Šis straipsnis: „Antra žymi riba“ yra skirtas atskleidimui formos neapibrėžtumo ribose:
$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ ir $ ^\infty $.
Taip pat tokius neapibrėžtumus galima atskleisti naudojant eksponentinės funkcijos logaritmą, tačiau tai dar vienas sprendimo būdas, apie kurį bus kalbama kitame straipsnyje.
Formulė ir pasekmės
Formulė antroji žymi riba parašyta taip: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( kur ) e \apytiksliai 2,718 $$
Tai išplaukia iš formulės pasekmes, kuriuos labai patogu naudoti sprendžiant pavyzdžius su apribojimais: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( kur ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \iki 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$
Verta pažymėti, kad antroji žymi riba ne visada gali būti taikoma eksponentinei funkcijai, bet tik tais atvejais, kai bazė linkusi į vienybę. Norėdami tai padaryti, pirmiausia psichiškai apskaičiuokite bazės ribą, o tada padarykite išvadas. Visa tai bus aptarta sprendimų pavyzdžiuose.
Sprendimų pavyzdžiai
Pažvelkime į sprendimų pavyzdžius naudojant tiesioginę formulę ir jos pasekmes. Taip pat analizuosime atvejus, kai formulė nereikalinga. Užtenka užsirašyti tik paruoštą atsakymą.
| 1 pavyzdys |
| Raskite ribą $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ |
| Sprendimas |
|
Pakeiskime begalybę į ribą ir pažiūrėkime į neapibrėžtį: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ Raskime bazės ribą: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac) (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Gavome bazę, lygią vienetui, o tai reiškia, kad jau galime taikyti antrą reikšmingą ribą. Norėdami tai padaryti, pakoreguokite funkcijos pagrindą pagal formulę, atimdami ir pridėdami vieną: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Mes žiūrime į antrą išvadą ir užrašome atsakymą: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Jei negalite išspręsti savo problemos, atsiųskite ją mums. Pateiksime išsamų sprendimą. Galėsite stebėti skaičiavimo eigą ir gauti informacijos. Tai padės jums laiku gauti pažymį iš savo mokytojo! |
| Atsakymas |
| $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ |
| 4 pavyzdys |
| Išspręskite ribą $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $ |
| Sprendimas |
|
Randame bazės ribą ir matome, kad $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $, o tai reiškia, kad galime pritaikyti antrą nepaprastą ribą. Pagal standartinį planą mes pridedame ir atimame vieną iš laipsnio pagrindo: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Trupmeną koreguojame pagal 2-osios natos formulę. riba: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Dabar pakoreguokime laipsnį. Laipsnyje turi būti trupmena, lygi bazės $ \frac(3x^2-2)(6) $ vardikliui. Norėdami tai padaryti, laipsnį padauginkite ir padalinkite iš jo ir tęskite sprendimą: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ Riba, esanti galioje $ e $, yra lygi: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Taigi, tęsdami sprendimą, turime: |
| Atsakymas |
| $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$ |
Pažvelkime į atvejus, kai problema yra panaši į antrąją reikšmingą ribą, bet gali būti išspręsta ir be jos.
Straipsnyje: „Antra žymi riba: sprendimų pavyzdžiai“ buvo išanalizuota formulė, jos pasekmės ir pateikiamos bendros problemos šia tema.
Raskite nuostabias ribas Sunku ne tik daugeliui pirmo ir antro kurso studentų, studijuojančių ribų teoriją, bet ir kai kuriems dėstytojams.
