Pastovus skaičius A paskambino riba sekos(x n ), jei bet kuriam savavališkai mažam teigiamam skaičiuiε > 0 yra skaičius N, kuris turi visas reikšmes x n, kurių n>N, tenkina nelygybę
|x n - a|< ε. (6.1)
Užrašykite jį taip: arba x n → a.
Nelygybė (6.1) lygi dvigubai nelygybei
a- ε< x n < a + ε, (6.2)
o tai reiškia, kad taškai x n, pradedant nuo kažkokio skaičiaus n>N, yra intervalo (a-ε, a+ ε ), t.y. patenka į bet kokį mažąε - taško kaimynystė A.
Vadinama seka, turinti ribą susiliejantis, kitaip - skiriasi.
Funkcijos ribos sąvoka yra sekos ribos sampratos apibendrinimas, nes sekos riba gali būti laikoma sveikojo skaičiaus argumento funkcijos x n = f(n) riba. n.
Tegu duota funkcija f(x) ir tegul a - ribinis taškasšios funkcijos apibrėžimo sritis D(f), t.y. toks taškas, kurio bet kurioje kaimynystėje yra aibės D(f) taškai, išskyrus a. Taškas a gali priklausyti arba nepriklausyti aibei D(f).
1 apibrėžimas.Vadinamas pastovus skaičius A riba funkcijas f(x) adresu x →a, jei bet kuriai argumentų reikšmių sekai (x n ) linkusi A, atitinkamos sekos (f(x n)) turi tą pačią ribą A.
Šis apibrėžimas vadinamas apibrėžiant funkcijos ribą pagal Heine, arba " sekos kalba”.
2 apibrėžimas. Vadinamas pastovus skaičius A riba funkcijas f(x) adresu x →a, jei, nurodant savavališkai savavališkai mažą teigiamą skaičių ε, galima rasti tokį δ>0 (priklausomai nuo ε), kuris skirtas visiems x, guliε-skaičiaus apylinkės A, t.y. Už x, tenkinantis nelygybę
0 <
x-a< ε
, funkcijos f(x) reikšmės busε-skaičiaus A kaimynystė, t.y.|f(x)-A|<
ε.
Šis apibrėžimas vadinamas apibrėžiant funkcijos ribą pagal Koši, arba „kalboje ε - δ “.
1 ir 2 apibrėžimai yra lygiaverčiai. Jei funkcija f(x) kaip x →a turi riba, lygus A, tai parašyta forma
. (6.3)
Tuo atveju, jei seka (f(x n)) didėja (arba mažėja) be jokių aproksimavimo metodų apribojimų x iki jūsų ribos A, tada sakysime, kad funkcija f(x) turi begalinė riba, ir parašykite į formą:
Iškviečiamas kintamasis (ty seka arba funkcija), kurio riba lygi nuliui be galo mažas.
Vadinamas kintamasis, kurio riba yra begalybė be galo didelis.
Norint praktiškai rasti ribą, naudojamos šios teoremos.
1 teorema . Jei yra kiekviena riba
(6.4)
(6.5)
(6.6)
komentuoti. Tokios išraiškos kaip 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - yra neaiškūs, pavyzdžiui, dviejų be galo mažų arba be galo didelių kiekių santykis, o tokio tipo ribos radimas vadinamas „neapibrėžtumų atskleidimu“.
2 teorema. (6.7)
tie. galima pereiti prie ribos pagal galią su pastoviu eksponentu, ypač 
;
(6.8)
(6.9)
3 teorema.
(6.10)
(6.11)
Kur e » 2,7 - natūraliojo logaritmo bazė. Formulės (6.10) ir (6.11) vadinamos pirmąja nuostabi riba ir antroji nepaprasta riba.
(6.11) formulės pasekmės taip pat naudojamos praktikoje:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
ypač riba,
Jei x → a ir tuo pačiu metu x > a, tada parašykite x→a + 0. Jei konkrečiai a = 0, tai vietoj simbolio 0+0 parašykite +0. Panašiai, jei x→a ir tuo pačiu x 
ir atitinkamai vadinami teisinga riba Ir kairioji riba funkcijas f(x) taške A. Kad būtų funkcijos f(x) riba kaip x→a yra būtinas ir pakankamas, kad 
. Iškviečiama funkcija f(x). tęstinis taške x 0, jei riba
. (6.15)
Sąlyga (6.15) gali būti perrašyta taip:
,
tai yra, perėjimas į ribą po funkcijos ženklu yra įmanomas, jei ji yra ištisinė tam tikrame taške.
