Objekto perdavimo funkcija vadinama santykiu. Norėdami nustatyti bendrą perdavimo funkciją, parašome sistemos išvesties kintamojo išraišką

DE Laplaso transformacija leidžia įvesti patogią perdavimo funkcijos koncepciją, apibūdinančią dinamines sistemos savybes.

Pavyzdžiui, operatoriaus lygtis

3s 2 Y (s) + 4sY (s) + Y (s) = 2sX (s) + 4x (s)

gali būti transformuojami iš skliaustų išimant X(-ius) ir Y(-ius) ir padalijus vienas iš kito:

Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)

Gauta išraiška vadinama perdavimo funkcija.

Perdavimo funkcija vadinamas išvesties efekto Y (-ių) vaizdo ir įvesties X (-ių) vaizdo santykiu nulinėmis pradinėmis sąlygomis.

(2.4)

Perkėlimo funkcija yra sudėtingo kintamojo trupmeninė racionali funkcija:

čia B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m – skaitiklio daugianario,

A(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + … + a n s n - vardiklio daugianario.

Perkėlimo funkcija turi eilę, kuri nustatoma pagal vardiklio daugianario (n) eilę.

Iš (2.4) išplaukia, kad išėjimo signalo vaizdą galima rasti kaip

Y(s) = W(s)*X(s).

Kadangi sistemos perdavimo funkcija visiškai lemia jos dinamines savybes, pradinė ASR skaičiavimo užduotis yra sumažinta iki jos perdavimo funkcijos nustatymo.

2.6.2 Tipinių nuorodų pavyzdžiai

Sistemos grandis – tai sistemos elementas, turintis tam tikras dinamines savybes. Valdymo sistemų jungtys gali būti skirtingos fizinės prigimties (elektrinės, pneumatinės, mechaninės ir kt. jungtys), tačiau aprašomos tuo pačiu nuotolinio valdymo pulteliu, o įvesties ir išvesties signalų santykį grandyse apibūdina tos pačios perdavimo funkcijos.

TAU išskiriama grupė paprasčiausių vienetų, kurie dažniausiai vadinami tipiniais. Statinės ir dinaminės tipinių grandžių charakteristikos buvo ištirtos gana išsamiai. Standartinės nuorodos plačiai naudojamos nustatant valdymo objektų dinamines charakteristikas. Pavyzdžiui, žinant trumpalaikį atsaką, sukonstruotą naudojant įrašymo įrenginį, dažnai galima nustatyti, kokio tipo saitams priklauso valdymo objektas, taigi ir jo perdavimo funkcija, diferencialinė lygtis ir pan., t.y. objekto modelis. Tipinės nuorodos Bet kuri sudėtinga nuoroda gali būti pavaizduota kaip paprastesnių nuorodų jungtis.

Paprasčiausios tipinės nuorodos apima:

stiprinimas,

inercinė (pirmos eilės periodinė),

integruojantis (tikras ir idealus),

atskirti (tikrą ir idealų),

periodinė 2 eilė,

svyruojantis,

atidėtas.

1) Sutvirtinanti jungtis.

Nuoroda sustiprina įvesties signalą K kartų. Ryšio lygtis y = K*x, perdavimo funkcija W(s) = K. Iškviečiamas parametras K įgyti .

Tokios grandies išvesties signalas tiksliai pakartoja įvesties signalą, sustiprintą K kartų (žr. 1.18 pav.).

Su laipsnišku veiksmu h(t) = K.

Tokių jungčių pavyzdžiai: mechaninės transmisijos, jutikliai, beinercijos stiprintuvai ir kt.

2) Integravimas.

2.1) Idealus integravimas.

Idealios integruojančios grandies išvesties vertė yra proporcinga įvesties vertės integralui:

; W(s) =

Kai įėjimui taikoma žingsninio veiksmo nuoroda x(t) = 1, išėjimo signalas nuolat didėja (žr. 1.19 pav.):

Ši nuoroda yra astatinė, t.y. neturi pastovios būsenos.

Tokios nuorodos pavyzdys yra indas, užpildytas skysčiu. Įvesties parametras yra įeinančio skysčio srautas, išėjimo parametras yra lygis. Iš pradžių indas yra tuščias, o nesant srauto lygis yra lygus nuliui, bet jei įjungiate skysčio tiekimą, lygis pradeda tolygiai didėti.

2.2) Realus integravimas.

P Šios nuorodos perdavimo funkcija turi formą

W(s) =
.

Perėjimo atsakas, skirtingai nei idealus ryšys, yra kreivė (žr. 1.20 pav.):

h(t) = K . (t – T) + K . T. e - t / T .

Integruojančios jungties pavyzdys yra nuolatinės srovės variklis su nepriklausomu sužadinimu, jei statoriaus maitinimo įtampa laikoma įvesties efektu, o rotoriaus sukimosi kampas laikomas išėjimo efektu. Jei įtampa į variklį nepateikiama, rotorius nejuda ir jo sukimosi kampas gali būti lygus nuliui. Įjungus įtampą, rotorius pradeda suktis, o jo sukimosi kampas iš pradžių yra lėtas dėl inercijos, o vėliau didėja greičiau, kol pasiekiamas tam tikras sukimosi greitis.

