Įspūdingų trikampio taškų pavadinimai. Trikampio aukščio sankirtos teorema

Pirmosios dvi teoremos jums gerai žinomos, kitas dvi įrodysime.

1 teorema

Trys trikampio pusiausvyros susikerta viename taške, kuris yra įbrėžto apskritimo centras.

Įrodymas

remiantis tuo, kad kampo pusiausvyra yra taškų, esančių vienodu atstumu nuo kampo kraštinių, vieta.

2 teorema

Trys statmenos trikampio kraštinės pusės susikerta viename taške, kuris yra apskritimo centras.

Įrodymas

remiantis tuo, kad atkarpos statmenas bisektorius yra taškų, nutolusių vienodu atstumu nuo šios atkarpos galų, vieta.

3 teorema

Trys aukščiai arba trys tiesūs, ant kurio guli trikampio aukščiai, susikerta viename taške. Šis taškas vadinamas ortocentras trikampis.

Įrodymas

Per trikampio "ABC" viršūnes brėžiame tiesias linijas, lygiagrečias priešingoms kraštinėms.

Sankryžoje susidaro trikampis `A_1 B_1 C_1`.

Pagal konstrukciją „ABA_1C“ yra lygiagretainis, taigi „BA_1 = AC“. Panašiai nustatoma, kad "C_1B = AC", todėl "C_1B = AC", taškas "B" yra atkarpos "C_1A_1" vidurys.
Lygiai taip pat parodyta, kad „C“ yra „B_1A_1“ vidurys, o „A“ yra „B_1 C_1“ vidurys.
Tegul „BN“ yra trikampio „ABC“ aukštis, tada atkarpos „A_1 C_1“ tiesė „BN“ yra statmena pusiausvyra. Iš to išplaukia, kad trys tiesės, ant kurių yra trikampio "ABC" aukščiai, yra trijų trikampio "A_1B_1C_1" kraštinių statmenys; ir tokie statmenai susikerta viename taške (2 teorema).
Jei trikampis yra smailus, tada kiekvienas aukštis yra atkarpa, jungianti viršūnę ir tam tikrą tašką priešingoje pusėje. Šiuo atveju taškai "B" ir "N" yra skirtingose pusėse plokštumose, kurias sudaro tiesė "AM", o tai reiškia, kad atkarpa "BN" kerta tiesę "AM", susikirtimo taškas yra aukštyje "BN". “, t. y. yra trikampio viduje.
Stačiakampiame trikampyje taškas, kuriame aukščių susikerta, yra stačiojo kampo viršūnė.

4 teorema

Trys trikampio medianos susikerta viename taške ir yra padalinti iš susikirtimo taško santykiu „2:1“, skaičiuojant nuo viršūnės. Šis taškas vadinamas trikampio svorio centru (arba masės centru).
Yra įvairių šios teoremos įrodymų. Pateiksime vieną, pagrįstą Talio teorema.

Įrodymas

Tegul „E“, „D“ ir „F“ yra trikampio „ABC“ kraštinių „AB“, „BC“ ir „AC“ vidurio taškai.

Nubrėžkime medianą „AD“ ir per taškus „E“ ir „F“. lygiagrečiai jame yra tiesios linijos „EK“ ir „FL“. Pagal Thaleso teoremą `BK = KD` `(/_ABC`, E K ‖ A D) EK\|AD) ir `DL = LC` `(/_ACB`, A D ‖ F L) AD\| FL). Bet "BD = DC = a//2", taigi "BK = KD = DL = LC = a//4". Pagal tą pačią teoremą `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, N K ‖ M D ‖ F L) NK\| MD\| FL), taigi „BM = 2MF“.

Tai reiškia, kad mediana „BF“ taške „M“, kurioje susikirta su mediana „AD“, buvo padalinta į santykį „2:1“, skaičiuojant nuo viršūnės.

Įrodykime, kad mediana „AD“ taške „M“ yra padalinta tokiu pačiu santykiu. Motyvavimas panašus.

