Manekenų matematikos ribos: paaiškinimas, teorija, sprendimų pavyzdžiai. Supraskime metodą

Bayeso teorema išsamiai aprašyta atskirame straipsnyje. Tai nuostabus kūrinys, bet jo ilgis – 15 000 žodžių. Tas pats Kalid Azad straipsnio vertimas trumpai paaiškina pačią teoremos esmę.

• Tyrimų ir bandymų rezultatai nėra įvykiai. Yra vėžio diagnozavimo metodas, yra ir pats įvykis – ligos buvimas. Algoritmas patikrina, ar laiške nėra šiukšlių, tačiau įvykis (iš tikrųjų el. pašto šiukšlės atkeliavo) turi būti vertinamas atskirai nuo jo darbo rezultato.
• Testo rezultatuose yra klaidų. Dažnai mūsų tyrimo metodai atskleidžia tai, ko nėra (klaidingas teigiamas), o neaptinka, kas yra (klaidingas neigiamas).
• Testų pagalba gauname tam tikro rezultato tikimybes. Per dažnai žiūrime į bandymų rezultatus ir neatsižvelgiame į metodo klaidas.
• Klaidingai teigiami rezultatai iškraipo vaizdą. Tarkime, kad bandote nustatyti kokį nors labai retą reiškinį (1 atvejis iš 1 000 000). Net jei jūsų metodas yra tikslus, tikėtina, kad jūsų teigiamas rezultatas iš tikrųjų bus klaidingai teigiamas.
• Patogiau dirbti su natūraliaisiais skaičiais. Geriau sakyti: 100 iš 10 000, o ne 1%. Taikant šį metodą bus mažiau klaidų, ypač dauginant. Tarkime, turime toliau dirbti su šiuo 1 proc. Procentų argumentavimas yra gremėzdiškas: „80% atvejų iš 1% buvo teigiamas rezultatas“. Informaciją daug lengviau suvokti taip: „80 atvejų iš 100 buvo pastebėtas teigiamas rezultatas“.
• Net moksle bet koks faktas yra tik metodo taikymo rezultatas.Žvelgiant iš filosofinės pusės, mokslinis eksperimentas yra tik bandymas su galimybe paklysti. Yra metodas, kuris atskleidžia cheminę medžiagą ar kokį nors reiškinį, ir yra pats įvykis – šio reiškinio buvimas. Mūsų bandymo metodai gali duoti klaidingus rezultatus, o visa įranga turi būdingų klaidų.

• Jei žinome įvykio tikimybę ir klaidingų teigiamų bei klaidingų neigiamų rezultatų tikimybę, galime ištaisyti matavimo klaidas.
• Teorema susieja įvykio tikimybę su tam tikro rezultato tikimybe. Galime susieti Pr(A|X): įvykio A tikimybę, atsižvelgiant į rezultatą X, ir Pr(X|A): rezultato X tikimybę, atsižvelgiant į įvykį A.

Supraskime metodą

• 1% visų moterų suserga krūties vėžiu (ir atitinkamai 99% juo neserga)
• 80% mamogramų nustato ligą, kai ji iš tikrųjų egzistuoja (ir atitinkamai 20% jos neaptinka)
• 9,6% tyrimų nustato vėžį, kai jo nėra (ir atitinkamai 90,4% teisingai nustato neigiamą rezultatą)

• 1% moterų suserga krūties vėžiu
• jei pacientui buvo diagnozuota liga, pažiūrėkite į pirmąjį stulpelį: yra 80% tikimybė, kad metodas davė teisingą rezultatą, ir 20% tikimybė, kad tyrimo rezultatas yra neteisingas (klaidingai neigiamas)
• jei paciento liga nenustatyta, žiūrėkite antrą stulpelį. Su 9,6% tikimybe galime teigti, kad teigiamas tyrimo rezultatas yra neteisingas, o su 90,4% tikimybe galime teigti, kad pacientas tikrai sveikas.

Kiek tikslus yra metodas?

Pagalvokime:

• Yra teigiamas rezultatas. Pažvelkime į visus galimus rezultatus: rezultatas gali būti tikras teigiamas arba klaidingas teigiamas.
• Tikimybė gauti tikrą teigiamą rezultatą yra lygi: tikimybė susirgti liga, padauginta iš tikimybės, kad tyrimas iš tikrųjų aptiko ligą. 1% * 80% = 0,008
• Klaidingai teigiamo rezultato tikimybė yra lygi: tikimybei, kad ligos nėra, padauginus iš tikimybės, kad metodas ligą nustatė neteisingai. 99 % * 9,6 % = 0,09504

Įvykio tikimybė = įvykio pasekmės / visi galimi rezultatai

Tikrojo teigiamo rezultato tikimybė yra 0,008. Teigiamo rezultato tikimybė yra tikrojo teigiamo rezultato + klaidingo teigiamo rezultato tikimybė.

