Aritmetiniai veiksmai su paprastosiomis trupmenomis
1. Papildymas.
Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti tą patį.
Pavyzdys. .
Norėdami pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, turite jas sumažinti iki mažiausio bendro vardiklio, tada pridėti gautus skaitiklius ir įrašyti bendrąjį vardiklį po suma.
Pavyzdys.
Trumpai parašyta taip:
Norėdami pridėti mišrius skaičius, turite atskirai rasti sveikųjų skaičių ir trupmeninių dalių sumą. Veiksmas parašytas taip:
2. Atimtis.
Norėdami atimti trupmenas su panašiais vardikliais, turite atimti mažmeninės dalies skaitiklį iš mažmeninės dalies skaitiklio ir palikti tą patį vardiklį. Veiksmas parašytas taip:
Norėdami atimti trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausia turite jas sumažinti iki mažiausio bendro vardiklio, tada atimti minuend skaitiklį iš mažmeninės dalies skaitiklio ir pasirašyti bendrą vardiklį pagal jų skirtumą. Veiksmas parašytas taip:
Jei reikia atimti vieną mišrų skaičių iš kito mišraus skaičiaus, tada, jei įmanoma, iš trupmenos atimkite trupmeną, o iš visumos – visumą. Veiksmas parašytas taip:
Jei atimto trupmena yra didesnė už miniatiūros trupmeną, paimkite vieną vienetą iš sveikojo mažojo skaičiaus dalies, padalykite jį į atitinkamas dalis ir pridėkite prie mažosios dalies trupmenos, o po to tęskite, kaip aprašyta aukščiau. . Veiksmas parašytas taip:
Atlikite tą patį, kai iš sveikojo skaičiaus reikia atimti trupmeną.
Pavyzdys. .
3. Sudėjimo ir atimties savybių išplėtimas į trupmenas.Visi natūraliųjų skaičių sudėties ir atimties dėsniai ir savybės galioja ir trupmeniniams skaičiams. Jų naudojimas daugeliu atvejų labai supaprastina skaičiavimo procesą.
4. Daugyba.
Norėdami padauginti trupmeną iš trupmenos, turite padauginti skaitiklį iš skaitiklio, o vardiklį - iš vardiklio ir padaryti pirmąjį sandaugą skaitikliu, o antrąjį - vardikliu.
Padaugindami, turėtumėte (jei įmanoma) sumažinti.
Pavyzdys. .
Jei atsižvelgsime į tai, kad sveikas skaičius yra trupmena, kurios vardiklis yra 1, tada padauginus trupmeną iš sveikojo skaičiaus ir sveikąjį skaičių iš trupmenos, gali būti taikoma ta pati taisyklė.
Pavyzdžiai.
5. Mišrių skaičių daugyba.
Norėdami padauginti mišrius skaičius, pirmiausia turite juos konvertuoti į netinkamas trupmenas, o tada padauginti pagal trupmenų dauginimo taisyklę.
Pavyzdys. .
6. Trupmenos dalijimas iš trupmenos.
Norėdami padalyti trupmeną į trupmeną, turite padauginti pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios vardiklio, o pirmosios - iš antrosios vardiklio ir įrašyti pirmąjį sandaugą kaip skaitiklį, o antrąjį - kaip vardiklis.
Pavyzdys. .
Naudodami tą pačią taisyklę, galite padalyti trupmeną iš sveikojo skaičiaus, o sveikąjį skaičių - iš trupmenos, jei sveikąjį skaičių pateiksite trupmena, kurios vardiklis yra 1.
Pavyzdžiai.
7. Mišriųjų skaičių dalyba.
Norint padalyti mišrius skaičius, jie pirmiausia paverčiami netinkamomis trupmenomis, o po to padalijami pagal trupmenų padalijimo taisyklę.
Pavyzdys. .
8. Dalybos pakeitimas daugyba.
Jei sukeisite skaitiklį ir vardiklį trupmenoje, gausite naują trupmeną, atvirkštinę duotajai. Pavyzdžiui, trupmenaiatvirkštinė trupmena bus.
Akivaizdu, kad dviejų tarpusavyje atvirkštinių trupmenų sandauga yra lygi 1.
- Trupmenos radimas iš skaičiaus.
Yra daug problemų, dėl kurių reikia rasti tam tikro skaičiaus dalį ar trupmeną. Tokios problemos išsprendžiamos dauginant.
Užduotis. Šeimininkė turėjo 20 rublių;Ji juos išleido apsipirkdama. Kiek kainuoja pirkiniai?
Čia reikia rastinumeris 20. Tai galite padaryti taip:
Atsakymas. Šeimininkė išleido 8 rublius.
Pavyzdžiai. Rasti iš 30. Sprendimas. .
Rasti iš. Sprendimas. .
- Skaičiaus radimas pagal žinomą jo trupmenos dydį.
Kartais reikia nustatyti visą skaičių naudojant žinomą skaičiaus dalį ir trupmeną, išreiškiančią šią dalį. Tokios problemos sprendžiamos dalijant.
Užduotis. Klasėje yra 12 komjaunuolių, tai yravisų klasės mokinių dalis. Kiek mokinių yra klasėje?
Sprendimas. .
Atsakymas. 20 studentų.
Pavyzdys. Raskite numerįkuris yra 34.
Sprendimas. .
Atsakymas. Reikalingas skaičius yra.
- Dviejų skaičių santykio radimas.
Apsvarstykite problemą: darbuotojas pagamino 40 dalių per dieną. Kurią mėnesio užduoties dalį darbuotojas atliko, jei mėnesio planą sudaro 400 dalių?
Sprendimas. .
Atsakymas. Darbininkas baigėmėnesio plano dalis.
Šiuo atveju dalis (40 dalių) išreiškiama visumos (400 dalių) dalimi. Jie taip pat teigia, kad buvo rastas per dieną pagaminamų dalių skaičiaus santykis su mėnesio planu.
- Dešimtainės trupmenos konvertavimas į paprastąją trupmeną.
Norėdami konvertuoti dešimtainę trupmeną į bendrą trupmeną, parašykite ją su vardikliu ir, jei įmanoma, sutrumpinkite:
Pavyzdžiai.
- Trupmenos konvertavimas į dešimtainę.
Yra keletas būdų, kaip trupmeną konvertuoti į dešimtainę.
Pirmas būdas. Norėdami paversti trupmeną į dešimtainį skaičių, skaitiklį padalinkite iš vardiklio.
Pavyzdžiai. .
Antras būdas. Norėdami trupmeną paversti dešimtainiu, turite padauginti trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš tokio skaičiaus, kad vardiklis būtų vienas su nuliais (jei įmanoma).
Pavyzdys.
- Dešimtainių skaičių palyginimas pagal dydį. Norėdami sužinoti, kuri iš dviejų dešimtainių trupmenų yra didesnė, turite palyginti visas jų dalis, dešimtąsias, šimtąsias ir kt. Kai visos dalys yra lygios, dalis, kuri turi daugiau dešimtųjų dalių, yra didesnė; jei sveikieji ir dešimtainiai skaičiai yra lygūs, tas, kuriame yra daugiau šimtųjų dalių, yra didesnis ir kt.