Pirmosios nepaprastos ribos formulė
Pirmosios nepaprastos ribos pasekmės
rašykime formulėmis
1. 2. 3. 4. Tačiau pačios bendros žymių ribų formulės niekam nepadeda nei egzamine, nei įskaitoje. Esmė ta, kad tikrosios užduotys yra sukonstruotos taip, kad vis tiek reikia pasiekti aukščiau parašytas formules. Ir dauguma studentų, kurie praleidžia pamokas, studijuoja šį kursą nedalyvaujant arba turi mokytojus, kurie patys ne visada supranta, ką jie aiškina, negali suskaičiuoti elementariausių pavyzdžių iki nepaprastų ribų. Iš pirmosios žymiosios ribos formulių matome, kad jų pagalba galima tirti nulinio tipo neapibrėžtis, padalytą iš nulio išraiškoms su trigonometrinėmis funkcijomis. Pirmiausia panagrinėkime keletą pirmosios reikšmingos ribos pavyzdžių, o tada išnagrinėkime antrąją reikšmingą ribą.
1 pavyzdys. Raskite funkcijos sin(7*x)/(5*x) ribą
Sprendimas: Kaip matote, funkcija žemiau ribos yra arti pirmos reikšmingos ribos, tačiau pačios funkcijos riba tikrai nėra lygi vienetui. Atliekant tokias užduotis apie ribas, vardiklyje reikia pasirinkti kintamąjį su tuo pačiu koeficientu, kuris yra kintamajame po sinusu. Tokiu atveju padalinkite ir padauginkite iš 7 
Kai kuriems tokia smulkmena atrodys nereikalinga, tačiau daugumai studentų, kuriems sunku nustatyti ribas, tai padės geriau suprasti taisykles ir įsisavinti teorinę medžiagą.
Be to, jei yra atvirkštinė funkcijos forma, tai taip pat yra pirmoji nuostabi riba. Ir viskas todėl, kad nuostabi riba yra lygi vienai
Ta pati taisyklė galioja ir 1-osios žymiosios ribos pasekmėms. Todėl, jei jūsų paklaus: „Kokia yra pirmoji nuostabi riba? Turėtumėte nedvejodami atsakyti, kad tai yra vienetas.
2 pavyzdys. Raskite funkcijos sin(6x)/tan(11x) ribą
Sprendimas: norėdami suprasti galutinį rezultatą, parašykite funkciją formoje 
Norėdami taikyti ypatingos ribos taisykles, padauginkite ir padalinkite iš koeficientų
Toliau funkcijų sandaugos ribą rašome per ribų sandaugą 
Be sudėtingų formulių radome trigonometrinių funkcijų ribą. Norėdami įvaldyti paprastas formules, pabandykite sugalvoti ir rasti 2 ir 4 ribą, formulę, išplaukiančią iš 1 nuostabios ribos. Išnagrinėsime sudėtingesnes problemas.
3 pavyzdys: apskaičiuokite ribą (1-cos(x))/x^2
Sprendimas: Tikrindami pakeitimu, gauname 0/0 neapibrėžtį. Daugelis žmonių nežino, kaip tokį pavyzdį sumažinti iki vienos nepaprastos ribos. Čia reikia naudoti trigonometrinę formulę 
Tokiu atveju riba pavirs į aiškią formą 
Mums pavyko sumažinti funkciją iki nepaprastos ribos kvadrato.
4 pavyzdys: Raskite ribą
Sprendimas: Keisdami gauname pažįstamą funkciją 0/0. Tačiau kintamasis linkęs į Pi, o ne į nulį. Todėl, norėdami pritaikyti pirmąją žymiąją ribą, atliksime tokį kintamojo x pakeitimą, kad naujasis kintamasis būtų lygus nuliui. Norėdami tai padaryti, vardiklį pažymime kaip naują kintamąjį Pi-x=y 
Taigi, naudojant ankstesnėje užduotyje pateiktą trigonometrinę formulę, pavyzdys sumažinamas iki 1 nepaprastos ribos.
5 pavyzdys: Apskaičiuokite ribą 
Sprendimas: Iš pradžių neaišku, kaip supaprastinti ribas. Bet kadangi yra pavyzdys, turi būti ir atsakymas. Tai, kad kintamasis eina į vienybę, keičiant suteikia nulio formos požymį, padaugintą iš begalybės, todėl liestinė turi būti pakeista naudojant formulę 
Po to gauname reikiamą neapibrėžtį 0/0. Toliau atliekame kintamųjų keitimą riboje ir naudojame kotangento periodiškumą 
Paskutiniai keitimai leidžia mums naudoti 1 reikšmingos ribos išvadą.
