Taisyklingieji daugiakampiai vadinami išgaubtaisiais daugiakampiais, kurių visi paviršiai yra identiški taisyklingi daugiakampiai, o kiekvienoje viršūnėje susitinka tiek pat paviršių. Tokie daugiakampiai dar vadinami platoniniais kietaisiais kūnais.
Yra tik penki reguliarūs daugiakampiai:
|
Vaizdas |
Taisyklingo daugiakampio tipas |
Veido pusių skaičius |
Kraštinių, esančių greta viršūnės, skaičius |
Bendras viršūnių skaičius |
Bendras briaunų skaičius |
Bendras veidų skaičius |
|
Tetraedras |
||||||
|
Šešiaedras arba kubas |
||||||
|
Dodekaedras |
||||||
|
Ikozaedras |
Kiekvieno daugiakampio pavadinimas kilęs iš graikiško pavadinimo, reiškiančio jo veidų skaičių ir žodį „veidas“.
Tetraedras
Tetraedras (gr. fefsbedspn – tetraedras) yra daugiakampis, turintis keturis trikampius paviršius, kurių kiekvienoje viršūnėje susitinka 3 paviršiai. Tetraedras turi 4 paviršius, 4 viršūnes ir 6 briaunas.
Tetraedro savybės
Lygiagrečios plokštumos, einančios per susikertančių tetraedro briaunų poras, apibrėžia gretasienį, aprašytą aplink tetraedrą.
Atkarpa, jungianti tetraedro viršūnę su priešingo paviršiaus medianų susikirtimo tašku, vadinama jos mediana, išbraukta iš šios viršūnės.
Atkarpa, jungianti susikertančių tetraedro briaunų vidurio taškus, vadinama jos bimedianu, jungiančiu šias briaunas.
Atkarpa, jungianti viršūnę su tašku, esančiu priešingame paviršiuje ir statmenai šiam paviršiui, vadinama jos aukščiu, praleistu duotoje viršūnėje.
Teorema. Visos tetraedro medianos ir bimedianos susikerta viename taške. Šis taškas padalija medianas santykiu 3:1, skaičiuojant nuo viršūnės. Šis taškas padalija bimedianus per pusę.
Paryškinkite:
- · izoedrinis tetraedras, kurio visi paviršiai yra lygūs trikampiai;
- · ortocentrinis tetraedras, kuriame visi aukščiai, besileidžiantys iš viršūnių į priešingus veidus, susikerta viename taške;
- · stačiakampis tetraedras, kurio visos briaunos, esančios greta vienos iš viršūnių, yra statmenos viena kitai;
- · taisyklingasis tetraedras, kurio visi paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai;
- · rėmo tetraedras – tetraedras, atitinkantis bet kurią iš sąlygų:
- · Yra rutulys, liečiantis visus kraštus.
- · Kryžminių briaunų ilgių sumos lygios.
- · Priešingų briaunų dvikampių kampų sumos yra lygios.
- · Veiduose įrašyti apskritimai liečiasi poromis.
- · Aprašyti visi keturkampiai, atsirandantys dėl tetraedro išsivystymo.
- · Statmenys, atstatyti į paviršius iš juose įrašytų apskritimų centrų, susikerta viename taške.
- · proporcingas tetraedras, kurio visos dviaukštės lygios;
- · incentrinis tetraedras, kurio atkarpos, jungiančios tetraedro viršūnes su apskritimų centrais, įrašytais priešinguose paviršiuose, susikerta viename taške.
Kubas arba taisyklingas šešiakampis yra taisyklingas daugiakampis, kurio kiekvienas paviršius yra kvadratas. Ypatingas gretasienio ir prizmės atvejis.
Kubo savybės
- · Keturios kubo sekcijos yra taisyklingi šešiakampiai – šios atkarpos eina per kubo centrą statmenai keturioms pagrindinėms jo įstrižainėms.
- · Tetraedrą į kubą galite sutalpinti dviem būdais. Abiem atvejais keturios tetraedro viršūnės bus sulygiuotos su keturiomis kubo viršūnėmis, o visos šešios tetraedro briaunos priklausys kubo paviršiams. Pirmuoju atveju visos tetraedro viršūnės priklauso trikampio kampo, kurio viršūnė sutampa su viena iš kubo viršūnių, paviršiams. Antruoju atveju poromis susikertančios tetraedro briaunos priklauso poromis priešingiems kubo paviršiams. Šis tetraedras yra taisyklingas.
- · Į kubą galite sutalpinti oktaedrą ir visos šešios oktaedro viršūnės bus sulygiuotos su šešių kubo paviršių centrais.
- · Į oktaedrą galima įrašyti kubą, o visos aštuonios kubo viršūnės bus aštuonių oktaedro paviršių centruose.
