Pašalinių šaknų atsiradimo priežastys sprendžiant lygtis. Pamoka „Lygčių lygiavertiškumas Šaknų tikrinimas

Gali atsirasti vadinamųjų pašalinių šaknų. Šiame straipsnyje mes pirmiausia išsamiai išanalizuosime, kas yra pašalinės šaknys. Antra, pakalbėkime apie jų atsiradimo priežastis. Ir trečia, naudodamiesi pavyzdžiais, apsvarstysime pagrindinius pašalinių šaknų filtravimo būdus, tai yra, patikrinkite šaknis, ar tarp jų nėra pašalinių, kad jas neįtrauktume į atsakymą.

Pašalinės lygties šaknys, apibrėžimas, pavyzdžiai

Mokykliniai algebros vadovėliai nepateikia pašalinės šaknies apibrėžimo. Ten pašalinės šaknies idėja suformuojama aprašant tokią situaciją: kai kurių lygties transformacijų pagalba pereinama nuo pradinės lygties prie kooliarinės lygties, randamos gautos koroliarinės lygties šaknys. , o rastos šaknys tikrinamos pakeičiant į pradinę lygtį, kuri parodo, kad kai kurios rastos šaknys nėra pradinės lygties šaknys, šios šaknys vadinamos pašalinėmis pradinės lygties šaknimis.

Pradėdami nuo šios bazės, galite priimti tokį pašalinės šaknies apibrėžimą:

Apibrėžimas

Pašalinės šaknys- tai yra pasekmės lygties šaknys, gautos atliekant transformacijas, kurios nėra pradinės lygties šaknys.

Pateikime pavyzdį. Panagrinėkime lygtį ir šios lygties x·(x−1)=0 pasekmę, gautą pakeitus išraišką identiškai lygia išraiška x·(x−1) . Pradinė lygtis turi vieną šaknį 1. Lygtis, gauta atlikus transformaciją, turi dvi šaknis 0 ir 1. Tai reiškia, kad 0 yra pašalinė pradinės lygties šaknis.

Galimos svetimų šaknų atsiradimo priežastys

Jei išvadinei lygčiai gauti nenaudojate jokių „egzotiškų“ transformacijų, o naudojate tik pagrindines lygčių transformacijas, tai pašalinės šaknys gali atsirasti tik dėl dviejų priežasčių:

• dėl ODZ plėtros ir
• dėl abiejų lygties pusių pakėlimo į tą pačią lyginę galią.

Čia verta priminti, kad ODZ išsiplėtimas dėl lygties transformacijos daugiausia vyksta

• Mažinant frakcijas;
• Pakeičiant gaminį vienu ar daugiau nulinių koeficientų nuliu;
• Keičiant trupmeną nuliniu skaitikliu nuliu;
• Naudojant kai kurias galių, šaknų, logaritmų savybes;
• Naudojant kai kurias trigonometrines formules;
• Kai abi lygties pusės padauginamos iš tos pačios išraiškos, ji išnyksta iš tos lygties ODZ;
• Atlaisvinant nuo logaritmo ženklų sprendimo procese.

Pavyzdys iš ankstesnės straipsnio pastraipos iliustruoja pašalinės šaknies atsiradimą dėl ODZ išsiplėtimo, kuris atsiranda pereinant nuo lygties prie išvadinės lygties x·(x−1)=0. Pradinės lygties ODZ yra visų realiųjų skaičių rinkinys, išskyrus nulį, gautos lygties ODZ yra rinkinys R, tai yra, ODZ išplečiamas skaičiumi nuliu. Šis skaičius galiausiai pasirodo esąs pašalinis šaknis.

Taip pat pateiksime pašalinės šaknies atsiradimo pavyzdį dėl abiejų lygties pusių pakėlimo į tą pačią lyginę galią. Iracionalioji lygtis turi vieną šaknį 4, o šios lygties pasekmė, gauta iš jos padalijus abi lygties puses kvadratu, tai yra lygtis , turi dvi šaknis 1 ir 4. Iš to aišku, kad abiejų lygties pusių kvadratūra lėmė pašalinės pradinės lygties šaknį.

Atkreipkite dėmesį, kad ODZ išplėtimas ir abiejų lygties pusių pakėlimas iki vienodos galios ne visada sukelia pašalinių šaknų atsiradimą. Pavyzdžiui, pereinant nuo lygties prie išvadinės lygties x=2, ODZ plečiasi nuo visų neneigiamų skaičių aibės iki visų realiųjų skaičių aibės, tačiau pašalinių šaknų neatsiranda. 2 yra vienintelė pirmosios ir antrosios lygčių šaknis. Be to, pereinant nuo lygties prie išvadinės lygties, neatsiranda pašalinių šaknų. Vienintelė pirmosios ir antrosios lygčių šaknis yra x=16. Būtent todėl kalbame ne apie pašalinių šaknų atsiradimo priežastis, o apie galimo pašalinių šaknų atsiradimo priežastis.

Kas yra pašalinių šaknų atskyrimas?

Sąvoka „pašalinių šaknų išsijojimas“ gali būti vadinama tik ištempta, ji randama ne visuose algebros vadovėliuose, tačiau yra intuityvi, todėl dažniausiai vartojama. Ką reiškia atsijoti pašalines šaknis, paaiškėja iš šios frazės: „... patikrinimas yra privalomas žingsnis sprendžiant lygtį, kuri padės aptikti pašalines šaknis, jei tokių yra, ir jas išmesti (dažniausiai sakoma „išravėti“). ).“

Taigi,

Apibrėžimas

Pašalinių šaknų pašalinimas- tai pašalinių šaknų aptikimas ir išmetimas.

Dabar galite pereiti prie pašalinių šaknų atrankos metodų.

Pašalinių šaknų atrankos metodai

Pakeitimo patikrinimas

Pagrindinis pašalinių šaknų filtravimo būdas yra pakeitimo testas. Tai leidžia pašalinti pašalines šaknis, kurios gali atsirasti tiek dėl ODZ išsiplėtimo, tiek dėl abiejų lygties pusių pakėlimo iki vienodos galios.

Pakeitimo testas yra toks: rastos pasekmės lygties šaknys paeiliui pakeičiamos į pradinę lygtį arba į bet kurią jai lygiavertę lygtį, tos, kurios suteikia teisingą skaitinę lygybę, yra pradinės lygties šaknys, o tos, kurios suteikia neteisinga skaitinė lygybė arba išraiška yra pradinės lygties šaknys, kurios yra beprasmės, yra pašalinės pradinės lygties šaknys.

Parodykime pavyzdžiu, kaip išfiltruoti pašalines šaknis, pakeičiant pradinę lygtį.

Kai kuriais atvejais tikslingiau pašalinti pašalines šaknis kitais būdais. Tai daugiausia taikoma tais atvejais, kai tikrinimas pakeitimu yra susijęs su dideliais skaičiavimo sunkumais arba kai standartinis tam tikro tipo lygčių sprendimo būdas reikalauja kito patikrinimo (pavyzdžiui, pašalinių šaknų atskyrimas sprendžiant trupmenines racionaliąsias lygtis atliekamas pagal sąlyga, kad trupmenos vardiklis nėra lygus nuliui ). Pažvelkime į alternatyvius pašalinių šaknų naikinimo būdus.

Pasak DL

Skirtingai nuo bandymo pakeitimo būdu, pašalinių šaknų filtravimas naudojant ODZ ne visada tinkamas. Faktas yra tas, kad šis metodas leidžia išfiltruoti tik pašalines šaknis, atsirandančias dėl ODZ išsiplėtimo, ir negarantuoja pašalinių šaknų, kurios gali atsirasti dėl kitų priežasčių, pavyzdžiui, dėl abiejų pusių pakėlimo, išsijojimo. lygties tos pačios lyginės galios . Be to, ne visada lengva rasti sprendžiamos lygties OD. Nepaisant to, pašalinių šaknų išsijojimo metodą naudojant ODZ verta naudoti, nes jį naudojant dažnai reikia mažiau skaičiavimo darbų nei naudojant kitus metodus.

Pašalinių šaknų pašalinimas pagal ODZ atliekamas taip: visos rastos pasekmės lygties šaknys yra patikrinamos, ar jos priklauso pradinės lygties ar bet kurios jai lygiavertės kintamojo leistinų verčių diapazonui, tos, kurios priklauso ODZ, yra pradinės lygties šaknys, o tos, kurios priklauso ODZ, yra pradinės lygties šaknys, o tos, kurios nepriklauso ODZ, yra pašalinės pradinės lygties šaknys.

Pateiktos informacijos analizė leidžia daryti išvadą, kad patartina pašalinti pašalines šaknis naudojant ODZ, jei tuo pačiu metu:

• nesunku rasti pradinės lygties ODZ,
• pašalinės šaknys galėjo atsirasti tik dėl ODZ išsiplėtimo,
• Pakaitinis bandymas yra susijęs su dideliais skaičiavimo sunkumais.

Parodysime, kaip praktiškai ravėjamos pašalinės šaknys.

Pagal DL sąlygas

Kaip minėjome ankstesnėje pastraipoje, jei pašalinės šaknys gali atsirasti tik dėl ODZ išsiplėtimo, tada jas galima pašalinti naudojant ODZ pradinei lygčiai. Tačiau ne visada lengva rasti ODZ skaitmeninio rinkinio pavidalu. Tokiais atvejais pašalinti pašalines šaknis galima ne pagal ODZ, o pagal sąlygas, kurios lemia ODZ. Paaiškinkime, kaip ODZ sąlygomis ravėjamos pašalinės šaknys.

