Harmoninių virpesių laikotarpis. Harmoninės vibracijos ir jų charakteristikos

Bet kokio dydžio pokyčiai aprašomi naudojant sinuso arba kosinuso dėsnius, tada tokie svyravimai vadinami harmoniniais. Panagrinėkime grandinę, susidedančią iš kondensatoriaus (kuris buvo įkrautas prieš įtraukiant į grandinę) ir induktoriaus (1 pav.).

1 pav.

Harmoninių virpesių lygtis gali būti parašyta taip:

$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)

kur $t$ yra laikas; $q$ mokestis, $q_0$-- maksimalus įkrovos nuokrypis nuo vidutinės (nulinės) vertės pokyčių metu; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- virpesių fazė; $(\alpha )_0$- pradinė fazė; $(\omega )_0$ – ciklinis dažnis. Per laikotarpį fazė pasikeičia $2\pi $.

Formos lygtis:

Harmoninių virpesių diferencialinės formos lygtis virpesių grandinei, kurioje nebus aktyviosios varžos.

Bet kokio tipo periodiniai svyravimai gali būti tiksliai pavaizduoti kaip harmoninių virpesių suma, vadinamoji harmoninė serija.

Grandinės, kurią sudaro ritė ir kondensatorius, virpesių periodui gauname Tomsono formulę:

Jei išraišką (1) atskirsime pagal laiką, galime gauti funkcijos $I(t)$ formulę:

Kondensatoriaus įtampą galima rasti taip:

Iš (5) ir (6) formulių matyti, kad srovės stipris yra didesnis už kondensatoriaus įtampą $\frac(\pi )(2).$

Harmoninius svyravimus galima pavaizduoti tiek lygčių, funkcijų, tiek vektorinių diagramų pavidalu.

(1) lygtis parodo laisvus neslopintus virpesius.

Slopintų virpesių lygtis

Krovinio pokytis ($q$) kondensatoriaus plokštelėse grandinėje, atsižvelgiant į varžą (2 pav.), bus aprašytas formos diferencine lygtimi:

2 pav.

Jei varža, kuri yra grandinės dalis $R\

kur $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ yra ciklinis virpesių dažnis. $\beta =\frac(R)(2L)-$slopinimo koeficientas. Slopintų virpesių amplitudė išreiškiama taip:

Jei esant $t=0$ kondensatoriaus įkrovimas lygus $q=q_0$ ir grandinėje nėra srovės, tai $A_0$ galime parašyti:

Virpesių fazė pradiniu laiko momentu ($(\alpha )_0$) yra lygi:

Kai $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ įkrovos pokytis nėra svyravimai, kondensatoriaus iškrova vadinama periodiniu.

1 pavyzdys

Pratimas: Didžiausia apmokestinimo vertė yra $q_0=10\ C$. Jis harmoningai kinta su $T=5 s$ periodu. Nustatykite didžiausią galimą srovę.

Sprendimas:

Kaip pagrindą problemos sprendimui naudojame:

Norint rasti srovės stiprumą, išraiška (1.1) turi būti diferencijuojama atsižvelgiant į laiką:

kur srovės stiprumo didžiausia (amplitudės vertė) yra išraiška:

Iš uždavinio sąlygų žinome krūvio amplitudės reikšmę ($q_0=10\ C$). Turėtumėte rasti natūralų virpesių dažnį. Išreikškime tai taip:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\right).\]

Tokiu atveju norima reikšmė bus rasta naudojant (1.3) ir (1.2) lygtis kaip:

Kadangi visi probleminių sąlygų dydžiai pateikti SI sistemoje, atliksime skaičiavimus:

Atsakymas:$I_0=12,56\ A.$

2 pavyzdys

Pratimas: Koks yra virpesių periodas grandinėje, kurioje yra induktorius $L=1$H ir kondensatorius, jei srovės stipris grandinėje kinta pagal dėsnį: $I\left(t\right)=-0.1sin20 \pi t\ \left(A \right)?$ Kokia yra kondensatoriaus talpa?

