Pagrindiniai reiškinių, turinčių kvadratines šaknis, transformacijų tipai. Šaknų savybių panaudojimas transformuojant iracionalias išraiškas, pavyzdžius, sprendimus

Norėdami naudoti pristatymų peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Peržiūra:

Algebros pamoka 8 klasėje

tema „Išraiškų su kvadratinėmis šaknimis konvertavimas“

Matematikos mokytojas: Kiryukhina Yu.A.

Vardo savivaldybės švietimo įstaiga vidurinė mokykla. A.I. Pankova s. Golovinščino

2010-2011 mokslo metai

Tikslai:

1. pakartokite aritmetinės kvadratinės šaknies apibrėžimą, aritmetinės kvadratinės šaknies savybes;
2. įtvirtinti įgūdžius ir gebėjimus spręsti identiškų reiškinių transformacijų, turinčių aritmetines kvadratines šaknis, pavyzdžius;
3. apibendrinti ir sisteminti mokinių žinias šia tema;
4. ugdyti savikontrolės ir tarpusavio kontrolės įgūdžius, domėtis dalyku.

Įranga: multimedijos projektorius, interaktyvi lenta, vertinimo lapai, testų kortelės, namų darbų kortelės.

Pamokos eiga.

I. Organizacinis momentas

Šiandien pamokoje pakartosime išraiškų, turinčių kvadratines šaknis, transformavimo, šaknų konvertavimo iš sandaugos, trupmenos ir laipsnio, šaknų dauginimo ir padalijimo, koeficiento iš šaknies ženklo išėmimo, koeficiento padėjimo po šaknies ženklu, panašaus išvedimo taisykles. terminai ir neracionalumo atsikratymas trupmenos vardiklyje .Įvertinimo lapas padės jums apibendrinti šios dienos pamoką. Pasirašykite savo lapus ir atsakykite į pirmąjį klausimą „Nuotaika pamokos pradžioje“ pasirinkdami vieną iš jaustukų.

II. Pamokos temos žinutė

Mūsų pamokos tema yra „Reiškių, kuriose yra aritmetinių kvadratinių šaknų, konvertavimas“. (Skaidra Nr. 1)

Yra kažkas apie matematiką

Žmogaus malonumo sukėlimas.
F. Hausdorffas(Skairė Nr. 2)

III. Darbas žodžiu

1) Frontalinė apklausa.(Skairė Nr. 3)

1. Pateikite aritmetinės kvadratinės šaknies apibrėžimą. (Skaičiaus aritmetinė kvadratinė šaknis yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus a).
2. Išvardykite aritmetinės kvadratinės šaknies savybes. (Neneigiamų veiksnių sandaugos aritmetinė kvadratinė šaknis yra lygi šių veiksnių šaknų sandaugai. Trupmenos, kurios skaitiklis yra neneigiamas, o vardiklis teigiamas, aritmetinė kvadratinė šaknis yra lygi skaitiklio šaknei, padalytai iš vardiklio šaknies).
3. 2? (|x| ).
4. Kokia yra x aritmetinė kvadratinė šaknis? 2 , jei x≥0? x x. -X).

2) Skaičiavimas žodžiu (skaidrė Nr. 4)

Nagi, atidėkite pieštukus į šalį!

Jokių domino. Jokių rašiklių. Nėra kreidos.

— Skaičiavimas žodžiu! Mes tai darome

Tik proto ir sielos galia.

Skaičiai susilieja kažkur tamsoje,

Ir akys pradeda šviesti,

O aplinkui vien protingi veidai.

Nes mes skaičiuojame savo galvose!

(Skairė Nr. 5-9)

1. Pašalinkite daugiklį iš po šaknies ženklo:

2. Įveskite daugiklį po šaknies ženklu:

3. Kvadratas:

4. Pateikite panašius terminus:

IV. Darbas pamokos tema

1 ) Individualus darbas(Skairė Nr. 10)

Boružėlė turi raudonų, geltonų ir žalių dėmių. Žalia spalva atitinka pagrindinio lygio užduotis, geltona – aukštesniojo lygio užduotis, raudona – aukšto lygio užduotis. Mokiniai pasirenka užduotį savo nuožiūra. Trys mokiniai, gavę užduotį, sprendžia ją savo sąsiuviniuose. (Skairė Nr. 11-13)

2) Darbas su interaktyvia lenta.

Likę mokiniai sprendžia šias užduotis:

1. Supaprastinkite posakį: a) 4b+4b-4b; b) 9a+49a-64a;

B) 63-175+97; d) 28a+0.345s-418a+0.01500s.

2. Atlikite veiksmus ir suderinkite teisingą atsakymą: 15-1215-23 , 4+22-2 , 2-32+3 , 3-422 .

Atsakymai: -1; 6 - 22; 27-125;41-242.

3. Išlaisvinkite save nuo neracionalumo trupmenos vardiklyje.

a) b5; b) 23;

c) 737; d) kirvis+a.

4. Sumažinkite trupmeną.

a) 5-x2 5+x; b) a -2a2-2; c) 3-33; d) a+ba-b.

VI. Istorinis fonas

(14–16 skaidrės)

Radix turi dvi reikšmes: šoną ir šaknį. Graikų matematikai, užuot „ištraukę šaknį“, sakė „raskite kvadrato kraštinę iš nurodytos vertės (ploto)“.

Nuo XIII amžiaus italai ir kiti Europos matematikai šaknį žymėjo lotynišku žodžiu Radix arba sutrumpintai R (taigi ir terminas „radikalas“). Vokiečių matematikai XV a. kvadratinei šaknei žymėti naudojome tašką ·5

Vėliau vietoj taško jie pradėjo dėti deimantą ¨ 5

Tada Ú 5. Tada ženklas Ú

ir pradėta brėžti linija.

VII. Bandymas (skaidr. Nr. 17, 18)

Anglų filosofas Herbertas Spenceris sakė: „Lobiai nėra žinios, kurios kaip riebalai kaupiasi smegenyse, lobiai yra tie, kurie virsta protiniais raumenimis“.Šiame pamokos etape turite pritaikyti savo žinias spręsdami pratimus testo metu.

VI. Tarpusavio peržiūra – (Skaidra Nr. 19)

VIII. Pratimai akims(Skairė Nr. 20, 21)

VII. Namų darbai.(Skaidra Nr. 22)

VIII. Pamokos santrauka

Visiškai užpildykite vertinimo lapą. (Skaidra Nr. 23). Pamokų pažymiai.

