Trikampis vadinamas smailiu trikampiu. Kas yra koja ir hipotenuzė? Kas yra trikampiai?

Trikampis – apibrėžimas ir bendrosios sąvokos

Trikampis yra paprastas daugiakampis, susidedantis iš trijų kraštinių ir turintis tą patį kampų skaičių. Jo plokštumas riboja 3 taškai ir 3 atkarpos, jungiančios šiuos taškus poromis.

Visos bet kurio trikampio viršūnės, nepaisant jo tipo, žymimos didžiosiomis lotyniškomis raidėmis, o jo kraštinės vaizduojamos atitinkamais priešingų viršūnių pavadinimais, tik ne didžiosiomis, o mažosiomis raidėmis. Taigi, pavyzdžiui, trikampis, kurio viršūnės pažymėtos A, B ir C, turi kraštines a, b, c.

Jei laikysime trikampį Euklido erdvėje, tai yra geometrinė figūra, sudaryta naudojant tris atkarpas, jungiančias tris taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje.

Atidžiai pažiūrėkite į aukščiau pateiktą paveikslėlį. Ant jo taškai A, B ir C yra šio trikampio viršūnės, o jo atkarpos vadinamos trikampio kraštinėmis. Kiekviena šio daugiakampio viršūnė sudaro kampus jo viduje.

Trikampių tipai

Pagal trikampių kampų dydį jie skirstomi į tokias atmainas kaip: Stačiakampiai;
Ūmus kampinis;
Bukas.

Stačiakampiams trikampiams priskiriami tie, kurių vienas stačiakampis, o kiti du smailieji.

Smailieji trikampiai yra tie, kurių visi kampai yra smailieji.

Ir jei trikampis turi vieną bukąjį, o kitus du smailiuosius, tai toks trikampis priskiriamas bukas.

Kiekvienas iš jūsų puikiai supranta, kad ne visi trikampiai turi lygias kraštines. Ir pagal jo kraštinių ilgį trikampius galima suskirstyti į:

Lygiašonis;
Lygiakraščiai;
Universalus.

Užduotis: Nupieškite įvairių tipų trikampius. Apibrėžkite juos. Kokį skirtumą tarp jų matote?

Pagrindinės trikampių savybės

Nors šie paprasti daugiakampiai gali skirtis vienas nuo kito savo kampų ar kraštinių dydžiu, kiekvienas trikampis turi pagrindines šiai figūrai būdingas savybes.

Bet kuriame trikampyje:

Bendra visų jo kampų suma yra 180º.
Jei jis priklauso lygiakraščiai, tada kiekvienas jo kampas yra 60º.
Lygiakraščio trikampio kampai yra vienodi ir vienodi.
Kuo mažesnė daugiakampio kraštinė, tuo mažesnis kampas priešais jį ir atvirkščiai, didesnis kampas yra priešais didesnę kraštinę.
Jei kraštinės yra lygios, tada priešais juos yra vienodi kampai ir atvirkščiai.
Jei paimtume trikampį ir pratęstume jo kraštinę, gautume išorinį kampą. Jis lygus vidinių kampų sumai.
Bet kuriame trikampyje jo kraštinė, nesvarbu, kurią pasirinksite, vis tiek bus mažesnė už kitų 2 kraštinių sumą, bet didesnė už jų skirtumą:

1. a< b + c, a >b–c;
2.b< a + c, b >a–c;
3. c< a + b, c >a–b.

Pratimas

Lentelėje pateikti jau žinomi du trikampio kampai. Žinodami bendrą visų kampų sumą, raskite, kam lygus trečiasis trikampio kampas, ir įveskite jį į lentelę:

1. Kiek laipsnių turi trečiasis kampas?
2. Kokiam trikampio tipui jis priklauso?

Trikampių lygiavertiškumo testai

Pasirašau

II ženklas

III ženklas

Trikampio aukštis, pusiausvyra ir vidurkis

Trikampio aukštis – statmenas, nubrėžtas iš figūros viršūnės į priešingą pusę, vadinamas trikampio aukščiu. Visi trikampio aukščiai susikerta viename taške. Visų 3 trikampio aukščių susikirtimo taškas yra jo ortocentras.

Atkarpa, nubrėžta iš tam tikros viršūnės ir jungianti ją priešingos pusės viduryje, yra mediana. Medianos, kaip ir trikampio aukščiai, turi vieną bendrą susikirtimo tašką – vadinamąjį trikampio svorio centrą arba centroidą.

Trikampio pusiausvyra yra atkarpa, jungianti kampo viršūnę ir tašką priešingoje pusėje, taip pat dalijanti šį kampą pusiau. Visos trikampio pusiausvyros susikerta viename taške, kuris vadinamas į trikampį įrašyto apskritimo centru.

