Neparametrinis Spearman rango koreliacijos koeficientas. Parametrinių duomenų palyginimo metodai


Psichologijos studentas (sociologas, vadybininkas, vadybininkas ir kt.) dažnai domisi, kaip du ar daugiau kintamųjų yra susiję vienas su kitu vienoje ar keliose tiriamose grupėse.

Matematikoje kintamųjų dydžių ryšiams apibūdinti naudojama funkcijos F sąvoka, kuri kiekvieną konkrečią nepriklausomo kintamojo X reikšmę susieja su konkrečia priklausomo kintamojo Y reikšme. Gauta priklausomybė žymima Y=F( X).

Tuo pačiu metu koreliacijų tipai tarp išmatuotų charakteristikų gali būti skirtingi: pavyzdžiui, koreliacija gali būti tiesinė ir netiesinė, teigiama ir neigiama. Jis yra tiesinis - jei didėja arba sumažėja vienas kintamasis X, antrasis kintamasis Y vidutiniškai taip pat didėja arba mažėja. Jis yra netiesinis, jei, padidėjus vienam kiekiui, antrojo pokyčio pobūdis nėra tiesinis, o apibūdinamas kitais dėsniais.

Koreliacija bus teigiama, jei, padidėjus kintamajam X, kintamasis Y vidutiniškai taip pat didėja, o jei, padidėjus X, kintamasis Y linkęs vidutiniškai mažėti, tada kalbame apie neigiamo buvimą. koreliacija. Gali būti, kad neįmanoma nustatyti jokio ryšio tarp kintamųjų. Šiuo atveju jie sako, kad nėra koreliacijos.

Koreliacinės analizės užduotis yra nustatyti ryšio tarp kintančių charakteristikų kryptį (teigiama ar neigiama) ir formą (tiesinė, netiesinė), išmatuoti jo sandarumą ir, galiausiai, patikrinti gautų koreliacijos koeficientų reikšmingumo lygį.

K. Spearman pasiūlytas rango koreliacijos koeficientas reiškia neparametrinį santykio tarp kintamųjų, išmatuotų rangų skalėje, matą. Skaičiuojant šį koeficientą, nereikia daryti prielaidų apie charakteristikų pasiskirstymo pobūdį populiacijoje. Šis koeficientas lemia ryšio tarp eilinių charakteristikų, kurios šiuo atveju reiškia lyginamų dydžių eiles, glaudumo laipsnį.

Spearmano rango tiesinės koreliacijos koeficientas apskaičiuojamas pagal formulę:

čia n – reitinguotų požymių (rodiklių, dalykų) skaičius;
D yra skirtumas tarp dviejų kiekvieno dalyko kintamųjų rangų;
D2 yra rangų skirtumų kvadratu suma.

Žemiau pateikiamos kritinės Spearman rango koreliacijos koeficiento reikšmės:

Spearmano tiesinės koreliacijos koeficiento reikšmė yra nuo +1 iki -1. Spearmano linijinės koreliacijos koeficientas gali būti teigiamas arba neigiamas, apibūdinantis santykio tarp dviejų požymių, išmatuotų rangų skalėje, kryptį.

Jei koreliacijos koeficientas absoliučia verte yra artimas 1, tai atitinka aukštą ryšį tarp kintamųjų. Taigi, ypač kai kintamasis yra koreliuojamas su savimi, koreliacijos koeficiento reikšmė bus lygi +1. Toks ryšys apibūdina tiesiogiai proporcingą priklausomybę. Jei X kintamojo reikšmės yra išdėstytos didėjančia tvarka, o tos pačios reikšmės (dabar vadinamos Y kintamuoju) yra išdėstytos mažėjančia tvarka, tai šiuo atveju koreliacija tarp X ir Y kintamųjų bus tiksliai -1. Ši koreliacijos koeficiento reikšmė apibūdina atvirkščiai proporcingą ryšį.

Gautam ryšiui interpretuoti labai svarbus koreliacijos koeficiento ženklas. Jei tiesinės koreliacijos koeficiento ženklas yra pliusas, tai ryšys tarp koreliuojančių požymių yra toks, kad didesnė vieno požymio (kintamojo) reikšmė atitinka didesnę kito požymio (kito kintamojo) reikšmę. Kitaip tariant, jei vienas rodiklis (kintamasis) didėja, tai atitinkamai didėja ir kitas rodiklis (kintamasis). Ši priklausomybė vadinama tiesiogiai proporcinga priklausomybe.