(.008 + 0.09504 = .10304)

Taigi, susirgimo tikimybė su teigiamu testo rezultatu apskaičiuojama taip: .008/.10304 = 0.0776. Ši vertė yra apie 7,8%.

Tai yra, teigiamas mamografijos rezultatas reiškia tik tai, kad tikimybė susirgti yra 7,8%, o ne 80% (pastaroji reikšmė yra tik įvertintas metodo tikslumas). Šis rezultatas iš pradžių atrodo nesuprantamas ir keistas, tačiau reikia atsižvelgti: metodas duoda klaidingai teigiamą rezultatą 9,6% atvejų (tai yra gana daug), todėl mėginyje bus daug klaidingai teigiamų rezultatų. Retos ligos atveju dauguma teigiamų rezultatų bus klaidingi teigiami.

Pažvelkime į lentelę ir pabandykime intuityviai suvokti teoremos prasmę. Jei turime 100 žmonių, tik vienas iš jų serga šia liga (1 proc.). Šiam asmeniui yra 80% tikimybė, kad metodas duos teigiamą rezultatą. Iš likusių 99 % 10 % turės teigiamų rezultatų, o tai, grubiai tariant, duoda 10 klaidingų teigiamų rezultatų iš 100. Jei atsižvelgsime į visus teigiamus rezultatus, tai tik 1 iš 11 bus teisingi. Taigi, jei gaunamas teigiamas rezultatas, ligos tikimybė yra 1/11.

Aukščiau paskaičiavome, kad ši tikimybė yra 7,8%, t.y. skaičius iš tikrųjų yra artimesnis 1/13, bet čia, su paprastais argumentais, mes galėjome rasti apytikslį įvertinimą be skaičiuoklės.

Bayeso teorema

• Pr(A|X) = ligos (A) tikimybė, gavus teigiamą rezultatą (X). Būtent tai ir norime žinoti: kokia įvykio tikimybė, jei rezultatas bus teigiamas. Mūsų pavyzdyje tai yra 7,8%.
• Pr(X|A) = teigiamo rezultato (X) tikimybė, kai pacientas tikrai serga (A). Mūsų atveju tai yra tikroji teigiama reikšmė – 80 proc.
• Pr(A) = tikimybė susirgti (1 %)
• Pr(ne A) = tikimybė nesusirgti (99%)
• Pr(X|ne A) = teigiamo tyrimo rezultato tikimybė, jei nėra ligos. Tai klaidingai teigiamų rezultatų rodiklis – 9,6 proc.

Mūsų pavyzdyje Pr(X) yra gana didelis skaičius, nes klaidingų teigiamų rezultatų tikimybė yra didelė.

Pr(X) duoda 7,8 % rezultatą, kuris iš pirmo žvilgsnio atrodo priešingas.

Teoremos prasmė

Šlamšto filtras

Turime:

• įvykis A – šlamštas laiške
• testo rezultatas - tam tikrų žodžių turinys laiške:

Juodojo sąrašo šlamšto filtras turi trūkumų – dažnai duoda klaidingai teigiamų rezultatų.

„Bayes Theorem“ šlamšto filtras naudoja subalansuotą ir protingą metodą: jis veikia su tikimybėmis. Kai analizuojame el. laiško žodžius, galime apskaičiuoti tikimybę, kad el. laiškas yra šlamštas, o ne priimti sprendimus taip/ne. Jei tikimybė, kad laiške yra šlamštas, yra 99%, tada laiškas tikrai toks.

Laikui bėgant filtras apmokomas vis didesnei imčiai ir atnaujina tikimybes. Taigi pažangūs filtrai, sukurti remiantis Bayeso teorema, patikrina daug žodžių iš eilės ir naudoja juos kaip duomenis.

