Matematinis lūkestis. Matematinis lūkestis diskrečiųjų atsitiktinių dydžių X, atsižvelgiant į baigtinį skaičių reikšmių Xi su tikimybėmis ri, suma vadinama:
Matematinis lūkestis nuolatinis atsitiktinis dydis X vadinamas jo vertybių sandaugos integralu X apie tikimybių pasiskirstymo tankį f(x):
(6b)
Netinkamas integralas (6 b) laikomas absoliučiai konvergenciniu (kitaip jie sako, kad matematinis lūkestis M(X) neegzistuoja). Matematinis lūkestis apibūdina vidutinė vertė atsitiktinis kintamasis X. Jo matmuo sutampa su atsitiktinio dydžio matmeniu.
Matematinės lūkesčių savybės:
Sklaida. Dispersija atsitiktinis kintamasis X numeris vadinamas:
Skirtumas yra sklaidos charakteristika atsitiktinių kintamųjų reikšmės X palyginti su jo vidutine verte M(X). Dispersijos matmuo yra lygus atsitiktinio dydžio kvadratiniam matmeniui. Remdamiesi dispersijos (8) ir matematinių lūkesčių (5) apibrėžimais diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui ir (6) nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui, gauname panašias dispersijos išraiškas:
(9)
Čia m = M(X).
Dispersijos savybės:
Standartinis nuokrypis:
(11)
Kadangi standartinis nuokrypis turi tą patį matmenį kaip ir atsitiktinis kintamasis, jis dažniau naudojamas kaip dispersijos, o ne dispersijos matas.
Paskirstymo akimirkos. Matematinės lūkesčių ir sklaidos sąvokos yra ypatingi bendresnės atsitiktinių dydžių skaitinių charakteristikų sampratos atvejai – paskirstymo momentai. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo momentai pateikiami kaip kai kurių paprastų atsitiktinio dydžio funkcijų matematiniai lūkesčiai. Taigi, užsakymo momentas k taško atžvilgiu X 0 vadinamas matematiniu lūkesčiu M(X–X 0 )k. Akimirkos apie kilmę X= 0 yra vadinami pradines akimirkas ir yra paskirti:
(12)
Pirmosios eilės pradinis momentas yra nagrinėjamo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo centras:
(13)
Akimirkos apie paskirstymo centrą X= m yra vadinami centriniai taškai ir yra paskirti:
(14)
Iš (7) išplaukia, kad pirmosios eilės centrinis momentas visada yra lygus nuliui:
Centriniai momentai nepriklauso nuo atsitiktinio dydžio reikšmių kilmės, nes pasislinkus pastovia verte SU jo pasiskirstymo centras pasislenka ta pačia reikšme SU, o nuokrypis nuo centro nesikeičia: X – m = (X – SU) – (m – SU).
Dabar tai aišku dispersija- Tai antros eilės centrinis momentas:
Asimetrija. Trečios eilės centrinis momentas:
(17)
tarnauja vertinimui pasiskirstymo asimetrija. Jei skirstinys yra simetriškas taško atžvilgiu X= m, tada trečiosios eilės centrinis momentas bus lygus nuliui (kaip ir visi centriniai nelyginių eilių momentai). Todėl, jei trečios eilės centrinis momentas skiriasi nuo nulio, pasiskirstymas negali būti simetriškas. Asimetrijos dydis vertinamas naudojant bedimensį asimetrijos koeficientas:
(18)
Asimetrijos koeficiento ženklas (18) rodo dešinės arba kairės pusės asimetriją (2 pav.).
Ryžiai. 2. Pasiskirstymo asimetrijos tipai.
Perteklius. Ketvirtosios eilės centrinis momentas:
(19)
pasitarnauja įvertinti vadinamąjį perteklius, kuris nustato pasiskirstymo kreivės statumo (pikumo) laipsnį šalia pasiskirstymo centro normaliojo pasiskirstymo kreivės atžvilgiu. Kadangi normaliam pasiskirstymui, kurtozės vertė yra:
(20)
Fig. 3 paveiksle pateikti pasiskirstymo kreivių su skirtingomis kurtozės reikšmėmis pavyzdžiai. Normaliam pasiskirstymui E= 0. Kreivės, kurios yra smailesnės nei įprasta, turi teigiamą kreivę, o tos, kurių viršūnė yra plokščia, turi neigiamą.
Ryžiai. 3. Skirtingo statumo laipsnio pasiskirstymo kreivės (kurtozė).
Didesnės eilės momentai paprastai nenaudojami inžinerinėse matematinės statistikos programose.
Mada
diskretiškas atsitiktinis kintamasis yra labiausiai tikėtina jo reikšmė. Mada tęstinis atsitiktinis dydis yra jo reikšmė, kuriai esant tikimybės tankis yra didžiausias (2 pav.). Jei pasiskirstymo kreivė turi vieną maksimumą, tada skirstinys vadinamas vienarūšis. Jei pasiskirstymo kreivė turi daugiau nei vieną maksimumą, tada skirstinys vadinamas multimodalinis. Kartais yra skirstiniai, kurių kreivės turi ne maksimumą, o minimumą. Tokie skirstiniai vadinami antimodalinis. Bendruoju atveju atsitiktinio dydžio režimas ir matematinis lūkestis nesutampa. Ypatingu atveju, už modalinis, t.y. turintis modą, simetrišką pasiskirstymą ir su sąlyga, kad yra matematinis lūkestis, pastarasis sutampa su skirstinio moda ir simetrijos centru.
