Nenuosekli tiesinių lygčių sistema. Matricinis metodas tiesinių lygčių sistemoms spręsti

Lygčių sistemos plačiai naudojamos ekonomikos sektoriuje įvairių procesų matematiniam modeliavimui. Pavyzdžiui, sprendžiant gamybos valdymo ir planavimo, logistikos maršrutų (transporto problemos) ar įrangos išdėstymo problemas.

Sprendžiant populiacijos dydžio nustatymo uždavinius, lygčių sistemos naudojamos ne tik matematikoje, bet ir fizikoje, chemijoje, biologijoje.

Tiesinių lygčių sistema – tai dvi ar daugiau lygčių su keliais kintamaisiais, kurioms būtina rasti bendrą sprendimą. Tokia skaičių seka, kuriai visos lygtys tampa tikrosiomis lygybėmis arba įrodo, kad sekos nėra.

Tiesinė lygtis

Formos ax+by=c lygtys vadinamos tiesinėmis. Pavadinimai x, y yra nežinomieji, kurių reikšmę reikia rasti, b, a – kintamųjų koeficientai, c – laisvasis lygties narys.
Išsprendus lygtį ją nubraižant, ji atrodys kaip tiesė, kurios visi taškai yra daugianario sprendiniai.

Tiesinių lygčių sistemų tipai

Paprasčiausiais pavyzdžiais laikomos tiesinių lygčių sistemos su dviem kintamaisiais X ir Y.

F1(x, y) = 0 ir F2(x, y) = 0, kur F1,2 yra funkcijos, o (x, y) yra funkcijų kintamieji.

Išspręskite lygčių sistemą - tai reiškia, kad reikia rasti vertes (x, y), kurioms esant sistema virsta tikra lygybe, arba nustatyti, kad tinkamų x ir y reikšmių nėra.

Reikšmių pora (x, y), parašyta kaip taško koordinatės, vadinama tiesinių lygčių sistemos sprendimu.

Jei sistemos turi vieną bendrą sprendimą arba sprendimo nėra, jos vadinamos lygiavertėmis.

Homogeninės tiesinių lygčių sistemos yra sistemos, kurių dešinioji pusė lygi nuliui. Jei dešinioji dalis po lygybės ženklo turi reikšmę arba yra išreikšta funkcija, tokia sistema yra nevienalytė.

Kintamųjų gali būti daug daugiau nei du, tuomet turėtume kalbėti apie tiesinių lygčių sistemos su trimis ar daugiau kintamųjų pavyzdį.

Susidūrę su sistemomis, moksleiviai mano, kad lygčių skaičius būtinai turi sutapti su nežinomųjų skaičiumi, tačiau taip nėra. Lygčių skaičius sistemoje nepriklauso nuo kintamųjų, jų gali būti tiek, kiek norima.

Paprasti ir sudėtingi lygčių sistemų sprendimo metodai

Nėra bendro analitinio metodo tokioms sistemoms spręsti, visi metodai yra pagrįsti skaitiniais sprendimais. Mokykliniame matematikos kurse išsamiai aprašomi tokie metodai kaip permutacija, algebrinis sudėjimas, pakaitalai, taip pat grafiniai ir matriciniai metodai, sprendimas Gauso metodu.

Pagrindinė užduotis mokant sprendimo metodų yra išmokyti teisingai analizuoti sistemą ir kiekvienam pavyzdžiui rasti optimalų sprendimo algoritmą. Svarbiausia yra ne įsiminti kiekvieno metodo taisyklių ir veiksmų sistemą, o suprasti konkretaus metodo naudojimo principus.

Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas 7 klasės bendrojo lavinimo programoje yra gana paprastas ir labai išsamiai paaiškintas. Bet kuriame matematikos vadovėlyje šiam skyriui skiriama pakankamai dėmesio. Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas Gauso ir Cramerio metodu plačiau nagrinėjamas pirmaisiais aukštojo mokslo metais.

Sistemų sprendimas pakeitimo metodu

Pakeitimo metodo veiksmais siekiama išreikšti vieno kintamojo reikšmę antruoju. Išraiška pakeičiama į likusią lygtį, tada ji redukuojama į formą su vienu kintamuoju. Veiksmas kartojamas priklausomai nuo nežinomųjų skaičiaus sistemoje

Pateikiame 7 klasės tiesinių lygčių sistemos pavyzdį, naudojant pakeitimo metodą:

Kaip matyti iš pavyzdžio, kintamasis x buvo išreikštas F(X) = 7 + Y. Gauta išraiška, pakeista į 2-ąją sistemos lygtį vietoj X, padėjo gauti vieną kintamąjį Y 2-oje lygtyje. . Išspręsti šį pavyzdį paprasta ir galima gauti Y reikšmę. Paskutinis veiksmas – patikrinti gautas reikšmes.

Tiesinių lygčių sistemos pavyzdį ne visada įmanoma išspręsti pakeičiant. Lygtys gali būti sudėtingos ir kintamąjį išreikšti antrojo nežinomojo terminu bus pernelyg sudėtinga tolesniems skaičiavimams. Kai sistemoje yra daugiau nei 3 nežinomieji, sprendimas pakeitimu taip pat yra netinkamas.

Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos pavyzdžio sprendimas:

Sprendimas naudojant algebrinį sudėjimą

Ieškant sprendimų sistemoms sudavimo metodu, lygtys sudedamos po termino ir dauginamos iš įvairių skaičių. Galutinis matematinių operacijų tikslas yra lygtis viename kintamajame.