Pavyzdys. Iš trijų frakcijų 2,432; 2.41 ir 2.4098 yra didžiausias pirmas, nes turi daugiausia šimtųjų dalių, o visuma ir dešimtosios visose trupmenose yra vienodos.
Veiksmai su dešimtainėmis dalimis
- Dešimtainių skaičių dauginimas ir dalijimas iš 10, 100, 1000 ir kt.
Norėdami padauginti dešimtainį skaičių iš 10, 100, 1000 ir kt. kablelį reikia perkelti atitinkamai į vieną, du, tris ir pan. ženklas į dešinę. Jei skaičiuje nėra pakankamai ženklų, priskiriami nuliai.
Pavyzdys. 15,45 10 = 154,5; 32,3 · 100 = 3230.
Norėdami padalyti dešimtainę trupmeną iš 10, 100, 1000 ir t. t., dešimtainį tašką reikia perkelti atitinkamai į vieną, du, tris ir pan. ženklas į kairę. Jei nepakanka simbolių kableliui perkelti, jų skaičius papildomas atitinkamu nulių skaičiumi kairėje.
Pavyzdžiai. 184,35: 100 = 1,8435; 3,5: 100 = 0,035.
- Dešimtainių skaičių pridėjimas ir atėmimas.
Dešimtainiai skaičiai pridedami ir atimami taip pat, kaip sudedami ir atimami natūralūs skaičiai. Skaičius rašomas po skaitmeniu, kablelis – po kableliu.
Pavyzdžiai.
- Dešimtainių skaičių dauginimas.
Norint padauginti dvi po kablelio trupmenas, pakanka, nekreipiant dėmesio į kablelius, jas padauginti kaip sveikuosius skaičius ir sandaugoje kableliu dešinėje atskirti tiek skaičių po kablelio, kiek buvo daugiklyje ir daugiklyje kartu.
1 pavyzdys. 2,064 · 0,05.
Padauginame sveikuosius skaičius 2064 · 5 = 10320. Pirmasis koeficientas turėjo tris skaitmenis po kablelio, antrasis – du. Produktas turi būti sudarytas iš penkių skaičių po kablelio. Atskiriame juos dešinėje ir gauname 0,10320. Nulį pabaigoje galima atmesti: 2,064 · 0,05 = 0,1032.
2 pavyzdys. 1,125 · 0,08; 1125 · 8 = 9000.
Po kablelio skaičius turi būti 3 + 2 = 5. Prie 9000 kairėje (009000) pridedame nulius, o dešinėje atskiriame penkis skaitmenis po kablelio. Gauname 1,125 · 0,08 = 0,09000 = 0,09.
- Dalijimas po kablelio.
Nagrinėjami du atvejai, kai dešimtainės trupmenos dalijamos be liekanos: 1) dešimtainės trupmenos dalijimas iš sveikojo skaičiaus; 2) skaičiaus (sveiko skaičiaus arba trupmenos) dalijimas iš dešimtainės trupmenos.
Dešimtainė dalijama iš sveikojo skaičiaus taip pat, kaip ir sveikieji skaičiai; gautos liekanos nuosekliai suskaidomos į mažesnes dešimtaines dalis ir dalijimas tęsiamas tol, kol liekana lygi nuliui.
Pavyzdžiai.
Padalijus skaičių (sveikąjį skaičių arba trupmeną) iš dešimtainės trupmenos visais atvejais gaunamas padalijimas iš sveikojo skaičiaus. Norėdami tai padaryti, padidinkite daliklį 10, 100, 1000 ir kt. kartų, o kad koeficientas nesikeistų, dividendas didinamas tiek pat kartų, o po to dalinamas iš sveikojo skaičiaus (kaip ir pirmuoju atveju).
Pavyzdys. 47,04: 0,0084 = 470400: 84 = 5600;
- Bendrų veiksmų su paprastosiomis ir dešimtosiomis trupmenomis pavyzdžiai.
Pirmiausia panagrinėkime visų operacijų su dešimtainėmis trupmenomis pavyzdį.
1 pavyzdys. Apskaičiuokite:
Čia jie naudoja dividendo ir daliklio sumažinimą iki sveikojo skaičiaus, atsižvelgdami į tai, kad koeficientas nesikeičia. Tada mes turime:
Sprendžiant bendrų veiksmų su paprastosiomis ir dešimtosiomis trupmenomis pavyzdžius, kai kurie veiksmai gali būti atliekami dešimtainėmis trupmenomis, o kai kurie – paprastosiomis trupmenomis. Reikia turėti omenyje, kad bendrąją trupmeną ne visada galima paversti galutine dešimtaine trupmena. Todėl dešimtainę trupmeną galima rašyti tik tada, kai patikrinama, ar toks konvertavimas įmanomas.
2 pavyzdys. Apskaičiuokite:
Palūkanos
Procentų samprata.Skaičiaus procentinė dalis yra šimtoji šio skaičiaus dalis. Pavyzdžiui, užuot sakius „54 šimtosios visų mūsų šalies gyventojų yra moterys“, galima sakyti „54 procentai visų mūsų šalies gyventojų yra moterys“. Vietoj žodžio „procentai“ jie taip pat rašo % ženklą, pavyzdžiui, 35% reiškia 35 procentus.
Kadangi procentas yra šimtoji dalis, tai reiškia, kad procentas yra trupmena, kurios vardiklis yra 100. Todėl trupmena yra 0,49 arba, galima perskaityti kaip 49 proc., o rašyti be vardiklio kaip 49 proc. Apskritai, nustačius, kiek šimtųjų yra tam tikroje dešimtainėje trupmenoje, nesunku jį parašyti procentais. Norėdami tai padaryti, naudokite taisyklę: norėdami parašyti dešimtainę trupmeną procentais, šios trupmenos kablelį turite perkelti dviem vietomis į dešinę.
Pavyzdžiai. 0,33 = 33 %; 1,25 = 125 %; 0,002 = 0,2 %; 21 = 2100 %.
Ir atvirkščiai: 7% = 0,07; 24,5 % = 0,245; 0,1 % = 0,001; 200 % = 2.
1. Duoto skaičiaus procentinės dalies radimas
Užduotis. Pagal planą traktorininkų komanda turi sunaudoti 9 tonas degalų. Traktoristai prisiėmė socialinį įsipareigojimą sutaupyti 20 % degalų. Nustatykite degalų taupymą tonomis.
Jei šiame uždavinyje vietoj 20 % užrašysime jam lygų skaičių 0,2, gausime uždavinį surasti skaičiaus trupmeną. Ir tokios problemos išsprendžiamos dauginant. Tai yra sprendimas:
20 % = 0,2; 9 · 0,2 = 1,8 (m).