Noriu baigti pamokądidžiosios matematikės Sofijos Kovalevskajos eilėraštis. (Skairė Nr. 24, 25)

Jei gyvenime tu nors akimirką

Širdyje pajutau tiesą,

Jei šviesos spindulys per tamsą ir abejones

Tavo kelias buvo apšviestas ryškiu spindesiu:

Kad ir koks būtų jūsų nesikeičiantis sprendimas

Likimas tavęs nepaskyrė į priekį,

Šios šventos akimirkos atminimas

Laikykite jį amžinai kaip šventovę savo krūtinėje.

Debesys susirinks į nesuderinamą masę,

Dangus bus padengtas juoda migla,

Su aiškiu ryžtu, su ramiu tikėjimu

Tu susitinki su audra ir susiduri su perkūnija.

Šis eilėraštis išreiškia žinių troškimą, gebėjimą įveikti visas kelyje pasitaikančias kliūtis. Pamoka baigta. Ačiū už pamoką! (Skairė Nr. 26)

Taikymas

KLAUSIMYNO LAPAS

F.I. studentas________________________________

1. Nuotaika pamokos pradžioje: a) b) c)

2. Mano suvokimas apie pamokos temą:

a) išmoko visko; b) išmoko beveik viską; c) iš dalies supratau, man reikia pagalbos.

3. Neteisingų testo atsakymų skaičius: _________

4. Dirbau klasėje:

a) puikus; b) geras; c) patenkinamai; d) nepatenkinama.

5. Savo darbą vertinu ______ (suteikti įvertinimą)

6. Įvertinu pamoką _____ (suteikiu įvertinimą)

7. Nuotaika pamokos pabaigoje: a) b c)

Pamokos tipas: pamoka apie naujos medžiagos mokymąsi.

Pamokos tikslas: sisteminti, plėsti ir pagilinti mokinių žinias ir gebėjimus perteikti panašius posakius, turinčius kvadratines šaknis. Skatinti stebėjimo ugdymą, gebėjimą analizuoti, daryti išvadas. Skatinkite mokinius vykdyti savitarpio kontrolę.

Įranga: kortelės su skaičiais, projektorius, prezentacija.

Pamokos žingsniai:

1. Pamokos pradžios organizavimas. Tikslo nustatymas. Uždengtos medžiagos kartojimas.
2. Burnos pratimai. Gaukite paveikslėlį.
3. Istorinė informacija.
4. Naujos medžiagos mokymasis.
5. Savarankiškas darbas su abipuse priežiūra.
6. Apibendrinant.
7. Namų darbai.
8. Atspindys.

Pamokos eiga

aš. Pamokos pradžios organizavimas. Temos perteikimas ir tikslo nustatymas.

Mokytojas. Atsivertę Didįjį enciklopedinį žodyną, galime perskaityti, ką reiškia žodis „transformacija“. Taigi, „Transformacija yra vieno matematinio objekto pakeitimas panašiu objektu, gautu iš pirmojo pagal tam tikras taisykles“.

Aiškinamajame S. I. Ožegovo žodyne skaitome: „Pakeisti - ... visiškai perdaryti, transformuoti iš vieno tipo į kitą, pakeisti į gerąją pusę“.

Matematinių transformacijų tikslas – pateikti išraišką į formą, patogesnę skaitiniams skaičiavimams ar tolimesnėms transformacijoms.

Iki šiol atlikdavome tik racionaliųjų išraiškų transformacijas, tam naudodavome daugianario operacijų taisykles. Prieš kelias pamokas pristatėme naują operaciją – kvadratinės šaknies operaciją.

Peržiūrėkime pagrindinę informaciją apie aritmetinę kvadratinę šaknį.

Paruoškite korteles su skaičiais 1, 2, 3 žodiniams pratimams. Norėdami atsakyti, pakelkite kortelę su teisingo teiginio numeriu.

Aritmetinė skaičiaus kvadratinė šaknis a vadinamas:

1) Skaičius, kurio kvadratas lygus a.
2) Skaičius, lygus a.
3) Neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus a.

„ Norėdami įvesti koeficientą po šaknies ženklu, turite:

1) Padauginkite radikalias išraiškas;
2) koeficientą kvadratu;
3) Po šaknimi parašykite daugiklio kvadratą.

... Norėdami perkelti daugiklį už šaknies ženklo, turite:

1) Pateikite radikaliąją išraišką kaip kelių sandaugą
daugikliai;
2) Taikykite neneigiamo sandaugos kvadratinės šaknies taisyklę
daugikliai.

II. Gaukite paveikslėlį.

Išspręskite pavyzdžius ir nuspalvinkite langelį teisingu atsakymu. Jei viskas bus padaryta teisingai, gausite nuotrauką. 1 priedas.

Atsakymas: kvadratinės šaknies ženklas. 2 priedas.

III. Istorinė informacija.

Kvadratinės šaknies ženklas buvo įvestas dėl praktinės būtinybės. Žinodami plotą, mūsų protėviai XVI amžiuje bandė apskaičiuoti aikštės pusę. Taip atsirado kvadratinės šaknies ištraukimo operacija. Tačiau šiuolaikinė ženklo forma buvo nustatyta ne iš karto.
Pradedant XIII a., Italijos ir daugelis Europos matematikų šaknį žymėjo lotynišku žodžiu Radix (šaknis) arba sutrumpintai R x. XV amžiuje jie vietoj rašė R 2 12. XVI amžiuje vietoj Ö rašė V‚. Olandų matematikas A. Girardas įvedė šaknies žymėjimą, kuris yra artimas šiuolaikinei.
Tik 1637 m. prancūzų matematikas Rene Descartes savo geometrijoje panaudojo šiuolaikinį šaknies ženklą. Šis ženklas pradėtas naudoti tik XVIII amžiaus pradžioje.

IV. Naujos medžiagos mokymasis.

Supaprastinkite išraišką:

V. Savarankiškas darbas.

1 variantas.	2 variantas.

VI. Apibendrinant.

Algebros pamoka 8 klasėje

Tema: Bendroji pamoka.

