra pats beigelis. Ir dabar mes kalbame apie jo sritį paviršiai, kurią, be abejo, reikia apskaičiuoti kaip plotų sumą:

1) Raskite paviršiaus plotą, kuris gaunamas sukant „mėlyną“ lanką aplink abscisių ašį. Mes naudojame formulę . Kaip jau ne kartą patariau, patogiau veiksmus atlikti etapais:

Paimkime funkciją ir susirask ją išvestinė:

Ir galiausiai įkeliame rezultatą į formulę:

Atkreipkite dėmesį, kad šiuo atveju tai pasirodė racionaliau dvigubas lyginės funkcijos integralas sprendimo metu, o ne preliminariai samprotaujant apie figūros simetriją ordinačių ašies atžvilgiu.

2) Raskite paviršiaus plotą, kuris gaunamas sukant „raudoną“ lanką aplink abscisių ašį. Visi veiksmai iš tikrųjų skirsis tik vienu ženklu. Aš parašysiu sprendimą kitu stiliumi, kuris, žinoma, taip pat turi teisę į gyvybę:


3) Taigi toro paviršiaus plotas yra:

Atsakymas:

Problema gali būti išspręsta bendra forma – apskaičiuokite toro paviršiaus plotą, gautą sukant apskritimą aplink abscisių ašį, ir gaukite atsakymą . Tačiau aiškumo ir didesnio paprastumo dėlei sprendimą atlikau konkrečiais skaičiais.

Jei reikia apskaičiuoti pačios spurgos tūrį, kaip greitą nuorodą žiūrėkite vadovėlį:

Pagal teorinę pastabą mes laikome viršutinį puslankį. Jis „nutraukiamas“, kai parametro reikšmė keičiasi ribose (tai nesunku pastebėti šiuo intervalu), taigi:

Atsakymas:

Jei išspręsite problemą bendra forma, gausite tiksliai sferos ploto mokyklos formulę, kur yra jos spindulys.

Tai buvo tokia skausmingai paprasta užduotis, man net buvo gėda... Siūlau ištaisyti šią klaidą =)

4 pavyzdys

Apskaičiuokite paviršiaus plotą, gautą sukant pirmąjį cikloido lanką aplink ašį.

Užduotis kūrybinga. Pabandykite išvesti arba intuityviai atspėti paviršiaus ploto, gauto sukant kreivę aplink ordinačių ašį, apskaičiavimo formulę. Ir, žinoma, vėlgi reikėtų pažymėti parametrinių lygčių pranašumą – jų jokiu būdu nereikia keisti; nereikia vargti ieškant kitų integracijos ribų.

Cikloidų grafiką galima peržiūrėti puslapyje Plotas ir tūris, jei linija nurodyta parametriškai. Sukimosi paviršius primins... net nežinau su kuo lyginti su... kažkuo nežemiško - apvalios formos su smailiu įdubimu viduryje. Kalbant apie cikloido sukimąsi aplink ašį, akimirksniu į galvą atėjo asociacija - pailgas regbio kamuolys.

Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Įdomią apžvalgą užbaigiame šiuo atveju poliarines koordinates. Taip, tik apžvalga, jei pažvelgsite į matematinės analizės vadovėlius (Fichtenholtz, Bokhan, Piskunov, kiti autoriai), galite gauti gerą tuziną (ar net daug daugiau) standartinių pavyzdžių, tarp kurių galite rasti reikalingą problemą. .

Kaip apskaičiuoti apsisukimo paviršiaus plotą,
jei tiesė nurodyta polinėje koordinačių sistemoje?

Jei kreivė duota poliarines koordinates lygtis, o funkcija turi nuolatinę išvestinę tam tikrame intervale, tada paviršiaus plotas, gautas sukant šią kreivę aplink polinę ašį, apskaičiuojamas pagal formulę , kur yra kampinės vertės, atitinkančios kreivės galus.

