Pamatinė informacija apie trigonometrines funkcijas sinusas (sin x) ir kosinusas (cos x). Geometrinis apibrėžimas, savybės, grafikai, formulės. Sinusų ir kosinusų lentelė, išvestinės, integralai, eilių plėtiniai, sekantas, kosekantas. Išraiškos per sudėtingus kintamuosius. Ryšys su hiperbolinėmis funkcijomis.

Geometrinis sinuso ir kosinuso apibrėžimas

|BD|- apskritimo, kurio centras yra taške, lanko ilgis A.
α - kampas, išreikštas radianais.

Apibrėžimas
Sinusas (sin α) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygi priešingos kojos ilgio santykiui |BC| iki hipotenuzės ilgio |AC|.

Kosinusas (cos α) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygi gretimos kojos ilgio santykiui |AB| iki hipotenuzės ilgio |AC|.

Priimti užrašai

;
;
.

;
;
.

Sinuso funkcijos grafikas, y = sin x

Kosinuso funkcijos grafikas, y = cos x

Sinuso ir kosinuso savybės

Periodiškumas

Funkcijos y = nuodėmė x ir y = cos x periodinis su periodu 2π.

Paritetas

Sinuso funkcija yra nelyginė. Kosinuso funkcija yra lygi.

Apibrėžimo ir vertybių sritis, ekstremumai, padidėjimas, sumažėjimas

Sinuso ir kosinuso funkcijos yra tolydžios savo apibrėžimo srityje, ty visiems x (žr. tęstinumo įrodymą). Pagrindinės jų savybės pateiktos lentelėje (n – sveikas skaičius).

Pagrindinės formulės

Sinuso ir kosinuso kvadratų suma

Sinuso ir kosinuso formulės iš sumos ir skirtumo

;
;

Sinusų ir kosinusų sandaugos formulės

Sumos ir skirtumo formulės

Sinuso išreiškimas per kosinusą

;
;
;
.

Kosinuso išreiškimas per sinusą

;
;
;
.

Išraiška per tangentą

; .

Kada turime:
; .

adresu:
; .

Sinusų ir kosinusų, liestinių ir kotangentų lentelė

Šioje lentelėje parodytos sinusų ir kosinusų reikšmės tam tikroms argumento reikšmėms.

Išraiškos per sudėtingus kintamuosius

;

Eulerio formulė

{ -∞ < x < +∞ }

Sekantas, kosekantas

Atvirkštinės funkcijos

Atvirkštinės sinuso ir kosinuso funkcijos yra atitinkamai arcsinusas ir arkosinusas.

Arčinas, arcsin

Arkosinas, arkosas

Naudota literatūra:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m.

Vieningas valstybinis egzaminas 4 balams? Nejaugi trykšti iš laimės?

Klausimas, kaip sakoma, įdomus... Galima, galima ir su 4! Ir tuo pačiu nesprogti... Pagrindinė sąlyga – reguliariai sportuoti. Čia yra pagrindinis pasiruošimas vieningam valstybiniam matematikos egzaminui. Su visomis Vieningo valstybinio egzamino paslaptimis ir paslaptimis, apie kurias vadovėliuose neskaitysite... Išstudijuokite šį skyrių, spręskite daugiau užduočių iš įvairių šaltinių – ir viskas susitvarkys! Daroma prielaida, kad pagrindinio skyriaus "Jums pakanka A C!" tai nesukelia tau jokių problemų. Bet jei staiga... Sekite nuorodas, nepatingėkite!

Ir pradėsime nuo puikios ir baisios temos.

Trigonometrija

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai...“)

Ši tema mokiniams kelia daug problemų. Jis laikomas vienu iš sunkiausių. Kas yra sinusas ir kosinusas? Kas yra tangentas ir kotangentas? Kas yra skaičių ratas? Vos uždavus šiuos nekenksmingus klausimus, žmogus nublanksta ir bando nukreipti pokalbį... Bet veltui. Tai paprastos sąvokos. Ir ši tema nėra sunkesnė už kitas. Jums tereikia nuo pat pradžių aiškiai suprasti atsakymus į šiuos klausimus. Tai labai svarbu. Jei suprasite, jums patiks trigonometrija. Taigi,

Kas yra sinusas ir kosinusas? Kas yra tangentas ir kotangentas?

Pradėkime nuo seniausių laikų. Nesijaudinkite, per maždaug 15 minučių įveiksime visus 20 amžių ir, to nepastebėdami, pakartosime geometriją nuo 8 klasės.

Nubrėžkime statųjį trikampį su kraštinėmis a, b, c ir kampas X. Štai jis.

Leiskite jums priminti, kad tos pusės, kurios sudaro stačią kampą, vadinamos kojomis. a ir c– kojos. Jų yra du. Likusi pusė vadinama hipotenuze. Su– hipotenuzė.

Trikampis ir trikampis, tik pagalvok! Ką su juo daryti? Tačiau senovės žmonės žinojo, ką daryti! Pakartokime jų veiksmus. Išmatuojame šoną V. Paveiksle langeliai yra specialiai nubraižyti, kaip tai atsitinka atliekant vieningo valstybinio egzamino užduotis. VŠoninė lygus keturioms ląstelėms. Gerai. Išmatuojame šoną A.

Trys ląstelės. Dabar padalinkime kraštinės ilgį A V už šono ilgį Dabar padalinkime kraštinės ilgį. Arba, kaip sakoma, imkimės požiūrio V. Į= 3/4.

a/v V Priešingai, galima skirstyti lygus keturioms ląstelėms. Gerai. Išmatuojame šonąįjungta V Gauname 4/3. Gali padalinti iš Su. Su Hipotenuzė Neįmanoma suskaičiuoti pagal ląsteles, bet tai lygu 5. Gauname aukštos kokybės

= 4/5. Trumpai tariant, galite padalyti kraštų ilgius vienas iš kito ir gauti keletą skaičių.

Taigi ką? Kokia šios įdomios veiklos prasmė? Dar nė vieno. Beprasmis pratimas, atvirai tariant.) Dabar padarykime tai. Padidinkime trikampį. Prailginkime šonus, bet taip, kad trikampis liktų stačiakampis. Kampas X, žinoma, nesikeičia. Norėdami tai pamatyti, užveskite pelės žymeklį ant nuotraukos arba palieskite ją (jei turite planšetinį kompiuterį). Vakarėliai a, b ir c pavirs į m, n, k, ir, žinoma, keisis šonų ilgiai.

Bet jų santykiai ne!

Požiūris Į buvo: Į= 3/4, tapo m/n= 6/8 = 3/4. Taip pat yra ir kitų susijusių šalių santykiai nepasikeis . Stačiakampio trikampio kraštinių ilgius galite keisti, kaip norite, padidinti, sumažinti, nekeičiant kampo x – atitinkamų šalių santykiai nepasikeis . Galite tai patikrinti arba galite priimti senovės žmonių žodį.

Bet tai jau labai svarbu! Stačiakampio trikampio kraštinių santykiai niekaip nepriklauso nuo kraštinių ilgių (tuo pačiu kampu). Tai taip svarbu, kad santykiai tarp šalių užsitarnavo savo ypatingą vardą. Jūsų vardai, taip sakant.) Susipažinkite.

Kas yra kampo x sinusas ? Tai yra priešingos pusės ir hipotenuzės santykis:

sinx = a/c

Koks yra kampo x kosinusas ? Tai yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:

Suosx= aukštos kokybės

Kas yra liestinė x ? Tai yra priešingos pusės ir gretimos pusės santykis:

tgx =Į

Kas yra kampo x kotangentas ? Tai yra gretimos ir priešingos pusės santykis:

ctgx = v/a

Tai labai paprasta. Sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas yra keletas skaičių. Be matmenų. Tik skaičiai. Kiekvienas kampas turi savo.

Kodėl taip nuobodžiai viską kartoju? Tada kas tai yra reikia prisiminti. Svarbu atsiminti. Įsiminimas gali būti lengvesnis. Ar frazė „Pradėkime nuo toli…“ pažįstama? Taigi pradėkite nuo toli.

Sinusas kampas yra santykis tolimas nuo kojos kampo iki hipotenuzės. Kosinusas– kaimyno ir hipotenuzės santykis.

Tangentas kampas yra santykis tolimas nuo kojos kampo iki artimojo. Kotangentas- atvirkščiai.

Tai lengviau, tiesa?

Na, o jei prisiminsite, kad tangente ir kotangente yra tik kojos, o sinusuose ir kosinusuose atsiranda hipotenuzė, tada viskas bus gana paprasta.

Visa ši šlovinga šeima – sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas taip pat vadinama trigonometrinės funkcijos.

Dabar klausimas svarstymui.

Kodėl mes sakome sinusą, kosinusą, tangentą ir kotangentą kampe? Kalbame apie santykius tarp šalių, kaip... Ką tai turi bendro su tuo? kampe?

Pažiūrėkime į antrą paveikslą. Lygiai toks pat kaip ir pirmasis.

Užveskite pelės žymeklį ant nuotraukos. Pakeičiau kampą X. Padidėjo nuo x į x. Visi santykiai pasikeitė! Požiūris Į buvo 3/4, ir atitinkamas santykis t/v tapo 6/4.

Ir visi kiti santykiai tapo kitokie!

Todėl kraštinių santykiai niekaip nepriklauso nuo jų ilgių (vienu kampu x), o stipriai priklauso nuo šio kampo! Ir tik nuo jo. Todėl terminai sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas nurodo kampe. Kampas čia yra pagrindinis.

Reikia aiškiai suprasti, kad kampas yra neatsiejamai susijęs su jo trigonometrinėmis funkcijomis. Kiekvienas kampas turi savo sinusą ir kosinusą. Ir beveik kiekvienas turi savo tangentą ir kotangentą. Tai svarbu. Manoma, kad jei mums duotas kampas, tai jo sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas mes žinome ! Ir atvirkščiai. Pateikus sinusą ar bet kurią kitą trigonometrinę funkciją, tai reiškia, kad mes žinome kampą.

Yra specialios lentelės, kuriose aprašomos kiekvieno kampo trigonometrinės funkcijos. Jie vadinami Bradis stalais. Jie buvo sudaryti labai seniai. Kai dar nebuvo nei skaičiuotuvų, nei kompiuterių...

Žinoma, neįmanoma prisiminti visų kampų trigonometrinių funkcijų. Turite juos žinoti tik iš kelių pusių, daugiau apie tai vėliau. Bet burtas Aš žinau kampą, vadinasi, žinau jo trigonometrines funkcijas“ visada veikia!

Taigi geometrijos gabalėlį kartojome nuo 8 klasės. Ar mums to reikia vieningam valstybiniam egzaminui? Būtinas. Čia yra tipiška Vieningo valstybinio egzamino problema. Norėdami išspręsti šią problemą, pakanka 8 klasės. Duotas paveikslas:

Visi. Daugiau duomenų nėra. Turime rasti orlaivio šono ilgį.

Ląstelės nelabai padeda, trikampis kažkaip neteisingai išsidėstęs.... Tyčia, spėju... Iš informacijos yra hipotenuzės ilgis. 8 ląstelės. Kažkodėl kampas buvo duotas.

Čia reikia nedelsiant prisiminti trigonometriją. Yra kampas, o tai reiškia, kad žinome visas jo trigonometrines funkcijas. Kurią iš keturių funkcijų turėtume naudoti? Pažiūrėkime, ką mes žinome? Žinome hipotenuzę ir kampą, bet turime rasti gretimas kateteris į šį kampą! Aišku, kosinusą reikia panaudoti! Štai mes einame. Mes tiesiog rašome pagal kosinuso apibrėžimą (santykį gretimas koja iki hipotenuzės):

cosC = BC/8

Mūsų kampas C yra 60 laipsnių, jo kosinusas yra 1/2. Jūs turite tai žinoti be jokių lentelių! Taigi:

1/2 = BC/8

Elementari tiesinė lygtis. Nežinomas – Saulė. Tie, kurie pamiršo, kaip spręsti lygtis, pažiūrėkite į nuorodą, likusieji sprendžia:

BC = 4

Kai senovės žmonės suprato, kad kiekvienas kampas turi savo trigonometrinių funkcijų rinkinį, jiems kilo pagrįstas klausimas. Ar sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas yra kažkaip susiję vienas su kitu? Taigi, žinodami vieną kampo funkciją, galite rasti kitas? Neskaičiuojant paties kampo?

Jie buvo tokie neramūs...)

Vieno kampo trigonometrinių funkcijų ryšys.

Žinoma, to paties kampo sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas yra susiję vienas su kitu. Bet koks ryšys tarp išraiškų matematikoje pateikiamas formulėmis. Trigonometrijoje yra didžiulis skaičius formulių. Bet čia pažvelgsime į pačius paprasčiausius. Šios formulės vadinamos: pagrindinės trigonometrinės tapatybės.Štai jie:

Jūs turite gerai žinoti šias formules. Be jų trigonometrijoje apskritai nėra ką veikti. Iš šių pagrindinių tapatybių išplaukia dar trys pagalbinės tapatybės:

Iš karto perspėju, kad paskutinės trys formulės greitai iškrenta iš atminties. Dėl tam tikrų priežasčių.) Žinoma, šias formules galite išvesti iš pirmųjų trijų. Bet sunkiais laikais... Jūs suprantate.)

Standartinėse problemose, kaip ir toliau pateiktose, yra būdas išvengti šių pamirštamų formulių. IR žymiai sumažinti klaidų skaičių dėl užmaršumo, taip pat ir skaičiavimuose. Ši praktika aprašyta 555 skirsnyje, pamokoje „To paties kampo trigonometrinių funkcijų ryšiai“.

Kokiose užduotyse ir kaip naudojamos pagrindinės trigonometrinės tapatybės? Populiariausia užduotis – surasti kokią nors kampo funkciją, jei duota kita. Vieningame valstybiniame egzamine tokia užduotis atliekama metai iš metų.) Pavyzdžiui:

Raskite sinx reikšmę, jei x yra smailusis kampas ir cosx=0,8.

Užduotis beveik elementari. Mes ieškome formulės, kurioje būtų sinusas ir kosinusas. Štai formulė:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Čia pakeičiame žinomą reikšmę, būtent 0,8 vietoj kosinuso:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Na, skaičiuojame kaip įprasta:

sin 2 x + 0,64 = 1

sin 2 x = 1 - 0,64

Tai praktiškai viskas. Apskaičiavome sinuso kvadratą, belieka ištraukti kvadratinę šaknį ir atsakymas paruoštas! 0,36 šaknis yra 0,6.

Užduotis beveik elementari. Bet žodis „beveik“ yra ne veltui... Faktas yra tas, kad tinka ir atsakymas sinx= - 0,6... (-0,6) 2 taip pat bus 0,36.

Yra du skirtingi atsakymai. Ir tau reikia vieno. Antrasis neteisingas. Kaip būti!? Taip, kaip įprasta.) Atidžiai perskaitykite užduotį. Kažkodėl parašyta:... jei x yra smailusis kampas... O užduotyse kiekvienas žodis turi reikšmę, taip... Ši frazė yra papildoma informacija sprendimui.

Smailusis kampas yra mažesnis nei 90° kampas. Ir tokiuose kampuose Visi trigonometrinės funkcijos – sinusas, kosinusas ir liestinė su kotangentu – teigiamas. Tie. Čia tiesiog atmetame neigiamą atsakymą. Mes turime teisę.

Tiesą sakant, aštuntokams tokių subtilybių nereikia. Jie veikia tik su stačiais trikampiais, kurių kampai gali būti tik aštrūs. Ir jie nežino, laimingieji, kad yra ir neigiami kampai, ir 1000° kampai... Ir visi šie baisūs kampai turi savo trigonometrines funkcijas, tiek pliuso, tiek minuso...

Bet gimnazistams, neatsižvelgiant į ženklą – jokiu būdu. Daug žinių daugina nuoskaudą, taip...) O teisingam sprendimui užduotyje būtinai yra papildomos informacijos (jei reikia). Pavyzdžiui, jį galima pateikti tokiu įrašu:

Arba kaip nors kitaip. Pamatysite toliau pateiktuose pavyzdžiuose.) Norėdami išspręsti tokius pavyzdžius, turite žinoti Į kurį ketvirtį patenka nurodytas kampas x ir kokį ženklą šiame ketvirtyje turi norima trigonometrinė funkcija?

