Kiekvienas vienos iš jo pusių paviršius gali būti nukreiptas į stebėtoją ir tada ši pusė bus matoma. Priešingu atveju paviršiaus pusė iš stebėjimo taško nebus matoma. Gali atsitikti taip, kad bus matoma tik dalis paviršiaus pusės. Tokiu atveju ant paviršiaus galima nubrėžti liniją, skiriančią matomus ir nematomus paviršius. Eskizo linija – tai linija ant paviršiaus, skirianti matomą paviršiaus arba veido dalį nuo nematomos dalies.

Ryžiai. 9.5.1. Paviršiaus kontūrų linijų projekcijos

Ryžiai. 9.5.2. Daugiakampių ir eskizinių linijų tinklelio projekcijos

Fig. 9.5.1 pavaizduotos paviršiaus kontūro linijos. Fig. 9.5.2 pavaizduotos eskizo linijos kartu su paviršiaus tinkleliu.

Eidamas per eskizo liniją, paviršiaus normalioji kryptis keičiasi regėjimo linijos atžvilgiu. Eskizo linijos taškuose paviršiaus normalioji yra statmena matymo linijai. Paprastai paviršiuje gali būti kelios kontūro linijos. Kiekviena eskizo eilutė yra erdvinė kreivė. Jis yra uždaras arba baigiasi paviršiaus kraštais. Skirtingos žiūrėjimo kryptys turi savo kontūro linijų rinkinį, todėl sukant paviršių kontūro linijos turi būti statomos iš naujo.

Lygiagrečios projekcijos.

Kai kuriems paviršiams, pavyzdžiui, rutulys, cilindras, kūgis, kontūro linijos konstruojamos gana paprastai. Panagrinėkime bendrą paviršiaus kontūro linijų konstravimo atvejį.

Tegul reikia rasti paviršiaus kontūro linijas, aprašytas spindulio vektoriumi. Kiekvienas kontūro linijos taškas lygiagrečiai projekcijai į plokštumą (9.2.1) turi atitikti lygtį.

kur yra normalus paviršiui, kuriam nubrėžta eskizo linija. Spindulio vektoriumi aprašomo paviršiaus normalioji taip pat yra parametrų ir funkcija. Skaliarinėje lygtyje (9.5.1) yra du norimi parametrai u, v. Jei nustatote vieną iš parametrų, kitą galima rasti iš (9.5.1) lygties, t. y. vienas iš parametrų yra kito funkcija. Siekiant užtikrinti parametrų lygybę, jie gali būti pavaizduoti kaip kokio nors bendro parametro funkcijos

(9.5.1) lygties sprendimo rezultatas yra dvimatė tiesė

ant paviršiaus Ši linija yra paviršiaus kontūro linija.

Iš sutvarkytos taškų rinkinio, atitinkančio (9.5.1) lygtį, sudarysime eskizinę liniją. Taškais vadiname paviršiaus parametrų pora, kuri yra dvimačių taškų koordinatės parametrinėje plokštumoje. Turėdami atskirus eskizo linijos taškus, išdėstytus tokia tvarka, kokia jie seka, ir tam tikru atstumu vienas nuo kito, visada galite rasti bet kurį kitą linijos tašką. Pavyzdžiui, norėdami rasti tašką, esantį tarp dviejų pateiktų gretimų eskizinės linijos taškų, nubrėžiame plokštumą, statmeną atkarpai, jungiančiai gretimus taškus, ir randame bendrą paviršiaus ir plokštumos tašką, išspręsdami tris skaliarinės sankirtos lygtis kartu su lygtimi. (9.5.1). Plokštumos padėtis atkarpoje gali būti nurodyta linijos parametru. Remiantis kraštutiniais atkarpos taškais, nustatoma nulinė aproksimacija norimam taškui. Taigi atskirų dvimačių paviršiaus kontūro linijos taškų aibė yra tam tikra šios linijos nulinė aproksimacija, iš kurios visada galima rasti tikslią taško padėtį vienu iš skaitinių metodų. Paviršiaus kontūro linijų konstravimo algoritmą galima suskirstyti į du etapus.

Pirmajame etape kiekvienoje eskizo eilutėje rasime bent vieną tašką. Norėdami tai padaryti, eidami paviršiumi ir tyrinėdami skaliarinės sandaugos ženklą gretimuose taškuose, rasime paviršiaus taškų poras, kuriose ženklas keičiasi. Šių taškų parametrų vidutines vertes kaip nulinį aproksimaciją, eskizo linijos taško parametrus rasime naudodami vieną iš skaitinių metodų. Tegu, pavyzdžiui, judant iš taško į arti jo esantį tašką, ženklas pasikeičia. Tada, naudojant iteracinį Niutono metodo procesą

arba pasikartojantis procesas

Raskime vieno iš eskizinės linijos taškų parametrus. Išvestiniai normaliai nustatomi Weingarten formulėmis (1.7.26), (1.7.28). Tokiu būdu gauname kontūro linijų taškų rinkinį. Pirmajame etape gauti taškai iš aibės niekaip nesusiję vienas su kitu ir gali priklausyti skirtingoms eskizo eilutėms. Tik svarbu, kad iš kiekvienos eskizo eilutės rinkinyje būtų bent vienas taškas.

Antrame etape paimame bet kurį tašką iš esamos aibės ir tam tikru žingsniu judėdami nuo jo pirmiausia viena kryptimi, o paskui kita kryptimi, taškas po taško randame eskizo linijos norimą taškų rinkinį. Judėjimo kryptį nurodo vektorius

kur - paviršiaus spindulio vektoriaus parametrų atžvilgiu normaliosios - dalinės išvestinės .

Ženklas prieš terminą sutampa su skaliarinės sandaugos ženklu Judėjimo žingsnį apskaičiuojame pagal paviršių kreivumą esamame taške, naudodami formulę (9.4.7) arba formulę (9.4.8). Jeigu

tada naudodami formulę (9.4.7) duosime prieaugį parametrui u ir naudodami (9.5.4) formulę rasime atitinkamą paviršiaus parametrą v. Kitu atveju, naudodami formulę (9.4.8) duosime parametro prieaugį, o naudodami (9.5.5) formulę rasime atitinkamą parametrą ir paviršių. Judėjimą išilgai kreivės baigsime pasiekę vieno iš paviršių kraštą arba kai linija užsidarys (naujas taškas bus dabartinio žingsnio atstumu nuo pradžios taško).

Judėjimo metu patikrinsime, ar taškai iš rinkinio, gauto pirmame etape, yra šalia trasos. Norėdami tai padaryti, kelyje apskaičiuosime atstumą nuo dabartinio kontūro kreivės taško iki kiekvieno taško iš rinkinio, gauto pirmame etape. Jei apskaičiuotas atstumas iki bet kurio rinkinio taško yra proporcingas dabartiniam judėjimo žingsniui, tada šis taškas bus pašalintas iš rinkinio kaip nebereikalingas. Tokiu būdu gauname atskirų vienos eskizo linijos taškų rinkinį. Tokiu atveju pirmajame etape gautų taškų rinkinyje nebus nė vieno šios linijos taško. Jei rinkinyje dar liko taškų, tai šis paviršius turi dar bent vieną kontūro liniją.

Ryžiai. 9.5.3. Kūno kontūrų linijos

Ryžiai. 9.5.4. Revoliucijos kūnas

Jos taškų aibę rasime paėmę bet kurį tašką iš aibės ir pakartodami antrąjį konstravimo etapą. Linijas baigsime statyti, kai rinkinyje neliks nei vieno taško. Naudodami aprašytą metodą sukonstruosime visų modelio veidų kontūro linijas.

Veidų kontūrų linijos yra jų paviršių kontūrų linijos. Kūno kontūro linija bus matoma, jei jos neuždengs arčiau stebėjimo taško esantis veidas. Fig. 9.5.3 parodytas besisukančio korpuso kontūras, parodytas Fig. 9.5.4. Eskizo linijos projekcija gali turėti lūžių ir įdubimų, tačiau pati eskizo linija yra lygi.

Projekcijos lūžio taškai atsiranda ten, kur kontūro liestinė yra kolinerinė vektoriui

Eskizinės linijos projekcijai sukonstruoti sukonstruosime jos daugiakampį, kurio projekciją laikysime eskizinės linijos projekcija.

Centrinės projekcijos.

Eskizo linijos centrinėse projekcijose atitinka lygtį

(9.5.7)

kur - paviršiaus normalioji - stebėjimo taško spindulio vektorius. Centrinės projekcijos eskizo linija skiriasi nuo lygiagrečios projekcijos eskizo linijos, nors jų konstravimo algoritmai yra panašūs. Vietoj pastovaus vektoriaus (9.5.7) yra vektorius, kurio kryptis priklauso nuo projektuojamo taško. Centrinės projekcijos eskizo linija taip pat vaizduoja tam tikrą paviršiaus kreivę, aprašytą priklausomybėmis (9.5.3), ir yra erdvinė kreivė. Ši linija turi būti projektuojama į plokštumą pagal erdvinės linijos centrinės projekcijos konstravimo taisykles.

Fig. 9.5.5 parodyta lygiagreti toro kontūro linijų projekcija, o fig. Palyginimui, 9.5.6 pav. parodyta centrinė toro kontūrų projekcija. Kaip matote, šios prognozės skiriasi.

Ryžiai. 9.5.5. Lygiagreti toro kontūro linijų projekcija

Ryžiai. 9.5.6. Centrinė toro kontūro linijų projekcija

Spindulio vektoriumi aprašyto paviršiaus centrinės projekcijos eskizinių linijų konstravimo algoritmas skiriasi nuo lygiagrečios šio paviršiaus projekcijos eskizinių linijų konstravimo algoritmo tuo, kad pirmajame etape ieškosime paviršiaus taškų, kuriuose skaliarinė sandauga. keičia ženklą. Norint nustatyti šiuos taškus, vietoj (9.5.4) ir (9.5.5) formulių reikia naudoti formules

ir formules

atitinkamai. Priešingu atveju kontūro linijų konstravimo centrinei paviršiaus projekcijai algoritmas nesiskiria nuo lygiagrečios projekcijos kontūro linijų konstravimo algoritmo.

Rusijos Federacijos švietimo ministerija

Saratovo valstybinis technikos universitetas

PAVIRŠIAI

2 užduoties atlikimo gairės

specialybių studentams
1706, 1705, 1201, 2503, 2506

Patvirtinta

redakcinė ir leidybos taryba

Saratovo valstija

technikos universitetas

Saratovas 2003 m

ĮVADAS

Mechaninės inžinerijos praktikoje plačiai paplitusios detalės su cilindriniais, kūginiais, sferiniais, torais ir sraigtiniais paviršiais. Techninės gaminių formos dažnai yra sukimosi paviršių derinys su sutampančiomis, susikertančiomis ir susikertančiomis ašimis. Darant tokių gaminių brėžinius, tampa būtina pavaizduoti paviršių susikirtimo linijas, dar vadinamas pereinamomis linijomis.