Šio metodo taikymas reikalauja praktikos ir stebėjimo. Išspręsti tiesinių lygčių sistemą sudavimo metodu, kai yra 3 ar daugiau kintamųjų, nėra lengva. Algebrinį sudėjimą patogu naudoti, kai lygtyse yra trupmenų ir dešimtainių dalių.

Sprendimo algoritmas:

1. Padauginkite abi lygties puses iš tam tikro skaičiaus. Dėl aritmetinės operacijos vienas iš kintamojo koeficientų turėtų tapti lygus 1.
2. Pridėkite gautą išraišką po termino ir raskite vieną iš nežinomųjų.
3. Pakeiskite gautą reikšmę į 2-ąją sistemos lygtį, kad rastumėte likusį kintamąjį.

Sprendimo būdas įvedant naują kintamąjį

Naujas kintamasis gali būti įvestas, jei sistemoje reikia rasti ne daugiau kaip dviejų lygčių sprendimą, nežinomųjų skaičius taip pat turėtų būti ne didesnis kaip dvi.

Metodas naudojamas supaprastinti vieną iš lygčių, įvedant naują kintamąjį. Nauja lygtis išsprendžiama įvestam nežinomajam, o gauta reikšmė naudojama pirminiam kintamajam nustatyti.

Pavyzdys rodo, kad įvedus naują kintamąjį t, buvo galima 1-ąją sistemos lygtį sumažinti iki standartinio kvadratinio trinalio. Galite išspręsti daugianarį suradę diskriminantą.

Reikia rasti diskriminanto reikšmę naudojant gerai žinomą formulę: D = b2 - 4*a*c, kur D yra norimas diskriminantas, b, a, c yra daugianario veiksniai. Pateiktame pavyzdyje a=1, b=16, c=39, todėl D=100. Jei diskriminantas didesnis už nulį, tai yra du sprendiniai: t = -b±√D / 2*a, jei diskriminantas mažesnis už nulį, tai yra vienas sprendinys: x = -b / 2*a.

Gautų sistemų sprendimas randamas pridėjimo metodu.

Vizualus sistemų sprendimo metodas

Tinka 3 lygčių sistemoms. Metodas susideda iš kiekvienos lygties, įtrauktos į sistemą, grafikų sudarymo koordinačių ašyje. Kreivių susikirtimo taškų koordinatės bus bendras sistemos sprendimas.

Grafinis metodas turi keletą niuansų. Pažvelkime į kelis tiesinių lygčių sistemų vaizdinio sprendimo pavyzdžius.

Kaip matyti iš pavyzdžio, kiekvienai eilutei buvo sudaryti du taškai, savavališkai parinktos kintamojo x reikšmės: 0 ir 3. Remiantis x reikšmėmis, buvo rastos y reikšmės: 3 ir 0. Taškai su koordinatėmis (0, 3) ir (3, 0) buvo pažymėti grafike ir sujungti linija.

Antrosios lygties veiksmai turi būti kartojami. Tiesių susikirtimo taškas yra sistemos sprendimas.

Šiame pavyzdyje reikia rasti grafinį tiesinių lygčių sistemos sprendimą: 0,5x-y+2=0 ir 0,5x-y-1=0.

Kaip matyti iš pavyzdžio, sistema neturi sprendimo, nes grafikai yra lygiagretūs ir nesikerta per visą savo ilgį.

2 ir 3 pavyzdžių sistemos yra panašios, tačiau sukūrus tampa akivaizdu, kad jų sprendimai skiriasi. Reikia atsiminti, kad ne visada galima pasakyti, ar sistema turi sprendimą, ar ne, visada reikia sudaryti grafiką.

Matrica ir jos atmainos

Matricos naudojamos glaustai parašyti tiesinių lygčių sistemą. Matrica yra specialus lentelės tipas, užpildytas skaičiais. n*m turi n eilučių ir m stulpelių.

Matrica yra kvadratinė, kai stulpelių ir eilučių skaičius yra lygus. Matrica-vektorius yra vieno stulpelio matrica su be galo galimu eilučių skaičiumi. Matrica su vienetais išilgai vienos iš įstrižainių ir kitų nulinių elementų vadinama tapatybe.

Atvirkštinė matrica yra matrica, iš kurios padauginta pradinė virsta vienetine matrica, tokia egzistuoja tik pradinei kvadratinei.

Lygčių sistemos pavertimo matrica taisyklės

Kalbant apie lygčių sistemas, lygčių koeficientai ir laisvieji nariai užrašomi kaip matricos skaičiai.

Teigiama, kad matricos eilutė yra nulis, jei bent vienas eilutės elementas nėra lygus nuliui. Todėl jeigu kurioje nors lygtyje kintamųjų skaičius skiriasi, tai vietoje trūkstamo nežinomojo reikia įvesti nulį.

Matricos stulpeliai turi griežtai atitikti kintamuosius. Tai reiškia, kad kintamojo x koeficientai gali būti rašomi tik viename stulpelyje, pavyzdžiui, pirmasis, nežinomo y koeficientas – tik antrame.

Dauginant matricą, visi matricos elementai paeiliui dauginami iš skaičiaus.