Skaičiavimai gali būti parašyti taip:
(m)
Norint rasti kelis procentus tam tikro skaičiaus, užtenka duotą skaičių padalyti iš 100 ir rezultatą padauginti iš procentų skaičiaus.
Užduotis. Darbininkas 1963 metais gaudavo 90 rublių per mėnesį, o 1964 metais pradėjo gauti 30% daugiau. Kiek jis uždirbo 1964 m.?
Sprendimas (pirmasis metodas).
1) Kiek daugiau rublių gavo darbuotojas?
(trinti.)
90 + 27 = 117 (rub).
Antras būdas.
1) Kokį procentą ankstesnio uždarbio darbuotojas pradėjo gauti 1964 m.?
100% + 30% = 130%.
2) Koks buvo darbininko mėnesinis atlyginimas 1964 m.?
(trinti.)
2. Skaičiaus radimas iš nurodytos jo procentinės reikšmės.
Užduotis. Kolūkis kukurūzais pasėjo 280 hektarų plote, tai sudaro 14% viso pasėto ploto. Nustatykite kolūkio apsėtą plotą.
Jei šioje užduotyje vietoj 14% rašome 0,14 arba, tada gauname užduotį surasti skaičių iš žinomos jo trupmenos reikšmės. Ir tokios problemos sprendžiamos dalijant.
Sprendimas. 14 % = 0,14; 280: 0,14 = 2000 (ha). Šis sprendimas taip pat gali būti suformuluotas taip:
(ha)
Norėdami rasti skaičių, pagrįstą tam tikra kelių procentų verte, pakanka padalyti šią reikšmę iš procentų skaičiaus ir padauginti rezultatą iš 100.
Užduotis. Kovo mėnesį gamykla išlydė 125,4 T metalo, planą viršijantis 4,5 proc. Kiek tonų metalo gamykla pagal planą turėjo išlydyti kovo mėnesį?
Sprendimas.
1) Kiek procentų gamykla įvykdė planą kovo mėnesį?
100% + 4,5% = 104,5%.
2) Kiek tonų metalo augalas turėtų išlydyti?
(ha)
- Procentinio ryšio tarp dviejų skaičių nustatymas.
Užduotis. Mums reikia suarti 300 hektarų žemės. Pirmą dieną buvo suarta 120 hektarų. Kiek procentų užduoties buvo atlikta pirmą dieną?
Sprendimas.
Pirmas būdas. 300 hektarų yra 100 %, tai reiškia, kad 1 % sudaro 3 hektarus. Nustatę, kiek kartų 3 hektarai, sudarantys 1%, yra 120 hektarų, sužinome, kiek procentų žemės buvo suarta pirmą dieną.
120: 3 = 40(%).
Antras būdas. Nustačius, kokia žemės dalis buvo suarta pirmą dieną, šią dalį išreiškiame procentais.
Užsirašykime skaičiavimą:
Norėdami apskaičiuoti skaičiaus procentą a iki skaičiaus b , reikia susirasti santykį nuo a iki b ir padauginkite iš 100.
Pamokos turinys
Sudėjus trupmenas su panašiais vardikliais
Yra du trupmenų pridėjimo tipai:
- Sudėjus trupmenas su panašiais vardikliais
- Sudėjus trupmenas su skirtingais vardikliais
Pirma, išmokime pridėti trupmenas su panašiais vardikliais. Čia viskas paprasta. Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti nepakeistą. Pavyzdžiui, pridėkime trupmenas ir . Pridėkite skaitiklius ir palikite vardiklį nepakeistą:
Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į keturias dalis. Jei į picą dedate picą, gausite picą:
2 pavyzdys. Pridėkite trupmenas ir .
Atsakymas pasirodė esąs netinkama trupmena. Kai ateina užduoties pabaiga, įprasta atsikratyti netinkamų trupmenų. Norėdami atsikratyti netinkamos trupmenos, turite pasirinkti visą jos dalį. Mūsų atveju visa dalis yra lengvai izoliuojama - du padalinti iš dviejų, lygūs vienas:
Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime apie picą, padalytą į dvi dalis. Jei į picą pridėsite daugiau picos, gausite vieną visą picą:
3 pavyzdys. Pridėkite trupmenas ir .
Vėlgi, sudedame skaitiklius ir vardiklį paliekame nepakeistą:
Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į tris dalis. Jei į picą pridėsite daugiau picos, gausite picą:
4 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę 
Šis pavyzdys išspręstas lygiai taip pat, kaip ir ankstesni. Skaitikliai turi būti pridėti, o vardiklis paliktas nepakeistas:
Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami piešinį. Jei pridėsite picą prie picos ir pridėsite daugiau picų, gausite 1 visą picą ir daugiau picų.
Kaip matote, nėra nieko sudėtingo pridedant trupmenas su tais pačiais vardikliais. Pakanka suprasti šias taisykles:
- Norėdami pridėti trupmenas su tuo pačiu vardikliu, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti nepakeistą;
Sudėjus trupmenas su skirtingais vardikliais
Dabar išmokime pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais. Sudedant trupmenas, trupmenų vardikliai turi būti vienodi. Tačiau jie ne visada yra vienodi.
Pavyzdžiui, trupmenas galima pridėti, nes jos turi tuos pačius vardiklius.
Tačiau trupmenų negalima pridėti iš karto, nes šios trupmenos turi skirtingus vardiklius. Tokiais atvejais trupmenos turi būti sumažintos iki to paties (bendro) vardiklio.
Yra keletas būdų, kaip sumažinti trupmenas iki to paties vardiklio. Šiandien apžvelgsime tik vieną iš jų, nes kiti metodai pradedantiesiems gali pasirodyti sudėtingi.
Šio metodo esmė ta, kad pirmiausia ieškoma abiejų trupmenų vardklių LCM. Tada LCM padalijamas iš pirmosios trupmenos vardiklio, kad būtų gautas pirmasis papildomas koeficientas. Tą patį jie daro ir su antrąja trupmena – LCM dalijamas iš antrosios trupmenos vardiklio ir gaunamas antras papildomas koeficientas.
Tada trupmenų skaitikliai ir vardikliai dauginami iš jų papildomų koeficientų. Dėl šių veiksmų trupmenos, kurios turėjo skirtingus vardiklius, paverčiamos trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip pridėti tokias trupmenas.
1 pavyzdys. Sudėkime trupmenas ir
Pirmiausia randame mažiausią bendrą abiejų trupmenų vardikų kartotinį. Pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 6
LCM (2 ir 3) = 6
Dabar grįžkime prie trupmenų ir . Pirmiausia padalykite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gaukite pirmąjį papildomą koeficientą. LCM yra skaičius 6, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 6 iš 3, gausime 2.