Įprastas būdas sudaryti susikirtimo linijas yra rasti šios linijos taškus naudojant kai kurias pagalbines pjovimo plokštumas arba paviršius, kartais vadinamus „tarpininkais“.

Šiose gairėse aptariami bendrieji ir specialieji dviejų paviršių susikirtimo linijų konstravimo atvejai ir paviršiaus raidos konstravimo metodai.

1. PAGRINDINĖS NUOSTATOS.

Aprašomojoje geometrijoje paviršius laikomas erdvėje judančios linijos nuoseklių padėčių rinkiniu, vadinamu generatrix.

Jei viena iš paviršiaus linijų imama kaip orientyras q ir pagal tam tikrą dėsnį perkelkite generatrix palei ją l, gauname paviršių apibrėžiančių paviršių generatorių šeimą (1 pav.).

Norint nurodyti paviršių brėžinyje, buvo pristatyta paviršiaus determinanto sąvoka.

Determinantas yra sąlygų, būtinų ir pakankamų, kad paviršius būtų vienareikšmiškai apibrėžtas, rinkinys.

Determinantas susideda iš geometrinės dalies, kurioje yra geometrinių figūrų ir paviršiaus formavimosi dėsnio. Pavyzdžiui, figūros determinanto geometrinė dalis a(l,q) 1 pav. yra generatorius l ir vadovas q, kurio padėtis nurodyta brėžinyje. Švietimo įstatymas: Tiesioginis l, juda erdvėje, visada paliečia q, lieka lygiagrečiai krypčiai S. Šios sąlygos vienareikšmiškai apibrėžia cilindrinį paviršių. Bet kuriame erdvės taške galite išspręsti klausimą, ar jo paviršius priklauso (AÎ a, inÏ a).

Kūginio paviršiaus determinanto geometrinė dalis b(q,S) susideda iš vadovo q ir viršūnes S(2 pav.). Kūginio paviršiaus susidarymo dėsnis: generatrix tiesė l q, visada eina per viršūnę S, sudarydami ištisinį kūginio paviršiaus tiesių linijų rinkinį.

Paviršiai, gauti nuolat judant, vadinami kinematikais. Tokie paviršiai yra tikslūs ir taisyklingi, o ne netaisyklingi ar atsitiktiniai.

Paviršiai, susidarę judant tiesia linija, vadinami linijiniais, o paviršiai, suformuoti iš lenktos linijos, vadinami nevaldomais.

Pagal generatoriaus judėjimo dėsnį išskiriami paviršiai su generatricos transliaciniu judėjimu, su sukamu generatrix judėjimu - sukimosi paviršiai, su spiraliniu generatrix judėjimu - spiraliniai paviršiai.

Paviršius galima apibrėžti rėmeliu. Vielinis karkasas – tai paviršius, kurį apibrėžia tam tikras tokiam paviršiui priklausančių linijų skaičius (3 pav.).

Žinodami linijų susikirtimo taškų koordinates, galite sukurti rėmo paviršiaus brėžinį.

1.2. Sukimosi paviršiai.

Tarp lenktų paviršių plačiai paplitę sukimosi paviršiai. Apsisukimo paviršius yra paviršius, gaunamas sukant bet kurį generatorių aplink fiksuotą tiesią liniją - paviršiaus ašį.

Apsisukimo paviršius gali susidaryti sukant lenktą liniją (rutulys, toras, paraboloidas, elipsoidas, hiperboloidas ir kt.) ir sukant tiesią liniją (sukimosi cilindras, apsisukimo kūgis, vieno lakšto apsisukimo hiperboloidas). ).

Iš apsisukimo paviršiaus apibrėžimo išplaukia, kad determinanto geometrinė dalis a(aš,l) revoliucijos paviršiai a turi sudaryti iš sukimosi ašies i ir formavimas l. Paviršiaus susidarymo, sukimosi dėsnis l aplinkui aš leidžia sudaryti nuolatinį apsisukimo paviršiaus generatoriaus nuoseklių padėčių rinkinį.

Iš daugelio linijų, kurias galima nubrėžti ant sukimosi paviršių, paralelės (ekvatorius) ir dienovidiniai (pagrindinis dienovidinis) užima ypatingą vietą. Šių linijų naudojimas labai supaprastina padėties problemų sprendimą. Pažvelkime į šias eilutes.

Kiekvienas generatrix taškas l(4 pav.) aprašo aplink ašį i apskritimas, esantis sukimosi ašiai statmenoje plokštumoje. Šis apskritimas gali būti pavaizduotas kaip paviršiaus susikirtimo su tam tikra plokštuma linija (b), statmena sukimosi paviršiaus ašiai. Tokie apskritimai vadinami paralelėmis (P). Didžiausia iš paralelių vadinama pusiauju, mažiausia – gerkle.

Ryžiai. 5 pav. 6

Fig. 5-oji paralelė RA taškų A– ekvatorius, lygiagretė RV taškų R- gerklės paviršius.

Jei paviršiaus ašis i yra statmena projekcijos plokštumai, tada lygiagretė į šią plokštumą projektuojama apskritimu iki tikrosios vertės (P1A), o į projekcijos plokštumą, lygiagrečią ašiai – tiesią (P2A), lygus lygiagretės skersmeniui. Šiuo atveju padėties uždavinių sprendimas supaprastinamas. Sujungdami bet kurį paviršiaus tašką (pvz SU) su lygiagrete galite lengvai rasti lygiagretės projekcijų ir taško joje padėtį. Fig. 5 pagal projekciją C2 taškų SU, priklausantis paviršiui a, naudojant lygiagrečiai Rs rasta horizontali projekcija C1.

Plokštuma, einanti per sukimosi ašį, vadinama dienovidiniu. Fig. 4 yra lėktuvas g. Sukimosi paviršiaus susikirtimo su dienovidinio plokštuma linija vadinama paviršiaus dienovidiniu. Dienovidinis, esantis plokštumoje, lygiagrečioje projekcijų plokštumai, vadinamas pagrindiniu ( m0 pav. 4.5). Šioje padėtyje dienovidinis projektuojamas į plokštumą P2 be iškraipymų, bet toliau P1– tiesiai lygiagrečiai ašiai X12. Cilindrui ir kūgiui dienovidiniai yra tiesios linijos.

Pusiaujo P2(6 pav.) ir pagrindiniai meridianai (m) padalykite paviršių į matomas ir nematomas dalis.

Fig. 6 paviršiaus ekvatorius a gaunamas pjaunant paviršių plokštuma d(P=a∩d), o pagrindinis dienovidinis yra plokštuma g(m=a∩g).

1.3. Paviršiaus eskizas.

Duotąjį supantis išsikišęs paviršius kerta projekcijos plokštumą išilgai linijos, vadinamos paviršiaus projekcijos kontūru. Kitaip tariant, paviršiaus kontūras yra linija, skirianti figūros projekciją nuo likusios piešimo erdvės. Norint sukurti esė, būtina sukurti kraštutinių ribų kontūrų generatorius. Kontūrų generatoriai yra plokštumoje, lygiagrečioje projekcijos plokštumai.

Bet kuris revoliucijos paviršiaus dienovidinis gali būti laikomas jo generatoriumi. Rašinio konstrukcija bus supaprastinta, jei pagrindinį dienovidinį imsime kaip generatorių, nes pagrindinis dienovidinis yra plokščia kreivė (tiesi linija), lygiagreti projekcijos plokštumai ir projektuojama į ją be iškraipymų.

1 pavyzdys: cilindras a a(aš,l). Sukonstruoti paviršiaus eskizą (7 pav.).

Su šiuo ašių išdėstymu i horizontalus kontūras reiškia spindulio apskritimą R(R=i1l1). Pieškime per ašį i dienovidinė plokštuma b||P2. Norėdami sudaryti frontalinį kontūrą, randame horizontalias generatricų kontūrų projekcijas, kurios yra pagrindinio dienovidinio plokštumoje (l1',l1") o iš jų nustatome frontalines projekcijas l2' Ir l2".

Priekinė cilindro kontūrų pagrindinio dienovidinio projekcija l2' Ir l2". Stačiakampis yra priekinis paviršiaus kontūras.

2 pavyzdys. Kūgis a pateikta determinanto geometrine dalimi a(aš,l). Sukonstruoti paviršiaus eskizą (8 pav.).

https://pandia.ru/text/78/241/images/image008_8.gif" width="612" height="400">

Iš geometrinių figūrų padėties l, i pav. 9 aišku, kad pateiktas paviršius yra vieno lakšto apsisukimo hiperboloidas. Kiekvienas generatrix taškas (A, B, C ir tt ) kai sukasi aplink ašį i apibūdina apskritimą (lygiagrečią). At i ^ P1į lėktuvą P1 paralelės projektuojamos kaip apskritimai, kurių spindulys lygus tikrajai lygiagrečiojo spindulio vertei. Taškas SU ant generatrix l apibūdina mažiausią paralelę – gerklės paralelę. Tai yra trumpiausias atstumas tarp sukimosi ašies ir generatrix l. Norėdami rasti Rc nubrėžkite statmeną iš iĮ l1. i1C1=Rc– paviršiaus gerklės spindulys.

Horizontalioji hiperboloido projekcija susideda iš trijų koncentrinių apskritimų.

Priekinis paviršiaus kontūras turi turėti pagrindinio dienovidinio kontūrą.

Pieškime per ašį i pagrindinė dienovidinė plokštuma b ir sudaryti horizontalias taškų paralelių projekcijas A, B, C. Lygiagretės susikerta su plokštuma b taškuose A′, B′, C′, priklausančiuose pagrindiniam paviršiaus dienovidiniam. Ištisinė šių lygiagrečių rinkinys sudaro paviršiaus rėmą ir susikirtimo su plokštuma taškus b– pagrindinis dienovidinis m0 paviršiai. Pagrindinis dienovidinis gali būti sudarytas kaip lygiagrečių susikirtimo su plokštuma taškų kontūras b. Paveikslėlyje parodyta taško konstrukcija SU Ir D.

4 pavyzdys. Nubraižykite pasvirusio cilindro eskizą a(l,m). Cilindro generatorius l, judant išilgai kreiptuvo m, lieka lygiagreti sau. Paviršiaus kontūras parodytas fig. 10. Bet kuris cilindro paviršiaus taškas nustatomas per jį nubrėžus generatricą („sujungiant“ tašką su generatoriumi). Fig. 10a pagal priekinę taško projekciją A2, priklausantis paviršiui, randama jo horizontali projekcija A1.

1.4. Linijiniai paviršiai su lygiagretumo plokštuma.

Linijiniai paviršiai su lygiagretumo plokštuma suformuojami perkeliant tiesinę generatrix išilgai dviejų kreiptuvų. Šiuo atveju generatrix visose savo padėtyse išlaiko lygiagretumą tam tikrai duotai plokštumai, vadinamai lygiagretumo plokštuma.