Jei gaunamas minuso ženklas, tai didesnė vienos charakteristikos reikšmė atitinka mažesnę kitos charakteristikos reikšmę. Kitaip tariant, jei yra minuso ženklas, vieno kintamojo (ženklo, reikšmės) padidėjimas atitinka kito kintamojo sumažėjimą. Ši priklausomybė vadinama atvirkščiai proporcinga priklausomybe. Šiuo atveju kintamojo, kuriam priskiriamas didėjimo požymis (tendencija), pasirinkimas yra savavališkas. Tai gali būti arba kintamasis X, arba kintamasis Y. Tačiau jei manoma, kad kintamasis X didėja, tai kintamasis Y atitinkamai mažės ir atvirkščiai.

Pažvelkime į Spearmano koreliacijos pavyzdį.

Psichologė išsiaiškina, kaip individualūs pasirengimo mokyklai rodikliai, gauti prieš mokyklos pradžią tarp 11 pirmokų, yra susiję tarpusavyje ir jų vidutiniais rezultatais mokslo metų pabaigoje.

Norėdami išspręsti šią problemą, reitingavome, pirma, pasirengimo mokyklai rodiklių reikšmes, gautas priimant į mokyklą, ir, antra, galutinius tų pačių mokinių akademinės veiklos rodiklius metų pabaigoje vidutiniškai. Rezultatus pateikiame lentelėje:

Gautus duomenis pakeičiame aukščiau pateikta formule ir atliekame skaičiavimą. Mes gauname:

Norėdami sužinoti reikšmingumo lygį, kreipiamės į lentelę „Spirmeno rango koreliacijos koeficiento kritinės reikšmės“, kurioje pateikiamos kritinės rango koreliacijos koeficientų vertės.

Sukonstruojame atitinkamą „reikšmingumo ašį“:

Gautas koreliacijos koeficientas sutapo su 1% reikšmingumo lygio kritine verte. Vadinasi, galima teigti, kad pirmokų pasirengimo mokyklai ir baigiamųjų pažymių rodiklius sieja teigiama koreliacija – kitaip tariant, kuo aukštesnis pasirengimo mokyklai rodiklis, tuo geriau mokosi pirmokas. Kalbant apie statistines hipotezes, psichologas turi atmesti nulinę (H0) hipotezę apie panašumą ir priimti alternatyvą (H1) apie skirtumų buvimą, o tai rodo, kad ryšys tarp pasirengimo mokyklai rodiklių ir vidutinių akademinių rezultatų skiriasi nuo nulio.

Spearman koreliacija. Koreliacinė analizė naudojant Spearman metodą. Spearmano gretas. Spearmano koreliacijos koeficientas. Spearman rango koreliacija

Rodiklis parodo, kaip stebėjimo metu gautų rangų skirtumų kvadratu suma skiriasi nuo ryšio nebuvimo atvejo.

Paslaugos paskirtis. Naudodami šį internetinį skaičiuotuvą galite:

• Spearmano rango koreliacijos koeficiento apskaičiavimas;
• koeficiento pasikliautinojo intervalo apskaičiavimas ir jo reikšmingumo įvertinimas;

Spearmano rango koreliacijos koeficientas nurodo bendravimo glaudumo vertinimo rodiklius. Kokybinė rango koreliacijos koeficiento, kaip ir kitų koreliacijos koeficientų, ryšio glaudumo charakteristika gali būti įvertinta naudojant Chaddock skalę.

Koeficiento apskaičiavimas susideda iš šių žingsnių:

Spearmano rango koreliacijos koeficiento savybės

Taikymo sritis. Rangų koreliacijos koeficientas naudojamas dviejų populiacijų bendravimo kokybei įvertinti. Be to, jo statistinis reikšmingumas naudojamas analizuojant heteroskedastiškumo duomenis.

Pavyzdys. Remiantis stebimų kintamųjų X ir Y imtimi:

1. sukurti reitingų lentelę;
2. Raskite Spearman rango koreliacijos koeficientą ir patikrinkite jo reikšmę 2a lygyje
3. įvertinti priklausomybės pobūdį

„Aukštosios matematikos“ disciplina kai kuriems sukelia atmetimą, nes tikrai ne visi gali ją suprasti. Tačiau tie, kuriems pasisekė studijuoti šį dalyką ir spręsti uždavinius naudojant įvairias lygtis ir koeficientus, gali pasigirti beveik visišku jo supratimu. Psichologijos moksle yra ne tik humanitarinis dėmesys, bet ir tam tikros formulės bei metodai matematiniam tyrimo metu iškeltos hipotezės patikrinimui. Tam naudojami įvairūs koeficientai.