Mediana atsitiktinis kintamasis X- tai yra jo prasmė Meh, kurioms galioja lygybė: t.y. lygiai taip pat tikėtina, kad atsitiktinis dydis X bus mažiau ar daugiau Meh. Geometriškai mediana yra taško, kuriame plotas po pasiskirstymo kreive yra padalintas per pusę, abscisė (2 pav.). Simetriško modalinio pasiskirstymo atveju mediana, režimas ir matematinis lūkestis yra vienodi.
Panagrinėkime paskirstymo dėsnio pateiktą diskrečiųjį atsitiktinį kintamąjį:
Laukimas lygu:
Matome, kad tai daug daugiau. Tai galima paaiškinti tuo, kad vertė x= –150, labai skiriasi nuo kitų reikšmių, smarkiai padidėjo kvadratu; šios reikšmės tikimybė maža (0,02). Taigi, perėjimas nuo M(X)Į M(X 2) leido geriau atsižvelgti į tokių atsitiktinio dydžio dydžių, kurių absoliuti reikšmė yra didelė, tačiau jų atsiradimo tikimybė yra maža, įtaką matematiniams lūkesčiams. Žinoma, jei kiekis turėjo keletą didelių ir mažai tikėtinų reikšmių, tada pereinama prie kiekio X 2 o juo labiau kiekiams , ir tt, leistų mums toliau „stiprinti šių didelių, bet mažai tikėtinų įmanomų vertybių vaidmenį“. Štai kodėl patartina atsižvelgti į ne tik diskretinio, bet ir tolydžiojo sveikojo skaičiaus teigiamos galios matematinį lūkestį.
Apibrėžimas 6.10. Atsitiktinio dydžio pradinis eilės momentas yra matematinis dydžio lūkestis:
Visų pirma:
Naudojant šiuos taškus, dispersijos skaičiavimo formulę galima parašyti skirtingai
Be atsitiktinio dydžio momentų, patartina atsižvelgti ir į nukrypimo momentus.
Apibrėžimas 6.11. Centrinis atsitiktinio dydžio eilės momentas yra matematinis kiekio lūkestis.
(6.23)
Visų pirma,
Ryšiai, jungiantys pradinį ir centrinį momentą, lengvai išvedami. Taigi, palyginę (6.22) ir (6.24), gauname:
Nesunku įrodyti šiuos ryšius:
Taip pat:
Aukštesnės eilės momentai naudojami retai. Nustatant centrinius momentus, naudojami atsitiktinio dydžio nuokrypiai nuo jo matematinio lūkesčio (centro). Štai kodėl akimirkos vadinamos centrinis.
Nustatant pradinius momentus, naudojami ir atsitiktinio dydžio nuokrypiai, bet ne nuo matematinio lūkesčio, o nuo taško, kurio abscisė lygi nuliui, o tai yra koordinačių pradžia. Štai kodėl akimirkos vadinamos pradinė.
Esant nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui, pirmosios eilės pradinis momentas apskaičiuojamas pagal formulę:
(6.27)
Nuolatinio atsitiktinio dydžio centrinis eilės momentas apskaičiuojamas pagal formulę:
(6.28)
Tarkime, kad atsitiktinio dydžio pasiskirstymas yra simetriškas matematinio lūkesčio atžvilgiu. Tada visi centriniai nelyginės eilės momentai yra lygūs nuliui. Tai galima paaiškinti tuo, kad kiekvienai teigiamai kiekio vertei X-M(X) yra (dėl pasiskirstymo simetrijos, palyginti su M(X)) absoliučia verte lygus neigiamai šio dydžio vertei, o jų tikimybės bus vienodos.
Jei nelyginės eilės centrinis momentas nėra lygus nuliui, tai rodo pasiskirstymo asimetriją ir kuo didesnis momentas, tuo didesnė asimetrija. Todėl labiausiai pagrįsta pasiskirstymo asimetrijos charakteristika laikyti nelyginį centrinį momentą. Kadangi pirmos eilės centrinis momentas visada lygus nuliui, šiuo tikslu patartina naudoti trečios eilės centrinį momentą.
Apibrėžimas 6.12. Asimetrijos koeficientas yra dydis:
Jei asimetrijos koeficientas yra neigiamas, tai rodo didelę įtaką neigiamų nuokrypių dydžiui. Šiuo atveju pasiskirstymo kreivė (6.1 pav.). A) yra plokščia į kairę nuo . Jei koeficientas yra teigiamas, vadinasi, vyrauja teigiamų nukrypimų įtaka, tai pasiskirstymo kreivė yra plokštesnė dešinėje.
Kaip žinoma, antrasis centrinis momentas (dispersija) apibūdina atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidą pagal jo matematinius lūkesčius. Jeigu šis momentas kokiam nors atsitiktiniam dydžiui yra pakankamai didelis, t.y. dispersija yra didelė, tada atitinkama pasiskirstymo kreivė yra plokštesnė už atsitiktinio dydžio, turinčio mažesnį antrosios eilės momentą, pasiskirstymo kreivę. Tačiau momentas negali pasitarnauti šiam tikslui dėl to, kad bet kokiam platinimui 
.
Šiuo atveju naudojamas ketvirtos eilės centrinis momentas.
Apibrėžimas 6.13. Kurtozė yra kiekis:
Labiausiai paplitusiam normaliojo skirstinio dėsniui gamtoje santykis yra . Todėl (6.28) formule pateikta kurtozė padeda palyginti šį skirstinį su normaliu (6.1 pav. b).
Be padėties charakteristikų – vidutinių, tipinių atsitiktinio dydžio reikšmių – naudojamos kelios charakteristikos, kurių kiekviena apibūdina vieną ar kitą skirstinio savybę. Kaip tokios charakteristikos dažniausiai naudojamos vadinamosios akimirkos.