Geometrinė determinanto dalis a(m,n,b) toks paviršius a yra du kreiptuvai ir lygiagretumo plokštuma. Priklausomai nuo kreiptuvų formos, šie paviršiai skirstomi į: cilindrinius – abu kreipiamųjų kreivių; kūgiai – vienas kreiptuvas tiesus, kitas lenktas; įstriža plokštuma – abu kreiptuvai tiesūs.

Pavyzdys: pastatykite paviršiaus rėmą a(m,n,b)(10b pav.).

Šiuo atveju lygiagretumo plokštuma laikoma horizontali projekcijų plokštuma. Linijos generavimas, kreivės pjovimas m ir tiesioginis n, bet kurioje padėtyje lieka lygiagreti plokštumai P1.

Kiekviena plokštuma, lygiagreti lygiagretumo plokštumai, kerta šiuos paviršius tiesia linija. Vadinasi, jei norite sukurti bet kokį paviršiaus generatorių, turite nupjauti paviršių plokštuma (pvz. b), lygiagrečiai lygiagretumo plokštumai, raskite paviršiaus kreipiamųjų linijų susikirtimo taškus su šia plokštuma (b∩n = 1;b∩m = 2; ryžių. 10b) ir nubrėžkite tiesią liniją per šiuos taškus.

Norėdami sukurti konoidą Fig. 10b, galite išsiversti be pagalbinių pjovimo plokštumų, nes priekinės generatrų projekcijos turi būti lygiagrečios ašiai X12. Rėmo linijų tankis priekinėje projekcijoje nustatomas savavališkai. Konstruojame horizontalias nurodytų generatorių projekcijas išilgai ryšio linijos, naudodamiesi priklausymo savybe.

Jei reikia rasti taško projekciją A, pateikta projekcija A2, būtina plokštuma nupjauti paviršių g, einantis per tašką A ir lygiagrečiai lygiagretumo plokštumai (10b pav.). g//P1), raskite generatorių kaip plokštumos susikirtimo liniją g su paviršiumi a(a∩g = 3, 4), naudodamiesi priekine projekcija 32, 42, raskite horizontalias 31, 41 ir nustatykite ant jos A1.

1.5. Linijos ir paviršiaus susitikimo taško konstravimas.

Raskite kreivės susitikimo tašką l su paviršiumi a (P,S).

Sprendimas 1. Uždarykite kreivę l(11 pav.) į pagalbinį projekcinį paviršių b^P1. Projekcija b1 sutampa su projekcija l1. 2. Sankryžos tiesimas A paviršiai α su paviršiumi b', (αÇ b=e). Horizontali šios linijos projekcija a1žinoma, tai sutampa su b1. Horizontali projekcija a1 sukurti priekinę projekciją a2(1 pav. Nustatykite norimą tašką kreivės sankirtoje l su paviršiumi a.. K=lÇ a yra susitikimo vieta l Ir a. Iš vienos pusės l Ir A priklauso b Ir lÇ a=k. Kita vertus AÌ a, vadinasi ĮÌ α , tai yra Į yra susitikimo vietos l su paviršiumi α .

https://pandia.ru/text/78/241/images/image011_6.gif" width="607" height="242">

1.6. Paviršių susikirtimo linijos konstravimas.

Sprendžiant vieno paviršiaus susikirtimo linijos su kitu konstravimo problemą, naudojamas atkarpų metodas – pagrindinis padėties uždavinių sprendimo būdas. Šiuo atveju duoti paviršiai išskaidomi pagalbinėmis plokštumomis arba lenktais paviršiais (pavyzdžiui, rutuliais).

Pagalbiniai pjovimo paviršiai kartais vadinami „tarpininkais“.

1.5.1. Bendras atvejis.

Bendruoju atveju, norėdami išspręsti dviejų paviršių susikirtimo linijos nustatymo problemą, viename iš paviršių galite nurodyti generatorių šeimą (12 pav.), rasti šių generatorių susitikimo tašką su antruoju paviršiumi naudodami uždavinio sprendimo algoritmas pav. 11, tada atsekite susitikimo taškus.

Naudodami šį metodą dviejų lenktų paviršių susikirtimo linijoms sudaryti, galime naudoti pagalbines plokštumas arba lenktus paviršius kaip sekančiuosius „tarpininkus“.

Esant galimybei, reikėtų rinktis tokius pagalbinius paviršius, kurie, susikirsdami su duotais, duotų lengvai konstruojamas linijas (tiesias linijas arba apskritimus).

1.5.2. Apsisukimo paviršių ašys sutampa
(koaksialiniai paviršiai).

Fig. 13 paviršių a Ir b nurodyta bendra ašimi i ir pagrindiniai meridianai m0m0'.

Pagrindiniai meridianai susikerta taške A(B). Taškas A(B) dienovidinių sankirta, kai sukasi aplink ašį, apibūdins lygiagretę R, kuri priklausys abiem paviršiams, todėl bus jų pertraukos linija.

Taigi du bendraašiai sukimosi paviršiai susikerta išilgai lygiagrečių, kurios apibūdina jų dienovidinių susikirtimo taškus. Fig. 13 paviršiaus ašių yra lygiagrečios P2. Projekcijos plokštumoje, kuriai lygiagrečios paviršių ašys, susikirtimo linija P2 projektuojama tiesė, kurios padėtį lemia pagrindinių meridianų susikirtimo taškai A Ir IN.

1.5.3. Pjovimo plokštumos metodas.

Tuo atveju, kai sukimosi paviršių ašys yra lygiagrečios, paprasčiausios konstrukcijos gaunamos naudojant tarpines pjovimo plokštumas. Šiuo atveju pagalbinės pjovimo plokštumos parenkamos taip, kad jos kirstų abu paviršius išilgai apskritimų.

Fig. 14 pateikiami dviejų sukimosi paviršių projekcijos eskizai α Ir b, jų ašys i Ir j lygiagrečiai. Šiuo atveju pjovimo plokštumų, statmenų paviršių ašims, naudojimas suteikia paprastą problemos sprendimą. Gautos paviršių susikirtimo linijos bus lygiagrečios, kurių priekinės projekcijos yra tiesės, lygios lygiagretės skersmeniui, o horizontalios – viso dydžio apskritimai.

Kurdami susikirtimo linijų taškus, pirmiausia turite rasti atskaitos ir charakteristikos taškus. Atskaitos taškai yra tie, kurie yra ant pagrindinio dienovidinio (3) ir pusiaujo (4, 5). Šių taškų radimas nėra susijęs su papildomomis konstrukcijomis ir yra pagrįstas narystės savybių naudojimu.

Nurodyta pav. 14 paviršių turi bendrą pagrindinio dienovidinio plokštumą, jų ašys ^ P1, pagrindai guli plokštumoje P1. Sankirtos linijos atskaitos taškai yra pagrindinių meridianų susikirtimo taškai 3 ir paviršių pagrindų lygiagrečių susikirtimo taškai 4 ir 5. Naudodami narystės savybes, naudodami žinomas 32, 41 ir 51 projekcijas, randame 31, 42 ir 52.

Likusius susikirtimo taškus randame naudodami pagalbines pjovimo plokštumas. Pjaukime paviršius α Ir b horizontali plokštuma g. Nes g^ ašys i Ir j, tada paviršiai α Ir b susikerta plokštuma g, pagal paraleles Ra Ir Rb. O nuo kirvių i Ir j^P1, tada šios paralelės projektuojamos P1 apskritimai Ra, Rb iki tikrosios vertės ir į P2 tiesiai P2a, P2b lygus lygiagretės skersmeniui.

1 ir 2 lygiagrečių susikirtimo taškai yra pageidaujami. Iš tiesų, vienoje paralelės pusėje Ra Ir Rb priklauso tai pačiai plokštumai g ir susikerta taškuose 2 ir 1. Kita vertus, Ra Ir Rb priklauso skirtingiems paviršiams α Ir b. Todėl taškai 2 ir 1 vienu metu priklauso paviršiams A Ir b, tai yra, jie yra paviršių susikirtimo linijos taškai. Šių taškų 21 ir 11 horizontalios projekcijos yra sankirtoje P1a, P1b, o priekinius statome naudodami narystės nuosavybę.

Kartodami šią techniką, gauname reikiamą taškų skaičių. Pjovimo plokštumos pasiskirsto tolygiai intervale nuo kreivės 32 didžiausio pakilimo taško iki pagrindinės figūros.

Sankirtos linijos taškų skaičius, taigi ir pjovimo plokštumos, nustatomas pagal reikiamą grafinių konstrukcijų tikslumą. Sankirtos linijos projekcijos sudaromos kaip jos taškų projekcijų kontūrai. Fig. 14 eilutės 4, 1, 3, 2, 5 taškuose.

Nagrinėjamas uždavinių sprendimo pavyzdys vadinamas plokštumų pjovimo metodu.

1.5.4. Sferų metodas.

Ši technika naudojama, kai susikerta sukimosi paviršių ašys. Jis pagrįstas tuo, kas aptarta Fig. 13 bendraašių paviršių susikirtimo atvejis.

Fig. 15 pavaizduotas kūgis ir cilindras su susikertančiomis ašimis i Ir j. Jų ašys lygiagrečios plokštumai P2. Pagrindinio dienovidinio plokštuma yra bendra abiem paviršiams.

). Konstrukcija supaprastinta dėl to, kad pagrindinio dienovidinio plokštuma yra bendra. Apskritimai, išilgai kurių rutulys vienu metu kerta du paviršius ( Ra, Rb Pb"), projektuojamas į plokštumą P2 tiesių linijų pavidalu ( P2a, P2b, P2b") lygus lygiagrečių skersmenims.

Šių apskritimų sankirta sukuria taškus (5, 6, 7, 8), (52, 62, 72, 82), kurie yra bendri abiem paviršiams ir todėl priklauso susikirtimo linijai. Tikrai paralelės Ra, Rb, Pb", viena vertus, priklauso vienam paviršiui - sferai ir turi bendrus taškus (5, 6, 7, 8), kita vertus, jie priklauso skirtingiems paviršiams A Ir b. Tai yra, taškai 5, 6, 7, 8 priklauso abiem paviršiams arba paviršių susikirtimo linijai.

Norint gauti pakankamai taškų norimai sankirtos linijai nubrėžti, nubrėžiamos kelios sferos.

Didžiausios sferos spindulys ( Rmax) yra lygus atstumui nuo centro O2 iki tolimiausio kontūro generatorių susikirtimo taško (šiuo atveju 32 ir 42 taškai, Rmax = 0232=0242. Šiuo atveju abi paviršių susikirtimo linijos su sfera ( Ra Ir Rb) 3 ir 4 taškuose susikirs vienas su kitu didesniu rutulio spinduliu sankirtos nebus.