Spearmano koreliacijos koeficientas

Tai yra įprastas matavimas, skirtas nustatyti bet kurių dviejų charakteristikų ryšio stiprumą. Koeficientas taip pat vadinamas neparametriniu metodu. Tai rodo bendravimo statistiką. Tai yra, žinome, kad, pavyzdžiui, vaikui agresija ir dirglumas yra tarpusavyje susiję, o Spearman rango koreliacijos koeficientas parodo statistinį matematinį ryšį tarp šių dviejų savybių.

Kaip apskaičiuojamas reitingo koeficientas?

Natūralu, kad visi matematiniai apibrėžimai ar dydžiai turi savo formules, pagal kurias jie apskaičiuojami. Spearmano koreliacijos koeficientas taip pat turi jį. Jo formulė yra tokia:

Iš pirmo žvilgsnio formulė nėra visiškai aiški, tačiau pažvelgus į ją viską labai lengva apskaičiuoti:

• n yra reitinguojamų funkcijų arba rodiklių skaičius.
• d yra skirtumas tarp tam tikrų dviejų rangų, atitinkančių konkrečius du kiekvieno dalyko kintamuosius.
• ∑d 2 - visų objekto rangų skirtumų kvadratu suma, kurios kvadratai skaičiuojami atskirai kiekvienam rangui.

Ryšio matematinio mato taikymo sritis

Norint taikyti reitingavimo koeficientą, būtina, kad atributo kiekybiniai duomenys būtų reitinguojami, tai yra, jiems būtų suteiktas tam tikras skaičius, priklausomai nuo atributo buvimo vietos ir jo reikšmės. Įrodyta, kad dvi charakteristikų serijos, išreikštos skaitine forma, yra šiek tiek lygiagrečios viena kitai. Spearmano rango koreliacijos koeficientas lemia šio paralelizmo laipsnį, charakteristikų ryšio glaudumą.

Norėdami atlikti matematinę operaciją, apskaičiuojant ir nustatant charakteristikų ryšį naudojant nurodytą koeficientą, turite atlikti keletą veiksmų:

1. Kiekvienai bet kurio dalyko ar reiškinio reikšmei priskiriamas skaičius iš eilės – rangas. Jis gali atitikti reiškinio vertę didėjančia arba mažėjančia tvarka.
2. Toliau lyginamos dviejų kiekybinių eilučių charakteristikų vertės eilės, siekiant nustatyti jų skirtumą.
3. Kiekvienam gautam skirtumui jo kvadratas rašomas atskirame lentelės stulpelyje, o rezultatai apibendrinami žemiau.
4. Atlikus šiuos veiksmus, taikoma formulė Spearmano koreliacijos koeficientui apskaičiuoti.

Koreliacijos koeficiento savybės

Pagrindinės Spearmano koeficiento savybės yra šios:

• Matavimo vertės tarp -1 ir 1.
• Interpretacijos koeficiento ženklo nėra.
• Jungties sandarumas nustatomas pagal principą: kuo didesnė reikšmė, tuo jungtis artimesnė.

Kaip patikrinti gautą vertę?

Norėdami patikrinti ženklų ryšį, turite atlikti tam tikrus veiksmus:

1. Iškeliama nulinė hipotezė (H0), kuri yra ir pagrindinė, tada suformuluojama kita alternatyva pirmajai (H 1). Pirmoji hipotezė bus ta, kad Spearmano koreliacijos koeficientas yra 0 – tai reiškia, kad ryšio nebus. Antrasis, priešingai, sako, kad koeficientas nėra lygus 0, tada yra ryšys.
2. Kitas žingsnis – rasti pastebėtą kriterijaus reikšmę. Jis randamas naudojant pagrindinę Spearman koeficiento formulę.
3. Toliau randamos nurodyto kriterijaus kritinės reikšmės. Tai galima padaryti tik naudojant specialią lentelę, kurioje pateikiamos įvairios nurodytų rodiklių reikšmės: reikšmingumo lygis (l) ir apibrėžiamasis skaičius (n).
4. Dabar reikia palyginti dvi gautas vertes: nustatytą stebimą ir kritinę. Norėdami tai padaryti, būtina sukurti kritinį regioną. Turite nubrėžti tiesią liniją, pažymėkite ant jos kritinės koeficiento vertės taškus „-“ ženklu ir „+“ ženklu. Į kairę ir į dešinę nuo kritinių verčių kritinės sritys brėžiamos puslankiais nuo taškų. Viduryje, sujungiant dvi reikšmes, jis pažymėtas OPG puslankiu.
5. Po to daroma išvada apie glaudų ryšį tarp dviejų savybių.

