Trikampio plotas. Naudingos teoremos, pasekmės ir problemos

Teorema. Trikampio plotas lygus pusei jo kraštinės ir aukščio sandaugos:

Įrodymas labai paprastas. Šis trikampis ABC(1.15 pav.) pastatykime iki lygiagretainio ABDC. Trikampiai ABC Ir DCB yra lygios iš trijų pusių, todėl jų plotai yra lygūs. Taigi trikampio plotas ABC lygus pusei lygiagretainio ploto ABDC, t.y.

Bet čia kyla toks klausimas: kodėl trys galimi pagrindo pusgaminiai ir bet kurio trikampio aukštis yra vienodi? Tačiau tai nesunku įrodyti iš stačiakampių su bendru smailiu kampu panašumo. Apsvarstykite trikampį ABC(1.16 pav.):

Ir todėl

Tačiau mokykliniuose vadovėliuose to nedaroma. Priešingai, trijų pusgaminių lygybė nustatoma remiantis tuo, kad visi šie pusgaminiai išreiškia trikampio plotą. Taigi netiesiogiai išnaudojamas vienos funkcijos egzistavimas. Bet čia ateina patogi ir pamokanti galimybė pademonstruoti matematinio modeliavimo pavyzdį. Iš tiesų už ploto sąvokos slypi fizinė tikrovė, tačiau tiesioginis trijų pusgaminių lygybės patikrinimas parodo šios sąvokos vertimo į matematikos kalbą kokybę.

Naudojant aukščiau pateiktą trikampio ploto teoremą, dažnai patogu palyginti dviejų trikampių plotus. Žemiau pateikiame keletą akivaizdžių, bet svarbių teoremos pasekmių.

1 išvada. Jei trikampio viršūnė perkeliama išilgai tiesės, lygiagrečios jo pagrindui, tai jo plotas nekinta.

Fig. 1,17 trikampiai ABC Ir ABD turi bendrą pagrindą AB ir vienodais aukščiais nuleistas ant šio pagrindo, nes tiesi linija A, kuriame yra viršūnės SU Ir D lygiagrečiai pagrindui AB, todėl šių trikampių plotai yra lygūs.

1 išvadą galima suformuluoti taip.

1 išvada?. Tegu duota atkarpa AB. Daug taškų M toks, kad trikampio plotas AMV lygi nurodytai vertei S, yra dvi linijos, lygiagrečios atkarpai AB ir esantys atokiau nuo jos (1. 18 pav.)

2 išvada. Jei viena iš trikampio kraštinių, besiribojančių su duotuoju kampu, padidinama k kartų, tada jo plotas taip pat padidės k vieną kartą.

Fig. 1,19 trikampiai ABC Ir ABD turi bendrą ūgį BH, todėl jų plotų santykis lygus bazių santykiui

Svarbūs specialūs atvejai išplaukia iš 2 išvados:

1. Mediana padalija trikampį į dvi mažas dalis.

2. Trikampio, uždaro tarp jo kraštinių, kampo bisektorius A Ir b, padalija jį į du trikampius, kurių plotai yra susiję kaip a : b.

3 išvada. Jei du trikampiai turi bendrą kampą, tai jų plotai yra proporcingi šį kampą gaubiančių kraštinių sandaugai.

Tai išplaukia iš to, kad (1.19 pav.)

Visų pirma galioja šis teiginys:

Jei du trikampiai yra panašūs ir vieno iš jų kraštinė k kartų didesnis už atitinkamas kito kraštines, tada jo plotas yra k 2 kartus didesnis už antrojo plotą.

Trikampio ploto Herono formulę gauname dviem būdais. Pirmajame naudojame kosinuso teoremą:

čia a, b, c yra trikampio kraštinių ilgiai, r yra kampas, priešingas kraštinei c.

Iš (1.3) randame.

Pastebėjus tai

kur yra trikampio pusperimetras, gauname.

Ši 8 klasės geometrijos vaizdo pamoka padės mokiniams išmokti trikampio ploto radimo temą. Temoje aptariamas, koks yra trikampio ploto apskaičiavimo metodas, pateikiamos dvi pasekmės ir teorema apie trikampių plotų santykį.

Pamokos pradžioje pateiksime keletą nuostatų, kurios supaprastintų temos aptarimą. Kaip pavyzdį apsvarstykite trikampį ABC. Dažnai patogumo dėlei viena iš trikampio kraštinių imama kaip pagrindas. Tada aptariamas aukštis bus aukštis, nubrėžtas prie pagrindo.