Jei atsižvelgsime į medianas „BF“ ir „CE“, taip pat galime parodyti, kad jos susikerta taške, kuriame mediana „BF“ yra padalinta santykiu „2:1“, t. y. tame pačiame taške „M“. Ir iki šio taško mediana „CE“ taip pat bus padalinta santykiu „2:1“, skaičiuojant nuo viršūnės.

Baranova Elena

Šiame darbe nagrinėjami svarbūs trikampio taškai, jų savybės ir modeliai, tokie kaip devynių taškų apskritimas ir Eulerio tiesė. Pateikiamas istorinis Eulerio tiesės ir devynių taškų apskritimo atradimo fonas. Pasiūlyta praktinė mano projekto taikymo kryptis.

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Norėdami naudoti pristatymų peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

„NUOSTABIŪS TRIKAMPIO TAŠKAI“. (Matematikos taikomieji ir pagrindiniai klausimai) Elena Baranova 8 kl., MKOU “20 vidurinė mokykla” Poz. Novoizobilny, Dukhanina Tatjana Vasiljevna, matematikos mokytoja, Savivaldybės švietimo įstaiga "20 vidurinė mokykla" Novoizobilny kaimas 2013. Savivaldybės valstybinė švietimo įstaiga "20 vidurinė mokykla"

Tikslas: ištirti trikampio žymius taškus, ištirti jų klasifikaciją ir savybes. Uždaviniai: 1. Išstudijuoti reikiamą literatūrą 2. Išstudijuoti trikampio žymiųjų taškų klasifikaciją 3.. Susipažinti su trikampio žymiųjų taškų savybėmis 4. Mokėti konstruoti trikampio žymiuosius taškus. 5. Ištirkite svarbių dalykų apimtį. Studijų objektas - matematikos skyrius - geometrija Studijų objektas - trikampis Aktualumas: praplėskite savo žinias apie trikampį, jo žymių taškų savybes. Hipotezė: trikampio ir gamtos ryšys

Statmenų bisektorių susikirtimo taškas yra vienodu atstumu nuo trikampio viršūnių ir yra apibrėžto apskritimo centras. Aplink trikampius apibrėžti apskritimai, kurių viršūnės yra trikampio kraštinių vidurio taškai, o trikampio viršūnės susikerta viename taške, kuris sutampa su statmenų bisektorių susikirtimo tašku.

Pusiklių susikirtimo taškas Trikampio pusiaukampių susikirtimo taškas yra vienodu atstumu nuo trikampio kraštinių. OM=OA=OB

Aukščių susikirtimo taškas Trikampio, kurio viršūnės yra aukščių pagrindai, pusiaukampių susikirtimo taškas sutampa su trikampio aukščių susikirtimo tašku.

Medianų susikirtimo taškas Trikampio medianos susikerta viename taške, kuris kiekvieną medianą dalija santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnės. Jei medianų susikirtimo taškas yra sujungtas su viršūnėmis, tada trikampis bus padalintas į tris vienodo ploto trikampius. Svarbi medianų susikirtimo taško savybė yra ta, kad vektorių, kurių pradžia yra medianų susikirtimo taškas, o galai yra trikampių viršūnės, suma yra lygi nuliui M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3

Torricelli taškas Pastaba: Torricelli taškas egzistuoja, jei visi trikampio kampai yra mažesni už 120.

Devynių taškų apskritimas B1, A1, C1 – aukščių pagrindai; A2, B2, C2 – atitinkamų kraštinių vidurio taškai; A3, B3, C3 yra atkarpų AN, VN ir CH vidurio taškai.

Eulerio tiesė Medianų susikirtimo taškas, aukščių susikirtimo taškas, devynių taškų apskritimo centras yra vienoje tiesėje, kuri vadinama Eulerio tiesia matematiko, kuris nustatė šį modelį, garbei.