- · Į kubą galima įrašyti ikosaedrą, o šešios tarpusavyje lygiagrečios ikosaedro briaunos bus atitinkamai šešiose kubo pusėse, likusios 24 briaunos bus kubo viduje. Visos dvylika ikosaedro viršūnių bus ant šešių kubo paviršių.
Kubo įstrižainė yra atkarpa, jungianti dvi viršūnes, kurios yra simetriškos kubo centrui. Kubo įstrižainė randama pagal formulę
daugiakampis ikosaedras oktaedras dodekaedras
kur d yra įstrižainė ir yra kubo kraštas.
oktaedras
Oktaedras (gr. pkfedspn, iš graikų pkfyu, „aštuonios“ ir graikiškai Edsb – „pagrindas“) yra vienas iš penkių išgaubtų taisyklingų daugiakampių, vadinamųjų platoniškų kietųjų kūnų.
Aštuonkampis turi 8 trikampius paviršius, 12 briaunų, 6 viršūnes ir 4 briaunos susilieja kiekvienoje viršūnėje.
Jei oktaedro briaunos ilgis lygus a, tada viso jo paviršiaus plotas (S) ir oktaedro tūris (V) apskaičiuojami pagal formules:
Aplink oktaedrą apribotos sferos spindulys yra lygus:
Į oktaedrą įbrėžto rutulio spindulį galima apskaičiuoti pagal formulę:
Taisyklingas oktaedras turi O simetriją, kuri sutampa su kubo simetrija.
Oktaedras turi vienos žvaigždės formą. Aštuonkampį atrado Leonardo da Vinci, o po beveik 100 metų iš naujo atrado Johannesas Kepleris ir pavadino jį Stella octangula – aštuonkampe žvaigžde. Taigi ši forma turi antrąjį pavadinimą „Kepler's stella octangula“.
Iš esmės tai yra dviejų tetraedrų derinys
Dodekaedras
Dodekaedras (iš graikų dudekb – dvylika ir edspn – veidas), dodekaedras – taisyklingas daugiakampis, sudarytas iš dvylikos taisyklingų penkiakampių. Kiekviena dodekaedro viršūnė yra trijų taisyklingų penkiakampių viršūnė.
Taigi dodekaedras turi 12 paviršių (penkiakampis), 30 briaunų ir 20 viršūnių (kiekvienoje 3 briaunos susilieja). Plokštumos kampų suma kiekvienoje iš 20 viršūnių yra 324°.
Dodekaedras turi 3 žvaigždžių formas: mažąjį dodekaedrą su žvaigždute, didįjį dodekaedrą, didįjį dodekaedrą (žvaigžduotas dodekaedras, galutinė forma). Pirmuosius du iš jų atrado Kepleris (1619 m.), trečiąjį – Poinsot (1809 m.). Skirtingai nuo oktaedro, bet kuri iš žvaigždžių dodekaedro formų nėra platoniškų kietųjų kūnų derinys, o sudaro naują daugiasparnį.
Visos 3 žvaigždinės dodekaedro formos kartu su didžiuoju ikosaedru sudaro Keplerio-Puanso kietųjų kūnų šeimą, tai yra taisyklingos neišgaubtos (žvaigždinės) daugiakampės.
Didžiojo dodekaedro veidai yra penkiakampiai, kurių kiekvienoje viršūnėje susitinka penki. Mažieji žvaigždiniai ir didieji žvaigždutiniai dodekaedrai turi penkiakampių žvaigždžių (pentagramų) veidus, kurios pirmuoju atveju susilieja į 5, o antruoju – į 3. Didelio žvaigžduoto dodekaedro viršūnės sutampa su aprašyto dodekaedro viršūnėmis. Kiekviena viršūnė turi tris sujungtus paviršius.
Pagrindinės formulės:
Jei krašto ilgį laikome a, tada dodekaedro paviršiaus plotas yra:
Dodekaedro tūris:
Aprašytos sferos spindulys:
Įbrėžto rutulio spindulys:
Dodekaedro simetrijos elementai:
· Dodekaedras turi simetrijos centrą ir 15 simetrijos ašių.
Kiekviena ašis eina per priešingų lygiagrečių briaunų vidurio taškus.
· Dodekaedras turi 15 simetrijos plokštumų. Bet kuri iš simetrijos plokštumų eina kiekviename paviršiuje per priešingo krašto viršų ir vidurį.
Ikozaedras
Ikozaedras (iš graikų kalbos ekpubt – dvidešimt; –edspn – veidas, veidas, pagrindas) yra taisyklingas išgaubtas daugiabriaunis, dvidešimties hedrių, vienas iš platoniškų kietųjų kūnų. Kiekvienas iš 20 veidų yra lygiakraštis trikampis. Briaunų skaičius yra 30, viršūnių skaičius yra 12.