Papildomi šaltiniai:

Žymos: pridėti žymų

Kiekvienas iš mūsų susiduria su tuo, kad jis visą dieną buvo nesuprastas arba iki galo nesuprastas. Liūdniausia, kad daugeliu atvejų kalti esame mes. Jie kalbėjo pilna burna ir, užuot rodę juos žemėlapyje, pradėjo mums pasakoti važiavimo nuorodas. Einšteinas pasakė: " Sunku paprasčiausiai paaiškinti ką nors sudėtingo. Sunku paprastai paaiškinti kompleksą“ Šiek tiek pasistengę paaiškindami, komunikacijos rezultatą galime pagerinti dešimteriopai.

Įsitikinkite, kad esate išgirsti. Pirmoji iš populiarių nesusipratimo priežasčių yra bloga klausa. To priežastys: prasta dikcija, triukšminga vieta arba prastas telefono ryšys. O jei pašnekovas dar ir šneka kulkosvaidžio greičiu, tai jo suprasti tiesiog neįmanoma.

Kalbėkite ta pačia kalba. Įsitikinkite, kad jūs ir kitas asmuo visus vartojamus žodžius suprantate vienodai. Įsivaizduokite, kad nuėjote aplankyti giminaičių už pusantro tūkstančio kilometrų ir jie jūsų prašo: „Atnešk šluotelę“. Kas tai per šluota, vynas ar...? Beje, 90% ginčų galima užgesinti viena fraze: „ Ginčijamės, nes nesusitarėme dėl sąlygų. Aptarkime juos».

Kurti vaizdus. Nepakanka vartoti tuos pačius žodžius. Būtina, kad jie sukurtų vienodus vaizdus kiekvieno iš mūsų galvoje. Koks įvaizdis susidaro išgirdus frazę „protingas žmogus“? Tikriausiai tai yra jūsų pažįstamas žmogus, kuris gali lengvai suprasti jūsų mintis. Esmė ta, kad žodis protingas reiškia tą žmogų, kuris įsivaizduoja vaizdus, ​​atitinkančius tuos, kuriuos pateikiate.

Padarykite analogijas. Dažnai pravartu peržengti pokalbio temą. Iš savo pašnekovo patirties paėmę panašią situaciją galite lengvai paaiškinti sudėtingą temą. Pavyzdžiui, sistemų administratoriai labai dažnai skundžiasi, kad buhalteriai nesuvokia kompiuterių tinklų pagrindų. Nubrėžus analogiją tarp žmonių bendravimo ir sąveikos kompiuteriu, ši problema išnyksta. Serveris – apkalbinė močiutė ant suolo, informacija – gandai. Dabar serveris bus branginamas kaip akies obuolys ir bus paslėptas, jei valdžios institucijos atliks patikrinimą.

Lygiosios. Galima nupiešti beveik bet kokį sudėtingą dalyką. Jei sudėtingumas slypi loginiuose objektų santykiuose, galite naudoti Eulerio apskritimus. Jei esmė ta, kad komponentų tiek daug, kad juose pradedate painioti, galite naudoti minčių kartografavimą. Štai paveikslėlio pavyzdys, kuriame parodyta, kuriai veiklai reikėtų skirti daugiausiai dėmesio:

Užduokite aiškinamuosius klausimus. Nepakanka paaiškinti, taip pat verta patikrinti, ar jus suprato teisingai. Ir idealiu atveju jie tai užsirašė. Atspėjote, kaip vadinasi apskritimų „Ką aš mėgstu daryti“ ir „Ką aš galiu“ sankirta, bet už ką jie negauna atlyginimo?

Laikas pagrįstas sekundėmis, minutėmis ir valandomis.

Nors per visą istoriją šių vienetų pagrindas keitėsi, jų šaknis galima atsekti senovės Šumero valstijoje.

Šiuolaikinį tarptautinį laiko vienetą lemia cezio atomo elektroninis perėjimas. Bet kas yra šis fizinis dydis?

Laikas matuoja įvykių eigą

Laikas yra įvykių eigos matavimas. Fizikai šį dydį apibrėžia kaip įvykių progresavimą iš praeities į dabartį ir į ateitį. Iš esmės, jei sistema yra nekintanti, ji yra už šio rodiklio ribų. Laikas gali būti laikomas ketvirtąja realybės dimensija, naudojama trimatėje erdvėje vykstantiems įvykiams apibūdinti. Tai nėra kažkas, ką galime pamatyti, pajusti ar paragauti, bet galime išmatuoti jo eigą.

