1. Kubo tūrio skaičiavimas

a- kubo pusė

Kubo tūrio formulė, ( V ):

2. Pagal formulę raskite stačiakampio gretasienio tūrį

a, b, c- gretasienio šonai

Kartais gretasienio kraštinė vadinama briauna.

Lygiagretainio tūrio formulė, ( V):

3. Rutulio, rutulio tūrio skaičiavimo formulė

R — rutulio spindulys

Naudodami formulę, jei nurodytas spindulys, galite rasti rutulio tūrį, ( V):

4. Kaip apskaičiuoti cilindro tūrį?

h- cilindro aukštis

r- pagrindo spindulys

Naudodami formulę raskite cilindro tūrį, jei žinomas jo pagrindo spindulys ir aukštis, ( V):

5. Kaip rasti kūgio tūrį?

R- pagrindo spindulys

H- kūgio aukštis

Kūgio tūrio formulė, jei žinomas spindulys ir aukštis ( V):

7. Nupjauto kūgio tūrio formulė

r — viršutinis pagrindo spindulys

R- apatinis spindulys

h - kūgio aukštis

Nupjauto kūgio tūrio formulė, jei žinoma - apatinio pagrindo spindulys, viršutinio pagrindo spindulys ir kūgio aukštis ( V):

8. Taisyklingo tetraedro tūris

Taisyklingasis tetraedras yra piramidė, kurios visi paviršiai yra lygiakraštiai trikampiai.

A- tetraedro kraštas

Taisyklingo tetraedro tūrio apskaičiavimo formulė ( V):

9. Taisyklingos keturkampės piramidės tūris

Piramidė su kvadratiniu pagrindu ir lygiomis lygiašonio trikampio kraštinėmis vadinama taisyklingąja keturkampe piramide.

a- pagrindo pusė

h- piramidės aukštis

Taisyklingos keturkampės piramidės tūrio apskaičiavimo formulė, ( V):

10. Taisyklingos trikampės piramidės tūris

Piramidė, kurios pagrindas yra lygiakraštis trikampis ir kurios kraštinės lygios, lygiašoniai trikampiai, vadinama taisyklingąja trikampe piramide.

a- pagrindo pusė

h- piramidės aukštis

Taisyklingos trikampės piramidės tūrio formulė, atsižvelgiant į pagrindo aukštį ir kraštinę ( V):

11. Raskite taisyklingos piramidės tūrį

Piramidė, kurios pagrindas yra taisyklingas daugiakampis ir lygūs trikampiai, vadinama taisyklingąja.

h- piramidės aukštis

a- piramidės pagrindo pusė

n- daugiakampio kraštinių skaičius prie pagrindo

Taisyklingos piramidės tūrio formulė, žinant aukštį, pagrindo kraštinę ir šių kraštinių skaičių ( V):

Visos geometrinių kūnų tūrių formulės
Geometrija, algebra, fizika

Tūrio formulės

Geometrinės figūros tūris- kiekybinė kūno ar medžiagos užimamos erdvės charakteristika. Paprasčiausiais atvejais tūris matuojamas vienetinių kubelių, kurie telpa į kūną, skaičiumi, tai yra kubelių, kurių kraštas lygus vieneto ilgiui. Korpuso tūris arba indo talpa nustatoma pagal jo formą ir linijinius matmenis.

Kubo tūrio formulė

1) Kubo tūris lygus jo briaunos kubui.

V- kubo tūris

H— kubo krašto aukštis

Piramidės tūrio formulė

1) Piramidės tūris lygus trečdaliui pagrindo ploto S (ABCD) ir aukščio h (OS) sandaugos.

V- piramidės tūris

S- piramidės pagrindo plotas

h- piramidės aukštis

Kūgio tūrio formulės

1) Kūgio tūris yra lygus trečdaliui pagrindo ploto ir aukščio sandaugos.

2) Kūgio tūris lygus trečdaliui pi (3,1415) sandaugos iš pagrindo spindulio ir aukščio kvadrato.

V- kūgio tūris

S- kūgio pagrindo plotas

h- kūgio aukštis

π — pi skaičius (3,1415)

r— kūgio spindulys

Cilindro tūrio formulės

1) Cilindro tūris lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai.

2) Cilindro tūris lygus pi (3,1415) sandaugai iš pagrindo spindulio ir aukščio kvadrato.