Šiek tiek iš nuostabių taškų atradimo istorijos 1765 m. Euleris atrado, kad trikampio kraštinių vidurio taškai ir jo aukščių pagrindai yra tame pačiame apskritime. Įspūdingiausia nuostabių trikampio taškų savybė yra ta, kad kai kurie iš jų yra sujungti vienas su kitu tam tikru santykiu. Medianų M susikirtimo taškas, aukščių H susikirtimo taškas ir apibrėžtojo apskritimo O centras yra toje pačioje tiesėje, o taškas M dalija atkarpą OH taip, kad santykis OM: OH = 1 : 2 galioja Šią teoremą įrodė Leonhardas Euleris 1765 m.

Geometrijos ir gamtos ryšys. Šioje padėtyje potencinė energija turi mažiausią reikšmę ir atkarpų MA+MB+MC suma bus mažiausia, o vektorių, esančių ant šių atkarpų su pradžia Torricelli taške, suma bus lygi nuliui.

Išvados Sužinojau, kad be man žinomų nuostabių aukščių, vidurių, pusiau ir statmenų sankirtos taškų, taip pat yra nuostabių trikampio taškų ir linijų. Šia tema įgytas žinias gebėsiu panaudoti savo edukacinėje veikloje, savarankiškai taikyti teoremas tam tikroms problemoms spręsti, išmoktas teoremas pritaikyti realioje situacijoje. Manau, kad mokantis matematikos naudoti nuostabius trikampio taškus ir linijas yra efektyvu. Jų žinojimas žymiai pagreitina daugelio užduočių sprendimą. Siūloma medžiaga gali būti naudojama tiek matematikos pamokose, tiek popamokinėje veikloje 5-9 klasių mokiniams.

Peržiūra:

Norėdami naudoti peržiūrą, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite:

Pirmiausia įrodykime teoremą apie kampo pusiausvyrą.

Teorema

Įrodymas

1) Paimkite savavališką kampo BAC bisektoriaus tašką M, nubrėžkite statmenis MK ir ML tiesėms AB ir AC ir įrodykite, kad MK = ML (224 pav.). Apsvarstykite stačiuosius trikampius AM K ir AML. Jie yra vienodi hipotenuzėje ir smailiame kampe (AM yra bendra hipotenuzė, ∠1 = ∠2 pagal susitarimą). Todėl MK = ML.

2) Tegul taškas M yra kampo BAC viduje ir yra vienodu atstumu nuo jo kraštinių AB ir AC. Įrodykime, kad spindulys AM yra kampo BAC pusiausvyra (žr. 224 pav.). Tiesėms AB ir AC nubrėžkime statmenis MK ir ML. Statieji trikampiai AMK ir AML yra lygūs hipotenuzėje ir kojoje (AM yra bendra hipotenuzė, MK = ML pagal susitarimą). Todėl ∠1 = ∠2. Bet tai reiškia, kad spindulys AM yra kampo BAC pusiausvyra. Teorema įrodyta.

Ryžiai. 224

1 išvada

2 išvada

Tiesą sakant, raide O pažymėkime trikampio ABC krypčių AA 1 ir BB 1 susikirtimo tašką ir iš šio taško atitinkamai nubrėžkime statmenis OK, OL ir OM tiesioms AB, BC ir CA (225 pav.). Pagal įrodytą teoremą OK = OM ir OK = OL. Todėl OM = OL, t. y. taškas O yra vienodu atstumu nuo kampo ACB kraštinių ir todėl yra šio kampo bisektoriuje CC 1. Vadinasi, visos trys trikampio ABC pusiausvyros susikerta taške O, ką ir reikėjo įrodyti.

Ryžiai. 225

Atkarpai statmenos pusiausvyros savybės

Statmena atkarpai yra tiesė, einanti per tam tikros atkarpos vidurį ir statmena jai.

Ryžiai. 226

Įrodykime teoremą apie statmeną atkarpos pusiausvyrą.

Teorema

Įrodymas

Tegul tiesė m yra statmena atkarpos AB, taškas O – šios atkarpos vidurio taškas (227 pav., a).