Jei lygybė (6.15) pažeidžiama, tai ir sakome adresu x = xo funkcija f(x) turi tarpas Apsvarstykite funkciją y = 1/x. Šios funkcijos apibrėžimo sritis yra aibė R, išskyrus x = 0. Taškas x = 0 yra aibės D(f) ribinis taškas, nes bet kurioje jos kaimynystėje, t.y. bet kuriame atvirame intervale, kuriame yra taškas 0, yra taškų iš D(f), bet jis pats nepriklauso šiai aibei. Reikšmė f(x o)= f(0) neapibrėžta, todėl taške x o = 0 funkcija turi netolydumą.
Iškviečiama funkcija f(x). ištisinis dešinėje taške x o jei riba
,
Ir ištisinis kairėje taške x o, jei riba
.
Funkcijos tęstinumas taške x o yra lygiavertis jo tęstinumui šioje vietoje tiek dešinėje, tiek kairėje.
Kad funkcija taške būtų ištisinė x o, pavyzdžiui, dešinėje, pirma, būtina, kad būtų baigtinė riba, ir, antra, kad ši riba būtų lygi f(x o). Todėl, jei neįvykdoma bent viena iš šių dviejų sąlygų, funkcija nepertraukiama.
1. Jei riba egzistuoja ir nėra lygi f(x o), tai jie taip sako funkcija f(x) taške x o turi pirmosios rūšies plyšimas, arba šuolis.
2. Jei riba yra+∞ arba -∞ arba neegzistuoja, tada jie sako, kad in tašką x o funkcija turi pertrūkį antra rūšis.
Pavyzdžiui, funkcija y = cot x ties x→ +0 turi ribą, lygią +∞, o tai reiškia, kad taške x=0 jis turi antrojo tipo pertrūkį. Funkcija y = E(x) (sveikasis skaičius x) taškuose, kuriuose yra visos abscisės, yra pirmos rūšies nutrūkimų arba šuolių.
Funkcija, kuri yra ištisinė kiekviename intervalo taške, vadinama tęstinis V . Ištisinė funkcija pavaizduota vientisa kreive.
Daugelis problemų, susijusių su nuolatiniu tam tikro kiekio augimu, veda prie antrosios nepaprastos ribos. Tokie uždaviniai, pavyzdžiui, apima: indėlių augimą pagal sudėtinių palūkanų dėsnį, šalies gyventojų skaičiaus augimą, radioaktyviųjų medžiagų irimą, bakterijų dauginimąsi ir kt.
Pasvarstykime Ya I. Perelman pavyzdys, pateikiant skaičiaus interpretaciją e sudėtinių palūkanų problema. Skaičius e yra riba 
. Taupomosiose kasose prie pagrindinio kapitalo kasmet pridedami palūkanų pinigai. Jei prisijungiama dažniau, kapitalas auga greičiau, nes formuojant palūkanas įtraukiama didesnė suma. Paimkime grynai teorinį, labai supaprastintą pavyzdį. Tegul įneša į banką 100 denų. vienetų remiantis 100% per metus. Jei palūkanų pinigai prie pagrindinio kapitalo pridedami tik po metų, tai iki šio laikotarpio 100 den. vienetų pavirs į 200 piniginių vienetų. Dabar pažiūrėkime, į ką pavirs 100 denizų. vienetų, jei kas šešis mėnesius prie pagrindinio kapitalo pridedami palūkanų pinigai. Po šešių mėnesių 100 den. vienetų išaugs iki 100×
1,5 = 150, o po dar šešių mėnesių - 150×
1,5 = 225 (den. vienetai). Jeigu prisijungiama kas 1/3 metų, tai po metų 100 den. vienetų pavirs į 100× (1 +1/3) 3 colių 237 (den. vnt.). Palūkanų pinigų pridėjimo terminus padidinsime iki 0,1 metų, iki 0,01 metų, iki 0,001 metų ir kt. Tada iš 100 den. vienetų po metų bus:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. vienetai),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. vienetai),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. vienetai).
Neribotai sumažinus palūkanų pridėjimo terminus, sukauptas kapitalas neauga neribotą laiką, o artėja prie tam tikros ribos, lygios maždaug 271. 100% per metus deponuojamas kapitalas negali padidėti daugiau nei 2,71 karto, net jei sukauptos palūkanos buvo pridedami prie sostinės kas sekundę, nes limitas
3.1 pavyzdys.Naudodamiesi skaičių sekos ribos apibrėžimu, įrodykite, kad sekos x n =(n-1)/n riba yra lygi 1.