Rastos šaknys savo ruožtu pakeičiamos sąlygomis, kurios nustato ODZ pradinei lygčiai arba bet kuriai jai lygiavertei lygčiai. Tos, kurios atitinka visas sąlygas, yra lygties šaknys. O tie, kurie netenkina bent vienos sąlygos arba pateikia prasmės neturinčią išraišką, yra pašalinės pradinės lygties šaknys.

Pateiksime pašalinių šaknų atskyrimo pavyzdį pagal ODZ sąlygas.

Pašalinių šaknų, atsirandančių pakėlus abi lygties puses iki tolygios galios, filtravimas

Akivaizdu, kad pašalintos šaknys, atsirandančios pakėlus abi lygties puses iki tos pačios lygiosios galios, gali būti pašalintos ją pakeičiant pradine lygtimi arba bet kuria jai lygiaverte lygtimi. Tačiau toks patikrinimas gali sukelti didelių skaičiavimo sunkumų. Tokiu atveju verta žinoti alternatyvų pašalinių šaknų išsijojimo būdą, apie kurį mes kalbėsime dabar.

Pašalinių šaknų, kurios gali atsirasti, iškėlus abi neracionalių formos lygčių puses į tą pačią lyginę galią, pašalinimas , kur n yra lyginis skaičius, galima atlikti pagal sąlygą g(x)≥0. Tai išplaukia iš lyginio laipsnio šaknies apibrėžimo: lyginio laipsnio šaknis n yra neneigiamas skaičius, kurio n laipsnis yra lygus radikaliniam skaičiui, iš kurio . Taigi išsakytas požiūris yra savotiška simbiozė tarp abiejų lygties pusių pakėlimo iki vienodos galios ir neracionalių lygčių sprendimo metodo, nustatant šaknį. Tai yra lygtis , kur n yra lyginis skaičius, išspręsta pakeliant abi lygties puses į tą pačią lyginę laipsnį, o pašalinių šaknų pašalinimas atliekamas pagal sąlygą g(x)≥0, paimtą iš neracionalių lygčių sprendimo metodo nustatant šaknį.

Pagrindiniai lygčių sprendimo metodai

Koks yra lygties sprendimas?

Identiška transformacija. Pagrindinis

tapatybės transformacijų tipai.

Užsienio šaknis. Šaknų praradimas.

Lygties sprendimas yra procesas, kurį daugiausia sudaro tam tikros lygties pakeitimas kita jai lygiaverte lygtimi . Šis pakeitimas vadinamasidentiška transformacija . Pagrindinės tapatybės transformacijos yra šios:

1.

Vienos išraiškos pakeitimas kita, kuri yra identiška jai. Pavyzdžiui, lygtis (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 gali būti pakeistas tokiu ekvivalentu:9 x 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

2.

Lygties sąlygų perkėlimas iš vienos pusės į kitą su atvirkštiniais ženklais. Taigi, ankstesnėje lygtyje galime perkelti visus jos terminus iš dešinės pusės į kairę su „-“ ženklu: 9 x 2 + 12 x+ 4 – 15 x – 10 = 0, po kurio gauname:9 x 2 – 3 x – 6 = 0 .

3.

Abiejų lygties pusių dauginimas arba padalijimas iš tos pačios išraiškos (skaičiaus), išskyrus nulį. Tai labai svarbu, nesnauja lygtis gali nebūti lygiavertė ankstesnei, jei išraiška, iš kurios dauginame arba daliname, gali būti lygi nuliui.

PAVYZDYS Lygtisx – 1 = 0 turi vieną šaknįx = 1.

Abi puses padauginus išx – 3 , gauname lygtį

( x – 1)( x – 3) = 0, kuris turi dvi šaknis:x = 1 irx = 3.

Paskutinė reikšmė nėra duotosios lygties šaknis

x – 1 = 0. Tai yra vadinamasispašalinė šaknis .

Ir atvirkščiai, susiskaldymas gali sukeltišaknų praradimas . Taigi

mūsų atveju, jei (x – 1 )( x – 3 ) = 0 yra originalas

lygtis, tada šaknisx = 3 bus prarasti divizione

abi lygties pusesx – 3 .

Paskutinėje lygtyje (2 punktas) visus jos narius galime padalyti iš 3 (ne nulio!) ir galiausiai gauti:

3 x 2 – x – 2 = 0 .

Ši lygtis yra lygiavertė pradinei lygtis:

(3 x+ 2) 2 = 15 x+ 10 .

4.

Galipakelkite abi lygties puses iki nelyginio laipsnio arbaištraukite nelyginę šaknį iš abiejų lygties pusių . Būtina atsiminti, kad:

a) statybos inlygus laipsnis gali vadovautisvetimų šaknų įgijimui ;

b)negerai gavybanet šaknis gali sukeltišaknų praradimas .

PAVYZDŽIAI. 7 lygtisx = 35 turi vieną šaknįx = 5 .

Padėję abi šios lygties puses kvadratu, gauname

lygtis:

49 x 2 = 1225 .

turinčios dvi šaknis:x = 5 Irx = – 5. Paskutinė vertė

yra pašalinė šaknis.

Neteisinga imant kvadratinę šaknį iš abiejų

49 lygties dalysx 2 = 1225 rezultatai 7x = 35,

ir mes prarandame savo šaknisx = – 5.

Teisingai paėmus kvadratinę šaknį

lygtis: | 7x | = 35, A taigi dviem atvejais:

1) 7 x = 35, Tadax = 5 ; 2) – 7 x = 35, Tadax = – 5 .

Todėl kaiteisinga išgaunant kvadratą

šaknis neprarandame lygties šaknų.

Ką tai reiškiaTeisingai ištraukti šaknį? Čia mes susitinkame

su labai svarbia koncepcijaaritmetinė šaknis

(cm. ).

Trigonometrinių lygčių tema pradedama nuo mokyklos paskaitos, kurios struktūra yra euristinio pokalbio forma. Paskaitoje aptariama teorinė medžiaga ir visų tipinių problemų sprendimo pagal planą pavyzdžiai:

• Paprasčiausios trigonometrinės lygtys.
• Pagrindiniai trigonometrinių lygčių sprendimo metodai.
• Homogeninės lygtys.

Tolesnėse pamokose pradedamas savarankiškas įgūdžių ugdymas, remiantis mokytojo ir mokinio bendros veiklos principo taikymu. Pirmiausia iškeliami tikslai studentams, t.y. nustatoma, kas nori žinoti ne daugiau, nei reikalauja valstybės standartas, o kas yra pasirengęs padaryti daugiau.

Galutinė diagnozė nustatoma atsižvelgiant į lygių diferenciaciją, kuri leidžia studentams sąmoningai nustatyti minimalias žinias, kurių reikia norint gauti įvertinimą „3“. Remiantis tuo, parenkama daugiapakopė medžiaga studentų žinioms diagnozuoti. Toks darbas leidžia individualiai žvelgti į mokinius, įtraukiant kiekvieną į sąmoningą mokymosi veiklą, ugdant saviorganizacijos ir savarankiško mokymosi įgūdžius bei užtikrinantį perėjimą prie aktyvaus, savarankiško mąstymo.

Seminaras vykdomas išlavinus pagrindinius trigonometrinių lygčių sprendimo įgūdžius. Kelios pamokos prieš seminarą mokiniams pateikiami klausimai, kurie bus aptariami seminaro metu.

Seminaras susideda iš trijų dalių.

1. Įvadinėje dalyje pateikiama visa teorinė medžiaga, įskaitant įvadą į problemas, kurios iškils sprendžiant sudėtingas lygtis.

2. Antroje dalyje aptariamas formos lygčių sprendimas:

• ir cosx + bsinx = c.
• a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
• lygtys, kurias galima išspręsti sumažinus laipsnį.

Šiose lygtyse naudojami universalūs pakaitalai, laipsnio mažinimo formulės ir pagalbinis argumentų metodas.

3. Trečioje dalyje nagrinėjamos šaknų praradimo ir pašalinių šaknų įgijimo problemos. Parodo, kaip pasirinkti šaknis.

Mokiniai dirba grupėse. Norėdami išspręsti pavyzdžius, kviečiami gerai apmokyti vaikinai, kurie gali parodyti ir paaiškinti medžiagą.

Seminaras skirtas gerai pasiruošusiam studentui, nes... jame sprendžiami klausimai, šiek tiek už programos medžiagos ribų. Ji apima sudėtingesnės formos lygtis ir ypač sprendžia problemas, su kuriomis susiduriama sprendžiant sudėtingas trigonometrines lygtis.

Seminaras vyko 10–11 klasių mokiniams. Kiekvienas mokinys turėjo galimybę praplėsti ir pagilinti žinias šia tema, palyginti savo žinių lygį ne tik su keliamais reikalavimais mokyklą baigusiam, bet ir su reikalavimais stojantiems į V.U.Z.

SEMINARAS

Tema:„Trigonometrinių lygčių sprendimas“

Tikslai:

• Apibendrinkite žinias apie visų tipų trigonometrinių lygčių sprendimą.
• Dėmesys problemoms: šaknų praradimas;

pašalinės šaknys; šaknų pasirinkimas.

PAMOKOS EIGA.

I. Įvadinė dalis

• 1. Pagrindiniai trigonometrinių lygčių sprendimo metodai
• Faktorizavimas.
• Naujo kintamojo įvedimas.

Funkcinis-grafinis metodas.

• 2. Kai kurios trigonometrinių lygčių rūšys.

Lygtys, kurios redukuoja į kvadratines lygtis cos x = t, sin x = t atžvilgiu.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.

• Jie išsprendžiami įvedant naują kintamąjį.

Pirmojo ir antrojo laipsnio vienarūšės lygtys Pirmojo laipsnio lygtis:

Asinx + Bcosx = 0 padalijus iš cos x, gauname Atg x + B = 0 Antrojo laipsnio lygtis:

Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 padalijus iš cos 2 x, gauname Atg 2 x + Btgx + C = 0

Jie išsprendžiami faktorizuojant ir įvedant naują kintamąjį.