Sprendimas:

Iš srovės svyravimų lygties, kuri pateikta uždavinio sąlygomis:

matome, kad $(\omega )_0=20\pi $, todėl svyravimo periodą galime apskaičiuoti naudodami formulę:

\ \

Pagal Thomsono formulę grandinėje, kurioje yra induktyvumas ir kondensatorius, turime:

Apskaičiuokime talpą:

Atsakymas:$T=0,1$ c, $C=2,5\cdot (10)^(-4)F.$

1.18. HARMONINĖS VIBRACIJAS IR JŲ CHARAKTERISTIKOS

Harmoninių virpesių apibrėžimas. Harmoninių virpesių charakteristikos: poslinkis iš pusiausvyros padėties, svyravimų amplitudė, svyravimų fazė, virpesių dažnis ir periodas. Virpesių taško greitis ir pagreitis. Harmoninio osciliatoriaus energija. Harmoninių osciliatorių pavyzdžiai: matematiniai, spyruokliniai, sukimo ir fizikiniai Kiniškos švytuoklės.

Akustika, radijo inžinerija, optika ir kitos mokslo bei technikos šakos remiasi virpesių ir bangų tyrimu. Vibracijų teorija vaidina svarbų vaidmenį mechanikoje, ypač apskaičiuojant orlaivių, tiltų ir tam tikrų tipų mašinų bei komponentų stiprumą.

Virpesiai yra procesai, kurie kartojasi reguliariais intervalais (ir ne visi pasikartojantys procesai yra svyravimai!). Priklausomai nuo fizinio pasikartojančio proceso pobūdžio, vibracijos skiriamos mechaninės, elektromagnetinės, elektromechaninės ir kt. Mechaninių virpesių metu periodiškai keičiasi kūnų padėtis ir koordinatės.

atkuriant jėgą - jėga, kuriai veikiant vyksta virpesių procesas. Ši jėga yra linkusi grąžinti kūną arba materialųjį tašką, nukrypusį nuo ramybės padėties, į pradinę padėtį.

Atsižvelgiant į poveikio svyruojančiam kūnui pobūdį, skiriami laisvieji (arba natūralūs) ir priverstiniai virpesiai.

Pagal poveikio svyruojančiai sistemai pobūdį išskiriami laisvieji virpesiai, priverstiniai svyravimai, savaiminiai svyravimai ir parametriniai svyravimai.

Nemokama (savo) svyravimai – tai tie svyravimai, kurie atsiranda sistemoje, paliktoje sau po to, kai jai buvo suteiktas postūmis arba ji buvo pašalinta iš pusiausvyros padėties, t.y.

· kai svyruojantį kūną veikia tik atkuriamoji jėga Pavyzdys – ant sriegio pakabinto rutulio svyravimas. Norėdami sukelti vibraciją, turite arba stumti rutulį, arba, pastumdami jį į šoną, atleisti. Tuo atveju, kai energija neišsisklaido, laisvieji svyravimai yra neslopinami. Tačiau tikrieji virpesių procesai yra slopinami, nes svyruojantį kūną veikia pasipriešinimo judėjimui jėgos (daugiausia trinties jėgos). Priversta

· vadinami tokie svyravimai, kurių metu svyruojančią sistemą veikia išorinė periodiškai kintanti jėga (pvz., tilto svyravimai, atsirandantys žmonėms einant juo, einant žingsniu). Daugeliu atvejų sistemos patiria svyravimus, kurie gali būti laikomi harmoningais. , Savaiminiai svyravimai

· kaip ir priverstinius svyravimus, juos lydi išorinių jėgų įtaka virpesių sistemai, tačiau laiko momentus, kada šie poveikiai atsiranda, nustato pati svyruojanti sistema. svyravimai atsiranda, kai periodiškai kinta svyruojančios sistemos parametrai (sūpynėse besisukantis žmogus periodiškai pakelia ir nuleidžia savo svorio centrą, tuo keisdamas sistemos parametrus). Tam tikromis sąlygomis sistema tampa nestabili – atsitiktinis nukrypimas nuo pusiausvyros padėties lemia svyravimų atsiradimą ir padidėjimą.

Šis reiškinys vadinamas parametriniu svyravimų sužadinimu (t.y. svyravimai sužadinami keičiant sistemos parametrus), o patys svyravimai – parametriniais. Nepaisant skirtingos fizinės prigimties, vibracijos pasižymi tais pačiais modeliais, kurie tiriami bendrais metodais. Svarbi kinematinė charakteristika yra virpesių forma. Ją lemia laiko funkcijos, kuri apibūdina vieno ar kito fizikinio dydžio kitimą svyravimų metu, tipas. Svarbiausi svyravimai yra tie, kuriuose svyruojantis kiekis kinta laikui bėgant. pagal sinuso arba kosinuso dėsnį . Jie vadinami .

harmoninė Harmoninės vibracijos

vadinami svyravimais, kuriuose svyruojantis fizikinis dydis kinta pagal sinuso (arba kosinuso) dėsnį.