Gautas skaičius 2 yra pirmasis papildomas daugiklis. Užrašome iki pirmosios trupmenos. Norėdami tai padaryti, padarykite nedidelę įstrižą liniją virš trupmenos ir užrašykite papildomą koeficientą, esantį virš jos:
Tą patį darome su antrąja trupmena. LCM padalijame iš antrosios trupmenos vardiklio ir gauname antrą papildomą koeficientą. LCM yra skaičius 6, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Padalinkite 6 iš 2, gausime 3.
Gautas skaičius 3 yra antrasis papildomas daugiklis. Užrašome iki antros trupmenos. Vėlgi, ant antrosios trupmenos padarome nedidelę įstrižą liniją ir užrašome papildomą koeficientą, esantį virš jos:
Dabar viską paruošėme papildymui. Belieka padauginti trupmenų skaitiklius ir vardiklius iš jų papildomų koeficientų:
Atidžiai pažiūrėkite, prie ko priėjome. Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip pridėti tokias trupmenas. Panagrinėkime šį pavyzdį iki galo:
Tai užbaigia pavyzdį. Pasirodo pridėti.
Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami piešinį. Jei pridėsite picą prie picos, gausite vieną visą picą ir kitą šeštadalį picos:
Trupmenų mažinimas iki to paties (bendro) vardiklio taip pat gali būti pavaizduotas naudojant paveikslėlį. Sumažinę trupmenas ir iki bendro vardiklio, gavome trupmenas ir . Šios dvi frakcijos bus atstovaujamos tais pačiais picos gabalėliais. Skirtumas bus tik tas, kad šį kartą jie bus padalinti į lygias dalis (sumažinus iki to paties vardiklio).
Pirmame piešinyje pavaizduota trupmena (keturi gabalai iš šešių), o antrasis piešinys – trupmena (trys gabalai iš šešių). Pridėjus šiuos gabalus gauname (septynios dalys iš šešių). Ši trupmena netinkama, todėl paryškinome visą jos dalį. Rezultate gavome (vieną visą picą ir kitą šeštą picą).
Atkreipkite dėmesį, kad šį pavyzdį aprašėme per daug išsamiai. Švietimo įstaigose taip smulkiai rašyti nėra įprasta. Turite mokėti greitai rasti abiejų vardiklių ir papildomų veiksnių LCM, taip pat greitai padauginti rastus papildomus veiksnius iš skaitiklių ir vardklių. Jei būtume mokykloje, šį pavyzdį turėtume parašyti taip:
Tačiau yra ir kita medalio pusė. Jei pirmaisiais matematikos studijų etapais nedarote išsamių pastabų, tada pradeda atsirasti tokių klausimų. „Iš kur toks skaičius?“, „Kodėl trupmenos staiga virsta visiškai skirtingomis trupmenomis? «.
Kad būtų lengviau pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, galite naudoti šias nuoseklias instrukcijas:
- Raskite trupmenų vardiklių LCM;
- Padalinkite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio ir gaukite papildomą kiekvienos trupmenos koeficientą;
- Trupmenų skaitiklius ir vardiklius padauginkite iš jų papildomų koeficientų;
- Pridėkite trupmenas, turinčias tuos pačius vardiklius;
- Jei atsakymas yra neteisinga trupmena, pasirinkite visą jo dalį;
2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę 
.
Pasinaudokime aukščiau pateiktomis instrukcijomis.
1 veiksmas. Raskite trupmenų vardiklių LCM
Raskite abiejų trupmenų vardiklių LCM. Trupmenų vardikliai yra skaičiai 2, 3 ir 4
2 veiksmas. Padalinkite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio ir gaukite papildomą koeficientą kiekvienai trupmenai
Padalinkite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Padalinkite 12 iš 2, gausime 6. Gavome pirmąjį papildomą koeficientą 6. Jį rašome virš pirmosios trupmenos:
Dabar LCM padalijame iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 12 iš 3, gausime 4. Gauname antrą papildomą koeficientą 4. Rašome virš antrosios trupmenos:
Dabar LCM padaliname iš trečiosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o trečiosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. 12 padaliname iš 4, gauname 3. Gauname trečiąjį papildomą koeficientą 3. Jį užrašome virš trečiosios trupmenos:
3 veiksmas. Trupmenų skaitiklius ir vardiklius padauginkite iš jų papildomų koeficientų
Skaitiklius ir vardiklius padauginame iš jų papildomų koeficientų:
4 veiksmas. Sudėkite trupmenas su tais pačiais vardikliais
Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius (bendruosius) vardiklius. Belieka pridėti šias trupmenas. Pridėkite:
Papildymas netilpo vienoje eilutėje, todėl likusią išraišką perkėlėme į kitą eilutę. Tai leidžiama matematikoje. Kai išraiška netelpa vienoje eilutėje, ji perkeliama į kitą eilutę, o pirmosios eilutės pabaigoje ir naujos eilutės pradžioje reikia dėti lygybės ženklą (=). Lygybės ženklas antroje eilutėje rodo, kad tai yra pirmoje eilutėje buvusios išraiškos tęsinys.
5 veiksmas. Jei pasirodo, kad atsakymas yra netinkama trupmena, pasirinkite visą jo dalį
Mūsų atsakymas pasirodė esąs netinkama trupmena. Turime pabrėžti visą jo dalį. Mes pabrėžiame:
Gavome atsakymą
Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas
Yra du trupmenų atėmimo tipai:
- Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas
- Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas
Pirma, išmokime atimti trupmenas su panašiais vardikliais. Čia viskas paprasta. Norėdami iš vienos trupmenos atimti kitą, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį, tačiau vardiklį palikite tą patį.
Pavyzdžiui, suraskime išraiškos reikšmę. Norėdami išspręsti šį pavyzdį, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį palikti nepakeistą. Padarykime taip:
Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į keturias dalis. Jei pjaustysite picas iš picos, gausite picas:
2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę.
Vėlgi, iš pirmosios trupmenos skaitiklio atimkite antrosios trupmenos skaitiklį ir palikite vardiklį nepakeistą:
Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į tris dalis. Jei pjaustysite picas iš picos, gausite picas:
3 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę 
Šis pavyzdys išspręstas lygiai taip pat, kaip ir ankstesni. Iš pirmosios trupmenos skaitiklio reikia atimti likusių trupmenų skaitiklius:
Kaip matote, atimant trupmenas su tais pačiais vardikliais nėra nieko sudėtingo. Pakanka suprasti šias taisykles:
- Norėdami iš vienos trupmenos atimti kitą, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį, o vardiklį palikti nepakeistą;
- Jei pasirodo, kad atsakymas yra netinkama trupmena, tuomet reikia paryškinti visą jo dalį.
Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas
Pavyzdžiui, galite atimti trupmeną iš trupmenos, nes trupmenos turi tuos pačius vardiklius. Bet jūs negalite atimti trupmenos iš trupmenos, nes šios trupmenos turi skirtingus vardiklius. Tokiais atvejais trupmenos turi būti sumažintos iki to paties (bendro) vardiklio.