Atkarpa, jungianti 2 trikampio kraštinių vidurio taškus, vadinama vidurio linija.

Istorinis fonas

Tokia figūra kaip trikampis buvo žinoma senovėje. Ši figūra ir jos savybės buvo paminėtos Egipto papirusuose prieš keturis tūkstančius metų. Šiek tiek vėliau, Pitagoro teoremos ir Herono formulės dėka, trikampio savybių tyrimas perėjo į aukštesnį lygį, tačiau vis tiek tai įvyko daugiau nei prieš du tūkstančius metų.

XV – XVI amžiuje buvo pradėta daug tirti trikampio savybes ir dėl to atsirado toks mokslas kaip planimetrija, pavadinta „Naujoji trikampio geometrija“.

Rusų mokslininkas N. I. Lobačevskis labai prisidėjo prie trikampių savybių pažinimo. Vėliau jo darbai buvo pritaikyti matematikoje, fizikoje ir kibernetikoje.

Dėl žinių apie trikampių savybes atsirado toks mokslas kaip trigonometrija. Paaiškėjo, kad jis reikalingas žmogui jo praktiniais poreikiais, nes jį naudoti tiesiog būtina rengiant žemėlapius, matuojant plotus ir net projektuojant įvairius mechanizmus.

Kokį žinomiausią trikampį žinote? Žinoma, tai yra Bermudų trikampis! Šį pavadinimą jis gavo šeštajame dešimtmetyje dėl geografinės taškų (trikampio viršūnių) padėties, kuriose, remiantis esama teorija, atsirado su juo susijusių anomalijų. Bermudų trikampio viršūnės yra Bermudai, Florida ir Puerto Rikas.

Užduotis: Kokias teorijas apie Bermudų trikampį esate girdėję?

Ar žinojote, kad Lobačevskio teorijoje, sudėjus trikampio kampus, jų suma visada yra mažesnė nei 180º. Riemano geometrijoje visų trikampio kampų suma yra didesnė nei 180º, o Euklido darbuose – 180 laipsnių.

Namų darbai

Išspręskite kryžiažodį duota tema

Klausimai kryžiažodžiui:

1. Kaip vadinasi statmenas, nubrėžtas iš trikampio viršūnės į tiesę, esančią priešingoje pusėje?
2. Kaip vienu žodžiu galima pavadinti trikampio kraštinių ilgių sumą?
3. Pavadinkite trikampį, kurio abi kraštinės yra lygios?
4. Pavadinkite trikampį, kurio kampas lygus 90°?
5. Kaip vadinasi didžiausia trikampio kraštinė?
6. Kaip vadinasi lygiašonio trikampio kraštinė?
7. Bet kuriame trikampyje jų visada yra trys.
8. Kaip vadinamas trikampis, kurio vienas iš kampų viršija 90°?
9. Atkarpos, jungiančios mūsų figūros viršų su priešingos pusės viduriu, pavadinimas?
10. Paprastame daugiakampyje ABC didžioji raidė A yra...?
11. Kaip vadinasi atkarpa, dalijanti trikampio kampą pusiau?

Klausimai trikampių tema:

1. Apibrėžkite.
2. Kiek jis turi aukščių?
3. Kiek bisektorių turi trikampis?
4. Kokia jo kampų suma?
5. Kokius šio paprasto daugiakampio tipus žinote?
6. Įvardykite trikampių taškus, kurie vadinami žymiaisiais.
7. Kokiu prietaisu galite matuoti kampą?
8. Jei laikrodžio rodyklės rodo 21 valandą. Kokį kampą sudaro valandų rodyklės?
9. Kokiu kampu pasisuka žmogus, jei jam duodama komanda „kairė“, „apskritimas“?
10. Kokius dar žinote apibrėžimus, susijusius su figūra, kuri turi tris kampus ir tris puses?

Dalykai > Matematika > Matematika 7 kl

Trikampis yra daugiakampis su trimis kraštinėmis (arba trimis kampais). Trikampio kraštinės dažnai žymimos mažomis raidėmis (a, b, c), kurios atitinka didžiąsias raides, žyminčias priešingas viršūnes (A, B, C).

Jei visi trys trikampio kampai yra smailieji, tai yra aštrus trikampis.

Jei vienas iš trikampio kampų yra stačias, tai yra stačiakampis trikampis. Statų kampą sudarančios kraštinės vadinamos kojos. Priešinga stačiajam kampui esanti pusė vadinama hipotenuzė.

Jei vienas iš trikampio kampų yra bukas, tada jis yra bukas trikampis.