Rodyklė rodo, kad laikas juda iš praeities į ateitį, o ne atvirkščiai

Laikrodžio rodyklė rodo, kad laikas juda iš praeities į ateitį, o ne į kitą pusę. Fizinės lygtys veikia vienodai gerai, nesvarbu, ar kiekis eina į ateitį (teigiamas laikas), ar atgal į praeitį (neigiamas laikas). Tačiau gamtos pasaulyje šis kiekis turi vieną kryptį. Klausimas, kodėl tai negrįžtama, yra vienas didžiausių neišspręstų mokslo klausimų.

Vienas iš paaiškinimų yra tas, kad gamtos pasaulis vadovaujasi termodinamikos dėsniais. Antrasis termodinamikos dėsnis teigia, kad uždaroje sistemoje jos entropija išlieka pastovi arba didėja. Jei Visata laikoma uždara sistema, jos entropija (netvarkos laipsnis) niekada negali sumažėti. Kitaip tariant, laikas negali grįžti į tikslią būseną, kurioje buvo anksčiau. Šis kiekis negali judėti atgal.

Sulėtinti arba pagreitinti

Veikiantis laikrodis tiksliai matuoja laiką. Klasikinėje mechanikoje visur vienodai. Tačiau iš specialiųjų ir bendrųjų Einšteino reliatyvumo teorijų žinome, kad kiekis yra santykinė sąvoka. Rodiklis priklauso nuo stebėtojo atskaitos sistemos. Tai gali sukelti subjektyvų lėtėjimą, kai laikas tarp įvykių ilgėja (plečiasi), kuo labiau vienas iš jų artėja prie šviesos greičio.

Judantys laikrodžiai veikia lėčiau nei stacionarūs laikrodžiai, o judantis mechanizmas artėjant prie šviesos greičio efektas tampa ryškesnis. Laikrodžiai Žemės orbitoje fiksuoja laiką lėčiau nei esantys paviršiuje, krisdamos miuonų dalelės nyksta lėčiau, o Michelsono-Morley eksperimentas patvirtino ilgio susitraukimą ir dydžio išsiplėtimą.

Lygiagreti realybė padeda išvengti laiko paradokso keliaujant laiku

Kelionės laiku paradokso galima išvengti keliaujant į paralelinę tikrovę. Kelionė reiškia judėjimą pirmyn arba atgal skirtingu laiku, lygiai taip pat, kaip galite judėti tarp skirtingų erdvės taškų. Gamtoje vyksta šokinėjimas laike. Kosminėje stotyje esantys astronautai grįždami į Žemę patiria pagreitį ir sulėtėja stoties atžvilgiu.

Esamos problemos

Tačiau kelionės laiku sukelia problemų. Vienas iš jų yra priežastinis ryšys arba priežasties ir pasekmės ryšys. Judėjimas atgal gali sukelti laiko paradoksą.

Senelio paradoksas yra klasikinis mokslo pavyzdys. Anot jo, jei grįšite ir nužudysite senelį prieš gimstant mamai ar tėčiui, galite užkirsti kelią savo gimimui.

Daugelis fizikų mano, kad kelionės laiku į praeitį yra neįmanomos, tačiau yra paradokso sprendimų, pavyzdžiui, kelionės tarp lygiagrečių Visatų ar šakos taškų.

Fizinio kiekio suvokimas

Senėjimas turi įtakos laiko suvokimui, nors mokslininkai su šiuo klausimu nesutinka. Žmogaus smegenys sugeba sekti laiką. Suprachiazminiai smegenų branduoliai yra sritis, atsakinga už kasdienius ar cirkadinius natūralius ritmus. Neurostimuliatoriai ir vaistai reikšmingai veikia jo suvokimą. Dėl cheminių medžiagų, kurios sužadina neuronus, jie greičiau funkcionuoja, o neuronų aktyvumo mažinimas lėtina laiko suvokimą.

Iš esmės, kai atrodo, kad viskas aplinkui įsibėgėja, smegenys per tam tikrą intervalą sukuria daugiau įvykių. Šiuo atžvilgiu laikas tikrai lekia, kai tau smagu. Tačiau atrodo, kad jis sulėtėja ekstremalios situacijos ar pavojaus metu.

Hiustono Bayloro medicinos koledžo mokslininkai teigia, kad smegenys iš tikrųjų nepagreitina, tačiau tokia sritis kaip migdolinis kūnas tampa aktyvesnis. Migdolinis kūnas yra smegenų dalis, atsakinga už prisiminimų kūrimą. Kai formuojasi vis daugiau prisiminimų, laikas, atrodo, užsitęsia.