Kur geriausia naudoti šią vertę?

Pats pirmasis mokslas, kuriame šis koeficientas buvo aktyviai naudojamas, buvo psichologija. Juk tai ne skaičiais paremtas mokslas, o norint įrodyti bet kokias svarbias hipotezes dėl santykių raidos, žmonių charakterio bruožų, mokinių žinių, reikalingas statistinis išvadų patvirtinimas. Jis taip pat naudojamas ekonomikoje, ypač atliekant užsienio valiutos sandorius. Čia savybės vertinamos be statistikos. Spearman rango koreliacijos koeficientas yra labai patogus šioje taikymo srityje, nes įvertinimas atliekamas neatsižvelgiant į kintamųjų pasiskirstymą, nes jie pakeičiami rango skaičiumi. Spearmano koeficientas aktyviai naudojamas bankininkystėje. Savo tyrimuose tai naudoja ir sociologija, politikos mokslai, demografija ir kiti mokslai. Rezultatai gaunami greitai ir kuo tiksliau.

Programoje Excel patogu ir greita naudoti Spearman koreliacijos koeficientą. Čia yra specialių funkcijų, kurios padeda greitai gauti reikiamas reikšmes.

Kokie kiti koreliacijos koeficientai egzistuoja?

Be to, ką sužinojome apie Spearmano koreliacijos koeficientą, yra ir įvairūs koreliacijos koeficientai, leidžiantys išmatuoti ir įvertinti kokybines charakteristikas, kiekybinių charakteristikų ryšį bei jų tarpusavio ryšio glaudumą, pateikiamus reitingavimo skalėje. Tai yra koeficientai, tokie kaip biserial, eilinis-biserinis, atsitiktinumas, asociacija ir pan. Spearmano koeficientas labai tiksliai parodo ryšio glaudumą, skirtingai nei visi kiti matematinio jo nustatymo metodai.

K. Spearman pasiūlytas rango koreliacijos koeficientas reiškia neparametrinį santykio tarp kintamųjų, išmatuotų rangų skalėje, matą. Skaičiuojant šį koeficientą, nereikia daryti prielaidų apie charakteristikų pasiskirstymo pobūdį populiacijoje. Šis koeficientas nustato ryšio tarp eilinių charakteristikų, kurios šiuo atveju reiškia lyginamų dydžių eiles, glaudumo laipsnį.

Spearmano koreliacijos koeficientas taip pat yra +1 ir -1 diapazone. Jis, kaip ir Pirsono koeficientas, gali būti teigiamas ir neigiamas, apibūdinantis dviejų charakteristikų santykio kryptį, išmatuotą rangų skalėje.

Iš esmės reitinguojamų požymių (savybių, bruožų ir kt.) skaičius gali būti bet koks, tačiau daugiau nei 20 savybių reitingavimo procesas yra sudėtingas. Gali būti, kad todėl reitingų koreliacijos koeficiento kritinių verčių lentelė buvo apskaičiuota tik keturiasdešimčiai reitinguotų požymių (n< 40, табл. 20 приложения 6).

Spearmano rango koreliacijos koeficientas apskaičiuojamas pagal formulę:

čia n – reitinguotų požymių (rodiklių, dalykų) skaičius;

D yra skirtumas tarp dviejų kiekvieno dalyko kintamųjų rangų;

Rango skirtumų kvadratu suma.

Naudodami rango koreliacijos koeficientą, apsvarstykite šį pavyzdį.

Pavyzdys: Psichologas išsiaiškina, kaip individualūs pasirengimo mokyklai rodikliai, gauti prieš mokyklos pradžią tarp 11 pirmokų, yra susiję tarpusavyje ir jų vidutiniais rezultatais mokslo metų pabaigoje.

Norėdami išspręsti šią problemą, reitingavome, pirma, pasirengimo mokyklai rodiklių reikšmes, gautas priimant į mokyklą, ir, antra, galutinius tų pačių mokinių akademinės veiklos rodiklius metų pabaigoje vidutiniškai. Rezultatus pateikiame lentelėje. 13.

13 lentelė

Gautus duomenis pakeičiame į formulę ir atliekame skaičiavimą. Mes gauname:

Norėdami sužinoti reikšmingumo lygį, žr. lentelę. 6 priedo 20, kuriame nurodytos rangų koreliacijos koeficientų kritinės vertės.

Mes tai pabrėžiame lentelėje. 6 priedo 20, kaip ir linijinės Pearsono koreliacijos lentelėje, visos koreliacijos koeficientų reikšmės pateiktos absoliučia verte. Todėl į koreliacijos koeficiento ženklą atsižvelgiama tik jį interpretuojant.