Konvertuojamos išraiškos, kuriose yra kvadratinių šaknų

Matematikos mokytojas: Baiturova A.R. mokyklos kola-gimnazija Nr.31, Astana

2012-2013 mokslo metai

Tikslas: kvadratinės šaknies sampratos ir jos savybių kartojimas; ugdyti gebėjimą supaprastinti išraiškas ir skaičiuoti kvadratines šaknis.

Užduotys:

įtvirtinti anksčiau įgytas studentų žinias, įgūdžius ir gebėjimus studijuojama tema;

įtvirtinti įgūdžius konvertuoti išraiškas, kuriose yra kvadratinių šaknų;

skatinti savarankiško sprendimo metodo pasirinkimo formavimąsi.

Pamokos tipas: Mokinių mokymosi žinių tobulinimas

Darbo metodai:

Aktyvus (pažinimo procesas kyla iš studentų),

Vizualiai – demonstratyvus,

Iš dalies - paieška (mokome vaikus stebėti, analizuoti, lyginti, daryti išvadas ir apibendrinimus, vadovaujant mokytojui),

Praktiška

Darbo formos: visa klasė, individualus..

Įranga: interaktyvi lenta, PowerPoint skaidrės, vertinimo lapai, testų kortelės, namų darbų kortelės.

Inovatyvios technologijos:

Mokymas kompiuteriu,

Aktyvus požiūris į mokymą (žinios ateina iš mokinio),

Žodžiu produktyvus (refleksijos stadijoje),

Į asmeninį mokymąsi (kiekvienas vaikas galės atsakyti).

Pamokos eiga.

aš. Organizacinis momentas

- Sveiki, atsisėskite (Sveiki, atsisėskite). Pažvelkite į mūsų pamokos temą ir pasakykite, kad tai reikš ( Pažiūrėkite į mūsų pamoką ir pasakykite man, ką tai reiškia).

Teisingai, šiandien pamokoje pakartosime išraiškų, turinčių kvadratines šaknis, transformavimo, sandaugos šaknų, trupmenos ir laipsnio transformavimo, šaknų dauginimo ir padalijimo, daugiklio padėjimo už šaknies ženklo, daugiklio įvedimo po šaknies ženklu taisykles, pateikiant panašius terminus ir atsikratant neracionalumo trupmenos vardiklyje. Apytikslis puslapis padės apibendrinti šios dienos pamoką (Įvertinimo lapas padės apibendrinti šios dienos pamoką.)

Pasirašykite ant popieriaus lapų ir atsakykite į pirmąjį klausimą „Nuotaika pamokos pradžioje“, pasirinkę vieną iš šypsenėlių.( Pasirašykite savo žodžius ir atsakykite į pirmąjį klausimą „Nuotaika pamokos pradžioje“ pasirinkdami vieną iš jaustukų).

II. Pamokos temos žinutė

Mūsų pamokos tema: „Reiškių, kuriose yra aritmetinių kvadratinių šaknų, konvertavimas“. (Skaidra Nr. 1)

Yra kažkas apie matematiką

sukeliantis žmogaus džiaugsmą. F. Hausdorffas(Skairė Nr. 2)

III. Darbas žodžiu

1) Frontalinė apklausa. (Skairė Nr. 3)

1.Pateikite aritmetinės kvadratinės šaknies apibrėžimą. (A aritmetinė kvadratinė šaknis yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus a).

2.Išvardykite aritmetinės kvadratinės šaknies savybes. (Neneigiamų veiksnių sandaugos aritmetinė kvadratinė šaknis yra lygi tų veiksnių šaknų sandaugai. Trupmenos, kurios skaitiklis yra neneigiamas, o vardiklis teigiamas, aritmetinė kvadratinė šaknis yra lygi skaitiklis padalytas iš vardiklio šaknies).

3.Kokia yra x 2 aritmetinė kvadratinė šaknis? (|x|).

4. Kokia yra x 2 aritmetinės kvadratinės šaknies reikšmė, jei x≥0? X<0? (х. –х).

2) Žodinė sąskaita ( Oralinis patikrinti) (Skairė Nr. 4)

Nagi, atidėkite pieštukus į šalį!

Jokių domino. Jokių rašiklių. Nėra kreidos.

— Skaičiavimas žodžiu! Mes tai darome

Tik proto ir sielos galia.

Skaičiai susilieja kažkur tamsoje,

Ir akys pradeda šviesti,

O aplinkui vien protingi veidai.

Nes mes skaičiuojame savo galvose!

(Skairė Nr. 5-8)

1. Pašalinkite faktorių iš po šaknies ženklo: ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8)

2. Po šaknies ženklu įveskite daugiklį: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8)

3. Kvadratas (Kvadratavimas): 2, 6, 7, 9, 11, 13, 15, 18, 22, 25

4. Pateikite panašius terminus:

IV. Darbas pamokos tema

1) Individualus darbas (Individualus darbas) (Skairė Nr. 9)

Žalia spalva atitinka pagrindinio lygio užduotis, geltona – paaukštinto lygio užduotis, raudona – aukšto lygio užduotis.(Žalia spalva atitinka pagrindinio lygio užduotis, geltona – aukštesniojo lygio užduotis, raudona – aukšto lygio užduotis). Mokiniai pasirenka užduotį savo nuožiūra. Trys mokiniai, gavę užduotį, sprendžia ją savo sąsiuviniuose

lygiu

Pašalinkite daugiklį iš po šaknies ženklo:
1)
2)
3)

Įveskite daugiklį po šaknies ženklu:
1)
; 2)
; 3)
;

Palyginkite skaičius:
1) Ir; 2) Ir;

lygiu

Supaprastinkite išraišką:
1) ; 2) ; 3)

Raskite sumą:
1)
2)

1) ; 2)

3 lygis

Supaprastinkite išraišką:
1) ; 2) .
Pakeiskite išraišką:
1) ; 2) ;

Atidarykite skliaustus ir supaprastinkite išraišką:
1) ;

2) ; 3) ;

2) Darbas su interaktyvia lenta. (Skairė Nr. 10-13)

Likę mokiniai sprendžia šias užduotis:

1. Raskite posakio reikšmę:
1)
2)

3)

2. Transformuokite išraišką:
1)
; 2)
; 3)
.

3. Supaprastinkite posakį:
1)
; 2)
; 3)
.

4. Atsikratykite neracionalumo vardiklyje:
1) ; 2)
; 3)
; 4)
.

VI. Istorinė informacija( Istorinis fonas) (14–26 skaidrės)

VI. Istorinis fonas

(14–16 skaidrės)

Radix turi dvi reikšmes: šoną ir šaknį. Graikų matematikai, užuot „ištraukę šaknį“, sakė „raskite kvadrato kraštinę iš nurodytos vertės (ploto)“.