Momento sąvoka mechanikoje plačiai vartojama masių pasiskirstymui apibūdinti (statiniai momentai, inercijos momentai ir kt.). Lygiai tokie patys metodai naudojami tikimybių teorijoje, apibūdinant pagrindines atsitiktinio dydžio pasiskirstymo savybes. Dažniausiai praktikoje naudojami dviejų tipų momentai: pradinis ir centrinis.
Pradinis nenutrūkstamo atsitiktinio dydžio s eilės momentas yra formos suma:
. (5.7.1)
Akivaizdu, kad šis apibrėžimas sutampa su pradinio eilės momento s apibrėžimu mechanikoje, jei masės taškuose sutelktos į abscisių ašį.
Ištisinio atsitiktinio dydžio X pradinis s-osios eilės momentas vadinamas integralu
. (5.7.2)
Nesunku pastebėti, kad pagrindinė pozicijos, įvestos ankstesniame n°, charakteristika – matematinis lūkestis – yra ne kas kita, kaip pirmasis atsitiktinio dydžio pradinis momentas.
Naudodami matematinį tikėjimo ženklą galite sujungti dvi formules (5.7.1) ir (5.7.2) į vieną. Iš tiesų, formulės (5.7.1) ir (5.7.2) savo struktūra yra visiškai panašios į (5.6.1) ir (5.6.2) formules, su skirtumu, kad vietoj ir yra atitinkamai ir . Todėl galime parašyti bendrą pradinio eilės momento apibrėžimą, galiojantį tiek nenutrūkstamiems, tiek ištisiniams dydžiams:
, (5.7.3)
tie. Atsitiktinio dydžio pradinis eilės momentas yra matematinė šio atsitiktinio dydžio laipsnio tikėtis.
Prieš apibrėždami centrinį momentą, pristatome naują „centruoto atsitiktinio kintamojo“ sąvoką.
Tegul yra atsitiktinis dydis su matematiniais lūkesčiais. Centrinis atsitiktinis dydis, atitinkantis reikšmę, yra atsitiktinio dydžio nuokrypis nuo jo matematinių lūkesčių:
Ateityje sutiksime, kad centre esantis atsitiktinis dydis, atitinkantis duotą atsitiktinį kintamąjį, visur būtų žymimas ta pačia raide su simboliu viršuje.
Nesunku patikrinti, ar matematiniai centruoto atsitiktinio dydžio lūkesčiai yra lygūs nuliui. Iš tiesų, nepertraukiamam kiekiui
panašiai ir nuolatiniam kiekiui.
Atsitiktinio dydžio centravimas akivaizdžiai prilygsta koordinačių pradžios perkėlimui į vidurinį, „centrinį“ tašką, kurio abscisė yra lygi matematiniam lūkesčiui.
Centrinio atsitiktinio dydžio momentai vadinami centriniais momentais. Jie yra analogiški momentams apie svorio centrą mechanikoje.
Taigi, centrinis atsitiktinio dydžio eilės s momentas yra matematinė atitinkamo centro atsitiktinio dydžio laipsnio tikėtis:
, (5.7.6)
o tęstiniam – integralu
. (5.7.8)
Toliau tais atvejais, kai nekyla abejonių, kuriam atsitiktiniam dydžiui priklauso tam tikras momentas, trumpumo sumetimais rašysime paprastai ir vietoj ir .
Akivaizdu, kad bet kuriam atsitiktiniam dydžiui pirmosios eilės centrinis momentas yra lygus nuliui:
, (5.7.9)
kadangi centruoto atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis visada lygus nuliui.
Išveskime ryšius, jungiančius įvairių kategorijų centrinius ir pradinius momentus. Išvadą atliksime tik nepertraukiamiems kiekiams; nesunku patikrinti, ar lygiai tokie patys ryšiai galioja tolydiesiems dydžiams, jei baigtines sumas pakeisime integralais, o tikimybes – tikimybės elementais.
Panagrinėkime antrąjį centrinį tašką:
Panašiai trečiajam centriniam momentui gauname:
Išraiškos ir kt. galima gauti panašiu būdu.
Taigi bet kurio atsitiktinio dydžio centriniams momentams galioja formulės:
(5.7.10)
Paprastai tariant, momentai gali būti vertinami ne tik atsižvelgiant į kilmę (pradiniai momentai) ar matematinius lūkesčius (centriniai momentai), bet ir su savavališku tašku:
. (5.7.11)
Tačiau centriniai momentai turi pranašumą prieš visus kitus: pirmasis centrinis momentas, kaip matėme, visada lygus nuliui, o kitas, antrasis centrinis momentas, esant šiai atskaitos sistemai, turi minimalią reikšmę. Įrodykime tai. Nenutrūkstamo atsitiktinio kintamojo atveju formulė (5.7.11) yra tokia:
. (5.7.12)
Paverskime šią išraišką:
Akivaizdu, kad ši reikšmė pasiekia savo minimumą, kai , t.y. kai momentas imamas taško atžvilgiu.
Iš visų momentų pirmasis pradinis momentas (matematinis lūkestis) ir antrasis centrinis momentas dažniausiai naudojami kaip atsitiktinio dydžio charakteristikos.
Antrasis centrinis momentas vadinamas atsitiktinio dydžio dispersija. Atsižvelgdami į itin didelę šios charakteristikos svarbą, be kitų punktų, jai pateikiame specialų pavadinimą:
Pagal centrinio momento apibrėžimą
tie. atsitiktinio dydžio X dispersija yra matematinė atitinkamo centro kintamojo kvadrato lūkestis.