Šioje lentelėje reikšmingumo lygiai randami pagal skaičių n, ty pagal tiriamųjų skaičių. Mūsų atveju n = 11. Šiam skaičiui randame:

0,61 už P 0,05

0,76 už P 0,01

Sukonstruojame atitinkamą „reikšmingumo ašį“:

Gautas koreliacijos koeficientas sutapo su 1% reikšmingumo lygio kritine verte. Vadinasi, galima teigti, kad pirmokų pasirengimo mokyklai ir baigiamųjų pažymių rodiklius sieja teigiama koreliacija – kitaip tariant, kuo aukštesnis pasirengimo mokyklai rodiklis, tuo geriau mokosi pirmokas. Kalbant apie statistines hipotezes, psichologas turi atmesti nulinę panašumo hipotezę ir priimti alternatyvią skirtumų hipotezę, kuri rodo, kad ryšys tarp pasirengimo mokyklai rodiklių ir vidutinių akademinių rezultatų skiriasi nuo nulio.

Identiškų (lygių) rangų atvejis

Jei yra identiškos eilės, Spearmano tiesinės koreliacijos koeficiento apskaičiavimo formulė šiek tiek skirsis. Šiuo atveju į koreliacijos koeficientų skaičiavimo formulę pridedami du nauji terminai, atsižvelgiant į tas pačias eiles. Jie vadinami vienodo rango pataisymais ir pridedami prie skaičiavimo formulės skaitiklio.

kur n yra identiškų eilių skaičius pirmajame stulpelyje,

k yra identiškų eilių skaičius antrame stulpelyje.

Jei bet kuriame stulpelyje yra dvi identiškų eilučių grupės, taisymo formulė tampa šiek tiek sudėtingesnė:

kur n yra identiškų eilių skaičius pirmoje eilės stulpelio grupėje,

k yra identiškų eilių skaičius antroje reitinguoto stulpelio grupėje. Formulės modifikavimas bendruoju atveju yra toks:

Pavyzdys: Psichologas, naudodamas psichikos raidos testą (MDT), atlieka 12 9 klasės mokinių intelekto tyrimą. Kartu jis prašo literatūros ir matematikos mokytojų suskirstyti tuos pačius mokinius pagal protinio išsivystymo rodiklius. Užduotis – nustatyti, kaip objektyvūs psichikos raidos rodikliai (SHTUR duomenys) ir mokytojų ekspertiniai vertinimai yra tarpusavyje susiję.

Šios problemos eksperimentinius duomenis ir papildomus stulpelius, reikalingus Spearmano koreliacijos koeficientui apskaičiuoti, pateikiame lentelės pavidalu. 14.

14 lentelė

Kadangi reitinguojant buvo naudojami tie patys rangai, būtina patikrinti reitingo teisingumą antroje, trečioje ir ketvirtoje lentelės stulpeliuose. Susumavus kiekvieną iš šių stulpelių gaunama tokia pati suma – 78.

Mes tikriname naudodami skaičiavimo formulę. Čekis suteikia:

Penktoje ir šeštoje lentelės stulpeliuose nurodytos gretų skirtumo reikšmės tarp psichologo ekspertinių vertinimų SHTUR teste kiekvienam mokiniui ir mokytojų ekspertinių vertinimų matematikos ir literatūros srityse. Rango skirtumo verčių suma turi būti lygi nuliui. Susumavus D vertes penktoje ir šeštoje stulpeliuose, gautas norimas rezultatas. Todėl rangų atėmimas buvo atliktas teisingai. Panašus patikrinimas turi būti atliktas kiekvieną kartą atliekant sudėtingų tipų reitingavimą.

Prieš pradedant skaičiavimą naudojant formulę, reikia apskaičiuoti antrojo, trečiojo ir ketvirtojo lentelės stulpelių pataisas toms pačioms eilėms.

Mūsų atveju, antrame lentelės stulpelyje yra du identiški eilės, todėl pagal formulę pataisos D1 reikšmė bus:

Trečiasis stulpelis turi tris identiškas eiles, todėl pagal formulę pataisos D2 reikšmė bus:

Ketvirtajame lentelės stulpelyje yra dvi trijų identiškų eilučių grupės, todėl pagal formulę pataisos D3 reikšmė bus:

Prieš pradėdami spręsti problemą, prisiminkime, kad psichologas aiškinasi du klausimus – kaip SHTUR testo rangų reikšmės yra susijusios su ekspertų vertinimais matematikoje ir literatūroje. Štai kodėl skaičiavimas atliekamas du kartus.