Sprendimas.Turime tai įrodyti, nesvarbuε > 0, kad ir ką imtume, jam yra natūralusis skaičius N, kad visiems n N galioja nelygybė|x n -1|< ε.
Paimkime bet kurį e > 0. Kadangi ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, tada norint rasti N pakanka išspręsti nelygybę 1/n< e. Taigi n>1/ e ir todėl N gali būti priimta kaip sveikoji 1/ dalis e , N = E(1/ e ). Taip įrodėme, kad riba .
3 pavyzdys.2
. Raskite sekos ribą, nurodytą bendruoju terminu 
.
Sprendimas.Taikykime sumos teoremos ribą ir raskime kiekvieno nario ribą. Kai n→ ∞ kiekvieno nario skaitiklis ir vardiklis yra linkę į begalybę, ir mes negalime tiesiogiai taikyti koeficiento ribos teoremos. Todėl pirmiausia transformuojame x n, padalijus pirmojo nario skaitiklį ir vardiklį iš n 2, o antrasis įjungtas n. Tada, taikydami koeficiento ribą ir sumos teoremos ribą, randame:
.
3.3 pavyzdys. 
. Rasti.
Sprendimas. 
.
Čia panaudojome laipsnio ribos teoremą: laipsnio riba lygi pagrindo ribos laipsniui.
3 pavyzdys.4
. Rasti ( 
).
Sprendimas.Neįmanoma taikyti skirtumo ribos teoremos, nes turime formos neapibrėžtį ∞-∞ . Transformuokime bendrojo termino formulę:
.
3 pavyzdys.5 . Pateikta funkcija f(x)=2 1/x. Įrodykite, kad nėra ribų.
Sprendimas.Naudokime funkcijos ribos apibrėžimą 1 per seką. Paimkime seką ( x n ), konverguojančią į 0, t.y. Parodykime, kad reikšmė f(x n)= skirtingoms sekoms elgiasi skirtingai. Tegu x n = 1/n. Aišku, tada riba 
Dabar pasirinkime kaip x n seka su bendru terminu x n = -1/n, taip pat linkusi į nulį. 
Todėl ribų nėra.
3 pavyzdys.6 . Įrodykite, kad nėra ribų.
Sprendimas.Tegu x 1 , x 2 ,..., x n ,... yra seka, kuriai
. Kaip seka (f(x n)) = (sin x n) veikia skirtingais x n → ∞
Jei x n = p n, tai sin x n = sin p n = 0 visiems n ir riba Jei
x n =2 p n+ p /2, tada sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 visiems n ir todėl riba. Taigi jis neegzistuoja.
Valdiklis limitams skaičiuoti internete
Viršutiniame lange vietoj sin(x)/x įveskite funkciją, kurios ribą norite rasti. Apatiniame lange įveskite skaičių, į kurį linksta x, ir spustelėkite mygtuką Skaičiuoti, gaukite norimą ribą. Ir jei rezultatų lange viršutiniame dešiniajame kampe spustelėsite Rodyti veiksmus, gausite išsamų sprendimą.
Funkcijų įvedimo taisyklės: sqrt(x) – kvadratinė šaknis, cbrt(x) – kubo šaknis, exp(x) – eksponentas, ln(x) – natūralusis logaritmas, sin(x) – sinusas, cos(x) – kosinusas, tan (x) – liestinė, cot(x) – kotangentas, arcsin(x) – arcsinusas, arccos(x) – arkosinas, arctan(x) – arctangentas. Ženklai: * daugyba, / dalyba, ^ eksponencija, vietoj begalybė Begalybė. Pavyzdys: funkcija įvedama kaip sqrt(tan(x/2)).
Ribų teorija yra viena iš matematinės analizės šakų. Ribų sprendimo klausimas yra gana platus, nes yra daugybė būdų, kaip išspręsti įvairių tipų ribas. Yra dešimtys niuansų ir gudrybių, leidžiančių išspręsti tą ar kitą ribą. Nepaisant to, mes vis tiek stengsimės suprasti pagrindinius apribojimų tipus, su kuriais dažniausiai susiduriama praktikoje.