Pažiūrėkime į teoremą: trikampio plotas gali būti apskaičiuojamas kaip jo pagrindo ir aukščio sandauga, padalinta į pusę. Teiginys reikalauja įrodymų. Tarkime, kad mums duotas trikampis ACB, kurio plotas išreiškiamas reikšme S. Laikysime, kad kraštinė AB yra trikampio pagrindas. Nubrėžkime statmeną CH. Turime įrodyti, kad S = 0,5 x AB x CH.

Naudosime tokį metodą: remiantis trikampiu ACB nubrėžiame lygiagretainį ABCD, kaip parodyta paveikslėlyje. Apsvarstykite trikampius ACB ir CBD. CB yra jų bendroji pusė, kraštinė BA lygi DC, kraštinė CA lygi DB, nes tai yra priešingos lygiagretainio kraštinės. Trikampiai ACB ir CBD yra sutampa, nes trys kraštinės yra lygios. Iš trikampių lygybės išplaukia, kad jų plotai yra lygūs. Todėl trikampio ACB plotas lygus lygiagrečios ABCD plotui, padalytam per pusę. Žinome, kad lygiagretainio plotą galima apskaičiuoti pagrindą padauginus iš aukščio: S ABCD = AB x CH. Tai reiškia, kad trikampio plotas yra S = 0,5 x AB x CH, ką reikėjo įrodyti.

Iš teoremos išplaukia keli teiginiai.

Pirmoji pasekmė. Stačiojo trikampio plotas randamas kaip kojų sandauga, padalinta iš 2.

Antroji pasekmė. Jei du trikampiai turi vienodus aukščius, tai trikampių plotų santykis lygus jų pagrindų santykiui.

Antroji išvada gali būti taikoma įrodant teoremą apie trikampių plotų santykį tuo atveju, kai vienas iš jų kampų yra lygus.

Ši teorema sako, kad jei vienas iš kampų yra lygus dviejuose trikampiuose, tai šių trikampių plotų santykis bus lygus kraštinių, apimančių vienodus kampus, sandaugos dydžiui.

Pažiūrėkime į įrodymą. Duoti du trikampiai ABC ir A 1 B 1 C 1, kurių plotai atitinkamai lygūs S ir S 1. Yra žinoma, kad kampas A lygus kampui A 1. Įrodykime, kad išraiška S / S 1 = (AB x AC) / A 1 B 1 x A 1 C 1 yra teisinga, t.y. Šių trikampių plotai yra susieti vienas su kitu kaip kraštinių, sudarančių vienodus kampus, sandauga.

Toliau sujunkite du trikampius taip, kad viršūnė A sutaptų su viršūne A 1, o kraštinės A 1 B 1 ir A 1 C 1 sutaptų su spinduliais AB ir AC Trikampiai ABC ir AB 1 C (paveiksle paryškinti spalva). aukštis CH . Užrašykime šių trikampių plotus. Trikampio ABC plotas yra 0,5 x AB x CH. Trikampio AB 1 C plotas yra 0,5 x AB 1 x CH. Tada sritys yra tarpusavyje susijusios kaip (0,5 x AB x CH) / (0,5 x AB 1 x CH) arba AB / AB 1. Analogiškai trikampių AB 1 C ir AB 1 C 1 aukštis taip pat yra bendras B 1 H 1 (pažymėtas paveikslėlyje). Trikampio AB 1 C 1 plotas yra 0,5 x A 1 C 1 x BH 1 , o trikampio AB 1 C plotas gali būti parašytas skirtingai kaip 0,5 x AC x BH 1 .

Tada trikampių AB 1 C ir AB 1 C 1 plotai yra susieti vienas su kitu kaip (0,5 x AC x BH 1) / (0,5 x A 1 C 1 x BH 1) arba AC / AC 1. Padauginus gautas lygybes, gauname, kad trikampių ABC ir AB 1 C 1 plotai yra tarpusavyje susiję kaip (AB x AC) / (AB 1 x AC 1). Tie. S / S 1 = (AB x AC) / A 1 B 1 x A 1 C 1 . Įrodėme teoremą.

Prisiminkime atsakymus į klausimus 1. Suformuluokite geometrinės figūros ploto sąvoką 2. Suformuluokite pagrindines geometrinių figūrų plotų savybes 3. Kaip galite apskaičiuoti stačiakampio ir lygiagretainio plotą?

Geometrinės figūros plotas Geometrinės figūros plotas yra dydis, apibūdinantis tam tikros figūros dydį.

Pagrindinės geometrinių figūrų plotų savybės 1. Bet kuri plokščia geometrinė figūra turi plotą. 2. Ši sritis yra vienintelė. 3. Bet kurios geometrinės figūros plotas išreiškiamas kaip teigiamas skaičius. 4. Kvadrato, kurio kraštinė lygi vienetui, plotas lygus vienetui. 5. Figūros plotas lygus dalių, į kurias ji padalinta, plotų sumai.