Šie trigonometrijos pagrindai aptariami pamokose apie tai, kas yra trigonometrinis apskritimas, apie šio apskritimo kampų matavimą ir apie radianinį kampo matą. Kartais reikia žinoti sinusų lentelę, liestinių kosinusus ir kotangentus.

Taigi, atkreipkime dėmesį į svarbiausią dalyką:

Praktiniai patarimai:

1. Prisiminkite sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimus. Tai bus labai naudinga.

2. Aiškiai suprantame: sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas yra glaudžiai susiję su kampais. Mes žinome vieną dalyką, vadinasi, žinome kitą.

3. Aiškiai suprantame: vieno kampo sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas yra tarpusavyje susiję pagrindinėmis trigonometrinėmis tapatybėmis. Mes žinome vieną funkciją, tai reiškia, kad galime (jei turime reikiamos papildomos informacijos) apskaičiuoti visas kitas.

Dabar nuspręskime, kaip įprasta. Pirma, užduotys 8 klasėje. Bet tai gali padaryti ir gimnazijos mokiniai...)

1. Apskaičiuokite tgA reikšmę, jei ctgA = 0,4.

2. β yra stačiojo trikampio kampas. Raskite tanβ reikšmę, jei sinβ = 12/13.

3. Nustatykite smailiojo kampo x sinusą, jei tgх = 4/3.

4. Raskite posakio prasmę:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Raskite posakio prasmę:

(1-cosx)(1+cosx), jei sinx = 0,3

Atsakymai (atskirti kabliataškiais, netvarkingi):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Ar pavyko? Puiku! Aštuntokai jau gali gauti A.)

Ar ne viskas pavyko? 2 ir 3 užduotys kažkaip nelabai geros...? Jokių problemų! Yra viena graži tokių užduočių technika. Viską galima išspręsti praktiškai visai be formulių! Na, todėl be klaidų. Ši technika aprašyta pamokoje: „Vieno kampo trigonometrinių funkcijų ryšiai“ 555 skyriuje. Ten taip pat atliekamos visos kitos užduotys.

Tai buvo tokios problemos kaip vieningas valstybinis egzaminas, bet sumažėjusioje versijoje. Vieningas valstybinis egzaminas – lengvas). Ir dabar beveik tos pačios užduotys, bet visaverčiu formatu. Žinių slegiamiems aukštųjų mokyklų studentams.)

6. Raskite tanβ reikšmę, jei sinβ = 12/13, ir

7. Nustatykite sinх, jei tgх = 4/3, o x priklauso intervalui (- 540°; - 450°).

8. Raskite išraiškos sinβ cosβ reikšmę, jei ctgβ = 1.

Atsakymai (netvarkingai):

0,8; 0,5; -2,4.

Čia 6 uždavinyje kampas nenurodytas labai aiškiai... Bet 8 uždavinyje jis visai nenurodytas! Tai tyčia). Papildoma informacija paimama ne tik iš užduoties, bet ir iš galvos.) Bet jei nuspręsite, viena teisinga užduotis garantuota!

O jei neapsisprendei? Hmm... Na, čia padės 555 skyrius. Ten detaliai aprašyti visų šių užduočių sprendimai, sunku nesuprasti.

Ši pamoka suteikia labai ribotą trigonometrinių funkcijų supratimą. 8 klasėje. O vyresnieji dar turi klausimų...

Pavyzdžiui, jei kampas X(pažiūrėk į antrą paveikslėlį šiame puslapyje) – padaryk tai kvaila!? Trikampis visiškai subyrės! Taigi ką turėtume daryti? Nebus nei kojos, nei hipotenuzės... Sinusas dingo...

Jei senovės žmonės nebūtų radę išeities iš šios situacijos, dabar neturėtume nei mobiliųjų telefonų, nei televizoriaus, nei elektros. Taip, taip! Teorinis visų šių dalykų pagrindas be trigonometrinių funkcijų yra nulis be lazdos. Tačiau senovės žmonės nenuvylė. Kaip jie išlipo, sužinosite kitoje pamokoje.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Medžiaga iš Vikipedijos – laisvosios enciklopedijos

Trigonometrinės funkcijos- elementarios funkcijos, istoriškai atsiradusios svarstant stačiuosius trikampius ir išreiškusios šių trikampių kraštinių priklausomybę nuo smailių kampų prie hipotenuzos (arba, lygiavertiškai, stygų ir aukščių priklausomybę nuo centrinio kampo (lanko) apskritime). Šios funkcijos buvo plačiai pritaikytos įvairiose mokslo srityse. Vėliau trigonometrinių funkcijų apibrėžimas buvo išplėstas, jų argumentas dabar gali būti savavališkas realusis ar net kompleksinis skaičius. Mokslas, tiriantis trigonometrinių funkcijų savybes, vadinamas trigonometrija.

Trigonometrinės funkcijos apima:

Tiesioginės trigonometrinės funkcijos

• sinusas ( $\backslash sin\; x$)
• kosinusas ( $\backslash cos\; x$)

• liestinė ( $\backslash mathrm(tg)\backslash ,\; x$)
• kotangentas ( $\backslash mathrm(ctg)\backslash ,\; x$)

• sekantas ( $\backslash sec\; x$)
• kosekantas ( $\backslash mathrm(cosec)\backslash ,\; x$)

Vakarų literatūroje žymimi tangentas, kotangentas ir kosekantas $\backslash tan\; x,\; \backslash cot\; x,\; \backslash csc\; x$.

Be šių šešių, taip pat yra keletas retai naudojamų trigonometrinių funkcijų (versine ir kt.), taip pat atvirkštinės trigonometrinės funkcijos (arko sinusas, lanko kosinusas ir kt.), aprašytos atskiruose straipsniuose.

Realiojo argumento sinusas ir kosinusas yra periodinės ir be galo realios vertės funkcijos. Likusios keturios tikrosios ašies funkcijos taip pat yra realios vertės, periodinės ir be galo diferencijuojamos apibrėžimo srityje, bet ne tolydžios. Tangentas ir sekantas taškuose turi antrojo tipo pertrūkius $\backslash pm\; \backslash pi\; n\; +\; \backslash frac(\backslash pi)(2)$, o kotangentas ir kosekantens yra taškuose $\backslash pm\backslash pi\; n$.
Trigonometrinių funkcijų grafikai parodyti pav. 1.

Nustatymo metodai

Geometrinis apibrėžimas

Paprastai trigonometrinės funkcijos apibrėžiamos geometriškai. Pateikiame Dekarto koordinačių sistemą plokštumoje ir sukonstruokime spindulio apskritimą $R$ sutelktas į ištaką $O$. Bet koks kampas gali būti laikomas sukimu iš teigiamos x ašies krypties į kokį nors spindulį $O.B.$, o sukimosi kryptis prieš laikrodžio rodyklę laikoma teigiama, o kryptis pagal laikrodžio rodyklę – neigiama. Abscisių taškai $B$ pažymėkime $x\_B$, žymime ordinatę $y\_B$(žr. paveikslėlį).

• Sinusas yra santykis $\backslash sin\; \backslash alpha=\backslash frac(y\_B)(R).$
• Kosinusas yra santykis $\backslash cos\; \backslash alpha=\backslash frac(x\_B)(R).$
• Tangentas apibrėžiamas kaip $\backslash operatoriaus\; pavadinimas(tg)\; \backslash alpha=\backslash frac(\backslash sin\backslash alpha)(\backslash cos\backslash alpha)=\backslash frac(y\_B)(x\_B).$
• Kotangentas apibrėžiamas kaip $\backslash operatoriaus\; pavadinimas(ctg)\; \backslash alpha=\backslash frac(\backslash cos\backslash alpha)(\backslash sin\backslash alpha)=\backslash frac(x\_B)(y\_B).$
• Sekantas apibrėžiamas kaip $\backslash sec\; \backslash alpha=\backslash frac(1)(\backslash cos\backslash alpha)=\backslash frac(R)(x\_B).$
• Kosekantas apibrėžiamas kaip $\backslash operatoriaus\; pavadinimas(cosec)\; \backslash alpha=\backslash frac(1)(\backslash sin\backslash alpha)=\backslash frac(R)(y\_B).$

Akivaizdu, kad trigonometrinių funkcijų reikšmės nepriklauso nuo apskritimo spindulio dydžio $R$ dėl panašių figūrų savybių. Dažnai šis spindulys yra lygus vienetinio segmento dydžiui, tada sinusas yra tiesiog lygus ordinatai $y\_B$, o kosinusas yra abscisė $x\_B$. 3 paveiksle pavaizduoti vienetinio apskritimo trigonometrinių funkcijų dydžiai.

Trigonometrinės funkcijos yra funkcijos su taškais $2\backslash pi\; ~\; (360^\backslash circ)$ sinusui, kosinusui, sekantui ir kosekantui, ir $\backslash pi~(180^\backslash circ)$ tangentui ir kotangentui.
Bet kurio kampo trigonometrines funkcijas galima redukuoti į smailiojo kampo trigonometrines funkcijas, panaudojant jų periodiškumą ir vadinamąjį. Tai būtina, pavyzdžiui, norint iš lentelių rasti trigonometrinių funkcijų reikšmes, nes lentelėse paprastai pateikiamos tik smailių kampų reikšmės.

Matematinės analizės funkcijų tyrimas

Trigonometrinių funkcijų, kaip diferencialinių lygčių sprendinių, apibrėžimas

Funkcijos kosinusas Ir sinusas gali būti apibrėžti kaip lyginiai (kosinuso) ir nelyginiai (sinuso) diferencialinės lygties sprendiniai

$\backslash frac(d^2)(d\backslash varphi^2)R(\backslash varphi)\; =\; -\; R(\backslash varphi),$

su papildomomis sąlygomis $R(0)\; =\; 1$ kosinusui ir $R"(0)\; =\; 1$ sinusui, ty kaip vieno kintamojo, kurio antroji išvestinė lygi pačiai funkcijai, funkcijos, paimtos su minuso ženklu:

$\backslash \; \backslash left(\backslash cos\; x\backslash right)$= - \cos x, $\backslash \; \backslash left\; (\backslash sin\; x\backslash right)$= - \sin x.

Trigonometrinių funkcijų, kaip funkcinių lygčių sprendinių, apibrėžimas

Funkcijos kosinusas Ir sinusas gali būti apibrėžti kaip sprendimai ( $f$ Ir $g$ atitinkamai) funkcinių lygčių sistemos:

papildomomis sąlygomis

$f(x)^2\; +\; g(x)^2\; =\; 1,$ $g(\backslash pi/2)\; =\; 1,$ Ir

Trigonometrinių funkcijų apibrėžimas serijomis

Naudojant geometriją ir ribų savybes, galima įrodyti, kad sinuso išvestinė lygi kosinusui, o kosinuso išvestinė lygi minus sinusui. Tada galite naudoti Taylor eilučių teoriją ir pateikti sinusą bei kosinusą kaip laipsnio eilutes:

$\backslash sin\; x=x-\backslash frac(x^3)(3+\backslash frac\{x^5\}\{5!\}-\backslash frac\{x^7\}\{7!\}+\backslash frac\{x^9\}\{9!\}-\backslash cdots\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{(-1)^nx^\{2n+1\}\}\{(2n+1)!\},!\}$ $\backslash cos\; x=1-\backslash frac(x^2)(2+\backslash frac\{x^4\}\{4!\}-\backslash frac\{x^6\}\{6!\}+\backslash frac\{x^8\}\{8!\}-\backslash cdots\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{(-1)^nx^\{2n\}\}\{(2n)!\}.!\}$

Naudojant šias formules, taip pat lygybes $\backslash operatoriaus\; pavadinimas(tg)\backslash ,x=\backslash frac(\backslash sin\; x)(\backslash cos\; x),$ $\backslash operatoriaus\; pavadinimas(ctg)\backslash ,x=\backslash frac(\backslash cos\; x)(\backslash sin\; x),$ $\backslash sec\; x=\backslash frac(1)(\backslash cos\; x)$ Ir $\backslash operatoriaus\; pavadinimas(cosec)\backslash ,x=\backslash frac(1)(\backslash sin\; x),$ Galite rasti kitų trigonometrinių funkcijų serijų išplėtimus:

$\backslash int\backslash sin\; x\backslash ,\; dx\; =\; -\backslash cos\; x\; +\; C\backslash ,$

$\backslash int\backslash cos\; x\backslash ,\; dx\; =\; \backslash sin\; x\; +\; C\backslash ,$

$\backslash int\backslash mathop(\backslash operatoriaus\; pavadinimas(tg))\backslash ,\; x\backslash ,\; dx\; =\; -\backslash ln\; \backslash left|\; \backslash cos\; x\backslash right|\; +C\backslash ,$

$\backslash int\backslash mathop(\backslash operatoriaus\; pavadinimas(ctg))\backslash ,\; x\backslash ,\; dx\; =\; \backslash ln\; \backslash left|\; \backslash sin\; x\; \backslash right|\; +C\backslash ,$

$\backslash int\backslash sec\; x\backslash ,\; dx=\backslash ln\; \backslash left|\; \backslash operatoriaus\; pavadinimas(tg)\; \backslash ,\; \backslash left(\backslash frac\; (\backslash pi)(4)+\backslash frac(x)(2)\backslash right)\; \backslash right|+\; C\; \backslash ,$

$\backslash int\; \backslash operatoriaus\; pavadinimas(cosec)~\; x\backslash ,\; dx=\backslash ln\; \backslash left|\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; \backslash ,\; \backslash frac(x)(2)\; \backslash right|+\; C.$

Kai kurių kampų trigonometrinių funkcijų reikšmės

Kai kurių kampų sinuso, kosinuso, liestinės, kotangento, sekanto ir kosekanto reikšmės pateiktos lentelėje. („∞“ reiškia, kad funkcija nurodytame taške nėra apibrėžta, bet linkusi į begalybę šalia jo).