Bendras vardiklis randamas naudojant tą patį principą, kurį naudojome pridėdami trupmenas su skirtingais vardikliais. Pirmiausia suraskite abiejų trupmenų vardklių LCM. Tada LCM dalijamas iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gaunamas pirmasis papildomas koeficientas, kuris užrašomas virš pirmosios trupmenos. Panašiai LCM dalijamas iš antrosios trupmenos vardiklio ir gaunamas antras papildomas koeficientas, kuris užrašomas virš antrosios trupmenos.
Tada trupmenos dauginamos iš papildomų koeficientų. Dėl šių operacijų trupmenos, kurios turėjo skirtingus vardiklius, paverčiamos trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas.
1 pavyzdys. Raskite posakio prasmę:
Šios trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl jas reikia sumažinti iki to paties (bendro) vardiklio.
Pirmiausia randame abiejų trupmenų vardiklių LCM. Pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 12
LCM (3 ir 4) = 12
Dabar grįžkime prie trupmenų ir
Raskime papildomą pirmosios trupmenos koeficientą. Norėdami tai padaryti, padalykite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 12 iš 3, gausime 4. Virš pirmosios trupmenos parašykite ketvertą:
Tą patį darome su antrąja trupmena. Padalinkite LCM iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. Padalinkite 12 iš 4, gausime 3. Ant antrosios trupmenos parašykite trejetą:
Dabar esame pasirengę atimti. Belieka padauginti trupmenas iš jų papildomų veiksnių:
Padarėme išvadą, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas. Panagrinėkime šį pavyzdį iki galo:
Gavome atsakymą
Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami piešinį. Jei išpjausite picą iš picos, gausite picą
Tai yra išsami sprendimo versija. Jei būtume mokykloje, šį pavyzdį turėtume išspręsti trumpiau. Toks sprendimas atrodytų taip:
Trupmenų mažinimas iki bendro vardiklio taip pat gali būti pavaizduotas naudojant paveikslėlį. Sumažinus šias trupmenas iki bendro vardiklio, gavome trupmenas ir . Šios trupmenos bus pavaizduotos tomis pačiomis picos riekelėmis, tačiau šį kartą jos bus padalintos į lygias dalis (sumažintos iki to paties vardiklio):
Pirmoje nuotraukoje pavaizduota trupmena (aštuoni gabalėliai iš dvylikos), o antrame paveikslėlyje – trupmena (trys gabalai iš dvylikos). Iš aštuonių dalių iškirpę tris gabalus, gauname penkis gabalus iš dvylikos. Trupmena apibūdina šiuos penkis gabalus.
2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę 
Šios trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl pirmiausia turite jas sumažinti iki to paties (bendro) vardiklio.
Raskime šių trupmenų vardiklių LCM.
Trupmenų vardikliai yra skaičiai 10, 3 ir 5. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 30
LCM(10; 3; 5) = 30
Dabar kiekvienai frakcijai randame papildomų faktorių. Norėdami tai padaryti, padalykite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio.
Raskime papildomą pirmosios trupmenos koeficientą. LCM yra skaičius 30, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 10. 30 padaliname iš 10, gauname pirmąjį papildomą koeficientą 3. Jį rašome virš pirmosios trupmenos:
Dabar randame papildomą antrosios trupmenos koeficientą. Padalinkite LCM iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 30, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalijus 30 iš 3, gauname antrą papildomą koeficientą 10. Rašome virš antrosios trupmenos:
Dabar randame papildomą trečiosios trupmenos koeficientą. Padalinkite LCM iš trečiosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 30, o trečiosios trupmenos vardiklis yra skaičius 5. Padalinkite 30 iš 5, gausime trečią papildomą koeficientą 6. Rašome virš trečiosios trupmenos:
Dabar viskas paruošta atimti. Belieka padauginti trupmenas iš jų papildomų veiksnių:
Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius (bendruosius) vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas. Užbaikime šį pavyzdį.
Pavyzdžio tęsinys netilps vienoje eilutėje, todėl tęsinį perkeliame į kitą eilutę. Nepamirškite apie lygybės ženklą (=) naujoje eilutėje:
Paaiškėjo, kad atsakymas yra įprasta trupmena, ir viskas, atrodo, mums tinka, bet tai yra pernelyg sudėtinga ir negražu. Turėtume tai padaryti paprasčiau. Ką galima padaryti? Galite sutrumpinti šią dalį.
Norėdami sumažinti trupmeną, jos skaitiklį ir vardiklį turite padalyti iš (GCD) iš skaičių 20 ir 30.
Taigi, randame skaičių 20 ir 30 gcd:
Dabar grįžtame prie savo pavyzdžio ir trupmenos skaitiklį ir vardiklį padaliname iš rasto gcd, tai yra iš 10
Gavome atsakymą
Trupmenos padauginimas iš skaičiaus
Norėdami padauginti trupmeną iš skaičiaus, turite padauginti trupmenos skaitiklį iš šio skaičiaus ir vardiklį palikti tą patį.
1 pavyzdys. Padauginkite trupmeną iš skaičiaus 1.
Padauginkite trupmenos skaitiklį iš skaičiaus 1
Įrašą galima suprasti kaip pusę 1 karto. Pavyzdžiui, jei vieną kartą paimsite picą, gausite picą
Iš daugybos dėsnių žinome, kad sukeitus daugiklį ir koeficientą sandauga nepasikeis. Jei išraiška parašyta kaip , sandauga vis tiek bus lygi . Vėlgi, sveikojo skaičiaus ir trupmenos dauginimo taisyklė veikia:
Šį žymėjimą galima suprasti kaip pusę vieno. Pavyzdžiui, jei yra 1 visa pica ir paimame pusę jos, tada turėsime picą:
2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę
Padauginkite trupmenos skaitiklį iš 4
Atsakymas buvo netinkama trupmena. Pabrėžkime visą jo dalį:
Išraišką galima suprasti kaip du ketvirčius 4 kartus. Pavyzdžiui, jei paimsite 4 picas, gausite dvi visas picas
Ir jei sukeisime daugiklį ir daugiklį, gausime išraišką . Jis taip pat bus lygus 2. Ši išraiška gali būti suprantama kaip dvi picos iš keturių ištisų picų:
Trupmenų dauginimas
Norėdami padauginti trupmenas, turite padauginti jų skaitiklius ir vardiklius. Jei pasirodo, kad atsakymas yra netinkama trupmena, turite paryškinti visą jo dalį.
1 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę.
Gavome atsakymą. Patartina šią dalį sumažinti. Frakcija gali būti sumažinta 2. Tada galutinis tirpalas bus tokios formos:
Posakį galima suprasti kaip picos paėmimą iš pusės picos. Tarkime, kad turime pusę picos:
Kaip paimti du trečdalius iš šios pusės? Pirmiausia turite padalyti šią pusę į tris lygias dalis:
Ir paimkite du iš šių trijų dalių:
Gaminsime picą. Prisiminkite, kaip pica atrodo padalinta į tris dalis:
Vienas šios picos gabalas ir du mūsų paimti gabalai bus vienodo dydžio:
Kitaip tariant, mes kalbame apie tokio pat dydžio picą. Todėl išraiškos vertė yra
2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę
Padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios trupmenos vardiklio:
Atsakymas buvo netinkama trupmena. Pabrėžkime visą jo dalį:
3 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę
Padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios trupmenos vardiklio:
Atsakymas pasirodė taisyklinga trupmena, bet būtų gerai, jei ji būtų sutrumpinta. Norėdami sumažinti šią trupmeną, šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį turite padalyti iš didžiausio skaičių 105 ir 450 bendrojo daliklio (GCD).