Antroji žymi riba yra lygi eksponentui
Tai klasika, kurią ne visada lengva pasiekti sprendžiant tikras ribas.
Skaičiavimuose jums reikės ribos yra antrosios nepaprastos ribos pasekmės:
1. 
2. 
3. 
4.
Dėl antrosios nepaprastos ribos ir jos pasekmių galima ištirti neapibrėžtumus, tokius kaip nulis padalintas iš nulio, vienas iki begalybės laipsnio ir begalybė padalintas iš begalybės, ir netgi tokiu pat laipsniu. 
Pradėkime nuo paprastų pavyzdžių.
6 pavyzdys. Raskite funkcijos ribą
Sprendimas: tiesioginis 2-osios reikšmingos ribos taikymas neveiks. Pirmiausia turėtumėte paversti eksponentą taip, kad jis atrodytų kaip atvirkštinis termino skliausteliuose 
Tai yra sumažinimo iki 2-osios reikšmingos ribos ir iš esmės 2-osios ribos pasekmės formulės išvedimo metodas.
7 pavyzdys. Raskite funkcijos ribą
Sprendimas: turime užduočių, skirtų nuostabios ribos 2 pasekmės 3 formulei. Pakeitus nulį, gaunamas 0/0 formos singuliarumas. Norėdami padidinti ribą iki taisyklės, vardiklį pasukame taip, kad kintamasis turėtų tokį patį koeficientą kaip ir logaritmas 
Taip pat lengva suprasti ir atlikti egzaminą. Mokinių sunkumai skaičiuojant ribas prasideda nuo šių problemų.
8 pavyzdys. Apskaičiuokite funkcijos ribą[(x+7)/(x-3)]^(x-2) 
Sprendimas: turime 1 tipo singuliarumą iki begalybės galios. Jei netikite manimi, visur galite pakeisti „X“ begalybe ir tuo įsitikinti. Norėdami sudaryti taisyklę, skaitiklį padalijame iš vardiklio, esančio skliausteliuose, pirmiausia atliekame manipuliacijas 
Pakeiskime išraišką riba ir paverskime ją 2 nuostabiomis ribomis 
Riba lygi 10 eksponenlinei galiai. Konstantos, kurios yra terminai su kintamuoju skliausteliuose ir laipsniu, neįveda jokio „oro“ - tai reikia atsiminti. Ir jei jūsų mokytojai jūsų paklaus: „Kodėl jūs nekonvertuojate rodiklio? (Šiam pavyzdžiui x-3), tada pasakykite: „Kai kintamasis linkęs į begalybę, net pridėkite prie jo 100 arba atimkite 1000, ir riba išliks tokia, kokia buvo!
Yra antras būdas apskaičiuoti šio tipo ribas. Apie tai pakalbėsime kitoje užduotyje.
9 pavyzdys. Raskite ribą 
Sprendimas: Išimkime skaitiklio ir vardiklio kintamąjį ir vieną požymį paverskime kita. Norėdami gauti galutinę vertę, naudojame 2 išvados formulę, skirtą nepaprastai ribai 
10 pavyzdys. Raskite funkcijos ribą
Sprendimas: ne visi gali rasti nurodytą ribą. Norėdami padidinti ribą iki 2, įsivaizduokite, kad sin (3x) yra kintamasis ir jums reikia pasukti eksponentą 
Toliau indikatorių įrašome kaip laipsnį į galią 
Tarpiniai argumentai aprašyti skliausteliuose. Naudodami pirmąją ir antrąją reikšmingas ribas, gavome eksponentą kube.
