Revoliucijos paviršius- paviršius, suformuotas sukantis apie savavališkos linijos (tiesios, plokščios ar erdvinės kreivės) tiesią liniją (paviršiaus ašį). Pavyzdžiui, jei tiesė kerta sukimosi ašį, tada, kai ji sukasi, bus gautas kūginis paviršius, jei jis yra lygiagretus ašiai, jis bus cilindrinis, jei kerta ašį, vieno lapo hiperboloidas; bus gauta revoliucija. Tą patį paviršių galima gauti sukant įvairiausias kreives. Apsisukimo paviršiaus plotas, susidarantis sukant baigtinio ilgio plokštumos kreivę aplink ašį, esančią kreivės plokštumoje, bet nekertančią kreivės, yra lygus kreivės ilgio ir kreivės ilgio sandaugai. apskritimas, kurio spindulys lygus atstumui nuo ašies iki kreivės masės centro. Šis teiginys vadinamas antrąja Gyldeno teorema arba Pappuo centroidine teorema.

Apsisukimo paviršiaus plotą, susidarantį sukantis kreivei aplink ašį, galima apskaičiuoti naudojant formulę

Tuo atveju, kai kreivė nurodyta polinėje koordinačių sistemoje, galioja formulė

Mechaniniai apibrėžtojo integralo taikymai (jėgų darbas, statiniai momentai, svorio centras).

Jėgų darbo skaičiavimas

Materialus taškas juda išilgai nuolat diferencijuojamos kreivės, o jį veikia jėga, nukreipta liestine į trajektoriją judėjimo kryptimi. Visas darbas, atliktas jėga F:

Jei taško padėtis judėjimo trajektorijoje apibūdinama kitu parametru, tada formulė įgauna tokią formą:

Statinių momentų ir svorio centro skaičiavimas
Tegul koordinačių plokštumoje Oxy tam tikra masė M pasiskirsto tankiu p = p(y) tam tikroje taškų aibėje S (tai gali būti kreivės lankas arba apribota plokščia figūra). Pažymime s(y) – nurodytos aibės matą (lanko ilgį arba plotą).

Apibrėžimas 2. Skaičius vadinamas k-uoju masės momentu M Ox ašies atžvilgiu.
Kai k = 0 M 0 = M - masė,
k = 1 M 1 – statinis momentas,
k = 2 M 2 - inercijos momentas.

Akimirkos apie Oy ašį pristatomos panašiai. Erdvėje masės momentų sąvokos koordinačių plokštumų atžvilgiu įvedamos panašiai.
Jei p = 1, tai atitinkami momentai vadinami geometriniais. Vienalytės (p - const) plokščios figūros svorio centro koordinatės nustatomos pagal formules:

čia M 1 y, M 1 x yra geometriniai statiniai figūros momentai Oy ir Ox ašių atžvilgiu; S yra figūros plotas.

Ši formulė vadinama kūno tūrio pagal lygiagrečių pjūvių plotą formule.

Pavyzdys. Raskite elipsoido tūrį x 2 + y 2 + z 2 = 1. a 2b 2c 2

Pjaudami elipsoidą plokštuma, lygiagrečia Oyz plokštumai ir atstumais nuo jos (-а ≤х ≤а), gauname elipsę (žr. 15 pav.):

Šios elipsės plotas yra

Todėl pagal (16) formulę turime

Apsisukimo paviršiaus ploto apskaičiavimas

Tegul kreivė AB yra funkcijos y = f (x) ≥ 0 grafikas, kur x [a,b], funkcija y = f (x) ir jos išvestinė y" = f" (x) yra tolydžios. segmentas.

Tada paviršiaus plotas S, kurį sudaro kreivės AB sukimasis aplink Ox ašį, apskaičiuojamas pagal formulę

Jei AB kreivė pateikiama parametrinėmis lygtimis х = x (t), у = у (t), t 1 ≤t ≤ t 2, tada sukimosi paviršiaus ploto formulė įgauna tokią formą

S x = 2 π ∫ y (t )(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt .

Pavyzdys Raskite rutulio, kurio spindulys yra R, paviršiaus plotą. Sprendimas:

Galima daryti prielaidą, kad rutulio paviršius susidaro puslankiu y = R 2 − x 2, - R ≤x ≤R, aplink Ox ašį. Naudodami (19) formulę randame

2 π ∫ R2 − x2 + x2 dx= 2 π Rx− R R = 4 π R2 .

− R

Pavyzdys. Duotas cikloidas x = a (t − sin t), 0 ≤ t ≤ 2 π. y = a (1– kaina) ,

Raskite paviršiaus plotą, susidarantį sukant jį aplink Ox ašį. Sprendimas:

Kai pusė cikloido lanko sukasi aplink Ox ašį, sukimosi paviršiaus plotas yra lygus

Plokštumos kreivės lanko ilgio apskaičiavimas

Stačiakampės koordinatės

Leiskite į lanką, kai trūkinės linijos grandžių skaičius neribotai didėja, o didžiausių stačiakampių koordinačių ilgiui suteikiama plokščia kreivė AB, kurios lygtis yra y = f(x), kur a ≤ x≤ b .

Lanko AB ilgis suprantamas kaip riba, iki kurios šioje nuorodoje įrašytos trūkinės linijos ilgis linkęs į nulį. Parodykime, kad jei funkcija y = f(x) ir jos išvestinė y′ = f′ (x) yra ištisinės atkarpoje [a ,b ], tai kreivės AB ilgis lygus

Jeigu AB kreivės lygtis pateikta parametrine forma

x = x(t) , α ≤ t ≤ β , y = y(t) ,

kur x (t) ir y (t) yra tolydžios funkcijos su ištisinėmis išvestinėmis ir x (α) = a, x (β) = b, tai kreivės AB ilgis l randamas pagal formulę

Tai reiškia l = 2π R. Jei apskritimo lygtis parašyta parametrine forma = R kaina, y = R sint (0 ≤t ≤ 2π ), tada

Polinės koordinatės

Tegu kreivė AB pateikiama pagal lygtį polinėmis koordinatėmis r =r (ϕ),α ≤ ϕ ≤ β. Tarkime, kad r (ϕ ) ir r" (ϕ ) yra tolydžios intervale [α , β ].

Jei lygybėse x = r cosϕ, y = r sinϕ, jungiančiose polines ir Dekarto koordinates,

kampas ϕ laikomas parametru, tada kreivę AB galima nustatyti parametriškaix = r (ϕ) cos ϕ,

y = r(ϕ) sinϕ.

Taikydami formulę (15), gauname l = ∫ r 2 + r ′ 2 d ϕ .

Pavyzdys Raskite kardioido ilgį r =a (1 + cosϕ ). Sprendimas:

Kardioidas r =a (1 + cosϕ) turi tokią formą, kaip parodyta 14 paveiksle. Jis yra simetriškas poliarinės ašies atžvilgiu. Raskime pusę kardioido ilgio:

Taigi 1 2 l = 4 a. Tai reiškia, kad l = 8a.

5. Sukimosi kūnų paviršiaus ploto nustatymas

Tegul kreivė AB yra funkcijos y = f(x) ≥ 0 grafikas, kur x [a; b], o funkcija y = f(x) ir jos išvestinė y" = f"(x) yra tolydžios šiame atkarpoje.

Raskime paviršiaus plotą S, susidarantį sukantis kreivei AB aplink Ox ašį (8 pav.).

Taikykime II schemą (diferencialinis metodas).

Per savavališką tašką x [a; b] nubrėžkite Ox ašiai statmeną plokštumą P. Plokštuma П kerta sukimosi paviršių apskritime, kurio spindulys y – f(x). Apsisukimo figūros dalies, esančios plokštumos kairėje, paviršiaus dydis S yra x funkcija, t.y. s = s(x) (s(a) = 0 ir s(b) = S).