Lygiašonis trikampis, jei abi jo kraštinės lygios; šios lygios kraštinės vadinamos šoninėmis, o trečioji kraštinė – trikampio pagrindu.

Lygiakraštis trikampis, jei visos jo kraštinės lygios.

Pagrindinės trikampių savybės

Bet kuriame trikampyje:

1. Priešais didesnę pusę yra didesnis kampas ir atvirkščiai.

2. Lygi kampai yra priešais lygias puses ir atvirkščiai.
Visų pirma, visi lygiakraščio trikampio kampai yra lygūs.

3. Trikampio kampų suma lygi 180º.
Iš paskutinių dviejų savybių išplaukia, kad kiekvienas kampas yra lygiakraštyje
trikampis yra 60 laipsnių.

4. Tęsdami vieną iš trikampio kraštinių, gauname išorinę
kampe. Išorinis trikampio kampas yra lygus vidinių kampų sumai,
ne šalia jo.

5. Bet kuri trikampio kraštinė yra mažesnė už kitų dviejų kraštinių sumą ir didesnė
jų skirtumai.

Trikampių lygybės ženklai.

Trikampiai yra kongruentiški, jei jie yra atitinkamai lygūs:

A) dvi kraštinės ir kampas tarp jų;
b) du kampai ir prie jų esanti pusė;
c) trys pusės.

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai.

Du stačiakampiai trikampiai yra sutampa, jei yra viena iš šių sąlygų:

1) jų kojos lygios;
2) vieno trikampio kojelė ir įstrižainė yra lygios kito kojai ir hipotenusei;
3) vieno trikampio įduba ir smailusis kampas yra lygūs kito trikampio įtvarui ir smailiam kampui;
4) vieno trikampio kojelė ir gretimas smailusis kampas yra lygūs kito trikampio kojai ir gretimam smailiam kampui;
5) vieno trikampio kojelė ir priešingas smailusis kampas yra lygūs kito kojai, o priešingas smailusis kampas.

Trikampio aukštis yra statmenas, numestas iš bet kurios viršūnės į priešingą pusę (arba jos tęsinį). Ši kraštinė vadinama trikampio pagrindu. Trys trikampio aukščiai visada susikerta viename taške, vadinamame trikampio ortocentras. Smailaus trikampio stačiakampis yra trikampio viduje, o bukojo trikampio ortocentras yra išorėje; Stačiojo trikampio ortocentras sutampa su stačiojo kampo viršūne.

Mediana yra atkarpa, jungianti bet kurią trikampio viršūnę su priešingos kraštinės viduriu. Trys trikampio medianos susikerta viename taške, kuris visada yra trikampio viduje ir yra jo svorio centras. Šis taškas padalija kiekvieną medianą santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnės.

Lygiašonio trikampio medianos savybė. Lygiašoniame trikampyje mediana, nubrėžta į pagrindą, yra pusiausvyra ir aukštis.

Bisektorius- tai kampo nuo viršūnės iki susikirtimo su priešinga puse taško bisektoriaus atkarpa. Trys trikampio pusiausvyros susikerta viename taške, kuris visada yra trikampio viduje ir yra įbrėžto apskritimo centras. Bisektorius dalija priešingą pusę į dalis, proporcingas gretimoms kraštinėms.

Mediana statmena yra statmenas, nubrėžtas iš atkarpos (kraštinės) vidurio taško. Trys statmenos trikampio medianos susikerta viename taške, kuris yra apibrėžto apskritimo centras. Smailiame trikampyje šis taškas yra trikampio viduje; buku kampu - išorėje; stačiakampėje - hipotenuzės viduryje. Stačiakampis, svorio centras, apskritimo centras ir įbrėžtas apskritimas sutampa tik lygiakraštyje trikampyje.

Vidurinė trikampio linija yra atkarpa, jungianti jos dviejų kraštinių vidurio taškus.

Trikampio vidurio linijos savybė. Vidurinė trikampio linija, jungianti dviejų nurodytų kraštinių vidurio taškus, yra lygiagreti trečiajai kraštinei ir lygi jos pusei.

Pitagoro teorema. Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės ilgio kvadratas yra lygus kojų ilgių kvadratų sumai. c 2 = a 2 + b 2 .

Pitagoro teoremos įrodymai tu gali pamatyti Čia.

Sinusų teorema. Trikampio kraštinės yra proporcingos priešingų kampų sinusams .

Kosinuso teorema. Bet kurios trikampio kraštinės kvadratas yra lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai be šių kraštinių dvigubos sandaugos iš kampo tarp jų kosinuso .

Sinuso teoremos ir kosinuso teoremos įrodymai tu gali pamatyti Čia.