11 pavyzdys. Apskaičiuokite funkcijos ribą sin(2*x)/ln(3*x+1)
Sprendimas: turime 0/0 formos neapibrėžtį. Be to, matome, kad funkcija turėtų būti konvertuota į abi nuostabias ribas. Atlikime ankstesnes matematines transformacijas 
Be to, be sunkumų riba paims vertę 
Taip laisvai jausitės vykdydami užduotis, testus, modulius, jei išmoksite greitai išrašyti funkcijas ir sumažinti jas iki pirmos ar antros nuostabios ribos. Jei jums sunku įsiminti pateiktus limitų nustatymo būdus, visada galite pas mus užsisakyti bandomąjį darbą apie ribas.
Norėdami tai padaryti, užpildykite formą, pateikite duomenis ir pridėkite failą su pavyzdžiais. Mes padėjome daugeliui studentų – galime padėti ir jums!
Pirmoji žymi riba dažnai naudojama apskaičiuojant ribas, kuriose yra sinusas, arcsinusas, liestinė, arctangentas ir gautos nulio neapibrėžtys, padalytos iš nulio.
Formulė
Pirmosios žymios ribos formulė yra: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$
Pastebime, kad nuo $ \alpha\to 0 $ gauname $ \sin\alpha \to 0 $, todėl skaitiklyje ir vardiklyje turime nulius. Taigi, norint atskleisti neapibrėžtumus $ \frac(0)(0) $, reikia pirmosios žymios ribos formulės.
Norint taikyti formulę, turi būti įvykdytos dvi sąlygos:
- Sinuso ir trupmenos vardiklio išraiškos yra vienodos
- Trupmenos sinuso ir vardiklio išraiškos linkusios į nulį
Dėmesio! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Nors išraiškos po sinusu ir vardiklyje yra vienodos, tačiau $ 2x ^2+1 = 1 $, nuo $ x\iki 0 $. Antroji sąlyga netenkinama, todėl formulės taikyti NEGALIMA!
Pasekmės
Gana retai užduotyse galima įžvelgti gryną pirmąją nuostabią ribą, kurioje iškart galėtum užrašyti atsakymą. Praktiškai viskas atrodo šiek tiek sudėtingiau, tačiau tokiais atvejais bus naudinga žinoti pirmosios reikšmingos ribos pasekmes. Jų dėka galite greitai apskaičiuoti reikiamas ribas.
$$ \lim_(\alpha\iki 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$
$$ \lim_(\alpha\iki 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$
$$ \lim_(\alpha\iki 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$
Sprendimų pavyzdžiai
Panagrinėkime pirmąją nuostabią ribą, jos sprendimo pavyzdžius, kaip apskaičiuoti ribas, kuriose yra trigonometrinių funkcijų ir neapibrėžtumo $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $
| 1 pavyzdys |
| Apskaičiuokite $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $ |
| Sprendimas |
|
Pažiūrėkime į ribą ir pastebėkime, kad joje yra sinusas. Tada pakeičiame $ x = 0 $ į skaitiklį ir vardiklį ir gauname neapibrėžties nulį, padalytą iš nulio: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)(0 ) $$ Jau du ženklai, kad reikia taikyti nuostabią ribą, tačiau yra nedidelis niuansas: formulės iš karto pritaikyti negalime, nes išraiška po sinuso ženklu skiriasi nuo išraiškos vardiklyje. Ir mums reikia, kad jie būtų lygūs. Todėl naudodami elementarias skaitiklio transformacijas paversime jį $2x$. Norėdami tai padaryti, iš trupmenos vardiklio išimsime du kaip atskirą veiksnį. Tai atrodo taip: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ Prašome atkreipkite dėmesį, kad pabaigoje $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ buvo gauta pagal formulę. Jei negalite išspręsti savo problemos, atsiųskite ją mums. Pateiksime išsamų sprendimą. Galėsite stebėti skaičiavimo eigą ir gauti informacijos. Tai padės jums laiku gauti pažymį iš savo mokytojo! |
| Atsakymas |
| $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$ |
| 2 pavyzdys |
| Rasti $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $ |
| Sprendimas |
|
Kaip visada, pirmiausia turite žinoti neapibrėžtumo tipą. Jei jis yra nulis, padalytas iš nulio, tada atkreipiame dėmesį į sinuso buvimą: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Šis neapibrėžtumas leidžia naudoti pirmosios žymiosios ribos formulę, tačiau vardiklio išraiška nėra lygi sinuso argumentui? Todėl formulė negali būti taikoma „priešais“. Būtina trupmeną padauginti ir padalinti iš sinuso argumento: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x) -x^4)(x ^3+2x)) = $$ Dabar užrašome ribų savybes: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x -x^4)\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ Antroji riba tiksliai atitinka formulę ir yra lygi iki vieno: $$ = \lim_(x\iki 0) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x) )(2x-x^4) = $$ Dar kartą pakeiskite $ x = 0 $ į trupmeną ir gausime neapibrėžtį $ \frac(0)(0) $. Norėdami jį pašalinti, pakanka išimti $ x $ iš skliaustų ir sumažinti jį: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^) 3)) = \ lim_(x\iki 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2)(2) = 1 $$ |