Taigi, suraskime skaičių 105 ir 450 gcd:
Dabar savo atsakymo skaitiklį ir vardiklį padalijame iš gcd, kurį dabar radome, tai yra iš 15
Sveikąjį skaičių pavaizduoti kaip trupmeną
Bet koks sveikas skaičius gali būti pavaizduotas trupmena. Pavyzdžiui, skaičius 5 gali būti pavaizduotas kaip . Tai nepakeis penkių reikšmės, nes posakis reiškia „skaičius penkis padalytas iš vieno“, o tai, kaip žinome, yra lygi penkiems:
Abipusiai skaičiai
Dabar susipažinsime su labai įdomia matematikos tema. Tai vadinama „atvirkštiniais skaičiais“.
Apibrėžimas. Atvirkščiai į skaičiųa yra skaičius, kurį padauginus iša duoda vieną.
Pakeiskime šį apibrėžimą vietoj kintamojo a numerį 5 ir pabandykite perskaityti apibrėžimą:
Atvirkščiai į skaičių 5 yra skaičius, kurį padauginus iš 5 duoda vieną.
Ar galima rasti skaičių, kurį padauginus iš 5 gaunamas vienas? Pasirodo, tai įmanoma. Įsivaizduokime penkis kaip trupmeną:
Tada padauginkite šią trupmeną iš savęs, tiesiog pakeiskite skaitiklį ir vardiklį. Kitaip tariant, padauginkime trupmeną iš savęs, tik aukštyn kojomis:
Kas bus dėl to? Jei ir toliau spręstume šį pavyzdį, gautume vieną:
Tai reiškia, kad atvirkštinis skaičius 5 yra skaičius , nes padauginę 5 iš gausite vieną.
Skaičiaus atvirkštinę vertę taip pat galima rasti bet kuriam kitam sveikajam skaičiui.
Taip pat galite rasti bet kurios kitos trupmenos atvirkštinį koeficientą. Norėdami tai padaryti, tiesiog apverskite.
Trupmenos dalijimas iš skaičiaus
Tarkime, kad turime pusę picos:
Padalinkime jį po lygiai tarp dviejų. Kiek picos gaus kiekvienas žmogus?
Matyti, kad padalinus pusę picos buvo gauti du vienodi gabalai, kurių kiekvienas sudaro po picą. Taigi visi gauna picą.
Trupmenų padalijimas atliekamas naudojant reciprokines vertes. Abipusiai skaičiai leidžia dalybas pakeisti daugyba.
Norėdami padalyti trupmeną iš skaičiaus, turite padauginti trupmeną iš daliklio atvirkštinės vertės.
Pagal šią taisyklę užrašysime savo picos pusės padalijimą į dvi dalis.
Taigi, jums reikia padalyti trupmeną iš skaičiaus 2. Čia dividendas yra trupmena, o daliklis yra skaičius 2.
Norėdami padalyti trupmeną iš skaičiaus 2, turite šią trupmeną padauginti iš daliklio 2 atvirkštinės vertės. Daliklio 2 atvirkštinė vertė yra trupmena. Taigi reikia padauginti iš
Dabar, kai išmokome pridėti ir padauginti atskiras trupmenas, galime pažvelgti į sudėtingesnes struktūras. Pavyzdžiui, ką daryti, jei ta pati problema susijusi su trupmenų pridėjimu, atėmimu ir daugyba?
Visų pirma, visas trupmenas reikia konvertuoti į netinkamas. Tada paeiliui atliekame reikiamus veiksmus – ta pačia tvarka kaip ir paprastiems skaičiams. Būtent:
- Pirmiausia atliekamas eksponentinis koeficientas – atsikratykite visų išraiškų, kuriose yra eksponentų;
- Tada – dalyba ir daugyba;
- Paskutinis žingsnis yra sudėjimas ir atėmimas.
Žinoma, jei reiškinyje yra skliaustų, operacijų tvarka keičiasi – pirmiausia reikia suskaičiuoti viską, kas yra skliausteliuose. Ir atminkite apie netinkamas trupmenas: paryškinti visą dalį reikia tik tada, kai visi kiti veiksmai jau atlikti.
Konvertuokime visas pirmosios išraiškos trupmenas į netinkamas ir atlikime šiuos veiksmus:
Dabar suraskime antrosios išraiškos reikšmę. Nėra trupmenų su sveikąja dalimi, bet yra skliausteliuose, todėl pirmiausia atliekame sudėjimą, o tik tada dalijimą. Atkreipkite dėmesį, kad 14 = 7 · 2. Tada:
Galiausiai apsvarstykite trečiąjį pavyzdį. Čia yra skliaustai ir laipsnis - geriau juos skaičiuoti atskirai. Atsižvelgiant į tai, kad 9 = 3 3, turime:
Atkreipkite dėmesį į paskutinį pavyzdį. Norėdami padidinti trupmeną iki laipsnio, turite atskirai pakelti skaitiklį iki šios laipsnio, o atskirai - vardiklį.
Galite nuspręsti kitaip. Jei prisiminsime laipsnio apibrėžimą, problema bus sumažinta iki įprasto trupmenų dauginimo:
Daugiaaukštės trupmenos
Iki šiol laikėme tik „grynąsias“ trupmenas, kai skaitiklis ir vardiklis yra įprasti skaičiai. Tai visiškai atitinka skaičių trupmenos apibrėžimą, pateiktą pačioje pirmoje pamokoje.
Bet ką daryti, jei į skaitiklį ar vardiklį įtrauktumėte sudėtingesnį objektą? Pavyzdžiui, kita skaitinė trupmena? Tokios konstrukcijos kyla gana dažnai, ypač dirbant su ilgomis išraiškomis. Štai keletas pavyzdžių:
Yra tik viena taisyklė dirbant su kelių lygių trupmenomis: turite nedelsdami jų atsikratyti. „Papildomų“ grindų pašalinimas yra gana paprastas, jei prisimenate, kad pasvirasis brūkšnys reiškia standartinę padalijimo operaciją. Todėl bet kurią trupmeną galima perrašyti taip:
Naudodamiesi šiuo faktu ir vadovaudamiesi procedūra, bet kurią kelių aukštų trupmeną galime lengvai sumažinti iki paprastos. Pažvelkite į pavyzdžius:
Užduotis. Konvertuokite daugiaaukštes trupmenas į įprastas:
Kiekvienu atveju perrašome pagrindinę trupmeną, skiriamąją liniją pakeisdami dalybos ženklu. Taip pat atminkite, kad bet koks sveikasis skaičius gali būti pavaizduotas kaip trupmena, kurios vardiklis yra 1. Tai yra 12 = 12/1; 3 = 3/1. Mes gauname:
Paskutiniame pavyzdyje trupmenos buvo atšauktos prieš galutinį dauginimą.