Teorema apie trikampio kampų sumą. Trikampio vidinių kampų suma yra 180°.

Trikampio išorinio kampo teorema. Išorinis trikampio kampas yra lygus dviejų vidinių kampų, kurie nėra greta jo, sumai.

Net ikimokyklinio amžiaus vaikai žino, kaip atrodo trikampis. Tačiau vaikai jau pradeda suprasti, kokie jie yra mokykloje. Vienas tipas yra bukas trikampis. Lengviausias būdas suprasti, kas tai yra, yra pamatyti jo nuotrauką. Ir teoriškai tai yra tai, ką jie vadina „paprasčiausiu daugiakampiu“ su trimis kraštinėmis ir viršūnėmis, iš kurių viena yra

Sąvokų supratimas

Geometrijoje yra šių tipų figūros su trimis kraštinėmis: smailus, dešinysis ir bukas trikampis. Be to, šių paprasčiausių daugiakampių savybės yra vienodos visiems. Taigi visoms išvardytoms rūšims ši nelygybė bus stebima. Bet kurių dviejų kraštinių ilgių suma būtinai bus didesnė už trečiosios kraštinės ilgį.

Tačiau norint įsitikinti, kad kalbame apie visą figūrą, o ne apie atskirų viršūnių rinkinį, būtina patikrinti, ar tenkinama pagrindinė sąlyga: buko trikampio kampų suma lygi 180 laipsnių. . Tas pats pasakytina ir apie kitų tipų figūras su trimis kraštais. Tiesa, bukajame trikampyje vienas iš kampų bus net didesnis nei 90°, o likę du tikrai smailūs. Šiuo atveju tai yra didžiausias kampas, kuris bus priešais ilgiausią kraštą. Tiesa, tai dar ne visos buko trikampio savybės. Tačiau net ir žinodami tik šias savybes, moksleiviai gali išspręsti daugybę geometrijos problemų.

Kiekvienam daugiakampiui, turinčiam tris viršūnes, taip pat tiesa, kad tęsdami bet kurią iš kraštinių gauname kampą, kurio dydis bus lygus dviejų negretimų vidinių viršūnių sumai. Bukojo trikampio perimetras apskaičiuojamas taip pat, kaip ir kitų formų. Jis lygus visų jo kraštinių ilgių sumai. Norėdami tai nustatyti, matematikai sukūrė įvairias formules, priklausomai nuo to, kokie duomenys iš pradžių yra.

Teisingas stilius

Viena iš svarbiausių geometrijos uždavinių sprendimo sąlygų yra teisingas brėžinys. Matematikos mokytojai dažnai sako, kad tai padės ne tik įsivaizduoti, kas duota ir ko iš jūsų reikalaujama, bet ir 80% priartėti prie teisingo atsakymo. Štai kodėl svarbu žinoti, kaip sukurti bukąjį trikampį. Jei jums reikia tik hipotetinės figūros, galite nubrėžti bet kurį daugiakampį su trimis kraštinėmis, kad vienas iš kampų būtų didesnis nei 90 laipsnių.

Jei pateikiamos tam tikros kraštinių ilgių ar kampų laipsnių reikšmės, tada pagal jas reikia nubrėžti bukąjį trikampį. Tokiu atveju reikia stengtis kuo tiksliau pavaizduoti kampus, juos apskaičiuojant naudojant transporterį, o šonus atvaizduoti proporcingai užduotyje pateiktoms sąlygoms.

Pagrindinės linijos

Dažnai moksleiviams nepakanka tik žinoti, kaip turi atrodyti tam tikros figūros. Jie negali apsiriboti informacija tik apie tai, kuris trikampis yra bukas, o kuris teisingas. Matematikos kursas reikalauja, kad jų žinios apie pagrindines figūrų savybes būtų išsamesnės.

Taigi, kiekvienas moksleivis turėtų suprasti pusiausvyros, medianos, statmeno bisektoriaus ir aukščio apibrėžimą. Be to, jis turi žinoti pagrindines jų savybes.

Taigi, bisektoriniai padalija kampą per pusę, o priešingą pusę - į segmentus, kurie yra proporcingi gretimoms kraštinėms.

Mediana padalija bet kurį trikampį į du vienodus ploto. Taške, kuriame jie susikerta, kiekvienas iš jų yra padalintas į 2 segmentus santykiu 2: 1, žiūrint iš viršūnės, iš kurios jis atsirado. Šiuo atveju didžioji mediana visada traukiama į mažiausią jos pusę.