Pakeitę kiekį išraiškoje (5.7.13) jo išraiška, taip pat turime:
. (5.7.14)
Norėdami tiesiogiai apskaičiuoti dispersiją, naudokite šias formules:
, (5.7.15)
(5.7.16)
Atitinkamai nepertraukiamiems ir nuolatiniams kiekiams.
Atsitiktinio dydžio dispersija yra dispersijos charakteristika, atsitiktinio dydžio reikšmių išsibarstymas aplink jo matematinį lūkestį. Pats žodis „dispersija“ reiškia „dispersija“.
Jei kreipiamės į mechaninį skirstinio aiškinimą, tai dispersija yra ne kas kita, kaip tam tikro masės pasiskirstymo inercijos momentas svorio centro atžvilgiu (matematinis lūkestis).
Atsitiktinio dydžio dispersija turi atsitiktinio dydžio kvadrato matmenį; Norint vizualiai apibūdinti dispersiją, patogiau naudoti dydį, kurio matmuo sutampa su atsitiktinio dydžio matmeniu. Norėdami tai padaryti, paimkite kvadratinę šaknį nuo dispersijos. Gauta reikšmė vadinama atsitiktinio dydžio standartiniu nuokrypiu (kitaip „standartu“). Standartinį nuokrypį pažymėsime:
, (5.7.17)
Norėdami supaprastinti žymėjimą, dažnai naudosime standartinio nuokrypio ir dispersijos santrumpas: ir . Tuo atveju, kai nekyla abejonių, kuriam atsitiktiniam dydžiui priklauso šios charakteristikos, kartais praleisime simbolį x y ir ir rašome paprastai ir . Žodžiai „standartinis nuokrypis“ kartais bus trumpinami, kad būtų pakeisti raidėmis r.s.o.
Praktikoje dažnai naudojama formulė, kuri išreiškia atsitiktinio dydžio sklaidą per antrąjį pradinį momentą (antroji iš (5.7.10) formulių). Naujame užraše jis atrodys taip:
Tikėtis ir dispersija (arba standartinis nuokrypis) yra dažniausiai naudojamos atsitiktinio dydžio charakteristikos. Jie apibūdina svarbiausius pasiskirstymo požymius: jo padėtį ir sklaidos laipsnį. Išsamesniam paskirstymo aprašymui naudojami aukštesnių užsakymų momentai.
Trečiasis centrinis taškas skirtas apibūdinti pasiskirstymo asimetriją (arba „kreipumą“). Jei pasiskirstymas yra simetriškas matematinio lūkesčio atžvilgiu (arba, mechaniniu požiūriu, masė pasiskirsto simetriškai svorio centro atžvilgiu), tai visi nelyginės eilės momentai (jei jie yra) yra lygūs nuliui. Tiesa, iš viso
kai pasiskirstymo dėsnis yra simetriškas dėsnio atžvilgiu ir nelyginis, kiekvienas teigiamas narys atitinka neigiamą narį, lygų absoliučia verte, todėl visa suma lygi nuliui. Akivaizdu, kad tas pats pasakytina ir apie integralą
,
kuris lygus nuliui kaip nelyginės funkcijos simetrinių ribų integralas.
Todėl natūralu pasirinkti vieną iš nelyginių momentų kaip pasiskirstymo asimetrijos charakteristiką. Paprasčiausias iš jų yra trečiasis centrinis momentas. Jis turi atsitiktinio dydžio kubo matmenį: norint gauti bematę charakteristiką, trečiasis momentas dalijamas iš standartinio nuokrypio kubo. Gauta reikšmė vadinama „asimetrijos koeficientu“ arba tiesiog „asimetrija“; pažymėsime:
Fig. 5.7.1 rodo du asimetrinius skirstinius; vienas iš jų (I kreivė) turi teigiamą asimetriją (); kitas (II kreivė) yra neigiamas ().
Ketvirtasis centrinis taškas apibūdina vadinamąjį „vėsumą“, t.y. smailės arba plokščios viršūnės pasiskirstymas. Šios pasiskirstymo savybės aprašomos naudojant vadinamąją kurtozę. Atsitiktinio dydžio kurtozė yra kiekis
Skaičius 3 atimamas iš santykio, nes labai svarbiam ir gamtoje plačiai paplitusiam normalaus pasiskirstymo dėsniui (su juo išsamiau susipažinsime vėliau) . Taigi normaliam pasiskirstymui kurtozė lygi nuliui; kreivės, kurios yra smailesnės nei įprasta kreivė, turi teigiamą kurtozę; Kreivės, kurios yra labiau plokščios, turi neigiamą kurtozę.
Fig. 5.7.2 parodytas: normalusis pasiskirstymas (I kreivė), pasiskirstymas su teigiama kreivė (kreivė II) ir pasiskirstymas su neigiama kreivė (kreivė III).
Be pirmiau aptartų pradinių ir centrinių momentų, praktikoje kartais naudojami vadinamieji absoliutieji momentai (pradinis ir centrinis), nustatomi pagal formules.
Akivaizdu, kad absoliutūs lygių užsakymų momentai sutampa su įprastomis akimirkomis.
Iš absoliučių momentų dažniausiai naudojamas pirmasis absoliutus centrinis momentas.
, (5.7.21)
vadinamas aritmetiniu vidurkiu nuokrypiu. Kartu su dispersija ir standartiniu nuokrypiu, kaip dispersijos charakteristika kartais naudojamas aritmetinis vidurkis.