Atvirkštinės matricos paieškos parinktys

Formulė atvirkštinei matricai rasti yra gana paprasta: K -1 = 1 / |K|, kur K -1 yra atvirkštinė matrica ir |K| yra matricos determinantas. |K| neturi būti lygus nuliui, tada sistema turi sprendimą.

Determinantas lengvai apskaičiuojamas matricai du kartus, tereikia padauginti įstrižainės elementus vieną iš kito. Pasirinkimui „trys iš trijų“ yra formulė |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Galite naudoti formulę arba prisiminti, kad reikia paimti po vieną elementą iš kiekvienos eilutės ir kiekvieno stulpelio, kad darbe nesikartotų stulpelių ir elementų eilučių numeriai.

Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas matriciniu metodu

Matricinis sprendimo paieškos metodas leidžia sumažinti sudėtingus įrašus sprendžiant sistemas su daugybe kintamųjų ir lygčių.

Pavyzdyje a nm yra lygčių koeficientai, matrica yra vektorius, x n yra kintamieji, o b n yra laisvieji nariai.

Sistemų sprendimas Gauso metodu

Aukštojoje matematikoje Gauso metodas tiriamas kartu su Cramerio metodu, o sistemų sprendimų paieškos procesas vadinamas Gauss-Cramer sprendimo metodu. Šie metodai naudojami kintamiesiems rasti sistemose, kuriose yra daug tiesinių lygčių.

Gauso metodas yra labai panašus į sprendimus su pakeitimu ir algebriniu sudėjimu, tačiau yra sistemingesnis. Mokykliniame kurse 3 ir 4 lygčių sistemoms naudojamas sprendimas Gauso metodu. Metodo tikslas – sumažinti sistemą iki apverstos trapecijos formos. Algebrinių transformacijų ir keitimų pagalba vienoje iš sistemos lygčių randama vieno kintamojo reikšmė. Antroji lygtis yra išraiška su 2 nežinomaisiais, o 3 ir 4 yra atitinkamai su 3 ir 4 kintamaisiais.

Suvedus sistemą į aprašytą formą, tolesnis sprendimas redukuojamas iki nuoseklaus žinomų kintamųjų pakeitimo sistemos lygtyse.

7 klasės mokykliniuose vadovėliuose Gauso metodo sprendimo pavyzdys aprašytas taip:

Kaip matyti iš pavyzdžio, (3) žingsnyje buvo gautos dvi lygtys: 3x 3 -2x 4 =11 ir 3x 3 +2x 4 =7. Išsprendę bet kurią lygtį, galėsite sužinoti vieną iš kintamųjų x n.

Tekste minima 5 teorema teigia, kad vieną iš sistemos lygčių pakeitus lygiaverte, tai gauta sistema taip pat bus lygiavertė pradinei.

Gauso metodą vidurinės mokyklos mokiniams sunku suprasti, tačiau tai vienas įdomiausių būdų ugdyti vaikų, įtrauktų į išplėstinio mokymosi programas matematikos ir fizikos pamokose, išradingumą.

Kad būtų lengviau įrašyti, skaičiavimai paprastai atliekami taip:

Lygčių ir laisvųjų dėmenų koeficientai rašomi matricos pavidalu, kur kiekviena matricos eilutė atitinka vieną iš sistemos lygčių. atskiria kairę lygties pusę nuo dešinės. Romėniški skaitmenys nurodo lygčių skaičius sistemoje.

Pirmiausia užsirašykite matricą, su kuria dirbsite, tada visus veiksmus, atliktus su viena iš eilučių. Gauta matrica rašoma po „rodyklės“ ženklu ir tęsiamos būtinos algebrinės operacijos, kol pasiekiamas rezultatas.

Rezultatas turėtų būti matrica, kurioje viena iš įstrižainių yra lygi 1, o visi kiti koeficientai yra lygūs nuliui, tai yra, matrica sumažinama iki vieneto formos. Turime nepamiršti atlikti skaičiavimų su skaičiais abiejose lygties pusėse.

Šis įrašymo būdas yra ne toks sudėtingas ir leidžia nesiblaškyti išvardijant daugybę nežinomųjų.

Norint nemokamai naudoti bet kokį sprendimo būdą, reikės kruopštumo ir tam tikros patirties. Ne visi metodai yra taikomojo pobūdžio. Kai kurie sprendimų paieškos metodai yra labiau tinkami tam tikroje žmogaus veiklos srityje, o kiti yra švietimo tikslais.

Jei problema turi mažiau nei tris kintamuosius, tai nėra problema; jei daugiau nei aštuoni, tai neišsprendžiama. Enon.

Problemos su parametrais aptinkamos visose vieningo valstybinio egzamino versijose, nes jas išsprendus aiškiausiai atsiskleidžia, kokios gilios ir neformalios yra absolvento žinios. Sunkumai, su kuriais susiduria mokiniai atlikdami tokias užduotis, kyla ne tik dėl jų santykinio sudėtingumo, bet ir dėl to, kad vadovėliuose joms neskiriama pakankamai dėmesio. Matematikos KIM versijose yra dviejų tipų užduotys su parametrais. Pirmasis: „kiekvienai parametro vertei išspręskite lygtį, nelygybę arba sistemą“. Antrasis: „raskite visas parametro reikšmes, kurių kiekvienos nelygybės, lygties ar sistemos sprendiniai atitinka nurodytas sąlygas“. Atitinkamai, šių dviejų tipų problemų atsakymai skiriasi iš esmės. Pirmuoju atveju atsakyme pateikiamos visos galimos parametro reikšmės ir kiekvienai iš šių verčių rašomi lygties sprendiniai. Antrajame pateikiamos visos parametrų reikšmės, kurioms esant įvykdomos problemos sąlygos. Atsakymo užrašymas yra esminis sprendimo etapas, labai svarbu nepamiršti atsakyme atspindėti visus sprendimo etapus. Mokiniai turi į tai atkreipti dėmesį.
Pamokos priede pateikiama papildoma medžiaga tema „Tiesinių lygčių sistemų su parametrais sprendimas“, kuri padės paruošti mokinius baigiamajam atestavimui.