Ne mažiau dėmesio skiriama ir ūgiui. Tai statmena pusei, esančiai priešais kampą. Bukojo trikampio aukštis turi savo ypatybes. Jei jis nubrėžtas iš aštrios viršūnės, tada jis atsiduria ne šio paprasčiausio daugiakampio šone, o jo tęsinyje.

Statmenas bisector yra linijos atkarpa, kuri tęsiasi nuo trikampio veido centro. Be to, jis yra stačiu kampu į jį.

Darbas su ratais

Pradedant mokytis geometrijos, vaikams pakanka suprasti, kaip nupiešti bukąjį trikampį, išmokti jį atskirti nuo kitų tipų ir prisiminti pagrindines jo savybes. Tačiau gimnazistams šių žinių nebeužtenka. Pavyzdžiui, vieningo valstybinio egzamino metu dažnai kyla klausimų apie apibrėžtus ir užrašytus apskritimus. Pirmasis iš jų liečia visas tris trikampio viršūnes, o antrasis turi vieną bendrą tašką su visomis kraštinėmis.

Sukonstruoti įbrėžtą arba apibrėžtą bukąjį trikampį yra daug sunkiau, nes tam pirmiausia reikia išsiaiškinti, kur turi būti apskritimo centras ir jo spindulys. Beje, tokiu atveju būtinu įrankiu taps ne tik pieštukas su liniuote, bet ir kompasas.

Tie patys sunkumai iškyla statant įbrėžtus daugiakampius su trimis kraštinėmis. Matematikai sukūrė įvairias formules, leidžiančias kuo tiksliau nustatyti jų buvimo vietą.

Įrašyti trikampiai

Kaip minėta anksčiau, jei apskritimas eina per visas tris viršūnes, tada jis vadinamas apskritimu. Pagrindinė jo savybė yra unikalumas. Norėdami sužinoti, kaip turėtų būti apribotas bukojo trikampio apskritimas, turite atsiminti, kad jo centras yra trijų bisektorinių statmenų, einančių į figūros šonus, sankirtoje. Jei smailaus kampo daugiakampyje su trimis viršūnėmis šis taškas bus jo viduje, tai bukukampiame daugiakampyje jis bus už jo ribų.

Pavyzdžiui, žinodami, kad viena iš bukojo trikampio kraštinių yra lygi jo spinduliui, galite rasti kampą, esantį priešais žinomą paviršių. Jo sinusas bus lygus rezultatui, padalijus žinomos kraštinės ilgį iš 2R (kur R yra apskritimo spindulys). Tai reiškia, kad kampo nuodėmė bus lygi ½. Tai reiškia, kad kampas bus lygus 150°.

Jei reikia rasti bukojo trikampio apskritimo spindulį, tuomet reikės informacijos apie jo kraštinių ilgį (c, v, b) ir plotą S. Juk spindulys apskaičiuojamas taip: (c x v x b) : 4 x S. Beje, nesvarbu, kokio tipo figūrą turite: mastelinis bukas trikampis, lygiašonis, stačiakampis ar smailus. Bet kurioje situacijoje, aukščiau pateiktos formulės dėka, galite sužinoti tam tikro daugiakampio plotą su trimis kraštinėmis.

Apriboti trikampiai

Taip pat dažnai tenka dirbti su užrašytais apskritimais. Pagal vieną formulę tokios figūros spindulys, padaugintas iš ½ perimetro, bus lygus trikampio plotui. Tiesa, norint tai išsiaiškinti, reikia žinoti bukojo trikampio kraštines. Galų gale, norint nustatyti ½ perimetro, reikia pridėti jų ilgius ir padalyti iš 2.

Norint suprasti, kur turi būti į bukąjį trikampį įbrėžto apskritimo centras, reikia nubrėžti tris pusiausvyras. Tai linijos, dalijančios kampus. Būtent jų sankirtoje bus apskritimo centras. Tokiu atveju jis bus vienodu atstumu nuo kiekvienos pusės.

Tokio į bukąjį trikampį įbrėžto apskritimo spindulys lygus daliniui (p-c) x (p-v) x (p-b): p. Šiuo atveju p yra trikampio pusiau perimetras, c, v, b yra jo kraštinės.

Paprasčiausias daugiakampis, kuris mokomas mokykloje, yra trikampis. Tai labiau suprantama studentams ir susiduriama su mažiau sunkumų. Nepaisant to, kad yra įvairių tipų trikampių, kurie turi ypatingų savybių.

Kokia forma vadinama trikampiu?

Sudaryta iš trijų taškų ir atkarpų. Pirmosios vadinamos viršūnėmis, antrosios – šoninėmis. Be to, visi trys segmentai turi būti sujungti taip, kad tarp jų susidarytų kampai. Iš čia ir kilo „trikampio“ figūros pavadinimas.