Šis virpesių tipas yra ypač svarbus dėl toliau nurodytų priežasčių. Pirma, vibracijos gamtoje ir technikoje dažnai yra labai artimos harmonikai. Antra, skirtingos formos periodiniai procesai (su skirtinga priklausomybe nuo laiko) gali būti pavaizduoti kaip harmoninių virpesių primetimas arba superpozicija.

Harmoninio osciliatoriaus lygtis

Harmoninis svyravimas apibūdinamas periodiniu dėsniu:

Ryžiai. 18.1. Harmoninis svyravimas

, t.y. vieno svyravimo laikas. (Svyravimo laikotarpis T

vadinamas trumpiausiu laiko periodu, po kurio kartojasi svyruojančios sistemos būsenos (baigiamas vienas pilnas svyravimas) ir svyravimo fazė gauna 2p prieaugį). Ir
, kuris nustato svyravimų skaičių per laiko vienetą. Dažnio vienetas yra tokio svyravimo dažnis, kurio periodas yra 1 s. Šis vienetas vadinamas hercų (Hz ).

Virpesių dažnisn yra svyravimų periodo atvirkštinė vertė – pilnų svyravimų, atliktų per laiko vienetą, skaičius.

Amplitudė- didžiausia kintamojo poslinkio arba pokyčio vertė svyruojant ar banguojant.

Virpesių fazė- periodinės funkcijos argumentas arba apibūdinantis harmoninį virpesių procesą (ω - kampinis dažnis, t- laikas, - pradinė svyravimų fazė, tai yra svyravimų fazė pradiniu laiko momentu t = 0).

Harmoningai svyruojančio dydžio pirmojo ir antrojo karto dariniai taip pat atlieka tokio paties dažnio harmoninius virpesius:

Šiuo atveju remiamasi harmoninių svyravimų lygtis, parašyta pagal kosinuso dėsnį. Šiuo atveju pirmoji iš lygčių (18.2) apibūdina dėsnį, pagal kurį kinta svyruojančio materialaus taško (kūno) greitis, antroji lygtis – dėsnį, pagal kurį kinta svyruojančio taško (kūno) pagreitis.

Amplitudės
Ir
yra atitinkamai vienodi
Ir
. Dvejojimas
pirmyn
fazėje iki ; ir dvejonių
pirmyn
įjungta . Vertybės bet koks fizikinis dydis virpesių metu (švytuoklės padėties poslinkis iš pusiausvyros padėties; kondensatoriaus įtampa virpesių grandinėje ir kt.), Ir galima nustatyti iš pateiktų pradinių sąlygų
Ir
:

,
. (18.3)

Osciliatoriaus virpesių energija

P

pagreitis:
Tie. tokių svyravimų lygtis turi formą (18.1) su natūraliu dažniu . Kvazielastinė jėga yra . konservatyvus Todėl bendra tokių harmoninių virpesių energija turi išlikti pastovi. Virpesių proceso metu paverčiama kinetinė energija EĮ Todėl bendra tokių harmoninių virpesių energija turi išlikti pastovi. Virpesių proceso metu paverčiama kinetinė energija į potencialą n

ir atvirkščiai, o didžiausio nukrypimo nuo pusiausvyros padėties momentais bendra energija lygi maksimaliai potencialios energijos vertei, o kai sistema pereina per pusiausvyros padėtį, visa energija lygi maksimaliai kinetinės energijos. Išsiaiškinkime, kaip laikui bėgant kinta kinetinė ir potenciali energija:

Kinetinė energija:

(18.5)

Potenciali energija:

Taigi bendra harmoninio virpesio energija pasirodo esanti pastovi. Iš santykių (18.4) ir (18.5) taip pat matyti, kad vidutinės kinetinės ir potencialios energijos vertės yra lygios viena kitai ir pusei visos energijos, nes vidutinės vertės
Ir
per laikotarpį yra lygūs 0,5. Naudodami trigonometrines formules galime nustatyti, kad kinetinė ir potenciali energija keičiasi dažniu
, t.y. kurių dažnis yra dvigubai didesnis už harmoninių virpesių dažnį.