Mažiausios sferos spindulys ( Rmin) yra lygus atstumui nuo centro 02 į tolimiausią kontūrų generatorių ( Rmin = 02A2). Tokiu atveju rutulys palies kūgį išilgai perimetro, o cilindras susikirs du kartus ir duos taškus 5, 6, 7, 8. Esant mažesniam rutulio spinduliui, susikirtimo su kūgiu nebus.

Dabar belieka nubrėžti lenktas paviršių susikirtimo linijas per taškus 1, 5, 4, 6, 1 ir 2, 7, 3, 8, 2.

Fig. 15 visos konstrukcijos padarytos vienoje projekcijoje. Sekantinių sferų skaičius, kurių spindulys svyruoja nuo Rmaxį Rmin, priklauso nuo reikalaujamo konstrukcijos tikslumo. Horizontali sankirtos linijos projekcija sukonstruota išilgai priekinių linijų 1, 5, 4, 6, 1 ir 2, 7, 3, 8, 2, naudojant narystės savybę.

1.5.5. Pjovimo plokštumos metodo taikymas
valdomų paviršių su lygiagretumo plokštuma atvejais.

Du paviršiai nurodomi determinanto geometrine dalimi: a (l,i) Ir b(m,n, P1). Būtina sukonstruoti paviršių kontūrus ir rasti jų susikirtimo liniją (16 pav.).

Sprendimas: 1. Sukonstruokite paviršiaus eskizą a, n determinanto geometrinės dalies aišku, kad paviršius a- sfera. Jo horizontalūs ir priekiniai kontūrai yra spindulio apskritimai R. 2. Pastatome linijinio paviršiaus karkasą. Kadangi plokštuma lygiagreti P1, tada generatrijų priekinės projekcijos yra lygiagrečios ašiai X12. Frontalinėje projekcijoje apibrėžę tam tikros linijų plokštumos kadrą (16 pav. yra keturios linijos), sukonstruojame šių generatorių horizontalias projekcijas. 3. Paviršių susikirtimo linijai sukonstruoti kaip tarpininkus naudojame pjovimo plokštumas. Pjovimo plokštumų padėtis turi būti parinkta tokia, kad jos kirstų nurodytus paviršius išilgai linijų, kurias lengva konstruoti (tiesios linijos arba apskritimai). Šią sąlygą tenkina horizontalios plokštumos. Horizontalios plokštumos lygiagrečios konoido lygiagretumo plokštumai ( P1), todėl jie kirs konoidą tiesiomis linijomis. Tokios plokštumos kerta sferą išilgai lygiagrečių.

,A" sfera išilgai lygiagretės Ra. Priekinė lygiagretės projekcija ( P2a) yra tiesi linija, lygi lygiagretės skersmeniui, o horizontalioji projekcija ( P1a) – apskritimas. Horizontalioje projekcijoje lygiagretės sankirtoje P1a o generatrix 1, 11" nustatoma pagal dviejų paviršiaus susikirtimo linijos taškų projekciją A Ir b. Remiantis horizontaliomis taškų projekcijomis A1 Ir B1 konstruojame jų priekines projekcijas. Kartodami operaciją gauname sankirtos linijos taškų seką, kurios kontūras duos susikirtimo liniją.

Pusiaujas ir pagrindinis sferos dienovidinis skiria liniją į matomas ir nematomas dalis.

1.6.Plėtinių statyba.

Paviršiaus raida yra figūra, gaunama sujungiant plėtojamą paviršių su plokštuma.

Išvystomi paviršiai yra tie, kurie lygiuojasi su plokštuma be pertraukų ar raukšlių.

Išvystomi paviršiai apima briaunuotus paviršius, o išlenktus – tik cilindrinius, kūginius ir liemeninius.

Vystymai skirstomi į tiksliuosius (briaunuotų paviršių išvystymas), apytikslius (cilindro, kūgio, liemens išvystymas) ir sąlyginius (rutulio ir kitų nevystytų paviršių išvystymas).

1.6.1. Briaunuotų paviršių kūrimas.

Atlikite piramidės plėtrą, nurodytą projekcijomis 17 pav.

https://pandia.ru/text/78/241/images/image017_5.gif" width="588" height="370">

Valcavimo būdas taikytinas, jei prizmės briaunos lygiagrečios projekcijos plokštumai ir žinomas tikrasis vieno iš pagrindų kraštų dydis (18 pav.).

Figūros išvyniojimas reiškia prizmės paviršių sujungimo su plokštuma procesą, kurio metu tikroji kiekvieno paviršiaus išvaizda gaunama sukant aplink jos kraštą.

Riedant taškai A, B, C juda apskritimo lankais, kurie P2 plokštumoje vaizduojami kaip tiesios linijos, statmenos prizmės briaunų projekcijoms. Vystymo viršūnės konstruojamos taip: iš taško A2, kurio spindulys R1=A1B1 (tikrasis ilgis AB), tiesėje B2B0, statmenoje B2B2¢, darome įpjovą. Iš sukonstruoto taško B0, kurio spindulys R2=B1C1, tiesėje C2C0^C2C2¢ daromas įpjova. Tada įpjova nuo taško C0 spinduliu R3=A1C1 tiesėje A2A0^A2A2¢. Gauname tašką A0. Taškai A2B0C0A0 sujungti tiesiomis linijomis. Iš taškų A0B0C0 brėžiame linijas, lygiagrečias kraštams (A2 A2¢), nubrėždami ant jų tikrąsias šoninių kraštų A2A¢, B2B¢, C2C¢ vertes. Sujungiame taškus A¢B¢C¢A¢ tiesių atkarpomis.

1.6.2. Lenktų paviršių kūrimas.

Teoriškai galima gauti tikslią raidą, tai yra plėtrą, kuri tiksliai pakartoja vystomo paviršiaus matmenis. Praktikoje, darydami brėžinius, turite taikstytis su apytiksliu problemos sprendimu, jei manote, kad atskiri paviršiaus elementai yra aproksimuojami plokštumos pjūviais. Tokiomis sąlygomis apytikslis cilindro ir kūgio vystymas sumažinamas iki juose įrašytų (arba aprašytų) prizmių ir piramidžių vystymo konstravimo.

19 paveiksle parodytas kūgio šlavimo pavyzdys.

Į kūgį įkomponuojame daugiakampę piramidę. Iš taško S nubrėžiame lanką, kurio spindulys lygus tikrajai kūgio generatricos reikšmei (S212), ir ant lanko nubrėžiame stygas 1121; 2, pakeičiant lankus 1121;2

Norint rasti bet kurį raidos tašką, reikia nubrėžti generatorių per nurodytą tašką (A), rasti šios generatoriaus vietą plėtinyje (2B=21B1), nustatyti tikrąją atkarpos SA arba AB reikšmę ir nubraižyti. tai generatrix apie plėtrą. Bet kuri paviršiaus linija susideda iš ištisinės taškų rinkinio. Suradę reikiamą taškų skaičių nuskaitymo metu, naudodami taškui A aprašytą metodą, ir atsekę šiuos taškus, gausime nuskaitymo liniją. Statant pasvirusių cilindrinių paviršių konstrukcijas, taikomi normalaus profilio ir valcavimo metodai.

Bet koks nevystomas paviršius taip pat gali būti aproksimuojamas daugiakampiu paviršiumi bet kokiu nurodytu tikslumu. Tačiau tokio paviršiaus plėtra nebus ištisinė plokščia figūra, nes šie paviršiai neišsivysto be lūžių ir raukšlių.

1.6.3. Tangentinės plokštumos konstravimas
į paviršių tam tikrame taške.

Norint sukurti paviršiaus liestinės plokštumą tam tikrame taške (taškas A 20 pav.), paviršiuje per tašką A reikia nubrėžti dvi savavališkas kreives a ir b, tada taške A nubrėžti dvi liestinės t ir t¢ į kreives a ir b. Liestinės nulems liestinės plokštumos a padėtį paviršiui b.

21 pav. sukonstruotas sukimosi paviršius a. Taške A, priklausančiame a, reikia nubrėžti liestinės plokštumą.

Kad išspręstume uždavinį, nubrėžiame lygiagretę a per tašką A ir sudarome jos liestinę t taške A (t1;t2).

Paimkime dienovidinį kaip antrąją kreivę, einančią per tašką A. Jis nepavaizduotas 21 pav. Sprendimas bus supaprastintas, jei dienovidinį kartu su tašku A suksime aplink ašį tol, kol sutaps su pagrindiniu dienovidiniu. Šiuo atveju taškas A užims A¢ padėtį. Tada per tašką A¢ nubrėžkite pagrindinio dienovidinio liestinę t¢¢, kol ji susikerta su ašimi taške B. Grąžinę dienovidinį į ankstesnę padėtį, nubrėžkite šio dienovidinio liestinę t¢ per tašką A ir fiksuotą tašką B. sukimosi ašis (t1¢;t2¢). Liestinės t ir t¢ apibrėžia liestinės plokštumą.

Brėžiant linijinio paviršiaus liestinės plokštumą, vieną iš liestinės plokštumą apibrėžiančių liestinių galima paimti kaip paviršiaus generatorių t (22 pav.). Kaip antrąją, galite paimti lygiagretės liestinę t¢ (jei tai yra cilindras arba kūgis) arba bet kurios kreivės, nubrėžtos per tam tikrą kūgio, cilindro ar įstrižos plokštumos tašką, liestinę. Kreivę galima nesunkiai sukonstruoti pjaunant paviršių su išsikišančia plokštuma, einančia per tam tikrą tašką.

2.1. Darbo tikslas:

Sustiprinti programos medžiagą skyriuose „Paviršius“ ir „Raidos“ ir įgyti įgūdžių sprendžiant eskizų, susikirtimo linijų ir paviršių raidų konstravimo uždavinius.

2.2. Pratimas:

Brėžinyje yra du susikertantys paviršiai. Paviršiai apibrėžiami determinanto geometrinės dalies suderintomis projekcijomis.

Būtina:

Naudodami determinanto geometrinės dalies koordinates, nubrėžkite determinanto projekcijas brėžinyje, sujunkite reikiamus taškus, kad gautumėte determinanto geometrines figūras;

Remiantis determinanto geometrinės dalies projekcijomis, konstruoti pateiktų paviršių eskizus;

Sukonstruoti paviršių susikirtimo liniją;

Sukonstruoti vieno iš paviršių plėtrą nubrėžiant sankirtos liniją (pagal mokytojo nurodymą);

Mokytojo nurodytame taške nubrėžkite liestinės plokštumą vienam iš paviršių;

Padarykite susikertančių paviršių išdėstymą.

Darbas pirmiausia atliekamas ant A2 milimetrinio popieriaus, po to ant A2 vatmano popieriaus. Brėžinys turi būti sudarytas pagal GOST ESKD. Pagrindinis užrašas padarytas pagal 1 formą.

Atliekant darbą naudojamos paskaitos, praktinė medžiaga, rekomenduojama literatūra.

Užduočių parinktys pateiktos priede.

2.3. Užduoties tvarka.

Studentas gauna užduoties versiją, atitinkančią grupės žurnalo sąrašo numerį, ir keturias savaites dirba su užduotimi.