Suteikime argumentui x prieaugį Δx = dx. Per tašką x + dx [a; b] taip pat nubrėžiame Ox ašiai statmeną plokštumą. Funkcija s = s(x) gaus Δs prieaugį, kuris paveikslėlyje parodytas kaip „diržas“.

Raskime diferencialinį plotą ds, tarp pjūvių suformuotą figūrą pakeitę nupjautu kūgiu, kurio generatorius lygus dl, o pagrindų spinduliai lygūs y ir y + dу. Jo šoninio paviršiaus plotas lygus: = 2ydl + dydl.

Atmetę sandaugą dу d1 kaip aukštesnės eilės begalinį skaičių nei ds, gauname ds = 2уdl, arba, kadangi d1 = dx.

Integruodami gautą lygybę intervale nuo x = a iki x = b, gauname

Jei kreivė AB pateikiama parametrinėmis lygtimis x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, tada sukimosi paviršiaus ploto formulė įgauna formą

S=2 dt.

Pavyzdys: Raskite R spindulio rutulio paviršiaus plotą.

S=2 =

6. Kintamos jėgos darbo radimas

Kintamos jėgos darbas

Tegul medžiagos taškas M juda išilgai Ox ašies, veikiamas kintamos jėgos F = F(x), nukreiptos lygiagrečiai šiai ašiai. Darbas, kurį atlieka jėga perkeliant tašką M iš padėties x = a į padėtį x = b (a

Kiek reikia nuveikti, kad spyruoklė ištemptų 0,05 m, jei 100 N jėga ištempia spyruoklę 0,01 m?

Pagal Huko dėsnį spyruoklę tempianti tamprumo jėga yra proporcinga šiam tempimui x, t.y. F = kх, kur k yra proporcingumo koeficientas. Pagal uždavinio sąlygas jėga F = 100 N ištempia spyruoklę x = 0,01 m; todėl 100 = k 0,01, iš kur k = 10000; todėl F = 10000x.

Reikalingas darbas pagal formulę

A=

Raskite darbą, kurį reikia atlikti norint pumpuoti skystį per kraštą iš vertikalaus cilindrinio rezervuaro, kurio aukštis N m ir pagrindo spindulys R m (13 pav.).

Darbas, skirtas pakelti svorį p į aukštį h lygus p N. Tačiau skirtingi skysčio sluoksniai bake yra skirtinguose gyliuose, o pakilimo aukštis (iki bako krašto) sluoksniai nėra vienodi.

Problemai išspręsti taikome II schemą (diferencialinis metodas). Įveskime koordinačių sistemą.

1) Darbas, skirtas išpumpuoti x storio (0 ≤ x ≤ H) skysčio sluoksnį iš rezervuaro, yra x funkcija, t.y. A = A(x), kur (0 ≤ x ≤ H) (A(0) = 0, A(H) = A 0).

2) Raskite pagrindinę prieaugio ΔA dalį, kai x pasikeičia dydžiu Δx = dx, t.y. randame funkcijos A(x) diferencialą dA.

Dėl dx mažumo darome prielaidą, kad „elementarus“ skysčio sluoksnis yra tame pačiame gylyje x (nuo rezervuaro krašto). Tada dA = dрх, kur dр yra šio sluoksnio svoris; jis lygus g АV, kur g – gravitacijos pagreitis, – skysčio tankis, dv – „elementaraus“ skysčio sluoksnio tūris (paveiksle paryškintas), t.y. dр = g. Nurodomo skysčio sluoksnio tūris akivaizdžiai lygus , kur dx yra cilindro (sluoksnio) aukštis, yra jo pagrindo plotas, t.y. dv = .