V- cilindro tūris

S- cilindro pagrindo plotas

h- cilindro aukštis

π — pi skaičius (3,1415)

r- cilindro spindulys

Kamuolio tūrio formulė

1) Kamuolio tūris apskaičiuojamas pagal žemiau pateiktą formulę.

V- rutulio tūris

π — pi skaičius (3,1415)

R- rutulio spindulys

Tetraedro tūrio formulė

1) Tetraedro tūris yra lygus trupmenai, kurios skaitiklyje kvadratinė šaknis iš dviejų padauginta iš tetraedro krašto ilgio kubo, o vardiklyje - dvylika.

Tūrio formulės
Tūrio formulės ir internetinės programos tūriui skaičiuoti

Tūrio formulė.

Tūrio formulė būtina apskaičiuoti geometrinės figūros parametrus ir charakteristikas.

Figūros tūris yra kiekybinė kūno ar medžiagos užimamos erdvės charakteristika. Paprasčiausiais atvejais tūris matuojamas vienetinių kubelių, kurie telpa į kūną, skaičiumi, tai yra kubelių, kurių kraštas lygus vieneto ilgiui. Korpuso tūris arba indo talpa nustatoma pagal jo formą ir linijinius matmenis.

Lygiagretaus vamzdžio.

Stačiakampio gretasienio tūris yra lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai.

Cilindras.

Cilindro tūris lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai.

Cilindro tūris lygus pi (3,1415) sandaugai iš pagrindo spindulio ir aukščio kvadrato.

Piramidė.

Piramidės tūris yra lygus trečdaliui pagrindo S ploto (ABCDE) ir aukščio h (OS) sandaugos.

Teisinga piramidė- tai piramidė, kurios apačioje yra taisyklingas daugiakampis, o aukštis eina per įbrėžto apskritimo centrą.

Taisyklinga trikampė piramidė yra piramidė, kurios pagrindas yra lygiakraštis trikampis, o jos kraštinės yra lygiašoniai trikampiai.

Taisyklinga keturkampė piramidė yra piramidė, kurios pagrindas yra kvadratas, o jos kraštinės yra lygūs lygiašoniai trikampiai.

Tetraedras yra piramidė, kurios visi paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai.

Nupjauta piramidė.

Nupjautinės piramidės tūris yra lygus trečdaliui aukščio h (OS) sandaugos iš viršutinio pagrindo S 1 (abcde), apatinės nupjautinės piramidės pagrindo S 2 (ABCDE) ir plotų sumos. tarp jų proporcingas vidurkis.

Nesunku suskaičiuoti kubo tūrį – reikia padauginti ilgį, plotį ir aukštį. Kadangi kubo ilgis lygus jo pločiui ir aukščiui, kubo tūris lygus s 3 .

Kūgis yra kūnas Euklido erdvėje, gautas sujungus visus spindulius, sklindančius iš vieno taško (kūgio viršūnės) ir einančius per plokščią paviršių.

nupjautas kūgis tai veiks, jei kūgiu nubraižysite atkarpą lygiagrečiai pagrindui.

V = 1/3 πh (R 2 + Rr + r 2)

Sferos tūris yra pusantro karto mažesnis nei aplink jį apibrėžiamo cilindro tūris.

Prizmė.

Prizmės tūris yra lygus prizmės pagrindo ploto ir jos aukščio sandaugai.

Kamuoliukų sektorius.

Sferinio sektoriaus tūris lygus piramidės tūriui, kurios pagrindo plotas yra toks pat kaip sektoriaus išpjautos sferinio paviršiaus dalies, o aukštis lygus rutulio spinduliui.

Rutulinis sluoksnis- tai rutulio dalis, esanti tarp dviejų besiskiriančių lygiagrečių plokštumų.

Rutulio segmentas- ši rutulio dalis, nupjauta nuo jo tam tikra plokštuma, vadinama sferiniu arba sferiniu segmentu

Tūrio formulė
Kubo, rutulio, piramidės, lygiagretainio, cilindro, tetraedro, kūgio, prizmės ir kitų geometrinių formų tūrio formulė.

Stereometrijos kurse vienas pagrindinių klausimų – kaip apskaičiuoti konkretaus geometrinio kūno tūrį. Viskas prasideda nuo paprasto gretasienio ir baigiasi kamuoliuku.

Gyvenime taip pat dažnai tenka susidurti su panašiomis problemomis. Pavyzdžiui, norint apskaičiuoti vandens tūrį, kuris telpa į kibirą ar statinę.