Vėliau vietoj taško jie pradėjo dėti deimantą 5

Tada Ú 5. Tada pradėjo jungtis ženklas Ú ir linija.

VI. Testas ( Testas)

Anglų filosofas Herbertas Spenceris sakė: „Keliai nėra žinios, kurios nusėda smegenyse kaip riebalai, keliai yra tie, kurie virsta protiniais raumenimis“.(Skaidra Nr. 27)

Šiame pamokos etape būtina pritaikyti žinias pratimų sprendimui atliekant testą.(Šiame pamokos etape savo žinias turite pritaikyti sprendžiant pratimus testo metu).

VII. Abipusis testavimas ( Tarpusavio peržiūra) (Skairė Nr. 28)

Teisingų atsakymų kodas: I variantas – 3124111, II variantas - 2131222

VIII. Namų darbai.(Skaidra Nr. 29)

Kuris skaičius mažesnis
arba
?

B 2. Supaprastinkite išraišką:
,

adresu
.

B 3. Atlikite šiuos veiksmus:
.

Ant popieriaus lapo atidžiai ir įskaitomai parašykite išsamius ir pagrįstus šios dalies užduočių sprendimus.

C 1. Sumažinkite trupmeną:
.

C 2. Paimkite kvadratinę šaknį iš išraiškos:
.

VIII. Pamokos santrauka

Visiškai užpildykite vertinimo lapą. Taškai už pamoką.

Pamoką noriu užbaigti puikios matematikės Sofijos Kovalevskajos eilėraščiu. (Skaidra Nr. 30)

Jei gyvenime tu nors akimirką

Širdyje pajutau tiesą,

Jei šviesos spindulys per tamsą ir abejones

Tavo kelias buvo apšviestas ryškiu spindesiu:

Kad ir koks būtų jūsų nesikeičiantis sprendimas

Likimas tavęs nepaskyrė į priekį,

Šios šventos akimirkos atminimas

Laikykite jį amžinai kaip šventovę savo krūtinėje.

Debesys susirinks į nesuderinamą masę,

Dangus bus padengtas juoda migla,

Su aiškiu ryžtu, su ramiu tikėjimu

Tu susitinki su audra ir susiduri su perkūnija.

Šis eilėraštis išreiškia žinių troškimą, gebėjimą įveikti visas kelyje pasitaikančias kliūtis.

Pamoka baigta. Ačiū už pamoką! ( Pamoka baigta. Ačiū už pamoką!) (Skaidra Nr. 31)

Taikymas

KLAUSIMYNO LAPAS

F.I. studentas________________________________

1. Nuotaika pamokos pradžioje: a) c)

2. Mano suvokimas apie pamokos temą:

a) išmoko visko; b) išmoko beveik viską; c) iš dalies supratau, man reikia pagalbos.

3. Neteisingų testo atsakymų skaičius: _________

4. Dirbau klasėje:

a) puikus; b) geras; c) patenkinamai; d) nepatenkinama.

5. Savo darbą vertinu ______ (suteikti įvertinimą)

6. Įvertinu pamoką _____ (suteikiu įvertinimą)

7. Nuotaika pamokos pabaigoje:

A)b) V)

Testas 1 variantas

A 1. Apskaičiuokite
.

1) 7; 2)
; 3) 5; 4)
.

A 2. Apskaičiuokite
.

1) 7; 2)
; 3)
; 4) 4.

Vaizdo pamoka „Išraiškų, turinčių kvadratinės šaknies ištraukimo operaciją, transformavimas“ yra vaizdinė priemonė, padedanti mokytojui lengviau ugdyti įgūdžius sprendžiant uždavinius, kuriuose yra išraiškų su kvadratine šaknimi. Pamokos metu prisimename teorinius pagrindus, kuriais remiamasi atliekant operacijas su skaičiais ir kintamaisiais, esančiais radikalinėse išraiškose, aprašome daugelio tipų problemų sprendimą, dėl kurio gali prireikti gebėjimo naudoti formules konvertuojant išraiškas, kuriose yra kvadratinė šaknis. , ir pateikti metodus, kaip atsikratyti neracionalumo trupmenos vardiklyje.

Vaizdo pamoka pradedama demonstruojant temos pavadinimą. Pažymima, kad anksčiau pamokose buvo atliekamos racionalių posakių transformacijos. Šiuo atveju buvo panaudota teorinė informacija apie vienanarius ir daugianarius, darbo su daugianariais būdus, algebrines trupmenas, taip pat sutrumpintos daugybos formulės. Šiame vaizdo įrašo vadove aptariamas kvadratinės šaknies operacijos, skirtos išraiškoms transformuoti, įvedimas. Mokiniams primenamos kvadratinės šaknies operacijos ypatybės. Tarp tokių savybių nurodoma, kad paėmus kvadratinę šaknį iš skaičiaus kvadrato, gaunamas pats skaičius, dviejų skaičių sandaugos šaknis yra lygi dviejų šių skaičių šaknų sandaugai, dalinio šaknis. dviejų skaičių yra lygus koeficiento narių šaknų daliniui. Paskutinė aptarta savybė yra kvadratinės šaknies paėmimas iš skaičiaus, pakelto iki lyginės laipsnio √a 2 n, todėl skaičius pakeltas iki laipsnio a n. Nagrinėjamos savybės galioja bet kokiems neneigiamiems skaičiams.

Nagrinėjami pavyzdžiai, kuriems reikia transformuoti išraiškas, turinčias kvadratinę šaknį. Teigiama, kad šiuose pavyzdžiuose daroma prielaida, kad a ir b yra neneigiami skaičiai. Pirmajame pavyzdyje reikia supaprastinti išraiškas √16a 4 /9b 4 ir √a 2 b 4 . Pirmuoju atveju taikoma savybė, kuri nustato, kad dviejų skaičių sandaugos kvadratinė šaknis yra lygi jų šaknų sandaugai. Transformacijos rezultate gaunama išraiška ab 2. Antroji išraiška naudoja koeficiento kvadratinės šaknies konvertavimo į šaknų koeficientą formulę. Transformacijos rezultatas yra išraiška 4a 2 /3b 3.