Ikozaedro, kurio briaunos ilgis a, plotas S, tūris V, taip pat įbrėžtųjų ir apibūdintų sferų spinduliai apskaičiuojami pagal formules:
įbrėžto rutulio spindulys:
apribotos sferos spindulys:
Savybės
- · Ikozaedras gali būti įrašytas į kubą, šiuo atveju šešios viena kitai statmenos ikosaedro briaunos bus atitinkamai šešiose kubo briaunose, likusios 24 briaunos kubo viduje, visos dvylika ikosaedro viršūnių bus šešiose kubo veidai.
- · Tetraedras gali būti įrašytas į ikosaedrą, be to, keturios tetraedro viršūnės bus sujungtos su keturiomis ikosaedro viršūnėmis.
- · Į dodekaedrą galima įrašyti ikosaedrą, kurio viršūnės sulygiuotos su dodekaedro paviršių centrais.
- · Dodekaedrą galima įrašyti į ikosaedrą, sujungus dodekaedro viršūnes ir ikosaedro paviršių centrus.
- · Nupjautą ikosaedrą galima gauti nupjaunant 12 viršūnių, suformuojant veidus taisyklingų penkiakampių pavidalu. Tokiu atveju naujojo daugiakampio viršūnių skaičius padidėja 5 kartus (12?5=60), 20 trikampių paviršių virsta taisyklingais šešiakampiais (bendras paviršių skaičius tampa 20+12=32), o briaunų skaičius didėja. iki 30+12?5=90.
Ikozaedras turi 59 žvaigždžių formas, iš kurių 32 turi pilną ir 27 nepilną ikosaedrinę simetriją. Vienas iš šių žvaigždžių (20-asis, Wenninger mod. 41), vadinamas didžiuoju ikosaedru, yra vienas iš keturių taisyklingų Keplerio-Poinsot žvaigždžių. Jo paviršiai yra taisyklingi trikampiai, kurie kiekvienoje viršūnėje susitinka penkiese; Ši savybė yra bendra didžiajam ikosaedrui su ikosaedru.
Tarp žvaigždžių formų taip pat yra: penkių oktaedrų jungtis, penkių tetraedrų jungtis, dešimties tetraedrų jungtis.
Norėdami naudoti pristatymų peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com
Skaidrių antraštės:
Daugiakampis. Daugiakampio viršūnės, briaunos, paviršiai. EULERO TEOREMA. 10 klasė Baigė: Kaygorodova S.V.
Daugiakampis vadinamas taisyklingu, jei visi jo paviršiai yra taisyklingi daugiakampiai ir visi daugiakampiai kampai jo viršūnėse yra lygūs.
Penkios nuostabios daugiakampės buvo žinomos žmogui nuo seniausių laikų.
Pagal veidų skaičių jie vadinami taisyklingu tetraedru
šešiakampis (šešiakampis) arba kubas
oktaedras (oktaedras)
dodekaedras (dodekaedras)
ikosaedras (dvidešimties eedrų)
Taisyklingųjų daugiakampių raidos
Istorinis fonas Žmonijai buvo žinomos keturios gamtos esencijos: ugnis, vanduo, žemė ir oras. Anot Platono, jų atomai buvo taisyklingos daugiabriaunės formos. Didysis senovės graikų filosofas Platonas, gyvenęs IV – V a. Kr., tikėjo, kad šie kūnai įkūnija gamtos esmę.
ugnies atomas buvo tetraedras, žemė - oro šešiaedras (kubas) - vandens oktaedras - ikosaedras
Bet liko dodekaedras, kuris neturėjo korespondencijos Platonas užsiminė, kad yra kita (penkta) esybė. Jis pavadino jį pasaulio eteriu. Šios penktosios esmės atomai turėjo dodekaedro formą. Platonas ir jo mokiniai savo darbuose didelį dėmesį skyrė išvardytoms daugiakampėms. Todėl šie daugiakampiai dar vadinami platoniškomis kietosiomis medžiagomis.
Bet kuriam išgaubtam daugiakampiui galioja toks ryšys: Г+В-Р=2, kur Г yra paviršių skaičius, В yra viršūnių skaičius, Р yra duoto daugiakampio briaunų skaičius. Veidai + viršūnės – briaunos = 2. Eilerio teorema
Taisyklingųjų daugiakampių charakteristikos Daugiakampis Veido kraštinių skaičius Kiekvienoje viršūnėje susitinkančių veidų skaičius Pluoštų skaičius (G) Briaunų skaičius (P) Viršūnių skaičius (V) Tetraedras 3 3 4 6 4 Šešiaedras 4 3 6 12 8 Aštuonedras 3 4 8 12 6 Ikozaedras 3 5 20 30 12 Dodekaedras 5 3 12 30 20
Taisyklingų daugiakampių dvilypumas Šešiaedras (kubas) ir oktaedras sudaro dvigubą daugiakampių porą. Vieno daugiakampio paviršių skaičius lygus kito viršūnių skaičiui ir atvirkščiai.