Nestandartinių kampų trigonometrinių funkcijų reikšmės

Kai kurių kitų kampų trigonometrinių funkcijų reikšmės

$\backslash sin\; \backslash frac(\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(29\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; 3^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 87^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2)(\; \backslash sqrt(3)+1)(\backslash sqrt(5)-1)-2(\backslash sqrt(3)-1)\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)$

}{16},

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(29\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; 3^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 87^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2)(\; \backslash sqrt(3)-1)(\backslash sqrt(5)-1)+2(\backslash sqrt(3)+1)\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)))(16),$

$\backslash operatoriausvardas(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; \backslash frac(29\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; 3^\backslash circ\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; 87^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(2(\backslash sqrt(5)+2)-\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+3)+(2-\backslash sqrt(3))(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt\; (5)+1)-2)\backslash sqrt(5-2\backslash sqrt(5)))(2),$

$\backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; \backslash frac(\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; \backslash frac(29\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; 3^\backslash circ\; =\; \backslash operatoriausvardas(tg)\; 87^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(2(2(\backslash sqrt(5)+2)+\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+3))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)-1)\; +2)\backslash sqrt(2(25+11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash sin\; \backslash frac(\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash sin\; 6^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 84^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(6(5)\; -\backslash sqrt(5)))-\backslash sqrt(5)-1)(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash cos\; 6^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 84^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2(5)\; -\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+1))(8),$

$\backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; 6^\backslash circ\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; 84^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2(5-\backslash sqrt(5)))-\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)-1))(2),$

$\backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; \backslash frac(\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; 6^\backslash circ\; =\; \backslash operatoriausvardas(tg)\; 84^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2(25+11\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+3))(2),$

$\backslash sin\; \backslash frac(\backslash pi)(20)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(9\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash sin\; 9^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 81^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2)(\; \backslash sqrt(5)+1)-2\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5)))(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(20)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(9\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash cos\; 9^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 81^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2)(\; \backslash sqrt(5)+1)+2\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5)))(8),$

$\backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; \backslash frac(9\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; 9^\backslash circ\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; 81^\; \backslash circ\; =\; (\backslash sqrt(5)+1-\backslash sqrt(5+2\backslash sqrt(5))),$

$\backslash operatoriausvardas(ctg)\; \backslash frac(\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; \backslash frac(9\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; 9^\backslash circ\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; 81^\; \backslash circ\; =\; (\backslash sqrt(5)+1+\backslash sqrt(5+2\backslash sqrt(5))),$

$\backslash sin\; \backslash frac(\backslash pi)(15)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; 12^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 78^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2(5)\; +\backslash sqrt(5)))-\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)-1))(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(15)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; 12^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 78^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(6(5)\; +\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(5)-1)(8),$

$\backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(15)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; 12^\backslash circ\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; 78^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5))-\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash operatoriausvardas(ctg)\; \backslash frac(\backslash pi)(15)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; 12^\backslash circ\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; 78^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+1)+\backslash sqrt(2(5+\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash sin\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(23\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; 21^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 69^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-\backslash sqrt\; (2)(\backslash sqrt(3)-1)(\backslash sqrt(5)+1)+2(\backslash sqrt(3)+1)\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5)))(16),$

$\backslash cos\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(23\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; 21^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 69^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(3)+1)(\backslash sqrt(5)+1)+2(\backslash sqrt(3)-1)\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5)))(16),$

$\backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; \backslash frac(23\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; 21^\backslash circ\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; )\; 69^\backslash circ\; =\; \backslash frac(2(2(\backslash sqrt(5)-2)-\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)\; +1)-2)\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; \backslash frac(23\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; 21^\backslash circ\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; )\; 69^\backslash circ\; =\; \backslash frac(2(2(\backslash sqrt(5)-2)+\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)\; +1)+2)\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash sin\; \backslash frac(2\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; 24^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 66^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 3)(\backslash sqrt(5)+1)-\backslash sqrt(2(5-\backslash sqrt(5))))(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(2\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; 24^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 66^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 5)+1+\backslash sqrt(6(5-\backslash sqrt(5))))(8),$

$\backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; \backslash frac(2\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatoriausvardas(tg)\; 24^\backslash circ\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; )\; 66^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-\backslash sqrt(3)(3+\backslash sqrt(5))+\backslash sqrt(2(25+11\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; \backslash frac(2\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; 24^\backslash circ\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; )\; 66^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)-1)+\backslash sqrt(2(5-\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash sin\; \backslash frac(3\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash sin\; 27^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 63^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-\backslash sqrt\; (2)(\backslash sqrt(5)-1)+2\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)))(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(3\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash cos\; 27^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 63^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(5)-1)+2\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)))(8),$

$\backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; \backslash frac(3\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; 27^\backslash circ\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; )\; 63^\backslash circ\; =\; (\backslash sqrt(5)-1-\backslash sqrt(5-2\backslash sqrt(5))),$

$\backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; \backslash frac(3\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; 27^\backslash circ\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; )\; 63^\backslash circ\; =\; (\backslash sqrt(5)-1+\backslash sqrt(5-2\backslash sqrt(5))),$

$\backslash sin\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(19\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; 33^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 57^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(3)+1)(\backslash sqrt(5)-1)+2(\backslash sqrt(3)-1)\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)))(16),$

$\backslash cos\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(19\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; 33^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 57^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-\backslash sqrt\; (2)(\backslash sqrt(3)-1)(\backslash sqrt(5)-1)+2(\backslash sqrt(3)+1)\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)))(16),$

$\backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; \backslash frac(19\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; 33^\backslash circ\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; )\; 57^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-2(\backslash sqrt(5)+2)+\backslash sqrt(3)(3+\backslash sqrt(5))+(2-\backslash sqrt(3))(\backslash sqrt(3)\; )(\backslash sqrt(5)+1)-2)\backslash sqrt(5-2\backslash sqrt(5)))(2),$

$\backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; \backslash frac(19\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; 33^\backslash circ\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; )\; 57^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-2(2(\backslash sqrt(5)+2)+\backslash sqrt(3)(3+\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)\; )-1)+2)\backslash sqrt(2(25+11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash sin\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(17\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; 39^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 51^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(3)+1)(\backslash sqrt(5)+1)-2(\backslash sqrt(3)-1)\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5)))(16),$

$\backslash cos\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(17\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; 39^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 51^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(3)-1)(\backslash sqrt(5)+1)+2(\backslash sqrt(3)+1)\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5)))(16),$

$\backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; \backslash frac(17\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; 39^\backslash circ\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; )\; 51^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-2(2(\backslash sqrt(5)-2)+\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)\; )+1)+2)\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; \backslash frac(17\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; 39^\backslash circ\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; )\; 51^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-2(2(\backslash sqrt(5)-2)-\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)\; )+1)-2)\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash sin\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(8\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; 42^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 48^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-(\backslash )\; sqrt(5)-1)+\backslash sqrt(6(5+\backslash sqrt(5))))(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(8\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; 42^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 48^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 3)(\backslash sqrt(5)-1)+\backslash sqrt(2(5+\backslash sqrt(5))))(8),$

$\backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; \backslash frac(8\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; 42^\backslash circ\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; )\; 48^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+1)-\backslash sqrt(2(5+\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; \backslash frac(8\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; 42^\backslash circ\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; )\; 48^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5))+\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(120)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; \backslash frac(59\backslash ,\backslash pi)(120)\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; 1,5^\backslash circ\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\; 88,5^\; \backslash circ\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac(8-\backslash sqrt(2(2-\backslash sqrt(3))(3-\backslash sqrt(5)))\; -\; \backslash sqrt(\; 2(2+\backslash sqrt(3))(5\; +\backslash sqrt(5))))(8+\backslash sqrt(2(2-\backslash sqrt(3))(3-\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(2(2+\backslash sqrt(3))(\; 5+\backslash sqrt(5)))\; )),$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(240)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(119\backslash ,\backslash pi)(240)\; =\; \backslash cos\; 0,75^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 89,25^\backslash circ\; =\; \backslash frac(1)(16)\; \backslash \; left(\backslash sqrt(2-\backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2)))\; \backslash left(\backslash sqrt(2(5+\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(3)(1-\backslash sqrt(5)\; )\; \backslash dešinė)\; +\; \backslash dešinė.$ $\backslash kairėje.\; +\; \backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2)))\; \backslash left\; (\backslash sqrt(6(5+\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(5)\; -\; 1\; \backslash right)\; \backslash right),$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(17)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(15\backslash ,\backslash pi)(34)\; =\; \backslash frac(1)(8)\backslash sqrt(2\; \backslash left(2\backslash sqrt(3\backslash sqrt()\; 17)-\backslash sqrt(2(85+19\backslash sqrt(17)))\; +17)+\backslash sqrt(2(17-\backslash sqrt(17)))+\backslash sqrt(17)+15\; \backslash right)).$

$\backslash sin(\backslash pi\backslash over2^(n+1))=(1\backslash over2)\backslash underbrace(\backslash sqrt(2-\backslash sqrt(2+\backslash dots+\backslash sqrt(2))))\_(n),\; n\backslash \; in\backslash mathbb\; N$

$\backslash cos(\backslash pi\backslash over2^(n+1))=(1\backslash over2)\backslash underbrace(\backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2+\backslash dots+\backslash sqrt(2))))\_(n),\; n\backslash \; in\backslash mathbb\; N$

$\backslash sin(\backslash pi\backslash over3\backslash cdot2^(n))=(1\backslash over2)\backslash underbrace(\backslash sqrt(2-\backslash sqrt(2+\backslash taškai+\backslash sqrt(3))))\_(n),\; n\backslash \; geq\; 2$

$\backslash cos(\backslash pi\backslash over3\backslash cdot2^(n))=(1\backslash over2)\backslash underbrace(\backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2+\backslash taškai+\backslash sqrt(3))))\_(n),\; n\backslash \; geq\; 2$ }}

Trigonometrinių funkcijų savybės

Paprasčiausios tapatybės

Kadangi sinusas ir kosinusas yra atitinkamai taško, atitinkančio kampą α vienetiniame apskritime, ordinatės ir abscisės, tai pagal vienetinio apskritimo lygtį arba Pitagoro teoremą turime:

$\backslash sin^2\; \backslash alpha\; +\; \backslash cos^2\; \backslash alpha\; =\; 1.$

Šis santykis vadinamas pagrindinė trigonometrinė tapatybė.

Padalinę šią lygtį atitinkamai iš kosinuso ir sinuso kvadrato, gauname:

$1\; +\; \backslash mathop(\backslash mathrm(tg))\backslash ,^2\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac(1)(\backslash cos^2\; \backslash alpha),$ $1\; +\; \backslash mathop(\backslash mathrm(ctg))\backslash ,^2\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac(1)(\backslash sin^2\; \backslash alpha),$ $\backslash mathop(\backslash mathrm(tg))\backslash ,\backslash alpha\; \backslash cdot\; \backslash mathop(\backslash mathrm(ctg))\backslash ,\backslash alpha=1.$

Tęstinumas

Pusės kampo formulės:

$\backslash sin\backslash frac(\backslash alpha)(2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1-\backslash cos\backslash alpha)(2)),\backslash quad\; 0\; \backslash leqslant\; \backslash alpha\; \backslash leqslant\; 2\backslash pi,$ $\backslash cos\backslash frac(\backslash alpha)(2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1+\backslash cos\backslash alpha)(2)),\backslash quad\; -\backslash pi\; \backslash leqslant\; \backslash alpha\; \backslash leqslant\; \backslash pi,$ $\backslash operatoriaus\; pavadinimas(tg)\backslash ,\backslash frac(\backslash alpha)(2)=\backslash frac(1-\backslash cos\backslash alpha)(\backslash sin\backslash alpha)=\backslash frac(\backslash sin\backslash alpha)(1+\backslash cos\backslash alpha)\; ,$ $\backslash operatoriaus\; pavadinimas(ctg)\backslash ,\backslash frac(\backslash alpha)(2)=\backslash frac(\backslash sin\backslash alpha)(1-\backslash cos\backslash alpha)=\backslash frac(1+\backslash cos\backslash alpha)(\backslash sin\backslash alpha)\; ,$

Veikia

Dviejų kampų funkcijų sandaugų formulės:

$\backslash sin\backslash alpha\; \backslash sin\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta)\; -\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta))(2),$ $\backslash sin\backslash alpha\; \backslash cos\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash sin(\backslash alpha-\backslash beta)\; +\; \backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta))(2),$ $\backslash cos\backslash alpha\; \backslash cos\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta)\; +\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta))(2),$ $\backslash operatoriaus\; pavadinimas(tg)\backslash ,\backslash alpha\backslash ,\backslash operatoriaus\; vardas(tg)\backslash ,\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta)\; -\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta))(\backslash cos(\backslash alpha-)\; \backslash beta)\; +\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta)),$ $\backslash operatoriaus\; pavadinimas(tg)\backslash ,\backslash alpha\backslash ,\backslash operatoriaus\; pavadinimas(ctg)\backslash ,\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash sin(\backslash alpha-\backslash beta)\; +\; \backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta))(\backslash sin(\backslash alpha+\backslash )\; beta)\; -\backslash sin(\backslash alpha-\backslash beta)),$ $\backslash operatoriaus\; pavadinimas(ctg)\backslash ,\backslash alpha\backslash ,\backslash operatoriaus\; pavadinimas(ctg)\backslash ,\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta)\; +\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta))(\backslash cos(\backslash alpha-\; \backslash beta)\; -\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta)).$

Panašios trijų kampų sinusų ir kosinusų sandaugų formulės:

$\backslash sin\backslash alpha\; \backslash sin\backslash beta\; \backslash sin\backslash gamma\; =\; \backslash frac(\backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta-\backslash gamma)\; +\; \backslash sin(\backslash beta+\backslash gamma-\backslash alpha)\; +\; \backslash sin(\backslash alpha-\backslash beta+\backslash gamma\; )\; -\; \backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma))(4),$ $\backslash sin\backslash alpha\; \backslash sin\backslash beta\; \backslash cos\backslash gamma\; =\; \backslash frac(-\backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta-\backslash gamma)\; +\; \backslash cos(\backslash beta+\backslash gamma-\backslash alpha)\; +\; \backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta+\backslash \; gamma)\; -\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma))(4),$ $\backslash sin\backslash alpha\; \backslash cos\backslash beta\; \backslash cos\backslash gamma\; =\; \backslash frac(\backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta-\backslash gamma)\; -\; \backslash sin(\backslash beta+\backslash gamma-\backslash alpha)\; +\; \backslash sin(\backslash alpha-\backslash beta+\backslash gamma\; )\; -\; \backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma))(4),$ $\backslash cos\backslash alpha\; \backslash cos\backslash beta\; \backslash cos\backslash gamma\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta-\backslash gamma)\; +\; \backslash cos(\backslash beta+\backslash gamma-\backslash alpha)\; +\; \backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta+\backslash gamma\; )\; +\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma))(4).$

Trijų kampų liestinių ir kotangentų sandaugų formules galima gauti padalijus aukščiau pateiktų atitinkamų lygybių dešinę ir kairę puses.

Laipsniai

Sumos

Yra reprezentacija:

$A\; \backslash sin\; \backslash alpha\; +\; B\; \backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash sqrt(A^2\; +\; B^2)\backslash ;\backslash sin(\backslash alpha\; +\; \backslash phi),$

kur kampas $\backslash phi$ randama iš santykių:

$\backslash sin\; \backslash phi\; =\; \backslash frac(B)(\backslash sqrt(A^2\; +\; B^2)),\; \backslash quad\; \backslash cos\; \backslash phi\; =\; \backslash frac(A)(\backslash sqrt(A^2\; +\; B^2)).$

Universalus trigonometrinis pakeitimas

Visos trigonometrinės funkcijos gali būti išreikštos pusės kampo liestine.

$\backslash sin\; x\; =\; \backslash frac(\backslash sin\; x)(1)\; =\; \backslash frac(2\backslash sin\; \backslash frac(x)(2)\backslash cos\; \backslash frac(x)(2))(\backslash sin^2\; \backslash frac(x)\; (2)\; +\; \backslash cos^2\; \backslash frac(x)(2))\; =\backslash frac(2\backslash operatoriaus\; pavadinimas(tg)\; \backslash frac(x)(2))(1\; +\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)^2\; \backslash frac(x)\; )(2))$

$\backslash cos\; x\; =\; \backslash frac(\backslash cos\; x)(1)\; =\; \backslash frac(\backslash cos^2\; \backslash frac(x)(2)\; -\; \backslash sin^2\; \backslash frac(x)(2))(\backslash cos^2\; \backslash \; frac(x)(2)\; +\; \backslash sin^2\; \backslash frac(x)(2))\; =\backslash frac(1\; -\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)^2\; \backslash frac(x)(2))(1\; +\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; )^2\; \backslash frac(x)(2))$

$\backslash operatoriaus\; vardas(tg)~x\; =\; \backslash frac(\backslash sin\; x)(\backslash cos\; x)\; =\; \backslash frac(2\backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; \backslash frac(x)(2))(1\; -\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)^2\; \backslash \; frac(x)(2))$

$\backslash operatoriaus\; vardas(ctg)~x\; =\; \backslash frac(\backslash cos\; x)(\backslash sin\; x)\; =\; \backslash frac(1\; -\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)^2\; \backslash frac(x)(2))(2\backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; \backslash \; frac(x)(2))$

$\backslash sec\; x\; =\; \backslash frac(1)(\backslash cos\; x)\; =\; \backslash frac(1\; +\; \backslash operatoriaus\; pavadinimas(tg)^2\; \backslash frac(x)(2))(1\; -\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)^2\; \backslash frac(x)\; )(2))$

$\backslash operatoriaus\; vardas(cosec)~x\; =\; \backslash frac(1)(\backslash sin\; x)\; =\; \backslash frac(1\; +\; \backslash operatoriaus\; vardas(tg)^2\; \backslash frac(x)(2))\; (2\backslash operatoriaus\; vardas(tg)\; \backslash frac(\; x)(2))$

Sudėtingo argumento trigonometrinės funkcijos

Apibrėžimas

leidžia apibrėžti sudėtingų argumentų trigonometrines funkcijas per eksponentinį arba (naudojant eilutę) kaip analitinį jų tikrų analogų tęsinį:

$\backslash sin\; z\; =\; \backslash sum\_(n=0)^\backslash infty\; \backslash frac((-1)^(n))((2n+1)z^\{2n+1\}\; =\; \backslash frac\{e^\{i\; z\}\; -\; e^\{-i\; z\}\}\{2i\}\backslash ,\; =\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{sh\}\; i\; z\; \}\{i\};\; !\}$ $\backslash cos\; z\; =\; \backslash sum\_(n=0)^\backslash infty\; \backslash frac((-1)^(n))((2n)z^\{2n\}\; =\; \backslash frac\{e^\{i\; z\}\; +\; e^\{-i\; z\}\}\{2\}\backslash ,\; =\; \backslash operatorname\{ch\}\; i\; z;\; !\}$ $\backslash operatoriaus\; vardas(tg)\backslash ,\; z\; =\; \backslash frac(\backslash sin\; z)(\backslash cos\; z)\; =\; \backslash frac(e^(i\; z)\; -\; e^(-i\; z))(i(e^(i\; z)\; +\; e^(\; -i\; z)));$ $\backslash operatoriaus\; vardas(ctg)\backslash ,\; z\; =\; \backslash frac(\backslash cos\; z)(\backslash sin\; z)\; =\; \backslash frac(i(e^(i\; z)\; +\; e^(-i\; z)))(e^(i\; z)\; -\; e^\; (-i\; z));$ $\backslash sec\; z\; =\; \backslash frac(1)(\backslash cos\; z)\; =\; \backslash frac(2)(e^(i\; z)\; +\; e^(-i\; z));$ $\backslash operatoriaus\; vardas(cosec)\backslash ,\; z\; =\; \backslash frac(1)(\backslash sin\; z)\; =\; \backslash frac(2i)(e^(i\; z)\; -\; e^(-i\; z)),$ Kur $i^2=-1.$

Atitinkamai, iš tikrųjų x,

$\backslash cos\; x\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(Re)(e^(i\; x)),$ $\backslash sin\; x\; =\; \backslash operatoriaus\; vardas(Im)(e^(i\; x)).$

Kompleksinis sinusas ir kosinusas yra glaudžiai susiję su hiperbolinėmis funkcijomis:

$\backslash sin\; (x\; +\; iy)\; =\; \backslash sin\; x\backslash ,\; \backslash operatoriaus\; vardas(ch)\backslash ,\; y\; +\; i\; \backslash cos\; x\backslash ,\; \backslash operatoriaus\; vardas(sh)\backslash ,\; y,$ $\backslash cos\; (x\; +\; iy)\; =\; \backslash cos\; x\backslash ,\; \backslash operatoriaus\; vardas(ch)\backslash ,\; y\; -\; i\; \backslash sin\; x\backslash ,\; \backslash operatoriaus\; vardas(sh)\backslash ,\; y.$

Dauguma aukščiau išvardytų trigonometrinių funkcijų savybių yra išsaugotos sudėtingu atveju. Kai kurios papildomos savybės:

• kompleksinis sinusas ir kosinusas, skirtingai nei tikrieji, gali turėti savavališkai dideles absoliučias vertes;
• visi kompleksinio sinuso ir kosinuso nuliai yra tikrojoje ašyje.

Sudėtingi grafikai

Toliau pateiktose diagramose parodyta sudėtinga plokštuma, o funkcijų reikšmės paryškintos spalva. Ryškumas atspindi absoliučią vertę (juoda – nulis). Spalva keičiasi atsižvelgiant į argumentą ir kampą pagal žemėlapį.

$$ \sin\,z	$$ \cos\,z	$$ \operatoriaus vardas(tg)\, z	$$ \operatoriaus vardas(ctg)\, z	$$ \sec\,z	$$ \operatoriaus vardas(cosec)\, z

Vardų istorija

Sinuso linija(AB eilutė) Indijos matematikai iš pradžių ją pavadino „arha-jiva“ („pusė styga“, tai yra, pusė akordo), tada žodis „archa“ buvo išmestas ir sinuso linija pradėta vadinti tiesiog „dživa“. . Arabų kalbos vertėjai žodžio „dživa“ nevertė arabišku žodžiu „watar“, reiškiančiu lanką ir akordą, o perrašė jį arabiškomis raidėmis ir sinuso eilutę pradėjo vadinti „džiba“. Kadangi arabų kalboje trumposios balsės nėra žymimos, o ilgas „i“ žodyje „jiba“ žymimas taip pat, kaip ir pusbalsis „y“, arabai sinusinės eilutės pavadinimą pradėjo tarti taip: arabų kalba. . جيب ‎ - „jaib“, pažodžiui reiškia „tuščiaviduris“, „sinusas“. Versdami arabiškus raštus į lotynų kalbą, Europos vertėjai žodį „jaib“ išvertė į lotynišką žodį lat. sinusas - "sinusas", turintis tą pačią reikšmę. Terminas "kosinusas"(lot. kosinusas) yra santrumpa iš lot. komplementinis sinusas- papildomas sinusas.

Šiuolaikiniai stenografiniai užrašai $\backslash sin,\; ~\; \backslash cos$ pristatė B. Cavalieri ir William Oughtred ir įtraukė į Eulerio kūrinius.

Vėliau buvo įvesti atvirkštinių trigonometrinių funkcijų terminai - arcsinusas, arkosinisusas, arctangentas, arkotangentas, lankinis, arkosinisusas- pridedant priešdėlį "arka"(iš lat. arcus- lankas), - J. Lagrange ir kt.

Taip pat žr

• Keturių skaitmenų matematinės lentelės (Bradis lentelės)

Parašykite apžvalgą apie straipsnį "Trigonometrinės funkcijos"

Literatūra

• Bermantas A. F. Lyusternik L. A. Trigonometrija. - M.: Nauka, 1967 m.
• Trigonometrinės funkcijos- straipsnis iš Didžiosios sovietinės enciklopedijos. - M.: „Tarybų enciklopedija“, 1977. - T. 26. - p. 204-206.
• Bronšteinas I. N., Semendyajevas K. A. Tiesioji trigonometrija // Matematikos vadovas. - Red. 7, stereotipinis. - M.: Valstybinė techninės ir teorinės literatūros leidykla, 1967. - P. 179-184.
• Vygodskis M. Ya.. - M.: Mokslas, 1978.
  • Pakartotinis spausdinimas: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6, www.alleng.ru/d/math/math42.htm, 509 p.
• Dwightas G.B. Trigonometrinės funkcijos // Integralų ir kitų matematinių formulių lentelės. – 4-asis leidimas. - M.: Nauka, 1973. - P. 70-102.
• Kozheurovas P. A. Trigonometrija. - M.: Fizmatgiz, 1963 m.
• Markuševičius A.I. Nuostabūs sinusai. - M.: Nauka, 1974 m.
• Matematinė enciklopedija / Ch. red. I. M. Vinogradovas. - M.: "Tarybų enciklopedija", 1984. - .
• Trigonometrinės funkcijos // Jaunųjų matematikų enciklopedinis žodynas / Red. kolegija, Gnedenko B. V. (vyr. red.), Savinas A.P. ir kiti - M.: Pedagogika, 1985 (1989). - P. 299-301-305. - 352 p., iliustr. ISBN 5-7155-0218-7 (puslapis , - trigonometrinių funkcijų lentelės 0°-90°, įskaitant radianais)
• Trigonometrinės funkcijos // Matematikos vadovas (vidurinio ugdymo įstaigoms) / Tsypkin A. G., red. Stepanova S. A. – 3 leidimas. - M.: Mokslas, Ch. fizikos ir matematikos redakcija. literatūra, 1983. - 240-258 p. – 480 s.

Nuorodos

• - išaiškintas vieneto apskritimas, trigonometrinės ir hiperbolinės funkcijos („Java Web Start“)
• Weissteinas, Ericas W.(anglų kalba) Wolfram MathWorld svetainėje.
• - straipsnio vertimas (anglų kalba)

Pastabos

Trigonometrines funkcijas apibūdinanti ištrauka

Per pertrauką Helenos dėžutėje jautėsi šalčio kvapas, atsidarė durys ir, pasilenkusi ir stengdamasi nieko neužgauti, įėjo Anatolė.
- Leiskite supažindinti jus su savo broliu, - tarė Helen, nervingai braukdama akimis nuo Natašos iki Anatole. Nataša atgręžė savo gražią galvą per nuogą petį gražiam vyrui ir nusišypsojo. Anatole, kuris iš arti buvo toks pat išvaizdus, ​​kaip ir iš tolo, atsisėdo šalia jos ir pasakė, kad jau seniai norėjo patirti šį malonumą nuo pat Naryškino baliaus, kuriame jis turėjo malonumą, o to neturėjo. pamiršo ją pamatyti. Kuraginas buvo daug protingesnis ir paprastesnis su moterimis nei vyrų visuomenėje. Jis kalbėjo drąsiai ir paprastai, o Natašą keistai ir maloniai sukrėtė tai, kad šiame žmoguje, apie kurį tiek daug kalbėjo, nebuvo nieko tokio baisaus, bet, priešingai, jis buvo pats naiviausias, linksmiausias ir geras. - prigimtinė šypsena.
Kuraginas paklausė apie spektaklio įspūdį ir papasakojo, kaip Semenova krito vaidindama paskutiniame spektaklyje.
- Žinai, grafiene, - tarė jis, staiga kreipdamasis į ją tarsi į seną pažįstamą, - mes rengiame kostiumų karuselę; turėtum jame dalyvauti: bus labai smagu. Visi renkasi pas Karaginus. Prašau ateik, tiesa? - pasakė jis.
Tai sakydamas jis nenuleido besišypsančių akių nuo Natašos veido, kaklo ir nuogų rankų. Nataša neabejotinai žinojo, kad jis ja žavisi. Ji buvo tuo patenkinta, bet kažkodėl jo buvimas privertė ją jaustis ankšta ir sunkia. Nežiūrėdama į jį pajuto, kad jis žiūri į jos pečius, ir nevalingai sulaikė jo žvilgsnį, kad jis geriau žiūrėtų į akis. Tačiau pažvelgusi jam į akis ji su baime pajuto, kad tarp jo ir jos nėra absoliučiai jokio kuklumo barjero, kurį ji visada jautė tarp savęs ir kitų vyrų. Ji, pati nežinodama kaip, po penkių minučių pasijuto siaubingai artima šiam vyrui. Kai ji nusisuko, ji bijojo, kad jis nepaims jai nuogos rankos iš nugaros ir pabučiuos kaklą. Jie kalbėjosi apie paprasčiausius dalykus ir ji jautė, kad jie yra artimi, tarsi niekada nebūtų buvę su vyru. Nataša atsigręžė į Heleną ir jos tėvą, tarsi klausdama, ką tai reiškia; bet Helen buvo užsiėmusi pokalbiais su kokiu nors generolu ir nereagavo į jos žvilgsnį, o tėvo žvilgsnis jai nepasakė nieko kito, išskyrus tai, ką jis visada sakydavo: „Smagu, na, aš džiaugiuosi“.
Vieną iš nejaukios tylos akimirkų, kai Anatole ramiai ir atkakliai žiūrėjo į ją išpūtusiomis akimis, Nataša, norėdama nutraukti šią tylą, paklausė, kaip jam patinka Maskva. – paklausė Nataša ir paraudo. Jai nuolat atrodė, kad kalbėdama su juo ji daro kažką nepadoraus. Anatole nusišypsojo, tarsi skatindama ją.
– Iš pradžių man nelabai patiko, nes kas daro miestą malonų, ce sont les jolies femmes, [gražios moterys,] ar ne? Na, dabar man tai labai patinka“, – reikšmingai pažvelgė į ją. – Ar eisi į karuselę, grafiene? „Eik“, – pasakė jis ir, ištiesęs ranką prie jos puokštės ir nuleidęs balsą, pasakė: „Vous serez la plus jolie“. Venez, chere comtesse, et comme gage donnez moi cette fleur. [Tu būsi pati gražiausia. Eik, brangioji grafiene, ir įkeisk man šią gėlę.]
Nataša nesuprato, ką jis pasakė, kaip ir jis pats, tačiau jautė, kad jo nesuprantamuose žodžiuose slypi nepadori tyčia. Ji nežinojo, ką pasakyti ir nusisuko, lyg nebūtų girdėjusi, ką jis pasakė. Bet kai tik ji nusisuko, ji pagalvojo, kad jis yra už jos, taip arti jos.
„Kas jis dabar? Ar jis sutrikęs? piktas? Ar turėčiau tai ištaisyti? – paklausė ji savęs. Ji negalėjo atsigręžti atgal. Ji pažvelgė tiesiai jam į akis, o jo artumas ir pasitikėjimas bei geraširdis šypsenos švelnumas ją nugalėjo. Ji nusišypsojo kaip ir jis, žiūrėdama tiesiai jam į akis. Ir vėl ji su siaubu pajuto, kad tarp jo ir jos nėra jokios kliūties.
Uždanga vėl pakilo. Anatole išėjo iš dėžės ramus ir linksmas. Nataša grįžo į savo tėvo dėžutę, visiškai pajungta pasauliui, kuriame atsidūrė. Viskas, kas įvyko jos akivaizdoje, jai jau atrodė visiškai natūralu; bet dėl ​​to jai niekada nekilo į galvą visos ankstesnės mintys apie jaunikį, apie princesę Mariją, apie kaimo gyvenimą, tarsi visa tai būtų buvę seniai, seniai.
Ketvirtame veiksme buvo kažkoks velnias, kuris dainavo, mojuodamas ranka, kol po juo ištraukė lentas ir jis atsisėdo. Iš ketvirto veiksmo Nataša matė tik tai: kažkas ją jaudino ir kankino, o šio susijaudinimo priežastis buvo Kuraginas, kurį ji nevalingai sekė akimis. Kai jie išėjo iš teatro, Anatole priėjo prie jų, paskambino jų vežimui ir paėmė. Pasodinęs Natašą jis paspaudė jai ranką aukščiau alkūnės. Susijaudinusi ir raudona Nataša atsigręžė į jį. Jis pažvelgė į ją, jo akys spindėjo ir švelniai šypsojosi.

Tik grįžusi namo, Nataša galėjo aiškiai pagalvoti apie viską, kas jai nutiko, ir staiga prisiminusi princą Andrejų ji išsigando, o prieš visus prie arbatos, prie kurios visi susėdo po teatro, garsiai atsiduso ir išbėgo. iš kambario, paraudęs. - „Dieve mano! Aš miręs! – pasakė ji pati sau. Kaip galėjau leisti, kad tai įvyktų?" ji pagalvojo. Ji ilgai sėdėjo, užsidengdama paraudusį veidą rankomis, stengdamasi aiškiai pasakyti, kas jai atsitiko, ir negalėjo nei suprasti, kas jai atsitiko, nei ką ji jaučia. Viskas jai atrodė tamsu, neaišku ir baisu. Ten, šioje didžiulėje, apšviestoje salėje, kur ant šlapių lentų skambant muzikai šokinėjo Duportas, apsivilkęs švarką su blizgučiais, ir merginos, ir senukai, o Helen nuoga su ramia ir išdidžia šypsena šaukė „bravo“. iš džiaugsmo – ten, po šios Helenos šešėliu, viskas buvo aišku ir paprasta; bet dabar vienai, su savimi, tai buvo nesuprantama. - „Kas tai yra? Kokią baimę jam jaučiau? Kokia gaila, kurią dabar jaučiu? ji pagalvojo.
Nataša galės vienai lovoje naktį pasakyti senajai grafienei viską, ką galvojo. Ji žinojo, kad Sonya savo griežtu ir vientisu žvilgsniu arba nieko nebūtų supratusi, arba būtų pasibaisėjusi dėl savo prisipažinimo. Nataša, būdama viena su savimi, bandė išspręsti tai, kas ją kankino.
„Ar aš miriau dėl princo Andrejaus meilės, ar ne? paklausė ji savęs ir raminamai šypsodamasi sau atsakė: koks aš kvailys, kad to klausiu? Kas man atsitiko? Nieko. Aš nieko nedariau, nieko nedariau, kad tai sukeltų. Niekas nesužinos, ir aš jo daugiau niekada nepamatysiu, pasakė ji sau. Tapo aišku, kad nieko neįvyko, nėra ko gailėtis, kad princas Andrejus gali mane mylėti tiesiog taip. Bet kokios? O Dieve, mano Dieve! Kodėl jo čia nėra?" Nataša trumpam nurimo, bet tada vėl kažkoks instinktas jai pasakė, kad nors visa tai tiesa ir nors nieko neįvyko, instinktas jai pasakė, kad visas buvęs jos meilės kunigaikščiui Andrejui tyrumas žuvo. Ir vėl savo vaizduotėje ji pakartojo visą savo pokalbį su Kuraginu ir įsivaizdavo šio gražaus ir drąsaus vyro veidą, gestus ir švelnią šypseną, kai jis spaudė jai ranką.