Pamokos tikslai:

• mokinių žinių sisteminimas;
• ugdyti gebėjimą naudoti grafinius vaizdus sprendžiant lygčių sistemas;
• ugdyti gebėjimą spręsti tiesinių lygčių sistemas su parametrais;
• mokinių veiklos kontrolės ir savikontrolės įgyvendinimas;
• moksleivių tiriamosios ir pažintinės veiklos ugdymas, gebėjimas vertinti gautus rezultatus.

Pamoka trunka dvi valandas.

Pamokos eiga

1. Organizacinis momentas

Perduokite pamokos temą, tikslus ir uždavinius.

1. Mokinių pagrindinių žinių atnaujinimas

Namų darbų tikrinimas. Kaip namų darbus mokiniai turėjo išspręsti kiekvieną iš trijų tiesinių lygčių sistemų

a) b) V)

grafiškai ir analitiškai; padaryti išvadą apie kiekvienu atveju gautų sprendimų skaičių

Išklausomos ir analizuojamos studentų padarytos išvados. Mokytojo vadovaujamo darbo rezultatai apibendrinami sąsiuviniuose.

Paprastai dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistema gali būti pavaizduota taip: .

Grafiškai išspręsti pateiktą lygčių sistemą reiškia rasti šių lygčių grafikų susikirtimo taškų koordinates arba įrodyti, kad jų nėra. Kiekvienos šios sistemos lygties grafikas plokštumoje yra tam tikra tiesė.

Yra trys galimi dviejų tiesių tarpusavio išdėstymo plokštumoje atvejai:

<Рисунок1>;

<Рисунок2>;

<Рисунок3>.

Naudinga kiekvienu atveju padaryti piešinį.

1. Naujos medžiagos mokymasis

Šiandien pamokoje išmoksime spręsti tiesinių lygčių, turinčių parametrus, sistemas. Parametras yra nepriklausomas kintamasis, kurio reikšmė uždavinyje yra duotas fiksuotas arba savavališkas realusis skaičius arba skaičius, priklausantis iš anksto nustatytai aibei. Lygčių sistemos sprendimas su parametru reiškia atitikimo nustatymą, leidžiantį bet kuriai parametro reikšmei rasti atitinkamą sistemos sprendinių rinkinį.

Problemos su parametru sprendimas priklauso nuo jame pateikto klausimo. Jei jums tiesiog reikia išspręsti skirtingų parametro verčių lygčių sistemą arba ją ištirti, turite pateikti pagrįstą atsakymą dėl bet kurios parametro reikšmės arba parametro, priklausančio anksčiau nurodytam rinkiniui. problema. Jei reikia rasti parametrų reikšmes, kurios tenkina tam tikras sąlygas, tada išsamus tyrimas nereikalingas, o sistemos sprendimas apsiriboja šių konkrečių parametrų verčių radimu.

1 pavyzdys. Kiekvienai parametro vertei išsprendžiame lygčių sistemą

Sprendimas.

1. Sistema turi unikalų sprendimą, jei

Šiuo atveju mes turime

1. Jei a = 0, tada sistema įgauna formą

Sistema nenuosekli, t.y. neturi sprendimų.

1. Jei tada sistema parašyta formoje

Akivaizdu, kad šiuo atveju sistema turi be galo daug x = t formos sprendinių; kur t yra bet koks tikrasis skaičius.

Atsakymas:

2 pavyzdys.

• turi unikalų sprendimą;
• turi daug sprendimų;
• neturi sprendimų?

Sprendimas.

Atsakymas:

3 pavyzdys. Raskime parametrų a ir b sumą, kuriai sistema

turi daugybę sprendimų.

Sprendimas. Sistema turi be galo daug sprendimų, jei

Tai yra, jei a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 =48.

Atsakymas: 48.

1. Sustiprinti tai, kas buvo išmokta sprendžiant problemas

1. Nr.15.24(a). Kiekvienai parametro vertei išspręskite lygčių sistemą

1. Nr. 15.25(a) Kiekvienai parametro vertei išspręskite lygčių sistemą

1. Kokiomis parametro a reikšmėmis veikia lygčių sistema

a) neturi sprendimų; b) turi be galo daug sprendinių.

Atsakymas: a = 2 nėra sprendinių, a = -2 yra begalinis sprendinių skaičius

1. Praktinis darbas grupėse

Klasė suskirstyta į grupes po 4-5 žmones. Į kiekvieną grupę įeina mokiniai, turintys skirtingą matematinio pasirengimo lygį. Kiekviena grupė gauna užduoties kortelę. Galite pakviesti visas grupes išspręsti vieną lygčių sistemą ir formalizuoti sprendimą. Grupė, kuri pirmoji teisingai atliko užduotį, pristato savo sprendimą; likusieji perduoda sprendimą mokytojui.