Pradėkime nuo pačios ribos sąvokos. Bet pirmiausia trumpas istorinis fonas. XIX amžiuje gyveno prancūzas Augustinas Luisas Koši, kuris griežtai apibrėžė daugelį matano sąvokų ir padėjo jos pamatus. Reikia pasakyti, kad šis gerbiamas matematikas buvo, yra ir bus visų fizikos ir matematikos katedrų studentų košmaruose, nes jis įrodė daugybę matematinės analizės teoremų, o viena teorema yra mirtingesnė už kitą. Šiuo atžvilgiu mes dar nesvarstysime Koši ribos nustatymas, bet pabandykime padaryti du dalykus:
1. Supraskite, kas yra riba.
2. Išmokite spręsti pagrindinius ribų tipus.
Atsiprašau už kai kuriuos nemoksliškus paaiškinimus, svarbu, kad medžiaga būtų suprantama net arbatinukui, o tai iš tikrųjų yra projekto užduotis.
Taigi kokia yra riba?
Ir tik pavyzdys, kodėl apšiurusią močiutę...
Bet kokia riba susideda iš trijų dalių:
1) Gerai žinoma ribos piktograma.
2) Įrašai po ribos piktograma, šiuo atveju . Įrašas skelbia „X linkęs į vieną“. Dažniausiai - tiksliai, nors vietoje „X“ praktikoje yra kiti kintamieji. Praktinėse užduotyse vieno vieta gali būti absoliučiai bet koks skaičius, taip pat begalybė ().
3) Funkcijos po ribiniu ženklu, šiuo atveju .
Pats įrašas 
skamba taip: „funkcijos riba kaip x linkusi į vienybę“.
Pažvelkime į kitą svarbų klausimą – ką reiškia posakis „x“? stengiasi vienam"? O ką išvis reiškia „stengtis“?
Ribos sąvoka yra sąvoka, taip sakant, dinamiškas. Sukurkime seką: pirmiausia , tada , , …, 
, ….
Tai yra, posakis „x stengiasiį vieną“ turėtų būti suprantama taip: „x“ nuosekliai perima vertybes kurios artėja prie vienybės be galo artimos ir praktiškai su ja sutampa.
Kaip išspręsti aukščiau pateiktą pavyzdį? Remiantis tuo, kas išdėstyta aukščiau, jums tereikia pakeisti vieną į funkciją po ribos ženklu:
Taigi, pirmoji taisyklė: Kai suteikiama kokia nors riba, pirmiausia mes tiesiog bandome prijungti skaičių prie funkcijos.
Mes svarstėme paprasčiausią ribą, tačiau jos pasitaiko ir praktikoje, ir ne taip jau retai!
Pavyzdys su begalybe:
Išsiaiškinkime, kas tai yra? Tai yra atvejis, kai jis didėja neribotai, tai yra: pirma, tada, tada, tada ir taip toliau iki begalybės.
Kas šiuo metu nutinka funkcijai?
, , 
, …
Taigi: jei , tada funkcija linkusi į minus begalybę:
Grubiai tariant, pagal pirmąją mūsų taisyklę vietoj „X“ į funkciją pakeičiame begalybę ir gauname atsakymą.
Kitas pavyzdys su begalybe:
Vėl pradedame didėti iki begalybės ir pažvelgti į funkcijos elgseną: 
Išvada: kai funkcija be apribojimų didėja:
Ir dar viena pavyzdžių serija:
Pabandykite mintyse išanalizuoti šiuos dalykus ir prisiminti paprasčiausius ribų tipus:
, , , , 
, , , , 
,
Jei turite kokių nors abejonių, galite pasiimti skaičiuotuvą ir šiek tiek pasitreniruoti.
Tuo atveju pabandykite sukurti seką , , . Jei , tada , , .
! Pastaba: Griežtai kalbant, toks kelių skaičių sekų konstravimo būdas yra neteisingas, tačiau paprasčiausių pavyzdžių supratimui visai tinka.
Taip pat atkreipkite dėmesį į toliau pateiktą dalyką. Net jei limitas pateikiamas su dideliu skaičiumi viršuje ar net su milijonu: , tada viskas vienoda 
, nes anksčiau ar vėliau „X“ pradės įgauti tokias milžiniškas vertes, kad palyginus milijonas bus tikras mikrobas.
Ką reikia atsiminti ir suprasti iš aukščiau pateiktų dalykų?
1) Kai suteikiama bet kokia riba, pirmiausia mes tiesiog bandome pakeisti skaičių į funkciją.
2) Turite suprasti ir nedelsiant išspręsti pačias paprasčiausias ribas, pvz 
.