Savybės galioja kiekvieno korpuso tūriui

1. Ši vertė visada yra teigiamas skaičius.
2. Jei kūną galima padalyti į dalis, kad nebūtų susikirtimų, tada bendras tūris yra lygus dalių tūrių sumai.
3. Vienodų kūnų tūris yra vienodas.
4. Jei mažesnis kūnas visiškai yra didesniame, tada pirmojo tūris yra mažesnis nei antrojo.

Bendrieji visų kūnų žymėjimai

Kiekvienas iš jų turi briaunas ir pagrindus, o juose įmontuoti aukščiai. Todėl tokie elementai jiems skiriami vienodai. Būtent taip jie parašyti formulėse. Toliau mokysimės skaičiuoti kiekvieno kūno apimtį ir pritaikysime naujus įgūdžius praktikoje.

Kai kurios formulės turi kitus kiekius. Jų paskyrimas bus aptartas, kai iškils toks poreikis.

Prizmė, gretasienis (tiesi ir pasvirusi) ir kubas

Šie kūnai yra sujungti, nes jie atrodo labai panašūs, o formulės, kaip apskaičiuoti tūrį, yra identiškos:

V = S * h.

Tik S skirsis. Gretasienio atveju jis apskaičiuojamas kaip stačiakampis arba kvadratas. Prizmėje pagrindas gali būti trikampis, lygiagretainis, savavališkas keturkampis arba kitas daugiakampis.

Kubo formulė yra žymiai supaprastinta, nes visi jo matmenys yra vienodi:

V = a 3.

Piramidė, tetraedras, nupjautinė piramidė

Pirmojo iš šių kūnų tūriui apskaičiuoti yra formulė:

V = 1/3 * S * n.

Tetraedras yra ypatingas trikampės piramidės atvejis. Visos jos briaunos yra lygios. Todėl vėl gauname supaprastintą formulę:

V = (a 3 * √2) / 12 arba V = 1/3 S h

Piramidė tampa sutrumpinta, kai nupjaunama jos viršutinė dalis. Todėl jo tūris lygus skirtumui tarp dviejų piramidžių: tos, kuri būtų nepažeista, ir nuimtos viršūnės. Jei įmanoma sužinoti abu tokios piramidės pagrindus (S 1 - didesnis ir S 2 - mažesnis), tada tūriui apskaičiuoti patogu naudoti šią formulę:

Cilindras, kūgis ir nupjautas kūgis

V =π * r 2 * h.

Su kūgiu situacija yra šiek tiek sudėtingesnė. Tam yra formulė:

V = 1/3 π * r 2 * h. Ji labai panaši į nurodytą cilindrui, tik vertė sumažinama tris kartus.

Kaip ir su nupjauta piramide, taip ir su kūgiu, kuris turi du pagrindus, padėtis nėra lengva. Nupjauto kūgio tūrio apskaičiavimo formulė atrodo taip:

V = 1/3 π * h * (r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2).Čia r 1 yra apatinio pagrindo spindulys, r 2 yra viršutinio (mažesnio) spindulys.

Kamuolys, rutulio segmentai ir sektorius

Tai yra sunkiausiai įsimenamos formulės. Pagal rutulio tūrį jis atrodo taip:

V = 4/3 π *r 3 .

Problemose dažnai kyla klausimas, kaip apskaičiuoti sferinio segmento tūrį - sferos dalį, kuri tarsi nupjauta lygiagrečiai skersmeniui. Tokiu atveju jums padės ši formulė:

V = π h 2 * (r - h/3). Jame atkarpos aukštis laikomas h, tai yra ta dalis, kuri eina išilgai rutulio spindulio.

Sektorius yra padalintas į dvi dalis: kūginį ir sferinį segmentą. Todėl jo tūris apibrėžiamas kaip šių kūnų suma. Formulė po transformacijų atrodo taip:

V = 2/3 πr 2 * h.Čia h taip pat yra segmento aukštis.