Kort. Išspręskite tiesinių lygčių sistemą

visoms parametro a reikšmėms.

Atsakymas: kada sistema turi unikalų sprendimą ; kai nėra sprendimų; jei a = -1 yra be galo daug (t; 1- t) formos sprendinių, kur t R

Jei klasė stipri, grupėms gali būti pasiūlytos skirtingos lygčių sistemos, kurių sąrašas pateiktas 1 priede. Tada kiekviena grupė pristato savo sprendimą klasei.

Grupės, kuri pirmoji teisingai atliko užduotį, ataskaita

Dalyviai išsako ir paaiškina savo sprendimą bei atsako į kitų grupių atstovų iškeltus klausimus.

1. Savarankiškas darbas

1 variantas

2 variantas

1. Pamokos santrauka

Tiesinių lygčių sistemų su parametrais sprendimas gali būti lyginamas su tyrimu, kuris apima tris pagrindines sąlygas. Mokytojas kviečia mokinius juos suformuluoti.

Priimdami sprendimą, atsiminkite:

1. Tam, kad sistema turėtų unikalų sprendimą, būtina, kad sistemos lygtį atitinkančios tiesės susikirstų, t.y. sąlyga turi būti įvykdyta;
2. kad sprendinių nebūtų, tiesės turi būti lygiagrečios, t.y. sąlyga buvo įvykdyta
3. ir galiausiai, kad sistema turėtų be galo daug sprendinių, linijos turi sutapti, t.y. sąlyga buvo įvykdyta.

Mokytojas vertina visos klasės darbą ir pavieniams mokiniams skiria pamokos balus. Kiekvienas mokinys, patikrinęs savarankišką darbą, gaus pažymį už pamoką.

1. Namų darbai

Kokiomis parametro b reikšmėmis veikia lygčių sistema

• turi be galo daug sprendimų;
• neturi sprendimų?

Funkcijų y = 4x + b ir y = kx + 6 grafikai yra simetriški ordinatės atžvilgiu.

• Raskite b ir k,
• raskite šių grafikų susikirtimo taško koordinates.

Išspręskite lygčių sistemą visoms m ir n reikšmėms.

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą visoms parametro a reikšmėms (bet kuriai jūsų pasirinktai vertei).

Literatūra

1. Algebra ir matematinės analizės pradžia: vadovėlis. 11 klasei bendrojo išsilavinimo institucijos: pagrindinės ir profilio. lygiai / S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin - M.: Education, 2008.
2. Matematika: 9 klasė: Pasirengimas valstybiniam baigiamajam atestavimui / M. N. Korchagina, V. V. Korchagin - M.: Eksmo, 2008 m.
3. Ruošiamės universitetui. Matematika. 2 dalis. Vadovėlis, skirtas pasiruošti vieningam valstybiniam egzaminui, dalyvauti centralizuotuose testuose ir išlaikyti stojamuosius egzaminus į Kubano valstybinį technikos universitetą / Kubaną. valstybė technologiją. Universitetas; Šiuolaikinis institutas technologiją. ir ekonom.; Sudarė: S. N. Gorškova, L. M. Danovičius, N. A. Naumova, A.V. Martynenko, I.A. Palščikova. – Krasnodaras, 2006 m.
4. Matematikos uždavinių rinkinys TUSUR parengiamiesiems kursams: vadovėlis / Z. M. Goldshtein, G. A. Kornievskaya, G. A. Korotchenko, S. N. Kudinova. – Tomskas: Tomskas. valstybė Valdymo sistemų ir radioelektronikos universitetas, 1998 m.
5. Matematika: intensyvaus pasirengimo egzaminui kursas / O. Yu, A. G. Jakuševas. – M.: Rolfas, Iris-press, 1998 m.

Sprendimas. A= . Raskime r(A). Nes matrica Ir turi tvarką 3x4, tada aukščiausia nepilnamečių eilė yra 3. Be to, visi trečios eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui (patikrinkite patys). Reiškia, r(A)< 3. Возьмем главный pagrindinis nepilnametis = -5-4 = -9 ≠ 0. Todėl r(A) =2.

Pasvarstykime matrica SU = .

Mažoji trečioji tvarka ≠ 0. Taigi r(C) = 3.

Kadangi r(A) ≠ r(C), tada sistema yra nenuosekli.

2 pavyzdys. Nustatykite lygčių sistemos suderinamumą

Išspręskite šią sistemą, jei ji nuosekli.

Sprendimas.

A = , C = . Akivaizdu, kad r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Kadangi detC = 0, tai r(C)< 4. Pasvarstykime nepilnametis trečia tvarka, esantis viršutiniame kairiajame matricos A ir C kampe: = -23 ≠ 0. Taigi r(A) = r(C) = 3.

Skaičius nežinomas sistemoje n=3. Tai reiškia, kad sistema turi unikalų sprendimą. Šiuo atveju ketvirtoji lygtis reiškia pirmųjų trijų sumą ir gali būti nepaisoma.

Pagal Cramerio formules gauname x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Matricos metodas. Gauso metodas

sistema n tiesines lygtis Su n nežinomus dalykus galima išspręsti matricos metodas pagal formulę X = A -1 B (esant Δ ≠ 0), kuris gaunamas iš (2) padauginus abi dalis iš A -1.