| Atsakymas |
| $$ \lim_(x\iki 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$ |
| 4 pavyzdys |
| Apskaičiuokite $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $ |
| Sprendimas |
|
Skaičiavimą pradėkime nuo pakeitimo $ x=0 $. Dėl to gauname neapibrėžtį $ \frac(0)(0) $. Riboje yra sinusas ir liestinė, kurie sufleruoja apie galimą situacijos raidą naudojant pirmosios žymios ribos formulę. Paverskime trupmenos skaitiklį ir vardiklį į formulę ir pasekmę: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Dabar matome, kad skaitiklyje ir vardiklyje yra išraiškų, atitinkančių formulę ir pasekmes. Sinuso argumentas ir tangentinis argumentas yra vienodi atitinkamiems vardikliams $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$ |
| Atsakymas |
| $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$ |
Straipsnyje: „Pirmoji žymi riba, sprendimų pavyzdžiai“ buvo kalbama apie atvejus, kai patartina naudoti šią formulę ir jos pasekmes.
Antrosios žymiosios ribos formulė yra lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Kita rašymo forma atrodo taip: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.
Kai kalbame apie antrąją žymiąją ribą, turime susidurti su 1 ∞ formos neapibrėžtumu, t.y. vienybė iki begalinio laipsnio.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Panagrinėkime problemas, kuriose bus naudinga galimybė apskaičiuoti antrąją nepaprastą ribą.
1 pavyzdys
Raskite ribą lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .
Sprendimas
Pakeiskime reikiamą formulę ir atlikime skaičiavimus.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
Mūsų atsakymas pasirodė esąs vienas į begalybės galią. Norėdami nustatyti sprendimo metodą, naudojame neapibrėžtumo lentelę. Pasirinkime antrąją reikšmingą ribą ir pakeiskime kintamuosius.
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Jei x → ∞, tai t → - ∞.
Pažiūrėkime, ką gavome po pakeitimo:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = rib t → ∞ 1 + 1 t - 1 2 = e - 1 2
Atsakymas: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
2 pavyzdys
Apskaičiuokite ribinę ribą x → ∞ x - 1 x + 1 x .
Sprendimas
Pakeiskime begalybę ir gaukime taip.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
Atsakyme vėl gavome tą patį, ką ir ankstesnėje užduotyje, todėl vėl galime pasinaudoti antrąja nuostabia riba. Tada turime pasirinkti visą maitinimo funkcijos pagrindą:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Po to limitas įgauna tokią formą:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Pakeiskite kintamuosius. Tarkime, kad t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; jei x → ∞, tai t → ∞.
Po to užrašome, ką gavome pradiniame limite:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2
Norėdami atlikti šią transformaciją, naudojome pagrindines ribų ir galių savybes.
Atsakymas: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .
3 pavyzdys
Apskaičiuokite ribinę ribą x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .
Sprendimas
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
Po to turime pakeisti funkciją, kad pritaikytume antrąją didžiąją ribą. Gavome šiuos dalykus:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Kadangi dabar trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje turime tuos pačius rodiklius (lygus šešiems), trupmenos riba begalybėje bus lygi šių koeficientų santykiui esant didesnėms galioms.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = rib x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
Pakeitę t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2, gauname antrą nepaprastą ribą. Tai reiškia, kad:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Atsakymas: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .
Išvados
Neapibrėžtis 1 ∞, t.y. vienybė begalinei galiai yra galios dėsnio neapibrėžtis, todėl ją galima atskleisti naudojant eksponentinių laipsnių funkcijų ribų nustatymo taisykles.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Iš aukščiau esančio straipsnio galite sužinoti, kokia yra riba ir su kuo ji valgoma – tai LABAI svarbu. Kodėl? Jūs galite nesuprasti, kas yra determinantai, ir sėkmingai juos išspręsti galite visiškai nesuprasti, kas yra išvestinė ir rasti juos su „A“. Bet jei nesupranti, kas yra riba, tada praktines užduotis išspręsti bus sunku. Taip pat būtų naudinga susipažinti su sprendimų pavyzdžiais ir mano dizaino rekomendacijomis. Visa informacija pateikiama paprasta ir prieinama forma.
O šios pamokos tikslams mums reikės šios mokomosios medžiagos: Nuostabios ribos Ir Trigonometrinės formulės. Juos galima rasti puslapyje. Vadovus geriausia atsispausdinti – taip daug patogiau, be to, dažnai teks jais remtis neprisijungus.
Kuo ypatingos ribos? Stebėtina tai, kad jas įrodė didžiausi žinomų matematikų protai, o dėkingi palikuonys neturi kentėti nuo baisių ribų su krūva trigonometrinių funkcijų, logaritmų, galių. Tai yra, ieškodami ribų, naudosime jau paruoštus rezultatus, kurie buvo įrodyti teoriškai.
Yra keletas nuostabių ribų, tačiau praktiškai 95% atvejų neakivaizdiniai studentai turi dvi nuostabias ribas: Pirma nuostabi riba, Antra nuostabi riba. Pažymėtina, kad tai istoriškai nusistovėję pavadinimai ir, pavyzdžiui, kalbant apie „pirmą nepaprastą ribą“, tai reiškia labai konkretų dalyką, o ne kokią nors atsitiktinę ribą, paimtą iš lubų.
Pirma nuostabi riba
Apsvarstykite šią ribą: (vietoj gimtosios raidės „jis“ naudosiu graikišką raidę „alfa“, tai patogesnė medžiagos pateikimo požiūriu).
Pagal mūsų ribų nustatymo taisyklę (žr Ribos. Sprendimų pavyzdžiai) bandome į funkciją pakeisti nulį: skaitiklyje gauname nulį (nulio sinusas lygus nuliui), o vardiklyje, aišku, irgi yra nulis. Taigi, susiduriame su formos neapibrėžtumu, kurio, laimei, nereikia atskleisti. Matematinės analizės metu įrodoma, kad:
Šis matematinis faktas vadinamas Pirma nuostabi riba. Aš nepateiksiu analitinio ribos įrodymo, bet pažvelgsime į jos geometrinę reikšmę pamokoje apie be galo mažos funkcijos.
Dažnai praktinėse užduotyse funkcijos gali būti išdėstytos skirtingai, tai nieko nekeičia:
- ta pati pirmoji nuostabi riba.
Bet jūs negalite patys pertvarkyti skaitiklio ir vardiklio! Jei riba nurodyta formoje , tai ji turi būti išspręsta ta pačia forma, nieko nepertvarkant.
Praktiškai kaip parametras gali veikti ne tik kintamasis, bet ir elementari arba kompleksinė funkcija. Vienintelis svarbus dalykas yra tai, kad jis linkęs į nulį.
Pavyzdžiai:
, , 
, 
Čia,,,, 
, ir viskas gerai – taikoma pirmoji nuostabi riba.
Tačiau šis įrašas yra erezija:
Kodėl? Kadangi daugianomas nelinkęs į nulį, jis linkęs į penkis.
Beje, greitas klausimas: kokia yra riba? 
? Atsakymą rasite pamokos pabaigoje.