Pagal uždavinio geometrinę reikšmę integrando funkcija , ir tai pasiekiama tik esant sąlygoms (ir akivaizdžiai nėra neigiamos). Todėl būtina atsižvelgti į kampo reikšmes iš diapazono, kitaip tariant, kreivė turėtų būti išdėstyta aukštesnė poliarinė ašis ir jos tęsinys. Kaip matote, ta pati istorija kaip ir dviejose ankstesnėse pastraipose.

5 pavyzdys

Apskaičiuokite paviršiaus plotą, susidarantį sukant kardioidą aplink poliarinę ašį.

Sprendimas: šios kreivės grafiką galima pamatyti pamokos apie 6 pavyzdyje poliarinė koordinačių sistema. Kardioidas yra simetriškas poliarinei ašiai, todėl mes atsižvelgiame į jo viršutinę pusę intervale (kas iš tikrųjų yra dėl aukščiau pateiktos pastabos).

Sukimosi paviršius bus panašus į akis.

Sprendimo technika yra standartinė. Raskime išvestinę „phi“ atžvilgiu:

Sukurkime ir supaprastinkime šaknį:

Tikiuosi su reguliariais

Revoliucijos paviršius- paviršius, suformuotas sukantis apie savavališkos linijos (tiesios, plokščios arba erdvinės kreivės) tiesią liniją (paviršiaus ašį). Pavyzdžiui, jei tiesė kerta sukimosi ašį, tada, kai ji sukasi, bus gautas kūginis paviršius, jei jis yra lygiagretus ašiai, jis bus cilindrinis, jei kerta ašį, vieno lapo hiperboloidas; bus gauta revoliucija. Tą patį paviršių galima gauti sukant įvairiausias kreives. Apsisukimo paviršiaus plotas, susidarantis sukant baigtinio ilgio plokštumos kreivę aplink ašį, esančią kreivės plokštumoje, bet nekertančią kreivės, yra lygus kreivės ilgio ir kreivės ilgio sandaugai. apskritimas, kurio spindulys lygus atstumui nuo ašies iki kreivės masės centro. Šis teiginys vadinamas antrąja Gyldeno teorema arba Pappuo centroidine teorema.

Apsisukimo paviršiaus plotą, susidarantį sukantis kreivei aplink ašį, galima apskaičiuoti naudojant formulę

Tuo atveju, kai kreivė nurodyta polinių koordinačių sistemoje, galioja formulė

Mechaniniai apibrėžtojo integralo taikymai (jėgų darbas, statiniai momentai, svorio centras).

Jėgų darbo skaičiavimas

Materialus taškas juda išilgai nuolat diferencijuojamos kreivės, o jį veikia jėga, nukreipta liestine į trajektoriją judėjimo kryptimi. Visas darbas, atliktas jėga F:

Jei taško padėtis judėjimo trajektorijoje apibūdinama kitu parametru, tada formulė įgauna tokią formą:

Statinių momentų ir svorio centro skaičiavimas
Tegul koordinačių plokštumoje Oxy tam tikra masė M pasiskirsto tankiu p = p(y) tam tikroje taškų aibėje S (tai gali būti kreivės lankas arba apribota plokščia figūra). Pažymime s(y) – nurodytos aibės matą (lanko ilgį arba plotą).

Apibrėžimas 2. Skaičius vadinamas k-uoju masės momentu M Ox ašies atžvilgiu.
Kai k = 0 M 0 = M - masė,
k = 1 M 1 – statinis momentas,
k = 2 M 2 - inercijos momentas.

Akimirkos apie Oy ašį pristatomos panašiai. Erdvėje masės momentų sąvokos koordinačių plokštumų atžvilgiu įvedamos panašiai.
Jei p = 1, tai atitinkami momentai vadinami geometriniais. Vienalytės (p - const) plokščios figūros svorio centro koordinatės nustatomos pagal formules:

čia M 1 y, M 1 x yra geometriniai statiniai figūros momentai Oy ir Ox ašių atžvilgiu; S yra figūros plotas.