Antrame pavyzdyje būtina pašalinti koeficientą iš po kvadratinės šaknies ženklo. Nagrinėjamas reiškinių √81а, √32а 2, √9а 7 b 5 sprendimas. Naudodamiesi keturių išraiškų transformavimo pavyzdžiu, parodome, kaip kelių skaičių sandaugos šaknies transformavimo formulė naudojama panašioms problemoms spręsti. Šiuo atveju atskirai pažymimi atvejai, kai išraiškose yra lyginio arba nelyginio laipsnio skaitiniai koeficientai ir parametrai. Transformacijos rezultate gaunamos išraiškos √81а=9√а, √32а 2 =4а√2, √9а 7 b 5 =3а 3 b 2 √ab.

Trečiame pavyzdyje būtina atlikti operaciją, priešingą nei ankstesnėje užduotyje. Norėdami įvesti daugiklį po kvadratinės šaknies ženklu, taip pat turite mokėti naudoti išmoktas formules. Išreiškiniuose 2√2 ir 3a√b/√3a po šaknies ženklu siūloma įvesti koeficientą prieš skliaustus. Naudojant žinomas formules, veiksnys prieš šaknies ženklą yra paženklinamas kvadratu ir pateikiamas kaip veiksnys sandaugoje po šaknies ženklu. Pirmoje išraiškoje transformacijos rezultatas yra išraiška √8. Antroji išraiška pirmiausia naudoja produkto arklio formulę skaitikliui transformuoti, o tada koeficiento šaknies formulę, kad transformuotų visą išraišką. Radikaliojoje išraiškoje sumažinę skaitiklį ir vardiklį, gauname √3ab.

4 pavyzdyje reikia atlikti veiksmus išraiškose (√a+√b)(√a-√b). Norėdami išspręsti šią išraišką, įvedami nauji kintamieji, kurie pakeičia vienatūrius, turinčius šaknies ženklą √a=x ir √b=y. pakeitus naujus kintamuosius, akivaizdi galimybė panaudoti sutrumpintą daugybos formulę, po kurios išraiška įgauna formą x 2 -y 2. Grįžtant prie pradinių kintamųjų gauname a-b. Antroji išraiška (√a+√b) 2 taip pat gali būti konvertuojama naudojant trumpąją daugybos formulę. Atidarę skliaustus gauname rezultatą a+2√ab+b.

5 pavyzdyje išraiškos 4a-4√ab+b ir x√x+1 yra suskirstytos į koeficientus. Norint išspręsti šią problemą, būtina atlikti transformacijas ir išskirti bendrus veiksnius. Pritaikius kvadratinės šaknies savybes pirmajai išraiškai išspręsti, suma paverčiama skirtumo (2√a-√b) 2 kvadratu. Norėdami išspręsti antrąją išraišką, prieš šaknies ženklą po šaknimi turite įvesti koeficientą, tada pritaikykite kubų sumos formulę. Transformacijos rezultatas yra išraiška (√x+1)(x 2 -√x+1).

6 pavyzdyje parodytas problemos sprendimas, kai reikia supaprastinti išraišką (a√a+3√3)(√a-√3)/((√a-√3) 2 +√3a). Užduotis sprendžiama keturiais etapais. Pirmajame etape skaitiklis paverčiamas sandauga, naudojant sutrumpintą daugybos formulę – dviejų skaičių kubelių sumą. Antrajame veiksme transformuojamas raiškos vardiklis, kuris įgauna formą a-√3a+3. Po konvertavimo tampa įmanoma sumažinti frakciją. Paskutiniame etape taip pat taikoma sutrumpinta daugybos formulė, kuri padeda gauti galutinį rezultatą a-3.

Septintame pavyzdyje reikia atsikratyti kvadratinės šaknies trupmenų 1/√2 ir 1/(√3-√2) vardikliuose. Sprendžiant uždavinį, naudojama pagrindinė trupmenos savybė. Norint atsikratyti vardiklyje esančios šaknies, skaitiklis ir vardiklis padauginami iš to paties skaičiaus, kurio pagalba radikalioji išraiška pakeliama kvadratu. Skaičiavimų rezultate gauname 1/√2=√2/2 ir 1/(√3-√2)=√3+√2.

Nurodomos matematinės kalbos ypatybės dirbant su išraiškomis, turinčiomis šaknį. Pažymima, kad kvadratinės šaknies turinys trupmenos vardiklyje reiškia iracionalumo turinį. Ir apie šaknies ženklo atsikratymą tokiame vardiklyje kalbama kaip apie neracionalumo atsikratymą vardiklyje. Aprašomi būdai, kaip atsikratyti neracionalumo – norint transformuoti formos √a vardiklį, reikia skaitiklį kartu su vardikliu padauginti iš skaičiaus √a, o formos √a vardikliui pašalinti neracionalumą. -√b, skaitiklis ir vardiklis dauginami iš konjuguotos išraiškos √a+√ b. Pažymima, kad neracionalumo atsikratymas tokiu vardikliu labai supaprastina problemos sprendimą.

Vaizdo pamokos pabaigoje aptariamas reiškinio 7/√7-2/(√7-√5)+4/(√5+√3) supaprastinimas. Norėdami supaprastinti išraišką, naudojami aukščiau aptarti metodai, kaip atsikratyti neracionalumo trupmenų vardiklyje. Gautos išraiškos pridedamos, o po to supaprastinta išraiškos forma atrodo √5-2√3.

Vaizdo pamoką „Reiškių, kuriose yra kvadratinės šaknies ištraukimo operacija, transformavimas“ rekomenduojama naudoti tradicinėje mokyklos pamokoje, siekiant lavinti įgūdžius sprendžiant problemas, kuriose yra kvadratinė šaknis. Tuo pačiu tikslu vaizdo įrašą mokytojas gali naudoti nuotolinio mokymosi metu. Medžiaga taip pat gali būti rekomenduota studentams savarankiškam darbui namuose.