Anatolis Kuraginas gyveno Maskvoje, nes tėvas jį išsiuntė iš Sankt Peterburgo, kur jis per metus gyveno daugiau nei dvidešimt tūkstančių pinigų ir tiek pat skolų, kurių kreditoriai reikalavo iš jo tėvo.
Tėvas paskelbė sūnui, kad paskutinį kartą moka pusę skolų; bet tik tam, kad išvažiuotų į Maskvą į vyriausiojo vado adjutanto pareigas, kurias jam įsigijo, ir pagaliau pamėgintų ten gerai sužaisti. Jis nukreipė jį į princesę Marya ir Julie Karagina.
Anatole sutiko ir išvyko į Maskvą, kur apsistojo su Pierre'u. Pierre'as iš pradžių sutiko Anatolą nedrąsiai, bet paskui priprato, kartais eidavo kartu su juo ir, prisidengdamas paskolos pretekstu, duodavo pinigų.
Anatole, kaip teisingai apie jį pasakė Šinšinas, nuo pat atvykimo į Maskvą varė visas Maskvos damas iš proto, ypač dėl to, kad jas apleido ir, aišku, pirmenybę teikė čigonams ir prancūzų aktorėms, kurių galva, kaip jie sakė, Mademoiselle Georges jis palaikė intymius santykius. Jis nepraleido nė vieno pasilinksminimo su Danilovu ir kitais linksmais Maskvos bičiuliais, gėrė visą naktį, visus pralenkdamas, dalyvavo visuose aukštuomenės vakaruose ir baliuose. Jie kalbėjosi apie keletą jo intrigų su Maskvos damomis, o per balius jis mandagavosi. Tačiau jis nepriartėjo prie merginų, ypač turtingų nuotakų, kurios dažniausiai buvo blogos, juolab kad Anatolė, kurios niekas, išskyrus artimiausius draugus, nepažino, buvo vedęs prieš dvejus metus. Prieš dvejus metus, kol jo pulkas buvo dislokuotas Lenkijoje, neturtingas lenkų dvarininkas privertė Anatolą vesti jo dukrą.
Anatole'as labai greitai paliko žmoną ir už pinigus, kuriuos sutiko pasiųsti uošviui, išsiderėjo sau teisę būti laikomas vienu.
Anatole visada buvo patenkintas savo padėtimi, savimi ir kitais. Jis visa savo esybe buvo instinktyviai įsitikinęs, kad negali gyventi kitaip, nei gyveno, ir niekada gyvenime nepadarė nieko blogo. Jis negalėjo pagalvoti, kaip jo veiksmai gali paveikti kitus, ar kas gali atsirasti dėl tokio ar tokio veiksmo. Jis buvo įsitikinęs, kad kaip antis buvo sukurta taip, kad ji visada turėtų gyventi vandenyje, taip jis buvo Dievo sukurtas taip, kad jis gyventų su trisdešimties tūkstančių pajamomis ir visada užimtų aukščiausią padėtį visuomenėje. . Jis tuo tikėjo taip tvirtai, kad, pažvelgę ​​į jį, kiti tuo įsitikino ir neatmetė jam nei aukštesnės padėties pasaulyje, nei pinigų, kuriuos jis akivaizdžiai negrąžindamas pasiskolino iš sutiktų ir sutiktų.
Jis nebuvo lošėjas, bent jau niekada nenorėjo laimėti. Jis nebuvo tuščias. Jam visiškai nerūpėjo, ką apie jį galvoja žmonės. Dar mažiau jis gali būti kaltas dėl ambicijų. Jis kelis kartus erzino tėvą, sugadindamas jo karjerą, juokėsi iš visų pagyrimų. Jis nebuvo šykštus ir neatsisakė nė vieno, kas jo klausė. Vienintelis dalykas, kurį jis mėgo, buvo linksmybės ir moterys, o kadangi, pagal jo sampratą, šiuose skoniuose nebuvo nieko menkaverčio ir jis negalėjo galvoti apie tai, kas išėjo patenkinus jo skonį kitiems žmonėms, todėl savo sieloje jis tikėjo, kad jis save laiko savimi. nepriekaištingas žmogus, nuoširdžiai niekino niekšus ir blogus žmones ir ramia sąžine nešė aukštai galvą.
Šlovintojai, šie vyrai Magdalenos, turi slaptą nekaltumo sąmonės jausmą, kaip ir moterys Magdalenos, pagrįstą ta pačia atleidimo viltimi. „Viskas jai bus atleista, nes ji labai mylėjo, ir viskas bus atleista jam, nes jam buvo labai smagu“.
Šiemet po tremties ir persiškų nuotykių Maskvoje vėl pasirodęs ir prabangų azartinį bei kupiną gyvenimą gyvenęs Dolokhovas suartėjo su senu Sankt Peterburgo bendražygiu Kuraginu ir panaudojo jį savo reikmėms.
Anatole nuoširdžiai mylėjo Dolokhovą už jo sumanumą ir drąsą. Dolokhovas, kuriam reikėjo Anatolijaus Kuragino vardo, kilnumo, ryšių, kad į savo lošimų visuomenę įviliotų turtingus jaunuolius, neleisdamas to pajusti, naudojosi ir linksminosi su Kuraginu. Be skaičiavimo, kuriam jam reikėjo Anatole, pats kažkieno valios valdymo procesas Dolokhovui buvo malonumas, įprotis ir poreikis.
Nataša padarė Kuraginui stiprų įspūdį. Vakarienės metu po teatro žinovo technika jis prieš Dolokhovą ištyrė jos rankų, pečių, kojų ir plaukų orumą ir paskelbė apie savo sprendimą trauktis paskui ją. Kas gali išeiti iš šių piršlybų – Anatole negalėjo apie tai galvoti ir žinoti, kaip niekada nežinojo, kas išeis iš kiekvieno jo poelgio.
„Gerai, broli, bet ne apie mus“, – jam pasakė Dolokhovas.
„Pasakysiu savo seseriai, kad pakviestų ją vakarienės“, – pasakė Anatole. - A?
- Geriau palauk, kol ji ištekės...
„Žinai“, – tarė Anatole, „j“adore les petites filles: [Dievinu merginas:] – dabar jis pasiklys.
„Tu jau pamėgai mažą mergaitę“, – sakė apie Anatolės santuoką žinojęs Dolokhovas. - Žiūrėk!
- Na, tu negali to padaryti du kartus! A? – geraširdiškai nusijuokdamas pasakė Anatole.

Kitą dieną po teatro Rostovai niekur nedingo ir niekas į juos neatėjo. Marya Dmitrievna, kažką slėpdama nuo Natašos, kalbėjosi su savo tėvu. Nataša spėjo, kad jie kalba apie senąjį princą ir kažką sugalvojo, ir tai ją erzino ir įžeidė. Ji kiekvieną minutę laukė princo Andrejaus ir du kartus tą dieną nusiuntė sargybinį į Vzdviženką, kad sužinotų, ar jis atvyko. Jis neatėjo. Dabar jai buvo sunkiau nei pirmosiomis atvykimo dienomis. Prie jos nekantrumo ir liūdesio dėl jo prisidėjo nemalonus prisiminimas apie susitikimą su princese Marya ir senuoju princu, baimė ir nerimas, kurių priežasties ji nežinojo. Jai atrodė, kad arba jis niekada neateis, arba jai kažkas atsitiks prieš jam atvykstant. Ji negalėjo, kaip ir anksčiau, ramiai ir nuolat, viena su savimi galvoti apie jį. Kai tik ji pradėjo galvoti apie jį, jo atminimas prisidėjo prie senojo princo, princesės Marijos ir paskutinio pasirodymo bei Kuragino prisiminimų. Ji vėl susimąstė, ar ji kalta, ar jau buvo pažeista jos ištikimybė princui Andrejui, ir vėl atsidūrė, kad iki smulkmenų prisimena kiekvieną žodį, kiekvieną gestą, kiekvieną išraiškos žaismą šio žmogaus, kuris žinojo. kaip sužadinti joje kažką jai nesuprantamo ir baisų jausmą. Šeimos akimis Nataša atrodė gyvesnė nei įprastai, tačiau ji toli gražu nebuvo tokia rami ir laiminga, kaip anksčiau.
Sekmadienio rytą Marya Dmitrievna pakvietė savo svečius į mišias savo Mogiltso Ėmimo į dangų parapijoje.
„Man nepatinka šios madingos bažnyčios“, – sakė ji, matyt, didžiuodamasi savo laisvu mąstymu. – Visur yra tik vienas Dievas. Mūsų kunigas nuostabus, padoriai tarnauja, toks kilnus, kaip ir diakonas. Ar dėl to taip šventa, kad žmonės chore dainuoja koncertus? Man tai nepatinka, tai tik savigarba!
Marya Dmitrievna mėgo sekmadienius ir mokėjo juos švęsti. Šeštadienį visi jos namai buvo išplauti ir išvalyti; žmonių, o ji nedirbo, visi buvo šventiškai pasipuošę ir visi dalyvavo mišiose. Į šeimininko vakarienę būdavo dedama maisto, o žmonėms duodavo degtinės ir keptos žąsies ar kiaulės. Tačiau niekur visame name šventė nebuvo labiau pastebima, kaip plačiame, griežtame Marijos Dmitrijevnos veide, kuris tą dieną įgavo nekintančią iškilmingumo išraišką.
Kai po mišių jie gėrė kavą svetainėje su nuimtais dangčiais, Marya Dmitrievna buvo informuota, kad vežimas paruoštas, o ji, rūsčiu žvilgsniu, apsirengusi iškilminga skara, su kuria lankėsi, atsistojo ir pranešė, kad ji ketino pas kunigaikštį Nikolajų Andreevičių Bolkonskį paaiškinti jam apie Natašą.
Maryai Dmitrievnai išėjus, pas Rostovus atvyko madam Chalmet milinininkė, o Nataša, užvėrusi duris šalia svetainės esančiame kambaryje, labai patenkinta pramogomis, pradėjo rengtis naujas sukneles. Kol ji dar be rankovių apsivilko grietinės liemenį ir lenkė galvą, žiūrėdama į veidrodį, kaip sėdi nugara, ji svetainėje išgirdo animacinius tėvo balso garsus ir kitą moterišką balsą, dėl kurio ji skaistalai. Tai buvo Helenos balsas. Natašai nespėjus nusivilkti bandomo liemenio, durys atsidarė ir į kambarį įėjo grafienė Bezukhaja, spindėjusi geraširdiška ir meilia šypsena, vilkėdama tamsiai violetinę aksominę suknelę aukštu kaklu.
- Ak, ponia delikatese! [O, mano žavingoji!] – tarė ji paraudusiai Natašai. - Charmante! [Žavinga!] Ne, tai nepanašu į nieką, mano brangusis grafe“, – sakė ji Iljai Andreichui, kuris atėjo paskui ją. – Kaip gyventi Maskvoje ir niekur nekeliauti? Ne, aš nepaliksiu tavęs vienos! Šį vakarą M lle Georges deklamuoja ir susirinks kai kurie žmonės; o jei neatsineši savo gražuolių, geresnių už ponią Džordžą, tai aš nenoriu tavęs pažinti. Mano vyro nebėra, išvažiavo į Tverą, kitaip būčiau jį siuntęs pas tave. Būtinai ateik, būtinai, devintą valandą. „Ji linktelėjo galvą pažįstamam meistrui, kuris ją pagarbiai atsisėdo, ir atsisėdo ant kėdės prie veidrodžio, vaizdingai išskleisdama aksominės suknelės klostes. Ji nenustojo maloniai ir linksmai šnekučiuotis, nuolat žavėdamasi Natašos grožiu. Ji apžiūrėjo savo sukneles, jas gyrė ir gyrėsi nauja savo suknele en gaz metalque [pagaminta iš metalo spalvos dujų], kurią gavo iš Paryžiaus ir patarė Natašai daryti tą patį.
„Tačiau viskas tau tinka, mieloji“, – pasakė ji.
Malonumo šypsena niekuomet nepaliko Natašos veido. Ji jautėsi laiminga ir klestėjo giriama šios brangios grafienės Bezukhovos, kuri anksčiau jai atrodė tokia neprieinama ir svarbi ponia, o dabar tokia maloni. Nataša jautėsi linksma ir beveik įsimylėjo šią gražią ir tokią geraširdę moterį. Helen savo ruožtu nuoširdžiai žavėjosi Nataša ir norėjo ją pralinksminti. Anatole paprašė jos pasodinti jį su Nataša, ir dėl to ji atvyko į Rostovus. Mintis įkurdinti brolį su Nataša ją pralinksmino.
Nepaisant to, kad anksčiau ji buvo susierzinusi ant Natašos, kad Sankt Peterburge iš jos atėmė Borisą, dabar ji apie tai negalvojo ir visa siela savaip linkėjo Natašai sėkmės. Palikusi Rostovus, ji atitraukė savo globotinį į šalį.
- Vakar mano brolis vakarieniavo su manimi - mes mirėme iš juoko - jis nieko nevalgė ir atsiduso už tave, mano brangioji. Il est fou, mais fou amoureux de vous, ma chere. [Jis eina iš proto, bet išprotėja iš meilės tau, mano brangioji.]
Nataša raudonai raudonai išgirdo šiuos žodžius.
- Kaip rausta, kaip rausta, ma delicieuse! [mano brangenybė!] - pasakė Helen. - Būtinai ateik. Si vous aimez quelqu"un, ma delicieuse, ce n"est pas une raison pour se cloitrer. Si meme vous etes pažad, je suis sure que votre promis aurait noras que vous alliez dans le monde en son nebuvimas plutot que de deperir d"ennui. [Tik todėl, kad mylite ką nors, mano brangioji, neturėtumėte gyventi kaip vienuolė. Net jei esate nuotaka, esu tikras, kad jūsų jaunikis mieliau išeitumėte į visuomenę jo nesant, nei mirtų iš nuobodulio.]
„Taigi ji žino, kad aš esu nuotaka, todėl ji ir jos vyras, su Pierre'u, su šiuo gražiu Pjeru“, – svarstė, kalbėjo ir juokėsi Nataša. Taigi tai nieko." Ir vėl, Helenos įtakoje, tai, kas anksčiau atrodė baisu, atrodė paprasta ir natūralu. „Ir ji yra tokia didinga moteris, [svarbi ponia], tokia miela ir akivaizdžiai myli mane visa širdimi“, – pagalvojo Nataša. O kodėl nepasilinksminus? – pagalvojo Nataša, nustebusiomis, plačiai atmerktomis akimis žiūrėdama į Heleną.
Marya Dmitrievna grįžo vakarienės, tyli ir rimta, akivaizdžiai nugalėta senojo princo. Ji vis dar buvo per daug susijaudinusi dėl susidūrimo, kad galėtų ramiai papasakoti istoriją. Į grafo klausimą ji atsakė, kad viskas gerai ir rytoj papasakos. Sužinojusi apie grafienės Bezukhovos vizitą ir kvietimą į vakarą, Marya Dmitrievna pasakė:
„Nemėgstu leisti laiką su Bezukhova ir to nerekomenduočiau; Na, jei pažadėjai, eik, būsi išsiblaškęs“, – pridūrė ji, atsisukusi į Natašą.