Tikėtis, režimas, mediana, pradiniai ir centriniai momentai ir ypač sklaida, standartinis nuokrypis, iškrypimas ir kreivumas yra dažniausiai naudojamos atsitiktinių dydžių skaitmeninės charakteristikos. Daugelyje praktinių problemų visiška atsitiktinio dydžio charakteristika – pasiskirstymo dėsnis – arba nereikalinga, arba jos negalima gauti. Tokiais atvejais naudodamiesi pagalba apsiribojame apytiksliu atsitiktinio kintamojo aprašymu. Skaitmeninės charakteristikos, kurių kiekviena išreiškia kokią nors būdingą skirstinio savybę.
Labai dažnai skaitinės charakteristikos naudojamos apytiksliai vienam skirstiniui pakeisti kitu ir dažniausiai bandoma šį pakeitimą padaryti taip, kad keli svarbūs punktai liktų nepakitę.
1 pavyzdys. Atliekamas vienas eksperimentas, kurio pasekoje gali atsirasti įvykis, kurio tikimybė lygi . Atsitiktiniu dydžiu nagrinėjamas – įvykio įvykių skaičius (būdingas įvykio atsitiktinis dydis). Nustatykite jo charakteristikas: matematinį lūkestį, dispersiją, standartinį nuokrypį.
Sprendimas. Vertės paskirstymo serija yra tokia:
kur yra įvykio neįvykimo tikimybė.
Naudodami (5.6.1) formulę randame matematinę reikšmės lūkesčius:
Vertės sklaida nustatoma pagal (5.7.15) formulę:
(Siūlome, kad skaitytojas gautų tą patį rezultatą, išreikšdamas dispersiją antruoju pradiniu momentu).
2 pavyzdys. Į taikinį paleidžiami trys nepriklausomi šūviai; Kiekvieno šūvio pataikymo tikimybė yra 0,4. atsitiktinis kintamasis – pataikymo skaičius. Nustatykite dydžio charakteristikas – matematinį lūkestį, sklaidą, r.s.d., asimetriją.
Sprendimas. Vertės paskirstymo serija yra tokia:
Apskaičiuojame skaitines kiekio charakteristikas.
3.4. Atsitiktinio dydžio momentai.
Aukščiau susipažinome su išsamiomis SV charakteristikomis: pasiskirstymo funkcija ir pasiskirstymo eilėmis diskrečiam SV, pasiskirstymo funkcija ir tikimybių tankiu ištisiniam SV. Šios poros lygiavertės informacijos turinio charakteristikos yra funkcijas ir visiškai apibūdinti SV tikimybiniu požiūriu. Tačiau daugeliu praktinių situacijų atsitiktinio dydžio apibūdinti išsamiai neįmanoma arba nebūtina. Dažnai pakanka nurodyti vieną ar daugiau skaitinis parametrus, kurie tam tikru mastu apibūdina pagrindinius skirstinio bruožus, o kartais rasti išsamias charakteristikas, nors ir pageidautina, matematiškai per sunku, o operuojant skaitiniais parametrais apsiribojame apytiksliu, bet paprastesniu aprašymu. Iškviečiami nurodyti skaitiniai parametrai skaitinės charakteristikos atsitiktinių dydžių ir vaidina didelį vaidmenį tikimybių teorijos taikymuose įvairiose mokslo ir technologijų srityse, palengvina problemų sprendimą ir leidžia pateikti sprendimo rezultatus paprastai ir vaizdžiai.
Dažniausiai naudojamas skaitines charakteristikas galima suskirstyti į du tipus: momentai ir padėties charakteristikos. Yra keletas momentų tipų, iš kurių dažniausiai naudojami du: pirminis ir centrinis. Kitų tipų momentai, pvz. absoliutūs momentai, faktorialūs momentai, nesvarstome. Kad nebūtų naudojamas integralo apibendrinimas - vadinamasis Stieltjes integralas, momentų apibrėžimus pateiksime atskirai nuolatiniams ir diskretiesiems SV.
Apibrėžimai. 1. Pradžios momentask-diskretusis SV vadinamas kiekiu
Kur f(x) yra tam tikros SV tikimybės tankis.
3. Centrinis momentask-diskretusis SV vadinamas kiekiu
Tais atvejais, kai vienu metu svarstomi keli SV, siekiant išvengti nesusipratimų, patogu nurodyti momento tapatybę; tai padarysime skliausteliuose nurodydami atitinkamo SV pavadinimą, pavyzdžiui, 
, ir tt Šio pavadinimo nereikėtų painioti su funkcijos žymėjimu, o skliausteliuose esančios raidės – su funkcijos argumentu. Sumos ir integralai dešiniosiose lygybių pusėse (3.4.1 - 3.4.4) gali suartėti arba skirtis priklausomai nuo reikšmės k ir specifinis paskirstymas. Pirmuoju atveju jie sako, kad akimirka neegzistuoja arba skiriasi, antroje - ką momentas egzistuoja arba susilieja. Jei diskrečioji SV turi baigtinį skaičių baigtinių reikšmių ( Nžinoma), tada visi jo momentai yra ribotos eilės k egzistuoja. Esant begalybei N, pradedant nuo kai kurių k o aukštesniems įsakymams diskrečiojo SV momentų (ir pradinio, ir centrinio) gali nebūti. Ištisinio SV momentai, kaip matyti iš apibrėžimų, išreiškiami netinkamais integralais, kurie gali skirtis pradedant nuo tam tikro k ir aukštesniems užsakymams (kartu pradinis ir centrinis). Nulinės eilės momentai visada susilieja.
Išsamiau panagrinėkime pirmiausia pradinius, o paskui pagrindinius momentus. Matematikos požiūriu pradinis momentas k- eilė yra „svertinis vidurkis“ k-tieji SV reikšmių laipsniai; esant diskretiniam SV, svoriai yra reikšmių tikimybės, esant ištisiniam SV, svorio funkcija yra tikimybės tankis. Tokio pobūdžio operacijos plačiai naudojamos mechanikoje, apibūdinant masių pasiskirstymą (statinius momentus, inercijos momentus ir kt.); Šiuo atžvilgiu kylančios analogijos aptariamos toliau.