• Taikomi visi metodai.

Sumažinti:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Išspręsta faktorizavimo metodu.

• 2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C. Formos lygtis:

A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Sumažintas iki kvadrato, atsižvelgiant į t = sinx + cosx;

sin2x = t 2 – 1.

• 3. Formulės.
• x + 2n; Patikrinimas būtinas!

Mažėjantis laipsnis: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2

Pagalbinio argumento metodas.

Pakeiskite Acosx + Bsinx į Csin (x + ), kur sin = a/C; cos=v/c;

• – pagalbinis argumentas.
• 4. Taisyklės.
• Jei matote kvadratą, sumažinkite laipsnį.

Jei matote gabalėlį, sudarykite sumą.

• Šaknų praradimas: padalinkite iš g(x); pavojingos formulės (universalus pakaitalas). Šiomis operacijomis susiauriname apibrėžimo sritį.

• Papildomos šaknys: išaugintos iki vienodos galios; padauginkite iš g(x) (atsikratykite vardiklio).

Šiomis operacijomis išplečiame apibrėžimo sritį.

II. Trigonometrinių lygčių pavyzdžiai

1) 1. Formos Asinx + Bcosx = C lygtys

Visuotinis pakaitalas.O.D.Z. x – bet koks.

3 nuodėmė 2x + cos 2x + 1 = 0.

tgx = u. x/2 + n;

u = – 1/3.

tan x = –1/3, x = arctan (-1/3) + k, k Z. Egzaminas:

3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

x = /2 + n, n e Z. Ar lygties šaknis. Atsakymas:

2) x = arctan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

Funkcinis-grafinis metodas. O.D.Z. x – bet koks.
Sinx – cosx = 1

Sinx = cosx + 1.

x = /2 + n, n e Z. Ar lygties šaknis. Nubraižykime funkcijas: y = sinx, y = cosx + 1.

3) x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

Pagalbinio argumento įvedimas. O.D.Z.: x – bet koks.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, nes (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, tada yra toks, kad nuodėmė = 8/17,

x = /2 + n, n e Z. Ar lygties šaknis. cos = 15/17, o tai reiškia sin cosx + sinx cos = 1; = arcsin 8/17.

x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. Eilės mažinimas: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. O.D.Z.: x – bet koks.
1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos 10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x (cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0

x = /2 + n, n e Z. Ar lygties šaknis. cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

serijos tokios pat.

3. Sumažinimas iki homogeniškumo. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.
1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – bet koks.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) negali būti padalintas iš cos 2 x, nes prarandame šaknis.
cos 2 x = 0 tenkina lygtį.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0.

x = /2 + n, n e Z. Ar lygties šaknis. x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

x = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. Formos lygtis: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.
1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – bet koks.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1. < 2
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t |
2 t 2 – 5 t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = S. cosx = sin(x + /2),
sinx + sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;

x = /2 + n, n e Z. Ar lygties šaknis. x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Faktorizavimas.
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2) (cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2, be šaknų.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

x = /2 + n, n e Z. Ar lygties šaknis. x = arctan(1/2) + n, n Z.

III. Problemos, kylančios sprendžiant trigonometrines lygtis

1. Šaknų praradimas: padalinkite iš g(x); Mes naudojame pavojingas formules.

1) Raskite klaidą.

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – cosx = 2sin 2 x/2 formulė.
2 sin 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 padalinti iš 2 sin 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Z.
Prarastos šaknys sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Teisingas sprendimas: 2sin 2 x/2 (1 – cosx/2) = 0.

2. Pašalinės šaknys: atsikratome vardiklio; pakelti iki tolygios galios.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3/2.

2сos3х sinx – сos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1) (2sinx – 1) = 0

x = /2 + n, n e Z. Ar lygties šaknis. x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

§ 1. PRASTOS IR ATŠAUKTOS ŠAKNYS SPRENDANT LYGTIS (PAGAL PAVYZDŽIUS)

ETALONINĖ MEDŽIAGA

1. Dvi teoremos VII skyriaus § 3 kalbėjo apie tai, kokie lygčių veiksmai nepažeidžia jų lygiavertiškumo.

2. Dabar panagrinėkime tokias lygčių operacijas, kurios gali sukelti naują lygtį, kuri yra nelygi pradinei lygčiai. Vietoj bendrų svarstymų apsiribosime tik konkrečių pavyzdžių svarstymu.

3. Pavyzdys 1. Pateikiama lygtis. Atverkime šios lygties skliaustus, perkelkime visus terminus į kairę pusę ir išspręskime kvadratinę lygtį. Jo šaknys yra

Jei abi lygties puses sumažinsite bendru koeficientu, gausite lygtį, kuri yra nelygi pradinei, nes ji turi tik vieną šaknį

Taigi, sumažinus abi lygties puses koeficientu, kuriame yra nežinomasis, gali būti prarastos lygties šaknys.

4. Pavyzdys 2. Ši lygtis turi vieną šaknį ir išsprendę šią lygtį, gauname dvi šaknis.

Matome, kad naujoji lygtis nėra lygiavertė pradinei lygčiai.

5. Pašalinės šaknys taip pat gali atsirasti, kai abi lygties pusės padauginamos iš koeficiento, kuriame yra nežinomasis, jei šis koeficientas išnyksta tikrosioms x reikšmėms.

3 pavyzdys. Jei padauginsime iš abiejų lygties pusių, gausime naują lygtį, kuri, perkėlus terminą iš dešinės pusės į kairę ir suskaičiavus, gauname lygtį iš bet kurios

Šaknis netenkina lygties, kuri turi tik vieną šaknį

Iš čia darome išvadą: padalijus abi lygties puses kvadratu (apskritai iki lygiosios laipsnio), taip pat padauginus iš koeficiento, kuriame yra nežinomasis ir nykstant tikrosiomis nežinomo reikšmėmis, gali atsirasti pašalinių šaknų.

Visi čia pateikti samprotavimai dėl pašalinių lygties šaknų praradimo ir atsiradimo vienodai taikomi bet kurioms lygtims (algebrinėms, trigonometrinėms ir kt.).

6. Lygtis vadinama algebrine, jei su nežinomuoju atliekamos tik algebrinės operacijos - sudėjimas, atimtis, daugyba, dalyba, eksponencija ir šaknies ištraukimas su natūraliuoju rodikliu (o tokių operacijų skaičius yra baigtinis).

Taigi, pavyzdžiui, lygtys

yra algebrinės ir lygtys

Sprendžiant lygtis dažniausiai naudojamos šios transformacijos:

Kitos transformacijos

Į ankstesnėje pastraipoje pateiktą sąrašą sąmoningai neįtraukėme tokių transformacijų kaip abiejų lygties pusių pakėlimas į tą pačią natūraliąją galią, logaritmą, abiejų lygties pusių stiprinimas, vieno laipsnio šaknies ištraukimas iš abiejų lygties pusių. , išlaisvinant iš išorinės funkcijos ir kt. Faktas yra tas, kad šios transformacijos nėra tokios bendros: transformacijos iš aukščiau pateikto sąrašo naudojamos visų tipų lygtims spręsti, o ką tik minėtos transformacijos naudojamos tam tikro tipo lygtims (neracionaliosioms, eksponentinės, logaritminėms ir kt.). Jie išsamiai aptariami naudojant atitinkamus atitinkamų tipų lygčių sprendimo metodus. Čia yra nuorodos į išsamius jų aprašymus:

• Abiejų lygties pusių pakėlimas į tą pačią natūraliąją galią.
• Abiejų lygties pusių logaritmų ėmimas.
• Abiejų lygties pusių stiprinimas.
• Tos pačios galios šaknies ištraukimas iš abiejų lygties pusių.
• Išraiškos, atitinkančios vieną iš pradinės lygties dalių, pakeitimas išraiška iš kitos pradinės lygties dalies.

Pateiktose nuorodose pateikiama išsami informacija apie išvardytas transformacijas. Todėl šiame straipsnyje apie juos daugiau nekalbėsime. Visa tolesnė informacija taikoma transformacijoms iš pagrindinių transformacijų sąrašo.

Kas nutinka pakeitus lygtį?

Atlikus visas aukščiau nurodytas transformacijas, galima gauti arba lygtį, kurios šaknys yra tokios pačios kaip ir pradinės lygties, arba lygtį, kurios šaknyse yra visos pradinės lygties šaknys, bet kuri gali turėti ir kitas šaknis, arba lygtį, kurios šaknys nebus apima visas transformuotos lygties šaknis. Tolesnėse pastraipose analizuosime, kurios iš šių transformacijų, kokiomis sąlygomis sukelia kokias lygtis. Tai labai svarbu žinoti norint sėkmingai išspręsti lygtis.

Lygčių ekvivalentinės transformacijos

Ypač įdomios yra lygčių transformacijos, dėl kurių gaunamos lygiavertės lygtys, ty lygtys, kurių šaknų rinkinys yra toks pat kaip ir pradinė lygtis. Tokios transformacijos vadinamos lygiavertės transformacijos. Mokykliniuose vadovėliuose atitinkamas apibrėžimas nėra aiškiai pateiktas, tačiau jį lengva perskaityti iš konteksto:

Apibrėžimas

Lygčių ekvivalentinės transformacijos yra transformacijos, kurios suteikia lygiavertes lygtis.

Tad kodėl lygiavertės transformacijos įdomios? Faktas yra tas, kad jei su jų pagalba iš sprendžiamos lygties galima pasiekti gana paprastą lygiavertę lygtį, tada išsprendus šią lygtį bus gautas norimas pradinės lygties sprendimas.