Darbo su daugiapakopėmis trupmenomis specifika
Daugiapakopėse trupmenose yra vienas subtilumas, kurį visada reikia atsiminti, kitaip galite gauti neteisingą atsakymą, net jei visi skaičiavimai buvo teisingi. Pažiūrėkite:
- Skaitiklyje yra vienas skaičius 7, o vardiklyje yra trupmena 12/5;
- Skaitiklyje yra trupmena 7/12, o vardiklyje yra atskiras skaičius 5.
Taigi vienam įrašui gavome dvi visiškai skirtingas interpretacijas. Jei suskaičiuosite, atsakymai taip pat skirsis:
Norėdami užtikrinti, kad įrašas visada būtų skaitomas vienareikšmiškai, naudokite paprastą taisyklę: pagrindinės trupmenos skiriamoji linija turi būti ilgesnė už įdėtos trupmenos eilutę. Pageidautina kelis kartus.
Jei laikysitės šios taisyklės, aukščiau pateiktos trupmenos turėtų būti parašytos taip:
Taip, tai tikriausiai negražu ir užima per daug vietos. Bet jūs skaičiuosite teisingai. Galiausiai, keli pavyzdžiai, kai iš tikrųjų atsiranda kelių aukštų trupmenos:
Užduotis. Raskite posakių reikšmes:
Taigi, dirbkime su pirmuoju pavyzdžiu. Paverskime visas trupmenas į netinkamas, o tada atlikime sudėjimo ir padalijimo operacijas:
Padarykime tą patį su antruoju pavyzdžiu. Paverskime visas trupmenas į netinkamas ir atlikime reikiamus veiksmus. Kad skaitytojui nebūtų nuobodu, praleisiu keletą akivaizdžių skaičiavimų. Turime:
Dėl to, kad pagrindinių trupmenų skaitiklyje ir vardiklyje yra sumos, kelių aukštų trupmenų rašymo taisyklės laikomasi automatiškai. Be to, paskutiniame pavyzdyje mes sąmoningai palikome 46/1 trupmenos formoje, kad galėtume padalinti.
Taip pat pažymėsiu, kad abiejuose pavyzdžiuose trupmenos juosta faktiškai pakeičia skliaustus: pirmiausia radome sumą, o tik tada – koeficientą.
Kai kas sakys, kad perėjimas prie netinkamų trupmenų antrajame pavyzdyje buvo aiškiai nereikalingas. Galbūt tai tiesa. Tačiau tai darydami apsidraudžiame nuo klaidų, nes kitą kartą pavyzdys gali pasirodyti daug sudėtingesnis. Pasirinkite patys, kas svarbiau: greitis ar patikimumas.
496. Rasti X, Jei:
497. 1) Jei pridėsite 10 1/2 prie 3/10 nežinomo skaičiaus, gausite 13 1/2. Raskite nežinomą numerį.
2) Jei iš 7/10 nežinomo skaičiaus atimsite 10 1/2, gausite 15 2/5. Raskite nežinomą numerį.
498 *. Jei iš 3/4 nežinomo skaičiaus atimsite 10 ir gautą skirtumą padauginsite iš 5, gausite 100. Raskite skaičių.
499 *. Jei nežinomą skaičių padidinsite 2/3 jo, gausite 60. Koks tai skaičius?
500 *. Jei prie nežinomo skaičiaus pridėsite tą pačią sumą, taip pat 20 1/3, gausite 105 2/5. Raskite nežinomą numerį.
501. 1) Bulvių derlius, sodinant kvadratiniais kekiniais, vidutiniškai siekia 150 centnerių iš hektaro, o įprastu būdu – 3/5 šio kiekio. Kiek daugiau bulvių galima priskinti iš 15 hektarų ploto, jei bulvės sodinamos kvadratinių kekių metodu?
2) Patyręs darbuotojas pagamino 18 dalių per 1 valandą, o nepatyręs darbuotojas pagamino 2/3 šio kiekio. Kiek daugiau dalių gali pagaminti patyręs darbuotojas per 7 valandas?
502. 1) Pirmininkai per tris dienas surinko 56 kg skirtingų sėklų. Pirmą dieną surinkta 3/14 viso kiekio, antrąją – pusantro karto daugiau, trečią – likusius grūdus. Kiek kilogramų sėklų pionieriai surinko trečią dieną?
2) Malant kviečius gautas rezultatas: miltai 4/5 viso kviečių kiekio, manų kruopos - 40 kartų mažiau nei miltai, o likusi dalis buvo sėlenos. Kiek miltų, manų kruopų ir sėlenų susidarė atskirai sumalant 3 tonas kviečių?
503. 1) Trijuose garažuose telpa 460 automobilių. Pirmame garaže telpančių automobilių skaičius yra 3/4 automobilių, kurie telpa į antrąjį, o trečiame garaže yra 1 1/2 karto daugiau automobilių nei pirmame. Kiek automobilių telpa kiekviename garaže?
2) Trijų cechų gamykloje dirba 6000 darbuotojų. Antrame ceche dirba 1 1/2 karto mažiau darbininkų nei pirmame, o trečiame ceche darbuotojų skaičius yra 5/6 antrojo cecho darbuotojų skaičiaus. Kiek darbuotojų yra kiekvienoje dirbtuvėje?
504. 1) Iš bako su žibalu išpilta iš pradžių 2/5, paskui 1/3 viso žibalo, o po to bake liko 8 tonos žibalo. Kiek žibalo iš pradžių buvo bake?
2) Dviratininkai lenktyniavo tris dienas. Pirmą dieną jie įveikė 4/15 visos kelionės, antrąją - 2/5, o trečią dieną likusius 100 km. Kiek dviratininkai nuvažiavo per tris dienas?
505. 1) Ledlaužis tris dienas kovėsi per ledo lauką. Pirmą dieną nuėjo 1/2 visos distancijos, antrą dieną 3/5 likusio atstumo ir trečią likusius 24 km. Raskite ledlaužio nueito kelio ilgį per tris dienas.
2) Trys moksleivių grupės pasodino medžius kaimui apželdinti. Pirmasis būrys pasodino 7/20 visų medžių, antrasis – 5/8 likusių medžių, trečiasis – likusius 195 medžius. Kiek medžių iš viso pasodino trys komandos?
506. 1) Kombainas iš vieno sklypo kviečius nuskynė per tris dienas. Pirmą dieną jis nuėmė iš 5/18 viso sklypo ploto, antrą dieną iš 7/13 likusio ploto ir trečią dieną iš likusio 30 1/2 ploto. hektarų. Vidutiniškai iš kiekvieno hektaro buvo prikulta po 20 centnerių kviečių. Kiek kviečių buvo nuimta visame rajone?