Praėjus savaitei nuo užduoties gavimo, mokinys pateikia mokytojui geometrinės dalies determinantų konstrukcijas ir pateiktų paviršių kontūrus, užpildytas milimetriniu popieriumi A2 formatu.

Po dviejų savaičių pateikiamas brėžinys, papildytas paviršių susikirtimo linijos ir liestinės plokštumos konstrukcija.

Trečią savaitę baigiamas darbas su A4 formato popieriumi, sukonstruojant vieno iš paviršių raidą ir ant jo nubrėžiant paviršių susikirtimo liniją.

Ketvirtą savaitę baigiamas susikertančių paviršių išdėstymas.

Atliktini darbai pristatomi praktinę pamoką vedančiam mokytojui. Remiantis baigta konstrukcija ant milimetrinio popieriaus, patikrinama, ar studentas įsisavina studijuojamą medžiagą.

Sprendžiant pozicinę paviršių susikirtimo linijos konstravimo problemą, naudojamas pjūvio metodas. Pjovimo plokštumos arba sferos pasirenkamos kaip „tarpininkai“. Reikėtų atkreipti dėmesį į aukščiau aptartus ypatingus atvejus (plokštumų pjovimo būdas ir rutulių metodas), kurie pateikia paprasčiausią problemos sprendimą. Jei reikia, naudokite šių metodų derinį.

Atliekant paviršiaus plėtrą, būtina išstudijuoti konstrukcijas, atliktas normaliojo pjūvio metodu ir valcavimo metodu, taip pat apytikslių ir sąlyginių raidų konstravimo metodus ir darbe naudoti racionaliausią metodą.

Nubrėžiant paviršiaus liestinės plokštumą tam tikrame taške, per tašką einančiame paviršiuje pakanka nubrėžti dvi kreives linijas ir tam tikrame taške nubrėžti šių linijų liestinės, nepamirštant, kad projektuojama plokščios kreivės liestinė. pagal jo projekcijos liestinę.

LITERATŪRA.

1. Vinitsky geometrija. M.: Aukštoji mokykla, 1975 m.

2. Gordono geometrija. M.: Nauka, 1975 m.

3. Paviršiai. Metodiniai nurodymai. /Sudaryta, / Saratovas, SSTU, 1990 m.

UŽDUOTIES PASIRINKIMAI

Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai

Paviršių kaip inžinerinių tyrimų objektą galima nurodyti šiais pagrindiniais būdais: a) lygtis; b) rėmas; c) nustatyti geliu; d) esė.

Analitinė geometrija susijusi su paviršiaus lygčių sudarymu; paviršius laiko aibę taškų, kurių koordinatės atitinka F (x, y, z) = 0 formos lygtį.

Aprašomojoje geometrijoje paviršius brėžinyje nurodomas rėmeliu, determinantu, kontūru.

Taikant vielinio rėmo metodą, paviršius apibrėžiamas tam tikro skaičiaus linijų, priklausančių paviršiui, rinkiniu. Paprastai rėmą sudarančios linijos yra linijų šeima, atsirandanti susikirtus paviršiui su daugybe lygiagrečių plokštumų. Šis metodas naudojamas projektuojant automobilių kėbulus, orlaivių ir laivų statyboje, topografijoje ir kt.

Erdvėje judančios linijos suformuotą paviršių brėžinyje galima nurodyti paviršiaus determinantu.

Paviršiaus determinantas yra geometrinių figūrų ir jungčių tarp jų rinkinys. leidžianti vienareikšmiškai suformuoti paviršių erdvėje ir apibrėžti jį brėžinyje.

Paviršiaus formavimo paviršiuje judančia linija būdas vadinamas kinematinis.

Linija, kuri, judant erdvėje, sudaro tam tikrą paviršių, vadinama generatrix (generuojančia).

Judėjimo metu generatrix gali pakeisti savo formą arba išlikti nepakitusi. Generatoriaus judėjimo dėsnį visų pirma galima apibrėžti fiksuotomis linijomis, ant kurių judėjimo metu generatrix remiasi. Šios linijos vadinamos kreiptuvais.

Brėžinyje, nurodant paviršių jo determinantu, konstruojamos kreipiamųjų linijų projekcijos ir nurodoma, kaip išsidėsčiusios generatrix linijos projekcijos. Sukūrę keletą generatrix linijos pozicijų, gauname paviršiaus rėmą. Paviršiaus formavimo, naudojant kinematinį metodą, pavyzdys parodytas fig. 96.

Plokštumos kreivė laikoma šio paviršiaus generatoriumi. Generatoriaus judėjimo dėsnį pateikia du kreiptuvai m ir n ir lėktuvas A. Formuojantis A slysta išilgai kreiptuvų, visą laiką likdamas lygiagrečiai plokštumai a.

Yra geometrinės ir algoritminės paviršiaus determinanto dalys. Determinantas turi tokią žymą: F(G) [A], Kur F- paviršiaus žymėjimas; (G)- determinanto geometrinė dalis, joje išvardijamos visos geometrinės figūros, dalyvaujančios formuojant paviršių ir jo priskyrimą brėžinyje; [A] yra determinanto algoritminė dalis – joje parašytas paviršiaus formavimo algoritmas.

Paviršiaus determinantas nustatomas išanalizavus paviršiaus formavimo būdus arba pagrindines jo savybes. Apskritai tas pats paviršius gali būti formuojamas keliais būdais, todėl gali turėti keletą determinantų. Dažniausiai iš visų paviršiaus formavimo būdų pasirenkamas paprasčiausias. Pavyzdžiui, dešiniojo apskrito cilindro šoninis paviršius gali būti formuojamas keturiais būdais (97 pav.):

a) kaip eilutės erdvėje paliktas pėdsakas A kai jis sukasi aplink ašį m(97 pav., a).

Paviršiaus determinantas - Ф (а,m) [A 1 ]:

b) kaip lenktos linijos paliktas pėdsakas erdvėje b kai jis sukasi aplink ašį m(97.6 pav.).

Paviršiaus determinantas - Ф (b,m) [A 2];

c) kaip apskritimo paliktas pėdsakas erdvėje Su kai jo centras pasislenka į priekį APIE išilgai ašies m. šiuo atveju apskritimo plokštuma visą laiką išlieka statmena šiai ašiai (97 pav., c).

Paviršiaus determinantas - Ф (а,m) [A 3 ]:

d) kaip visų sferinio paviršiaus padėčių gaubtas r pastovus spindulys, kurio centras juda išilgai ašies m(97 pav., d).

Paviršiaus determinantas - Ф (p,m) [A 4].

Paprasčiausias iš svarstytų yra determinantas Ф (а,m) [A 1 ].

Paviršiaus nurodymas brėžinyje su rėmeliu ar determinantu ne visada užtikrina jo vaizdo aiškumą. Kai kuriais atvejais tikslingiau paviršių apibrėžti kaip kontūrą.

Paviršiaus kontūras yra išsikišusio cilindrinio paviršiaus, apgaubiančio tam tikrą paviršių, projekcija.

Naudojant žinomą paviršiaus lygtį arba jos determinantą, arba kontūrą, visada galima sukonstruoti paviršiaus skeletą.

Paviršių įvairovė reikalauja jų sisteminimo. Kinematikos metodu suformuotų paviršių sisteminimas grindžiamas jų determinantu.

Priklausomai nuo generatoriaus tipo, paviršiai skirstomi į dvi klases:

1 klasė - nereguliuoti paviršiai (generatorius - lenkta linija);

2 klasė - linijiniai paviršiai (generatorius - tiesi linija).

Nereguliuoti paviršiai

Nevaldomi paviršiai skirstomi į paviršius su kintamo tipo generatoriumi (judant keičiasi forma) ir paviršius su pastovaus tipo generatoriumi.

Nereguliuoti paviršiai su kintamu generatrix

Netiesiniai paviršiai su kintamo tipo generatoriumi apima:

1. Bendras paviršius . Toks paviršius formuojamas perkeliant kintamo tipo generatorių a išilgai kreivio kreiptuvo t (98 pav.).

2. Kanalo paviršius . Šis paviršius susidaro judant plokščiai uždarai linijai, kurios plokštuma tam tikru būdu orientuota erdvėje (99 pav.).

Plotas, kurį riboja generatrix, keičiasi monotoniškai, kai jis juda išilgai kreiptuvo. Pavyzdžiui, kanalo paviršius turi pereinamąją sekciją, jungiančią du skirtingų formų vamzdynus.

3. Ciklinis paviršius - specialus kanalo paviršiaus atvejis, kai generatorius yra apskritimas, kurio spindulys keičiasi monotoniškai (100 pav.).

Ciklinio paviršiaus pavyzdys būtų pučiamojo muzikos instrumento korpusas.

Nereguliuoti paviršiai su pastovia generatrix

Netiesiniai paviršiai su pastovia generatoriumi apima:

1.Bendras paviršius . Toks paviršius gali būti suformuotas judant savavališkai lenktai linijai A kartu su vadovu m(101 pav.).

2. Vamzdinis paviršius . Vamzdžio paviršiaus generatorius yra pastovaus spindulio apskritimas. Apskritimo plokštuma jo judėjimo metu išlieka statmena kreiptuvui (102 pav.).

Vamzdinio paviršiaus pavyzdys būtų apskritos vielos paviršius.

Tvarkingi paviršiai

Linijiniai paviršiai susidaro judant tiesia linija (generatoriumi) pagal duotą dėsnį. Priklausomai nuo generatricos judėjimo dėsnio, gauname įvairius valdomus paviršius.

Linijiniai paviršiai su trimis kreiptuvais

Linijiniai paviršiai su trimis kreiptuvais apima:

1. Įstrižo cilindro paviršius . Tokį paviršių galima suformuoti tiesiajai generatrix judant išilgai trijų lenktų kreiptuvų (103 pav.).

2. Paviršius dvigubai pasviręs cilindrinis . Šis paviršius susidaro, kai dvi kreipiamosios kreivės ir trečioji yra tiesi linija (104 pav.).

3. Dvigubai pasvirusio kūgio paviršius Pasirodo, kai vienas iš kreiptuvų yra išlenktas, o kiti du yra tiesios linijos (105 pav.).

4.Vieno lapo hiperboloido paviršius susidaro, kai kreiptuvai yra trys susikertančios tiesės, lygiagrečios vienai plokštumai. Pavyzdys. Raskite trūkstamas taškų projekcijas A" Ir IN" priklausantys vienalapio hiperboloido paviršiui (106 pav.).

P e r e n t Trūkstamai taško projekcijai nustatyti naudojame ženklą, kad jis priklauso paviršiui: taškas priklauso paviršiui; jei jis priklauso kuriai nors šio paviršiaus linijai.