Harmoninių osciliatorių pavyzdžiai yra spyruoklinės švytuoklės, fizinės švytuoklės, matematinės švytuoklės ir sukimo švytuoklės.

1. Spyruoklinė švytuoklė- tai m masės apkrova, pakabinama ant absoliučiai elastingos spyruoklės ir atlieka harmoninius svyravimus, veikiant tamprumo jėgai F = –kx, kur k yra spyruoklės standumas. Švytuoklės judėjimo lygtis turi formą arba (18.8) Iš (18.8) formulės išplaukia, kad spyruoklinė švytuoklė atlieka harmoninius svyravimus pagal dėsnį x = Асos(ω 0 t+φ) cikliniu dažniu.

(18.9) ir laikotarpis

(18.10) Formulė (18.10) tinka tamprioms vibracijoms tose ribose, kuriose yra įvykdytas Huko dėsnis, tai yra, jei spyruoklės masė yra maža, palyginti su kūno mase. Spyruoklės švytuoklės potencinė energija, naudojant (18.9) ir ankstesnės dalies potencinės energijos formulę, yra lygi (žr. 18.5)

2. Fizinė švytuoklė yra kietas kūnas, kuris gravitacijos įtakoje svyruoja aplink fiksuotą horizontalią ašį, einančią per tašką O, kuri nesutampa su kūno masės centru C (1 pav.).

18.3 pav. Fizinė švytuoklė

Jei švytuoklė atitraukta nuo pusiausvyros padėties tam tikru kampu α, tai, naudojant standaus kūno sukimosi judėjimo dinamikos lygtį, atkuriamosios jėgos momentas M (18.11), kur J yra kūno inercijos momentas. švytuoklė ašies, einančios per pakabos tašką O, atžvilgiu, l – atstumas tarp ašies ir švytuoklės masės centro, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα – atkuriamoji jėga (minuso ženklas rodo, kad F kryptys τ ir α visada yra priešingi sinα ≈ α, nes švytuoklės svyravimai laikomi mažais, t. Lygtį (18.11) rašome kaip

Arba imdami (18.12) gauname lygtį

Identiškas (18.8), kurio sprendimas bus rastas ir parašytas taip:

(18.13) Iš (18.13) formulės matyti, kad su mažais svyravimais fizikinė švytuoklė atlieka harmoninius svyravimus, kurių ciklinis dažnis ω 0 ir periodas

(18.14) kur reikšmė L=J/(m l) -. Taškas O" tiesės OS tęsinyje, esantis nurodyto ilgio L atstumu nuo švytuoklės pakabos taško O, vadinamas sūpynių centras fizinė švytuoklė (18.3 pav.). Taikydami Šteinerio teoremą ašies inercijos momentui, randame

Tai yra, OO" visada yra didesnis nei OS. Švytuoklės pakabos taškas O ir svyravimo centras O" turi pakeičiamumo savybė: jei pakabos taškas perkeliamas į siūbavimo centrą, tai ankstesnis pakabos taškas O bus naujas siūbavimo centras, o fizinės švytuoklės svyravimo periodas nesikeis.

3. Matematinė švytuoklė yra idealizuota sistema, susidedanti iš materialaus m masės taško, pakabinto ant neištęsto ​​nesvario sriegio ir kuris svyruoja veikiamas gravitacijos. Geras matematinės švytuoklės aproksimacija yra mažas sunkus rutulys, pakabintas ant ilgo plono sriegio. Matematinės švytuoklės inercijos momentas

(8) kur l- švytuoklės ilgis.