1 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

matricos metodas (2.2 skyriuje ši sistema buvo išspręsta naudojant Cramerio formules)

Sprendimas. Δ = 10 ≠ 0 A = - neišsigimusi matrica.

= (patikrinkite tai patys atlikdami reikiamus skaičiavimus).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x= .

Atsakymas: .

Praktiniu požiūriu matricos metodas ir formulės Krameris yra susiję su dideliu skaičiavimo kiekiu, todėl pirmenybė teikiama Gauso metodas, kurį sudaro nuoseklus nežinomųjų pašalinimas. Norėdami tai padaryti, lygčių sistema sumažinama iki lygiavertės sistemos su trikampe išplėstine matrica (visi elementai, esantys žemiau pagrindinės įstrižainės, yra lygūs nuliui). Šie veiksmai vadinami judėjimu į priekį. Iš gautos trikampės sistemos kintamieji randami naudojant nuoseklius pakeitimus (atvirkščiai).

2 pavyzdys. Išspręskite sistemą Gauso metodu

(Aukščiau ši sistema buvo išspręsta naudojant Cramerio formulę ir matricos metodą).

Sprendimas.

Tiesioginis judėjimas. Užrašykime išplėstinę matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas sumažinkime ją iki trikampio formos:

~ ~ ~ ~ .

Mes gauname sistema

Atvirkštinis judėjimas. Iš paskutinės lygties randame X 3 = -6 ir pakeiskite šią reikšmę į antrąją lygtį:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Atsakymas: .

2.5. Bendrasis tiesinių lygčių sistemos sprendimas

Pateikiame tiesinių lygčių sistemą = b i(i=). Tegu r(A) = r(C) = r, t.y. sistema yra bendradarbiaujanti. Bet koks r eilės nepilnametis, išskyrus nulį, yra pagrindinis nepilnametis. Neprarasdami bendrumo darysime prielaidą, kad bazinis minoras yra pirmosiose r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) matricos A eilutėse ir stulpeliuose. Atmetę paskutines sistemos m-r lygtis, rašome a. sutrumpinta sistema:

kuri yra lygiavertė originaliam. Įvardinkime nežinomuosius x 1 ,….x r pagrindinis ir x r +1 ,…, x r laisvą ir perkelkite terminus, kuriuose yra laisvųjų nežinomųjų, į dešinę sutrumpintos sistemos lygčių pusę. Mes gauname sistemą pagrindinių nežinomųjų atžvilgiu:

kuri kiekvienam laisvųjų nežinomųjų verčių rinkiniui x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-r turi tik vieną sprendimą x 1 (C 1 ,…, C n-r),…, x r (C 1 ,…, C n-r), rado Kramerio taisyklė.

Atitinkamas sprendimas sutrumpinta, todėl pradinė sistema turi tokią formą:

X(C1,…, Cn-r) = - bendras sistemos sprendimas.

Jei bendrame sprendime laisviesiems nežinomiesiems priskiriame tam tikras skaitines reikšmes, gauname tiesinės sistemos sprendimą, vadinamą daliniu sprendimu.

Pavyzdys.

Sprendimas Nustatykite suderinamumą ir raskite bendrą sistemos sprendimą . A = .

, C = Taigi Kaip r(A)< 4).

Sprendimas. Raskite bendrą sprendimą ir tam tikrą sistemos sprendimą

Pagrindinė matrica A atskirta punktyrine linija Nežinomas sistemas rašome viršuje, turėdami omenyje galimą terminų pertvarkymą sistemos lygtyse. Nustatydami išplėstinės matricos rangą, kartu randame ir pagrindinės rangą. Matricoje B pirmasis ir antrasis stulpeliai yra proporcingi. Iš dviejų proporcingų stulpelių tik vienas gali patekti į pagrindinį minorą, todėl, pavyzdžiui, perkelkime pirmąjį stulpelį už punktyrinės linijos su priešingu ženklu. Sistemai tai reiškia terminų perkėlimą iš x 1 į dešinę lygčių pusę.

Sumažinkime matricą į trikampę formą. Dirbsime tik su eilutėmis, nes padauginus matricos eilutę iš kito skaičiaus nei nulis ir pridėjus ją prie kitos sistemos eilutės, reikia padauginti lygtį iš to paties skaičiaus ir pridėti ją su kita lygtimi, kuri nekeičia matricos sprendinio. sistema. Dirbame su pirmąja eilute: pirmąją matricos eilutę padauginkite iš (-3) ir paeiliui pridėkite prie antros ir trečios eilučių. Tada padauginkite pirmąją eilutę iš (-2) ir pridėkite prie ketvirtos.

Antroji ir trečioji eilutės yra proporcingos, todėl vieną iš jų, pavyzdžiui, antrą, galima perbraukti. Tai prilygsta antrosios sistemos lygties perbraukimui, nes tai yra trečiosios pasekmė.

Dabar dirbame su antrąja eilute: padauginkite ją iš (-1) ir pridėkite prie trečios.

Taškine linija apvestas minoras turi aukščiausią eilę (iš galimų mažųjų) ir yra ne nulis (lygus pagrindinės įstrižainės elementų sandaugai), o ši mažoji priklauso ir pagrindinei, ir išplėstinei matricai. , todėl rangA = rangB = 3.
Nepilnametis yra pagrindinis. Ji apima koeficientus nežinomiems x 2 , x 3 , x 4 , o tai reiškia, kad nežinomieji x 2 , x 3 , x 4 yra priklausomi, o x 1 , x 5 yra laisvi.
Transformuokime matricą, kairėje palikdami tik bazinį minorą (kuris atitinka aukščiau pateikto sprendimo algoritmo 4 punktą).