Taigi, dр = . Ir

3) Integruodami gautą lygybę intervale nuo x = 0 iki x = H, randame

A

8. Integralų skaičiavimas naudojant MathCAD paketą

Sprendžiant kai kurias taikomąsias problemas, būtina naudoti simbolinės integracijos operaciją. Tokiu atveju MathCad programa gali praversti tiek pradiniame etape (gerai iš anksto žinoti atsakymą arba žinoti, kad jis egzistuoja), ir baigiamajame etape (gera patikrinti rezultatą naudojant atsakymą iš kito šaltinio arba kito asmens sprendimas).

Sprendžiant daug problemų, galima pastebėti kai kurias problemų sprendimo ypatybes naudojant MathCad programą. Pabandykime su keliais pavyzdžiais suprasti, kaip veikia ši programa, išanalizuoti jos pagalba gautus sprendimus ir palyginti šiuos sprendimus su kitais metodais gautais sprendimais.

Pagrindinės problemos naudojant MathCad programą yra šios:

a) programa pateikia atsakymą ne pažįstamų elementarių funkcijų, o specialių funkcijų, kurios nėra žinomos visiems, forma;

b) kai kuriais atvejais „atsisako“ atsakyti, nors problemos sprendimas yra;

c) kartais neįmanoma panaudoti gauto rezultato dėl jo sudėtingumo;

d) iki galo neišsprendžia problemos ir neanalizuoja sprendimo.

Norint išspręsti šias problemas, būtina išnaudoti stipriąsias ir silpnąsias programos puses.

Su jo pagalba lengva ir paprasta apskaičiuoti trupmeninių racionaliųjų funkcijų integralus. Todėl rekomenduojama naudoti kintamąjį pakeitimo būdą, t.y. Iš anksto paruoškite integralą tirpalui. Šiems tikslams gali būti naudojami pirmiau aptarti pakaitalai. Taip pat reikia turėti omenyje, kad gautuose rezultatuose turi būti tikrinama pradinės funkcijos ir gauto rezultato apibrėžimo sričių sutapimas. Be to, kai kurie gauti sprendimai reikalauja papildomų tyrimų.

„MathCad“ programa išlaisvina studentą ar tyrėją nuo įprastų darbų, tačiau negali išlaisvinti jo nuo papildomos analizės tiek nustatant problemą, tiek gaunant kokius nors rezultatus.

Šiame darbe buvo nagrinėjamos pagrindinės nuostatos, susijusios su apibrėžtojo integralo taikymo matematikos kurse studijomis.

– atlikta integralų sprendimo teorinių pagrindų analizė;

– medžiaga buvo susisteminta ir apibendrinta.

Atliekant kursinį darbą buvo nagrinėjami fizikos, geometrijos, mechanikos sričių praktinių problemų pavyzdžiai.

Išvada

Aukščiau aptarti praktinių problemų pavyzdžiai suteikia mums aiškų supratimą apie apibrėžtojo integralo svarbą jų sprendimams.

Sunku įvardyti mokslo sritį, kurioje nebūtų naudojami integralinio skaičiavimo metodai, o ypač apibrėžtojo integralo savybės. Taigi, baigdami kursinius darbus, nagrinėjome praktinių problemų pavyzdžius fizikos, geometrijos, mechanikos, biologijos ir ekonomikos srityse. Žinoma, tai toli gražu nėra baigtinis sąrašas mokslų, kurie integraliniu metodu ieško nustatytos vertės sprendžiant konkrečią problemą ir nustatant teorinius faktus.

Apibrėžtinis integralas taip pat naudojamas pačiai matematikai studijuoti. Pavyzdžiui, sprendžiant diferencialines lygtis, kurios savo ruožtu įneša nepakeičiamą indėlį sprendžiant praktines problemas. Galima sakyti, kad apibrėžtasis integralas yra tam tikras matematikos studijų pagrindas. Todėl svarbu žinoti, kaip juos išspręsti.

Iš viso to, kas išdėstyta aukščiau, aišku, kodėl susipažinimas su apibrėžtuoju integralu vyksta vidurinėje mokykloje, kur mokiniai mokosi ne tik integralo sampratos ir jo savybių, bet ir kai kurių jo taikymo būdų.