Kadangi matematinė švytuoklė yra ypatingas fizinės švytuoklės atvejis, jei darysime prielaidą, kad visa jos masė yra sutelkta viename taške - masės centre, tada, pakeitę (8) į (7), rasime periodo išraišką. matematinės švytuoklės mažų svyravimų (18.15) Palyginę (18.13 ) ir (18.15) formules, matome, kad jei sumažintas fizikinės švytuoklės ilgis L lygus ilgiui l matematinė švytuoklė, tada šių švytuoklių svyravimo periodai yra vienodi. Reiškia, sumažintas fizinės švytuoklės ilgis- tai matematinės švytuoklės, kurios svyravimo periodas sutampa su tam tikros fizinės švytuoklės svyravimo periodu, ilgis. Matematikai švytuoklei (materialiam taškui su mase Kaip harmoninių virpesių pavyzdį apsvarstykite vienmačius svyravimus, kuriuos atlieka masės kūnas, pakabintas ant nesvario ilgio netiesiamo sriegio l gravitacijos lauke, kurio laisvojo kritimo pagreitis lygus g) esant nedideliems nuokrypio kampams (neviršijantiems 5-10 kampinių laipsnių) nuo pusiausvyros padėties, natūralus svyravimų dažnis:
.

4. Kūnas, pakabintas ant tamprios sriegio ar kito tampriojo elemento, svyruojantis horizontalioje plokštumoje, yra sukimo švytuoklė.

Tai mechaninė svyravimo sistema, kuri naudoja elastines deformacijos jėgas. Fig. 18.4 paveiksle parodytas linijinio harmoninio osciliatoriaus, atliekančio sukimosi virpesius, kampinis analogas. Horizontaliai išdėstytas diskas kabo ant elastingo sriegio, pritvirtinto prie jo masės centro. Kai diskas pasukamas kampu θ, atsiranda jėgos momentas M tamprios sukimo deformacijos valdymas:

Kur aš = ašC– disko inercijos momentas ašies atžvilgiu, einantis per masės centrą, ε – kampinis pagreitis.

Pagal analogiją su spyruoklės apkrova galite gauti.

Mechaninis harmoninis svyravimas- tai tiesus netolygus judėjimas, kurio metu svyruojančio kūno (materialaus taško) koordinatės kinta pagal kosinuso arba sinuso dėsnį priklausomai nuo laiko.

Pagal šį apibrėžimą koordinačių kitimo dėsnis priklausomai nuo laiko turi tokią formą:

kur wt yra kiekis po kosinuso arba sinuso ženklu; w- koeficientas, kurio fizinė reikšmė bus atskleista žemiau; A – mechaninių harmoninių virpesių amplitudė.

Lygtys (4.1) yra pagrindinės mechaninių harmoninių virpesių kinematinės lygtys.

Apsvarstykite toliau pateiktą pavyzdį. Paimkime Ox ašį (64 pav.). Iš taško 0 nubrėžiame apskritimą, kurio spindulys R = A. Tegul taškas M iš 1 padėties pradeda judėti aplink apskritimą pastoviu greičiu v(arba esant pastoviam kampiniam greičiui w, v = wА). Po kurio laiko t spindulys pasisuks kampu f: f=wt.

Su tokiu taško M sukamuoju judesiu jo projekcija į x ašį M x judės išilgai x ašies, kurios koordinatė x bus lygi x = A cos f = = A cos wt. Taigi, jei materialus taškas juda išilgai A spindulio apskritimo, kurio centras sutampa su koordinačių pradžia, tai šio taško projekcija x ašyje (ir y ašyje) atliks harmoninius mechaninius virpesius.

Jei žinomos reikšmės wt, kuri yra po kosinuso ženklu, ir amplitudė A, tai x taip pat gali būti nustatytas (4.1) lygtyje.

Dydis wt, esantis po kosinuso (arba sinuso) ženklu, vienareikšmiškai nustatantis svyruojančio taško koordinatę tam tikra amplitude, vadinamas svyravimo fazė. Taško M, judančio apskritimu, reikšmė w reiškia jo kampinį greitį. Kokia fizinė reikšmė w taškui M x, atliekančiam mechaninius harmoninius virpesius? Svyruojančio taško M x koordinatės yra vienodos tam tikru momentu t ir (T +1) (iš periodo T apibrėžimo), t.y. A cos wt = A cos w (t + T), o tai reiškia w(t + T) – wt = 2 PI(iš kosinuso funkcijos periodiškumo savybės). Iš to išplaukia

Vadinasi, materialiame taške, atliekančiame harmoninius mechaninius virpesius, w reikšmė gali būti aiškinama kaip virpesių skaičius tam tikram ciklas laikas lygus 2l. Todėl vertė w pavadintas cikliškas(arba apskrito) dažnis.

Jei taškas M pradeda judėti ne iš taško 1, o iš taško 2, tada (4.1) lygtis bus tokia:

Dydis f 0 paskambino pradinė fazė.