Norėdami geriau suprasti pradines akimirkas, mes jas vertiname atskirai k. Tikimybių teorijoje svarbiausi yra žemesnio laipsnio momentai, ty esant mažiems k, todėl reikėtų atsižvelgti į didėjimo vertes tvarka k. Pradinis nulinės eilės momentas yra lygus
1, skirta atskiram SV;
=1, nuolatiniam SV,
tie. bet kuriam SV jis yra lygus tai pačiai reikšmei – vienetui, todėl neteikia jokios informacijos apie SV statistines savybes.
Pirmosios eilės pradinis momentas (arba pirmasis pradinis momentas) yra lygus
Atskirai SV;
, nuolatiniam SV.
Šis taškas yra svarbiausia bet kurio SV skaitinė charakteristika, dėl kurios yra keletas tarpusavyje susijusių priežasčių. Pirma, pagal Čebyševo teoremą (žr. 7.4 skyrių), atliekant neribotą SV bandymų skaičių, stebimų verčių aritmetinis vidurkis yra linkęs (tam tikra prasme) , taigi bet kuriam SV tai yra būdingas skaičius. aplink kurią jos vertybės grupuojamos pagal patirtį. Antra, tęstiniam CV skaičiais lygus X- kreivės suformuotos kreivės trapecijos svorio centro koordinatė f(x) (panaši savybė atsiranda ir diskrečiam SV), todėl šį momentą galima pavadinti „paskirstymo svorio centru“. Trečia, šis momentas turi nepaprastų matematinių savybių, kurios ypač paaiškės kurso metu, todėl jo reikšmė įtraukiama į centrinių momentų išraiškas (žr. (3.4.3) ir (3.4.4)).
Šio momento svarba teorinėms ir praktinėms tikimybių teorijos problemoms spręsti ir jo nepaprastos matematinės savybės lėmė tai, kad, be pavadinimo ir pavadinimo „pirmasis pradinis momentas“, literatūroje daugiau ar mažiau vartojami ir kiti pavadinimai bei pavadinimai. patogus ir atspindintis minėtas savybes. Dažniausiai pasitaikantys pavadinimai yra: matematinis lūkestis, vidutinė vertė, ir žymėjimas: m, M[X], . Dažniausiai vartosime terminą „matematiniai lūkesčiai“ ir žymėjimą m; jei yra keli SV, naudosime apatinį indeksą, nurodantį matematinio lūkesčio tapatybę, pavyzdžiui, m x , m y ir tt
Antros eilės pradinis momentas (arba antrasis pradinis momentas) yra lygus
Atskirai SV;
, nuolatiniam SV;
kartais tai vadinama atsitiktinio dydžio vidutinis kvadratas ir yra paskirtas M.
Trečios eilės pradinis momentas (arba trečiasis pradinis momentas) yra lygus
Atskirai SV;
, nuolatiniam SV
kartais tai vadinama vidutinis atsitiktinio dydžio kubas ir yra paskirtas M[X 3 ].
Nėra prasmės toliau išvardyti pradinių punktų. Apsistokime ties svarbiu tvarkos momentų aiškinimu k>1. Tegul kartu su SV X taip pat yra SV Y, ir Y=X k (k=2, 3, ...). Ši lygybė reiškia, kad atsitiktiniai dydžiai X Ir Y yra sujungti deterministiškai ta prasme, kad kai SV Xįgauna vertę x, NE Yįgauna vertę y=x k(ateityje šis SV prijungimas bus svarstomas plačiau). Tada pagal (3.4.1) ir (3.4.2)
=m y
, k=2,
3, ...,
t.y. k SV pradinis momentas yra lygus matematiniam lūkesčiui k-šio atsitiktinio dydžio laipsnis. Pavyzdžiui, trečiasis pradinis atsitiktinio kubo briaunos ilgio momentas yra lygus matematiniam kubo tūrio lūkesčiui. Galimybė akimirkas suprasti kaip tam tikrus matematinius lūkesčius yra dar vienas matematinio lūkesčio sampratos svarbos aspektas.
Pereikime prie pagrindinių punktų. Kadangi, kaip paaiškės toliau, centriniai momentai vienareikšmiškai išreiškiami per pradinius momentus ir atvirkščiai, kyla klausimas, kam iš viso reikalingi centriniai momentai ir kodėl neužtenka pradinių momentų. Panagrinėkime SV X(nepertraukiamas arba atskiras) ir kitas SV Y, susijęs su pirmuoju kaip Y=X+a, Kur a 0 yra neatsitiktinis realusis skaičius. Kiekviena vertė x atsitiktinis kintamasis X atitinka vertę y=x+a atsitiktinis kintamasis Y, todėl SV pasiskirstymas Y bus tokios pat formos (išreikštas pasiskirstymo daugiakampiu diskrečiu atveju arba tikimybės tankiu ištisiniu atveju) kaip ir SV skirstinys X, bet perslinktas išilgai x ašies dydžiu a. Vadinasi, pradiniai SV momentai Y skirsis nuo atitinkamų SV momentų X. Pavyzdžiui, tai lengva pamatyti m y =m x +a(aukštesnės eilės akimirkas sieja sudėtingesni santykiai). Taigi mes tai nustatėme pradiniai momentai nėra nekintami viso skirstinio poslinkio atžvilgiu. Tas pats rezultatas bus gautas, jei horizontaliai perkelsite ne pasiskirstymą, o x ašies pradžią dydžiu - a, t.y. Taip pat galioja lygiavertė išvada: pradiniai momentai nėra nekintami x ašies pradžios horizontalaus poslinkio atžvilgiu.