Pavyzdinės problemos

Apie cilindro, rutulio ir kūgio tūrius

Būklė: cilindro skersmuo (1 korpusas) lygus jo aukščiui, rutulio skersmuo (2 korpusas) ir kūgio aukštis (3 korpusas), patikrinkite tūrių proporcingumą V 1: V 2: V 3 = 3:2:1

Sprendimas. Pirmiausia reikia užrašyti tris tūrio formules. Tada apsvarstykite, kad spindulys yra pusė skersmens. Tai yra, aukštis bus lygus dviem spinduliams: h = 2r. Atlikus paprastą pakeitimą, paaiškėja, kad tūrių formulės atrodys taip:

V 1 = 2 π r 3, V 3 = 2/3 π r 3. Kamuoliuko tūrio formulė nesikeičia, nes aukštis jame neatsiranda.

Dabar belieka užsirašyti tūrio santykius ir atlikti redukciją 2π ir r 3. Pasirodo, V 1: V 2: V 3 = 1: 2/3: 1/3. Šiuos skaičius lengvai galima parašyti kaip 3:2:1.

Apie kamuoliuko tūrį

Būklė: Yra du arbūzai, kurių spindulys yra 15 ir 20 cm, kurį naudingiau valgyti: pirmasis su keturiais žmonėmis ar antrasis su aštuoniais?

Sprendimas. Norėdami atsakyti į šį klausimą, turėsite rasti dalių, kurios bus iš kiekvieno arbūzo, tūrių santykį. Atsižvelgiant į tai, kad tai yra sferos, turime užrašyti dvi tūrių formules. Tada atsižvelkite į tai, kad iš pirmos visi gaus tik ketvirtą dalį, o iš antrosios – aštuntą.

Belieka surašyti dalių tūrių santykį. Tai atrodys taip:

(V 1: 4) / (V 2: 8) = (1/3 π r 1 3) / (1/6 π r 2 3). Po transformacijos lieka tik trupmena: (2 r 1 3) / r 2 3. Pakeitus reikšmes ir apskaičiavus, gaunama trupmena 6750/8000. Iš jo aišku, kad porcija iš pirmojo arbūzo bus mažesnė nei iš antrojo.

Atsakymas. Labiau apsimoka valgyti aštuntą 20 cm spindulio arbūzo.

Apie piramidės ir kubo tūrius

Būklė: yra piramidė iš molio su stačiakampiu pagrindu 8x9 cm ir 9 cm aukščio, iš to paties molio gabalo buvo padarytas kubas, koks jo kraštas?

Sprendimas. Jei stačiakampio kraštines pažymime raidėmis b ir c, tada piramidės pagrindo plotas apskaičiuojamas kaip jų sandauga. Tada jo tūrio formulė yra tokia:

Kubo tūrio formulė parašyta aukščiau esančiame straipsnyje. Šios dvi reikšmės yra lygios: V 1 = V 2 . Belieka sulyginti dešiniąsias formulių puses ir atlikti reikiamus skaičiavimus. Pasirodo, kubo kraštas bus lygus 6 cm.

Apie gretasienio tūrį

Būklė: reikia pagaminti 0,96 m 3 talpos dėžę, jos plotis ir ilgis yra žinomi - 1,2 ir 0,8 metro, koks turėtų būti jos aukštis?

Sprendimas. Kadangi gretasienio pagrindas yra stačiakampis, jo plotas apibrėžiamas kaip ilgio (a) ir pločio (b) sandauga. Todėl tūrio formulė atrodo taip:

Iš jo lengva nustatyti aukštį, padalijus tūrį iš ploto. Pasirodo, aukštis turėtų būti 1 m.

Atsakymas. Dėžutės aukštis yra vienas metras.

Kaip apskaičiuoti įvairių geometrinių kūnų tūrį?
Stereometrijos kurse viena pagrindinių užduočių – kaip apskaičiuoti konkretaus geometrinio kūno tūrį. Viskas prasideda nuo paprasto gretasienio ir baigiasi kamuoliuku.

Mokykloje tiriami sukimosi kūnai yra cilindras, kūgis ir rutulys.

Jei sprendžiant vieningo valstybinio matematikos egzamino problemą reikia apskaičiuoti kūgio tūrį arba sferos plotą, laikykis laimingu.

Taikykite cilindro, kūgio ir sferos tūrio ir paviršiaus ploto formules. Visi jie yra mūsų lentelėje. Mokykis mintinai. Čia prasideda stereometrijos žinios.

Kartais pravartu piešti vaizdą iš viršaus. Arba, kaip šioje problemoje, iš apačios.

2. Kiek kartų apie taisyklingą keturkampę piramidę apibrėžto kūgio tūris yra didesnis už įbrėžto į šią piramidę kūgio tūrį?