Tas pats reiškinys paaiškina, kodėl vyresni žmonės laiką suvokia greičiau nei būdami jaunesni. Psichologai mano, kad smegenys formuoja daugiau prisiminimų apie naujas patirtis nei pažįstamas. Kadangi vėlesniame gyvenime atsiranda vis mažiau naujų prisiminimų, atrodo, kad vyresnio žmogaus suvokime laikas bėga greičiau.

Laiko pradžia ir pabaiga

Vis daugiau mokslininkų linkę manyti, kad mūsų Visata gimė dėl galingo tam tikro įprastinio taško sprogimo, kuriame nebuvo pastebėti tokie rodikliai kaip masė, laikas ir erdvė.

Astronomas Stephenas Hawkingas ir jo Kembridžo kolega Neilas Turokas teigia, kad kilo originali idėja, iš kurios gimė šis žodis. Šios dvi sąvokos apėmė laiką ir erdvę.

Nežinia, ar laikas turi pradžią ar pabaigą. Kalbant apie Visatą, laikas joje prasidėjo. Pradinis taškas buvo prieš 13 799 milijardus metų, kai įvyko Didysis sprogimas. Šio proceso įrodymas yra reliktinė spinduliuotė erdvėje ir besitraukiančių galaktikų padėtis. Šiuo metu pradeda vykti perėjimai iš vieno natūralios organizacijos lygmens į kitą – iš branduolio į atomą, o vėliau į molekulę, iš kurios atsirado gyvoji medžiaga.

Kosminę foninę spinduliuotę galime išmatuoti kaip mikrobangas iš Didžiojo sprogimo, tačiau ankstesnės kilmės spinduliuotės nepastebėta.

Vienas argumentas apie laiko kilmę yra tas, kad jei jis neribotai plėstųsi, tada naktinis dangus būtų užpildytas senų žvaigždžių šviesa.

Ar bus laiko pabaiga?

Atsakymas į šį klausimą nežinomas. Jei Visata plėsis amžinai, laikas tęsis. Jei įvyks naujas Didysis sprogimas, mūsų laiko juosta baigsis ir prasidės naujas atgalinis skaičiavimas. Dalelių fizikos eksperimentuose atsitiktinės dalelės išnyra iš vakuumo, todėl atrodo, kad visata netaps statiška ar nesenstanti. Laikas parodys…

Kas yra dalelių fizika?

Paulas Sorensonas

fizikas

„Smulkius daiktus stumiame kartu, kad suskirstytume juos į dar mažesnius dalykus, kol gauname mažiausią įmanomą dalyką. Taip sužinosime, iš ko susideda visa materija.

Kas yra Higso bozonas?

fizikas

„Viskas aplink mus yra sudaryta iš mažų dalių, pavyzdžiui, „Lego“. Tačiau patys šie kubo daiktai judėtų neįtikėtinai greitai, kaip žaibas. Negalėtume gyventi tokiame pasaulyje – tai būtų visiška beprotybė! Taigi mokslininkai suprato, kad turi būti kažkas, kas viską sulėtina. Kažkas panašaus į klijus, kurie neleidžia daiktams subyrėti greičiau, nei galime mirktelėti. Atkreipkite dėmesį, kaip greitai šviesa pasklinda po kambarį, kai įjungiame lempą. Tačiau dauguma kitų dalykų negali judėti taip greitai. Ir šiuos klijus labai sunku pamatyti. Tam buvo panaudotos milžiniškos mašinos ir didžiulis energijos kiekis – tik tada galėjome tai pamatyti ir dabar tikrai žinome, kad jis tikrai egzistuoja.

Kas yra Higso mechanizmas?

Davidas Milleris

fizikas

„Įsivaizduokite kokteilių vakarėlį: dalyvaujantys politikai tolygiai pasiskirstę po kambarį, visi šnekučiuojasi su artimiausiais kaimynais. Buvusi premjerė įeina į kambarį, o artimiausi kolegos iš karto veržiasi link jos, suformuodami aplink ją minią.<…>Dėl nuolatinės žmonių minios aplinkui jis įgauna daugiau masės nei įprastai, tai yra, turi didesnę inerciją tuo pačiu judėjimo greičiu po patalpą. Kai ji pradės judėti, jai bus sunku sustoti, o kai ji sustos, jai bus sunku vėl pradėti judėti. Trimatėje erdvėje ir atsižvelgiant į visas reliatyvistines komplikacijas, tai yra Higgso mechanizmas. Norėdami elementariosioms dalelėms suteikti masę, įvedame papildomą foninį lauką, kuris dalelėms judant juo lokaliai iškreipiamas. Šis iškraipymas – lauko susikaupimas aplink dalelę – sukelia jos masę.