1. Pamokos santrauka tema: „Išraiškų, turinčių kvadratines šaknis, transformacija“ Tema: algebra, klasė: 8, vadovėlio autoriai: Yu.N. Makarychevas, N.G. Mindjukas, K.I. Neškovas, S.B. Suvorovas, red. S.A. Telakovskis. Pamokos tema: Posakių su kvadratinėmis šaknimis transformacija (§ 7, 19 pastraipa). Iš viso valandų tema: 16 Pamokos numeris tema: 14 Pamokos tipas: žinių apibendrinimas ir sisteminimas. Pamokos tikslas: sudaryti sąlygas mokiniams siekti ugdymo rezultatų tema: „Posakių, turinčių kvadratines šaknis, transformacija“  apibendrinti ir sisteminti mokinių žinias apie posakių transformacijas, t. turinčios kvadratines šaknis;  ugdyti aktyvumą, iniciatyvumą, savarankiškumą, savitarpio pagalbą atliekant užduotis sprendžiant problemas ta tema;  inicijuoti studentų kūrybinę, tiriamąją ir projektinę veiklą;  meta-subjekto UUD formavimas (reguliacinis, pažintinis, komunikacinis);  santykių tarp komponentų ir veiksmų rezultatų nustatymas;  įgytų žinių ir įgūdžių stebėjimas;  sveikatą tausojančių technologijų naudojimas pamokos metu. Pamokos uždaviniai: mokinių dalykinio (teorinio ir praktinio) turinio apibendrinimas tema „Kvadratinių šaknų turinčių posakių transformacija“:  gebėjimas pritaikyti žinias ir įgūdžius ta tema sprendžiant praktines problemas,  meistriškumo lygio kontrolė medžiagos,  meta dalykinės universalios edukacinės veiklos plėtojimas. Dalykas Žino: Numatytų ugdymo rezultatų nurodymai Metasubjektas (UD) Reguliuojantis pažintinis komunikacinis  ugdymo  priėmimo nustatymas ir  monologinių tikslų nustatymas žodinių teiginių išsaugojimo procese Asmeninis  kvadratinių šaknų turinčių posakių transformavimo reikšmės nustatymas; Gali: įvesti daugiklį po šaknies ženklu, pašalinti daugiklį iš po šaknies ženklo; atsikratyti neracionalumo trupmenos vardiklyje; supaprastinti išraiškas, kuriose yra kvadratinių šaknų; Norėdami supaprastinti išraiškas, kuriose yra kvadratinių šaknų, naudokite faktorių, įskaitant sutrumpintų daugybos formulių naudojimą. Švietimo informacija;  nustatytos edukacinės informacijos koreliacija su savo žiniomis ir įgūdžiais; priimant sprendimą dėl pagalbos panaudojimo;  edukacinės informacijos įsisavinimo stebėjimas;  atliktos veiklos rezultatų įvertinimas;  savidiagnostika ir savo auklėjamųjų veiksmų koregavimas. pažintinis tikslas;  informacijos ir žinių struktūrizavimas ir jų supratimas;  ženklų-simbolinių veiksmų atlikimas  efektyvių problemų sprendimo būdų pasirinkimas priklausomai nuo konkrečių sąlygų;  veiklos proceso ir rezultatų savikontrolė ir įsivertinimas  loginės samprotavimo grandinės konstravimas. forma;  dirba grupėje, teikia savitarpio pagalbą, peržiūri bendražygių atsakymus;  visuose ugdomosios ir pažintinės veiklos etapuose organizuoja tarpusavio kontrolę, tarpusavio patikrinimą ir kt.;  skaito pranešimus apie matematikos istoriją, matematikos ryšį su menu, praktika ir kt.;  dalyvauja kalbų aptarime. savo veiklos rezultatus savo poreikiams, motyvams, interesams tenkinti;  teigiamas požiūris į mokymąsi, į pažintinę veiklą, noras įgyti naujų žinių, įgūdžių, tobulinti turimus;  suvokti savo sunkumus ir stengtis juos įveikti. Pamokos užduotys 1 užduotis Racionalių reiškinių transformacija a c ac Trupmenų su panašiais vardikliais sudėjimas   b b b 1. Sudėkite skaitiklius (sudėkite skaitiklius, atidarykite skliaustus ir atsiveskite panašius terminus). 2. Vardiklį palikite tą patį. 3. Jei įmanoma, sumažinkite gautą rezultatą (trupmeną), pateikdami skaitiklį ir vardiklį kaip sandaugą. Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas a c ad  cb   b d bd 1. Padalinkite vardiklius. 2. Raskite mažiausią bendrą vardiklį (visų vardiklių veiksnių sandaugą, paimtą po vieną, iki didžiausios laipsnio). 3. Kiekvienai trupmenai raskite papildomų faktorių. 4. Kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš papildomo koeficiento. 5. Sudėkite trupmenas su tais pačiais vardikliais (1 algoritmas). Trupmenų dauginimas a c ac   b d bd 1. Padalinkite kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį. 2. Padauginkite skaitiklius neatplėšdami skliaustų ir įrašykite juos į skaitiklį. Padauginkite vardiklius neatplėšdami skliaustų ir įrašykite vardiklį. 3. Kiek įmanoma sumažinkite rezultatą. a c a d ad Trupmenų padalijimas:    b d b c bc 1. Pirmąją trupmeną padauginkite iš antrosios atvirkštinės vertės. 2. Stebėkite trupmenų dauginimo algoritmą. Faktorizacijos metodai 1. Išimkite bendrąjį koeficientą iš skliaustų (jei toks yra) ab±ac = a(b±c) 2. Pabandykite daugianarį koeficientuoti naudodami sutrumpintas daugybos formules 3. Pabandykite pritaikyti grupavimo metodą (jei ankstesni metodai neprivedė prie tikslų) ab+dc+ac+db=a(b+c)+d(b+c)=(b+c)(a+d) Posakių, turinčių šaknis, transformacija Daugiklio pašalinimo algoritmas iš po šaknies ženklo 1. Įsivaizduokite radikalią išraišką tokių faktorių sandaugos forma, kad kvadratinę šaknį būtų galima išskirti iš vieno. 