Paimkime bet kurį kubą ir apsvarstykime daugiakampį, kurio viršūnės yra jo paviršių centruose. Kaip nesunkiai matote, gauname oktaedrą.
Oktaedro paviršių centrai tarnauja kaip kubo viršūnės.
Stibio natrio sulfatas yra tetraedras. Daugiakampiai gamtoje, chemija ir biologija Kai kurių mums žinomų medžiagų kristalai yra taisyklingo daugiakampio formos. Pirito kristalas yra natūralus dodekaedro modelis. Stalo druskos kristalai suteikia kubo formą. Aliuminio-kalio alūno monokristalas turi oktaedro formą. Kristalas (prizmė) Ikozaedras pateko į biologų dėmesį ginčuose dėl virusų formos. Virusas negali būti visiškai apvalus, kaip manyta anksčiau. Norėdami nustatyti jo formą, jie paėmė įvairius daugiakampius ir nukreipė šviesą į juos tais pačiais kampais, kaip ir atomų srautas į virusą. Paaiškėjo, kad tik vienas daugiakampis suteikia lygiai tokį patį šešėlį – ikosaedras. Kiaušinių dalijimosi proceso metu pirmiausia susidaro keturių ląstelių tetraedras, vėliau – oktaedras, kubas, galiausiai – dodekaedrinė-ikosaedrinė gastrulos struktūra. Ir galiausiai, bene svarbiausias dalykas – genetinio gyvybės kodo DNR struktūra – yra besisukančio dodekaedro keturmatė raida (palei laiko ašį!) Metano molekulė turi taisyklingo tetraedro formą.
Daugiakampis mene „Monos Lizos portretas“ Paveikslo kompozicija paremta auksiniais trikampiais, kurie yra taisyklingo žvaigždės formos penkiakampio dalys. graviūra „Melancholija“ Paveikslo pirmame plane – dodekaedras. „Paskutinė vakarienė“ Kristus ir jo mokiniai pavaizduoti didžiulio skaidraus dodekaedro fone.
Daugiakampis architektūroje Yamanashi vaisių muziejus buvo sukurtas naudojant 3D modeliavimą. Keturių pakopų Spasskaya bokštas su Ne rankomis pagaminta Išganytojo bažnyčia yra pagrindinis įėjimas į Kazanės Kremlių. Jį XVI amžiuje pastatė Pskovo architektai Ivanas Širiajus ir Postnikas Jakovlevas, pravarde „Barma“. Keturios bokšto pakopos yra kubas, daugiakampis ir piramidė. Kremliaus Spasskaya bokštas. Aleksandrijos švyturio piramidžių vaisių muziejai
Deja, sferinė geometrija ir Lobačevskio geometrija nėra mokoma mokyklos programoje. Tuo tarpu jų tyrimas kartu su euklido geometrija leidžia mums geriau suprasti, kas vyksta su objektais. Pavyzdžiui, suprasti taisyklingų daugiakampių ryšį su sferos pertvaromis, Euklido plokštumos pertvaromis ir Lobačevskio plokštumos pertvaromis.
Žinios apie pastovaus kreivumo erdvių geometriją padeda pakilti virš trijų matmenų ir atpažinti daugiakampius 4 ir aukštesnių matmenų erdvėse. Daugiakampių radimo, pastovaus kreivumo erdvių pertvarų radimo, taisyklingo daugiakampio dvikampio kampo formulės išvedimo n-matėje erdvėje klausimai yra taip glaudžiai susipynę, kad pasirodė problematiška visa tai įtraukti į knygos pavadinimą. straipsnis. Tegul dėmesys sutelkiamas į taisyklingas, kiekvienam suprantamas daugiakampes, nors jos yra ne tik visų išvadų rezultatas, bet kartu ir aukštesnių matmenų erdvių ir vienodai išlenktų erdvių suvokimo įrankis.
Tiems, kurie nežino (pamiršo), informuoju (primenu), kad trimatėje euklido erdvėje, prie kurios esame įpratę, yra tik penki taisyklingi daugiakampiai:
| 1. Tetraedras: | 2. Kubas: | 3. Oktaedras: | 4. Dodekaedras: | 5. Ikozaedras: |
 |
 |
 |
 |
Trimatėje erdvėje taisyklingasis daugiakampis yra išgaubtas daugiakampis, kurio visos viršūnės yra lygios viena kitai, visos briaunos yra lygios viena kitai, visi paviršiai yra lygūs vienas kitam, o paviršiai yra taisyklingi daugiakampiai.