3) Diferencijavimas.

3.1) Idealus diferenciatorius.

Išvesties kiekis yra proporcingas įvesties laiko išvestinei:

; W(s) = K*s

Su žingsniniu įvesties signalu išėjimo signalas yra impulsas (-funkcija): h(t) = K. (t).

3.2) Realus diferencijavimas.

Idealios diferencijuojančios sąsajos fiziškai neįgyvendinamos. Dauguma objektų, vaizduojančių diferencijuojančias nuorodas, priklauso tikroms diferencijuojančioms nuorodoms, kurių perdavimo funkcijos turi formą

W(s) =
.

Žingsnio atsakas:
.

Nuorodos pavyzdys: elektros generatorius. Įvesties parametras yra rotoriaus sukimosi kampas, išėjimo parametras yra įtampa. Jei rotorius pasukamas tam tikru kampu, gnybtuose atsiras įtampa, tačiau jei rotorius nebus sukamas toliau, įtampa nukris iki nulio. Jis negali smarkiai nukristi dėl apvijos induktyvumo.

4) Aperiodinis (inercinis).

Ši nuoroda atitinka formos DE ir PF

; W(s) =
.

Nustatykime šios nuorodos išvesties vertės pokyčio pobūdį, kai įėjimui taikoma laipsniška reikšmės x 0 įtaka.

Žingsnio efekto vaizdas: X(s) = . Tada išvesties kiekio vaizdas yra toks:

Y(s) = W(s) X(s) =
= K x 0
.

Suskaidykime trupmeną į pirmines:

=
+ =
= -
= -

Pirmosios trupmenos originalas pagal lentelę: L -1 () = 1, antrasis:

L -1 ( } = .

Tada mes pagaliau gauname

y(t) = K x 0 (1 - ).

Konstanta T vadinama laiko konstanta.

Dauguma šiluminių objektų yra periodinės jungtys. Pavyzdžiui, į elektros krosnies įvadą įjungus įtampą, jos temperatūra keisis pagal panašų dėsnį (žr. 1.22 pav.).

5) Antros eilės nuorodos

Nuorodos turi nuotolinio valdymo pultą ir formos PF

W(s) =
.

Kai įėjimui taikomas žingsninis efektas, kurio amplitudė x 0, perėjimo kreivė bus vieno iš dviejų tipų: periodinė (esant T 1  2T 2) arba svyruojanti (esant T 1< 2Т 2).

Šiuo atžvilgiu išskiriamos antrosios eilės nuorodos:

periodiškai 2 eilės (T 1  2T 2),

inercinė (T 1< 2Т 2),

konservatyvus (T 1 = 0).

6) Pavėluota.

Jei, kai tam tikras signalas yra nukreiptas į objekto įvestį, jis į šį signalą reaguoja ne iš karto, o po kurio laiko, tada sakoma, kad objektas turi vėlavimą.

Atsilikimas– tai laiko intervalas nuo įvesties signalo pasikeitimo iki išėjimo signalo pasikeitimo.

Atsiliekanti nuoroda yra nuoroda, kurioje išvesties reikšmė y tiksliai pakartoja įvesties reikšmę x su tam tikra uždelsimu :

y(t) = x(t - ).

Nuorodų perdavimo funkcija:

W(s) = e -  s .

Vėlavimų pavyzdžiai: skysčio judėjimas vamzdynu (kiek skysčio buvo pumpuojamas dujotiekio pradžioje, tiek jo ištekės pabaigoje, bet po kurio laiko, kol skystis judės vamzdžiu), judėjimas krovinio išilgai konvejerio (vėlavimą lemia konvejerio ilgis ir juostos greitis) ir kt. .d.

DE Laplaso transformacija leidžia įvesti patogią perdavimo funkcijos koncepciją, apibūdinančią dinamines sistemos savybes.

Pavyzdžiui, operatoriaus lygtis

3s 2 Y (s) + 4sY (s) + Y (s) = 2sX (s) + 4x (s)

gali būti transformuojami iš skliaustų išimant X(-ius) ir Y(-ius) ir padalijus vienas iš kito:

Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)

Gauta išraiška vadinama perdavimo funkcija.

Perdavimo funkcija vadinamas išvesties efekto Y (-ių) vaizdo ir įvesties X (-ių) vaizdo santykiu nulinėmis pradinėmis sąlygomis.

(2.4)

Perkėlimo funkcija yra sudėtingo kintamojo trupmeninė racionali funkcija:

čia B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m – skaitiklio daugianario,

A(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + … + a n s n - vardiklio daugianario.

Perkėlimo funkcija turi eilę, kuri nustatoma pagal vardiklio daugianario (n) eilę.

Iš (2.4) išplaukia, kad išėjimo signalo vaizdą galima rasti kaip

Y(s) = W(s)*X(s).

Kadangi sistemos perdavimo funkcija visiškai lemia jos dinamines savybes, pradinė ASR skaičiavimo užduotis yra sumažinta iki jos perdavimo funkcijos nustatymo.