2. Taikykime teoremą apie sandaugos šaknį. 3. Išskleiskite šaknį Daugiklio įvedimo po šaknies ženklu algoritmas 1. Įsivaizduokime sandaugą aritmetinės kvadratinės šaknies pavidalu. 2. Kvadratinių šaknų sandaugą paverskite radikalių išraiškų sandaugos kvadratine šaknimi. 3. Atlikite daugybą po šaknies ženklu. Iracionalumo atsikratymo trupmenos vardiklyje algoritmas 1. Padalinkite trupmenos vardiklį į veiksnius. 2. Jei vardiklis turi formą arba jame yra koeficiento skaitiklis ir vardiklis turi būti padaugintas iš, tada. Jei vardiklis yra tokios formos arba jame yra tokio tipo koeficientas, tada trupmenos skaitiklis ir vardiklis turi būti padauginti atitinkamai iš arba iš. 3. 3) Jei įmanoma, paverskite trupmenos skaitiklį ir vardiklį, tada sumažinkite gautą trupmeną. 2 užduotis 1 lygis 2 lygis 1. Supaprastinkite posakius: a)4 2  50  18 1. Supaprastinkite posakius: 1 a) 12  2 27  75 2 b)3 2 (5 2  32) b) 3 ( 2 3  12) c)(5  2) 2 d)(3  2)(3  2) 2. Sumažinkite trupmenas: 3 3 b2 3. Išspręskite lygtį, a) ; b) 2 3 (b  2) (b  2) prieš tai supaprastinus dešinę pusę: x 2  36  100  c) 4  5 2 2. Sumažinkite trupmenas: 1. Supaprastinkite išraišką: a) 4√ + 4√ − 4√; b) √9 + √49 − √64; c) √63 − √175 + 9√7; d) 2√8a + 0,3√45s − 4√18a + 0,01√500s. 2. Atlikite veiksmus ir suderinkite su teisingu atsakymu: -1 (√15 − √12)(√15 − 2√3) 6 -2√2 (4 + √2)(2 − √2) (√2 − √3 )(√2 + √3) 27 − 12√5 2 41 − 24√2 (3 − 4√2) 3. Išsilaisvinkite nuo neracionalumo trupmenos vardiklyje. 2 7 a) ; b) ; c)3√7; d) + . √5 √3 √ √ 4. Sumažinkite trupmeną. √5+x; b) a −√2 a2 −2 ; c) 3−√3 √3 ; d) √а+√ . − a) 5 5 ; b) 4b  2 10  5 2 2 b 2 3. Įrodykite, kad ši lygtis turi sveikųjų skaičių šaknis ir jas raskite: 3 užduotis 5− 2 2 g)(7  2 3)(7  2 3) x2  a)  10  3  10  3 4 užduotis 2 lygis 1 lygis Supaprastinkite reiškinį 1. √2 jei > 0, 2. √ 2 jei c< 0, 3. 3√с + 8√с − 9√с. Выполните действия 4. (2 + √3) ∙ (1 − √3) 5. (√2 + с) ∙ (с − √2) Освободитесь от иррациональности в знаменателе 6. . Вычислить 1. √852 − 842 Упростить выражение 2. -2√0.81а2 , если а<0 3. √10, если a> 0 4. (5√7 - √63 + √14) √7 5. (5√3- √11) ∙ (√11 + 5√3) Sumažinti frakcija 6. √3 a2 −3 (a+ √3) Nemokama save nuo iracionalumo vardiklyje Užduotis Nr. 1 2 3 A K D E -m c 3√ −√3 −2 -2m √ 2√ √3 +2 m 2c -2√ −2 + √3 √ -c2 2c −√3 + 2 5 c2+2 c-2 2 − √2 c2-2 6 3 3√ 3 2 3 √3 3 4 P 2 7. T 2 m -c 20c -m -√ -2c 2√3 −2√3 − √ 2 3 2 2 − 2√2 √3 3 4 √10+√6 Užduoties skaičius U 1 10 2 1,8a 3 2 4 14 - 7√2 5 6 75 a + √3 7 √10+√12 L R -а 5 14√27 11 √а - 3 13 0,8а −5 2√14 -7 86 √а + 3 10 + √6 8 а -2 72√7 -64 а√3 4√10 - 6 105 12 + √7 64 а2 - 3 14 -2а −10 7+ √14 -86 а2 +3 √10 √6 -12 0,9а 14+7 √2 -75 3√а 2 √16 6+ 0 Užduotis 1 2 lygis 64√10 1. Supaprastinkite posakius: 1 a) 12  2 27  75 2 b)3 2 (5 2  32)  c) 4  5 2 1. Supaprastinkite išraiškas: 1 30 a )  4  75 5 16   8  2 c) 5  2   3  5  d)1   3 7  2 8) 3  8  1 2 2 g)(7  2 3)(7  2 3) 2. Sumažinkite trupmenas: a) 5 5 10  5 2; b) 4b  2 2. Sumažinkite trupmenas: a) 2 b 2 3. Išspręskite lygtį: x2  100  6  2 2 6 6 3 ; b) 4a 2  4a b  b 4a 2  b 3. Išspręskite lygtį: 100  6 x 2   6  2 5  6  2 5  6  2 5  etapai. Organizacinis momentas Pamokos šūkis: „Matematikoje yra kažkas, kas sukelia žmogaus malonumą“ F. Hausdorff Scenos tikslai Pasirengimo pamokai tikrinimas. Teigiamas požiūris į klasę. Motyvacija Pamokos temos, tikslų ir uždavinių nustatymas. Apsisprendimas veikloje. Motyvacija mokymosi veiklai. Mokytojo veikla Priima mokinius, tikrina mokinių pasirengimą pamokai, pažymi nesančius, organizuoja vertinimo lapų pildymą. Mokinių veikla Mokytojai pasisveikina, pasitikrina pasirengimą pamokai, pildo vertinimo lapus 4 priedas. Padeda mokiniams suformuluoti pamokos temą, tikslus, tikslus ir turinį (priešakinis darbas su klase). Užduotis: apie ką kalba šie teiginiai? „Medis, gėlė turi tai, lygtys turi tai. Suformuluokite pamokos užduotis ir tikslus, atsakykite į mokytojo klausimus ir užsirašykite pamokos temą į sąsiuvinį. Jie dirba poromis su kortele, gulinčia ant stalų „Įsidėmėkime“ 1 priedas; Laikas 1 4 Ekskursija į istoriją Žinių atnaujinimas Seminaras 1. Savarankiškas darbas Pažintinės veiklos, pasaulėžiūros, domėjimosi dalyku ugdymas. Žinios atnaujinamos, organizuojami mokinių užsiėmimai edukacinei informacijai sisteminti „žinių“ lygmenyje. Ir yra ypatingas ženklas – radikalus, kuris su juo siejamas, be jokios abejonės. Tai daugelio užduočių rezultatas, ir mes su tuo nesiginčijame. Tikimės, kad visi galėjo atsakyti: tai yra... (šaknis). Padeda apibendrinti grupės darbą. Organizuoja ugdymo procesą 1. Patikrinkite mokinių teorijos žinias šia tema (raiškų, įskaitant turinčias kvadratines šaknis, transformavimo instrukcijos). 