Pirmąjį reitingo koeficientą apskaičiuojame atsižvelgdami į priedus pagal formulę. Mes gauname:

Apskaičiuokime neatsižvelgdami į priedą:

Kaip matome, koreliacijos koeficientų reikšmių skirtumas pasirodė labai nereikšmingas.

Antrąjį reitingo koeficientą apskaičiuojame atsižvelgdami į priedus pagal formulę. Mes gauname:

Apskaičiuokime neatsižvelgdami į priedą:

Vėlgi, skirtumai buvo labai nedideli. Kadangi studentų skaičius abiem atvejais yra vienodas, pagal lentelę. 6 priedo 20 randame kritines vertes, kai n = 12 abiem koreliacijos koeficientams iš karto.

0,58 už P 0,05

0,73 už P 0,01

Pirmąją reikšmę nubraižome „reikšmingumo ašyje“:

Pirmuoju atveju gautas rango koreliacijos koeficientas yra reikšmingumo zonoje. Todėl psichologas turi atmesti nulinę hipotezę, kad koreliacijos koeficientas yra panašus į nulį, ir priimti alternatyvią hipotezę, kad koreliacijos koeficientas žymiai skiriasi nuo nulio. Kitaip tariant, gautas rezultatas leidžia manyti, kad kuo aukštesni studentų ekspertiniai vertinimai atliekant SHTUR testą, tuo aukštesni yra jų matematikos ekspertiniai vertinimai.

Antrąją reikšmę nubraižome „reikšmingumo ašyje“:

Antruoju atveju rango koreliacijos koeficientas yra neapibrėžtumo zonoje. Todėl psichologas gali priimti nulinę hipotezę, kad koreliacijos koeficientas yra panašus į nulį, ir atmesti alternatyvią hipotezę, kad koreliacijos koeficientas žymiai skiriasi nuo nulio. Šiuo atveju gautas rezultatas leidžia manyti, kad studentų ekspertiniai vertinimai dėl SHTUR testo nėra susiję su ekspertiniais literatūros vertinimais.

Norint taikyti Spearmano koreliacijos koeficientą, turi būti įvykdytos šios sąlygos:

1. Lyginami kintamieji turi būti gauti eilės (rangos) skalėje, bet gali būti matuojami ir intervalo bei santykio skalėje.

2. Koreliuojančių dydžių pasiskirstymo pobūdis neturi reikšmės.

3. Kintamų charakteristikų skaičius lyginamuosiuose kintamuosiuose X ir Y turi būti vienodas.

Spearmano koreliacijos koeficiento kritinių verčių nustatymo lentelės (20 lentelė, 6 priedas) apskaičiuojamos pagal charakteristikų skaičių, lygų n = 5 iki n = 40, o esant didesniam lyginamųjų kintamųjų skaičiui, lentelė Reikėtų naudoti Pearsono koreliacijos koeficientą (19 lentelė, 6 priedas). Kritinės reikšmės randamos esant k = n.

Tais atvejais, kai tiriamųjų charakteristikų matavimai atliekami eilės skalėje arba ryšio forma skiriasi nuo tiesinės, dviejų atsitiktinių dydžių ryšio tyrimas atliekamas naudojant rangų koreliacijos koeficientus. Panagrinėkime Spearman rango koreliacijos koeficientą. Ją skaičiuojant būtina surikiuoti (išskirstyti) imties variantus. Reitingavimas – tai eksperimentinių duomenų grupavimas tam tikra tvarka, didėjančia arba mažėjančia tvarka.

Reitingavimo operacija atliekama pagal šį algoritmą:

1. Mažesnei reikšmei priskiriamas žemesnis rangas. Didžiausiai reikšmei priskiriamas reitingas, atitinkantis reitinguotų reikšmių skaičių. Mažiausiai reikšmei priskiriamas 1 rangas. Pavyzdžiui, jei n=7, tai didžiausiai reikšmei bus suteiktas 7 reitingas, išskyrus antroje taisyklėje numatytus atvejus.

2. Jei kelios reikšmės yra lygios, tada joms priskiriamas rangas, kuris yra rangų, kuriuos jie gautų, jei nebūtų lygūs, vidurkis. Kaip pavyzdį apsvarstykite pavyzdį, išdėstytą didėjančia tvarka, sudarytą iš 7 elementų: 22, 23, 25, 25, 25, 28, 30. Reikšmės 22 ir 23 pateikiamos po vieną kartą, todėl jų eilės yra atitinkamai R22=1, ir R23=2. 25 reikšmė rodoma 3 kartus. Jei šios reikšmės nebūtų kartojamos, jų eilės būtų 3, 4, 5. Todėl jų R25 rangas yra lygus 3, 4 ir 5 aritmetiniam vidurkiui: . 28 ir 30 reikšmės nesikartoja, todėl jų eilės yra atitinkamai R28=6 ir R30=7. Galiausiai turime tokią korespondenciją:

3. Bendra rangų suma turi sutapti su apskaičiuotąja, kuri nustatoma pagal formulę:

čia n yra bendras reitinguotų verčių skaičius.