Tipiškų nuorodų pavyzdžiai

Sistemos grandis – tai sistemos elementas, turintis tam tikras dinamines savybes. Valdymo sistemų jungtys gali turėti skirtingą fizinį pobūdį (elektrinės, pneumatinės, mechaninės ir kt. jungtys), tačiau aprašomos tuo pačiu nuotolinio valdymo pulteliu, o įvesties ir išvesties signalų santykį grandyse apibūdina tos pačios perdavimo funkcijos.

Paprasčiausios tipinės nuorodos apima:

· intensyvėja,

· inercinis (1 eilės periodinis),

integruojantis (tikras ir idealus),

· atskirti (tikrą ir idealų),

· periodiškai 2 eilės,

· svyruojantis,

· vėluoja.

1) Sutvirtinanti jungtis.

Nuoroda sustiprina įvesties signalą K kartų. Ryšio lygtis y = K*x, perdavimo funkcija W(s) = K. Iškviečiamas parametras K įgyti .

Tokios grandies išvesties signalas tiksliai pakartoja įvesties signalą, sustiprintą K kartų (žr. 1.18 pav.).

Su laipsnišku veiksmu h(t) = K.

Tokių jungčių pavyzdžiai: mechaninės transmisijos, jutikliai, beinercijos stiprintuvai ir kt.

2) Integravimas.

2.1) Idealus integravimas.

Idealios integruojančios grandies išvesties vertė yra proporcinga įvesties vertės integralui:

; W(s) =

Kai įėjimui taikoma žingsninio veiksmo nuoroda x(t) = 1, išėjimo signalas nuolat didėja (žr. 1.19 pav.):

Ši nuoroda yra astatinė, t.y. neturi pastovios būsenos.

2.2) Realus integravimas.

Šios nuorodos perdavimo funkcija turi formą

Perėjimo atsakas, skirtingai nei idealus ryšys, yra kreivė (žr. 1.20 pav.):

h(t) = K . (t – T) + K . T. e - t / T .

3) Diferencijavimas.

3.1) Idealus diferenciatorius.

Išvesties kiekis yra proporcingas įvesties laiko išvestinei:

Su žingsniniu įvesties signalu išvesties signalas yra impulsas (d-funkcija): h(t) = K. d(t).

3.2) Realus diferencijavimas.

Perėjimo charakteristika: .

4) Aperiodinis (inercinis).

Ši nuoroda atitinka formos DE ir PF

; W(s) = .

Nustatykime šios nuorodos išvesties vertės pokyčio pobūdį, kai įėjimui taikoma laipsniška reikšmės x 0 įtaka.

Žingsnio efekto vaizdas: X(s) = . Tada išvesties kiekio vaizdas yra toks:

Y(s) = W(s) X(s) = = K x 0 .

Suskaidykime trupmeną į pirmines:

= + = = - = -

Pirmosios trupmenos originalas pagal lentelę: L -1 ( ) = 1, antroji:

Tada pagaliau gauname

y(t) = K x 0 (1 - ).

Konstanta T vadinama laiko konstanta.

Dauguma šiluminių objektų yra periodinės jungtys. Pavyzdžiui, į elektros krosnies įvadą įjungus įtampą, jos temperatūra keisis pagal panašų dėsnį (žr. 1.22 pav.).

5) Antros eilės nuorodos

Nuorodos turi nuotolinio valdymo pultą ir formos PF

W(s) = .

Kai įėjimui taikomas žingsninis efektas, kurio amplitudė x 0, perėjimo kreivė bus vieno iš dviejų tipų: periodinė (esant T 1 ³ 2T 2) arba svyruojanti (esant T 1< 2Т 2).

Šiuo atžvilgiu išskiriamos antrosios eilės nuorodos:

· periodiškai 2 eilės (T 1 ³ 2T 2),

· inercinė (T 1< 2Т 2),

· konservatyvus (T 1 = 0).

6) Pavėluota.

Jei, kai tam tikras signalas yra nukreiptas į objekto įvestį, jis į šį signalą reaguoja ne iš karto, o po kurio laiko, tada sakoma, kad objektas turi vėlavimą.

Atsilikimas– tai laiko intervalas nuo įvesties signalo pasikeitimo iki išėjimo signalo pasikeitimo.

Atsiliekanti nuoroda yra nuoroda, kurioje išvesties reikšmė y tiksliai pakartoja įvesties reikšmę x su tam tikru vėlavimu t:

y(t) = x(t - t).

Nuorodų perdavimo funkcija:

W(s) = e - t s .

Nuorodų jungtys

Kadangi tiriamas objektas, siekiant supaprastinti jo funkcionavimo analizę, yra padalintas į saitus, tai nustačius kiekvienai grandinei perdavimo funkcijas, iškyla užduotis jas sujungti į vieną objekto perdavimo funkciją. Objekto perdavimo funkcijos tipas priklauso nuo nuorodų jungčių sekos:

1) Nuoseklioji jungtis.

W aps. = W 1. W2. W 3...

Kai saitai yra sujungti nuosekliai, jų perdavimo funkcijos padauginti.

2) Lygiagretusis ryšys.

W aps. = W 1 + W 2 + W 3 + …

Kai nuorodos yra sujungtos lygiagrečiai, jų perdavimo funkcijos sulankstyti.