Taisyklingasis daugiakampis yra išgaubtas daugiakampis, kurio visos kraštinės yra lygios ir visi kampai lygūs.
Viršūnės yra lygios viena kitai reiškia, kad briaunų skaičius ir veidų, artėjančių prie kiekvienos viršūnės, skaičius yra vienodas ir kiekvienoje viršūnėje jos artėja tais pačiais kampais.
Šiame žymėjime mūsų daugiakampiai gaus šiuos pavadinimus:
1. Tetraedras (3, 3),
2. Kubas (4, 3),
3. Oktaedras (3, 4),
4. Dodekaedras (5, 3),
5. Ikozaedras (3, 5)
Pavyzdžiui, (4, 3) – kubas turi 4 kampinius paviršius, o kiekvienoje viršūnėje susitinka po 3 tokius paviršius.
Priešingai, oktaedras (3, 4) turi 3 anglies paviršius, iš kurių 4 susilieja viršūnėje.
Taigi Schläfli simbolis visiškai nulemia kombinatorinę daugiakampio struktūrą.
Kodėl yra tik 5 taisyklingi daugiakampiai? Gal jų yra daugiau?
Norėdami visiškai atsakyti į šį klausimą, pirmiausia turite intuityviai suprasti geometriją sferoje ir Lobačevskio plokštumoje. Tiems, kurie dar neturi tokios idėjos, pabandysiu pateikti reikiamus paaiškinimus.
Sfera
1. Kas yra taškas sferoje? Manau, kad tai intuityviai aišku kiekvienam. Nesunku mintyse įsivaizduoti tašką sferoje.
2. Kas yra rutulio atkarpa? Mes paimame du taškus ir sujungiame juos trumpiausiu atstumu sferoje, jei žiūrime į sferą iš šono.
3. Jei tęsite šį segmentą abiem kryptimis, jis užsidarys ir gausite apskritimą. Šiuo atveju apskritimo plokštumoje yra sferos centras. Iš šono jis atrodo kaip apskritimas, bet pagal sferinę geometriją tai yra tiesi linija, nes ji buvo gauta iš atkarpos, pratęstos iki begalybės abiem kryptimis.
4. Ir galiausiai, kas yra trikampis ant sferos? Mes paimame tris rutulio taškus ir sujungiame juos segmentais.
Pagal analogiją su trikampiu, galite nubrėžti savavališką daugiakampį sferoje. Mums iš esmės svarbi sferinio trikampio savybė, būtent, kad tokio trikampio kampų suma yra didesnė nei 180 laipsnių, prie ko esame įpratę Euklidiniame trikampyje. Be to, dviejų skirtingų sferinių trikampių kampų suma yra skirtinga. Kuo didesnis trikampis, tuo DIDESNĖ jo kampų suma.
Atitinkamai, atsiranda 4-asis rutulio trikampių lygybės ženklas - trimis kampais: du sferiniai trikampiai yra lygūs vienas kitam, jei jų atitinkami kampai yra lygūs.
Paprastumo dėlei lengviau nebraižyti pačios sferos, tada trikampis atrodys šiek tiek išsipūtęs:
Sfera dar vadinama pastovaus teigiamo kreivumo erdve. Erdvės kreivumas tiksliai lemia tai, kad trumpiausias atstumas yra lankas, o ne tiesios linijos atkarpa, prie kurios esame įpratę. Atrodo, kad segmentas yra sulenktas.
Lobačevskis
Dabar, kai susipažinome su sferos geometrija, nebus sunku suprasti geometriją hiperbolinėje plokštumoje, kurią atrado didysis rusų mokslininkas Nikolajus Ivanovičius Lobačevskis, nes čia viskas vyksta taip pat, kaip ir sferoje, tik „iš vidaus“, „atvirkščiai“. Jei ant rutulio nubrėžėme lankus apskritimais, kurių centras yra rutulio viduje, dabar lankai turi būti nubrėžti apskritimais, kurių centras yra už sferos.Pradėkime. Atstovausime Lobačiovskio plokštumą Puankaro II interpretacijoje (didysis prancūzų mokslininkas Jules'as Henri Poincaré), ši Lobačiovskio geometrijos interpretacija dar vadinama Puankaro disku.
1. Taškas Lobačevskio plokštumoje. Laikotarpis – tai taškas ir Afrikoje.
2. Atkarpa Lobačevskio plokštumoje. Du taškus sujungiame tiese išilgai trumpiausio atstumo Lobačevskio plokštumos prasme.