Taško M x greitį randame kaip koordinatės išvestinę laiko atžvilgiu:

Taško, svyruojančio pagal harmoninį dėsnį, pagreitį apibrėžiame kaip greičio išvestinę:

Iš (4.4) formulės aišku, kad harmoninius virpesius atliekančio taško greitis taip pat kinta pagal kosinuso dėsnį. Tačiau fazės greitis lenkia koordinates PI/2 į potencialą.

Pagreitis harmoninio virpesio metu skiriasi pagal kosinuso dėsnį, bet fazėje lenkia koordinatę

.

Lygtį (4.5) galima parašyti pagal x koordinates:

Pagreitis harmoninių virpesių metu yra proporcingas poslinkiui su priešingu ženklu. Padauginkime dešinę ir kairę lygties (4.5) puses iš svyruojančios medžiagos taško m masės, gausime tokius ryšius: Pagal antrąjį Niutono dėsnį, dešiniosios išraiškos pusės (4.6) fizinė reikšmė yra jėgos F x projekcija, kuri užtikrina harmoningą mechaninį judėjimą:.

F x reikšmė yra proporcinga poslinkiui x ir nukreipta priešais jį. Tokios jėgos pavyzdys yra tamprumo jėga, kurios dydis yra proporcingas deformacijai ir nukreiptas priešingai (Hooke'o dėsnis).

Pagreičio ir poslinkio modelis, kuris išplaukia iš (4.6) lygties, kurią laikėme mechaniniams harmoniniams virpesiams, gali būti apibendrintas ir taikomas, kai atsižvelgiama į kitokio fizinio pobūdžio virpesius (pavyzdžiui, srovės pokytį virpesių grandinėje, krūvio, įtampos, magnetinio lauko indukcijos pokytis ir kt.). Todėl (4.8) lygtis vadinama pagrindine lygtimi

harmoninė dinamika

Panagrinėkime spyruoklės ir matematinės švytuoklės judėjimą.

Tegu spyruoklė (63 pav.), esanti horizontaliai ir fiksuota taške 0, vienu galu pritvirtinta prie m masės kūno, galinčio judėti x ašimi be trinties.

Tegul spyruoklės standumo koeficientas lygus k. Išimkime kūną m išorine jėga iš pusiausvyros padėties ir atleiskime. Tada išilgai x ašies kūną veiks tik tamprumo jėga, kuri pagal Huko dėsnį bus lygi: F yпp = -kx.

Šio kūno judėjimo lygtis bus tokia: Palyginę (4.6) ir (4.9) lygtis, darome dvi išvadas: iš pusiausvyros padėties, tada kūną veikia tos pačios jėgos, tačiau jos nebesubalansuoja viena kitos ir kūnas pradeda judėti lanku, veikiamas gravitacijos komponento, nukreipto išilgai lanko liestinės ir lygios mg sin. a.

Švytuoklės judėjimo lygtis yra tokia:

Minuso ženklas dešinėje reiškia, kad jėga F x = mg sin a nukreipta prieš poslinkį. Harmoninis svyravimas įvyks esant mažiems nuokrypio kampams, t.y 2* nuodėmė a.

Pakeiskime nuodėmę ir viduje lygtį (4.12), gauname tokią lygtį.

Ištyrėme kelias fiziškai visiškai skirtingas sistemas ir įsitikinome, kad judesio lygtys yra redukuotos į tą pačią formą

Fizinių sistemų skirtumai išryškėja tik skirtinguose kiekio apibrėžimuose ir įvairiomis fizinėmis kintamojo prasmėmis x: tai gali būti koordinatė, kampas, krūvis, srovė ir tt Atkreipkite dėmesį, kad šiuo atveju, kaip matyti iš pačios (1.18) lygties struktūros, dydis visada turi atvirkštinio laiko matmenį.

(1.18) lygtis apibūdina vadinamąją harmonines vibracijas.