3) Atsiliepimai

Perkėlimo funkcija pagal nuorodą (x):

„+“ reiškia neigiamą OS,

„-“ – teigiamas.

Norint nustatyti objektų su sudėtingesnėmis nuorodų jungtimis perdavimo funkcijas, naudojamas arba nuoseklus grandinės padidinimas, arba jie konvertuojami naudojant Mesono formulę.

ASR perdavimo funkcijos

Tyrimams ir skaičiavimams ASR struktūrinė diagrama per lygiavertes transformacijas pervedama į paprasčiausią standartinę formą „objektas – valdiklis“ (žr. 1.27 pav.). Tokiai standartinei struktūrai taikomi beveik visi reguliatoriaus nustatymų apskaičiavimo ir nustatymo inžineriniai metodai.

Paprastai bet koks vienmatis ACS su pagrindiniu grįžtamuoju ryšiu gali būti įtrauktas į šią formą palaipsniui didinant nuorodas.

Jei sistemos y išėjimas nepateikiamas į jos įvestį, gaunama atvirojo ciklo valdymo sistema, kurios perdavimo funkcija apibrėžiama kaip sandauga:

W ¥ = W p . m

(W p - reguliatoriaus PF, W y - valdymo objekto PF).

adresu

1.28 pav

Tai yra, saitų W p ir W y seka gali būti pakeista viena nuoroda su W ¥ . Uždaro ciklo sistemos perdavimo funkcija paprastai žymima Ф(s). Jis gali būti išreikštas W ¥:

Ši perdavimo funkcija Фз(s) nustato y priklausomybę nuo x ir vadinama uždaro ciklo sistemos perdavimo funkcija išilgai atskaitos veiksmo kanalo (pagal nuorodą).

ASR taip pat yra perdavimo funkcijos kitais kanalais:

Ф e (s) = = - per klaidą,

Ф in (s) = = - dėl trikdžių,

kur W (s) – valdymo objekto perdavimo funkcija trikdžių perdavimo kanalu.

Atsižvelgiant į trikdymą, galimi du variantai:

Trikdymas turi papildomą poveikį valdymo veiksmui (žr. 1.29a pav.);

Trikdymas turi įtakos valdomo parametro matavimams (žr. 1.29b pav.).

Pirmojo varianto pavyzdys galėtų būti įtampos svyravimų tinkle įtaka įtampai, kurią reguliatorius tiekia į objekto šildymo elementą. Antrojo varianto pavyzdys: klaidos matuojant kontroliuojamą parametrą dėl aplinkos temperatūros pokyčių. W u.v. – aplinkos įtakos matavimams modelis.

1.30 pav

Parametrai K0 = 1, K1 = 3, K2 = 1,5, K4 = 2, K5 = 0,5.

ASR blokinėje schemoje valdymo įrenginį atitinkančios nuorodos stovi prieš valdymo objekto nuorodas ir generuoja valdymo veiksmą objektui u. Diagrama rodo, kad reguliatoriaus grandinėje yra 1, 2 ir 3 jungtys, o objekto grandinėje yra 4 ir 5 jungtys.

Atsižvelgiant į tai, kad 1, 2 ir 3 jungtys yra sujungtos lygiagrečiai, valdiklio perdavimo funkciją gauname kaip jungčių perdavimo funkcijų sumą:

4 ir 5 saitai yra sujungti nuosekliai, todėl valdymo objekto perdavimo funkcija apibrėžiama kaip jungčių perdavimo funkcijų sandauga:

Atviro ciklo perdavimo funkcija:

iš kurio aišku, kad skaitiklis B(s) = 1,5. s 2 + 3 . s + 1, vardiklis (taip pat būdingas atvirosios ciklo sistemos polinomas) A(s) = 2. s 3 + 3 . s 2 + s. Tada būdingas uždaros sistemos daugianario yra lygus:

D(s) = A(s) + B(s) = 2 . s 3 + 3 . s 2 + s + 1,5. s 2 + 3 . s + 1 = 2. s 3 + 4,5. s 2 + 4 . s+1.

Uždarojo ciklo sistemos perdavimo funkcijos:

pagal paskyrimą ,

per klaidą .

Nustatant perdavimo funkciją iš trikdymo, imamas W a.v. = O tu. Tada

. ¨

Galutinis ACS analizės tikslas yra išspręsti (jei įmanoma) arba ištirti visos sistemos diferencialinę lygtį. Paprastai atskirų grandžių, sudarančių ACS, lygtys yra žinomos ir iškyla tarpinė užduotis gauti sistemos diferencialinę lygtį iš žinomų jos jungčių DE. Klasikinėje DE atstovavimo formoje ši užduotis yra kupina didelių sunkumų. Naudojant perdavimo funkcijos koncepciją, ji labai supaprastinama.

Tegul kokia nors sistema aprašoma formos diferencialine lygtimi.