Trumpiausias atstumas sudaromas taip:
Per duotus du taškus (paveiksle Z ir V) reikia nubrėžti apskritimą, statmeną Puankarės diskui. Šio apskritimo centras visada bus už disko. Lankas, jungiantis pirminius du taškus, bus trumpiausias atstumas Lobačevskio plokštumos prasme.
3. Pašalinus pagalbinius lankus, gauname tiesę E1 - H1 Lobačevskio plokštumoje.
Taškai E1, H1 „guli“ Lobačiovskio plokštumos begalybėje, Puankarės disko kraštas yra visi be galo nutolę Lobačiovskio plokštumos taškai.
4. Ir galiausiai, kas yra trikampis Lobačevskio plokštumoje? Mes paimame tris taškus ir sujungiame juos segmentais.
Pagal analogiją su trikampiu galite nubrėžti savavališką daugiakampį Lobačevskio plokštumoje. Mums iš esmės svarbi hiperbolinio trikampio savybė, būtent, kad tokio trikampio kampų suma visada yra mažesnė nei 180 laipsnių, prie ko esame įpratę Euklido trikampyje. Be to, dviejų skirtingų hiperbolinių trikampių kampų suma yra skirtinga. Kuo didesnis trikampio plotas, tuo MAŽESNĖ jo kampų suma.
Atitinkamai čia vyksta ir 4-asis hiperbolinių trikampių lygybės ženklas - pagal tris kampus: du hiperboliniai trikampiai yra lygūs vienas kitam, jei jų atitinkami kampai yra lygūs.
Paprastumo dėlei paties Poincaré disko kartais negalima nupiešti, tada trikampis atrodys šiek tiek „susitraukęs“, „išleistas“:
Lobačevskio plokštuma (ir apskritai bet kokio matmens Lobačiovskio erdvė) dar vadinama pastovaus NEIGIAMO kreivumo erdve. Erdvės kreivumas tiksliai lemia tai, kad trumpiausias atstumas yra lankas, o ne tiesios linijos atkarpa, prie kurios esame įpratę. Atrodo, kad segmentas yra sulenktas.
Taisyklingos dvimatės Sferos ir taisyklingų trimačių daugiakampių pertvaros
Viskas, kas pasakyta apie sferą ir Lobačevskio plokštumą, nurodo dvimatiškumą, t.y. Rutulio paviršius yra dvimatis. Ką tai turi bendro su straipsnio pavadinime nurodytu trimatiškumu? Paaiškėjo, kad kiekvienas trimatis taisyklingas Euklido daugiakampis turi vieną su vienu atitikimą su savo dvimatės sferos skaidiniu. Tai geriausiai matoma paveikslėlyje:
Norėdami gauti rutulio pertvarą iš įprasto daugiakampio, turite apibūdinti sferą aplink daugiakampį. Daugiakampio viršūnės atsiras sferos paviršiuje, sujungus šiuos taškus su rutulio atkarpomis (lankais), gausime dvimatės sferos skaidinį į taisyklingus sferinius daugiakampius. Kaip pavyzdys buvo padaryta vaizdo demonstracija, kaip ikosaedras atitinka sferos padalijimą į sferinius trikampius ir atvirkščiai, o kaip rutulio padalijimas į sferinius trikampius, susiliejančius viršūnėje penkiese, atitinka ikosaedrą.
Norint iš rutulio pertvaros sukonstruoti daugiakampį, lankus atitinkančios pertvaros viršūnės turi būti sujungtos įprastais, tiesiniais, euklido atkarpomis.
Atitinkamai, ikosaedro (3, 5) simbolis Schläfli – trikampiai, susiliejantys su penkiais viršūnėje – nurodo ne tik šio daugiakampio struktūrą, bet ir dvimatės sferos pertvaros struktūrą. Panašiai kaip ir kiti politopai, jų Schläfli simboliai taip pat lemia atitinkamų pertvarų struktūrą. Be to, Euklido plokštumos ir Lobačevskio plokštumos pertvaros į taisyklingus daugiakampius taip pat gali būti nurodytos Schläfli simboliu. Pavyzdžiui, (4, 4) – keturkampiai, susiliejantys keturiais – tai mums visiems pažįstamas languotas sąsiuvinis, t.y. Tai Euklido plokštumos padalijimas į kvadratus. Ar yra kitų Euklido plokštumos skyrių? Žiūrėsim toliau.