Iš ankstesnėje pastraipoje išvardytų transformacijų ne visi yra lygiaverčiai. Kai kurios transformacijos yra lygiavertės tik tam tikromis sąlygomis. Padarykime sąrašą teiginių, kurie nustato, kurios transformacijos ir kokiomis sąlygomis yra lygiavertės lygties transformacijos. Norėdami tai padaryti, kaip pagrindą paimsime aukščiau pateiktą sąrašą, o prie transformacijų, kurios ne visada yra lygiavertės, pridėsime sąlygas, kurios suteikia jiems lygiavertiškumą. Štai sąrašas:

• Kairėje arba dešinėje lygties pusėje esančios išraiškos pakeitimas išraiška, kuri nekeičia lygties kintamųjų, yra lygiavertė lygties transformacija.

Paaiškinkime, kodėl taip yra. Norėdami tai padaryti, paimame lygtį su vienu kintamuoju (panašius samprotavimus galima atlikti ir lygtims su keliais kintamaisiais), kurios forma A(x)=B(x), jos kairėje ir dešinėje pusėje esančias išraiškas pažymėjome kaip A( x) ir B(x) atitinkamai . Tegul išraiška C(x) yra identiškai lygi išraiškai A(x), o lygties C(x)=B(x) kintamojo x ODZ sutampa su pradinės lygties kintamojo x ODZ. Įrodykime, kad lygties A(x)=B(x) transformacija į lygtį C(x)=B(x) yra lygiavertė transformacija, tai yra, įrodysime, kad lygtys A(x)=B (x) ir C(x) =B(x) yra lygiaverčiai.

Tam pakanka parodyti, kad bet kuri pradinės lygties šaknis yra lygties C(x)=B(x) šaknis, o bet kuri lygties C(x)=B(x) šaknis yra šaknis. pradinės lygties.

Pradėkime nuo pirmosios dalies. Tegul q yra lygties A(x)=B(x) šaknis, tada ją pakeitę x gausime teisingą skaitinę lygybę A(q)=B(q) . Kadangi išraiškos A(x) ir C(x) yra identiškos, o išraiška C(q) turi prasmę (tai išplaukia iš sąlygos, kad lygties C(x)=B(x) OD sutampa su OD pradinė lygtis) , tada skaitinė lygybė A(q)=C(q) yra teisinga. Toliau naudojame skaitinių lygybių savybes. Dėl simetrijos savybės lygybė A(q)=C(q) gali būti perrašyta į C(q)=A(q) . Tada dėl tranzityvumo savybės lygybės C(q)=A(q) ir A(q)=B(q) reiškia lygybę C(q)=B(q). Tai įrodo, kad q yra lygties C(x)=B(x) šaknis.

Antroji dalis, o kartu ir visas teiginys kaip visuma, įrodoma absoliučiai analogišku būdu.

Analizuojamos ekvivalentinės transformacijos esmė yra tokia: ji leidžia atskirai dirbti su išraiškomis kairėje ir dešinėje lygčių pusėse, pakeičiant jas identiškomis išraiškomis pradiniame kintamųjų ODZ.

Pats trivialiausias pavyzdys: dešinėje lygties x=2+1 pusėje esančią skaičių sumą galime pakeisti jos reikšme, taip gausime lygiavertę x=3 formos lygtį. Iš tiesų, išraišką 2+1 pakeitėme identiškai lygiaverte išraiška 3, o lygties ODZ nepasikeitė. Kitas pavyzdys: kairėje lygties 3·(x+2)=7·x−2·x+4−1 pusėje galime, o dešinėje – , kuri prives mus prie lygiavertės lygties 3·x+ 6=5·x+ 3. Gauta lygtis iš tikrųjų yra lygiavertė, nes mes pakeitėme išraiškas identiškomis išraiškomis ir tuo pačiu metu gavome lygtį, kurios OD sutampa su pradinės lygties OD.

• To paties skaičiaus pridėjimas prie abiejų lygties pusių arba to paties skaičiaus atėmimas iš abiejų lygties pusių yra lygiavertė lygties transformacija.

Įrodykime, kad prie abiejų lygties A(x)=B(x) pusių pridėjus tą patį skaičių c, gaunama lygiavertė lygtis A(x)+c=B(x)+c, o atėmus iš abiejų lygties pusių. To paties skaičiaus c A(x) =B(x) gaunama lygiavertė lygtis A(x)−c=B(x)−c.

Tegul q yra lygties A(x)=B(x) šaknis, tada lygybė A(q)=B(q) yra teisinga. Skaitinių lygybių savybės leidžia pridėti prie abiejų tikrosios skaitinės lygybės pusių arba atimti tą patį skaičių iš jos dalių. Šį skaičių pažymėkime c, tada galioja lygybės A(q)+c=B(q)+c ir A(q)−c=B(q)−c. Iš šių lygybių išplaukia, kad q yra lygties A(x)+c=B(x)+c ir lygties A(x)−c=B(x)−c šaknis.

Dabar atgal. Tegul q yra lygties A(x)+c=B(x)+c ir lygties A(x)−c=B(x)−c šaknis, tada A(q)+c=B(q) +c ir A (q)−c=B(q)−c . Žinome, kad atėmus tą patį skaičių iš abiejų tikrosios skaitinės lygybės pusių, gaunama tikroji skaitinė lygybė. Taip pat žinome, kad abiejų pusių pridėjus teisingą skaitinę lygybę, gaunama teisinga skaitinė lygybė. Iš abiejų teisingos skaitinės lygybės A(q)+c=B(q)+c kraštų atimkime skaičių c, o skaičių c pridėkime prie abiejų lygybės A(x)−c=B(x) pusių. −c. Taip gausime teisingas skaitines lygybes A(q)+c−c=B(q)+c−c ir A(q)−c+c=B(q)+c−c, iš kurių darome išvadą, kad A (q) =B(q) . Iš paskutinės lygybės išplaukia, kad q yra lygties A(x)=B(x) šaknis.

Tai įrodo pirminį teiginį kaip visumą.

Pateiksime tokios lygčių transformacijos pavyzdį. Paimkime lygtį x−3=1, ir transformuokime ją prie abiejų pusių pridėdami skaičių 3, po to gausime lygtį x−3+3=1+3, kuri yra lygiavertė pradinei. Aišku, kad gautoje lygtyje galite atlikti operacijas su skaičiais, kaip aptarėme ankstesnėje sąrašo pastraipoje, todėl gauname lygtį x=4. Taigi, atlikdami lygiavertes transformacijas, netyčia išsprendėme lygtį x−3=1, jos šaknis yra skaičius 4. Svarstoma ekvivalentinė transformacija labai dažnai naudojama norint atsikratyti identiškų skaitinių terminų, esančių skirtingose ​​lygties dalyse. Pavyzdžiui, ir kairėje, ir dešinėje lygties x 2 +1=x+1 pusėse yra tas pats narys 1, atėmus skaičių 1 iš abiejų lygties pusių, galime pereiti prie lygiavertės lygties x 2 + 1−1=x+1−1 ir toliau iki lygiavertės lygties x 2 =x, ir taip atsikratykite šių identiškų terminų.

• Pridėjus prie abiejų lygties pusių arba atimant iš abiejų lygties pusių išraišką, kurios ODZ nėra siauresnė už pradinės lygties ODZ, yra lygiavertė transformacija.

Įrodykime šį teiginį. Tai yra, įrodome, kad lygtys A(x)=B(x) ir A(x)+C(x)=B(x)+C(x) yra lygiavertės, su sąlyga, kad išraiškos C(x) ODZ ) jau nėra , nei ODZ lygčiai A(x)=B(x) .

Pirmiausia įrodome vieną pagalbinį tašką. Įrodykime, kad nurodytomis sąlygomis ODZ lygtys prieš ir po transformacijos yra vienodos. Iš tiesų, lygties A(x)+C(x)=B(x)+C(x) ODZ gali būti laikoma lygties A(x)=B(x) ir ODZ sankirta. išraiškai C(x). Iš to ir iš to, kad išraiškos C(x) ODZ pagal sąlygą nėra siauresnis nei lygties A(x)=B(x) ODZ, išplaukia, kad lygčių A(x)= ODZ B(x) ir A (x)+C(x)=B(x)+C(x) yra vienodi.

Dabar įrodysime lygčių A(x)=B(x) ir A(x)+C(x)=B(x)+C(x) lygiavertiškumą, su sąlyga, kad jų priimtinų verčių diapazonai lygtys yra vienodos. Mes nepateiksime lygčių A(x)=B(x) ir A(x)−C(x)=B(x)−C(x) lygiavertiškumo nurodytomis sąlygomis, nes ji yra panaši .

Tegul q yra lygties A(x)=B(x) šaknis, tada skaitinė lygybė A(q)=B(q) yra teisinga. Kadangi lygčių A(x)=B(x) ir A(x)+C(x)=B(x)+C(x) ODZ yra vienodi, tada išraiška C(x) yra prasminga x. =q, o tai reiškia, kad C(q) yra koks nors skaičius. Jei prie abiejų teisingos skaitinės lygybės A(q)=B(q) pusių pridėsime C(q), gausime teisingą skaitinę nelygybę A(q)+C(q)=B(q)+C(q). ), iš to išplaukia, kad q yra lygties A(x)+C(x)=B(x)+C(x) šaknis.

Atgal. Tegul q yra lygties A(x)+C(x)=B(x)+C(x) šaknis, tada A(q)+C(q)=B(q)+C(q) yra tikroji skaitinė lygybė. Žinome, kad atėmus tą patį skaičių iš abiejų tikrosios skaitinės lygybės pusių, gaunama tikroji skaitinė lygybė. Atimkite C(q) iš abiejų lygybės A(q)+C(q)=B(q)+C(q) pusių, gausime A(q)+C(q)−C(q)=B(q)+C(q)−C(q) ir toliau A(q)=B(q) . Todėl q yra lygties A(x)=B(x) šaknis.