Centriniai momentai, skirti apibūdinti tas skirstinių savybes, kurios nepriklauso nuo jų poslinkio kaip visumos, neturi šio trūkumo. Iš tiesų, kaip matyti iš (3.4.3) ir (3.4.4), kai paskirstymas kaip visuma pasislenka tam tikra suma a, arba, kas yra tas pats, perkeliant x ašies pradžią dydžiu - a, visos vertybės x, su tomis pačiomis tikimybėmis (diskretuoju atveju) arba tuo pačiu tikimybių tankiu (ištisiniu atveju), pasikeis dydžiu a, bet vertė pasikeis tiek pat m, todėl skliaustų reikšmės dešiniosiose lygybių pusėse nepasikeis. Taigi, centriniai momentai yra nekintami visos skirstinio poslinkio atžvilgiu arba, kas yra tas pats, x ašies pradžios horizontalaus poslinkio atžvilgiu.Šios akimirkos gavo pavadinimą „centrinis“ tais laikais, kai pirmasis pradinis momentas buvo vadinamas „centru“. Pravartu pažymėti, kad centrinis SV momentas X gali būti suprantamas kaip atitinkamas pradinis SV momentas X 0 lygus
|
X 0 =X-m x . |
NE X 0 vadinamas centre(palyginti su SV X), o į ją vedanti operacija, t.y. iš atsitiktinio dydžio atimant jos matematinį lūkestį, vadinama centravimas. Kaip pamatysime vėliau, ši koncepcija ir ši operacija pravers viso kurso metu. Atkreipkite dėmesį, kad centrinis užsakymo momentas k>1 gali būti laikomas matematiniu lūkesčiu (vidurkis) k-centruotas SV laipsnis: 
.
Atskirai panagrinėkime pagrindinius žemesniųjų kategorijų momentus. Nulinės eilės centrinis momentas lygus
, atskiriems SV;
, nuolatiniam SV;
y., bet kuriam SV ir neteikia jokios informacijos apie šio SV statistines savybes.
Pirmos eilės centrinis momentas (arba pirmasis centrinis momentas) yra lygus
atskiram SV;
nuolatiniam CB; y., bet kuriam SV ir neteikia jokios informacijos apie šio SV statistines savybes.
Antros eilės centrinis momentas (arba antrasis centrinis momentas) yra lygus
, skirta atskiram SV;
, nuolatiniam SV.
Kaip paaiškės toliau, šis taškas yra vienas svarbiausių tikimybių teorijoje, kadangi jis naudojamas kaip SV reikšmių sklaidos (arba sklaidos) mato charakteristika, todėl dažnai vadinamas dispersija ir yra paskirtas D X. Atkreipkite dėmesį, kad tai gali būti suprantama kaip vidurinis SV kvadratas.
Trečios eilės centrinis momentas (trečiasis centrinis momentas) lygus
Centriniai momentai vadinami pasiskirstymo momentais, kuriuos skaičiuojant pradine reikšme imamas variantų nuokrypis nuo tam tikros serijos aritmetinio vidurkio.
1. Apskaičiuokite pirmosios eilės centrinį momentą naudodami formulę:
2. Apskaičiuokite antros eilės centrinį momentą naudodami formulę:
kur yra intervalų vidurio reikšmė;
Tai yra svertinis vidurkis;
Fi yra reikšmių skaičius.
3. Apskaičiuokite trečios eilės centrinį momentą naudodami formulę:
kur yra intervalų vidurio reikšmė; - tai svertinis vidurkis; - fi reikšmių skaičius.
4. Apskaičiuokite ketvirtos eilės centrinį momentą naudodami formulę:
kur yra intervalų vidurio reikšmė; - tai svertinis vidurkis; - fi reikšmių skaičius.
Skaičiavimas pagal 3.2 lentelę
Skaičiavimas pagal 3.4 lentelę
1. Apskaičiuokite pirmosios eilės centrinį momentą naudodami (7.1) formulę:
2. Apskaičiuokite antros eilės centrinį momentą pagal (7.2) formulę:
3. Apskaičiuokite trečios eilės centrinį momentą pagal (7.3) formulę:
4. Apskaičiuokite ketvirtos eilės centrinį momentą pagal (7.4) formulę:
Skaičiavimas pagal 3.6 lentelę
1. Apskaičiuokite pirmosios eilės centrinį momentą naudodami (7.1) formulę:
2. Apskaičiuokite antros eilės centrinį momentą pagal (7.2) formulę:
3. Apskaičiuokite trečios eilės centrinį momentą pagal (7.3) formulę:
4. Apskaičiuokite ketvirtos eilės centrinį momentą pagal (7.4) formulę:
Trims užduotims buvo apskaičiuoti 1, 2, 3, 4 užsakymų momentai. Kur asimetrijai apskaičiuoti reikalingas trečios eilės momentas, o kurtozei apskaičiuoti – ketvirtos eilės momentas.
PASKIRSTYMO ASIMETRIJOS SKAIČIAVIMAS
Statistinėje praktikoje susiduriama su įvairiais skirstiniais. Yra šie pasiskirstymo kreivių tipai:
· vienos viršūnės kreivės: simetriškos, vidutiniškai asimetrinės ir itin asimetrinės;
· kelių viršūnių kreivės.