Ši formulė vadinama kūno tūrio pagal lygiagrečių pjūvių plotą formule.

Pavyzdys. Raskite elipsoido tūrį x 2 + y 2 + z 2 = 1. a 2b 2c 2

Pjaudami elipsoidą plokštuma, lygiagrečia Oyz plokštumai ir atstumais nuo jos (-а ≤х ≤а), gauname elipsę (žr. 15 pav.):

Šios elipsės plotas yra

Todėl pagal (16) formulę turime

Apsisukimo paviršiaus ploto apskaičiavimas

Tegul kreivė AB yra funkcijos y = f (x) ≥ 0 grafikas, kur x [a,b], funkcija y = f (x) ir jos išvestinė y" = f" (x) yra tolydžios. segmentas.

Tada paviršiaus plotas S, kurį sudaro kreivės AB sukimasis aplink Ox ašį, apskaičiuojamas pagal formulę

Jei AB kreivė pateikiama parametrinėmis lygtimis х = x (t), у = у (t), t 1 ≤t ≤ t 2, tada sukimosi paviršiaus ploto formulė įgauna tokią formą

S x = 2 π ∫ y (t )(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt .

Pavyzdys Raskite rutulio, kurio spindulys yra R, paviršiaus plotą. Sprendimas:

Galima daryti prielaidą, kad rutulio paviršius susidaro puslankiu y = R 2 − x 2, - R ≤x ≤R, aplink Ox ašį. Naudodami (19) formulę randame

2 π ∫ R2 − x2 + x2 dx= 2 π Rx− R R = 4 π R2 .

− R

Pavyzdys. Duotas cikloidas x = a (t − sin t), 0 ≤ t ≤ 2 π. y = a (1– kaina) ,

Raskite paviršiaus plotą, susidarantį sukant jį aplink Ox ašį. Sprendimas:

Kai pusė cikloido lanko sukasi aplink Ox ašį, sukimosi paviršiaus plotas yra lygus

Plokštumos kreivės lanko ilgio apskaičiavimas

Stačiakampės koordinatės

Leiskite į lanką, kai trūkinės linijos grandžių skaičius neribotai didėja, o didžiausių stačiakampių koordinačių ilgiui suteikiama plokščia kreivė AB, kurios lygtis yra y = f(x), kur a ≤ x≤ b .

Lanko AB ilgis suprantamas kaip riba, iki kurios šioje nuorodoje įrašytos trūkinės linijos ilgis linkęs į nulį. Parodykime, kad jei funkcija y = f(x) ir jos išvestinė y′ = f′ (x) yra ištisinės atkarpoje [a ,b ], tai kreivės AB ilgis lygus

Jeigu AB kreivės lygtis pateikta parametrine forma

x = x(t) , α ≤ t ≤ β , y = y(t) ,

kur x (t) ir y (t) yra tolydžios funkcijos su ištisinėmis išvestinėmis ir x (α) = a, x (β) = b, tai kreivės AB ilgis l randamas pagal formulę

Tai reiškia l = 2π R. Jei apskritimo lygtis parašyta parametrine forma = R kaina, y = R sint (0 ≤t ≤ 2π ), tada

Polinės koordinatės

Tegu kreivė AB pateikiama pagal lygtį polinėmis koordinatėmis r =r (ϕ),α ≤ ϕ ≤ β. Tarkime, kad r (ϕ ) ir r" (ϕ ) yra tolydžios intervale [α , β ].

Jei lygybėse x = r cosϕ, y = r sinϕ, jungiančiose polines ir Dekarto koordinates,

kampas ϕ laikomas parametru, tada kreivę AB galima nustatyti parametriškaix = r (ϕ) cos ϕ,

y = r(ϕ) sinϕ.

Taikydami formulę (15), gauname l = ∫ r 2 + r ′ 2 d ϕ .