Tam tikram valdomam paviršiui, konstruojant generatrix projekcijas, pirmiausia nurodoma jo horizontali projekcija, o tada randama frontalioji. Todėl per žinomą horizontalią taško projekciją A" atliekame generatrix projekciją a" 2, nustatome jo priekinę projekciją 2", ant kurios išilgai ryšio linijos randame norimą frontalinę taško projekciją A".

Nustatyti trūkstamą horizontalią taško projekciją IN" Atlikime tokias konstrukcijas:

1. Sukonstruoti tam tikro paviršiaus generatorių seriją 1, 2, 3, 4.

2. Frontalinėje projekcijų plokštumoje per žinomą taško projekciją IN" nubrėžkime pagalbinės linijos projekciją b" priklausantys tam tikram paviršiui ir kertantys generatorius.

3. Remiantis žinomomis tiesės projekcijos susikirtimo taškų frontalinėmis projekcijomis b" su generatoriais 1", 2", 3", 4" Raskime šių taškų horizontaliąsias projekcijas. Sujungę juos lygia linija, sukonstruosime horizontalią pagalbinės linijos projekciją b" ant kurio išilgai ryšio linijos randame norimą taško projekciją IN".

Valdomi paviršiai su trimis kreiptuvais apima, pavyzdžiui, laivų sraigtų ir orlaivių sraigtų paviršius. Architektūroje ir statyboje jie naudojami statant dengtus stadionų, turgų ir traukinių stočių pastatus.

Linijiniai paviršiai su dviem kreiptuvais ir lygiagretumo plokštuma (katalonų paviršiai)

Linijiniai paviršiai su dviem lygiagrečiais plokštumos kreiptuvais apima:

1. Tiesus cilindro paviršius . Toks paviršius gali būti suformuotas judant tiesiam generatoriui išilgai dviejų kreiptuvų m Ir n tuo atveju, kai tai lygios lenktos linijos, o viena iš jų yra plokščia kreivė, kurios plokštuma β statmena lygiagretumo plokštumai a (n ⊂ β, β ⊥ a)(107 pav.).

2. Tiesaus konoido paviršius . Šis paviršius gaunamas, kai vienas kreiptuvas yra išlenkta linija, o antrasis yra tiesi linija, ir jis yra statmenas lygiagretumo plokštumai

a (n ⊥ a)(108 pav.). Tiesiojo konoido paviršius naudojamas hidrotechnikoje tiltų atramų atramų paviršiui formuoti.

3. . Toks paviršius susidaro dviem kreiptuvams kertant tiesias linijas (109 pav.). Įstrižinės plokštumos paviršius inžinerinėje ir statybos praktikoje naudojamas šlaitų, pylimų, geležinkelių ir greitkelių, pylimų, hidrotechnikos konstrukcijų paviršiams formuoti sankryžose su skirtingais pasvirimo kampais.

Linijiniai paviršiai su vienu kreiptuvu (torsi)

Liemuo yra išvystomi paviršiai – juos galima derinti su plokštuma be raukšlių ar plyšimų. Liemens paviršiai apima:

1. Grįžtamasis šonkaulio paviršius . Šis paviršius susidaro judant tiesiajai generatrix, visose jo padėtyse, liečiančiose erdvinę kreivę, vadinamą smaigaliu.

2. Cilindrinis paviršius . Šis paviršius susidaro judant tiesiajai generatrix, slystančia išlenktu kreiptuvu ir išliekant lygiagrečiai pradinei būsenai (110 pav.).

3. Kūginis paviršius . Šis paviršius susidaro judant tiesiam generatoriui, slystančiam išlenktu kreiptuvu ir visose padėtyse einantis per tą patį fiksuotą tašką. S(111 pav.).

Revoliucijos paviršiai

Apsisukimo paviršius yra paviršius, gaunamas sukant bet kurią generuojančią liniją aplink fiksuotą tiesią liniją - paviršiaus sukimosi ašį.

Sukimosi ašiai statmenos plokštumos kerta paviršių išilgai apskritimų – lygiagrečių. Mažiausia lygiagretė vadinama gerkle, didžiausia – pusiauju.

Pa pav. 112 rodo revoliucijos paviršių. Čia generatorius yra plokščia kreivė ABCD, sukimosi ašis i esantis toje pačioje plokštumoje kaip ir ši kreivė.

Linijos, išilgai kurių plokštumos, einančios per sukimosi ašį, kerta paviršių, vadinamos meridianais. Kiekvienas dienovidinis yra padalintas į dvi linijas, simetriškas sukimosi ašiai, vadinamas pusmeridianais. Dienovidinis, esantis plokštumoje, lygiagrečioje frontalinei projekcijų plokštumai, vadinamas pagrindiniu dienovidiniu.

Pagrindinės revoliucijos paviršiaus savybės:

1. Dienovidinio atkarpa tarp dviejų paviršiaus taškų yra trumpiausias atstumas tarp šių taškų.

2. Visi dienovidiniai yra lygūs vienas kitam.

3. Kiekviena iš sukimosi paviršiaus paralelių kerta dienovidinius stačiu kampu.

4. Bet kuri iš sukimosi paviršiaus normaliųjų kerta paviršiaus sukimosi ašį.

Brėžinyje apsisukimo paviršius patogu apibrėžti kontūrais ir jam būdingų linijų bei taškų projekcijomis. Priekinis sukimosi paviršiaus kontūras yra pagrindinio dienovidinio priekinė projekcija, o horizontalioji - pusiaujo horizontalioji projekcija.

Apsvarstykite pagrindinius revoliucijos paviršių tipus:

1. Sukimosi cilindras . Šį paviršių galima gauti sukant tiesią liniją, lygiagrečią sukimosi ašiai i(113 pav.).

2. Sukimosi kūgis . Apsisukimo kūgio paviršių galima gauti sukant tiesią liniją, kertančią sukimosi ašį i(114 pav.).

3. Sfera . Rutulio generatorius yra apskritimas, kurio centras APIE yra ant sukimosi ašies i(115 pav.).

4. Viršus. Toro generatorius yra apskritimas arba jo lankas. Sukimosi ašis i guli šio apskritimo plokštumoje, bet nepereina per jo centrą (116, 117 pav.).

Yra atviras toras (apvalus žiedas) (116 pav., 117, a), uždaras (117 pav., b), savaime susikertantis (117 pav., c, d).

Atviro (116 pav.,117,a) ir uždarojo toro (117,6 pav.) generatrix yra apskritimas, savaime susikertančio toro (117 pav., c, d) - apskritimo lankas.

5. Sukimosi paraboloidas . Toks paviršius susidaro sukant parabolę aplink savo ašį (118 pav.). Paraboloido paviršius naudojamas parabolinėse antenose ir atšvaituose veidrodžiuose.

6. Sukimosi hiperboloidas . Šis paviršius susidaro sukant hiperbolę aplink ašį. Išskirti dviguba ertmė Ir vieno lapo revoliucijos hiperboloidas. Dviejų lakštų sukimosi hiperboloido sukimosi ašis yra tikroji hiperbolės ašis (119 pav.),

vieno lapo hiperboloidui (120 pav.) – jo įsivaizduojama ašis. Vieno lapo sukimosi hiperboloidas gali būti suformuotas ir sukant tiesią liniją, jei generatrix ir sukimosi ašis susikerta tiesiomis linijomis.

Taško padėtis sukimosi paviršiuje nustatoma naudojant apskritimą, kuris eina per šį apsisukimo paviršiaus tašką (žr. 114-116 pav.). Esant linijiniams sukimosi paviršiams (cilindrui, kūgiui), tam galima naudoti tiesines generatricas (žr. 113,114 pav.).

Sraigtiniai paviršiai

Sraigtinis paviršius vadinamas paviršiumi. suformuotas tiesia linija judant sraigtu.

Sraigtinis generatoriaus judėjimas AB būdingas sukimasis aplink ašį i ir vienalaikis transliacinis judėjimas lygiagrečiai šiai ašiai (121 pav.). Generatoriaus judėjimo dėsnį lemia spiralės tipas (jos kryptis, skersmuo ir žingsnis) ir generatoriaus judėjimo išilgai kreiptuvo pobūdis.

Praktikoje dažniausiai susiduriama su sraigtiniais paviršiais su pastoviu kreipiamosios linijos žingsniu. Tokie spiraliniai paviršiai vadinami spiraliniais.

Jei generatrix pasvirimo kampas į sukimosi ašį yra 90 °, tada sraigtas vadinamas dešiniuoju, jei šis kampas yra savavališkas, skiriasi nuo 0 ir 90 °, tada sraigtas vadinamas įstrižu (įstrižu). Tiesios ir įstrižos spiralės gali būti atviros arba uždaros. Atviro sraigto formos generatorius ir sukimosi ašis kertasi tiesiomis linijomis, o uždaro spiralės formos sraigtasparniu susikertančios tiesės. Fig. 121 pastatytas tiesios uždaros spiralės karkasas.

Sraigtiniai paviršiai plačiai naudojami technologijoje. Varžtai, spyruoklės, grąžtai, sraigtai birioms medžiagoms perkelti, sraigtiniai laiptai – visi jie turi spiralinius paviršius.

Ryžiai. 3.15

Sukimosi paviršiai turi labai platų pritaikymą visose technologijos srityse. Apsisukimo paviršius yra paviršius, atsirandantis dėl tam tikros generuojančios linijos sukimosi. 1 aplink fiksuotą liniją i- paviršiaus sukimosi ašis (3.15 pav.). Brėžinyje sukimosi paviršius nurodomas jo kontūru. Paviršiaus kontūrai yra linijos, ribojančios jo projekcijų plotus. Sukimosi metu kiekvienas generatrix taškas apibūdina apskritimą, kurio plokštuma yra statmena ašiai. Atitinkamai, sukimosi paviršiaus susikirtimo su ašiai statmena plokštuma linija yra apskritimas. Tokie apskritimai vadinami paralelėmis (3.15 pav.). Didžiausio spindulio lygiagretė vadinama pusiauju, mažiausia – gerkle. Plokštuma, einanti per sukimosi paviršiaus ašį, vadinama dienovidiniu, jos susikirtimo su sukimosi paviršiumi linija vadinama dienovidiniu. Dienovidinis, esantis plokštumoje, lygiagrečioje projekcijų plokštumai, vadinamas pagrindiniu dienovidiniu. Brėžinių darymo praktikoje dažniausiai susiduriama su šiais sukimosi paviršiais: cilindrinis, kūginis, sferinis, toras.

Ryžiai. 3.16

Cilindrinis apsisukimo paviršius. Kaip vadovas A turėtų paimti apskritimą ir kaip tiesią liniją b- ašis i(3.16 pav.). Tada randame, kad generatorius l, lygiagrečiai ašiai i, sukasi aplink pastarąjį. Jei sukimosi ašis yra statmena horizontaliai projekcijų plokštumai, tada toliau P 1 cilindrinis paviršius projektuojamas į apskritimą, ir ant P 3 - į stačiakampį. Pagrindinis cilindrinio paviršiaus dienovidinis yra dvi lygiagrečios linijos.