Taigi aptariamas teiginys yra visiškai įrodytas.

Pateiksime šios transformacijos pavyzdį. Paimkime lygtį 2 x+1=5 x+2. Prie abiejų pusių galime pridėti, pavyzdžiui, išraišką −x−1. Pridėjus šią išraišką ODZ nepasikeis, o tai reiškia, kad tokia transformacija yra lygiavertė. Dėl to gauname lygiavertę lygtį 2 x+1+(-x-1)=5 x+2+(-x-1). Šią lygtį galima transformuoti toliau: atidarykite skliaustus ir sumažinkite panašius terminus kairėje ir dešinėje pusėse (žr. pirmąjį sąrašo elementą). Atlikę šiuos veiksmus gauname ekvivalentinę lygtį x=4·x+1. Dažnai svarstoma lygčių transformacija naudojama norint atsikratyti identiškų terminų, kurie vienu metu yra kairėje ir dešinėje lygties pusėse.

• Jei lygties terminą perkelsite iš vienos dalies į kitą, pakeisdami šio termino ženklą į priešingą, gausite lygtį, lygiavertę duotajai.

Šis teiginys yra ankstesnių teiginių pasekmė.

Parodykime, kaip atliekama ši lygiavertė lygties transformacija. Paimkime lygtį 3·x−1=2·x+3. Perkelkime terminą, pavyzdžiui, 2 x iš dešinės pusės į kairę, pakeisdami jo ženklą. Šiuo atveju gauname ekvivalentinę lygtį 3·x−1−2·x=3. Taip pat galite perkelti minus vieną iš kairės lygties pusės į dešinę, pakeisdami ženklą į pliusą: 3 x−2 x=3+1. Galiausiai, suvedus panašius terminus, gauname lygiavertę lygtį x=4.

• Abiejų lygties pusių padauginimas arba padalijimas iš to paties skaičiaus, kuris skiriasi nuo nulio, yra lygiavertė transformacija.

Pateikime įrodymą.

Tegul A(x)=B(x) yra lygtis, o c yra koks nors skaičius, kuris skiriasi nuo nulio. Įrodykime, kad abiejų lygties A(x)=B(x) pusių padauginimas arba padalijimas iš skaičiaus c yra lygiavertė lygties transformacija. Norėdami tai padaryti, įrodome, kad lygtys A(x)=B(x) ir A(x) c=B(x) c, taip pat lygtys A(x)=B(x) ir A(x) :c= B(x):c – ekvivalentas. Tai galima padaryti taip: įrodyti, kad bet kuri lygties A(x)=B(x) šaknis yra lygties A(x) c=B(x) c šaknis ir lygties A(x) šaknis. :c=B(x) :c , tada įrodykite, kad bet kuri lygties A(x) šaknis c=B(x) c , kaip ir bet kuri lygties A(x):c=B(x):c yra lygties A(x) =B(x) šaknis. Padarykime tai.

Tegul q yra lygties A(x)=B(x) šaknis. Tada skaitinė lygybė A(q)=B(q) yra teisinga. Ištyrę skaitinių lygybių savybes, sužinojome, kad padauginus arba padalijus abi tikrosios skaitinės lygybės puses iš to paties skaičiaus, išskyrus nulį, gaunama tikroji skaitinė lygybė. Abi lygybės A(q)=B(q) puses padauginę iš c, gauname teisingą skaitinę lygybę A(q) c=B(q) c, iš kurios išplaukia, kad q yra lygties A( x) c= B(x)·c . Ir padalijus abi lygybės A(q)=B(q) puses iš c, gauname teisingą skaitinę lygybę A(q):c=B(q):c, iš kurios išplaukia, kad q yra lygtis A(x):c =B(x):c .

Dabar kita kryptimi. Tegu q yra lygties A(x) c=B(x) c šaknis. Tada A(q)·c=B(q)·c yra tikroji skaitinė lygybė. Abi jo dalis padalijus ne nuliu skaičiumi c, gauname teisingą skaitinę lygybę A(q)·c:c=B(q)·c:c ir toliau A(q)=B(q) . Iš to išplaukia, kad q yra lygties A(x)=B(x) šaknis. Jei q yra lygties A(x):c=B(x):c šaknis. Tada A(q):c=B(q):c yra tikroji skaitinė lygybė. Abi jo dalis padauginus iš ne nulinio skaičiaus c, gauname teisingą skaitinę lygybę A(q):c·c=B(q):c·c ir toliau A(q)=B(q) . Iš to išplaukia, kad q yra lygties A(x)=B(x) šaknis.

Teiginys pasitvirtino.

Pateiksime šios transformacijos pavyzdį. Su jo pagalba galite, pavyzdžiui, atsikratyti lygties trupmenų. Norėdami tai padaryti, galite padauginti abi lygties puses iš 12. Rezultatas yra lygiavertė formos lygtis , kurią vėliau galima paversti ekvivalentine lygtimi 7 x−3=10, kurios žymėjime nėra trupmenų.

• Abiejų lygties pusių padauginimas arba padalijimas iš tos pačios išraiškos, kurios OD nėra siauresnis už pradinės lygties OD ir neišnyksta pagal pradinės lygties OD, yra lygiavertė transformacija.

Įrodykime šį teiginį. Norėdami tai padaryti, įrodome, kad jei išraiškos C(x) ODZ nėra siauresnis už lygties A(x)=B(x) ODZ, o C(x) neišnyksta lygties ODZ. A(x)=B( x) , tada lygtys A(x)=B(x) ir A(x) C(x)=B(x) C(x), taip pat lygtys A(x) =B(x) ir A(x):C(x)=B(x):C(x) – ekvivalentas.

Tegul q yra lygties A(x)=B(x) šaknis. Tada A(q)=B(q) yra tikroji skaitinė lygybė. Iš to, kad išraiškos C(x) ODZ nėra tas pats ODZ lygčiai A(x)=B(x), išplaukia, kad išraiška C(x) turi prasmę, kai x=q. Tai reiškia, kad C(q) yra koks nors skaičius. Be to, C(q) yra nulis, o tai išplaukia iš sąlygos, kad išraiška C(x) neišnyksta. Jei abi lygybės A(q)=B(q) puses padauginsime iš nulinio skaičiaus C(q), gausime teisingą skaitinę lygybę A(q) C(q)=B(q) C( q), iš to išplaukia, kad q yra lygties A(x)·C(x)=B(x)·C(x) šaknis. Jei abi lygybės A(q)=B(q) puses padalinsime iš nulinio skaičiaus C(q), gausime teisingą skaitinę lygybę A(q):C(q)=B(q): C(q) , iš ko išplaukia, kad q yra lygties A(x):C(x)=B(x):C(x) šaknis.

Atgal. Tegu q yra lygties A(x)·C(x)=B(x)·C(x) šaknis. Tada A(q)·C(q)=B(q)·C(q) yra tikroji skaitinė lygybė. Atkreipkite dėmesį, kad lygties A(x) C(x)=B(x) C(x) ODZ yra toks pat kaip lygties A(x)=B(x) ODZ (tai pagrindėme viename iš ankstesnių pastraipų dabartinis sąrašas). Kadangi C(x) pagal sąlygą neišnyksta ODZ lygtyje A(x)=B(x), tai C(q) yra nulinis skaičius. Abi lygybės A(q)·C(q)=B(q)·C(q) puses padalinę iš nulinio skaičiaus C(q) , gauname teisingą skaitinę lygybę A(q)·C(q):C(q)=B(q)·C(q):C(q) ir toliau A(q)=B(q) . Iš to išplaukia, kad q yra lygties A(x)=B(x) šaknis. Jei q yra lygties A(x):C(x)=B(x):C(x) šaknis. Tada A(q):C(q)=B(q):C(q) yra tikroji skaitinė lygybė. Padauginę abi lygybės A(q):C(q)=B(q):C(q) puses iš nulinio skaičiaus C(q), gauname teisingą skaitinę lygybę A(q):C(q)·C(q)=B(q):C(q)·C(q) ir toliau A(q)=B(q) . Iš to išplaukia, kad q yra lygties A(x)=B(x) šaknis.

Teiginys pasitvirtino.

Aiškumo dėlei pateikiame išardytos transformacijos atlikimo pavyzdį. Abi lygties puses x 3 ·(x 2 +1)=8·(x 2 +1) padalinkime iš reiškinio x 2 +1. Ši transformacija yra lygiavertė, nes išraiška x 2 +1 neišnyksta pradinės lygties OD, o šios išraiškos OD nėra siauresnė už pradinės lygties OD. Dėl šios transformacijos gauname lygiavertę lygtį x 3 ·(x 2 +1):(x 2 +1)=8 · (x 2 +1):(x 2 +1), kurią toliau galima transformuoti į ekvivalentinę lygtį x 3 =8.

Transformacijos, vedančios į išvadines lygtis

Ankstesnėje pastraipoje nagrinėjome, kurios transformacijos iš pagrindinių transformacijų sąrašo ir kokiomis sąlygomis yra lygiavertės. Dabar pažiūrėkime, kurios iš šių transformacijų ir kokiomis sąlygomis veda į kooliarines lygtis, tai yra, lygtis, kuriose yra visos transformuotos lygties šaknys, tačiau be jų gali būti ir kitų šaknų – pašalinių pradinės lygties šaknų.

Transformacijos, vedančios į išvadines lygtis, yra reikalingos ne mažiau nei lygiavertės transformacijos. Jei jų pagalba galima gauti gana paprastą sprendinio lygtį, tai jos sprendimas ir vėlesnis pašalinių šaknų pašalinimas duos pradinės lygties sprendimą.