Faktinės ir skaičiuojamos rangų sumų neatitikimas parodys klaidą, padarytą skaičiuojant rangus ar juos sumuojant. Tokiu atveju turite rasti ir ištaisyti klaidą.

Spearmano rango koreliacijos koeficientas yra metodas, leidžiantis nustatyti ryšio tarp dviejų požymių ar dviejų požymių hierarchijų stiprumą ir kryptį. Rango koreliacijos koeficiento naudojimas turi keletą apribojimų:

• a) Tariama koreliacijos priklausomybė turi būti monotoniška.
• b) Kiekvieno mėginio tūris turi būti didesnis arba lygus 5. Norėdami nustatyti viršutinę mėginio ribą, naudokite kritinių verčių lenteles (priedo 3 lentelė). Didžiausia n reikšmė lentelėje yra 40.
• c) Analizės metu tikėtina, kad gali susidaryti daug identiškų rangų. Tokiu atveju turi būti padaryta pataisa. Palankiausias atvejis yra tada, kai abu tiriami mėginiai yra dvi skirtingų verčių sekos.

Norėdamas atlikti koreliacinę analizę, tyrėjas turi turėti du pavyzdžius, kuriuos galima reitinguoti, pavyzdžiui:

• - dvi charakteristikos, išmatuotos toje pačioje tiriamųjų grupėje;
• - dvi atskiros požymių hierarchijos, nustatytos dviejuose subjektuose, naudojant tą patį požymių rinkinį;
• - dvi grupinės charakteristikų hierarchijos;
• - individualios ir grupinės charakteristikų hierarchijos.

Skaičiavimą pradedame reitinguodami tiriamus rodiklius atskirai kiekvienai charakteristikai.

Išanalizuokime atvejį su dviem ženklais, išmatuotais toje pačioje tiriamųjų grupėje. Pirma, skirtingų tiriamųjų gautos individualios reikšmės reitinguojamos pagal pirmąją charakteristiką, o vėliau – pagal antrąją požymį. Jei vieno rodiklio žemesni rangai atitinka kito rodiklio žemesnius rangus, o aukštesni vieno rodiklio rangai – didesnius kito rodiklio rangus, tai šios dvi charakteristikos yra teigiamai susijusios. Jei vieno rodiklio aukštesni rangai atitinka žemesnius kito rodiklio laipsnius, tai šios dvi charakteristikos yra neigiamai susijusios. Norėdami rasti rs, nustatome kiekvieno dalyko rangų (d) skirtumus. Kuo mažesnis skirtumas tarp rangų, tuo rango koreliacijos koeficientas rs bus artimesnis „+1“. Jei nėra santykio, tada tarp jų nebus ir susirašinėjimo, vadinasi, rs bus artimas nuliui. Kuo didesnis skirtumas tarp tiriamųjų eilių pagal du kintamuosius, tuo arčiau „-1“ bus rs koeficiento reikšmė. Taigi Spearman rango koreliacijos koeficientas yra bet kokio monotoniško ryšio tarp dviejų tiriamų charakteristikų matas.

Panagrinėkime atvejį su dviem individualiomis požymių hierarchijomis, nustatytomis dviejuose subjektuose, naudojant tą patį bruožų rinkinį. Esant tokiai situacijai, kiekvieno iš dviejų tiriamųjų gautos individualios vertės yra suskirstytos pagal tam tikrą savybių rinkinį. Mažiausią reikšmę turinčiam požymiui turi būti suteiktas pirmasis rangas; didesnę reikšmę turinti charakteristika yra antrasis rangas ir kt. Ypatingas dėmesys turėtų būti skiriamas tam, kad visi požymiai būtų matuojami tais pačiais vienetais. Pavyzdžiui, neįmanoma reitinguoti rodiklių, jei jie išreikšti skirtingais „kainos“ taškais, nes neįmanoma nustatyti, kuris iš veiksnių užims pirmąją vietą pagal sunkumą, kol visos vertės nebus suvestos į vieną skalę. Jei ypatybės, turinčios žemus rangus viename iš dalykų, taip pat turi žemus rangus kitame, ir atvirkščiai, tada atskiros hierarchijos yra teigiamai susijusios.