Stačiakampio plotas Stačiakampio plotas lygus dviejų gretimų jo kraštinių sandaugai a S = a · in

Lygiagretainio plotas 1. Lygiagretainio plotas lygus jo kraštinės ir į šią pusę nuleisto aukščio sandaugai a S = a · h h

Lygiagretainio plotas 2. Lygiagretainio plotas lygus dviejų gretimų jo kraštinių ir kampo tarp jų sinuso sandaugai A B C D S= a · b · sin A

Trikampio plotas teorema Trikampio plotas lygus pusei jo kraštinės sandaugos ir į šią kraštą nuleisto aukščio sandaugos A B C D S= ½ AC · VD

Teoremos įrodymas A B D C K S(ABC)= ½ S(ABDS)=1/2 AD · VC

Išvados iš teoremos Pabandykite patys įrodyti šias teoremos pasekmes:

Išvada 1 Stačiojo trikampio plotas lygus pusei jo kojų sandaugos A B C S= ½ BC AC

Išvada 2 Bukojo trikampio plotas lygus bet kurios jo kraštinės sandaugai ir aukščio, nukritusio į šią kraštinę, sandaugai A B CD

Išvada 3 Trikampio plotas lygus pusei bet kurių dviejų jo kraštinių sandaugos ir kampo tarp jų sinuso A B C S= ½ AB · AC · sin A

4 Išvada Lygiakraščio trikampio plotas apskaičiuojamas pagal formulę: kur a yra trikampio kraštinė

Pirmiausia išspręskite paprastus uždavinius: 1. Raskite trikampio, kurio pagrindas yra 16 cm, o aukštis 20 cm, plotą. 2. Raskite lygiakraščio trikampio, kurio kraštinė yra 6 cm, plotą stačiojo trikampio, kurio kraštinės yra 9 cm ir 12 cm.

Aiškinamieji šių lengvų galvosūkių brėžiniai

Dabar išspręskite sudėtingesnius uždavinius 1. Lygiašonio trikampio kraštinė yra 13 cm, o pagrindas yra 10 cm. 2. Duotas lygiakraštis trikampis, kurio kraštinė a. Raskite trikampio, sudaryto iš nurodyto trikampio vidurio linijų, plotą. Stačiojo trikampio hipotenuzė yra 10 cm, o viena iš jo kojų yra 8 cm

Dabar išspręskite sudėtingiausius uždavinius 1. Lygiašonio trikampio šoninė kraštinė lygi a, o kampas prie pagrindo lygus. Raskite trikampio plotą. 2. Lygiakraščio trikampio aukštis yra h. Apskaičiuokite jo plotą. 3. Stačiakampio trikampio hipotenuzė lygi c, o vienas smailių kampų lygus. Raskite trikampio plotą.

Lengvų užduočių atsakymai cm cm cm 2

Sunkesnių užduočių atsakymai cm cm 2

Atsakymai į sudėtingiausius uždavinius Atsakymai į uždavinius: 1. ½ a 2 nuodėmė

Tai įdomu! Geometrinių figūrų plotų nustatymas yra viena iš seniausių praktinių problemų. Tinkamas būdas juos išspręsti nebuvo rastas iš karto. Vieną iš paprasčiausių ir prieinamiausių būdų apskaičiuoti plotus atrado Euklidas. Skaičiuodamas plotus jis naudojo paprastą techniką, vadinamą skaidymo metodu.

Pavyzdžiui, mes jau žinome, kaip apskaičiuoti kvadrato, stačiakampio ir lygiagretainio plotą, tačiau turime apskaičiuoti savavališko trikampio plotą. Taikykime tokį algoritmą:

Vienoje iš trikampio kraštinių pažymėkime tašką, kuris yra šios kraštinės vidurys. 2.Per šį tašką nubrėžkite tiesią liniją, lygiagrečią vienai iš šio trikampio kraštinių. 3. Tiesi linija padalija šį trikampį į mažą trikampį ir trapeciją. 4. Mažesnįjį trikampį perstatykite į trapeciją, kad gautume lygiagretainį.

Pradinis trikampis ir gautas lygiagretainis yra vienodos sudėties figūros, todėl vienodo ploto. Žinome, kad vienodo ploto figūros yra vienodos. Tai reiškia, kad pradinio trikampio plotas yra lygus gauto lygiagretainio plotui.

Lygiagretainio plotas lygus jo pagrindo ir aukščio sandaugai, o pradinio trikampio aukštis pagal konstrukciją yra 2 kartus didesnis už lygiagretainio aukštį. Tai reiškia, kad trikampio plotas yra lygus pusei jo pagrindo ir aukščio sandaugos!