Įvedę žymėjimą = p, kur p vadinamas diferenciacijos operatoriumi arba simboliu, o dabar traktuodami šį simbolį kaip paprastą algebrinį skaičių, išėmę x ir x iš skliaustų, gauname šios sistemos diferencialinę lygtį. operatoriaus forma:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x out = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x in. (3,38)

P daugianomas išvesties reikšme yra

D(p)=a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3,39)

vadinamas savuoju operatoriumi, o daugianomas įvesties reikšme vadinamas įtakos operatoriumi

K(p) = b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0 . (3.40)

Perdavimo funkcija yra įtakos operatoriaus ir jo paties operatoriaus santykis:

W(p) = K(p)/D(p) = x out / x in. (3,41)

Toliau beveik visur naudosime diferencialinių lygčių rašymo operatoriaus formą.

Nuorodų jungčių tipai ir perdavimo funkcijų algebra.

Norint gauti automatinės valdymo sistemos perdavimo funkciją, reikia žinoti saitų grupių, kuriose nuorodos tam tikru būdu sujungtos viena su kita, perdavimo funkcijų nustatymo taisykles. Yra trijų tipų jungtys.

1. Nuoseklus, kuriame ankstesnės nuorodos išvestis yra įvestis sekančiai (3.12 pav.):

x out

Ryžiai. 3.14. Atgal-to-back – lygiagretus ryšys.

Priklausomai nuo to, ar grįžtamasis signalas x pridedamas prie įvesties signalo xin ar atimamas iš jo, išskiriamas teigiamas ir neigiamas grįžtamasis ryšys.

Vis dėlto pagal perdavimo funkcijos savybę galime rašyti

W 1 (p) =x out / (x in ±x); W 2 (p) = x/x out; W c = x out / x in. (3,44)

Pašalinus vidinę koordinatę x iš pirmųjų dviejų lygčių, gauname tokio ryšio perdavimo funkciją:

W c (p) = W 1 (p)/ . (3,45)

Reikėtų nepamiršti, kad paskutinėje išraiškoje pliuso ženklas atitinka neigiamas atsiliepimai.

Tuo atveju, kai nuoroda turi kelis įėjimus (pvz., valdymo objektas), atsižvelgiama į kelias šios nuorodos perdavimo funkcijas, atitinkančias kiekvieną įvestį, pavyzdžiui, jei nuorodos lygtis turi tokią formą

D(p)y = K x (p)x + K z (p)z (3,46)

kur K x (p) ir K z (p) yra atitinkamai įėjimų x ir z įtakos operatoriai, tada ši nuoroda turi perdavimo funkcijas įėjimams x ir z:

W x (p) = K x (p)/D (p); W z (p) = K z (p) / D (p). (3,47)

Ateityje, norėdami sumažinti įrašų perdavimo funkcijų išraiškose ir atitinkamus operatorius, atsisakysime argumento „p“.

Iš bendro posakių (3.46) ir (3.47) svarstymo matyti, kad

y = W x x + W z z, (3,48)

tai yra, bendruoju atveju bet kurios nuorodos su keliais įėjimais išvesties vertė yra lygi įvesties verčių sandaugų ir atitinkamų įėjimų perdavimo funkcijų sumai.

ACS perdavimo funkcija, pagrįsta trikdžiais.

Įprasta ACS struktūros forma, veikianti pagal valdomo kintamojo nuokrypį, yra tokia:

W o z =K z /D objektas W o x =K x /D

V p y

-x

3.15 pav. Uždaryta ATS.

Atkreipkime dėmesį į tai, kad reguliacinė įtaka taikoma objektui su pakeistu ženklu. Ryšys tarp objekto išvesties ir jo įvesties per reguliatorių vadinamas pagrindiniu grįžtamuoju ryšiu (priešingai nei galimas papildomas grįžtamasis ryšys pačiame reguliatoriuje). Pagal pačią filosofinę reguliavimo prasmę reguliatoriaus veiksmu siekiama nukrypimo sumažinimas valdomas kintamasis, todėl pagrindinis atsiliepimas visada yra neigiamas. Fig. 3.15:

W o z - objekto perdavimo funkcija trikdžius;

W o x - objekto perdavimo funkcija pagal reguliavimo įtaką;

W p y - valdiklio perdavimo funkcija pagal nuokrypį y.

Įrenginio ir valdiklio diferencialinės lygtys atrodo taip:

y=W o x x +W o z z

x = - W p y y. (3,49)

Pakeitę x iš antrosios lygties į pirmąją ir atlikę grupavimą, gauname ATS lygtį:

(1+W o x W p y)y = W o z z . (3,50)

Taigi ACS perdavimo funkcija trikdžiams

W c z = y/z = W o z /(1+W o x W p y) . (3,51)

Panašiu būdu galite gauti ACS perdavimo funkciją valdymo veiksmui:

W c u = W o x W p u /(1 + W o x W p y) , (3,52)

čia W p u yra valdiklio perdavimo funkcija pagal valdymo veiksmą.