Atkreipkite dėmesį, kad visos lygiavertės transformacijos gali būti laikomos ypatingais transformacijų atvejais, dėl kurių susidaro pasekmės lygtys. Tai suprantama, nes lygiavertė lygtis yra ypatingas pasekmės lygties atvejis. Tačiau praktiniu požiūriu naudingiau žinoti, kad nagrinėjama transformacija yra tiksliai lygiavertė ir nesukelia pasekmės lygties. Paaiškinkime, kodėl taip yra. Jei žinome, kad transformacija yra lygiavertė, tada gauta lygtis tikrai neturės šaknų, nepriklausančių pradinei lygčiai. O transformacija, vedanti į pasekmės lygtį, gali būti pašalinių šaknų atsiradimo priežastis, o tai įpareigoja mus ateityje atlikti papildomą veiksmą – išsijoti pašalines šaknis. Todėl šioje straipsnio dalyje daugiausia dėmesio skirsime transformacijoms, dėl kurių pradinei lygčiai gali atsirasti pašalinių šaknų. Ir tikrai svarbu mokėti atskirti tokias transformacijas nuo lygiaverčių transformacijų, kad būtų galima aiškiai suprasti, kada reikia išfiltruoti pašalines šaknis, o kada nebūtina.

Išanalizuosime visą šio straipsnio antroje pastraipoje pateiktą pagrindinių lygčių transformacijų sąrašą, kad galėtume ieškoti transformacijų, dėl kurių gali atsirasti pašalinių šaknų.

• Kairėje ir dešinėje lygties pusėse esančių išraiškų pakeitimas vienodomis išraiškomis.

Įrodėme, kad ši transformacija yra lygiavertė, jei jos įgyvendinimas nekeičia ODZ. O jei pasikeis DL, kas bus? ODZ susiaurėjimas gali sukelti šaknų praradimą tai bus išsamiau aptarta kitoje pastraipoje. O plečiantis ODZ gali atsirasti pašalinių šaknų. Tai nesunku pateisinti. Pateiksime atitinkamą samprotavimą.

Tegul išraiška C(x) yra tokia, kad ji yra identiška išraiškai A(x), o lygties C(x)=B(x) OD yra platesnė už lygties A(x)=B OD (x). Įrodykime, kad lygtis C(x)=B(x) yra lygties A(x)=B(x) pasekmė ir kad tarp lygties C(x)=B(x) šaknų gali būti būti šaknimis, kurios svetimos lygčiai A( x)=B(x) .

Tegul q yra lygties A(x)=B(x) šaknis. Tada A(q)=B(q) yra tikroji skaitinė lygybė. Kadangi lygties C(x)=B(x) ODZ yra platesnis nei lygties A(x)=B(x) ODZ, išraiška C(x) apibrėžiama ties x=q. Tada, atsižvelgdami į identišką išraiškų C(x) ir A(x) lygybę, darome išvadą, kad C(q)=A(q) . Iš lygybių C(q)=A(q) ir A(q)=B(q) dėl tranzityvumo savybės išplaukia lygybė C(q)=B(q). Iš šios lygybės išplaukia, kad q yra lygties C(x)=B(x) šaknis. Tai įrodo, kad nurodytomis sąlygomis lygtis C(x)=B(x) yra lygties A(x)=B(x) pasekmė.

Belieka įrodyti, kad lygties C(x)=B(x) šaknys gali skirtis nuo lygties A(x)=B(x) šaknų. Įrodykime, kad bet kuri lygties C(x)=B(x) šaknis iš ODZ lygčiai A(x)=B(x) yra lygties A(x)=B(x) šaknis. Kelias p yra lygties C(x)=B(x), priklausančios ODZ lygčiai A(x)=B(x), šaknis. Tada C(p)=B(p) yra tikroji skaitinė lygybė. Kadangi p priklauso ODZ lygčiai A(x)=B(x), tada išraiška A(x) yra apibrėžta x=p. Iš to ir iš identiškos išraiškų A(x) ir C(x) lygybės išplaukia, kad A(p)=C(p) . Iš lygybių A(p)=C(p) ir C(p)=B(p) dėl tranzityvumo savybės išplaukia, kad A(p)=B(p), o tai reiškia, kad p yra lygtis A(x)= B(x) . Tai įrodo, kad bet kuri lygties C(x)=B(x) šaknis iš ODZ lygčiai A(x)=B(x) yra lygties A(x)=B(x) šaknis. Kitaip tariant, lygties A(x)=B(x) ODZ negali būti lygties C(x)=B(x) šaknų, kurios yra pašalinės lygties A(x)=B( x). Tačiau pagal sąlygą lygties C(x)=B(x) ODZ yra platesnis nei lygties A(x)=B(x) ODZ. Ir tai leidžia egzistuoti skaičiui r, kuris priklauso ODZ lygčiai C(x)=B(x) ir nepriklauso ODZ lygčiai A(x)=B(x), kuri yra šaknis. lygties C(x)=B(x). Tai reiškia, kad lygtis C(x)=B(x) gali turėti šaknis, kurios yra svetimos lygčiai A(x)=B(x), ir visos jos priklausys aibe, kuriai A lygties ODZ (x)=B išplečiamas (x), kai joje esančią išraišką A(x) keičiame identiškai lygiaverte išraiška C(x).

Taigi, pakeitus išraiškas kairėje ir dešinėje lygties pusėse identiškai lygiomis išraiškomis, dėl kurių ODZ išplečiamas, paprastai susidaro pasekmė lygtis (tai yra, gali atsirasti pašalinių šaknis) ir tik konkrečiu atveju veda į lygiavertę lygtį (tuo atveju, jei gautoje lygtyje nėra šaknų, svetimų pradinei lygčiai).

Pateiksime analizuojamos transformacijos atlikimo pavyzdį. Kairėje lygties pusėje esančios išraiškos pakeitimas identiškai jam lygus reiškiniu x·(x−1) veda į lygtį x·(x−1)=0, šiuo atveju įvyksta ODZ plėtra - prie jo pridedamas skaičius 0. Gautoje lygtyje yra dvi šaknys 0 ir 1, o pakeitus šias šaknis į pradinę lygtį, paaiškėja, kad 0 yra pašalinė pradinės lygties šaknis, o 1 yra pradinės lygties šaknis. Iš tiesų, pakeitus nulį į pradinę lygtį, gaunama beprasmė išraiška , nes jame yra dalijimas iš nulio, o pakeitus vienetą gaunama teisinga skaitinė lygybė , kuris yra toks pat kaip 0=0 .

Atkreipkite dėmesį, kad panaši panašios lygties transformacija į lygtį (x−1)·(x−2)=0, dėl ko plečiasi ir ODZ, pašalinių šaknų atsiradimo nesukelia. Iš tiesų, abi gautos lygties šaknys (x−1)·(x−2)=0 – skaičiai 1 ir 2, yra pradinės lygties šaknys, kurias nesunku patikrinti pakeitus. Šiais pavyzdžiais dar kartą norėjome pabrėžti, kad kairėje arba dešinėje lygties pusėje esančią išraišką pakeitus identiškai lygiaverte išraiška, kuri išplečia ODZ, nebūtinai sukelia pašalinių šaknų atsiradimą. Bet tai taip pat gali lemti jų išvaizdą. Taigi, jei tokia transformacija įvyko sprendžiant lygtį, būtina atlikti patikrinimą, kad būtų galima nustatyti ir išfiltruoti pašalines šaknis.

Dažniausiai lygties ODZ gali išsiplėsti ir atsirasti pašalinių šaknų dėl identiškų išraiškų skirtumo nulio pakeitimo arba priešingų ženklų išraiškų sumos, pakeitus nuliu produktus su vienu ar daugiau nulinių koeficientų. , dėl trupmenų mažinimo ir dėl savybių panaudojimo šaknys, laipsniai, logaritmai ir kt.

• To paties skaičiaus pridėjimas prie abiejų lygties pusių arba to paties skaičiaus atėmimas iš abiejų lygties pusių.

Aukščiau parodėme, kad ši transformacija visada yra lygiavertė, tai yra, veda į lygiavertę lygtį. Eikime toliau.

• Tos pačios išraiškos pridėjimas prie abiejų lygties pusių arba tos pačios išraiškos atėmimas iš abiejų lygties pusių.

Ankstesnėje pastraipoje įtraukėme sąlygą, kad pridedamos arba atimamos išraiškos ODZ neturėtų būti siauresnis nei transformuojamos lygties ODZ. Ši sąlyga padarė atitinkamą transformaciją lygiavertę. Čia yra argumentų, panašių į pateiktus šios straipsnio pastraipos pradžioje dėl to, kad lygiavertė lygtis yra ypatingas pasekmės lygties atvejis ir kad žinios apie transformacijos lygiavertiškumą yra praktiškai naudingesnės nei žinios apie tą patį. transformacija, bet žvelgiant iš to, kad ji veda į pasekmės lygtį.

Ar įmanoma, sudėjus tą pačią išraišką arba atėmus tą pačią išraišką iš abiejų lygties pusių, gauti lygtį, kuri, be visų pradinės lygties šaknų, turės dar keletą šaknų? Ne, negali. Jei pridedamos arba atimamos išraiškos ODZ nėra siauresnis už pradinės lygties ODZ, sudėjus arba atimant bus gauta lygiavertė lygtis. Jei pridedamos arba atimamos išraiškos ODZ yra siauresnis nei pradinės lygties ODZ, tai gali lemti šaknų praradimą, o ne pašalinių šaknų atsiradimą. Daugiau apie tai kalbėsime kitoje pastraipoje.

• Termino perkėlimas iš vienos lygties dalies į kitą, kai ženklas pakeistas į priešingą.