Ryžiai. 227

1) Apsvarstykite savavališką tašką M tiesėje m ir įrodykite, kad AM = BM. Jei taškas M sutampa su tašku O, tai ši lygybė yra teisinga, nes O yra atkarpos AB vidurio taškas. Tegul M ir O yra skirtingi taškai. Statieji trikampiai OAM ir OBM yra lygūs dviejose kojose (OA = OB, OM yra bendra kojelė), todėl AM = VM.

2) Apsvarstykite savavališką tašką N, esantį vienodu atstumu nuo atkarpos AB galų, ir įrodykite, kad taškas N yra tiesėje m. Jei N yra taškas tiesėje AB, tai jis sutampa su atkarpos AB vidurio tašku O ir todėl yra tiesėje m. Jei taškas N nėra tiesėje AB, tai trikampis ANB yra lygiašonis, nes AN = BN (227 pav., b). Atkarpa NO yra šio trikampio mediana, taigi ir aukštis. Taigi NO ⊥ AB, todėl tiesės ON ir m sutampa, t.y. N yra tiesės m taškas. Teorema įrodyta.

1 išvada

2 išvada

Norėdami įrodyti šį teiginį, apsvarstykite trikampio ABC kraštinių AB ir BC dvipusius statmenis m ir n (228 pav.). Šios tiesės susikerta tam tikrame taške O. Iš tiesų, jei manysime priešingai, tai yra, kad m || n, tada tiesė BA, būdama statmena tiesei m, taip pat būtų statmena jai lygiagrečiai tiesei n, o tada dvi tiesės BA ir BC eitų per tašką B, statmeną tiesei n, o tai neįmanoma.

Ryžiai. 228

Pagal įrodytą teoremą OB = OA ir OB = OS. Todėl OA = OC, t.y. taškas O yra vienodu atstumu nuo atkarpos AC galų ir todėl yra ant šiai atkarpai statmenos pusės p. Vadinasi, visi trys trikampio ABC šoninės pusės m, n ir p susikerta taške O.

Trikampio aukščio sankirtos teorema

Mes įrodėme, kad trikampio pusiausvyros susikerta viename taške, o statmenos trikampio kraštinės – viename taške. Anksčiau buvo įrodyta, kad trikampio medianos susikerta viename taške (64 skyrius). Pasirodo, trikampio aukščiai turi panašią savybę.

Teorema

Įrodymas

Panagrinėkime savavališką trikampį ABC ir įrodykime, kad tiesės AA 1 BB 1 ir CC 1, kuriose yra jo aukščiai, susikerta viename taške (229 pav.).

Ryžiai. 229

Per kiekvieną trikampio ABC viršūnę nubrėžkime tiesią liniją, lygiagrečią priešingai kraštinei. Gauname trikampį A 2 B 2 C 2. Taškai A, B ir C yra šio trikampio kraštinių vidurio taškai. Iš tiesų, AB = A 2 C ir AB = CB 2 kaip priešingos lygiagretainių ABA 2 C ir ABCB 2 pusės, todėl A 2 C = CB 2. Panašiai C 2 A = AB 2 ir C 2 B = BA 2. Be to, kaip matyti iš konstrukcijos, CC 1 ⊥ A 2 B 2, AA 1 ⊥ B 2 C 2 ir BB 1 ⊥ A 2 C 2. Taigi, tiesės AA 1, BB 1 ir CC 1 yra statmenos trikampio A 2 B 2 C 2 kraštinėms. Vadinasi, jie susikerta viename taške. Teorema įrodyta.

Taigi, su kiekvienu trikampiu yra susieti keturi taškai: medianų susikirtimo taškas, bisektorių susikirtimo taškas, statmenų į šonus susikirtimo taškas ir aukščių (arba jų plėtinių) susikirtimo taškas. Šie keturi taškai vadinami Įspūdingi trikampio taškai.

Užduotys

674. Iš neišplėtoto kampo O pusiausvyros taško M į šio kampo kraštines nubrėžti statmenys MA ir MB. Įrodykite, kad AB ⊥ OM.

675. Kampo O kraštinės liečia kiekvieną iš dviejų apskritimų, turinčių bendrą liestinę taške A. Įrodykite, kad šių apskritimų centrai yra tiesėje O A.