3.4 ACS priverstiniai virpesiai ir dažninės charakteristikos.

Realiomis eksploatavimo sąlygomis ACS dažnai yra veikiamas periodinių trikdančių jėgų, kurias lydi periodiniai kontroliuojamų kiekių pokyčiai ir reguliavimo įtaka. Tai, pavyzdžiui, laivo vibracijos plaukiant banguotomis jūromis, sraigto sukimosi greičio svyravimai ir kiti dydžiai. Kai kuriais atvejais sistemos išėjimo dydžių virpesių amplitudės gali pasiekti neleistinai dideles reikšmes, ir tai atitinka rezonanso reiškinį. Rezonanso pasekmės jį patiriančiai sistemai dažnai būna pražūtingos, pavyzdžiui, apvirsta laivas, sunaikinamas variklis. Valdymo sistemose tokie reiškiniai galimi, kai dėl susidėvėjimo, keitimo, perkonfigūravimo ar gedimų keičiasi elementų savybės. Tada reikia nustatyti saugius veikimo sąlygų diapazonus arba tinkamai sukonfigūruoti ACS. Šie klausimai bus nagrinėjami čia, nes jie taikomi tiesinėms sistemoms.

Tegul kuri nors sistema turi tokią struktūrą, kaip parodyta žemiau:

x=A x sinωt

y=A y sin(ωt+φ)

3.16 pav. ACS priverstinio virpesio režimu.

Jei sistemą veikia periodinis poveikis x, kurio amplitudė A x ir apskritas dažnis w, tai pasibaigus perėjimo procesui, to paties dažnio virpesiai, kurių amplitudė A y ir paslinkti įėjimo virpesių atžvilgiu fazės kampu j būti nustatytas išėjime. Išėjimo virpesių parametrai (amplitudė ir fazės poslinkis) priklauso nuo varomosios jėgos dažnio. Užduotis – iš žinomų svyravimų įėjime parametrų nustatyti išėjimo svyravimų parametrus.

Pagal ACS perdavimo funkciją, parodytą 3.14 pav., jos diferencialinė lygtis turi tokią formą

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3,53)

Pakeiskime į (3.53) x ir y išraiškas, parodytas Fig. 3.14:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x sinwt. (3,54)

Jei laikysime svyravimų modelį, pasislinkusį ketvirtadaliu periodo, tada (3.54) lygtyje sinuso funkcijos bus pakeistos kosinuso funkcijomis:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3,55)

Padauginkime lygtį (3.54) iš i = ir rezultatą sudėkime su (3.55):

(a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0)A y =

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3,56)

Naudojant Eilerio formulę

exp(±ibt)=cosbt±isinbt,

Sumažinkime lygtį (3.56) į formą

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y exp=

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3,57)

Atlikime operatoriaus p=d/dt pateiktą laiko diferenciacijos operaciją:

A y exp=

A x exp(iwt). (3,58)

Po paprastų transformacijų, susijusių su redukavimu exp(iwt), gauname

Dešinė išraiškos pusė (3.59) yra panaši į ACS perdavimo funkcijos išraišką ir gali būti gaunama iš jos pakeitus p=iw. Pagal analogiją ji vadinama kompleksine perdavimo funkcija W(iw) arba amplitudės fazės charakteristika (APC). Taip pat dažnai vartojamas terminas dažnio atsakas. Akivaizdu, kad ši trupmena yra sudėtingo argumento funkcija ir gali būti pavaizduota tokia forma:

W(iw) = M(w) +iN(w), (3,60)

kur M(w) ir N(w) yra atitinkamai tikrosios ir įsivaizduojamos dažnio charakteristikos.

Santykis A y / A x yra AFC modulis ir yra dažnio funkcija:

A y / A x = R (w)

ir vadinamas amplitudės-dažnio atsaku (AFC). Fazė

poslinkis j =j (w) taip pat yra dažnio funkcija ir vadinamas fazės dažnio atsaku (PFC). Skaičiuojant R(w) ir j(w) dažnių diapazonui (0…¥), galima sukonstruoti AFC grafiką kompleksinėje plokštumoje koordinatėmis M(w) ir iN(w) (3.17 pav.).

R(ω)

ω cp

ω res

3.18 pav. Amplitudės-dažnio charakteristikos.

1 sistemos dažnio atsakas rodo rezonansinę smailę, atitinkančią didžiausią priverstinių virpesių amplitudę. Darbas zonoje šalia rezonansinio dažnio gali būti pražūtingas ir dažnai visiškai nepriimtinas pagal konkretaus reguliuojamo objekto eksploatavimo taisykles. 2 dažnio atsako tipas neturi rezonansinės smailės ir yra labiau tinkamas mechaninėms sistemoms. Taip pat matyti, kad didėjant dažniui išėjimo svyravimų amplitudė mažėja. Fiziškai tai nesunkiai paaiškinama: bet kuri sistema dėl jai būdingų inercinių savybių yra lengviau paveikiama žemų dažnių, o ne aukštų dažnių siūbavimo. Pradedant nuo tam tikro dažnio, išėjimo svyravimai tampa nereikšmingi, ir šis dažnis vadinamas ribiniu dažniu, o dažnių diapazonas, esantis žemiau ribinio dažnio, vadinamas juostos pločiu. Automatinio valdymo teorijoje ribinis dažnis laikomas toks, kai dažnio atsako reikšmė yra 10 kartų mažesnė nei esant nuliniam dažniui. Sistemos savybė slopinti aukšto dažnio virpesius vadinama žemųjų dažnių filtro savybe.