Dvimatės sferos, Euklido plokštumos ir Lobačevskio plokštumos pertvarų konstravimas
Norint sukurti pastovaus kreivumo dvimačių erdvių pertvaras (tai yra bendras šių trijų erdvių pavadinimas), mums reikia pradinės mokyklos geometrijos ir žinių, kad sferinio trikampio kampų suma yra didesnė nei 180 laipsnių (didesnė nei Pi). , kad hiperbolinio trikampio kampų suma yra mažesnė nei 180 laipsnių (mažiau nei Pi) ir Kas yra Schläfli simbolis? Visa tai jau buvo pasakyta aukščiau.Taigi, imkime savavališką Schläfli simbolį (p1, p2), jis nurodo vienos iš trijų pastovaus kreivumo erdvių skaidinį (plokštumai tai tiesa, didesnių matmenų erdvėms situacija sudėtingesnė, bet niekas netrukdo tyrinėjant visas simbolio kombinacijas).
Apsvarstykite taisyklingą p1 kvadratą ir nubrėžkite segmentus, jungiančius jo centrą ir viršūnes. Gauname lygiašonių trikampių p1 gabalus (paveiksle pavaizduotas tik vienas toks trikampis). Kiekvieno iš šių trikampių kampų sumą pažymime kaip t ir išreiškiame t pi ir lambda koeficientu.
Tada jei lambda = 1, tai Euklido trikampis, t.y. yra Euklido plokštumoje, jei lambda yra intervale (1, 3), tai reiškia, kad kampų suma yra didesnė už pi ir tai reiškia, kad šis trikampis yra sferinis (nesunku įsivaizduoti, kad didinant a sferinis trikampis riboje, gaunamas apskritimas su trimis taškais, kiekviename taške trikampio kampas lygus pi, o bendra suma yra 3*pi Tai paaiškina viršutinę intervalo ribą = 3). Jei lambda yra intervale (0, 1), tai trikampis yra hiperbolinis, nes jo kampų suma yra mažesnė už pi (ty mažesnė nei 180 laipsnių). Trumpai tai galima parašyti taip:
Kita vertus, norint suartėti tų pačių daugiakampių p2 gabalų (t. y. sveikojo skaičiaus) viršūnėje, būtina, kad
2*betta išraiškų, rastų iš konvergencijos sąlygos ir daugiakampio, lyginimas:
Gavome lygtį, kuri parodo, kuri iš trijų erdvių yra padalinta iš Schläfli simbolio pateiktos figūros (p1, p2). Norėdami išspręsti šią lygtį, taip pat turime prisiminti, kad p1, p2 yra sveikieji skaičiai, didesni arba lygūs 3. Tai, taip sakant, išplaukia iš jų fizinės reikšmės, nes tai p1 kampai (mažiausiai 3 kampai), susiliejantys išilgai p2 gabalų ties viršūnė (taip pat ne mažiau kaip 3, kitaip ji nebus viršūnė).
Šios lygties sprendimas yra surašyti visas galimas p1, p2 reikšmes, didesnes arba lygias 3, ir apskaičiuoti lambda reikšmę. Jei paaiškėja, kad jis yra lygus 1, tada (p1, p2) padalija Euklido plokštumą, jei ji yra didesnė nei 1, bet mažesnė nei 3, tai yra sferos skaidinys, jei nuo 0 iki 1, tai yra Lobačevskio lėktuvo pertvara. Patogu visus šiuos skaičiavimus apibendrinti lentelėje.
Iš kur matyti, kad:
1. Sfera atitinka tik 5 sprendinius, kai lamda yra didesnė nei 1 ir mažesnė nei 3, lentelėje jie paryškinami žalia spalva. Tai: (3, 3) – tetraedras, (3, 4) – oktaedras, (3, 5) – ikosaedras, (4, 3) – kubas, (5, 3) – dodekaedras. Jų nuotraukos buvo pateiktos straipsnio pradžioje.
2. Euklido plokštumos pertvaros atitinka tik tris sprendinius, kai lambda = 1, lentelėje jos paryškintos mėlynai. Taip atrodo šie skilimai.
3. Ir galiausiai visos kitos kombinacijos (p1, p2) atitinkamai atitinka Lobačevskio plokštumos skaidinius, tokių skaidinių yra begalinis (suskaičiuojamas) skaičius. Belieka tik iliustruoti kai kuriuos iš jų, pavyzdžiui.
Rezultatai
Taigi, yra tik 5 taisyklingi daugiakampiai, jie atitinka penkias dvimatės sferos pertvaras, yra tik 3 Euklido plokštumos pertvaros, o Lobačevskio plokštumos pertvarų yra skaičiuojamas skaičius.Koks šių žinių pritaikymas?
Yra žmonių, kurie tiesiogiai domisi sferos pertvaromis.
Taisyklingas daugiakampis Daugiakampis vadinamas tokiu, kad visi jo paviršiai yra lygūs ir yra lygūs taisyklingieji daugiakampiai, visos briaunos ir visos viršūnės taip pat yra lygios viena kitai. Nors yra bet koks reguliarių daugiakampių skaičius, yra ribotas skaičius taisyklingų daugiakampių.