676. Kampo A kraštinės palieskite apskritimą, kurio centras O, kurio spindulys r. Raskite: a) OA, jei r = 5 cm, ∠A = 60°; b) d, jei OA = 14 dm, ∠A = 90°.

677. Trikampio ABC viršūnėse B ir C esančių išorinių kampų bisektoriai susikerta taške O. Įrodykite, kad taškas O yra apskritimo, liečiančio tieses AB, BC, AC, centras.

678. Trikampio ABC bisektoriai AA 1 ir BB 1 susikerta taške M. Raskite kampus ACM ir ВСМ, jei: a) ∠AMB = 136°; b) ∠AMB = 111°.

679. Trikampio ABC kraštinės BC statmuo kerta kraštinę AC taške D. Raskite: a) AD ir CD, jei BD = 5 cm, Ac = 8,5 cm; b) AC, jei BD = 11,4 cm, AD = 3,2 cm.

680. Trikampio ABC kraštinių AB ir AC statmenys kertasi kraštinės BC taške D. Įrodykite, kad: a) taškas D yra kraštinės BC vidurio taškas; b) ∠A - ∠B + ∠C.

681. Lygiašonio trikampio ABC kraštinės AB statmuo kerta kraštinę BC taške E. Raskite pagrindą AC, jei trikampio AEC perimetras lygus 27 cm, o AB = 18 cm.

682. Lygiašoniai trikampiai ABC ir ABD turi bendrą pagrindą AB. Įrodykite, kad tiesė CD eina per atkarpos AB vidurį.

683. Įrodykite, kad jei trikampyje ABC kraštinės AB ir AC nėra lygios, tai trikampio mediana AM nėra aukštis.

684. Lygiašonio trikampio ABC pagrindo AB kampų bisektoriai susikerta taške M. Įrodykite, kad tiesė CM yra statmena tiesei AB.

685. Lygiašonio trikampio ABC aukščiai AA 1 ir BB 1, nubrėžti į šonines kraštines, susikerta taške M. Įrodykite, kad tiesė MC yra statmena atkarpos AB pusiaukampė.

686. Sukurkite šiai atkarpai statmeną pusiausvyrą.

Sprendimas

Tegu AB yra duotoji atkarpa. Sukonstruokime du apskritimus, kurių centrai yra AB spindulio taškuose A ir B (230 pav.). Šie apskritimai susikerta dviejuose taškuose M 1 ir M 2. Atkarpos AM 1, AM 2, VM 1, VM 2 yra lygūs vienas kitam kaip šių apskritimų spinduliai.

Ryžiai. 230

Nubrėžkime tiesę M 1 M 2. Tai norima statmena atkarpai AB. Tiesą sakant, taškai M 1 ir M 2 yra vienodu atstumu nuo atkarpos AB galų, taigi jie yra ant šios atkarpos statmenos pusės. Tai reiškia, kad tiesė M 1 M 2 yra statmena atkarpos AB pusiausvyra.

687. Duota tiesė a ir du taškai A ir B, esantys vienoje šios tiesės pusėje. Tiesėje a pastatykite tašką M, esantį vienodu atstumu nuo taškų A iki B.

688. Pateiktas kampas ir atkarpa. Sukurkite tašką, esantį tam tikro kampo viduje, vienodu atstumu nuo jo kraštų ir vienodu atstumu nuo nurodytos atkarpos galų.

Atsakymai į problemas

674. Instrukcija. Pirmiausia įrodykite, kad trikampis AOB yra lygiašonis.

676. a) 10 cm; b) 7√2 dm.

678. a) 46° ir 46°; b) 21° ir 21°.

679. a) AB = 3,5 cm, CD = 5 cm; b) AC = 14,6 cm.