Praktiškai ne viskas taip sklandu, beveik niekada studentui nepasiūloma išspręsti nemokamą limitą ir gauti lengvą leidimą. Hmm... Rašau šias eilutes, ir į galvą atėjo labai svarbi mintis - juk geriau mintinai prisiminti „nemokamus“ matematinius apibrėžimus ir formules, tai gali suteikti neįkainojamos pagalbos teste, kai klausimas bus nusprendžiama tarp „du“ ir „trys“, o mokytojas nusprendžia užduoti mokiniui kokį nors paprastą klausimą arba pasiūlyti išspręsti paprastą pavyzdį („gal jis (-iai) dar žino ką?!“).
Pereikime prie praktinių pavyzdžių:
1 pavyzdys
Raskite ribą
Jei riboje pastebime sinusą, tai iš karto turėtų paskatinti mus pagalvoti apie galimybę pritaikyti pirmą reikšmingą ribą.
Pirmiausia bandome pakeisti 0 į išraišką po ribos ženklu (tai darome mintyse arba juodraštyje):
Taigi mes turime formos neapibrėžtumą būtinai nurodykite priimant sprendimą. Išraiška po ribos ženklu yra panaši į pirmąją nuostabią ribą, tačiau tai nėra tiksliai ji, ji yra po sinusu, o vardiklyje.
Tokiais atvejais pirmąjį reikšmingą ribą turime organizuoti patys, naudodami dirbtinę techniką. Motyvavimas galėtų būti toks: „po sinusu, kurį turime , o tai reiškia, kad mes taip pat turime patekti į vardiklį“.
Ir tai daroma labai paprastai:
Tai yra, vardiklis šiuo atveju dirbtinai padauginamas iš 7 ir dalinamas iš tų pačių septynių. Dabar mūsų įrašas įgavo pažįstamą formą.
Kai užduotis sudaroma ranka, patartina paprastu pieštuku pažymėti pirmąją žymią ribą:
Kas atsitiko? Tiesą sakant, mūsų apibrėžta išraiška virto vienetu ir išnyko kūrinyje: 
Dabar belieka atsikratyti trijų aukštų frakcijos: 
Kas pamiršo kelių lygių trupmenų supaprastinimą, atnaujinkite žinyno medžiagą Karštos formulės mokykliniam matematikos kursui .
Paruošta. Galutinis atsakymas:
Jei nenorite naudoti pieštuko ženklų, sprendimą galima parašyti taip:
“
Pasinaudokime pirmąja nuostabia riba 
“
2 pavyzdys
Raskite ribą
Vėlgi riboje matome trupmeną ir sinusą. Pabandykime pakeisti nulį į skaitiklį ir vardiklį:
Iš tiesų, turime neapibrėžtumo, todėl turime pabandyti suorganizuoti pirmąją nuostabią ribą. Klasėje Ribos. Sprendimų pavyzdžiai laikėme taisyklę, kad kai turime neapibrėžtumo, skaitiklį ir vardiklį turime koeficientuoti. Čia yra tas pats dalykas, laipsnius pateiksime kaip produktą (daugiklius):
Panašiai kaip ir ankstesniame pavyzdyje, pieštuku nubrėžiame nuostabias ribas (čia yra dvi iš jų) ir nurodome, kad jos linkusios susivienyti:
Tiesą sakant, atsakymas yra paruoštas:
Tolesniuose pavyzdžiuose aš nedarysiu meno „Paint“, manau, kaip teisingai sudaryti sprendimą užrašų knygelėje - jūs jau suprantate.
3 pavyzdys
Raskite ribą
Išraiškoje po ribos ženklu pakeičiame nulį:
Gautas neapibrėžtumas, kurį reikia atskleisti. Jei riboje yra liestinė, ji beveik visada paverčiama sinusu ir kosinusu, naudojant gerai žinomą trigonometrinę formulę (beje, jie daro maždaug tą patį su kotangentu, žr. metodinę medžiagą Karštos trigonometrinės formulės puslapyje Matematinės formulės, lentelės ir pamatinė medžiaga).