Tai paprasta – nupieškite vaizdą iš apačios. Matome, kad didesnio apskritimo spindulys yra kartus didesnis nei mažesnio. Abiejų kūgių aukščiai vienodi. Todėl didesnio kūgio tūris bus dvigubai didesnis.

Kitas svarbus momentas. Prisimename, kad Vieningo valstybinio matematikos egzamino B dalies uždaviniuose atsakymas rašomas sveikuoju skaičiumi arba galutine dešimtaine trupmena. Todėl jūsų atsakyme B dalyje neturėtų būti jokių žodžių. Taip pat nereikia keisti apytikslės skaičiaus reikšmės! Jis tikrai turi susitraukti! Būtent šiuo tikslu kai kuriose problemose užduotis formuluojama, pavyzdžiui, taip: „Raskite cilindro šoninio paviršiaus plotą, padalintą iš“.

Kur dar naudojamos sukimosi kūnų tūrio ir paviršiaus ploto formulės? Žinoma, užduotyje C2 (16). Apie tai taip pat papasakosime.

Geometrija yra sunkus mokslas, bet naudingas. Mokykloje visi mokėmės skaičiuoti trimačių kūnų tūrius, tačiau ne visi gerai prisimena šių skaičiavimų formules. Šis straipsnis padės išsiaiškinti, kaip nustatyti kūgio tūrį. Ši trimatė figūra suformuota sukant stačiakampį trikampį. Galite apskaičiuoti jo apimtį įvairiais būdais, priklausomai nuo to, kokius pradinius duomenis turite.

Instrukcijos:

• Daugeliu atvejų skaičiavimui naudojamas pagrindo apskritimo spindulys ir aukštis. Kūgio tūrio formulė šiuo atveju atrodo taip: V = πRh, Kur π = 3,14, R- pagrindo spindulys, h– figūros aukštis. Paprasčiau tariant, pagal šią formulę apskaičiuojame pagrindo plotą ir padauginame jį iš aukščio. Tačiau kūgio tūrio apskaičiavimas gali būti kitoks, jei žinote kitus savo figūros parametrus.
• Jei žinote kūgio kraštinės ilgį ir pagrindo spindulį, norėdami sužinoti figūros tūrį, turėsite išsiaiškinti, koks yra jos aukštis. Tai mums padės Pitagoro teorema , nes pagrindo spindulys šiuo atveju yra koja stačiakampis trikampis ir šoninė kraštinė, atitinkamai, hipotenuzė. Norėdami rasti antrosios kojos ilgį, kuris yra kūgio aukštis, naudosime gerai žinomą formulę a^2+b^2=c^2 .
• Bet kaip rasti kūgio tūrį, jei nežinomas nei kraštinės ilgis, nei pagrindo spindulys? Tokiu atveju reikia žinoti kampo laipsnis kūgio viršūnėje ir jo aukštyje. Turėdami šiuos duomenis, galite apskaičiuoti pagrindo spindulį. Nepamirškite, kad kūgis yra figūra, suformuota sukant stačiakampį trikampį aplink vieną iš jo kojelių. Jei viršūnės kampas padalintas į dvi dalis, gausite vieno iš dviejų šio trikampio smailiųjų kampų laipsnį. Naudodamiesi trigonometrinių funkcijų apibrėžimais, galime sužinoti priešingos šio kampo pusės ilgį, tai yra, mūsų atveju, pagrindo spindulį. Šiuo atveju jis bus lygus l*sin(α), Kur l– ilgis nuo kūgio viršaus iki pagrindo, aukštis atitinkamai bus lygus l*cos(α), naudodami šias reikšmes, gauname tokią pagrindo spindulio formulę R = h/cos(α)*sin(α) arba lygiaverčiai R = h*tan(α).

Geometrija kaip mokslas susiformavo Senovės Egipte ir pasiekė aukštą išsivystymo lygį. Žymus filosofas Platonas įkūrė Akademiją, kurioje didelis dėmesys buvo skiriamas turimų žinių sisteminimui. Kūgis kaip viena iš geometrinių figūrų pirmą kartą paminėtas garsiajame Euklido traktate „Elementai“. Euklidas buvo susipažinęs su Platono darbais. Šiais laikais mažai kas žino, kad žodis „kūgis“ išvertus iš graikų kalbos reiškia „kankorėžis“. Aleksandrijoje gyvenęs graikų matematikas Euklidas pagrįstai laikomas geometrinės algebros pradininku. Senovės graikai ne tik tapo egiptiečių žinių tęsėjais, bet ir gerokai išplėtė teoriją.