Pavyzdys Raskite kardioido ilgį r =a (1 + cosϕ ). Sprendimas:

Kardioidas r =a (1 + cosϕ) turi tokią formą, kaip parodyta 14 paveiksle. Jis yra simetriškas poliarinės ašies atžvilgiu. Raskime pusę kardioido ilgio:

Taigi 1 2 l = 4 a. Tai reiškia, kad l = 8a.

Sveiki, mieli Argemonos universiteto studentai!

Šiandien mes ir toliau mokysimės, kaip materializuoti objektus. Paskutinį kartą sukome plokščias figūras ir gavome tūrinius kūnus. Kai kurie iš jų yra labai viliojantys ir naudingi. Manau, kad daug to, ką sugalvoja magas, gali būti panaudota ateityje.

Šiandien pasuksime kreives. Aišku, kad tokiu būdu galime gauti kokį nors daiktą labai plonais krašteliais (kūgis ar butelis gėrimams, gėlių vaza, taurė gėrimams ir pan.), nes besisukanti kreivė gali sukurti būtent tokius objektus. Kitaip tariant, sukdami kreivę galime gauti kažkokį paviršių – uždarą iš visų pusių ar ne. Kodėl būtent dabar prisiminiau nesandarią taurę, iš kurios seras Šerfas Lonlis-Loklis visada gerdavo.

Taigi sukursime dubenį su skylutėmis ir dubenį be skylių ir apskaičiuosime sukurto paviršiaus plotą. Manau, kad jo (paviršiaus ploto apskritai) kažkam prireiks - na, bent jau specialių magiškų dažų tepimui. Kita vertus, magiškų artefaktų sritys gali būti reikalingos norint apskaičiuoti jiems taikomas magiškas jėgas ar dar ką nors. Išmoksime jį rasti ir rasime, kur pritaikyti.

Taigi, parabolės gabalas gali suteikti mums dubens formą. Paimkime paprasčiausią y=x 2 intervale. Matyti, kad sukant jį aplink OY ašį, gaunamas tiesiog dubuo. Nėra dugno.

Sukimosi paviršiaus ploto apskaičiavimo burtai yra tokie:

Čia |y| yra atstumas nuo sukimosi ašies iki bet kurio besisukančio kreivės taško. Kaip žinote, atstumas yra statmenas.
Šiek tiek sunkiau su antruoju rašybos elementu: ds yra lanko diferencialas. Šie žodžiai mums nieko neduoda, todėl nesivarginkime, o pereikime prie formulių kalbos, kur šis skirtumas yra aiškiai pateiktas visais mums žinomais atvejais:
- Dekarto koordinačių sistema;
- kreivės įrašymas parametrine forma;
- polinė koordinačių sistema.

Mūsų atveju atstumas nuo sukimosi ašies iki bet kurio kreivės taško yra x. Apskaičiuojame gauto skylės dubens paviršiaus plotą:

Norėdami pagaminti dubenį su dugnu, turite paimti kitą gabalėlį, bet su kitokia kreive: intervale tai yra eilutė y=1.

Akivaizdu, kad kai jis sukasi aplink OY ašį, dubens dugnas bus vienetinio spindulio apskritimo formos. Ir mes žinome, kaip apskaičiuojamas apskritimo plotas (naudojant formulę pi*r^2. Mūsų atveju apskritimo plotas bus lygus pi), bet apskaičiuokime jį naudodami naują formulę - patikrinti.
Atstumas nuo sukimosi ašies iki bet kurio šios kreivės dalies taško taip pat lygus x.

Na, mūsų skaičiavimai teisingi, o tai yra gera žinia.

Ir dabar namų darbai.

1. Raskite paviršiaus plotą, gautą pasukus laužtinę liniją ABC, kur A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), aplink OX ašį.
Patarimas. Užrašykite visus segmentus parametrine forma.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
Beje, kaip atrodo gautas daiktas?

2. Na, dabar sugalvokite ką nors patys. Manau, užteks trijų dalykų.