Be to, riba turi labai gerą geometrinę reikšmę. Norint geriau suprasti temą, rekomenduoju perskaityti mokymo medžiagą Elementariųjų funkcijų grafikai ir savybės. Perskaitę šį straipsnį ne tik pagaliau suprasite, kas yra riba, bet ir susipažinsite su įdomiais atvejais, kai funkcijos riba apskritai neegzistuoja!
Praktikoje, deja, dovanų yra mažai. Todėl mes pereiname prie sudėtingesnių ribų. Beje, šioje temoje yra intensyvus kursas pdf formatu, o tai ypač naudinga, jei turite LABAI mažai laiko pasiruošti. Tačiau svetainės medžiaga, žinoma, nėra prastesnė:
Dabar apsvarstysime ribų grupę, kai , o funkcija yra trupmena, kurios skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianario
Pavyzdys:
Apskaičiuokite limitą 
Pagal mūsų taisyklę bandysime į funkciją pakeisti begalybę. Ką mes gauname viršuje? Begalybė. O kas vyksta žemiau? Taip pat begalybė. Taigi mes turime tai, kas vadinama rūšies neapibrėžtumu. Galima manyti, kad , ir atsakymas yra paruoštas, tačiau apskritai taip nėra, ir būtina taikyti tam tikrą sprendimo techniką, kurią mes dabar apsvarstysime.
Kaip išspręsti tokio tipo ribas?
Pirmiausia žiūrime į skaitiklį ir randame didžiausią galią: 
Pirmaujanti galia skaitiklyje yra du.
Dabar žiūrime į vardiklį ir randame jį iki didžiausios galios: 
Didžiausias vardiklio laipsnis yra du.
Tada pasirenkame didžiausią skaitiklio ir vardiklio laipsnį: šiame pavyzdyje jie yra vienodi ir lygūs dviem.
Taigi, sprendimo būdas yra toks: norint atskleisti neapibrėžtumą, reikia skaitiklį ir vardiklį padalyti iš didžiausios laipsnio.
Štai atsakymas ir visai ne begalybė.
Kas iš esmės svarbu priimant sprendimą?
Pirmiausia nurodome neapibrėžtumą, jei toks yra.
Antra, patartina pertraukti sprendimą dėl tarpinių paaiškinimų. Dažniausiai naudoju ženklą, jis neturi jokios matematinės reikšmės, o reiškia, kad sprendimas pertraukiamas tarpiniam paaiškinimui.
Trečia, limite patartina pažymėti, kas kur vyksta. Kai darbas braižomas ranka, patogiau tai padaryti taip: 
Užrašams geriau naudoti paprastą pieštuką.
Žinoma, jūs neprivalote to daryti, bet galbūt tada mokytojas nurodys sprendimo trūkumus arba pradės užduoti papildomų klausimų apie užduotį. Ar tau to reikia?
2 pavyzdys
Raskite ribą 
Vėlgi skaitiklyje ir vardiklyje randame aukščiausią laipsnį: 
Maksimalus skaitiklio laipsnis: 3
Didžiausias vardiklio laipsnis: 4
Pasirinkite didžiausias vertės, šiuo atveju keturios.
Pagal mūsų algoritmą, kad atskleistume neapibrėžtumą, skaitiklį ir vardiklį padalijame iš .
Visa užduotis gali atrodyti taip:
Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš
3 pavyzdys
Raskite ribą 
Didžiausias „X“ laipsnis skaitiklyje: 2
Didžiausias „X“ laipsnis vardiklyje: 1 (gali būti parašytas kaip)
Norint atskleisti neapibrėžtumą, skaitiklį ir vardiklį reikia padalyti iš . Galutinis sprendimas gali atrodyti taip:
Padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš
Žymėjimas reiškia ne padalijimą iš nulio (negalite dalyti iš nulio), o dalijimą iš begalinio skaičiaus.
Taigi, atskleidę rūšių neapibrėžtumą, mes galime tai padaryti galutinis skaičius, nulis arba begalybė.
Ribos su tipo neapibrėžtumu ir jų sprendimo būdu
Kita ribų grupė yra šiek tiek panaši į ką tik nagrinėtas ribas: skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianario, bet „x“ nebelinksta į begalybę, o baigtinis skaičius.
4 pavyzdys
Išspręskite ribą 
Pirmiausia pabandykime trupmeną pakeisti -1: 
Tokiu atveju gaunamas vadinamasis neapibrėžtumas.