Dviejų grupių charakteristikų hierarchijų atveju vidutinės grupės vertės, gautos dviejose tiriamųjų grupėse, yra suskirstytos pagal tą patį charakteristikų rinkinį tiriamoms grupėms. Toliau vadovaujamės ankstesniais atvejais pateiktu algoritmu.

Panagrinėkime atvejį su individualia ir grupine charakteristikų hierarchija. Jie pradedami atskirai reitinguojant individualias tiriamojo vertes ir vidutines grupės vertes pagal tą patį gautų savybių rinkinį, neįskaitant tiriamojo, kuris nedalyvauja vidutinėje grupės hierarchijoje, nes jo individuali hierarchija bus palyginti su juo. Rango koreliacija leidžia įvertinti individualios ir grupės požymių hierarchijos nuoseklumo laipsnį.

Panagrinėkime, kaip aukščiau išvardintais atvejais nustatoma koreliacijos koeficiento reikšmė. Dviejų charakteristikų atveju jis bus nustatomas pagal imties dydį. Dviejų atskirų savybių hierarchijų atveju reikšmingumas priklauso nuo į hierarchiją įtrauktų ypatybių skaičiaus. Paskutiniais dviem atvejais reikšmingumą lemia tiriamų charakteristikų skaičius, o ne grupių skaičius. Taigi rs reikšmę visais atvejais lemia reitinguotų verčių skaičius n.

Tikrinant rs statistinį reikšmingumą, naudojamos reitingų koreliacijos koeficiento kritinių verčių lentelės, sudarytos įvairiems reitinguotų verčių skaičiams ir skirtingiems reikšmingumo lygiams. Jei absoliuti rs reikšmė pasiekia arba viršija kritinę reikšmę, tai koreliacija patikima.

Svarstant pirmąjį variantą (atvejis su dviem ženklais, išmatuotais toje pačioje tiriamųjų grupėje), galimos šios hipotezės.

H0: Koreliacija tarp kintamųjų x ir y nesiskiria nuo nulio.

H1: Koreliacija tarp kintamųjų x ir y labai skiriasi nuo nulio.

Jei dirbame su bet kuriuo iš trijų likusių atvejų, būtina pateikti kitą hipotezių porą:

H0: koreliacija tarp hierarchijų x ir y nesiskiria nuo nulio.

H1: koreliacija tarp hierarchijų x ir y labai skiriasi nuo nulio.

Veiksmų seka skaičiuojant Spearman rango koreliacijos koeficientą rs yra tokia.

• - Nustatykite, kurios dvi savybės arba dvi savybių hierarchijos dalyvaus palyginime kaip kintamieji x ir y.
• - Įvertinkite kintamojo x reikšmes, priskirdami 1 rangą mažiausiai reikšmei pagal reitingavimo taisykles. Pirmajame lentelės stulpelyje išdėstykite eiles pagal tiriamuosius arba charakteristikas.
• - Įvertinkite kintamojo y reikšmes. Antrame lentelės stulpelyje išdėstykite eiles pagal tiriamuosius arba charakteristikas.
• - Apskaičiuokite skirtumus d tarp eilių x ir y kiekvienai lentelės eilutei. Įdėkite rezultatus į kitą lentelės stulpelį.
• - Apskaičiuokite skirtumus kvadratu (d2). Įdėkite gautas reikšmes į ketvirtą lentelės stulpelį.
• - Apskaičiuoti skirtumų kvadratu sumą? d2.
• - Jei yra identiškos eilės, apskaičiuokite pataisymus:

čia tx yra kiekvienos identiškų eilučių grupės x imtyje tūris;

ty – kiekvienos y imties identiškų eilučių grupės tūris.

Apskaičiuokite rango koreliacijos koeficientą, priklausomai nuo to, ar yra ar nėra identiškų rangų. Jei nėra vienodų rangų, apskaičiuokite rango koreliacijos koeficientą rs naudodami formulę:

Jei yra identiški rangai, apskaičiuokite rango koreliacijos koeficientą rs naudodami formulę:

kur?d2 yra skirtumų tarp eilučių kvadratu suma;

Tx ir Ty – tų pačių rangų pataisos;

n yra reitinge dalyvaujančių dalykų arba savybių skaičius.

Iš priedo 3 lentelės nustatykite kritines rs reikšmes tam tikram tiriamųjų skaičiui n. Bus stebimas patikimas koreliacijos koeficiento skirtumas nuo nulio, jei rs yra ne mažesnis už kritinę vertę.