Ši lygties transformacija visada yra lygiavertė. Todėl dėl pirmiau nurodytų priežasčių nėra prasmės jį laikyti transformacija, vedančia į lygtį-pasekmę.

• Abiejų lygties pusių padauginimas arba padalijimas iš to paties skaičiaus.

Ankstesnėje pastraipoje įrodėme, kad jei abiejų lygties pusių dauginimas arba padalijimas atliekamas iš ne nulio skaičiaus, tai yra lygiavertė lygties transformacija. Todėl vėlgi, nėra prasmės apie tai kalbėti kaip apie transformaciją, vedančią į pasekmės lygtį.

Tačiau čia verta atkreipti dėmesį į atsakomybės atsisakymą apie skaičiaus, iš kurio padauginamos arba dalijamos abi lygties pusės, skirtumą nuo nulio. Skirstymui ši išlyga suprantama – tai supratome iš pradinės mokyklos Negalite dalyti iš nulio. Kodėl ši daugybos sąlyga? Pagalvokime apie tai, kas bus, padauginus abi lygties puses iš nulio. Aiškumo dėlei paimkime konkrečią lygtį, pavyzdžiui, 2 x+1=x+5. Tai tiesinė lygtis, turinti vieną šaknį, kuri yra skaičius 4. Užrašykime lygtį, kuri bus gauta padauginus abi šios lygties puses iš nulio: (2 x+1) 0=(x+5) 0. Akivaizdu, kad šios lygties šaknis yra bet koks skaičius, nes kai vietoj kintamojo x į šią lygtį pakeičiate bet kurį skaičių, gausite teisingą skaitinę lygybę 0=0. Tai yra, mūsų pavyzdyje, padauginus abi lygties puses iš nulio, gaunama pasekmė lygtis, dėl kurios atsirado begalinis skaičius pašalinių pradinės lygties šaknų. Be to, verta paminėti, kad šiuo atveju įprasti pašalinių šaknų atrankos metodai nesusidoroja su savo užduotimi. Tai reiškia, kad atlikta transformacija yra nenaudinga sprendžiant pradinę lygtį. Ir tai yra tipinė nagrinėjamos pertvarkos situacija. Štai kodėl tokia transformacija, kaip abiejų lygties pusių padauginimas iš nulio, nenaudojama lygtims spręsti. Vis dar turime pažvelgti į šią transformaciją ir kitas transformacijas, kurios neturėtų būti naudojamos sprendžiant paskutinės pastraipos lygtis.

• Abiejų lygties pusių dauginimas arba padalijimas iš tos pačios išraiškos.

Ankstesnėje pastraipoje įrodėme, kad ši transformacija yra lygiavertė, jei tenkinamos dvi sąlygos. Priminkime jiems. Pirmoji sąlyga: šios išraiškos OD neturi būti siauresnė už pradinės lygties OD. Antroji sąlyga: išraiška, kuria atliekama daugyba arba dalyba, neturi išnykti pradinės lygties ODZ.

Pakeiskime pirmąją sąlygą, tai yra, manysime, kad išraiškos, iš kurios planuojame padauginti arba padalinti abi lygties dalis, OD yra siauresnis nei pradinės lygties OD. Dėl tokios transformacijos bus gauta lygtis, kurios ODZ bus siauresnė nei pradinės lygties ODZ. Tokios transformacijos gali sukelti šaknų praradimą, apie juos pakalbėsime kitoje pastraipoje.

Kas atsitiks, jei pašalinsime antrąją sąlygą apie ne nulines išraiškos reikšmes, iš kurių abi lygties pusės padauginamos arba padalijamos iš pradinės lygties ODZ?

Padalijus abi lygties puses iš tos pačios išraiškos, kuri išnyksta pagal pradinės lygties OD, gaunama lygtis, kurios OD yra siauresnė už pradinės lygties OD. Iš tiesų, iš jo iškris skaičiai, paversdami išraišką, pagal kurią buvo atliktas padalijimas, iki nulio. Tai gali sukelti šaknų praradimą.

O kaip padauginti abi lygties puses iš tos pačios išraiškos, kuri pradinės lygties ODZ išnyksta? Galima parodyti, kad abi lygties puses A(x)=B(x) padauginus iš išraiškos C(x) , kurios ODZ nėra siauresnė už pradinės lygties ODZ ir kuri išnyksta ODZ pradinei lygčiai, gauta lygtis yra pasekmė, kad, be visų lygties A(x)=B(x) šaknų, ji gali turėti ir kitas šaknis. Padarykime tai, ypač todėl, kad ši straipsnio pastraipa yra būtent skirta transformacijoms, vedančioms į pasekmės lygtis.

Tegul išraiška C(x) yra tokia, kad jos ODZ nebūtų siauresnė už lygties A(x)=B(x) ODZ, ir ji išnyksta lygties A(x)=B(x) ODZ ). Įrodykime, kad šiuo atveju lygtis A(x)·C(x)=B(x)·C(x) yra lygties A(x)=B(x) pasekmė.

Tegul q yra lygties A(x)=B(x) šaknis. Tada A(q)=B(q) yra tikroji skaitinė lygybė. Kadangi išraiškos C(x) ODZ nėra siauresnis už lygties A(x)=B(x) ODZ, išraiška C(x) yra apibrėžta ties x=q, o tai reiškia, kad C(q) yra tam tikras skaičius. Abi tikrosios skaitinės lygybės puses padauginus iš bet kurio skaičiaus, gaunama tikroji skaitinė lygybė, todėl A(q)·C(q)=B(q)·C(q) yra tikroji skaitinė lygybė. Tai reiškia, kad q yra lygties A(x)·C(x)=B(x)·C(x) šaknis. Tai įrodo, kad bet kuri lygties A(x)=B(x) šaknis yra lygties A(x) C(x)=B(x) C(x) šaknis, o tai reiškia, kad lygtis A(x) C(x)=B(x)·C(x) yra lygties A(x)=B(x) pasekmė.

Atkreipkite dėmesį, kad nurodytomis sąlygomis lygtis A(x)·C(x)=B(x)·C(x) gali turėti šaknis, kurios yra svetimos pradinei lygčiai A(x)=B(x). Tai visi tie skaičiai iš pradinės lygties ODZ, kurie reiškinį C(x) paverčia nuliu (visi skaičiai, kurie reiškinį C(x) paverčia nuliu, yra lygties A(x) C(x)= šaknys. B(x) C(x) , nes juos pakeitus į nurodytą lygtį gaunama teisinga skaitinė lygybė 0=0 ), bet kurios nėra lygties A(x)=B(x) šaknys. Lygtys A(x)=B(x) ir A(x)·C(x)=B(x)·C(x) nurodytomis sąlygomis bus lygiavertės, kai visi skaičiai iš ODZ lygčiai A(x) )=B (x) , dėl kurių išraiška C(x) išnyksta, yra lygties A(x)=B(x) šaknys.

Taigi, padauginus abi lygties puses iš tos pačios išraiškos, kurios ODZ nėra siauresnė už pradinės lygties ODZ ir kuri išnyksta iš pradinės lygties ODZ, paprastai gaunama pasekmė lygtis, yra, tai gali sukelti svetimų šaknų atsiradimą.

Pateikiame pavyzdį iliustravimui. Paimkime lygtį x+3=4. Vienintelė jo šaknis yra skaičius 1. Padauginkime abi šios lygties puses iš tos pačios išraiškos, kuri išnyksta pagal pradinės lygties ODZ, pavyzdžiui, iš x·(x−1) . Ši išraiška išnyksta, kai x=0 ir x=1. Padauginus abi lygties puses iš šios išraiškos, gauname lygtį (x+3) x (x–1)=4 x (x–1). Gauta lygtis turi dvi šaknis: 1 ir 0. Skaičius 0 yra pašalinė pradinės lygties šaknis, kuri atsirado dėl transformacijos.

Transformacijos, dėl kurių gali netekti šaknų

Kai kurios konversijos tam tikromis sąlygomis gali sukelti šaknų praradimą. Pavyzdžiui, padalijus abi lygties x·(x−2)=x−2 puses iš tos pačios išraiškos x−2, šaknis prarandama. Iš tiesų, dėl tokios transformacijos lygtis x=1 gaunama su viena šaknimi, kuri yra skaičius 1, o pradinė lygtis turi dvi šaknis 1 ir 2.

Būtina aiškiai suprasti, kada šaknys prarandamos dėl transformacijų, kad sprendžiant lygtis neprarastumėte šaknų. Išsiaiškinkime tai.

Dėl šių transformacijų šaknų praradimas gali įvykti tada ir tik tada, kai transformuotos lygties ODZ yra siauresnis nei pradinės lygties ODZ.

Norint įrodyti šį teiginį, reikia pagrįsti du dalykus. Pirma, būtina įrodyti, kad jei dėl nurodytų lygties transformacijų ODZ susiaurėja, gali atsirasti šaknų praradimas. Ir, antra, būtina pagrįsti, kad jei dėl šių transformacijų prarandamos šaknys, tada gautos lygties ODZ yra siauresnė nei pradinės lygties ODZ.

Jei dėl transformacijos gautos lygties ODZ yra siauresnis nei pradinės lygties ODZ, tada, žinoma, nė viena pradinės lygties šaknis, esanti už gautos lygties ODZ ribų, negali būti lygties šaknis. gautas dėl transformacijos. Tai reiškia, kad visos šios šaknys bus prarastos pereinant nuo pradinės lygties prie lygties, kurios ODZ yra siauresnė nei pradinės lygties ODZ.