Bendra taisyklė: jei skaitiklyje ir vardiklyje yra daugianario ir yra formos neapibrėžtumas , tada jį atskleisti reikia apskaičiuoti skaitiklį ir vardiklį.
Norėdami tai padaryti, dažniausiai reikia išspręsti kvadratinę lygtį ir (arba) naudoti sutrumpintas daugybos formules. Jei šie dalykai buvo pamiršti, apsilankykite puslapyje Matematinės formulės ir lentelės ir perskaitykite mokymo medžiagą Karštos formulės mokykliniam matematikos kursui. Beje, geriausia jį spausdinti labai dažnai, o informacija geriau įsisavinama iš popieriaus.
Taigi, išspręskime savo limitą 
Padalinkite skaitiklį ir vardiklį
Norėdami apskaičiuoti skaitiklį, turite išspręsti kvadratinę lygtį: 
Pirmiausia randame diskriminantą:
Ir jo kvadratinė šaknis: .
Jei diskriminantas yra didelis, pavyzdžiui, 361, mes naudojame skaičiuotuvą, kurio kvadratinės šaknies ištraukimas yra paprasčiausias skaičiuotuvas.
! Jei šaknis išgaunama ne visa (gaunamas trupmeninis skaičius su kableliu), labai tikėtina, kad diskriminantas buvo apskaičiuotas neteisingai arba užduotyje buvo rašybos klaida.
Toliau randame šaknis: 
Taigi:
Visi. Skaitiklis suskaidytas į koeficientus.
Vardiklis. Vardiklis jau yra pats paprasčiausias veiksnys, ir jo niekaip negalima supaprastinti.
Akivaizdu, kad jis gali būti sutrumpintas iki:
Dabar mes pakeičiame -1 į išraišką, kuri lieka po ribos ženklu:
Natūralu, kad atliekant testą, testą ar egzaminą sprendimas niekada nėra parašytas taip išsamiai. Galutinėje versijoje dizainas turėtų atrodyti maždaug taip:
Suskaičiuokime skaitiklį faktoriais. 
5 pavyzdys
Apskaičiuokite limitą 
Pirma, sprendimo „baigti“ versija
Suskaičiuokime skaitiklį ir vardiklį.
Skaitiklis:
Vardiklis: 
, 
Kas svarbu šiame pavyzdyje?
Pirma, jūs turite gerai suprasti, kaip atskleidžiamas skaitiklis, pirmiausia iš skliaustų paėmėme 2, o tada panaudojome kvadratų skirtumo formulę. Tai formulė, kurią reikia žinoti ir pamatyti.
Rekomendacija: Jei limite (beveik bet kokio tipo) galima ištraukti skaičių iš skliaustų, tai mes visada tai darome.
Be to, tokius skaičius patartina perkelti už ribos piktogramos. Už ką? Taip, tik tam, kad jie netrukdytų. Svarbiausia neprarasti šių skaičių vėliau sprendimo metu.
Atkreipkite dėmesį, kad paskutiniame sprendimo etape iš ribinės piktogramos išėmiau du, o tada minusą.
! Svarbu
Sprendimo metu tipo fragmentas pasitaiko labai dažnai. Sumažinkite šią dalįtai draudžiama
. Pirmiausia reikia pakeisti skaitiklio arba vardiklio ženklą (iš skliaustų dėkite -1).
, tai yra, atsiranda minuso ženklas, į kurį atsižvelgiama skaičiuojant limitą ir jo visai nereikia prarasti.
Apskritai pastebėjau, kad dažniausiai ieškant tokio tipo ribas tenka išspręsti dvi kvadratines lygtis, tai yra, tiek skaitiklyje, tiek vardiklyje yra kvadratiniai trinadžiai.
Skaitiklio ir vardiklio dauginimo iš konjuguotos išraiškos metodas
Mes ir toliau svarstome formos neapibrėžtumą
Kitas apribojimų tipas yra panašus į ankstesnį. Vienintelis dalykas, be daugianarių, pridėsime šaknis.
6 pavyzdys
Raskite ribą 
Pradėkime spręsti.
Pirmiausia bandome pakeisti 3 į išraišką po ribos ženklu
Dar kartą pakartosiu – tai pirmas dalykas, kurį reikia padaryti norint BET KOKIĄ limitą. Šis veiksmas paprastai atliekamas mintyse arba juodraštyje.
Gautas formos neapibrėžtumas, kurį reikia pašalinti. 