Grafas Ilja Andreichas nuvedė savo mergaites pas grafienę Bezukhova. Vakare buvo nemažai žmonių. Tačiau visa visuomenė Natašai buvo beveik nepažįstama. Grafas Ilja Andreichas su nepasitenkinimu pastebėjo, kad visą šią visuomenę daugiausia sudaro vyrai ir moterys, žinomi dėl gydymo laisvės. M lle Georges, apsuptas jaunų žmonių, stovėjo svetainės kampe. Buvo keli prancūzai, tarp jų ir Metivier, kuris nuo pat Helenos atvykimo buvo jos namų draugas. Grafas Ilja Andreichas nusprendė nežaisti kortomis, nepalikti savo dukterų ir išvykti, kai tik pasibaigs George'o pasirodymas.
Anatole akivaizdžiai laukė prie durų, kol įeis Rostovs. Jis iškart pasveikino grafą, priėjo prie Natašos ir nusekė paskui ją. Kai tik Nataša jį pamatė, kaip ir teatre, ją apėmė tuščio malonumo jausmas, kad jis jai patinka, ir baimė dėl to, kad tarp jos ir jo nėra moralinių barjerų. Helen džiaugsmingai priėmė Natašą ir garsiai žavėjosi jos grožiu ir suknele. Netrukus po jų atvykimo M lle Georges išėjo iš kambario apsirengti. Svetainėje jie pradėjo dėti kėdes ir atsisėsti. Anatole ištraukė Natašai kėdę ir norėjo atsisėsti šalia, bet grafas, nenuleidęs akių nuo Natašos, atsisėdo šalia. Anatole sėdėjo gale.
M lle Georges, plikomis, duobėtomis, storomis rankomis, užsidėjusi raudoną skarą ant vieno peties, išėjo į tuščią vietą tarp kėdžių ir sustojo nenatūralioje pozoje. Pasigirdo entuziastingas šnabždesys. M lle Georges griežtai ir niūriai pažvelgė į publiką ir pradėjo prancūziškai kalbėti keletą eilėraščių, kuriuose buvo kalbama apie jos nusikalstamą meilę sūnui. Vietomis ji pakėlė balsą, kitur šnibždėjo iškilmingai pakeldama galvą, kitur sustojo ir švokščia, vartydama akis.
- Žavinga, dieviška, delikė! [Puikus, dieviškas, nuostabus!] – pasigirdo iš visų pusių. Nataša pažvelgė į storą Georgesą, bet nieko negirdėjo, nematė ir nieko nesuprato, kas vyksta priešais ją; ji tik vėl visiškai negrįžtamai pasijuto tame keistame, beprotiškame pasaulyje, taip toli nuo ankstesnio, tame pasaulyje, kuriame nebuvo įmanoma žinoti, kas gera, kas bloga, kas protinga, o kas beprotiška. Anatole sėdėjo už jos, o ji, pajutusi jo artumą, su baime kažko laukė.
Po pirmojo monologo visa kompanija atsistojo ir apsupo m lle Georges, išreikšdama jai savo džiaugsmą.
- Kokia ji gera! - tarė Nataša savo tėvui, kuris kartu su kitais atsistojo ir per minią pajudėjo link aktorės.
„Aš nerandu, žiūrėdamas į tave“, - sakė Anatole, sekdama Natašą. Jis tai pasakė tuo metu, kai ji viena girdėjo jį. „Tu nuostabi... nuo to momento, kai pamačiau tave, nesustojau...“
- Nagi, eime, Nataša, - tarė grafas, grįžęs pasiimti dukters. - Kaip gerai!
Nataša, nieko nesakydama, priėjo prie tėvo ir pažvelgė į jį klausiamomis, nustebusiomis akimis.
Po kelių deklamavimo priėmimų M lle Georges išėjo, o grafienė Bezukhaya paprašė draugijos salėje.
Grafas norėjo išeiti, bet Helena maldavo jo nesugadinti jos ekspromto baliaus. Rostovai liko. Anatole pakvietė Natašą sugroti valsą ir valso metu, purtydamas jai juosmenį ir ranką, pasakė, kad ji yra žavinga ir kad jis ją myli. Ekologinės sesijos metu, kurią ji vėl šoko su Kuraginu, kai jie liko vieni, Anatole jai nieko nesakė ir tik žiūrėjo į ją. Nataša abejojo, ar sapne matė, ką jis jai pasakė per valsą. Pirmosios figūros pabaigoje jis vėl paspaudė jai ranką. Nataša pakėlė į jį išsigandusias akis, tačiau meiliame jo žvilgsnyje ir šypsenoje buvo tokia pasitikinčia savimi švelni išraiška, kad ji negalėjo pažvelgti į jį ir pasakyti, ką jam turi pasakyti. Ji nuleido akis.
„Nesakyk man tokių dalykų, aš esu susižadėjusi ir myliu ką nors kitą“, – greitai pasakė ji... „Ji pažiūrėjo į jį. Anatole dėl to, ką ji pasakė, nebuvo gėda ir ji nesupyko.
- Nesakyk man apie tai. Kas man rūpi? - pasakė jis. „Aš sakau, kad esu beprotiškai, beprotiškai tave įsimylėjęs“. Ar aš kaltas, kad tu nuostabi? Pradėkime.
Sujaudinta ir sunerimusi Nataša dairėsi aplink save išsiplėtusiomis, išsigandusiomis akimis ir atrodė linksmesnė nei įprastai. Ji beveik nieko neprisiminė iš to, kas įvyko tą vakarą. Jie šoko Ecossaise ir Gros Vater, tėvas pakvietė ją išeiti, ji paprašė pasilikti. Kad ir kur ji būtų, kad ir su kuo kalbėtų, ji pajuto į save jo žvilgsnį. Tada ji prisiminė, kad paprašė savo tėvo leidimo nueiti į persirengimo kambarį ištiesinti suknelę, kad Helen sekė paskui ją, juokdamasi pasakojo apie brolio meilę ir kad mažame sofos kambaryje vėl susitiko su Anatole, kad Helen kažkur dingo. , jie liko vieni ir Anatole, paėmusi jos ranką, švelniu balsu pasakė:
- Aš negaliu eiti pas tave, bet ar tikrai niekada tavęs nepamatysiu? Aš tave beprotiškai myliu. Tikrai niekada?...“ ir jis, užtvėręs jai kelią, priartino veidą prie jos.
Jo nuostabios, didelės, vyriškos akys buvo taip arti jos akių, kad ji nematė nieko, išskyrus šias akis.
- Natalija?! – klausiamai sušnibždėjo jo balsas, ir kažkas skausmingai suspaudė jos rankas.
- Natalija?!
„Aš nieko nesuprantu, neturiu ką pasakyti“, – pasakė jos žvilgsnis.
Karštos lūpos prispaudė jos lūpas ir tą pačią akimirką ji vėl pasijuto laisva, o kambaryje pasigirdo Helenos žingsnių ir suknelės triukšmas. Nataša atsigręžė į Heleną, tada raudona ir drebėjusi pažvelgė į jį su išsigandusiu klausimu ir nuėjo prie durų.
- Un mot, un seul, au nom de Dieu, [Dėl Dievo meilės, vienas žodis, - pasakė Anatole.
Ji sustojo. Jai labai reikėjo, kad jis pasakytų šį žodį, kuris jai paaiškintų, kas atsitiko ir į kurį ji jam atsakytų.
„Nathalie, un mot, un seul“, - kartojo jis, matyt, nežinodamas, ką pasakyti, ir kartojo tai tol, kol Helena priėjo prie jų.
Helena ir Nataša vėl išėjo į svetainę. Nelikę vakarienės, rostoviečiai išvyko.
Grįžusi namo Nataša nemiegojo visą naktį: ją kankino neišsprendžiamas klausimas, ką ji mylėjo – Anatolą ar princą Andrejų. Ji mylėjo princą Andrejų – aiškiai prisiminė, kaip jį mylėjo. Bet ji taip pat mylėjo Anatolą, tai buvo neabejotina. "Kitaip, kaip visa tai galėjo atsitikti?" ji pagalvojo. „Jei po to, atsisveikinusi su juo, galėjau atsakyti į jo šypseną šypsena, jei galėjau leisti, kad tai įvyktų, vadinasi, įsimylėjau jį nuo pirmos minutės. Tai reiškia, kad jis yra malonus, kilnus ir gražus, ir jo buvo neįmanoma nemylėti. Ką turėčiau daryti, kai myliu jį ir myliu kitą? – tarė ji sau, nerasdama atsakymų į šiuos baisius klausimus.

Rytas atėjo su savo rūpesčiais ir šurmuliu. Visi atsistojo, pajudėjo, pradėjo kalbėti, vėl atėjo malūnininkai, Marija Dmitrijevna vėl išėjo ir pakvietė arbatos. Nataša išsiplėtusiomis akimis, tarsi norėtų perimti kiekvieną į ją nukreiptą žvilgsnį, neramiai žvelgė į visus ir stengėsi atrodyti tokia pat, kokia buvo visada.
Po pusryčių Marija Dmitrijevna (tai buvo geriausias jos laikas), atsisėdusi ant kėdės, pasišaukė Natašą ir senąjį grafą.
„Na, mano draugai, dabar aš pagalvojau apie visą reikalą ir štai mano patarimas jums“, - pradėjo ji. – Vakar, kaip žinote, buvau su kunigaikščiu Nikolajumi; Na, aš su juo kalbėjausi... Jis nusprendė šaukti. Tu negali manęs šaukti! Aš jam viską dainavau!
- Kas jis toks? - paklausė grafas.
- Kas jis toks? beprotis... nenori girdėti; Na, ką aš galiu pasakyti, ir mes kankinome vargšę mergaitę“, – sakė Marya Dmitrievna. „Ir aš patariu jums: baigti reikalus ir grįžti namo į Otradnoję... ir laukti ten...
- O, ne! – sušuko Nataša.
„Ne, eime“, - pasakė Marya Dmitrievna. - Ir palauk ten. „Jei jaunikis ateis čia dabar, ginčų nebus, bet čia jis viską pasikalbės vienas su senoliu ir tada ateis pas tave“.
Ilja Andreichas patvirtino šį pasiūlymą, iškart suprasdamas jo pagrįstumą. Jei senis nusileis, tuo geriau bus vėliau atvykti pas jį į Maskvą ar Plikuosius kalnus; jei ne, tai tuoktis prieš jo valią bus galima tik Otradnojėje.
„Ir tikra tiesa“, - sakė jis. „Apgailestauju, kad nuėjau pas jį ir paėmiau ją“, – sakė senasis grafas.
- Ne, kam gailėtis? Pabuvus čia buvo neįmanoma neišsakyti pagarbos. Na, o jei jis nenori, tai jo reikalas“, – sakė Marya Dmitrievna, ko nors ieškodama savo tinklelyje. – Taip, ir kraitis paruoštas, ko dar reikia laukti? o kas neparuošta, atsiųsiu jums. Nors man tavęs gaila, geriau eiti su Dievu. „Radusi tinklelyje tai, ko ieškojo, ji įteikė Natašai. Tai buvo princesės Marijos laiškas. - Jis tau rašo. Kaip ji kenčia, vargše! Ji bijo, kad tu manysi, kad ji tavęs nemyli.
„Taip, ji manęs nemyli“, - sakė Nataša.
„Nesąmonė, nekalbėk“, - sušuko Marya Dmitrievna.
- Niekuo nepasitiksiu; „Žinau, kad jis manęs nemyli“, – drąsiai pasakė Nataša, paimdama laišką, o jos veidas išreiškė sausą ir piktą ryžtą, dėl kurio Marya Dmitrievna atidžiau pažvelgė į ją ir susiraukė.
„Neatsakyk taip, mama“, – pasakė ji. – Tai, ką sakau, yra tiesa. Parašykite savo atsakymą.
Nataša neatsakė ir nuėjo į savo kambarį perskaityti princesės Marijos laiško.
Princesė Marya rašė esanti neviltyje dėl tarp jų įvykusio nesusipratimo. Kad ir kokie būtų jos tėvo jausmai, princesė Marya rašė, ji prašė Natašos patikėti, kad negali nemylėti jos kaip brolio išrinktosios, dėl kurios laimės ji buvo pasirengusi paaukoti viską.
„Tačiau, – rašė ji, – nemanykite, kad mano tėvas buvo blogai nusiteikęs prieš jus. Jis ligonis ir senas žmogus, kurį reikia atleisti; bet jis yra malonus, dosnus ir mylės tą, kuris padarys jo sūnų laimingą“. Princesė Marya dar paprašė, kad Nataša nustatytų laiką, kada galės vėl ją pamatyti.
Perskaičiusi laišką, Nataša atsisėdo prie stalo ir rašo atsakymą: „Chere princesse“, [Brangioji princese], rašė greitai, mechaniškai ir sustojo. „Ką ji galėtų parašyti toliau po visko, kas nutiko vakar? Taip, taip, visa tai įvyko, o dabar viskas kitaip“, – svarstė ji, sėdėdama prie pradėto laiško. „Ar turėčiau jo atsisakyti? Ar tikrai reikia? Tai baisu!“... Ir kad negalvotų šios baisios mintys, ji nuėjo pas Soniją ir kartu pradėjo rūšiuoti raštus.
Po vakarienės Nataša nuėjo į savo kambarį ir vėl paėmė princesės Marijos laišką. – „Ar tikrai viskas baigta? ji pagalvojo. Ar tikrai visa tai įvyko taip greitai ir sunaikino viską, kas buvo anksčiau“! Ji visomis savo buvusiomis jėgomis prisiminė savo meilę princui Andrejui ir tuo pat metu jautė, kad myli Kuraginą. Ji ryškiai įsivaizdavo save kaip princo Andrejaus žmoną, įsivaizdavo tiek kartų savo vaizduotėje kartojamą laimės paveikslą su juo ir tuo pat metu, paraudusi iš jaudulio, įsivaizdavo visas vakarykščio susitikimo su Anatole detales.
„Kodėl negalėjo būti kartu? kartais, visiškame užtemime, pagalvojo ji. Tada tik aš būčiau visiškai laiminga, bet dabar turiu rinktis ir be abiejų negaliu būti laiminga. Viena, pagalvojo ji, vienodai neįmanoma nei pasakyti, kas buvo skirta princui Andrejui, nei nuslėpti. Ir tuo nieko nesugadinta. Bet ar tikrai įmanoma amžinai išsiskirti su šia princo Andrejaus meilės laime, kurią taip ilgai gyvenau?
„Jauna ponia“, – paslaptingu žvilgsniu šnabždėjo mergina, įėjusi į kambarį. – Vienas žmogus man liepė tai pasakyti. Mergina perdavė laišką. „Tik dėl Kristaus“, – vis dar kalbėjo mergina, kai Nataša negalvodama mechaniniu judesiu nulaužė antspaudą ir perskaitė Anatolio meilės laišką, iš kurio ji, nesuprasdama nė žodžio, suprato tik viena – kad šis laiškas yra iš. jį, nuo to vyro, kurį ji myli. „Taip, ji myli, kitaip kaip galėtų nutikti tai, kas nutiko? Ar jos rankoje gali būti jo meilės laiškas?

Jei sudarysime vienetinį apskritimą, kurio centras yra ištakoje, ir nustatome savavališką argumento reikšmę x 0 ir skaičiuoti nuo ašies Jautis kampe x 0, tada šis vienetinio apskritimo kampas atitinka tam tikrą tašką A(1 pav.) ir jo projekcija į ašį Oi bus taškas M. Skyriaus ilgis OM lygi absoliučiajai taško abscisių vertei A. Pateikta argumento vertė x 0 funkcijos reikšmė susieta y= cos x 0 kaip abscisių taškai A. Atitinkamai, taškas IN(x 0 ;adresu 0) priklauso funkcijos grafikui adresu= cos X(2 pav.). Jei taškas A yra ašies dešinėje Oi, Dabartinis sinusas bus teigiamas, bet jei į kairę – neigiamas. Bet šiaip, taškas A negali išeiti iš rato. Todėl kosinusas yra intervale nuo –1 iki 1:

–1 = cos x = 1.

Papildomas pasukimas bet kokiu kampu, kartotinis iš 2 p, grąžina tašką Aį tą pačią vietą. Todėl funkcija y = cos xp:

cos ( x+ 2p) = cos x.

Jei imsime dvi argumento reikšmes, lygias absoliučia verte, bet priešingas ženklu, x Ir - x, raskite atitinkamus apskritimo taškus A x Ir A -x. Kaip matyti pav. 3 jų projekcija į ašį Oi yra tas pats taškas M. Štai kodėl

cos (- x) = cos ( x),

tie. kosinusas yra lygi funkcija, f(–x) = f(x).

Tai reiškia, kad galime ištirti funkcijos savybes y= cos X segmente , ir tada atsižvelgti į jo paritetą ir periodiškumą.