Kaip veikia imunitetas?
ir kas yra C tipo lektinai

Ana Lobato

imunologas

„Mūsų organizmas labai nemėgsta svečių, ypač tų, kurie neatrodo kaip draugai. Kai kas nors patenka į vidų, mūsų ląstelės „žiūri“ į juos skirtingomis akimis. Skirtingos „akys“ mato skirtingas formas ir formas, todėl gali suprasti, kokie jie ateiviai ir ką su jais daryti. Jie nėra kaip paprastos akys, bet veikia kaip mažos rankytės, liečiančios daiktus. Aš tyrinėju tik vieną šių „akių“ tipą, kuris „mato“ keistus dalykus, pavyzdžiui, pelėsį, augantį ant sugedusio maisto. Tačiau šios „akys“ ne viską daro vienos. Jie turi daug draugų ir pagalbininkų, ir kuo jų daugiau, tuo geriau. Kartu jie puola nepažįstamąjį ir jį suvalgo. Pavalgę jie parodo likučius savo draugams, kad žinotų, su kuriais blogiukais verta kovoti. Taip mūsų kūnas apsaugo mus nuo ligų“.

Kiek galingas gali būti kvantinis kompiuteris?

Umesh Vazirani

Kalifornijos universiteto profesorius

„Yra senovės legenda. Mano nuomone, tai apie Birbalą, didįjį Mogolų imperatoriaus Akbaro rūmų vizirą. Imperatorius buvo taip patenkintas savo tarnyba, kad paklausė, kokią dovaną galėtų įteikti jam padėkoti. Ministras atsakė linkėdamas ryžių. Jis paprašė įdėti vieną grūdą į pirmąjį šachmatų lentos langelį, du ant antrojo, keturis ant trečio ir tt Iždininkas pradėjo skaičiuoti ryžių grūdus ir jiems dar nepasiekus šachmatų lentos galo, visas tvartas buvo sukrautas. tuščias. Lygiai taip pat kvantinio skaičiavimo algoritmas rodo eksponentinį galios padidėjimą.

Kaip vizualizuoti juodąją skylę?

Robertas Frostas

specialistas
pagal edukacinius nurodymus

„Paimkite didelį gabalą maistinės plėvelės, ištempkite ją rankose ir į centrą įdėkite mažą rutuliuką, kad dėl savo svorio susidarytų įlinkis. Įlašinkite kelis lašus vandens ant paklodės ir stebėkite, kaip jie nurieda plėvelę tiesiai į rutulį. Tai parodys, kaip veikia gravitacija. Nuimkite rutulį ir leiskite vaikui pirštu pajusti plėvelę ir suprasti – kuo labiau trauksite atgal (kuo objektas sunkesnis), tuo stipresnis pasirodo piltuvas. Tada paprašykite vaiko padaryti skylę plėvelės viduryje, kuri atvaizduotų labai labai sunkų daiktą. Pro šią skylę praslys vandens lašai. Pasirodo, juodoji skylė yra toks sunkus objektas, kad sulenkia erdvę. Viskas, kas į jį patenka (kaip lašai) niekada negrįžta“.

Kodėl bankas žlugo
Lehman Brothers

(2008 m. pasaulinės ekonomikos krizės pradžios taškas)?

Natanas Myersas

ekonomistas

„Vienas vaikinas parduotuvėje nusipirko 10 „Snickers“ už 1 dolerį ir per dieną mokykloje pardavė už 1,50 USD. Jis manė, kad jei tai būtų taip paprasta, kitą dieną galėtų parduoti 100 šokoladukų. Norėdamas nusipirkti 100 „Snickers“, jis turėjo pasiskolinti 10 USD iš draugų. Tačiau kai kitą dieną atėjo į mokyklą, salėje jau stovėjo automatas, kuriame buvo parduodami šokoladai už 75 centus. Žinoma, niekas nenorėjo jų iš jo pirkti už 1,50 dolerio, todėl ir jis turėjo kainą sumažinti iki 75 centų. Dėl to pinigų, kuriuos jam pavyko gauti, net nepakako grąžinti savo skolas draugams, ir jie jį sumušė.

Kaip staiga atsirado visos šiuolaikinės gyvūnų grupės?