Kaip tikriausiai pastebėjote, mūsų skaitiklyje yra šaknų skirtumas. O matematikoje įprasta, jei įmanoma, atsikratyti šaknų. Už ką? O be jų gyventi lengviau.
Tipo ir rūšies neapibrėžtis yra dažniausiai pasitaikantys neapibrėžtumai, kuriuos reikia atskleisti sprendžiant ribas.
Dauguma ribinių problemų, su kuriomis susiduria studentai, yra būtent tokie neapibrėžtumai. Norint juos atskleisti arba, tiksliau, išvengti neaiškumų, yra keletas dirbtinių būdų transformuoti po ribinio ženklo išraiškos tipą. Šie metodai yra tokie: skaitiklio ir vardiklio padalijimas pagal terminą pagal didžiausią kintamojo laipsnį, dauginimas iš konjugato išraiškos ir faktorinavimas vėlesniam redukavimui, naudojant kvadratinių lygčių sprendimus ir sutrumpintas daugybos formules.
Rūšies neapibrėžtumas
1 pavyzdys.
n yra lygus 2. Todėl skaitiklio ir vardiklio terminą dalijame iš termino iš:
.
Komentuokite dešinėje išraiškos pusėje. Rodyklės ir skaičiai rodo, kokios trupmenos linkusios po pakeitimo n reiškia begalybę. Čia, kaip 2 pavyzdyje, laipsnis n Vardiklyje yra daugiau nei skaitiklyje, todėl visa trupmena būna be galo maža arba „labai maža“.
Gauname atsakymą: šios funkcijos su kintamuoju, linkusiu į begalybę, riba yra lygi .
2 pavyzdys. .
Sprendimas. Čia didžiausia kintamojo galia x yra lygus 1. Todėl dalijame skaitiklio ir vardiklio narį iš termino iš x:
Komentaras apie sprendimo priėmimo eigą. Skaitiklyje po trečiojo laipsnio šaknies įvedame „x“ ir, kad jo pradinis laipsnis (1) liktų nepakitęs, priskiriame jam tokį patį laipsnį kaip ir šaknies, tai yra 3. Nėra jokių rodyklių ar papildomų skaičių šiame įraše, todėl pabandykite mintyse, bet pagal analogiją su ankstesniu pavyzdžiu nustatykite, kokios yra skaitiklio ir vardiklio išraiškos, pakeitus begalybę vietoj „x“.
Gavome atsakymą: šios funkcijos su kintamuoju, linkusiu į begalybę, riba lygi nuliui.
Rūšies neapibrėžtumas
3 pavyzdys. Atskleiskite netikrumą ir raskite ribą.
Sprendimas. Skaitiklis yra kubelių skirtumas. Paskaičiuokime jį faktoriais naudodami sutrumpintą daugybos formulę iš mokyklinio matematikos kurso:
Vardiklyje yra kvadratinis trinaris, kurį suskaidysime išspręsdami kvadratinę lygtį (dar kartą nuoroda į kvadratinių lygčių sprendimą):
Užrašykime išraišką, gautą atlikus transformacijas, ir raskime funkcijos ribą:
4 pavyzdys. Išlaisvinkite netikrumą ir raskite ribą
Sprendimas. Dalinio ribos teorema čia netaikoma, nes
Todėl trupmeną transformuojame identiškai: skaitiklį ir vardiklį padauginame iš dvinario konjugato su vardikliu ir sumažiname x+1. Pagal 1 teoremos išvadą gauname išraišką, kurią išsprendę randame norimą ribą:
5 pavyzdys. Išlaisvinkite netikrumą ir raskite ribą
Sprendimas. Tiesioginis vertės pakeitimas x= 0 į tam tikrą funkciją lemia 0/0 formos neapibrėžtį. Norėdami tai atskleisti, atliekame identiškas transformacijas ir galiausiai gauname norimą ribą: 
6 pavyzdys. Apskaičiuokite 
Sprendimas: Panaudokime teoremas apie ribas
Atsakymas: 11
7 pavyzdys. Apskaičiuokite 
Sprendimas:šiame pavyzdyje skaitiklio ir vardiklio ribos yra lygios 0:
; 
. Gavome, todėl teorema apie koeficiento ribą negali būti taikoma.
Suskaidykime skaitiklį ir vardiklį, kad trupmeną sumažintume bendru koeficientu, linkusiu į nulį, ir todėl būtų galima taikyti 3 teoremą.