At X= 0 taškų A guli ant ašies Oi, jo abscisė yra 1, todėl cos 0 = 1. Didėjant X taškas A juda aplink apskritimą aukštyn ir į kairę, jo projekcija, žinoma, yra tik į kairę, o x = p/2 kosinusas tampa lygus 0. Taškas Ašiuo metu jis pakyla iki didžiausio aukščio, o tada toliau juda į kairę, bet jau leidžiasi žemyn. Jo abscisė mažėja, kol pasiekia mažiausią reikšmę, lygią –1 at X= p. Taigi intervale funkcija adresu= cos X monotoniškai mažėja nuo 1 iki –1 (4, 5 pav.).

Iš kosinuso pariteto išplaukia, kad intervale [– p, 0] funkcija monotoniškai didėja nuo –1 iki 1, įgydama nulinę reikšmę x =–p/2. Jei vartojate keletą periodų, gausite banguotą kreivę (6 pav.).

Taigi funkcija y= cos x taškuose įgauna nulines reikšmes X= p/2 + kp, Kur k – bet koks sveikasis skaičius. Taškuose pasiekiami maksimumai, lygūs 1 X= 2kp, t.y. 2 žingsniais p, o minimumai lygūs –1 taškuose X= p + 2kp.

Funkcija y = sin x.

Vieneto apskritimo kampe x 0 atitinka tašką A(7 pav.), ir jo projekcija į ašį Oi bus taškas N.Z funkcijos reikšmė y 0 = nuodėmė x 0 apibrėžiamas kaip taško ordinatė A. Taškas IN(kampas x 0 ,adresu 0) priklauso funkcijos grafikui y= nuodėmė x(8 pav.). Aišku, kad funkcija y = nuodėmė x periodinis, jo laikotarpis yra 2 p:

nuodėmė ( x+ 2p) = nuodėmė ( x).

Dviejų argumentų verčių atveju X Ir -, atitinkamų taškų projekcijos A x Ir A -x vienai ašiai Oi išsidėstę simetriškai taško atžvilgiu APIE. Štai kodėl

nuodėmė (- x) = –nuodėmė ( x),

tie. sinusas yra nelyginė funkcija, f(– x) = –f( x) (9 pav.).

Jei taškas A pasukti taško atžvilgiu APIE kampu p/2 prieš laikrodžio rodyklę (kitaip tariant, jei kampas X padidinti p/2), tada jo ordinatė naujoje padėtyje bus lygi abscisei senojoje. O tai reiškia

nuodėmė ( x+ p/2) = cos x.

Kitu atveju sinusas yra kosinusas „pavėlavęs“. p/2, nes bet kuri kosinuso reikšmė bus „pakartota“ sinusuose, kai argumentas padidės p/2. O norint sukurti sinuso grafiką, pakanka kosinuso grafiką perkelti p/2 į dešinę (10 pav.). Itin svarbi sinuso savybė išreiškiama lygybe

Geometrinė lygybės reikšmė matoma iš Fig. 11. Čia X - tai pusė lanko AB, nuodėmė X - pusė atitinkamo akordo. Akivaizdu, kad taškams artėjant A Ir IN stygos ilgis vis labiau artėja prie lanko ilgio. Iš to paties skaičiaus nesunku išvesti nelygybę

|nuodėmė x| x|, tinka bet kuriam X.

Matematikai formulę (*) vadina nepaprasta riba. Iš to ypač išplaukia ta nuodėmė X» X prie mažų X.

Funkcijos adresu= tg x, y=ctg X. Kitos dvi trigonometrinės funkcijos, liestinė ir kotangentas, yra lengviausiai apibrėžiamos kaip mums jau žinomi sinuso ir kosinuso santykiai:

Kaip sinusas ir kosinusas, tangentas ir kotangentas yra periodinės funkcijos, tačiau jų periodai yra lygūs p, t.y. jie yra perpus mažesni už sinusą ir kosinusą. To priežastis aiški: jei sinusas ir kosinusas keičia ženklus, tai jų santykis nepasikeis.

Kadangi liestinės vardiklyje yra kosinusas, liestinė neapibrėžiama tuose taškuose, kur kosinusas yra 0 - kai X= p/2 +kp. Visuose kituose taškuose jis didėja monotoniškai. Tiesioginis X= p/2 + kp liestinės yra vertikalios asimptotės. Taškuose kp liestinė ir nuolydis yra atitinkamai 0 ir 1 (12 pav.).

Kotangentas neapibrėžiamas ten, kur sinusas yra 0 (kai x = kp). Kituose taškuose jis mažėja monotoniškai ir tiesiomis linijomis x = kp – jos vertikalios asimptotės. Taškuose x = p/2 +kp kotangentas tampa 0, o nuolydis šiuose taškuose yra –1 (13 pav.).

Paritetas ir periodiškumas.

Funkcija vadinama net jei f(–x) = f(x). Kosinuso ir sekantinės funkcijos yra lyginės, o sinuso, liestinės, kotangentinės ir kosekantinės funkcijos yra nelyginės:

Paritetinės savybės išplaukia iš taškų simetrijos P a ir R- a (14 pav.) ašies atžvilgiu X. Esant tokiai simetrijai, taško ordinatė keičia ženklą (( X;adresu) eina į ( X; –у)). Visos funkcijos – periodinės, sinusinės, kosinusinės, sekantinės ir kosekantinės – turi 2 periodą p, ir tangentas ir kotangentas - p:

Sinuso ir kosinuso periodiškumas išplaukia iš to, kad visi taškai P a+2 kp, Kur k= 0, ±1, ±2,…, sutampa, o liestinės ir kotangento periodiškumas atsiranda dėl to, kad taškai P a + kp pakaitomis patenka į du diametraliai priešingus apskritimo taškus, suteikdami tą patį tašką liestinės ašyje.

Pagrindinės trigonometrinių funkcijų savybės gali būti apibendrintos lentelėje:

Sumažinimo formulės.

Pagal šias formules argumento trigonometrinės funkcijos reikšmė a, kur p/2 a p , gali būti sumažintas iki argumento funkcijos a reikšmės, kur 0 a p /2, arba tas pats, arba ją papildantis.

Argumentas b	-a	+ a	p-a	p+ a	+ a	+ a	2p-a
nuodėmė b	cos a	cos a	nuodėmė a	– nuodėmė a	– nes a	– nes a	– nuodėmė a
cos b	nuodėmė a	– nuodėmė a	– nes a	– nes a	– nuodėmė a	nuodėmė a	cos a

Todėl trigonometrinių funkcijų lentelėse reikšmės pateikiamos tik smailiems kampams, ir pakanka apsiriboti, pavyzdžiui, sinusu ir liestine. Lentelėje pateikiamos tik dažniausiai naudojamos sinuso ir kosinuso formulės. Iš jų nesunku gauti liestinės ir kotangento formules. Liejant funkciją iš formos argumento kp/2 ± a, kur k– sveikasis skaičius, atitinkantis argumento a funkciją:

1) funkcijos pavadinimas išsaugomas, jei k net, ir pakeičia į "papildomą", jei k nelyginis;

2) dešinėje pusėje esantis ženklas sutampa su redukuojamosios funkcijos ženklu taške kp/2 ± a, jei kampas a smailusis.

Pavyzdžiui, liejant ctg (a – p/2) įsitikiname, kad a – p/2 ties 0 a p /2 yra ketvirtame kvadrante, kur kotangentas yra neigiamas, ir pagal 1 taisyklę pakeičiame funkcijos pavadinimą: ctg (a – p/2) = –tg a .

Sudėjimo formulės.

Kelių kampų formulės.

Šios formulės yra tiesiogiai išvestos iš pridėjimo formulių:

sin 2a = 2 sin a cos a ;

cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;

sin 3a = 3 sin a – 4 nuodėmė 3 a;

cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;

Spręsdamas kubinę lygtį, cos 3a formulę panaudojo François Viète. Jis pirmasis rado cos posakius n a ir nuodėmė n a, kurie vėliau buvo gauti paprastesniu būdu iš Moivre'o formulės.

Jei dvigubų argumentų formulėse pakeisite a į /2, jas galima konvertuoti į pusės kampo formules:

Universalios pakeitimo formulės.

Naudojant šias formules, išraiška, apimanti skirtingas to paties argumento trigonometrines funkcijas, gali būti perrašyta kaip racionali vienos funkcijos tg (a /2) išraiška. Tai gali būti naudinga sprendžiant kai kurias lygtis:

Sumų pavertimo produktais ir produktų sumomis formulės.

Prieš kompiuterių atsiradimą šios formulės buvo naudojamos skaičiavimams supaprastinti. Skaičiavimai atlikti naudojant logaritmines lenteles, o vėliau – skaidrės taisyklę, nes logaritmai geriausiai tinka skaičiams dauginti, todėl visos pradinės išraiškos buvo suvestos į patogią logaritmavimui formą, t.y. į darbus, pavyzdžiui:

2 nuodėmė a sin b = cos ( a–b) – cos ( a+b);

2cos a cos b=cos( a–b) + cos ( a+b);

2 nuodėmė a cos b= nuodėmė ( a–b) + nuodėmė ( a+b).

Lietinės ir kotangento funkcijų formules galima gauti iš aukščiau pateiktų dalykų.

Laipsnio mažinimo formulės.

Iš kelių argumentų formulių gaunamos šios formulės:

Naudojant šias formules, trigonometrines lygtis galima redukuoti į žemesnio laipsnio lygtis. Lygiai taip pat galime išvesti redukcijos formules didesniems sinuso ir kosinuso laipsniams.

Kiekviena trigonometrinė funkcija kiekviename jos apibrėžimo srities taške yra ištisinė ir be galo diferencijuojama. Be to, trigonometrinių funkcijų išvestinės yra trigonometrinės funkcijos, o integruojant gaunamos ir trigonometrinės funkcijos arba jų logaritmai. Integralai iš racionalių trigonometrinių funkcijų kombinacijų visada yra elementarios funkcijos.

Trigonometrinių funkcijų vaizdavimas laipsnių eilučių ir begalinių sandaugų pavidalu.

Visos trigonometrinės funkcijos gali būti išplėstos galios serijomis. Šiuo atveju funkcijos nusidėja x bcos x pateikiami eilėmis. konvergencija visoms vertybėms x:

Šios serijos gali būti naudojamos apytikslėms nuodėmės išraiškoms gauti x ir cos x esant mažoms vertėms x:

adresu | x| p/2;

esant 0 x| p

(B n – Bernulio skaičiai).

nuodėmės funkcijos x ir cos x gali būti pavaizduotas begalinių produktų pavidalu:

Trigonometrinė sistema 1, cos x, nuodėmė x, cos 2 x, nuodėmė 2 x,¼, cos nx, nuodėmė nx, ¼, sudaro segmentą [– p, p] stačiakampė funkcijų sistema, leidžianti vaizduoti funkcijas trigonometrinių eilučių pavidalu.

apibrėžiami kaip atitinkamų tikrojo argumento trigonometrinių funkcijų analitiniai tęsiniai į kompleksinę plokštumą. Taip, nuodėmė z ir cos z galima apibrėžti naudojant serijas nuodėmei x ir cos x, jei vietoj xįdėti z:

Šios serijos susilieja per visą plokštumą, taigi nuodėmė z ir cos z- visos funkcijos.

Tangentas ir kotangentas nustatomi pagal formules:

tg funkcijos z ir ctg z– meromorfinės funkcijos. tg poliai z ir sek z– paprastas (1 eilės) ir esantis taškuose z = p/2 + pn, poliai ctg z ir cosec z– taip pat paprastas ir išdėstytas taškuose z = p n, n = 0, ±1, ±2,…

Visos formulės, kurios galioja tikrojo argumento trigonometrinėms funkcijoms, galioja ir kompleksiniam. Visų pirma,

nuodėmė (- z) = –nuodėmė z,

cos (- z) = cos z,

tg(- z) = –tg z,

ctg (- z) = –ctg z,

tie. išsaugomas lyginis ir nelyginis paritetas. Taip pat išsaugomos formulės

nuodėmė ( z + 2p) = nuodėmė z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,

tie. periodiškumas taip pat išsaugomas, o periodai yra tokie patys kaip ir tikrojo argumento funkcijoms.

Trigonometrinės funkcijos gali būti išreikštos eksponentine grynai įsivaizduojamo argumento funkcija:

Atgal, e iz išreikštas cos z ir nuodėmė z pagal formulę:

e iz= cos z + i nuodėmė z

Šios formulės vadinamos Eulerio formulėmis. Leonhardas Euleris juos sukūrė 1743 m.

Trigonometrinės funkcijos taip pat gali būti išreikštos hiperbolinėmis funkcijomis:

z = –i sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.

kur sh, ch ir th yra hiperbolinis sinusas, kosinusas ir tangentas.

Sudėtingo argumento trigonometrinės funkcijos z = x + iy, Kur x Ir y– realieji skaičiai, gali būti išreikšti trigonometrinėmis ir hiperbolinėmis realių argumentų funkcijomis, pavyzdžiui:

nuodėmė ( x + iy) = nuodėmė x sk y + i cos x sh y;

cos ( x + iy) = cos x sk y + i nuodėmė x sh y.

Sudėtingo argumento sinusas ir kosinusas gali turėti realias reikšmes, didesnes nei 1 absoliučia verte. Pavyzdžiui:

Jei nežinomas kampas įveda į lygtį kaip trigonometrinių funkcijų argumentą, tada lygtis vadinama trigonometrine. Tokios lygtys yra tokios dažnos, kad jų metodai sprendimai yra labai detalūs ir kruopščiai sukurti. SU Naudojant įvairius metodus ir formules, trigonometrinės lygtys redukuojamos į formos lygtis f(x)= a, Kur f– bet kuri iš paprasčiausių trigonometrinių funkcijų: sinuso, kosinuso, tangento arba kotangento. Tada išsakykite argumentą xšią funkciją per žinomą vertę lygus keturioms ląstelėms. Gerai. Išmatuojame šoną

Kadangi trigonometrinės funkcijos yra periodinės, tai tas pats Dabar padalinkime kraštinės ilgį iš reikšmių diapazono yra be galo daug argumento reikšmių, o lygties sprendiniai negali būti parašyti kaip viena funkcija Dabar padalinkime kraštinės ilgį. Todėl kiekvienos iš pagrindinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimo srityje pasirenkama sekcija, kurioje ji paima visas savo reikšmes, kiekviena tik vieną kartą, o šioje dalyje randama jai atvirkštinė funkcija. Tokios funkcijos žymimos pridedant priešdėlį lankas (lankas) prie pradinės funkcijos pavadinimo ir vadinamos atvirkštine trigonometrine. funkcijos arba tiesiog lanko funkcijos.

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos.

Už nuodėmę X, cos X, tg X ir ctg X galima apibrėžti atvirkštines funkcijas. Jie atitinkamai žymimi arcsin X(skaitykite "arcsine" x“), arcos x, arctan x ir arcctg x. Pagal apibrėžimą arcsin X yra toks skaičius y, Ką

nuodėmė adresu = X.

Panašiai ir kitos atvirkštinės trigonometrinės funkcijos. Tačiau šis apibrėžimas turi tam tikrų netikslumų.

Jei atspindi nuodėmę X, cos X, tg X ir ctg X koordinačių plokštumos pirmojo ir trečiojo kvadrantų pusiausvyros atžvilgiu, tada funkcijos dėl savo periodiškumo tampa dviprasmiškos: tą patį sinusą (kosinusą, liestinę, kotangentą) atitinka begalinis kampų skaičius.

Norėdami atsikratyti dviprasmiškumo, kreivės atkarpa, kurios plotis p, šiuo atveju būtina, kad argumento ir funkcijos reikšmės atitiktų vienas su vienu. Parenkamos sritys, esančios šalia koordinačių pradžios. Dėl sine in Kaip intervalą „vienas su vienu“ imame segmentą [– p/2, p/2], kuriame sinusas monotoniškai didėja nuo –1 iki 1, kosinusui – atkarpa, tangentui ir kotangentui atitinkamai intervalai (– p/2, p/2) ir (0, p). Kiekviena intervalo kreivė atsispindi pusiausvyros atžvilgiu ir dabar galima nustatyti atvirkštines trigonometrines funkcijas. Pavyzdžiui, leiskite pateikti argumento reikšmę x 0, taip, kad 0 Ј x 0 Ј 1. Tada funkcijos reikšmė y 0 = arcsin x 0 bus tik viena prasmė adresu 0 , toks, kad - p/2 Ј adresu 0 Ј p/2 ir x 0 = nuodėmė y 0 .