Vardų skirtumai kampuose

Kadangi jie gali būti smailūs, buki ir tiesūs, trikampių tipai nustatomi pagal šiuos pavadinimus. Atitinkamai yra trys tokių figūrų grupės.

Pirma. Jei visi trikampio kampai yra smailieji, tada jis bus vadinamas smailiu. Viskas logiška.

Antra. Vienas iš kampų yra bukas, o tai reiškia, kad trikampis yra bukas. Tai negali būti paprasčiau.

Trečia. Yra kampas, lygus 90 laipsnių, kuris vadinamas stačiu kampu. Trikampis tampa stačiakampis.

Vardų skirtumai šonuose

Priklausomai nuo kraštinių savybių, išskiriami šie trikampių tipai:

bendras atvejis yra skalė, kurioje visos kraštinės yra savavališko ilgio;

lygiašoniai, kurių dvi kraštinės turi vienodas skaitines reikšmes;

lygiakraštis, visų jo kraštinių ilgiai yra vienodi.

Jei problema nenurodo konkretaus trikampio tipo, turite nupiešti savavališką trikampį. Kurių visi kampai yra aštrūs, o šonai yra skirtingo ilgio.

Visiems trikampiams bendros savybės

Jei sudėsite visus trikampio kampus, gausite skaičių, lygų 180º. Ir nesvarbu, koks jis tipas. Ši taisyklė galioja visada.
Bet kurios trikampio kraštinės skaitinė vertė yra mažesnė nei kitų dviejų kartu sudėjus. Be to, tai didesnis nei jų skirtumas.
Kiekvienas išorinis kampas turi reikšmę, kuri gaunama pridedant du vidinius kampus, kurie nėra šalia jo. Be to, jis visada yra didesnis nei vidinis, esantis šalia jo.
Mažiausias kampas visada yra priešais mažesnę trikampio kraštinę. Ir atvirkščiai, jei pusė yra didelė, tada kampas bus didžiausias.

Šios savybės galioja visada, nesvarbu, kokie trikampių tipai nagrinėjami uždaviniuose. Visa kita išplaukia iš specifinių savybių.

Lygiašonio trikampio savybės

Kampai, esantys greta pagrindo, yra lygūs.
Aukštis, nubrėžtas prie pagrindo, taip pat yra mediana ir pusiausvyra.
Trikampio šoninėse kraštinėse pastatyti aukščiai, medianos ir pusiausvyros yra atitinkamai vienodi.

Lygiakraščio trikampio savybės

Jei yra toks skaičius, tada visos šiek tiek aukščiau aprašytos savybės bus teisingos. Nes lygiakraštis visada bus lygiakraštis. Bet ne atvirkščiai, lygiakraštis trikampis nebūtinai bus lygiakraštis.

Visi jo kampai yra lygūs vienas kitam ir jų vertė yra 60º.
Bet kuri lygiakraščio trikampio mediana yra jo aukštis ir pusiausvyra. Be to, jie visi yra lygūs vienas kitam. Norint nustatyti jų vertes, yra formulė, kurią sudaro kraštinės sandauga ir kvadratinė šaknis iš 3, padalyta iš 2.

Stačiojo trikampio savybės

Du aštrūs kampai sudaro 90º.
Hipotenuzės ilgis visada yra didesnis nei bet kurios kojos.
Į hipotenuzę nubrėžtos medianos skaitinė reikšmė yra lygi jos pusei.
Koja lygi tokiai pačiai vertei, jei ji yra priešais 30º kampą.
Aukštis, nubrėžtas iš viršūnės, kurios vertė yra 90º, turi tam tikrą matematinę priklausomybę nuo kojų: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Čia: a, b - kojos, n - aukštis.

Problemos su įvairių tipų trikampiais

Nr. 1. Duotas lygiašonis trikampis. Jo perimetras yra žinomas ir lygus 90 cm. Turime išsiaiškinti jo puses. Kaip papildoma sąlyga: šoninė pusė 1,2 karto mažesnė už pagrindą.

Perimetro vertė tiesiogiai priklauso nuo kiekių, kuriuos reikia rasti. Visų trijų kraštinių suma duos 90 cm Dabar reikia prisiminti trikampio ženklą, pagal kurį jis yra lygiašonis. Tai yra, abi pusės yra lygios. Galite sukurti lygtį su dviem nežinomaisiais: 2a + b = 90. Čia a yra kraštinė, b yra pagrindas.