3.17 pav

Kūginis sukimosi paviršius gauname sukdami tiesinę generatrix l aplink ašį i. Šiuo atveju generatrix l kerta ašį i taške S, vadinama kūgio viršūne (3.17 pav.). Pagrindinis kūginio paviršiaus dienovidinis yra dvi susikertančios tiesios linijos. Jei imsime tiesios linijos atkarpą kaip generatorių, o kūgio ašis yra statmena P 1, tada toliau P 1 kūginis paviršius projektuojamas į apskritimą, ir ant P 2 - į trikampį.

Sferinis paviršius susidaro dėl apskritimo sukimosi aplink ašį, einančią per apskritimo centrą ir gulinčią jo plokštumoje (3.18 pav.). Sferinio paviršiaus pusiaujas ir dienovidiniai yra lygūs apskritimai. Todėl projektuojant statmenai į bet kurią plokštumą, sferinis paviršius projektuojamas į apskritimus.

Ryžiai. 3.18 Kai apskritimas sukasi aplink ašį, esančią šio apskritimo plokštumoje, bet nepereinančią jos centro, susidaro paviršius, vadinamas toru (3.19 pav.).

Ryžiai. 3.19

11. POZICIJOS PROBLEMOS TAŠKO, PAVIRŠIAUS LINIJAS. Pagal pozicinį nurodo problemas, kurių sprendimas leidžia gauti atsakymą, ar elementas (taškas) ar poaibis (linija) priklauso aibei (paviršiui). Pozicijos užduotys taip pat apima užduotis, kaip nustatyti bendrus elementus, priklausančius įvairioms geometrinėms figūroms. Pirmąją problemų grupę galima sujungti bendru narystės problemos pavadinimu. Visų pirma, tai apima uždavinius, skirtus nustatyti: 1) ar taškas priklauso paviršiui. Šioje grupėje taip pat yra trijų tipų uždaviniai: 1) tiesės susikirtimo su linija 2) paviršiaus susikirtimo su paviršiumi klausimais; Taško priklausymas paviršiui . Pagrindinis dalykas sprendžiant šios priedo parinkties problemas yra toks: : taškas priklauso paviršiui, jei jis priklauso bet kuriai šio paviršiaus linijai. Šiuo atveju tiesės turi būti parinktos kuo paprastesnes, kad būtų lengviau sudaryti tokios tiesės projekcijas, tada naudokite tai, kad taško, esančio ant paviršiaus, projekcijos turi priklausyti toms pačioms šios linijos projekcijoms. paviršius . Šios problemos sprendimo pavyzdys parodytas paveikslėlyje.. Čia yra du sprendimai, nes galima nubrėžti dvi paprastas linijas, priklausančias kūginiam paviršiui. Pirmuoju atveju nubrėžiama tiesi linija - kūginio paviršiaus S1 generatorius, kad jis eitų per bet kurią duotą taško C projekciją. Taigi darome prielaidą, kad taškas C priklauso kūginio paviršiaus S1 generatoriui, taigi ir pats kūginis paviršius. Tokiu atveju to paties pavadinimo taško C projekcijos turi gulėti ant atitinkamų šio generatoriaus projekcijų Kita paprasčiausia tiesė yra 1-2 skersmens apskritimas (šio apskritimo spindulys matuojamas nuo kūgio ašies). į kontūro generatrix). Šis faktas žinomas iš mokyklos geometrijos kurso: kai apskritimo kūgis susikerta su plokštuma, lygiagrečia jo pagrindui arba statmena jo ašiai, skerspjūvis bus gautas apskritimas. Antrasis sprendimo būdas leidžia rasti trūkstamą taško C projekciją, nurodytą jo priekine projekcija, priklausančią kūgio paviršiui ir brėžinyje sutampančią su kūgio sukimosi ašimi, nekonstruojant trečios projekcijos. Visada reikia turėti omenyje, ar kūgio paviršiuje gulintis taškas yra matomas ar nematomas (jei jo nesimato, atitinkama taško projekcija bus rašoma skliausteliuose). Akivaizdu, kad mūsų uždavinyje taškas C priklauso paviršiui, nes taško projekcijos priklauso to paties pavadinimo tiesių projekcijoms, naudojamoms sprendiniui tiek pirmame, tiek antrame sprendimo būdus. Priklauso paviršiaus linijai. Pagrindinis punktas: linija priklauso paviršiui, jei visi linijos taškai priklauso tam tikram paviršiui. Tai reiškia, kad šiuo narystės atveju problema, ar taškas priklauso paviršiui, turi būti sprendžiama kelis kartus. Torema Monge: jei du antros eilės paviršiai aprašomi apie trečiąjį arba į jį įrašyti, tai jų susikirtimo linija skyla į dvi antros eilės kreives, kurių plokštumos eina per tiesę, jungiančią liestinės apskritimo susikirtimo taškus.

12. SUKIMOSI KŪGIO PRIEŽIŪROS IŠKIKŠČIUOMIS PLOKTUMUMIS . Kertant paviršius kūnai pagal projektavimo plokštumas, viena pjūvio projekcija sutampa su projektavimo plokštumos projekcija. Kūgis gali turėti penkias skirtingas skerspjūvio formas. Trikampis- jei pjovimo plokštuma kerta kūgį per viršūnę išilgai dviejų generatorių. Apskritimas- jei plokštuma kerta kūgį lygiagrečiai pagrindui (statmenai ašiai). Elipsė- jei plokštuma tam tikru kampu kerta visas generatricas. Parabolė- jei plokštuma lygiagreti vienai iš kūgio generatricų. Hiperbolė- jei plokštuma lygiagreti kūgio ašiai arba dviem generatricoms. Paviršiaus pjūvis plokštuma yra plokščia figūra, apribota uždara linija, kurios visi taškai priklauso ir pjovimo plokštumai, ir paviršiui. Kai plokštuma kerta daugiakampį pjūviu, gaunamas daugiakampis, kurio viršūnės yra daugiakampio kraštuose. Pavyzdys. Statykite stačiojo apskrito kūgio ω paviršiaus susikirtimo su plokštuma β tiesės L projekcijas. Sprendimas. Atkarpoje susidaro parabolė, kurios viršūnė projektuojama į tašką A (A′, A′′). Sankirtos linijos taškai A, D, E yra kraštutiniai. Fig. norimos susikirtimo linijos konstravimas atliekamas naudojant horizontalias αi lygio plokštumas, kurios kerta kūgio ω paviršių išilgai lygiagrečių pi, o plokštuma β - išilgai priekyje išsikišančių tiesių segmentų. Plokštumose visiškai matoma sankirtos linija L.

№13.Koaksialiniai paviršiai. Koncentrinių sferų metodas.

Statant paviršių susikirtimo liniją, bendraašių sukimosi paviršių susikirtimo ypatumai leidžia naudoti bendraašius su šiais paviršiais rutulius kaip pagalbinius tarpinius paviršius. Koaksialiniai sukimosi paviršiai apima paviršius, turinčius bendrą sukimosi ašį. Fig. 134 pavaizduotas bendraašis cilindras ir rutulys (134 pav., a), bendraašis kūgis ir rutulys (134 pav., b) ir bendraašis cilindras ir kūgis (134 pav., c)

Bendraašiai sukimosi paviršiai visada susikerta išilgai apskritimų, kurių plokštumos yra statmenos sukimosi ašiai. Šių abiem paviršiams bendrų apskritimų yra tiek, kiek yra paviršių kontūrų linijų susikirtimo taškų. Paviršiai pav. 134 susikerta išilgai apskritimų, sukurtų jų pagrindinių dienovidinių sankirtos 1 ir 2 taškais. Pagalbinė tarpinė sfera kerta kiekvieną iš nurodytų paviršių išilgai apskritimo, kurio sankirtoje gaunami taškai, priklausantys kitam paviršiui, taigi ir susikirtimo linijai. Jei paviršių ašys susikerta, tai pagalbinės sferos brėžiamos iš vieno centro – ašių susikirtimo taško. Šiuo atveju paviršių susikirtimo linija konstruojama pagalbinių koncentrinių sferų metodu. Statant paviršių susikirtimo liniją pagalbinių koncentrinių sferų metodui, turi būti įvykdytos šios sąlygos: 1) sukimosi paviršių susikirtimas 2) paviršių – susikertančių tiesių – ašys yra lygiagrečios vienai iš projekcijų plokštumos, t.y. yra bendra simetrijos plokštuma 3) metodas negali būti naudojamas pagalbinėmis pjovimo plokštumomis, nes jos nesuteikia grafiškai paprastų linijų paviršiuose. Paprastai pagalbinės sferos metodas naudojamas kartu su pagalbinės pjovimo plokštumos metodu. Fig. 135, buvo sudaryta dviejų kūginių sukimosi paviršių susikirtimo linija su sukimosi ašimis, susikertančiomis Ф (Ф1) lygio frontalinėje plokštumoje. Tai reiškia, kad pagrindiniai šių paviršių dienovidiniai susikerta ir jų sankirtoje suteikia susikirtimo linijos matomumo tašką plokštumos P2 atžvilgiu arba aukščiausius A ir žemiausius B taškus. Horizontaliojo dienovidinio h ir lygiagretės h", esančioje vienoje pagalbinėje pjovimo plokštumoje Г(Г2), sankirtoje nustatomi sankirtos linijos matomumo taškai C ir D plokštumos P1 atžvilgiu. Pagalbinį pjovimą naudoti netikslinga. plokštumos statyti papildomus susikirtimo linijos taškus, nes plokštumos, lygiagrečios Ф, kirs abu paviršius išilgai hiperbolių, o plokštumos, lygiagrečios Г, sukurs apskritimus ir hiperboles paviršių susikirtimo vietose paviršių susikirs išilgai generatricų ir elipsių, leidžiančių naudoti pagalbines sferas susikirtimo linijos taškams statyti. sferos, sferos spindulys kinta Rmin ribose.< R < Rmах- Радиус максимальной сферы определяется расстоянием от центра О наиболее удаленной точки В (Rmax = О2В2), а радиус минимальной сферы определяется как радиус сферы, касающейся одной поверхности (по окружности h2) и пересекающей другую (по окружности h3).Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. В пересечении этих окружностей получаем точки Е и F, принадлежащие линии пересечения поверхностей:

h22 ^ h32 = E2(F2); E2E1 || A2A1; E2E1 ^ h21 =E1; F2F ^ h1 = F1 R spindulio tarpinė sfera kerta paviršius išilgai apskritimų h4 ir h5, kurių sankirtoje yra Mi taškai N: h42 ^ h52 = M2(N2); M2M1 || A2A1, M2M1 ^ h41 = M1; N2N1 ^ h41 = N1 Sujungę sukonstruotų taškų projekcijas tuo pačiu pavadinimu, atsižvelgdami į jų matomumą, gauname paviršių susikirtimo linijos projekcijas.

Nr. 14. statant paviršių susikirtimo liniją, jei bent vienas iš jų yra išsikišęs. Charakteringi sankirtos linijos taškai.