Panagrinėkime dažnio atsako apskaičiavimo metodą naudojant antros eilės jungties pavyzdį, kurios diferencialinė lygtis

(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1)y = kx. (3,62)

Priverstinių virpesių uždaviniuose dažnai naudojama vaizdesnė lygties forma

(p 2 + 2xw 0 p + w 0 2)y = kw 0 2 x, (3,63)

kur vadinamas natūraliu svyravimų dažniu, kai nėra slopinimo, x =T 1 w 0 /2 yra slopinimo koeficientas.

Perkėlimo funkcija atrodo taip:

Pakeitę p = iw, gauname amplitudės-fazės charakteristiką

Naudodami kompleksinių skaičių padalijimo taisyklę, gauname dažnio atsako išraišką:

Nustatykime rezonansinį dažnį, kuriame dažnio atsakas turi didžiausią. Tai atitinka mažiausią išraiškos vardiklį (3.66). Vardiklio išvestinę dažnio w atžvilgiu prilyginus nuliui, gauname:

2(w 0 2 - w 2)(-2w) +4x 2 w 0 2 *2w = 0, (3,67)

iš kur gauname rezonansinio dažnio reikšmę, kuri nėra lygi nuliui:

w res = w 0 Ö 1 - 2x 2 . (3,68)

Išanalizuokime šią išraišką, kuriai nagrinėsime atskirus atvejus, atitinkančius skirtingas silpninimo koeficiento reikšmes.

1. x = 0. Rezonansinis dažnis lygus natūraliajam dažniui, o dažnio atsako dydis pasisuka į begalybę. Tai yra vadinamojo matematinio rezonanso atvejis.

2. . Kadangi dažnis išreiškiamas kaip teigiamas skaičius, o iš (68) šiuo atveju gaunamas arba nulis, arba įsivaizduojamas skaičius, tai reiškia, kad esant tokioms silpninimo koeficiento reikšmėms, dažnio atsakas neturi rezonansinės smailės (kreivė). 2 3.18 pav.).

3. . Dažnio atsakas turi rezonanso smailę, o mažėjant slopinimo koeficientui, rezonansinis dažnis artėja prie savo ir rezonanso smailė tampa aukštesnė ir ryškesnė.

Darysime prielaidą, kad ACS vykstantys procesai aprašomi tiesinėmis diferencialinėmis lygtimis su pastoviais koeficientais. Taigi apsiribosime svarstydami tiesinį ACS su pastoviais parametrais, t.y. parametrus, kurie nepriklauso nei nuo laiko, nei nuo sistemos būsenos.

Leiskite dinaminei sistemai (žr. pav.)

diferencialinė lygtis parašyta operatoriaus forma

kur D(P) ir M(P) yra P daugianariai.

P – diferenciacijos operatorius;

x(t) – sistemos išvesties koordinatė;

g(t) – įvesties įtaka.

Transformuokime (1) pagal Laplasą, darydami nulines pradines sąlygas.

Supažindinkime su užrašu

;
,

mes gauname, atsižvelgdami į tai

Mes naudojame žymėjimą

, (5)

tada (3) lygtis bus tokia:

. (6)

(6) lygtis sujungia sistemos išvesties koordinatės vaizdą X (S) su įvesties veiksmo vaizdu G(S). Funkcija Ф(S) apibūdina dinamines sistemos savybes. Kaip matyti iš (4) ir (5), ši funkcija nepriklauso nuo sistemai taikomo poveikio, o priklauso tik nuo sistemos parametrų. Atsižvelgiant į (6) funkciją F(S) galima parašyti taip

Funkcija Ф(S) vadinama sistemos perdavimo funkcija. Iš (7) aišku, kad perdavimo funkcija yra sistemos įvesties koordinatės Laplaso vaizdo ir įvesties veiksmo Laplaso atvaizdo santykis nulinėmis pradinėmis sąlygomis.

Žinodami sistemos perdavimo funkciją Ф(S) Nustačius sistemai taikomos įtakos g(t) vaizdą G(S), iš (6) galima rasti sistemos x (t) išvesties koordinatės vaizdą X(S), tada, judant iš vaizdas X(S) į pradinį x(t), gaukite sistemos išvesties koordinatės keitimo procesą, kai šiai sistemai taikoma įvesties įtaka.

Dauginamas perdavimo funkcijos vardiklyje vadinamas charakteringuoju daugianario, o lygtis

charakteristikos lygtis.

Sistemai, apibūdinamai n-osios eilės lygtimi, charakteristikos lygtis yra n-ojo laipsnio algebrinė lygtis, turinti n šaknų, S 1 S 2... S n, tarp kurių gali būti ir tikroji, ir kompleksinė konjugata.

Polinomo šaknis perdavimo funkcijos vardiklyje vadinama šios perdavimo funkcijos poliais, o skaitiklyje - nuliais.

Pavaizduokime daugianario formą:

Todėl perdavimo funkcija

. (11)

Iš to išplaukia, kad nulių ir polių nurodymas lemia perdavimo funkciją iki pastovaus koeficiento .

Tuo atveju, kai visų perdavimo funkcijos polių realiosios dalys yra neigiamos, t.y.

, k=1,2…n, sistema vadinama stabilia. Jame išėjimo kiekio pereinamasis komponentas (tinkamas judėjimas) laikui bėgant išnyksta.