683. Instrukcija. Naudokite įrodinėjimo prieštaravimu metodą.

687. Instrukcija. Naudokite 75 teoremą.

688. Instrukcija. Atsižvelkite į tai, kad norimas taškas yra ant nurodyto kampo bisektoriaus.

1 Tai yra, jis yra vienodu atstumu nuo linijų, kuriose yra kampo kraštinės.

Trikampio medianų susikirtimo taškas Trikampio pusiaukampių susikirtimo taškas Trikampio aukščių susikirtimo taškas Trikampio statmenų dvišakių susikirtimo taškas

Trikampio mediana (BD) yra atkarpa, jungianti trikampio viršūnę su priešingos kraštinės vidurio tašku. A B C D Mediana

Trikampio medianos susikerta viename taške (trikampio svorio centre) ir yra padalintos iš šio taško santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnės. AM: MA 1 = VM: MV 1 = SM:MS 1 = 2:1. A A 1 B B 1 M C C 1

Trikampio pusiausvyra (A D) yra trikampio vidinio kampo pusiausvyros atkarpa.

Kiekvienas neišplėtoto kampo bisektoriaus taškas yra vienodu atstumu nuo jo kraštinių. Ir atvirkščiai: kiekvienas taškas, esantis kampo viduje ir vienodai nutolęs nuo kampo kraštų, yra ant jo bisektoriaus. A M B C

Visos trikampio pusiausvyros susikerta viename taške – į trikampį įrašyto apskritimo centre. C B 1 M A V A 1 C 1 O Apskritimo spindulys (OM) yra statmenas, numestas iš centro (TO) į trikampio kraštinę

AUKŠTIS Trikampio aukštis (C D) yra statmena atkarpa, nubrėžta nuo trikampio viršūnės iki tiesės, kurioje yra priešinga kraštinė. A B C D

Trikampio aukščiai (arba jų plėtiniai) susikerta viename taške. A A 1 B B 1 C C 1

VIDURINIS STAPETUMAS Statmens bisektorius (DF) yra tiesė, statmena trikampio kraštinei ir dalijanti ją pusiau. A D F B C

A M B m O Kiekvienas atkarpai statmenos bisektoriaus (m) taškas yra vienodu atstumu nuo šios atkarpos galų. Ir atvirkščiai: kiekvienas taškas, nutolęs vienodu atstumu nuo atkarpos galų, yra jai statmenoje pusiausvyroje.

Visos trikampio kraštinių statmenosios pusės susikerta viename taške – apie trikampį apibrėžto apskritimo centre. A B C O Apriboto apskritimo spindulys yra atstumas nuo apskritimo centro iki bet kurios trikampio viršūnės (OA). m n p

Užduotys mokiniams Kompasu ir liniuote sukonstruokite apskritimą, įrašytą į bukusį trikampį. Norėdami tai padaryti: naudodamiesi kompasu ir liniuote, bukajame trikampyje sukonstruokite bisektorius. Bisektorių susikirtimo taškas yra apskritimo centras. Sukurkite apskritimo spindulį: statmeną nuo apskritimo centro iki trikampio kraštinės. Sukurkite į trikampį įbrėžtą apskritimą.

2. Naudodami kompasą ir liniuotę sukonstruokite apskritimą, ribojantį bukąjį trikampį. Norėdami tai padaryti: bukojo trikampio kraštinėms sukonstruoti statmenus bisektorius. Šių statmenų susikirtimo taškas yra apibrėžtojo apskritimo centras. Apskritimo spindulys yra atstumas nuo centro iki bet kurios trikampio viršūnės. Sukurkite apskritimą aplink trikampį.

Šioje pamokoje apžvelgsime keturis nuostabius trikampio taškus. Išsamiai apsistokime ties dviem iš jų, prisiminkime svarbių teoremų įrodymus ir išspręskime problemą. Prisiminkime ir apibūdinkime likusius du.

Tema:8 klasės geometrijos kurso peržiūra

Pamoka: keturi nuostabūs trikampio taškai

Trikampis visų pirma yra trys atkarpos ir trys kampai, todėl atkarpų ir kampų savybės yra esminės.

Pateikta atkarpa AB. Bet kuri atkarpa turi vidurio tašką, o per jį galima nubrėžti statmeną – pažymėkime jį kaip p. Taigi p yra statmenas bisektorius.