Dabar atgal. Įrodykime, kad jei dėl šių transformacijų šaknys prarandamos, tai gautos lygties ODZ yra siauresnis nei pradinės lygties ODZ. Tai galima padaryti priešingu būdu. Prielaida, kad dėl šių transformacijų šaknys prarandamos, bet ODZ nesusiaurėja, prieštarauja ankstesnėse pastraipose įrodytam teiginiams. Iš tikrųjų iš šių teiginių išplaukia, kad jei atliekant nurodytas transformacijas ODZ nesusiaurėja, gaunamos arba lygiavertės lygtys, arba pasekmės lygtys, o tai reiškia, kad šaknų praradimas negali įvykti.

Taigi, galimo šaknų praradimo priežastis atliekant pagrindines lygčių transformacijas yra ODZ susiaurėjimas. Aišku, kad spręsdami lygtis neturėtume prarasti šaknų. Čia natūraliai kyla klausimas: „Ką daryti, kad transformuojant lygtis neprarastume šaknų“? Į jį atsakysime kitoje pastraipoje. Dabar pereikime prie pagrindinių lygčių transformacijų sąrašo, kad pamatytume išsamiau, kurios transformacijos gali lemti šaknų praradimą.

• Kairėje ir dešinėje lygties pusėse esančių išraiškų pakeitimas vienodomis išraiškomis.

Jei kairėje arba dešinėje lygties pusėje esančią išraišką pakeisite identiškai lygia išraiška, kurios ODZ yra siauresnė nei pradinės lygties ODZ, ODZ susiaurės ir dėl to šaknys gali būti prarasta. Dažniausiai kairėje arba dešinėje lygčių pusėje esančių išraiškų pakeitimas identiškomis vienodomis išraiškomis, atliekamas remiantis kai kuriomis šaknų savybėmis, laipsniais, logaritmais ir kai kuriomis trigonometrinėmis formulėmis, susiaurėja ODZ ir dėl to. , į galimą šaknų praradimą. Pavyzdžiui, pakeitus išraišką kairėje lygties pusėje identiškai lygia išraiška, susiaurina ODZ ir prarandama šaknis −16. Panašiai, pakeitus išraišką kairėje lygties pusėje identiškai lygia išraiška, gaunama lygtis, kurios ODZ yra siauresnė nei pradinės lygties ODZ, o tai reiškia, kad prarandama šaknis −3.

• To paties skaičiaus pridėjimas prie abiejų lygties pusių arba to paties skaičiaus atėmimas iš abiejų lygties pusių.

Ši transformacija yra lygiavertė, todėl ją įgyvendinant negalima prarasti šaknų.

• Tos pačios išraiškos pridėjimas prie abiejų lygties pusių arba tos pačios išraiškos atėmimas iš abiejų lygties pusių.

Jei pridėsite arba atimsite išraišką, kurios ODZ yra siauresnis už pradinės lygties ODZ, tai sukels ODZ susiaurėjimą ir dėl to galimą šaknų praradimą. Verta tai turėti omenyje. Tačiau čia verta paminėti, kad praktikoje paprastai reikia pridėti arba atimti išraiškas, esančias įrašant pradinę lygtį, o tai nekeičia ODZ ir nepraranda šaknų.

• Termino perkėlimas iš vienos lygties dalies į kitą, kai ženklas pakeistas į priešingą.

Ši lygties transformacija yra lygiavertė, todėl ją įgyvendinus šaknys neprarandamos.

• Abiejų lygties pusių padauginimas arba padalijimas iš to paties skaičiaus, išskyrus nulį.

Ši transformacija taip pat yra lygiavertė, todėl šaknų praradimas neįvyksta.

• Abiejų lygties pusių dauginimas arba padalijimas iš tos pačios išraiškos.

Dėl šios transformacijos OD gali susiaurėti dviem atvejais: kai išraiškos OD, pagal kurią atliekamas dauginimas arba dalyba, yra siauresnis nei pradinės lygties OD, ir kai dalijimas atliekamas išraiška, kuri tampa nulis ant pradinės lygties OD. Atkreipkite dėmesį, kad praktikoje dažniausiai nereikia dauginti ir dalyti abiejų lygties pusių iš išraiškos su siauresne VA. Bet jūs turite susidoroti su padalijimu iš išraiškos, kuri pradinėje lygtyje virsta nuliu. Yra metodas, leidžiantis susidoroti su šaknų praradimu tokio padalijimo metu, apie tai kalbėsime kitoje šio straipsnio pastraipoje.

Kaip išvengti šaknų praradimo?

Jei naudosite tik transformacijas iš transformuoti lygtis ir tuo pačiu metu neleisite susiaurinti ODZ, tada šaknų praradimas nebus.

Ar tai reiškia, kad negalima atlikti jokių kitų lygčių transformacijų? Ne, tai nereiškia. Jei sugalvosite kokią nors kitokią lygties transformaciją ir ją iki galo apibūdinsite, ty nurodysite, kada ji veda į lygiavertes lygtis, kada į išvadines lygtis ir kada tai gali lemti šaknų praradimą, tada ji gali būti priimta.

Ar turėtume visiškai atsisakyti reformų, kurios susiaurintų DPD? Jūs neturėtumėte to daryti. Nepakenktų savo arsenale laikyti transformacijas, kuriose baigtinis skaičius skaičių iškrenta iš pradinės lygties ODZ. Kodėl tokių transformacijų negalima atsisakyti? Kadangi tokiais atvejais yra būdas išvengti šaknų praradimo. Jį sudaro atskiras skaičių, iškritusių iš ODZ, patikrinimas, siekiant išsiaiškinti, ar tarp jų yra pradinės lygties šaknų. Tai galite patikrinti pakeisdami šiuos skaičius į pradinę lygtį. Tie iš jų, kuriuos pakeitus, suteikia teisingą skaitinę lygybę, yra pradinės lygties šaknys. Jie turi būti įtraukti į atsakymą. Po tokio patikrinimo galite saugiai atlikti suplanuotą transformaciją, nebijodami prarasti savo šaknų.

Įprasta transformacija, kai lygties ODZ susiaurinama iki kelių skaičių, yra padalyti abi lygties puses iš tos pačios išraiškos, kuri keliuose taškuose nuo pradinės lygties ODZ tampa nuliu. Ši transformacija yra sprendimo metodo pagrindas abipusės lygtys. Tačiau jis taip pat naudojamas kitų tipų lygtims spręsti. Pateikime pavyzdį.

Lygtį galima išspręsti įvedant naują kintamąjį. Norėdami įvesti naują kintamąjį, turite padalyti abi lygties puses iš 1+x. Tačiau su tokiu padalijimu gali būti prarasta šaknis, nes nors išraiškos 1+x ODZ nėra siauresnis už pradinės lygties ODZ, išraiška 1+x tampa nuliu, kai x=-1, ir šis skaičius. priklauso ODZ pradinei lygčiai. Tai reiškia, kad šaknis −1 gali būti prarasta. Norėdami pašalinti šaknies praradimą, turėtumėte atskirai patikrinti, ar −1 yra pradinės lygties šaknis. Norėdami tai padaryti, galite pakeisti −1 į pradinę lygtį ir pamatyti, kokią lygybę gausite. Mūsų atveju pakeitimas suteikia lygybę, kuri yra tokia pati kaip 4=0. Ši lygybė yra klaidinga, o tai reiškia, kad −1 nėra pradinės lygties šaknis. Po tokio patikrinimo galite atlikti numatytą abiejų lygties pusių padalijimą iš 1 + x, nebijodami, kad gali prarasti šaknis.

Šios pastraipos pabaigoje dar kartą pereikime prie ankstesnės pastraipos lygčių ir. Šių lygčių transformacija remiantis tapatybėmis ir veda prie ODZ susiaurėjimo, o tai reiškia, kad prarandamos šaknys. Šioje vietoje pasakėme, kad norėdami neprarasti savo šaknų, turime atsisakyti reformų, kurios siaurina DL. Tai reiškia, kad šių transformacijų reikia atsisakyti. Bet ką turėtume daryti? Galima atlikti transformacijas ne pagal tapatybes ir , dėl kurių susiaurėja ODZ, o tapatybių pagrindu ir . Dėl perėjimo nuo pradinių lygčių ir prie lygčių ir nėra ODZ susiaurėjimo, o tai reiškia, kad šaknys nebus prarastos.

Čia ypač atkreipiame dėmesį į tai, kad keisdami išraiškas identiškai vienodais posakiais, turite atidžiai įsitikinti, kad išraiškos yra visiškai vienodos. Pavyzdžiui, lygtyje. neįmanoma pakeisti išraiškos x+3 išraiška, siekiant supaprastinti kairiosios pusės išvaizdą , nes išraiškos x+3 ir nėra identiškai lygios, nes jų reikšmės nesutampa ties x+3<0 . В нашем примере такое преобразование приводит к потере корня. А в общем случае замена выражения не тождественно равным выражением приводит к уравнению, которое не позволяет получить решение исходного уравнения.

Lygčių transformacijos, kurios neturėtų būti naudojamos

Praktiniams poreikiams dažniausiai pakanka šiame straipsnyje minimų transformacijų. Tai reiškia, kad neturėtumėte pernelyg nerimauti dėl kitų transformacijų, geriau sutelkti dėmesį į teisingą jau patikrintų transformacijų naudojimą.

Literatūra

1. Mordkovičius A. G. Algebra ir matematinės analizės pradžia. 11 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams (profilio lygis) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01027-2.
2. Algebra ir matematinės analizės pradžia. 10 klasė: vadovėlis. bendrajam lavinimui institucijos: pagrindinės ir profilio. lygiai / [Yu. M. Kolyaginas, M. V. Tkačiova, N. E. Fedorova, M. I. Šabuninas]; redagavo A. B. Žižčenka. - 3 leidimas. - M.: Išsilavinimas, 2010.- 368 p.: iliustr.-ISBN 978-5-09-022771-1.