Dabar atėjo laikas papildomai sąlygai. Po jos gaunama antroji lygtis: b = 1.2a. Šią išraišką galite pakeisti pirmuoju. Pasirodo: 2a + 1.2a = 90. Po transformacijų: 3.2a = 90. Vadinasi, a = 28.125 (cm). Dabar lengva išsiaiškinti pagrindą. Tai geriausia padaryti iš antrosios sąlygos: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

Norėdami patikrinti, galite pridėti tris reikšmes: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). tai tiesa.

Atsakymas: trikampio kraštinės yra 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

Nr. 2. Lygiakraščio trikampio kraštinė yra 12 cm. Turite apskaičiuoti jo aukštį.

Sprendimas. Norint rasti atsakymą, pakanka grįžti į momentą, kai buvo aprašytos trikampio savybės. Tai formulė lygiakraščio trikampio aukščiui, medianai ir pusiausvyrai rasti.

n = a * √3 / 2, kur n yra aukštis, o a yra kraštinė.

Pakeitimas ir skaičiavimas duoda tokį rezultatą: n = 6 √3 (cm).

Šios formulės įsiminti nereikia. Pakanka prisiminti, kad aukštis padalija trikampį į du stačiakampius. Be to, pasirodo, kad tai koja, o joje esanti hipotenuzė yra pradinės pusės pusė, antroji koja yra pusė žinomos pusės. Dabar reikia užsirašyti Pitagoro teoremą ir išvesti aukščio formulę.

Atsakymas: aukštis 6√3 cm.

Nr. 3. Duotas MKR yra trikampis, kuriame kampas K sudaro 90 laipsnių. Kraštinės MR ir KR yra lygios atitinkamai 30 ir 15 cm. Turime išsiaiškinti kampo P reikšmę.

Sprendimas. Jei padarysite piešinį, paaiškės, kad MR yra hipotenuzė. Be to, jis yra dvigubai didesnis už KR šoną. Vėlgi reikia kreiptis į savybes. Vienas iš jų yra susijęs su kampais. Iš to aišku, kad KMR kampas yra 30º. Tai reiškia, kad norimas kampas P bus lygus 60º. Tai išplaukia iš kitos savybės, kuri teigia, kad dviejų smailiųjų kampų suma turi būti lygi 90º.

Atsakymas: kampas P yra 60º.

Nr. 4. Turime rasti visus lygiašonio trikampio kampus. Yra žinoma, kad išorinis kampas nuo kampo prie pagrindo yra 110º.

Sprendimas. Kadangi nurodytas tik išorinis kampas, tai reikia naudoti. Jis sudaro neišskleistą kampą su vidiniu. Tai reiškia, kad iš viso jie suteiks 180º. Tai yra, kampas prie trikampio pagrindo bus lygus 70º. Kadangi jis yra lygiašonis, antrasis kampas turi tokią pačią reikšmę. Belieka apskaičiuoti trečiąjį kampą. Pagal visiems trikampiams būdingą savybę, kampų suma yra 180º. Tai reiškia, kad trečiasis bus apibrėžtas kaip 180º - 70º - 70º = 40º.

Atsakymas: kampai yra 70º, 70º, 40º.

Nr. 5. Yra žinoma, kad lygiašonio trikampio kampas prieš pagrindą yra 90º. Ant pagrindo yra pažymėtas taškas. Atkarpa, jungianti jį su stačiu kampu, padalija ją santykiu 1 su 4. Reikia išsiaiškinti visus mažesniojo trikampio kampus.

Sprendimas. Iš karto galima nustatyti vieną iš kampų. Kadangi trikampis yra stačiakampis ir lygiašonis, tie, kurie yra jo pagrinde, bus 45º, ty 90º/2.

Antrasis iš jų padės rasti sąlygoje žinomą ryšį. Kadangi jis lygus nuo 1 iki 4, tai dalys, į kurias jis padalintas, yra tik 5. Tai reiškia, kad norint sužinoti mažesnį trikampio kampą reikia 90º/5 = 18º. Belieka išsiaiškinti trečiąjį. Norėdami tai padaryti, turite atimti 45º ir 18º iš 180º (visų trikampio kampų sumos). Skaičiavimai yra paprasti, ir jūs gaunate: 117º.

Šiandien vykstame į Geometrijos šalį, kur susipažinsime su įvairių tipų trikampiais.

Apsvarstykite geometrines figūras ir raskite tarp jų „papildomą“ (1 pav.).

Ryžiai. 1. Pavyzdžiui, iliustracija

Matome, kad figūros Nr. 1, 2, 3, 5 yra keturkampiai. Kiekvienas iš jų turi savo pavadinimą (2 pav.).

Ryžiai. 2. Keturkampiai

Tai reiškia, kad „papildoma“ figūra yra trikampis (3 pav.).