Prieš pradedant konstruoti paviršių susikirtimo liniją, būtina atidžiai išstudijuoti problemos sąlygas, t.y. kokie paviršiai susikerta. Jei vienas iš paviršių yra išsikišęs, tada problemos sprendimas yra supaprastintas, nes vienoje iš projekcijų susikirtimo linija sutampa su paviršiaus projekcija. Ir užduotis yra surasti antrą projekcijos liniją. Spręsdami problemą pirmiausia turėtumėte atkreipti dėmesį į „būdingus“ arba „ypatingus“ taškus. Tai:

· Taškai ant ekstremalių generatorių

Taškai, dalijantys liniją į matomas ir nematomas dalis

· Viršutinis ir apatinis taškai ir tt Toliau reikia protingai pasirinkti metodą, kurį naudosime konstruodami paviršių susikirtimo liniją. Naudosime du būdus: 1. pagalbinės pjovimo plokštumos. 2. pagalbinės sekantinės sferos. Projekciniai paviršiai apima: 1) cilindras, jeigu jo ašis statmena projekcijos plokštumai; 2) prizmė, jeigu prizmės briaunos statmenos projekcijos plokštumai. Projekcinis paviršius projektuojamas tiese į projekcijos plokštumą. Visi išsikišančio cilindro arba išsikišusios prizmės šoniniam paviršiui priklausantys taškai ir linijos projektuojami į tiesę į plokštumą, kuriai statmena yra cilindro ašis arba prizmės kraštas. Paviršių susikirtimo linija priklauso abiem paviršiams vienu metu ir, jei vienas iš šių paviršių yra išsikišęs, tada susikirtimo linijai sudaryti gali būti taikoma tokia taisyklė: jei vienas iš susikertančių paviršių yra išsikišęs, tai viena susikirtimo linijos projekcija yra brėžinyje baigtos formos ir sutampa su išsikišančio paviršiaus (apskritimo, į kurį projektuojamas cilindras, arba daugiakampio, į kurį projektuojama prizmė) projekcija. Antroji susikirtimo linijos projekcija konstruojama remiantis sąlyga, kad šios tiesės taškai priklauso kitam neprojektuojančiam paviršiui.

Apsvarstytos charakteringų taškų savybės leidžia lengvai patikrinti paviršių susikirtimo linijos konstrukcijos teisingumą, jei ji sukonstruota naudojant savavališkai parinktus taškus. Tokiu atveju pakanka dešimties taškų, kad būtų nubrėžtos lygios sankirtos linijos projekcijos. Jei reikia, galima sukurti bet kokį tarpinių taškų skaičių. Sukonstruoti taškai sujungiami lygia linija, atsižvelgiant į jų padėties ir matomumo ypatybes. Suformuluokime bendrą paviršių susikirtimo linijos konstravimo taisyklę: pasirinkite pagalbinių paviršių tipą; konstruoti pagalbinių paviršių susikirtimo linijas su duotais paviršiais; suraskite sukonstruotų tiesių susikirtimo taškus ir sujunkite juos vienas su kitu. Pagalbines pjovimo plokštumas parenkame taip, kad sankirtoje su duotais paviršiais gautos geometriškai paprastos linijos (tiesios linijos arba apskritimai). Pagalbinių pjovimo plokštumų parinkimas. Dažniausiai kaip pagalbinės pjovimo plokštumos pasirenkamos projekcinės plokštumos, ypač lygios. Šiuo atveju būtina atsižvelgti į susikirtimo linijas, gautas paviršiuje susikirtus su plokštuma. Taigi kūgis yra sudėtingiausias paviršius pagal jame gautų linijų skaičių. Tik plokštumos, einančios per kūgio viršūnę arba statmenos kūgio ašiai, kerta jį atitinkamai tiesia linija ir apskritimu (geometriškai paprasčiausios linijos). Plokštuma, einanti lygiagrečiai vienai generatricei, kerta ją išilgai parabolės, plokštuma, lygiagreti kūgio ašiai, kerta ją išilgai hiperbolės, o plokštuma, kertanti visas generatricas ir pasvirusi į kūgio ašį, kerta ją išilgai elipsės. Ant rutulio, kertant ją su plokštuma, visada gaunamas apskritimas, o jei kerta su lygia plokštuma, tai šis apskritimas atitinkamai projektuojamas į projekcijos plokštumą į tiesę ir apskritimą. Taigi, pagalbinėmis plokštumomis pasirenkame horizontalias lygio plokštumas, kurios kerta ir kūgį, ir sferą apskritimais (paprasčiausiomis tiesėmis). Kai kurie ypatingi paviršinių susikirtimų atvejai Kai kuriais atvejais lenktų paviršių vietos, formos ar dydžio santykiai yra tokie, kad jų susikirtimo linijai pavaizduoti nereikia jokių sudėtingų konstrukcijų. Tai apima cilindrų susikirtimą su lygiagrečiomis generatricomis, kūgius su bendra viršūne, bendraašius sukimosi paviršius, apsisukimo paviršius, aprašytus aplink vieną sferą.

Esė

Nurodant projektuoti objektą su lenktomis briaunomis, be projekcijos objekto taškų, briaunų ir paviršių rinkinio, būtina apibrėžti jo lenktų kraštų kontūrų rinkinį.

Išlenkto paviršiaus kontūrai yra linijos tame lenktame paviršiuje, padalijančios tą paviršių į dalis, kurios nematomos, ir dalis, kurios matomos projekcijos plokštumoje. Šiuo atveju kalbama tik apie nagrinėjamo lenkto paviršiaus projekciją ir į galimą šio paviršiaus šešėliavimą kitais priekinio plano paviršiais neatsižvelgiama.

Vadinamos dalys, į kurias lenktas paviršius yra padalintas į kontūrus skyriai.

Kreivinių veidų kontūrų padėtis nustatoma pagal projekcijos parametrus, todėl kontūrai turi būti nustatyti baigus perėjimą prie vaizdo koordinačių sistemos.

Nustatyti lenkto paviršiaus kontūrą apskritai yra gana sudėtinga užduotis. Todėl, kaip taisyklė, tam tikras lenktas paviršius apytiksliai apskaičiuojamas naudojant vieną iš tipiškų lenktų paviršių, į kuriuos įeina:

Cilindrinis paviršius;

Sferinis paviršius;

Kūginis paviršius.

Apsvarstykime galimybę rasti šių tipų lenktų paviršių kontūrus.

Suradimas sferinio paviršiaus eskizai iliustruotas pav. 6.6-7.

Paveiksle naudojami šie pavadinimai:

O - sferos centras;

O p – sferos centro projekcija;

GM – pagrindinis tam tikros sferos dienovidinis;

Pl1 – plokštuma, einanti per rutulio centrą, lygiagreti projekcijos plokštumai;

X in , Y in , Z in – vaizdo koordinačių sistemos koordinačių ašys;

X p , Y p – koordinačių ašys projekcijos plokštumoje.

Norint rasti sferos paviršiaus bruožą, reikia nubrėžti plokštumą per rutulio centrą (pl1 pav. 6.6-7), lygiagrečią projekcijos plokštumai. Šio paviršiaus ir sferos, turinčios apskritimo formą, susikirtimo linija vadinama pagrindiniu sferinio paviršiaus dienovidiniu (PM). Šis pagrindinis dienovidinis yra norimas kontūras.

Šio rašinio projekcija bus tokio paties spindulio apskritimas. Šio apskritimo centras yra pradinio rutulio centro projekcija į projekcijos plokštumą (O p 6.7-1 pav.).

Ryžiai.6.7 ‑ 1

Norint nustatyti cilindrinio paviršiaus kontūras, per tam tikro cilindro ašį o 1 o 2 (6.7-2 pav.) brėžiama plokštuma Pl1, statmena projekcijos plokštumai. Toliau per cilindro ašį brėžiama plokštuma Pl2, statmena plokštumai Pl1. Jo susikirtimai su cilindriniu paviršiumi sudaro dvi tiesias linijas o ch 1 o ch 2 ir o ch 3 o ch 4, kurios yra cilindrinio paviršiaus kontūrai. Šių eskizų projekcija yra tiesios linijos o h 1p och 2p ir o h 3p o h 4p, parodytos fig. 6,7-2.

Esė konstravimas kūginis paviršius iliustruotas pav. 6,7-3.

Paveiksle naudojami šie pavadinimai:

O - kūgio viršūnė;

OO 1 - kūgio ašis;

X in , Y in , Z in – rūšies koordinačių sistema;

PP – projekcijos plokštuma;

X p , Y p , – projekcijos plokštumos koordinačių sistema;

Lp – projekcijos linijos;

O 1 - į kūgį įbrėžto rutulio centras;

O 2 – įbrėžtos sferos liestinės apskritimas, kurio centras yra taške O 1, ir pradinis kūginis paviršius;

O ch 1, O ch 1 – taškai, esantys kūginio paviršiaus kontūruose;

O ch 1p, O ch 1p - taškai, per kuriuos eina linijos, atitinkančios kūginio paviršiaus kontūrų projekcijas.

Kūginis paviršius turi du kontūrus tiesių linijų pavidalu. Akivaizdu, kad šios linijos eina per kūgio viršūnes – tašką O. Norint vienareikšmiškai apibrėžti kontūrą, reikia rasti po vieną tašką kiekvienai kontūrai.

Norėdami sukurti kūginio paviršiaus kontūrus, atlikite šiuos veiksmus.

Į tam tikrą kūginį paviršių (pavyzdžiui, kurio centras yra taške O 1) įrašoma rutulys ir nustatoma šio rutulio liestinė su kūginiu paviršiumi. Paveiksle nagrinėjamu atveju liestinės linija bus apskritimo formos, o centras taške O 2 yra kūgio ašyje.

Akivaizdu, kad iš visų sferinio paviršiaus taškų kontūrams priklausantys taškai gali būti tik liestinės apskritimo taškai. Kita vertus, šie taškai turi būti įbrėžtos sferos pirminio dienovidinio perimetre.

Todėl reikalingi taškai bus įbrėžtosios sferos pirminio dienovidinio apskritimo ir liestinės apskritimo susikirtimo taškai. Šiuos taškus galima apibrėžti kaip liestinės apskritimo ir plokštumos, einančios per įbrėžtos sferos O 1 centrą, lygiagrečią projekcijos plokštumai, susikirtimo taškai. Tokie taškai aukščiau esančiame paveikslėlyje yra O ch 1 ir O ch 2.

Eskizų projekcijoms sukonstruoti pakanka rasti taškus O ch 1p ir O ch 2p, kurie yra rastų taškų O ch 1 ir O ch 2 projekcijos. į projekcijos plokštumą, ir naudojant šiuos taškus bei kūgio viršūnės projekcijos tašką O p, nubrėžti dvi tieses, atitinkančias tam tikro kūginio paviršiaus kontūrų projekcijas (žr. 6.7-3 pav.).