Kūgio apibrėžimo istorija

Geometrija kaip mokslas atsirado iš praktinių statybos reikalavimų ir gamtos stebėjimų. Pamažu eksperimentinės žinios buvo apibendrintos, o vienų kūnų savybės buvo įrodinėjamos per kitus. Senovės graikai įvedė aksiomų ir įrodymų sąvoką. Aksioma yra teiginys, gautas praktiniu būdu ir nereikalaujantis įrodymų.

Savo knygoje Euklidas pateikė kūgio apibrėžimą kaip figūrą, gaunamą sukant stačiakampį trikampį aplink vieną iš jo kojų. Jam taip pat priklauso pagrindinė kūgio tūrį lemianti teorema. Šią teoremą įrodė senovės graikų matematikas Eudoksas Knidas.

Kitas senovės Graikijos matematikas Apolonijus iš Pergos, kuris buvo Euklido mokinys, savo knygose sukūrė ir išaiškino kūginių paviršių teoriją. Jam priklauso kūginio paviršiaus apibrėžimas ir jo sekantas. Šiandien moksleiviai studijuoja Euklido geometriją, kuri nuo seniausių laikų išsaugojo pagrindines teoremas ir apibrėžimus.

Pagrindiniai apibrėžimai

Statusis apskritas kūgis susidaro sukant stačiakampį trikampį aplink vieną koją. Kaip matote, kūgio sąvoka nepasikeitė nuo Euklido laikų.

Stačiojo trikampio AOS hipotenuzė AS, pasukta aplink koją OS, sudaro šoninį kūgio paviršių, todėl ji vadinama generatoriumi. Trikampio kojelė OS vienu metu pasisuka į kūgio aukštį ir jo ašį. Taškas S tampa kūgio viršūne. Kojelė AO, apibūdinusi apskritimą (pagrindą), virto kūgio spinduliu.

Jei nubrėžiate plokštumą iš viršaus per kūgio viršūnę ir ašį, pamatysite, kad gauta ašinė pjūvis yra lygiašonis trikampis, kurio ašis yra trikampio aukštis.

Kur C- pagrindo perimetras, l— kūgio generatrix ilgis, R— pagrindo spindulys.

Kūgio tūrio apskaičiavimo formulė

Norėdami apskaičiuoti kūgio tūrį, naudokite šią formulę:

kur S yra kūgio pagrindo plotas. Kadangi pagrindas yra apskritimas, jo plotas apskaičiuojamas taip:

Iš to išplaukia:

čia V yra kūgio tūris;

n yra skaičius, lygus 3,14;

R yra pagrindo spindulys, atitinkantis atkarpą AO 1 paveiksle;

H yra aukštis, lygus segmentui OS.

Nupjautas kūgis, tūris

Yra tiesus apskritas kūgis. Jei viršutinę dalį nupjaunate plokštuma, statmena aukščiui, gausite nupjautą kūgį. Jo dvi bazės yra apskritimo formos, kurių spindulys yra R 1 ir R 2.

Jei stačiakampis kūgis susidaro sukant stačiakampį trikampį, tai nupjautas kūgis susidaro sukant stačiakampę trapeciją aplink tiesiąją kraštinę.

Nupjauto kūgio tūris apskaičiuojamas pagal šią formulę:

V=n*(R12+R22+R1*R2)*H/3.

Kūgis ir jo pjūvis lėktuvu

Senovės graikų matematikas Apolonijus iš Pergos parašė teorinį veikalą „Kūgio pjūviai“. Dėl jo geometrijos darbų atsirado kreivių apibrėžimai: parabolė, elipsė, hiperbolė. Pažiūrėkime, ką kūgis turi bendro su juo.

Paimkime tiesų apskritą kūgį. Jei plokštuma kerta ją statmenai ašiai, tai pjūvyje susidaro apskritimas. Kai sekantas kerta kūgį kampu į ašį, atkarpoje gaunama elipsė.

Pjovimo plokštuma, statmena pagrindui ir lygiagreti kūgio ašiai, paviršiuje sudaro hiperbolę. Plokštuma, pjaunanti kūgį kampu į pagrindą ir lygiagrečiai kūgio liestine, sukuria kreivę ant paviršiaus, kuri vadinama parabole.