Teorema (pagrindinė statmens bisektoriaus savybė)

Bet kuris taškas, esantis ant statmeno bisektoriaus, yra vienodu atstumu nuo atkarpos galų.

Įrodyk tai

Įrodymas:

Apsvarstykite trikampius ir (žr. 1 pav.). Jie yra stačiakampiai ir lygūs, nes. turi bendrą koją OM, o kojos AO ir OB yra lygios pagal sąlygą, taigi turime du stačiuosius trikampius, lygius dviejose kojose. Iš to išplaukia, kad trikampių hipotenzės taip pat yra lygios, tai yra, ką reikėjo įrodyti.

Ryžiai. 1

Atvirkštinė teorema yra teisinga.

Teorema

Kiekvienas taškas, nutolęs vienodu atstumu nuo atkarpos galų, yra ant šios atkarpos statmenos pusės.

Duota atkarpa AB, jai statmenas bisektorius p, taškas M, nutolęs vienodu atstumu nuo atkarpos galų (žr. 2 pav.).

Įrodykite, kad taškas M yra ant atkarpos statmenos pusės.

Ryžiai. 2

Įrodymas:

Apsvarstykite trikampį. Pagal būklę jis yra lygiašonis. Apsvarstykite trikampio medianą: taškas O yra pagrindo AB vidurys, OM yra mediana. Pagal lygiašonio trikampio savybę mediana, nubrėžta į jo pagrindą, yra ir aukštis, ir pusiausvyra. Iš to išplaukia, kad. Bet tiesė p taip pat statmena AB. Žinome, kad taške O galima nubrėžti vieną statmeną atkarpai AB, o tai reiškia, kad tiesės OM ir p sutampa, iš to seka, kad taškas M priklauso tiesei p, ką mums reikėjo įrodyti.

Jei reikia apibūdinti apskritimą aplink vieną atkarpą, tai galima padaryti, ir tokių apskritimų yra be galo daug, tačiau kiekvieno iš jų centras bus ant atkarpos statmenos pusės.

Jie sako, kad statmenas bisektorius yra taškų, esančių vienodu atstumu nuo atkarpos galų, vieta.

Trikampis susideda iš trijų atkarpų. Dviem iš jų nubrėžkime dvipusius statmenis ir gaukime jų susikirtimo tašką O (žr. 3 pav.).

Taškas O priklauso statmenai trikampio kraštinei BC, o tai reiškia, kad jis yra vienodu atstumu nuo jo viršūnių B ir C, šį atstumą pažymėkime kaip R: .

Be to, taškas O yra statmenoje atkarpai AB, t.y. , tuo pačiu metu, iš čia.

Taigi dviejų vidurio taškų susikirtimo taškas O

Ryžiai. 3

trikampio statmenys yra vienodai nutolę nuo jo viršūnių, o tai reiškia, kad jis taip pat yra ant trečiojo trikampio statmeno.

Pakartojome svarbios teoremos įrodymą.

Trys statmenos trikampio pusiausvyros susikerta viename taške – apskritimo centre.

Taigi, mes pažvelgėme į pirmąjį puikų trikampio tašką - jo pusiausvyrinių statmenų susikirtimo tašką.

Pereikime prie savavališko kampo savybės (žr. 4 pav.).

Kampas yra duotas, jo pusiausvyra yra AL, taškas M yra ant bisektoriaus.

Ryžiai. 4

Jei taškas M yra ant kampo bisektoriaus, tada jis yra vienodu atstumu nuo kampo kraštinių, tai yra, kampo kraštinių atstumai nuo taško M iki AC ir iki BC yra lygūs.

Įrodymas:

Apsvarstykite trikampius ir . Tai yra stačiakampiai trikampiai ir jie yra lygūs, nes... turi bendrą hipotenuzę AM, o kampai yra lygūs, nes AL yra kampo pusiausvyra. Taigi, stačiakampiai trikampiai yra lygūs hipotenuzėje ir smailiame kampe, tai reiškia, kad , ką reikėjo įrodyti. Taigi, taškas kampo bisektoriuje yra vienodu atstumu nuo to kampo kraštinių.