Sistema su šios matricos koeficientais yra lygiavertė pradinei sistemai ir turi formą

Naudodami nežinomųjų pašalinimo metodą randame:
, ,

Gavome ryšius, išreiškiančius priklausomus kintamuosius x 2, x 3, x 4 per laisvuosius x 1 ir x 5, tai yra, radome bendrą sprendimą:

Priskirdami bet kokias reikšmes laisviesiems nežinomiesiems, gauname bet kokį dalinių sprendimų skaičių. Raskime du konkrečius sprendimus:
1) tegul x 1 = x 5 = 0, tada x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) įdėkite x 1 = 1, x 5 = -1, tada x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Taigi buvo rasti du sprendimai: (0,1,-3,3,0) – vienas sprendimas, (1,4,-7,7,-1) – kitas sprendimas.

2 pavyzdys. Ištirkite suderinamumą, raskite bendrą ir vieną konkretų sistemos sprendimą

Sprendimas. Pertvarkykime pirmąją ir antrąją lygtis taip, kad pirmoje lygtyje būtų viena, ir parašykime matricą B.

Ketvirtajame stulpelyje gauname nulius, veikdami su pirmąja eilute:

Dabar mes gauname nulius trečiajame stulpelyje naudodami antrą eilutę:

Trečia ir ketvirta eilutės yra proporcingos, todėl vieną iš jų galima nubraukti nekeičiant rango:
Trečią eilutę padauginkite iš (–2) ir pridėkite prie ketvirtos:

Matome, kad pagrindinės ir išplėstinės matricos rangai yra lygūs 4, o rangas sutampa su nežinomųjų skaičiumi, todėl sistema turi unikalų sprendimą:
;
x 4 = 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 = 11.

3 pavyzdys. Patikrinkite sistemos suderinamumą ir raskite sprendimą, jei jis yra.

Sprendimas. Sudarome išplėstinę sistemos matricą.

Pertvarkome pirmąsias dvi lygtis taip, kad viršutiniame kairiajame kampe būtų 1:
Pirmąją eilutę padauginkite iš (-1), pridėkite ją prie trečios:

Antrąją eilutę padauginkite iš (-2) ir pridėkite prie trečiosios:

Sistema nenuosekli, nes pagrindinėje matricoje gavome eilutę, susidedančią iš nulių, kuri nubraukiama suradus rangą, tačiau išplėstinėje matricoje lieka paskutinė, tai yra r B > r A .

Pratimai. Ištirkite šios lygčių sistemos suderinamumą ir išspręskite ją matricos skaičiavimu.
Sprendimas

Pavyzdys. Įrodykite tiesinių lygčių sistemos suderinamumą ir išspręskite ją dviem būdais: 1) Gauso metodu; 2) Cramerio metodas. (įveskite atsakymą į formą: x1,x2,x3)
Sprendimas :doc :doc :xls
Atsakymas: 2,-1,3.

Pavyzdys. Pateikta tiesinių lygčių sistema. Įrodykite jo suderinamumą. Raskite bendrą sistemos sprendimą ir vieną konkretų sprendimą.
Sprendimas
Atsakymas: x 3 = - 1 + x 4 + x 5 ; x 2 = 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Pratimai. Raskite bendruosius ir konkrečius kiekvienos sistemos sprendimus.
Sprendimas. Išnagrinėkime šią sistemą naudodami Kronecker-Capelli teoremą.
Išskirkime išplėstinę ir pagrindinę matricą:

Pratimai. Išspręskite lygčių sistemą.
Atsakymas:x 2 = 2 – 1,67 x 3 + 0,67 x 4
x 1 = 5 – 3,67 x 3 + 0,67 x 4
Priskirdami bet kokias reikšmes laisviesiems nežinomiesiems, gauname bet kokį konkrečių sprendimų skaičių. Sistema yra neapibrėžtas

• Sistemos m tiesines lygtis su n nežinomas.
  Tiesinių lygčių sistemos sprendimas- tai toks skaičių rinkinys ( x 1 , x 2 , …, x n), pakeitus kiekvieną iš sistemos lygčių, gaunama teisinga lygybė.
  Kur a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n— sistemos koeficientai;
  b i , i = 1, …, m- nemokami nariai;
  x j , j = 1, …, n- nežinomas.
  Aukščiau pateiktą sistemą galima parašyti matricos forma: A X = B,
  