Ir pabaigai... Tikiuosi, kad ši informacija padės jums gerai suprasti šią temą, todėl už testą gausite tik „5“! Dėkojame už dėmesį!

- Bet kuri plokščia geometrinė figūra turi plotą. - Bet kuri plokščia geometrinė figūra turi plotą. – Ši aikštė yra vienintelė. - Bet kurios geometrinės figūros plotas išreiškiamas kaip teigiamas skaičius. - Kvadrato, kurio kraštinė lygi vienetui, plotas yra lygus vienetui. - Figūros plotas lygus dalių, į kurias ji padalinta, plotų sumai.

1. Raskite trikampio, kurio pagrindas yra 16 cm, plotą, 1. Raskite trikampio, kurio pagrindas yra 16 cm, o šio pagrindo aukštis yra 20 cm, plotą 2. Raskite plotą lygiakraštis trikampis, kurio kraštinė yra 6 cm. 3. Raskite stačiojo trikampio, kurio kojos yra 9 cm ir 12 cm, plotą.

1. Lygiašonio trikampio kraštinė yra 13 cm, o pagrindas yra 10 cm. Raskite trikampio plotą. 1. Lygiašonio trikampio kraštinė yra 13 cm, o pagrindas yra 10 cm. Raskite trikampio plotą. 2. Duotas lygiakraštis trikampis, kurio kraštinė a. Raskite trikampio plotą, sudarytą iš nurodyto trikampio vidurio linijų. 3. Stačiojo trikampio hipotenuzė yra 10 cm, o viena iš jo kojų yra 8 cm. Raskite šio stačiojo trikampio plotą

1. Lygiašonio trikampio šoninė kraštinė lygi a, o kampas prie pagrindo lygus . Raskite trikampio plotą. 1. Lygiašonio trikampio šoninė kraštinė lygi a, o kampas prie pagrindo lygus . Raskite trikampio plotą. 2. Lygiakraščio trikampio aukštis yra h. Apskaičiuokite jo plotą. 3. Stačiakampiame trikampyje hipotenuzė lygi c, o vienas smailių kampų lygus . Raskite trikampio plotą.

Geometrinių figūrų plotų nustatymas yra viena iš seniausių praktinių problemų.

-Pažymime tašką vienoje iš trikampio kraštinių, kuris yra šios kraštinės vidurys. -Pažymime tašką vienoje iš trikampio kraštinių, kuris yra šios kraštinės vidurys. - Per šį tašką nubrėžkite liniją, lygiagrečią vienai iš šio trikampio kraštinių. -Tiesi linija padalija šį trikampį į mažą trikampį ir trapeciją. -Mažesnįjį trikampį perstatykite į trapeciją, kad gautume lygiagretainį.

Tikiuosi, kad ši informacija padės jums gerai suprasti šią temą, todėl teste gausite tik „5“! Tikiuosi, kad ši informacija padės jums gerai suprasti šią temą, todėl teste gausite tik „5“! Dėkojame už dėmesį!

„Snaigių forma“ - dangaus geometrija. Išauga dulkių ir vandens molekulių kamuolys, įgaunantis šešiakampės prizmės formą. Snaigių dydis, forma ir raštas priklauso nuo temperatūros ir drėgmės. Tikslai ir uždaviniai. Vidinė sniego kristalo struktūra lemia jo išvaizdą. Snaigės formų priklausomybė nuo išorinių sąlygų. Yra 48 sniego kristalų tipai, suskirstyti į 9 klases.

"Pi teorija" - Visatos fazės spindulys. Kokie eksperimentiniai faktai galėtų paneigti teoriją. Laiko rodyklė turi tik vieną kryptį. Fazių tūriai. Priežastingumo principo pažeidimas. Begalinis sąveikų plitimo greitis. K principo taikymas (ypatingas atvejis). Faziniai ir metriniai kūno tūriai.

„Trikampio plotas“ - teorema. Trikampio plotas. AC yra pagrindas. Trikampio plotas lygus pusei jo pagrindo ir aukščio sandaugos. BC yra pagrindas. Stačiojo trikampio plotas yra lygus pusei jo kojų sandaugos. AN1 – aukštis. Jei dviejų trikampių aukščiai yra lygūs, tada jų plotai yra susiję kaip pagrindai.

„Geometrija muzikoje“ – muzika yra paslaptinga sielos aritmetika. Muzika skaičiuoja net to nesuvokdama. Gotfirdas Leibnicas. Matematikos ir muzikos sandrauga. Morisas Kornelis Escheris. Muzika yra kvadriviumo disciplina. Geometrija muzikoje. Pitagoro atspindžiai. Monokordas. Johanas Bachas. Instrumentas su viena styga, kurią būtų galima plėšyti įvairiose vietose.

Iš viso temoje yra 42 pranešimai