Taigi arcsinusas yra arcsin funkcija Dabar padalinkime kraštinės ilgį, apibrėžtas intervale [–1, 1] ir kiekvienam lygus Dabar padalinkime kraštinės ilgį iki tokios vertės, – p/2 a p /2 kad sin a = lygus keturioms ląstelėms. Gerai. Išmatuojame šoną Labai patogu jį pavaizduoti naudojant vienetinį apskritimą (15 pav.). Kada | a| 1 apskritime yra du taškai su ordinatėmis a, simetriškas ašies atžvilgiu u. Vienas iš jų atitinka kampą a= arcsin Dabar padalinkime kraštinės ilgį, o kitas – kampelis p - a. SU atsižvelgiant į sinuso periodiškumą, sprendžiant lygtį sin x= Dabar padalinkime kraštinės ilgį parašyta taip:

x =(–1)n arcsin a + 2p n,

Kur n= 0, ±1, ±2,...

Taip pat galima išspręsti ir kitas paprastas trigonometrines lygtis:

cos x = a, –1 =a= 1;

x =±arcos a + 2p n,

Kur n= 0, ±1, ±2,... (16 pav.);

tg X = a;

x= arctan a + p n,

Kur n = 0, ±1, ±2,... (17 pav.);

ctg X= Dabar padalinkime kraštinės ilgį;

X= arcctg a + p n,

Kur n = 0, ±1, ±2,... (18 pav.).

Pagrindinės atvirkštinių trigonometrinių funkcijų savybės:

arcsin X(19 pav.): apibrėžimo sritis – segmentas [–1, 1]; diapazonas – [– p/2, p/2], monotoniškai didėjanti funkcija;

arccos X(20 pav.): apibrėžimo sritis – segmentas [–1, 1]; reikšmių diapazonas – ; monotoniškai mažėjanti funkcija;

arctg X(21 pav.): apibrėžimo sritis – visi realieji skaičiai; reikšmių diapazonas – intervalas (– p/2, p/2); monotoniškai didėjanti funkcija; tiesiai adresu= –p/2 ir y = p /2 – horizontalios asimptotės;

arcctg X(22 pav.): apibrėžimo sritis – visi realieji skaičiai; reikšmių diapazonas – intervalas (0, p); monotoniškai mažėjanti funkcija; tiesiai y= 0 ir y = p– horizontalios asimptotės.

Bet kam z = x + iy, Kur x Ir y yra realieji skaičiai, galioja nelygybės

½| e\e y–e-y| ≤|nuodėmė z|≤½( e y + e-y),

½| e y–e-y| ≤|kai z|≤½( e y + e -y),

iš kurių at y Toliau pateikiamos asimptotinės formulės (vienodai x)

|nuodėmė z| » 1/2 e |y| ,

|cos z| » 1/2 e |y| .

Trigonometrinės funkcijos pirmą kartą pasirodė susijusios su astronomijos ir geometrijos tyrimais. Trikampio ir apskritimo atkarpų santykiai, kurie iš esmės yra trigonometrinės funkcijos, aptinkami jau III a. pr. Kr e. Senovės Graikijos matematikų darbuose – Euklidas, Archimedas, Apolonijus Pergietis ir kiti, tačiau šie santykiai nebuvo savarankiškas tyrimo objektas, todėl trigonometrinių funkcijų kaip tokių jie netyrė. Iš pradžių jie buvo laikomi segmentais, o tokia forma juos naudojo Aristarchas (IV a. II a. pr. Kr.), Hiparchas (II a. pr. Kr.), Menelajas (I a. po Kr.) ir Ptolemėjas (II a. po Kr.). sferinių trikampių sprendimas. Ptolemėjus sudarė pirmąją smailių kampų stygų lentelę kas 30" 10 –6 tikslumu. Tai buvo pirmoji sinusų lentelė. Kaip santykis, funkcija sin a randama jau Aryabhatoje (V a. pabaiga). Funkcijos tg a ir ctg a randamos al- Battani (IX a. 2 pusė – 10 a. pradžia) ir Abul-Vefa (10 a.), kurie taip pat naudoja sec a ir cosec a Aryabhata jau žinojo formulę (sin 2 a + cos 2 a) = 1, taip pat pusės kampo sin ir cos formulės, kurių pagalba sukūriau sinusų lenteles kampams per 3°45"; remiantis žinomomis trigonometrinių funkcijų reikšmėmis paprasčiausiems argumentams. Bhaskara (XII a.) pateikė metodą, kaip sudaryti lenteles pagal 1, naudojant sudėjimo formules. Įvairių argumentų trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formules paversti sandauga išvedė Regiomontanus (XV a.) ir J. Napier, ryšium su pastarojo logaritmų išradimu (1614). Regiomontanas pateikė sinuso verčių lentelę 1". Trigonometrinių funkcijų išplėtimą į laipsnių eilutes gavo I. Niutonas (1669). Trigonometrinių funkcijų teoriją į šiuolaikinę formą perkėlė L. Euleris ( 18 amžiuje).

Trigonometrinės funkcijos atsirado Senovės Graikijoje, susijusios su astronomijos ir geometrijos tyrimais. Stačiakampio trikampio kraštinių santykiai, kurie iš esmės yra trigonometrinės funkcijos, aptinkami jau III a. pr. Kr e. Euklido, Archimedo, Apolonijaus Pergos ir kt. Šiuolaikinę trigonometrinių funkcijų ir apskritai trigonometrijos teorijos formą suteikė L. Euleris. Jam priklauso trigonometrinių funkcijų apibrėžimai ir šiandien priimta simbolika.

Trigonometrinės funkcijos (iš graikų kalbos žodžių trigonon - "trikampis" ir metreo - "matas") yra viena iš svarbiausių funkcijų klasių.

Norėdami apibrėžti trigonometrines funkcijas, apsvarstykite trigonometrinį apskritimą (apskritimą), kurio spindulys yra 1, o centras yra pradžioje (1 pav.). Jei φ yra kampas tarp spindulių OS ir OA, išreikštas radianais, 0 ≤ φ ≤ 2π (kampas matuojamas kryptimi nuo OS iki OA), tai taško A koordinatės vadinamos kampo kosinusu ir sinusu. φ, atitinkamai, ir yra žymimi kaip x = cos φ ir n = sinφ. Iš to aišku, kad |cos φ| ≤ 1, |sin φ| ≤ 1 ir cos 2 φ + sin 2 φ = 1.

Dėl aštrių kampų (0< φ < π/2) тригонометрические функции cos φ и sin φ можно рассматривать как отношения катета прямоугольного треугольника (прилежащего к углу и противолежащего углу соответственно) к гипотенузе (рис. 2), длина которой уже не обязательно равна единице. Исходя из этого определения, составим таблицу для значений тригонометрических функций некоторых углов; кроме того, ясно, что

cos 0 = sin π/2 = 1 ir cos π/2 = sin 0 = 0.

Norėdami sudaryti trigonometrinių funkcijų grafikus, kai 0 ≤ φ ≤ 2π, elgiamės taip. Trigonometrinį apskritimą padalinkime į 16 lygių dalių ir šalia pastatykime koordinačių sistemą, kaip parodyta pav. 3, kur 2π ilgio segmentas Oφ ašyje taip pat padalintas į 16 lygių dalių. Nubrėždami tiesias linijas, lygiagrečias Oφ ašiai per apskritimo dalijimo taškus, šių tiesių sankirtoje su statmenais, sudarytais iš atitinkamų atkarpos padalijimo Oφ ašyje taškų, gauname taškus, kurių koordinatės yra lygios atitinkami kampai (3 pav.); Atkreipkite dėmesį, kad galioja šios apytikslės lygybės:

sin π/8 ≈ 0,4, sin π/4 ≈ 0,7, sin 3π/8 ≈ 0,9.

Jei imtume, tarkim, ne 16, o 32, 64 ir t.t. taškų, tada funkcijos y = sin φ grafike galite sukonstruoti tiek taškų, kiek norite. Per juos nubrėžę lygią kreivę, gauname gana patenkinamą atkarpos funkcijos y = sin φ grafiką. Norėdami gauti funkciją y = sin φ, apibrėžtą visoje skaičių tiesėje, pirmiausia nustatykite ją visose formos atkarpose, n ≥ 1 - sveikasis skaičius, t.y. darant prielaidą, kad jo reikšmės taškuose φ, φ + 2π, φ + 4π, ... yra lygios (0 ≤ φ ≤ 2π), o tada neigiamam φ naudokite lygybę sin (-φ) = -sin φ . Visa tai padarę gauname grafiką, pavaizduotą fig. 4. Dėl to gauname periodinę (su periodais 2 πn, n-sveikasis skaičius ir n ≠ 0), nelyginę funkciją y = sin φ, kuri apibrėžiama visoms tikrosioms φ reikšmėms; jo diapazonas yra [-1, 1].

Apibrėždami funkciją y = cos φ (visiems φ), pirmiausia pažymime, kad cos φ = sin (π/2 - φ), kai 0 ≤ φ ≤ π/2, o tai tiesiogiai išplaukia iš trigonometrinių funkcijų sin φ apibrėžimo. ir cos φ. Kadangi funkciją y = sin φ mes jau apibrėžėme visiems φ, pagal apibrėžimą manysime, kad ši lygybė apibrėžia funkciją y = cos φ visiems φ. Iš šio apibrėžimo nesunku gauti funkcijos y = cos φ grafiką, kuris, be abejo, bus lygus ir periodiškas, nes jo grafikas gaunamas iš funkcijos y = sin φ grafiko lygiagrečiai perkeliant į kairę. atkarpoje, kurios ilgis π/2, kaip vienas visas funkcijos y = sin φ grafikas (5 pav.).

Paprasčiausia analizė (naudojant grafiką) rodo, kad be to, kas išdėstyta aukščiau, galioja ir šios vadinamosios redukcijos formulės:

sin (φ + nπ) = ± sin φ, cos (φ + nπ) = ± cos φ,

sin (φ + nπ/2) = ± cos φ, cos (φ + nπ/2) = ∓ sin φ,

Pirmosios eilutės formulėse n gali būti bet koks sveikasis skaičius, o viršutinis ženklas atitinka n = 2k, apatinis ženklas - reikšmę n = 2k + 1, o antrosios eilutės formulėse n gali būti tik nelyginis skaičius, o viršutinis ženklas imamas n = 4k + 1, o apatinis - n = 4k - 1, k yra sveikas skaičius.

Naudodami pagrindines trigonometrines funkcijas sin φ ir cos φ, galite nustatyti kitas trigonometrines funkcijas - liestinę ir kotangentą:

tan φ = sin φ / cos φ,

vaikiška lovelė φ = cos φ / sin φ;

šiuo atveju liestinė apibrėžiama tik toms φ reikšmėms, kurių cos φ ≠ 0, t.y., kai φ ≠ π/2 + nπ, n = 0, ±1, + 2, ... ir kotangentas funkcija – tokiam φ, kuriai sin φ ≠ 0, t.y. φ ≠ nπ, n = 0, ±1, ±2, .... Šios smailių kampų funkcijos taip pat gali būti pavaizduotos geometriškai nukreiptais tiesių atkarpomis (6 pav.):

tg φ = |AB|, vaikiška lovelė φ = |CD|.

Kaip sinusas ir kosinusas, smailių kampų liestinės ir kotangentinės funkcijos gali būti laikomos kojų santykiais: priešingos gretimoms liestinės ir gretimos priešingos kotangentui. Funkcijų y = tan φ ir y = ctg φ grafikai pavaizduoti pav. 7 ir 8; Kaip matote, šios funkcijos yra nelyginės, periodinės ir jų periodas yra nπ, n = +1, ±2, ....

Svarbiausios trigonometrinės formulės – sudėjimo formulės:

sin (φ 1 ± φ 2) = sin φ 1 cos φ 2 ± cos φ 1 sin φ 2,

cos (φ 1 ± φ 2) = cos φ 1 cos φ 2 ∓ sin φ 1 sin φ 2,

tg(φ 1 ± φ 2) = (tg φ 1 ± tg φ 2)/(1 ∓ tg φ 1 tan φ 2)

kairėje ir dešinėje formulių pusėse esantys ženklai yra nuoseklūs, t.y. Viršutinis simbolis kairėje atitinka viršutinį simbolį dešinėje. Visų pirma, iš jų gaunamos kelių argumentų formulės:

sin 2φ = 2 sin φ cos φ,

cos 2φ = cos 2 φ - sin 2 φ,

tg 2 φ = 2tg φ (1 - tg 2 φ).

Trigonometrinių funkcijų suma ir skirtumas gali būti pavaizduoti kaip trigonometrinių funkcijų sandauga (pirmoje ir ketvirtoje formulėse ženklai yra nuoseklūs):

sin φ 1 sin φ 2 = 2sin ((φ 1 ± φ 2)/2) cos ((φ 1 ∓ φ 2)/2),

cos φ 1 + cos φ 2 = 2cos ((φ 1 + φ 2)/2) cos ((φ 1 - φ 2)/2),

cos φ 1 – cos φ 2 = -2sin ((φ 1 + φ 2)/2) sin ((φ 1 – φ 2)/2),

tan φ 1 ± tan φ 2 = sin (φ 1 ± φ 2)/(cos φ 1 cos φ 2).

Trigonometrinių funkcijų sandauga išreiškiama suma taip:

sin φ 1 cos φ 2 = 1/2,

sin φ 1 sin φ 2 = 1/2,

cos φ 1 cos φ 2 = 1/2.

Trigonometrinių funkcijų išvestinės išreiškiamos trigonometrinėmis funkcijomis (čia ir toliau kintamąjį φ pakeisime x):

(sin x)" = cos x, (cos x)" = -sin x,

(tgx)" = 1 / cos 2 x, (ctgx)" = -1 / sin 2 x.

Integruodami trigonometrines funkcijas, gauname trigonometrines funkcijas arba jų logaritmus (0< х < π/2, С - абсолютная постоянная):

∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C,

∫tg xdx = -ln cos x + C, ∫ctg x dx = ln sin x + C.

Pagrindinės trigonometrinės funkcijos u = cos x ir v = sin x, kaip matėme, yra susijusios šiais ryšiais:

u" = -v, v" = u.

Antrą kartą diferencijuodami šias lygybes, gauname:

ir" = -v"= -u, v" = u"= -V.

Taigi kintamojo x funkcijos u ir v gali būti laikomos tos pačios (diferencialinės) lygties y" + y = 0 sprendiniais.

Ši lygtis, tiksliau jos apibendrinimas, turintis teigiamą konstantą k 2, y " + k 2 y = 0 (kurios sprendiniai visų pirma yra funkcijos cos kx ir sin kx), nuolat susiduriama tiriant virpesius. , ty tiriant mechanizmų, kurie atlieka arba sukuria svyruojančius judesius, konstrukcijas.

Funkcija cos x gali būti pavaizduota kaip begalinė serija 1 - x 2 /2! + x 4/4! - x 6 /6!.... Jei paimtume keletą pirmųjų šios serijos narių, gautume funkcijos cos x apytikslius daugianario duomenis. Fig. 9 paveiksle parodyta, kaip šių daugianarių grafikai vis geriau apytiksliai atitinka cosx funkciją, didėjant jų laipsniui.

Pavadinimas „sine“ kilęs iš lotyniško žodžio sinusas – „lenkimas“, „sinusas“ – tai arabiško žodžio „jiva“ („lanko styga“), kurį Indijos matematikai naudojo sinusui apibūdinti, vertimas. Lotyniškas žodis tangens reiškia „liestinė“ (žr. 6 pav.; AB – apskritimo liestinė). Pavadinimai „kosinusas“ ir „kotangentas“ yra terminų komplemento sinusas, komplemento tangenai („komplemento sinusas“, „komplemento liestinė“) santrumpos, išreiškiančios tai, kad cos φ ir ctg φ yra atitinkamai lygūs argumento, papildančio φ į π/2, sinusas ir tangentas: cos φ = sin (π/2 - φ), cot φ = tan(π/2 - φ).