Harmoninių virpesių lygtis (1.18) yra antros eilės tiesinė diferencialinė lygtis (nes joje yra antroji kintamojo išvestinė x). Lygties tiesiškumas reiškia tai

jei kokia nors funkcija x(t) yra šios lygties sprendimas, tada funkcija Cx(t) taip pat bus jo sprendimas ( C– savavališka konstanta);

jei funkcijos x 1 (t) vadinamas trumpiausiu laiko periodu, po kurio kartojasi svyruojančios sistemos būsenos (baigiamas vienas pilnas svyravimas) ir svyravimo fazė gauna 2p prieaugį). x 2 (t) yra šios lygties sprendiniai, tada jų suma x 1 (t) + x 2 (t) taip pat bus tos pačios lygties sprendimas.

Taip pat įrodyta matematinė teorema, pagal kurią antros eilės lygtis turi du nepriklausomus sprendinius. Visi kiti sprendimai pagal tiesiškumo savybes gali būti gauti kaip jų tiesiniai deriniai. Tiesioginės diferenciacijos būdu nesunku patikrinti, ar nepriklausomos funkcijos ir tenkina (1.18) lygtį. Tai reiškia, kad bendras šios lygties sprendimas turi tokią formą:

Kur C 1,C 2- savavališkos konstantos. Šis sprendimas gali būti pateiktas kita forma. Įveskime vertę

ir kampą nustatykite pagal santykius:

Tada bendrasis sprendimas (1.19) rašomas kaip

Pagal trigonometrijos formules išraiška skliausteliuose yra lygi

Pagaliau priėjome harmoninių virpesių lygties bendrasis sprendimas formoje:

Neneigiama vertė bet koks fizikinis dydis virpesių metu (švytuoklės padėties poslinkis iš pusiausvyros padėties; kondensatoriaus įtampa virpesių grandinėje ir kt.), paskambino vibracijos amplitudė, - pradinė virpesių fazė. Visas kosinuso argumentas – derinys – vadinamas svyravimo fazė.

Išraiškos (1.19) ir (1.23) yra visiškai lygiavertės, todėl, atsižvelgdami į paprastumą, galime naudoti bet kurią iš jų. Abu sprendimai yra periodinės laiko funkcijos. Iš tiesų sinusas ir kosinusas yra periodiški su tašku . Todėl įvairios harmoninius virpesius atliekančios sistemos būsenos po tam tikro laiko kartojasi t*, kurio metu svyravimo fazė gauna prieaugį, kuris yra kartotinis :

Iš to išplaukia

Mažiausiai iš šių kartų

paskambino svyravimų periodas (1.8 pav.), ir - jo apskritas (ciklinis) dažnis.

Ryžiai. 1.8.

Jie taip pat naudoja dažnis svyravimai

Atitinkamai, apskritimo dažnis yra lygus virpesių skaičiui per sekundžių

Taigi, jei sistema laiku t apibūdinamas kintamojo reikšme x(t), tada kintamasis po tam tikro laiko turės tokią pačią reikšmę (1.9 pav.), t.y

Natūralu, kad laikui bėgant ta pati reikšmė kartosis 2T, ZT ir tt

Ryžiai. 1.9. Virpesių laikotarpis

Bendrasis sprendimas apima dvi savavališkas konstantas ( C 1, C 2 arba bet koks fizikinis dydis virpesių metu (švytuoklės padėties poslinkis iš pusiausvyros padėties; kondensatoriaus įtampa virpesių grandinėje ir kt.),, a), kurių reikšmės turi būti nustatytos dviem pradines sąlygas. Paprastai (nors nebūtinai) jų vaidmenį atlieka pradinės kintamojo reikšmės x(0) ir jo vedinys.

Pateikime pavyzdį. Tegul harmoninių svyravimų lygties sprendinys (1.19) nusako spyruoklės švytuoklės judėjimą. Savavališkų konstantų reikšmės priklauso nuo to, kaip mes išvedėme švytuoklę iš pusiausvyros. Pavyzdžiui, mes ištraukėme spyruoklę į atstumą ir paleido kamuolį be pradinio greičio. Šiuo atveju

Pakeičiant t = 0(1.19) randame konstantos reikšmę C 2

Taigi sprendimas atrodo taip:

Apkrovos greitį randame diferencijuodami laiko atžvilgiu

Pakeičiamas čia t = 0, raskite konstantą C 1:

Pagaliau

Palyginus su (1.23), matome, kad yra svyravimų amplitudė, o jo pradinė fazė lygi nuliui: .