Atvirkštinė teorema yra teisinga.

Teorema

Jei taškas yra vienodu atstumu nuo neišplėtoto kampo kraštinių, tai jis guli ant jo bisektoriaus (žr. 5 pav.).

Duotas neišvystytas kampas, taškas M, kad atstumas nuo jo iki kampo kraštų būtų vienodas.

Įrodykite, kad taškas M yra ant kampo pusiausvyros.

Ryžiai. 5

Įrodymas:

Atstumas nuo taško iki linijos yra statmens ilgis. Iš taško M brėžiame statmenus MK į kraštinę AB ir MR į kraštinę AC.

Apsvarstykite trikampius ir . Tai yra stačiakampiai trikampiai ir jie yra lygūs, nes... turi bendrą hipotenuzę AM, kojos MK ir MR yra lygios pagal būklę. Taigi stačiakampiai trikampiai yra lygūs hipotenuzėje ir kojoje. Iš trikampių lygybės išplaukia atitinkamų elementų lygybė lygių kampų priešingose pusėse, taigi, Todėl taškas M yra ant nurodyto kampo bisektoriaus.

Jei reikia įbrėžti apskritimą kampu, tai galima padaryti, ir tokių apskritimų yra be galo daug, tačiau jų centrai yra ant tam tikro kampo pusiausvyros.

Jie sako, kad bisektorius yra taškų, esančių vienodu atstumu nuo kampo kraštų, vieta.

Trikampis susideda iš trijų kampų. Sukonstruokime dviejų iš jų bisektorius ir gaukime jų susikirtimo tašką O (žr. 6 pav.).

Taškas O yra ant kampo bisektoriaus, o tai reiškia, kad jis yra vienodu atstumu nuo jo kraštinių AB ir BC, atstumą pažymėkime kaip r: . Be to, taškas O yra ant kampo bisektoriaus, o tai reiškia, kad jis yra vienodu atstumu nuo jo kraštinių AC ir BC: , , iš čia.

Nesunku pastebėti, kad bisektorių susikirtimo taškas yra vienodu atstumu nuo trečiojo kampo kraštinių, o tai reiškia, kad jis yra

Ryžiai. 6

kampo bisektorius. Taigi, visos trys trikampio pusiausvyros susikerta viename taške.

Taigi, prisiminėme kitos svarbios teoremos įrodymą.

Trikampio kampų pusiausvyros susikerta viename taške – įbrėžto apskritimo centre.

Taigi, mes pažvelgėme į antrąjį nuostabų trikampio tašką - pusiausvyros susikirtimo tašką.

Išnagrinėjome kampo pusiausvyrą ir atkreipėme dėmesį į svarbias jo savybes: pusiaukampio taškai yra vienodu atstumu nuo kampo kraštinių, be to, iš vieno taško į apskritimą nubrėžtos liestinės atkarpos yra lygios.

Įveskime tam tikrą žymėjimą (žr. 7 pav.).

Lygias liestinės atkarpas pažymėkime x, y ir z. Kraštinė BC, esanti priešais viršūnę A, žymima kaip a, panašiai AC kaip b, AB kaip c.

Ryžiai. 7

1 uždavinys: trikampyje žinomas kraštinės a pusperimetras ir ilgis. Raskite liestinės, nubrėžtos iš viršūnės A - AK, pažymėtos x, ilgį.

Akivaizdu, kad trikampis nėra visiškai apibrėžtas, o tokių trikampių yra daug, tačiau paaiškėja, kad jie turi keletą bendrų elementų.

Problemoms, susijusioms su įrašytu apskritimu, galima pasiūlyti tokį sprendimo būdą:

1. Nubrėžkite pusiausvyras ir gaukite įbrėžto apskritimo centrą.

2. Iš centro O nubrėžkite statmenus į šonus ir gaukite liesties taškus.

3. Pažymėkite lygias liestes.

4. Užrašykite ryšį tarp trikampio kraštinių ir liestinių.