  
  
  
  kur ( A|B) yra pagrindinė sistemos matrica;
  A— išplėstinė sistemos matrica;
  X— nežinomųjų stulpelis;
  B— laisvųjų narių kolona.
  Jei matrica B nėra nulinė matrica ∅, tada ši tiesinių lygčių sistema vadinama nehomogeniška.
  Jei matrica B= ∅, tada ši tiesinių lygčių sistema vadinama vienarūše. Vienalytė sistema visada turi nulinį (trivialų) sprendimą: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
  Jungtinė tiesinių lygčių sistema yra tiesinių lygčių sistema, turinti sprendimą.
  Nenuosekli tiesinių lygčių sistema yra neišsprendžiama tiesinių lygčių sistema.
  Tam tikra tiesinių lygčių sistema yra tiesinių lygčių sistema, turinti unikalų sprendimą.
  Neapibrėžta tiesinių lygčių sistema yra tiesinių lygčių sistema su begaliniu sprendinių skaičiumi.
• Sistemos iš n tiesinių lygčių su n nežinomųjų
  Jei nežinomųjų skaičius lygus lygčių skaičiui, tada matrica yra kvadratinė. Matricos determinantas vadinamas pagrindiniu tiesinių lygčių sistemos determinantu ir žymimas simboliu Δ.
  Cramerio metodas sistemoms spręsti n tiesines lygtis su n nežinomas.
  Cramerio taisyklė.
  Jei tiesinių lygčių sistemos pagrindinis determinantas nėra lygus nuliui, tada sistema yra nuosekli ir apibrėžta, o vienintelis sprendimas apskaičiuojamas naudojant Cramerio formules:
  kur Δ i yra determinantai, gauti iš pagrindinio sistemos determinanto Δ pakeičiant i stulpelį į laisvųjų narių stulpelį. .
• M tiesinių lygčių sistemos su n nežinomųjų
  Kronecker-Capelli teorema.
  
  
  Kad tam tikra tiesinių lygčių sistema būtų nuosekli, būtina ir pakanka, kad sistemos matricos rangas būtų lygus sistemos išplėstinės matricos rangui, skambėjo(Α) = skambėjo(Α|B).
  Jeigu skambėjo (Α) ≠ skambėjo (Α|B), tada sistema akivaizdžiai neturi sprendimų.
  Jeigu skambėjo(Α) = skambėjo(Α|B), tada galimi du atvejai:
  1) rangas(Α) = n(nežinomų skaičius) - sprendimas yra unikalus ir jį galima gauti naudojant Cramerio formules;
  2) rangas (Α)< n – sprendimų yra be galo daug.
• Gauso metodas tiesinių lygčių sistemoms spręsti
  
  
  Sukurkime išplėstinę matricą ( A|B) duotosios sistemos iš nežinomųjų ir dešiniųjų pusių koeficientų.
  Gauso metodas arba nežinomųjų pašalinimo metodas susideda iš išplėstos matricos sumažinimo ( A|B) naudojant elementariąsias transformacijas per jo eilutes į įstrižainę formą (į viršutinę trikampę formą). Grįžtant prie lygčių sistemos, nustatomi visi nežinomieji.
  Elementariosios transformacijos per eilutes apima:
  1) sukeisti dvi eilutes;
  2) eilutės padauginimas iš kito skaičiaus nei 0;
  3) kitos eilutės įtraukimas į eilutę, padaugintas iš savavališko skaičiaus;
  4) nulinės linijos išmetimas.
  Išplėstinė matrica, redukuota į įstrižainę, atitinka duotajai lygiavertę tiesinę sistemą, kurios sprendimas nesukelia sunkumų. .
• Vienalyčių tiesinių lygčių sistema.
  Vienalytė sistema turi tokią formą:
  
  ji atitinka matricos lygtį A X = 0.
  1) Vienalytė sistema visada yra nuosekli, nes r(A) = r(A|B), visada yra nulinis sprendimas (0, 0, …, 0).
  2) Tam, kad vienalytė sistema turėtų nulinį sprendimą, būtina ir pakanka, kad r = r(A)< n , kuris yra lygus Δ = 0.
  3) Jei r< n , tada akivaizdu, kad Δ = 0, tada atsiranda laisvieji nežinomieji c 1, c 2, …, c n-r, sistema turi netrivialius sprendimus, ir jų yra be galo daug.
  4) Bendras sprendimas X adresu r< n gali būti parašytas matricos forma taip:
  X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
  kur sprendimai X 1 , X 2 , …, X n-r sudaryti esminę sprendimų sistemą.
  5) Pagrindinę sprendinių sistemą galima gauti iš bendro homogeninės sistemos sprendinio:
  
  ,
  jei nuosekliai nustatysime parametrų reikšmes, lygias (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
  Bendrojo sprendinio išplėtimas pagrindinės sprendinių sistemos požiūriu yra bendrojo sprendimo įrašas linijinio sprendinių derinio, priklausančio pagrindinei sistemai, forma.
  Teorema. Tam, kad tiesinių vienalyčių lygčių sistema turėtų nulinį sprendinį, būtina ir pakanka, kad Δ ≠ 0.
  Taigi, jei determinantas Δ ≠ 0, tada sistema turi unikalų sprendimą.
  Jei Δ ≠ 0, tai tiesinių vienarūšių lygčių sistema turi begalinį sprendinių skaičių.
  Teorema. Tam, kad vienalytė sistema turėtų nulinį sprendimą, būtina ir pakanka to r(A)< n .
  Įrodymas:
  1) r daugiau negali būti n(matricos rangas neviršija stulpelių ar eilučių skaičiaus);
  2) r< n , nes Jeigu r = n, tada pagrindinis sistemos determinantas Δ ≠ 0, ir pagal Cramerio formules yra unikalus trivialus sprendimas x 1 = x 2 = … = x n = 0, o tai prieštarauja sąlygai. Reiškia, r(A)< n .
  Pasekmė. Kad būtų vienalytė sistema n tiesines lygtis su n nežinomieji turėjo nulinį sprendimą, būtina ir pakanka, kad Δ = 0.