Problemos sprendimas

Net ir paprasta užduotis, kaip pasidaryti tam tikro dydžio kibirą, reikalauja žinių. Pavyzdžiui, reikia apskaičiuoti kibiro matmenis, kad jo tūris būtų 10 litrų.

V=10 l=10 dm 3;

Kūgio raida turi tokią formą, kaip schematiškai parodyta 3 paveiksle.

L yra kūgio generatorius.

Norėdami sužinoti kaušo paviršiaus plotą, kuris apskaičiuojamas pagal šią formulę:

S=n*(R1 +R2)*L,

būtina apskaičiuoti generatorių. Jį randame iš tūrio reikšmės V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

Vadinasi, H=3V/n*(R12+R22+R1*R2).

Nupjautas kūgis susidaro sukant stačiakampę trapeciją, kurioje kraštinė yra kūgio generatrix.

L2 =(R2-R1)2 +H2.

Dabar turime visus duomenis, kad galėtume sukurti kaušo brėžinį.

Kodėl ugnies kaušai yra kūgio formos?

Kas kada nors susimąstė, kodėl ugnies kaušai turi iš pažiūros keistą kūginę formą? Ir tai ne šiaip sau. Pasirodo, kūginis kibiras gesinant gaisrą turi daug privalumų prieš įprastą, turintį nupjauto kūgio formą.

Pirma, kaip paaiškėjo, ugnies kibiras greičiau prisipildo vandens ir nešant neišsilieja. Didesnio tūrio kūgis nei įprastas kibiras leidžia vienu metu perduoti daugiau vandens.

Antra, vanduo iš jo gali būti išmestas didesniu atstumu nei iš įprasto kibiro.

Trečia, jei kūginis kibiras iškrenta iš rankų ir įkrenta į ugnį, tada visas vanduo pilamas ant ugnies šaltinio.

Visi šie veiksniai taupo laiką – pagrindinį veiksnį gesinant gaisrą.

Praktinis pritaikymas

Moksleiviams dažnai kyla klausimų, kodėl jiems reikia išmokti apskaičiuoti įvairių geometrinių kūnų, įskaitant kūgį, tūrį.

O projektavimo inžinieriai nuolat susiduria su būtinybe apskaičiuoti mašinų dalių kūginių dalių tūrį. Tai gręžimo antgaliai, tekinimo ir frezavimo staklių dalys. Kūgio forma leis grąžtams lengvai patekti į medžiagą, nereikalaujant pradinio žymėjimo specialiu įrankiu.

Kūgio tūris yra smėlio ar žemės krūva, supilta ant žemės. Jei reikia, atlikdami paprastus matavimus galite apskaičiuoti jo tūrį. Kai kuriuos gali suklaidinti klausimas, kaip sužinoti smėlio krūvos spindulį ir aukštį. Apsiginklavę matuokliu, išmatuojame piliakalnio perimetrą C. Pagal formulę R=C/2n išsiaiškiname spindulį. Užmetę virvę (juostą) virš viršūnės, randame generatrix ilgį. Ir apskaičiuoti aukštį naudojant Pitagoro teoremą ir tūrį nėra sunku. Žinoma, šis skaičiavimas yra apytikslis, tačiau jis leidžia nustatyti, ar neapgavote atsinešę toną smėlio, o ne kubo.

Kai kurie pastatai yra nupjauto kūgio formos. Pavyzdžiui, Ostankino televizijos bokštas artėja prie kūgio formos. Galima įsivaizduoti, kad jis susideda iš dviejų kūgių, išdėstytų vienas ant kito. Senovinių pilių ir katedrų kupolai reprezentuoja kūgį, kurio tūrį senovės architektai apskaičiavo nuostabiai tiksliai.

Jei atidžiai pažvelgsite į aplinkinius objektus, daugelis iš jų yra kūgiai:

• piltuvėliai skysčiams pilti;
• garsiakalbis;
• stovėjimo kūgiai;
• Grindų lempos gaubtas;
• įprasta Kalėdų eglutė;
• pučiamųjų muzikos instrumentų.

Kaip matyti iš pateiktų pavyzdžių, gebėjimas apskaičiuoti kūgio tūrį ir jo paviršiaus plotą yra būtinas profesiniame ir kasdieniame gyvenime. Tikimės, kad straipsnis jums padės.