Kaip reguliarūs daugiakampiai prasideda trikampiu, taip reguliarūs daugiakampiai prasideda jo analogu - tetraedras (t.y. graikiškai tetraedras). Jis turi mažiausią galimą viršūnių ir veidų skaičių – po keturias kiekvienoje ir šešias briaunas (trys viršūnės visada yra toje pačioje plokštumoje, todėl tūriniam kūnui reikia mažiausiai keturių viršūnių; baigtinis tūris erdvėje negali būti ribojamas trimis plokščiais veidais). Kiekvienoje viršūnėje susilieja trys trikampiai paviršiai ir atitinkamai trys briaunos. Tetraedras yra piramidė, o paprasčiausia yra trikampė (bet kuri piramidė susideda iš pagrindo ir šoninių paviršių; piramidė vadinama n briaunota, jei ji turi n šoninių paviršių; nesunku pastebėti, kad n kraštinės piramidės pagrindas neišvengiamai turi turėti n kampo formą). Viskas, ką iki šiol sakėme apie tetraedrą, galioja bet kuriam tetraedrui, nebūtinai taisyklingajam; taisyklingo tetraedro paviršiai yra taisyklingi trikampiai.
Jūs puikiai žinote šį įprastą daugiakampį – tai yra kubas. Jei tetraedras tam tikra prasme panašus į trikampį, tai kubas panašus į kvadratą. Kubas yra stačiakampis gretasienis, kurio visi paviršiai yra kvadratai. Pabandykite nežiūrėdami į paveikslėlį išsiaiškinti, kiek kubo (ir, tiesą sakant, bet kurio stačiakampio gretasienio) veidų, kiek viršūnių, kiek briaunų ir kiek veidų bei briaunų susilieja kiekvienoje viršūnėje.
Kitas taisyklingas daugiakampis turi oktaedras (t.y. oktaedras) – plokščiame pasaulyje nėra analogų, nes jis šiek tiek panašus į trikampį, o kiek į kvadratą. Iš dviejų tetraedrinių piramidžių galima padaryti oktaedrą, suklijuojant jų pagrindus. Taisyklingo oktaedro paviršiai yra taisyklingi trikampiai. Kiekvienoje jo viršūnėje susitinka ne trys, kaip tetraedras ir kubas, o keturi veidai. Pavyzdžiui, natūralūs deimantų kristalai turi oktaedro formą.
Oktaedras glaudžiai susijęs su vadinamuoju kubu abipusiškumo savybė : kubo paviršių centrai yra taisyklingo oktaedro viršūnės, o taisyklingojo oktaedro paviršių centrai yra kubo viršūnės. Jei gretimų kubo paviršių centrus sujungsite su segmentais, tada šie segmentai taps oktaedro kraštais; jei tą pačią operaciją atliksite su oktaedru, gausite kubą. Beje, remiantis tuo, aišku, kad oktaedro viršūnių skaičius yra lygus kubo paviršių skaičiui ir atvirkščiai; Be to, jų briaunų skaičius sutampa.
Tetraedras yra susijęs su savimi abipusiškumo savybe
Ar galima suformuluoti kokį nors taisyklingųjų daugiakampių abipusiškumo savybės analogą?
Beje, tetraedras taip pat yra susijęs su kubu. Būtent, jei pasirenkate keturias kubo viršūnes, iš kurių nėra dviejų gretimų, ir sujungiate jas atkarpomis, tada šios atkarpos sudaro tetraedrą!
 |
|
Ryžiai. 3. Kubas ir tetraedras |
Svarbiausia taisyklingų daugiakampių savybė, kuri iškart patraukia dėmesį, yra didelis jų simetrijos laipsnis. Tam tikras atspindžių skaičius aplink skirtingas plokštumas, taip pat daugybė sukimų aplink skirtingas ašis paverčia kiekvieną daugiakampį į save. Kiekvienas iš jų turi centrą, per kurį eina visos šios simetrijos plokštumos ir ašys; viršūnės yra vienodu atstumu nuo šio centro, tas pats pasakytina apie paviršius ir briaunas. Todėl kiekviename taisyklingajame daugiakampyje gali būti įrašyta sfera, o aplink kiekvieną iš jų gali būti aprašyta sfera. (Tačiau šiuo atžvilgiu jie yra gana panašūs į taisyklingus daugiakampius, į kuriuos kiekvieną galima įrašyti apskritimą, o aplink kurį taip pat galima aprašyti apskritimą).
Kiek simetrijos plokštumų turi kubas, tetraedras ar oktaedras? Kiek kiekviena iš jų turi sukimosi ašių, kurios paverčia daugiakampį į save?