Dabar išbalansuokime švytuoklę kitu būdu. Apkrovą pataikykime taip, kad jis įgautų pradinį greitį, bet smūgio metu praktiškai nejudėtų. Tada turime kitas pradines sąlygas:

mūsų sprendimas atrodo taip

Krovinio greitis keisis pagal įstatymą:

Pakeiskime čia:

Paprasčiausias virpesių tipas yra harmonines vibracijas- svyravimai, kurių metu svyruojančio taško poslinkis iš pusiausvyros padėties laikui bėgant kinta pagal sinuso arba kosinuso dėsnį.

Taigi, rutuliui tolygiai sukantis apskritime, jo projekcija (šešėlis lygiagrečiuose šviesos spinduliuose) atlieka harmoningą svyruojantį judesį vertikaliame ekrane (1 pav.).

Poslinkis iš pusiausvyros padėties harmoninių virpesių metu apibūdinamas lygtimi (ji vadinama harmoninio judėjimo kinematiniu dėsniu), kurios forma:

čia x yra poslinkis – dydis, apibūdinantis svyruojančio taško padėtį momentu t pusiausvyros padėties atžvilgiu ir matuojamas atstumu nuo pusiausvyros padėties iki taško padėties tam tikru metu; A - svyravimų amplitudė - didžiausias kūno poslinkis iš pusiausvyros padėties; T - svyravimų periodas - vieno pilno svyravimo laikas; tie. trumpiausias laikotarpis, po kurio kartojasi svyravimą apibūdinančių fizikinių dydžių reikšmės; - pradinė fazė;

Virpesių fazė momentu t. Virpesių fazė yra periodinės funkcijos argumentas, kuris, esant tam tikrai virpesių amplitudei, bet kuriuo metu nustato kūno svyravimo sistemos būseną (poslinkį, greitį, pagreitį).

Jei pradiniu laiko momentu svyruojantis taškas yra maksimaliai pasislinkęs iš pusiausvyros padėties, tada , ir taško poslinkis iš pusiausvyros padėties pasikeičia pagal dėsnį

Jei svyruojantis taškas yra stabilios pusiausvyros padėtyje, tai taško poslinkis iš pusiausvyros padėties keičiasi pagal dėsnį

Vertė V, atvirkštinė periodo vertė ir lygi pilnų svyravimų, baigtų per 1 s, skaičiui, vadinama virpesių dažniu:

Jei per laiką t kūnas padaro N pilnų svyravimų, tai

Dydis parodantis, kiek svyravimų kūnas atlieka per s, vadinamas ciklinis (apvalus) dažnis.

Harmoninio judėjimo kinematinį dėsnį galima parašyti taip:

Grafiškai svyruojančio taško poslinkio priklausomybė nuo laiko pavaizduota kosinuso banga (arba sinusine banga).

2 paveiksle a parodytas atvejo svyravimo taško poslinkio nuo pusiausvyros padėties priklausomybės nuo laiko grafikas.

Išsiaiškinkime, kaip laikui bėgant kinta svyruojančio taško greitis. Norėdami tai padaryti, randame šios išraiškos laiko išvestinę:

kur yra greičio projekcijos į x ašį amplitudė.

Ši formulė rodo, kad harmoninių virpesių metu kūno greičio projekcija į x ašį taip pat kinta pagal harmonikos dėsnį tuo pačiu dažniu, skirtinga amplitude ir yra lenkia fazės poslinkį (2 pav., b). ).

Norėdami išsiaiškinti pagreičio priklausomybę, randame greičio projekcijos laiko išvestinę:

kur yra pagreičio projekcijos į x ašį amplitudė.

Esant harmoniniams virpesiams, pagreičio projekcija lenkia fazės poslinkį k (2 pav., c).

Panašiai galite sudaryti priklausomybės grafikus

Atsižvelgiant į tai, galima parašyti pagreičio formulę

tie. esant harmoniniams virpesiams, pagreičio projekcija yra tiesiogiai proporcinga poslinkiui ir yra priešinga ženklu, t.y. pagreitis nukreiptas priešinga poslinkiui kryptimi.

Taigi, pagreičio projekcija yra antroji poslinkio išvestinė, tada gautą ryšį galima parašyti taip:

Paskutinė lygybė vadinama harmoninė lygtis.

Vadinama fizine sistema, kurioje gali egzistuoti harmoniniai virpesiai harmoninis osciliatorius, o harmoninių virpesių lygtis yra harmoninio osciliatoriaus lygtis.