Šiuo atveju:
Nulio kosinusas lygus vienetui, ir jo lengva atsikratyti (nepamirškite pažymėti, kad jis linkęs į vienetą):
Taigi, jei riboje kosinusas yra daugiklis, tai, grubiai tariant, jį reikia paversti vienetu, kuris sandaugoje išnyksta.
Čia viskas pasirodė paprasčiau, be daugybos ir dalybos. Pirmoji žymi riba taip pat virsta viena ir dingsta gaminyje:
Dėl to gaunama begalybė, ir tai atsitinka.
4 pavyzdys
Raskite ribą
Pabandykime pakeisti nulį į skaitiklį ir vardiklį:
Gaunamas neapibrėžtis (nulio kosinusas, kaip prisimename, yra lygus vienetui)
Mes naudojame trigonometrinę formulę. Atkreipkite dėmesį! Dėl tam tikrų priežasčių apribojimai naudojant šią formulę yra labai dažni.
Perkelkime pastovius veiksnius už ribos piktogramos:
Suorganizuokime pirmąjį nuostabų limitą:
Čia turime tik vieną nepaprastą ribą, kuri virsta viena ir dingsta gaminyje:
Atsikratykime trijų aukštų struktūros:
Riba iš tikrųjų išspręsta, nurodome, kad likęs sinusas linkęs į nulį:
5 pavyzdys
Raskite ribą 
Šis pavyzdys yra sudėtingesnis, pabandykite tai išsiaiškinti patys:
Kai kurias ribas galima sumažinti iki 1-osios reikšmingos ribos pakeitus kintamąjį, apie tai galite perskaityti šiek tiek vėliau straipsnyje Ribų sprendimo būdai.
Antra nuostabi riba
Matematinės analizės teorijoje buvo įrodyta, kad:
Šis faktas vadinamas antra nuostabi riba.
Nuoroda: 
yra neracionalus skaičius.
Parametras gali būti ne tik kintamasis, bet ir sudėtinga funkcija. Svarbu tik tai, kad ji siekia begalybės.
6 pavyzdys
Raskite ribą
Kai išraiška po ribos ženklu yra laipsniu, tai yra pirmasis ženklas, kad reikia pabandyti pritaikyti antrą nuostabią ribą.
Bet pirmiausia, kaip visada, bandome į išraišką pakeisti be galo didelį skaičių, principas, kuriuo tai daroma, yra aptariamas pamokoje Ribos. Sprendimų pavyzdžiai.
Nesunku pastebėti, kad kai laipsnio pagrindas yra , o eksponentas yra , tai yra, yra formos neapibrėžtumas:
Šis neapibrėžtumas tiksliai atskleidžiamas antrosios nepaprastos ribos pagalba. Tačiau, kaip dažnai nutinka, antroji nuostabi riba slypi ne ant sidabrinio padėklo, o ją reikia dirbtinai organizuoti. Galite samprotauti taip: šiame pavyzdyje parametras yra , tai reiškia, kad mes taip pat turime organizuoti indikatorių. Norėdami tai padaryti, pakeliame bazę į galią, o kad išraiška nepasikeistų, pakeliame ją į galią:
Kai užduotis atliekama ranka, pažymime pieštuku:
Beveik viskas paruošta, baisus laipsnis virto gražiu laišku:
Tokiu atveju pačią ribos piktogramą perkeliame į indikatorių:
7 pavyzdys
Raskite ribą
Dėmesio! Tokio tipo apribojimai pasitaiko labai dažnai, labai atidžiai išstudijuokite šį pavyzdį.
Pabandykime pakeisti be galo didelį skaičių į išraišką po ribos ženklu:
Rezultatas – netikrumas. Tačiau antroji nepaprasta riba taikoma formos neapibrėžtumui. Ką daryti? Turime konvertuoti laipsnio bazę. Mes samprotaujame taip: vardiklyje turime , o tai reiškia, kad skaitiklyje taip pat turime organizuoti .