Markas Sruras

paleontologas

„Prieš 545 milijonus metų planetoje staiga atsirado visos šiuolaikinės gyvūnų grupės (išskyrus kempinėles ir medūzas, kurios pasirodė anksčiau).Šį reiškinį, vadinamą Kambro sprogimu, paaiškinti nelengva, nes jis susijęs su daugybe veiksnių.

Pirma, verta palyginti kriogeno ir ediakaro laikotarpių žemę. Pirmajame jis priminė didžiulę sniego gniūžtę, o antrajame pradėjo šildyti. Šiltame klimate gyvūnams pasidarė lengviau vystytis. Dėl to, kad tada tarp jų nebuvo konkurencijos, jie pradėjo įgauti pačias keisčiausias formas. Kai kurie evoliuciniai eksperimentai mums išliko tik fosilijų pavidalu. Kiti buvo sėkmingesni, ir šie gyvūnai perdavė informaciją kitiems, kaip geriau susikurti savo kūną.

Dėl aiškumopaimkite penkis vienodus dizainus
iš lego kaladėlių

Aiškumo dėlei paimkite penkias identiškas konstrukcijas, pagamintas iš „Lego“ kaladėlių. Jie reprezentuos tas būtybes, kurias randame Kambro laikotarpio pradžioje. Tada atsitiktinai pridėkite prie jų išsamią informaciją. Kiekvienas pridėtas blokas parodys sėkmingą evoliucinį eksperimentą. Net pridėję tris dalis prie kiekvienos struktūros pamatysite, kaip pradeda skirtis jų tipai, ir kuo daugiau kubelių pridėsite, tuo struktūros bus mažiau panašios viena į kitą.

Tai intuityvus paaiškinimas to, ką vadiname vystymosi kanalizacija, nesigilinant į mokslines vystymosi genetikos ir makroevoliucinės dinamikos džiungles. Lego eksperimentas parodo, kaip per natūralią atranką sėkmingi bruožai įsitvirtina ir gyvūnų kūno struktūra ima negrįžtamai skirtis. Taip atsitiko per Kambro sprogimą, kuris padėjo pagrindą šiuolaikinei biologinei įvairovei.

Anot fizikų, papildomi erdviniai matmenys, jei jie tikrai egzistuoja, yra sugriauti. Grįžtant prie skruzdžių pavyzdžio, galime susukti popieriaus lapą taip, kad jis suformuotų cilindrą. Tokiu atveju, jei skruzdėlė pradeda šliaužioti viena kryptimi, ji ilgainiui grįš į tašką, nuo kurio pradėjo. Tai sutankinto matmens pavyzdys. Jei skruzdėlė šliaužioja lygiagrečiai cilindro ilgiui, ji niekada negrįš į pradinį tašką (ypač jei įsivaizduosime, kad popierinis cilindras yra be galo ilgas). Tai yra „plokščio“ matavimo pavyzdys. Pagal stygų teoriją, mes gyvename pasaulyje, kuriame trys pažįstami erdvės matmenys yra „plokščias“; bet yra papildomų matmenų, kurie susukti į labai mažą spindulį 10 cm prie -30 laipsnių ar net mažiau“.

Ribos visiems matematikos mokiniams kelia daug rūpesčių. Norint išspręsti ribą, kartais tenka panaudoti daugybę gudrybių ir iš daugybės sprendimo būdų pasirinkti būtent tą, kuris tinka konkrečiam pavyzdžiui.

Šiame straipsnyje mes nepadėsime suprasti savo galimybių ribų ar suvokti valdymo ribas, bet pabandysime atsakyti į klausimą: kaip suprasti ribas aukštojoje matematikoje? Supratimas ateina su patirtimi, todėl tuo pačiu pateiksime keletą detalių ribų sprendimo pavyzdžių su paaiškinimais.

Ribos samprata matematikoje

Pirmas klausimas: kas yra ši riba ir kokia riba? Galime kalbėti apie skaitinių sekų ir funkcijų ribas. Mus domina funkcijos ribos samprata, nes su ja dažniausiai susiduria studentai. Bet pirmiausia bendriausias ribos apibrėžimas:

Tarkime, kad yra tam tikra kintamoji reikšmė. Jei ši vertė keitimosi procese neribotai artėja prie tam tikro skaičiaus a , Tai a – šios vertės riba.

Tam tikrame intervale apibrėžtai funkcijai f(x)=y toks skaičius vadinamas limitu A , kurią funkcija linkusi kada X , linkę į tam tikrą tašką A . Taškas A priklauso intervalui, kuriame apibrėžiama funkcija.