1 užduotis 2. Patikrinkite namų darbus. (priekinis darbas su klase). Studentų darbo rezultatų stebėjimas. Paaiškina individualaus darbo principą. Musmirė turi baltų ir geltonų dėmių. Baltos atitinka pagrindinio lygio užduotis, geltonos – aukštesniojo lygio užduotis. Mokiniai pasirenka užduotį savo nuožiūra. (rezultatai įrašomi į vertinimo lapą). Mokinys pasakoja klasei istorinę informaciją apie radikalaus ženklo atsiradimo istoriją. 3 priedas. Atsako į mokytojo klausimus, surašo diagramas ir instrukcijas sąsiuvinyje, lygina juos su lenta. 2 Savikontrolė ir įsivertinimas d.z. 5 (rezultatus įrašykite į balų lapą). Keturi mokiniai, savo nuožiūra pasirinkę užduotis, jas individualiai sprendžia sąsiuviniuose. Tada jie įsijungia į bendrą darbą. 15 Klasėje dirba po vieną mokinį. 3 užduotis. 2. Darbas su lenta Kūno kultūros pamoka Savarankiškas darbas Įtampos šalinimas, išsikrovimas Organizuoja atsipalaidavimo procesą EER pagalba (kūno kultūros pamoka iš svetainės videouroki.net). Vykdyti kontrolę ir Organizuoja ir kontroliuoja savo veiksmų, problemų sprendimo proceso vertinimus, atitinkamus 4. jų įgyvendinimo koregavimus. Savikontrolė Pamokos santrauka Organizuoja savarankiško darbo testą. Identifikuoja žinių įgijimo kokybę ir lygį, taip pat nustato nustatytų klaidų priežastis. Apibendrinant. Savianalizės ir savo veiklos įsivertinimas klasėje. Vadovauja mokinių veiklai įsivertinant darbą pamokoje. Apibendrina bendrus rezultatus ir paskelbia savo pažymius aktyviai dirbantiems mokiniams. Identifikuoja žinių įgijimo kokybę ir lygį, taip pat nustato nustatytų klaidų priežastis. prie lentos, likusieji – sąsiuviniuose. Atlikite pratimus. 2 Savarankiškai dirbti su užduotimis (kortelės pagal lygį). Dėl to jie gauna žinomų matematikų, kurie buvo paminėti pamokos istorinėje nuorodoje, vardus. Mokiniai analizuoja savo darbus, garsiai išsako savo sunkumus, diskutuoja apie problemų sprendimo teisingumą. Savarankiško darbo įsivertinimas įtrauktas į vertinimo lapą. Mokiniai savarankiškai įvertina savo darbą klasėje ir pažymi vertinimo lape. 10 2 2 Namų darbai. Užtikrinti, kad mokiniai suprastų namų darbų tikslą, turinį ir metodus. Pamokos pabaiga. Suteikia nurodymus, kaip atlikti užduotį. 5 užduotis. Mokiniai gauna namų darbų ataskaitą, surašo jį į dienoraštį ir užduoda mokytojui klausimus. Ačiū mokiniams už pamoką. Mokiniai susitvarko savo darbo vietą ir vertinimo lapus atiduoda ant mokytojo stalo. Atsisveikink su mokytoju. 2 1 priedas Atkreipkime dėmesį į 1. Maždaug 75 % suaugusiųjų ligų įgyja vaikystėje. Rūkantys vaikai savo gyvenimą sutrumpina √225 proc. Nustatykite dabartinių rūkančių vaikų gyvenimo trukmę, jei vidutinė gyvenimo trukmė Rusijoje yra 56 metai? 2. Mes valandų valandas žiūrime televizorių, ištisas dienas be pertraukų sėdime prie kompiuterio, be pertraukos kalbame mobiliaisiais telefonais, o tada negalime suprasti, kodėl mums taip skauda galvą ir esame tokie pavargę, kad galime nieko nematyti. Prisimink! Kompiuteriu rekomenduojama dirbti ne ilgiau √400 minučių, o tada reikia mankštinti akis. Turėtumėte kalbėti mobiliaisiais telefonais ne ilgiau kaip √1600 sekundžių. Žiūrėkite televizorių ne ilgiau nei √4 valandas. 3. Sveikata besirūpinantis mokinys turėtų tinkamai maitintis. 1 1 1 Per dieną galite suvalgyti ne daugiau √100 kg saldumynų, duonos paros norma √25 kg, sviesto √64 kg. Kiek gramų saldumynų, duonos, sviesto mokinys gali suvalgyti per dieną? 2 priedas -16 100 441 17 -10 -3 11 625 12 -2,1 36 -9 18 -2,4 -2 -6 0 8 55 5 25 49 13 54 3 169 1 14 94 6 7 45 14 94 6 7 45 -980 121 16 34 -2,7 -3,7 3 priedas Nuo XIII amžiaus italai ir kiti Europos matematikai šaknį žymėjo lotynišku žodžiu radix (sutrumpintai r) arba sutrumpintai R (iš čia ir terminas „radikalas“). Vokiečių matematikai XV a. Taškas ·5 buvo naudojamas kvadratinei šaknei žymėti. Vėliau vietoj taško imta dėti deimantą 5. 1525 m. H. Rudolfo knygoje „Greitas ir gražus skaičiavimas, pasitelkus sumanias algebros taisykles, paprastai vadinamą „Coss““, atsirado kvadratinės šaknies žymėjimas V. 1626 m. olandų matematikas A. Girardas įvedė žymą V, kuri netrukus pakeitė ženklą r, o virš radikalios išraiškos buvo išdėstyta horizontali linija. Šiuolaikinis šaknies žymėjimas pirmą kartą pasirodė Rene'o Descartes'o knygoje „Geometrija“, išleistoje 1637 m. 4 priedas Pavardė mokinio vardas klasės data Namų darbų įsivertinimas Atsiskaitymas už žodžiu Mokytojo individualaus darbo įvertinimas Savarankiško darbo įsivertinimas Bendras pamokos įvertinimas