Homogeninėms populiacijoms, kaip taisyklė, būdingas vienos viršūnės pasiskirstymas. Multivertex rodo tiriamos populiacijos nevienalytiškumą. Atsiradus dviem ar daugiau viršūnių, reikia pergrupuoti duomenis, kad būtų galima identifikuoti homogeniškesnes grupes.
Nustatant bendrą pasiskirstymo pobūdį, reikia įvertinti jo homogeniškumą, taip pat apskaičiuoti asimetrijos ir kurtozės rodiklius. Simetrinių paskirstymų atveju bet kurių dviejų variantų, kurie yra vienodai išsidėstę abiejose paskirstymo centro pusėse, dažniai yra lygūs vienas kitam. Tokiems skirstiniams apskaičiuotas vidurkis, režimas ir mediana taip pat yra vienodi.
Palyginus kelių skirstinių su skirtingais matavimo vienetais asimetriją, apskaičiuojamas santykinės asimetrijos rodiklis ():
kur yra svertinis vidurkis; Mo-mada; - vidutinė kvadratinė svertinė dispersija; Aš-mediana.
Jo vertė gali būti teigiama arba neigiama. Pirmuoju atveju kalbame apie dešinės pusės asimetriją, o antruoju - apie kairiąją asimetriją.
Su dešinės pusės asimetrija Mo>Me >x. Plačiausiai naudojamas (kaip asimetrijos rodiklis) yra trečiosios eilės centrinio momento ir tam tikros serijos kubo standartinio nuokrypio santykis:
kur yra trečios eilės centrinis momentas; - standartinis nuokrypis kubeliu.
Šio rodiklio naudojimas leidžia nustatyti ne tik asimetrijos dydį, bet ir patikrinti jos buvimą bendroje populiacijoje. Visuotinai pripažįstama, kad didesnis nei 0,5 (nepriklausomai nuo ženklo) pasvirimas laikomas reikšmingu; jei jis yra mažesnis nei 0,25, tada jis yra nereikšmingas.
Reikšmingumo vertinimas atliekamas remiantis vidutine kvadratine paklaida, asimetrijos koeficientu (), kuris priklauso nuo stebėjimų skaičiaus (n) ir apskaičiuojamas pagal formulę:
kur n yra stebėjimų skaičius.
Šiuo atveju asimetrija yra reikšminga, o charakteristikos pasiskirstymas populiacijoje yra asimetriškas. Priešingu atveju asimetrija yra nereikšminga ir jos buvimą gali lemti atsitiktinės aplinkybės.
Skaičiavimas pagal 3.2 lentelę Gyventojų grupavimas pagal vidutinį mėnesinį atlyginimą, rub.
Kairės pusės, reikšminga asimetrija.
Skaičiavimas pagal 3.4 lentelę Parduotuvių grupavimas pagal mažmeninę apyvartą, milijonai rublių.
1. Nustatykime asimetrijas pagal (7.5) formulę:
Dešinioji, reikšminga asimetrija.
Skaičiavimas pagal 3.6 lentelę Transporto organizacijų grupavimas pagal viešojo transporto krovinių apyvartą (mln. t.km)
1. Nustatykime asimetrijas pagal (7.5) formulę:
Dešinė pusė, nedidelė asimetrija.
PASKIRSTYMO KURTESS APSKAIČIAVIMAS
Simetriškiems skirstiniams kurtozės indeksą () galima apskaičiuoti:
kur yra ketvirtos eilės centrinis momentas; - standartinis nuokrypis iki ketvirtosios laipsnio.
Skaičiavimas pagal 3.2 lentelę Gyventojų grupavimas pagal vidutinį mėnesinį atlyginimą, rub.
Skaičiavimas pagal 3.4 lentelę Parduotuvių grupavimas pagal mažmeninę apyvartą, milijonai rublių.
Apskaičiuokime kurtozės rodiklį naudodami (7.7) formulę
Didžiausias pasiskirstymas.
Skaičiavimas pagal 3.6 lentelę Transporto organizacijų grupavimas pagal viešojo transporto krovinių apyvartą (mln. t.km)
Apskaičiuokime kurtozės rodiklį naudodami (7.7) formulę
Plokščias viršutinis paskirstymas.
GYVENTOJŲ HOMOGENINGUMO VERTINIMAS
3.2 lentelės homogeniškumo vertinimas Gyventojų grupavimas pagal vidutinį mėnesinį atlyginimą, rub.
Pažymėtina, kad nors asimetrijos ir kurtozės rodikliai tiesiogiai apibūdina tik požymio pasiskirstymo formą tiriamoje populiacijoje, jų apibrėžimas turi ne tik aprašomąją reikšmę. Neretai asimetrija ir kurtozė suteikia tam tikrų požymių tolesniam socialinių ir ekonominių reiškinių tyrimui. Gautas rezultatas rodo, kad yra asimetrija, kuri yra reikšminga ir neigiama, reikia pažymėti, kad asimetrija yra kairioji. Be to, gyventojų pasiskirstymas yra plokščias.
3.4 lentelės homogeniškumo vertinimas Parduotuvių grupavimas pagal mažmeninę apyvartą, milijonai rublių.
Gautas rezultatas rodo, kad yra asimetrija, kurios dydis yra reikšmingas ir teigiamas, reikia pažymėti, kad asimetrija yra dešinioji. Be to, populiacija turi aštrių viršūnių pasiskirstymą.
3.6 lentelės homogeniškumo vertinimas Transporto organizacijų grupavimas pagal viešojo transporto krovinių apyvartą (mln. t.km)
Gautas rezultatas rodo, kad asimetrija yra nereikšminga ir teigiama, reikia pažymėti, kad asimetrija yra dešinioji. Be to, gyventojų pasiskirstymas yra plokščias.