Literatūra

1. Volkovas E.A. Skaitiniai metodai. M., Nauka, 1988 m.

2. Piskunov N.S. Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. M., Integral-Press, 2004. T. 1.

3. Šipačiovas V.S. Aukštoji matematika. M., Aukštoji mokykla, 1990 m.

Sveiki, mieli Argemonos universiteto studentai!

Šiandien mes ir toliau mokysimės, kaip materializuoti objektus. Paskutinį kartą sukome plokščias figūras ir gavome tūrinius kūnus. Kai kurie iš jų yra labai viliojantys ir naudingi. Manau, kad daug to, ką sugalvoja magas, gali būti panaudota ateityje.

Šiandien pasuksime kreives. Aišku, kad tokiu būdu galime gauti kokį nors daiktą labai plonais krašteliais (kūgis ar butelis gėrimams, gėlių vaza, taurė gėrimams ir pan.), nes besisukanti kreivė gali sukurti būtent tokius objektus. Kitaip tariant, sukdami kreivę galime gauti kažkokį paviršių – uždarą iš visų pusių ar ne. Kodėl būtent dabar prisiminiau nesandarią taurę, iš kurios seras Šerfas Lonlis-Loklis visada gerdavo.

Taigi sukursime dubenį su skylutėmis ir dubenį be skylių ir apskaičiuosime sukurto paviršiaus plotą. Manau, kad jo (paviršiaus ploto apskritai) kažkam prireiks - na, bent jau specialių stebuklingų dažų tepimui. Kita vertus, magiškų artefaktų sritys gali būti reikalingos norint apskaičiuoti jiems taikomas magiškas jėgas ar dar ką nors. Išmoksime jį rasti ir rasime, kur pritaikyti.

Taigi, parabolės gabalas gali suteikti mums dubens formą. Paimkime paprasčiausią y=x 2 intervale. Matyti, kad sukant jį aplink OY ašį, gaunamas tiesiog dubuo. Nėra dugno.

Sukimosi paviršiaus ploto apskaičiavimo burtai yra tokie:

Čia |y| yra atstumas nuo sukimosi ašies iki bet kurio besisukančio kreivės taško. Kaip žinote, atstumas yra statmenas.
Šiek tiek sunkiau su antruoju rašybos elementu: ds yra lanko diferencialas. Šie žodžiai mums nieko neduoda, todėl nesivarginkime, o pereikime prie formulių kalbos, kur šis skirtumas yra aiškiai pateiktas visais mums žinomais atvejais:
- Dekarto koordinačių sistema;
- kreivės įrašymas parametrine forma;
- polinė koordinačių sistema.

Mūsų atveju atstumas nuo sukimosi ašies iki bet kurio kreivės taško yra x. Apskaičiuojame gauto skylės dubens paviršiaus plotą:

Norėdami pagaminti dubenį su dugnu, turite paimti kitą gabalėlį, bet su kitokia kreive: intervale tai yra eilutė y=1.

Akivaizdu, kad kai jis sukasi aplink OY ašį, dubens dugnas bus vienetinio spindulio apskritimo formos. Ir mes žinome, kaip apskaičiuojamas apskritimo plotas (naudojant formulę pi*r^2. Mūsų atveju apskritimo plotas bus lygus pi), bet apskaičiuokime jį naudodami naują formulę - patikrinti.
Atstumas nuo sukimosi ašies iki bet kurio šios kreivės dalies taško taip pat lygus x.

Na, mūsų skaičiavimai teisingi, o tai yra gera žinia.

Ir dabar namų darbai.

1. Raskite paviršiaus plotą, gautą pasukus laužtinę liniją ABC, kur A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), aplink OX ašį.
Patarimas. Užrašykite visus segmentus parametrine forma.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
Beje, kaip atrodo gautas daiktas?

2. Na, dabar sugalvokite ką nors patys. Manau, užteks trijų dalykų.