Tai skamba sudėtingai, bet parašyta labai paprastai:

Lim- iš anglų kalbos riba- riba.

Taip pat yra geometrinis ribos nustatymo paaiškinimas, tačiau čia nesigilinsime į teoriją, nes mus labiau domina praktinė, o ne teorinė klausimo pusė. Kai mes tai sakome X linkęs į tam tikrą reikšmę, tai reiškia, kad kintamasis neįgyja skaičiaus reikšmės, o artėja prie jo be galo arti.

Pateiksime konkretų pavyzdį. Užduotis – rasti ribą.

Norėdami išspręsti šį pavyzdį, pakeičiame vertę x=3 į funkciją. Mes gauname:

Beje, jei jus domina, perskaitykite atskirą straipsnį šia tema.

Pavyzdžiuose X gali turėti bet kokią vertę. Tai gali būti bet koks skaičius arba begalybė. Štai pavyzdys, kai X linkęs į begalybę:

Intuityviai suprantama, kad kuo didesnis skaičius vardiklyje, tuo mažesnė reikšmė bus funkcija. Taigi, su neribotu augimu X prasmė 1/x sumažės ir priartės prie nulio.

Kaip matote, norint išspręsti ribą, tereikia į funkciją pakeisti reikšmę, kurios reikia siekti X . Tačiau tai yra paprasčiausias atvejis. Dažnai rasti ribą nėra taip akivaizdu. Ribose yra tipo neapibrėžtumo 0/0 arba begalybė / begalybė . Ką daryti tokiais atvejais? Pasinaudokite gudrybėmis!

Neaiškumai viduje

Formos begalybė/begalybė neapibrėžtumas

Tegul yra riba:

Jei bandysime į funkciją pakeisti begalybę, gausime begalybę ir skaitiklyje, ir vardiklyje. Apskritai verta pasakyti, kad sprendžiant tokius neapibrėžtumus yra tam tikras meno elementas: reikia pastebėti, kaip galite pakeisti funkciją taip, kad neapibrėžtumas išnyktų. Mūsų atveju skaitiklį ir vardiklį padalijame iš X vyresnysis laipsnis. Kas atsitiks?

Iš jau aptarto pavyzdžio žinome, kad terminai, kurių vardiklyje yra x, bus linkę į nulį. Tada ribos sprendimas yra toks:

Norėdami išspręsti tipo neapibrėžtumus begalybė / begalybė skaitiklį ir vardiklį padalinkite iš X iki aukščiausio laipsnio.

Beje! Mūsų skaitytojams dabar taikoma 10% nuolaida

Kitas neapibrėžtumo tipas: 0/0

Kaip visada, pakeičiant reikšmes į funkciją x=-1 duoda 0 skaitiklyje ir vardiklyje. Pažvelkite šiek tiek atidžiau ir pastebėsite, kad skaitiklyje yra kvadratinė lygtis. Raskime šaknis ir parašykime:

Sumažinkime ir gaukime:

Taigi, jei susiduriate su tipo netikrumu 0/0 – koeficientas skaitiklis ir vardiklis.

Kad jums būtų lengviau spręsti pavyzdžius, pateikiame lentelę su kai kurių funkcijų ribomis:

L'Hopital taisyklė viduje

Kitas veiksmingas būdas pašalinti abiejų tipų neapibrėžtumą. Kokia metodo esmė?

Jei riboje yra neapibrėžtumo, imkite skaitiklio ir vardiklio išvestinę, kol neapibrėžtis išnyks.

L'Hopital taisyklė atrodo taip:

Svarbus punktas : riba, kurioje vietoj skaitiklio ir vardiklio turi būti skaitiklio ir vardiklio išvestiniai.

O dabar – tikras pavyzdys:

Yra tipiškas neapibrėžtumas 0/0 . Paimkime skaitiklio ir vardiklio išvestinius:

Voila, netikrumas išsprendžiamas greitai ir elegantiškai.

Tikimės, kad šią informaciją galėsite naudingai pritaikyti praktikoje ir rasti atsakymą į klausimą „kaip išspręsti ribas aukštojoje matematikoje“. Jei jums reikia apskaičiuoti sekos ribą arba funkcijos ribą taške, o šiam darbui visiškai nėra laiko, kreipkitės į profesionalų studentų servisą dėl greito ir išsamaus sprendimo.