Išplėskime kvadratinį trinarį skaitiklyje naudodami formulę , kur x 1 ir x 2 yra trinalio šaknys. Suskaičiavę faktorių ir vardiklį, sumažinkite trupmeną (x-2), tada pritaikykite 3 teoremą.
Atsakymas:
8 pavyzdys. Apskaičiuokite
Sprendimas: Kai skaitiklis ir vardiklis linkę į begalybę, todėl tiesiogiai taikydami 3 teoremą gauname išraišką , kuri reiškia neapibrėžtumą. Norėdami atsikratyti šio tipo neapibrėžtumo, skaitiklį ir vardiklį turėtumėte padalyti iš didžiausios argumento galios. Šiame pavyzdyje reikia padalyti iš X:
Atsakymas:
9 pavyzdys. Apskaičiuokite 
Sprendimas: x 3:
Atsakymas: 2
10 pavyzdys. Apskaičiuokite 
Sprendimas: Kai skaitiklis ir vardiklis linkę į begalybę. Skaitiklį ir vardiklį padalinkime iš didžiausios argumento galios, t.y. x 5:
= 
Trupmenos skaitiklis linkęs į 1, vardiklis linkęs į 0, taigi trupmena linkusi į begalybę.
Atsakymas:
11 pavyzdys. Apskaičiuokite
Sprendimas: Kai skaitiklis ir vardiklis linkę į begalybę. Skaitiklį ir vardiklį padalinkime iš didžiausios argumento galios, t.y. x 7:
Atsakymas: 0
Darinys.
Funkcijos y = f(x) išvestinė argumento x atžvilgiu vadinama jo prieaugio y ir argumento x prieaugio x santykio riba, kai argumento prieaugis linkęs į nulį: . Jei ši riba yra baigtinė, tada funkcija y = f(x) Sakoma, kad yra diferencijuotas taške x. Jei ši riba egzistuoja, jie sako, kad funkcija y = f(x) turi begalinę išvestinę taške x.
Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestiniai:
1. (const)=0 9.
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
Atskyrimo taisyklės:
a) 
V) 
1 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę 
Sprendimas: Jei antrojo nario išvestinė randama naudojant trupmenų diferenciacijos taisyklę, tai pirmasis narys yra sudėtinga funkcija, kurios išvestinė randama pagal formulę:
Kur tada
Sprendžiant buvo naudojamos šios formulės: 1,2,10,a,c,d.
Atsakymas:
21 pavyzdys. Raskite funkcijos išvestinę 
Sprendimas: abu terminai yra sudėtingos funkcijos, kur pirmasis , , o antrasis , , tada
Atsakymas: 
Išvestinės programos.
1. Greitis ir pagreitis
Tegul funkcija s(t) apibūdina padėtis objektas kokioje nors koordinačių sistemoje momentu t. Tada pirmoji funkcijos s(t) išvestinė yra momentinė greitis objektas:
v=s′=f′(t)
Antroji funkcijos s(t) išvestinė reiškia momentinę pagreitis objektas:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. Tangento lygtis
y-y0=f′(x0)(x-x0),
čia (x0,y0) – liestinės taško koordinatės, f′(x0) – funkcijos f(x) išvestinės reikšmė liestinės taške.
3. Normali lygtis
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
čia (x0,y0) yra taško, kuriame nubrėžta normalioji, koordinatės, f′(x0) yra funkcijos f(x) išvestinės reikšmė šiame taške.
4. Funkcijų padidėjimas ir sumažėjimas
Jei f′(x0)>0, tai taške x0 funkcija didėja. Žemiau esančiame paveikslėlyje funkcija didėja kaip x
Jei f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Vietinis funkcijos ekstremumas
F(x) funkcija turi vietinis maksimumas taške x1, jei yra taško x1 kaimynystė, kad visiems x iš šios kaimynystės galioja nelygybė f(x1)≥f(x).
Panašiai turi ir funkcija f(x). vietinis minimumas taške x2, jei yra taško x2 kaimynystė, kad visiems x iš šios kaimynystės galioja nelygybė f(x2)≤f(x).
6. Kritiniai taškai
Taškas x0 yra kritinis taškas funkcija f(x), jei joje esanti išvestinė f′(x0) lygi nuliui arba neegzistuoja.
7. Pirmas pakankamas ekstremumo egzistavimo požymis
Jei funkcija f(x) didėja (f′(x)>0) visiems x tam tikrame intervale (a,x1] ir mažėja (f′(x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) visiems x iš intervalo )