Sistemos dažnio charakteristikos

Harmoninio įvesties signalo konvertavimas tiesine sistema

Automatinės sistemos perdavimo funkcija valdymo veiksmo g(t) atžvilgiu yra

(1)

Tegul poveikis

g(t) = A 1 sin ω 1 t,

Ir reikia nustatyti X(t) pokytį pastoviame procese, t.y. Raskite konkretų (1) lygties sprendimą, aptartą anksčiau.

Atkreipkite dėmesį, kad dėl įtakos taikymo sistemoje vyksta trumpalaikis procesas, kuris laikui bėgant linkęs į 0, nes Manoma, kad sistema yra stabili. Mes to nesvarstome. Toks perėjimas leidžia laikyti veiksmą g(t) kaip nurodyta visoje laiko ašyje (neatsižvelgiama į pradinį valdymo veiksmo taikymo momentą sistemai) ir panaudoti anksčiau gautą sinusoidės spektrinės charakteristikos išraišką. .

Norėdami nustatyti x(t) pastovioje būsenoje, abi diferencialinės lygties (1) puses transformuojame pagal Furjė. Tuo mes turime omenyje tai

;

Atkreipkite dėmesį, kad

perdavimo funkcija, kurioje S

Be to

Tada iš (3) formoje nustatoma valdomo dydžio priverstinių virpesių spektrinė charakteristika

(4) funkcinis daugiklis Ф(jω) atsižvelgiama į spektrinės charakteristikos pokytį, kai įtaka g(t) eina per tiesinę dinaminę sistemą.

Įsivaizduokime sudėtingą funkciją Ф(jω) demonstracine forma

ir suraskite x(t) naudodami atvirkštinę Furjė transformacijos formulę:

naudodami delta funkcijos filtravimo savybes ir atsižvelgdami į (5), turėsime

Nes
,,

(6)

Iš to išplaukia, kad pastovioje būsenoje tiesinės automatinės sistemos atsakas x(t) į sinusoidinius poveikius taip pat yra sinusoidinis. Įvesties ir išvesties signalų kampiniai dažniai yra vienodi. Sistemos išvesties amplitudė yra A 1 │ Ф(jω)│, o pradinė fazė yra arg Ф(jω).

Jei tiesinės sistemos įvestis gauna periodinę įtaką formoje

tada, naudojant superpozicijos principą, kuris galioja tiesinei sistemai, mes nustatome, kad šiuo atveju priverstinis pastovus sistemos judėjimas

(7)

Be to, ω reikšmei čia turėtų būti pateiktos diskrečios reikšmės, t.y. tarkime ω=kω 1

Žinodami įvesties signalo dažnių spektrus, galite lengvai nustatyti signalo dažnio spektrus sistemos įėjime. Jei, pavyzdžiui, žinomas įvesties signalo g(t) amplitudės dažnių spektras A k, tai išėjimo signalo amplitudės dažnių spektras yra A k │ Ф(jkω 1 ) │.

Nagrinėjamose išraiškose funkcija Ф(jω) charakterizuoja pačios automatinės sistemos dinamines savybes ir nepriklauso nuo sistemai taikomų poveikių pobūdžio. Jį galima lengvai gauti iš perdavimo funkcijos, formaliai pakeitus S jω

Funkcija Ф(jω) iš nuolatinio argumento ω vadinama AFC sistemos amplitudės fazės charakteristika sistemai taikomo valdymo veiksmo g(t) atžvilgiu.

Remiantis (3), AFC taip pat gali būti apibrėžtas kaip signalo spektrinių charakteristikų santykis jo įvestyje. AF modulis  Ф(j )  apibūdina harmoninio signalo amplitudės kitimą jam pereinant per sistemą, o jo argumentas yra signalo fazinis poslinkis.

Funkcija  Ф(j ) gavo pavadinimą amplitudės-dažnio atsakas (AFC) ir funkciją arg Ф(j ) – fazinio dažnio atsakas (PFC).

Tegul automatinei sistemai taikoma įtaka g(t) yra kompleksinė harmonika, kurios dažnis  1, t.y.

Sistemos reakciją į tokį poveikį esant pastoviai būsenai lemia lygybė

Arba naudojant Eilerio formulę

ir taip pat tai

;

Integralą rasime dešinėje lygybės pusėje, naudodami delta funkcijos filtravimo savybes.

kompleksine forma nustato pastovią sistemos reakciją į įtaką kompleksinės harmonikos, kurios dažnis 1, pavidalu.

AFC gali būti naudojamas ne tik analizuojant pastovios būsenos svyravimus automatinės sistemos išvestyje, bet ir norint nustatyti visą valdymo procesą. Pastaruoju atveju patogu laiko momentą t 0 taikyti valdymo sistemai nuliniu laiko momentu ir naudoti vienpusės Furjė transformacijos formules. Nustačius spektrinę charakteristiką
ir valdomo kintamojo spektrinės charakteristikos suradimas naudojant formulę

Valdomojo kintamojo x(t) pokytis pritaikius įtaką g(t) randamas naudojant atvirkštinės Furjė transformacijos formulę.