Ryžiai. 3. Pavyzdžiui, iliustracija

Trikampis yra figūra, kurią sudaro trys taškai, kurie nėra vienoje tiesėje, ir trys atkarpos, jungiančios šiuos taškus poromis.

Taškai vadinami trikampio viršūnes, segmentai – jo vakarėliams. Susiformuoja trikampio kraštinės Trikampio viršūnėse yra trys kampai.

Pagrindinės trikampio savybės yra trys šonai ir trys kampai. Pagal kampo dydį trikampiai yra aštrus, stačiakampis ir bukas.

Trikampis vadinamas smailiuoju, jei visi trys jo kampai yra smailieji, tai yra mažesni nei 90° (4 pav.).

Ryžiai. 4. Smailus trikampis

Trikampis vadinamas stačiakampiu, jei vienas jo kampas yra 90° (5 pav.).

Ryžiai. 5. Statusis trikampis

Trikampis vadinamas buku, jei vienas jo kampas yra bukas, tai yra didesnis nei 90° (6 pav.).

Ryžiai. 6. Bukas trikampis

Remiantis lygių kraštinių skaičiumi, trikampiai yra lygiakraščiai, lygiašoniai, skalės.

Lygiašonis trikampis yra tas, kurio dvi kraštinės lygios (7 pav.).

Ryžiai. 7. Lygiašonis trikampis

Šios pusės vadinamos šoninis, trečioji šalis – pagrindu. Lygiašonio trikampio pagrindo kampai yra lygūs.

Yra lygiašonių trikampių ūmus ir bukas(8 pav.) .

Ryžiai. 8. Smailieji ir bukieji lygiašoniai trikampiai

Lygiakraščiu trikampiu laikomas tas, kurio visos trys kraštinės lygios (9 pav.).

Ryžiai. 9. Lygiakraštis trikampis

Lygiakraščiame trikampyje visi kampai lygūs. Lygiakraščiai trikampiai Visada smailaus kampo.

Skaleninis trikampis yra toks, kurio visos trys kraštinės yra skirtingo ilgio (10 pav.).

Ryžiai. 10. Skaleninis trikampis

Atlikite užduotį. Paskirstykite šiuos trikampius į tris grupes (11 pav.).

Ryžiai. 11. Užduoties iliustracija

Pirma, paskirstykime pagal kampų dydį.

Smailūs trikampiai: Nr.1, Nr.3.

Statieji trikampiai: Nr. 2, Nr. 6.

Bukieji trikampiai: Nr. 4, Nr. 5.

Tuos pačius trikampius paskirstysime į grupes pagal lygių kraštinių skaičių.

Skaleniniai trikampiai: Nr.4, Nr.6.

Lygiašoniai trikampiai: Nr.2, Nr.3, Nr.5.

Lygiakraštis trikampis: Nr. 1.

Pažiūrėkite į paveikslėlius.

Pagalvokite, iš kokio vielos gabalo buvo pagamintas kiekvienas trikampis (12 pav.).

Ryžiai. 12. Užduoties iliustracija

Galite galvoti taip.

Pirmasis vielos gabalas padalintas į tris lygias dalis, todėl iš jo galite padaryti lygiakraštį trikampį. Nuotraukoje jis parodytas trečias.

Antrasis vielos gabalas padalintas į tris skirtingas dalis, todėl iš jo galima padaryti skaleninį trikampį. Nuotraukoje jis parodytas pirmiausia.

Trečias vielos gabalas padalintas į tris dalis, kur dvi dalys yra vienodo ilgio, tai reiškia, kad iš jo galima padaryti lygiašonį trikampį. Nuotraukoje jis parodytas antras.

Šiandien klasėje sužinojome apie įvairių tipų trikampius.

Nuorodos

M.I. Moreau, M.A. Bantova ir kt.: vadovėlis. 3 klasė: 2 dalyse, 1 dalis. - M.: „Švietimas“, 2012 m.
M.I. Moreau, M.A. Bantova ir kt.: vadovėlis. 3 klasė: 2 dalyse, 2 dalis. - M.: „Švietimas“, 2012 m.
M.I. Moro. Matematikos pamokos: Metodinės rekomendacijos mokytojams. 3 klasė. - M.: Švietimas, 2012 m.
Reguliavimo dokumentas. Mokymosi rezultatų stebėjimas ir vertinimas. - M.: „Švietimas“, 2011 m.
„Rusijos mokykla“: programos pradinei mokyklai. - M.: „Švietimas“, 2011 m.
S.I. Volkova. Matematika: Testinis darbas. 3 klasė. - M.: Švietimas, 2012 m.
V.N. Rudnickaja. Testai. - M.: „Egzaminas“, 2012 m.