2) Pirmą dieną ralio dalyviai įveikė 3/11 viso maršruto, antrą dieną 7/20 likusio maršruto, trečią dieną 5/13 naujos trasos, o ketvirtą dieną likusį maršrutą. 320 km. Kokio ilgio ralio maršrutas?
507. 1) Pirmą dieną automobilis įveikė 3/8 visos distancijos, antrą dieną 15/17 to, ką įveikė pirmą, o trečią dieną likusius 200 km. Kiek buvo sunaudota benzino, jei automobilis 10 km sunaudoja 1 3/5 kg benzino?
2) Miestas susideda iš keturių rajonų. O 4/13 visų miesto gyventojų gyvena pirmame rajone, 5/6 pirmojo rajono gyventojų – antrajame, 4/11 pirmojo – trečiame; kartu sudėjus du rajonus, o ketvirtajame rajone gyvena 18 tūkst. Kiek duonos reikia visiems miesto gyventojams 3 dienoms, jei vidutiniškai vienas žmogus per dieną suvartoja 500 g?
508. 1) Pirmą dieną turistas nuėjo 10/31 visos kelionės, antrąją 9/10 to, ką nuėjo pirmąją dieną, trečią likusį kelią, o trečią dieną nuėjo 12 km daugiau nei antrą dieną. Kiek kilometrų turistas nuėjo kiekvieną iš trijų dienų?
2) Visą maršrutą nuo miesto A iki miesto B automobilis įveikė per tris dienas. Pirmą dieną automobilis įveikė 7/20 visos distancijos, antrąją 8/13 likusio atstumo, o trečią dieną automobilis įveikė 72 km mažiau nei pirmą dieną. Koks atstumas tarp miestų A ir B?
509. 1) Vykdomasis komitetas trijų gamyklų darbininkams paskyrė žemę sodo sklypams. Pirmajam augalui skirta 9/25 viso sklypų skaičiaus, antrajam – 5/9 pirmajam skirtų sklypų, o trečiajam – likusiems sklypams. Kiek iš viso sklypų buvo skirta trijų gamyklų darbuotojams, jei pirmajai gamyklai buvo skirta 50 mažiau sklypų nei trečiajai?
2) Lėktuvas per tris dienas atgabeno žiemos darbininkų pamainą į poliarinę stotį iš Maskvos. Pirmą dieną nuskrido 2/5 visos distancijos, antrąją - 5/6 pirmąją dieną įveikto atstumo, o trečią dieną nuskrido 500 km mažiau nei antrąją. Kiek toli lėktuvas nuskrido per tris dienas?
510. 1) Gamykloje buvo trys dirbtuvės. Darbuotojų skaičius pirmajame ceche yra 2/5 visų gamyklos darbuotojų; antrame ceche dirba 1 1/2 karto mažiau darbininkų nei pirmame, o trečiame 100 daugiau nei antrame. Kiek darbuotojų dirba gamykloje?
2) Kolūkyje gyvena trijų gretimų kaimų gyventojai. Pirmajame kaime šeimų skaičius – 3/10 visų kolūkio šeimų; antrame kaime šeimų skaičius 1 1/2 karto didesnis nei pirmajame, o trečiame kaime šeimų skaičius yra 420 mažiau nei antrame. Kiek šeimų yra kolūkyje?
511. 1) Pirmą savaitę artelis išnaudojo 1/3 žaliavos atsargų, o antrąją - 1/3 likusios. Kiek žaliavos liko artelėje, jei pirmą savaitę žaliavos sunaudota 3/5 tonomis daugiau nei antrąją?
2) Iš importuotų anglių pirmąjį mėnesį 1/6 buvo išleista namo šildymui, o 3/8 likusios dalies antrą mėnesį. Kiek anglių lieka namui šildyti, jei antrą mėnesį buvo sunaudota 1 3/4 daugiau nei pirmąjį mėnesį?
512. 3/5 visos kolūkio žemės yra skirta grūdų sėjai, 13/36 likusią dalį užima daržai ir pievos, likusią dalį sudaro miškas, o kolūkio apsėtas plotas. 217 hektarų didesnis už miško plotą, 1/3 grūdams sėti skirtos žemės yra apsėta rugiais, likusi dalis – kviečiai. Kiek hektarų žemės kolūkis apsėjo kviečiais, kiek rugiais?
513. 1) Tramvajaus maršrutas yra 14 3/8 km ilgio. Šiame maršrute tramvajus sustoja 18 stotelių, vidutiniškai sustodami iki 1 1/6 minutės. Vidutinis tramvajaus greitis visame maršrute yra 12 1/2 km per valandą. Kiek laiko užtrunka, kol tramvajus nuvažiuoja vieną reisą?
2) Autobuso maršrutas 16 km. Šiuo maršrutu autobusas daro 36 stoteles po 3/4 minutes. vidutiniškai kiekvienas. Vidutinis autobuso greitis yra 30 km per valandą. Kiek laiko trunka autobusas vienu maršrutu?
514*. 1) Dabar 6 valanda. vakarais. Kokia dienos dalis liko iš praeities ir kokia dienos dalis liko?
2) Garlaivis su srove nuvažiuoja atstumą tarp dviejų miestų per 3 dienas. ir atgal tą patį atstumą per 4 dienas. Kiek dienų plaustai plauks pasroviui iš vieno miesto į kitą?
515. 1) Kiek lentų bus klojama grindys patalpoje, kurios ilgis 6 2/3 m, plotis 5 1/4 m, jei kiekvienos lentos ilgis 6 2/3 m, o plotis 3/ 80 ilgio?
2) Stačiakampė platforma yra 45 1/2 m ilgio, o plotis - 5/13 jos ilgio. Šią sritį riboja 4/5 m pločio takas. Raskite tako plotą.
516. Raskite skaičių aritmetinį vidurkį:
517. 1) Dviejų skaičių aritmetinis vidurkis yra 6 1/6. Vienas iš skaičių yra 3 3/4. Raskite kitą numerį.
2) Dviejų skaičių aritmetinis vidurkis yra 14 1/4. Vienas iš šių skaičių yra 15 5/6. Raskite kitą numerį.
518. 1) Prekinis traukinys kelyje buvo tris valandas. Pirmą valandą įveikė 36 1/2 km, antrą 40 km ir trečią 39 3/4 km. Raskite vidutinį traukinio greitį.
2) Automobilis per pirmąsias dvi valandas nuvažiavo 81 1/2 km, o per kitas 2 1/2 valandos - 95 km. Kiek kilometrų jis nueidavo vidutiniškai per valandą?
519. 1) Traktoristas per tris dienas atliko žemės arimo užduotį. Pirmą dieną suarė 12 1/2 hektaro, antrą dieną 15 3/4 hektaro ir trečią dieną 14 1/2 hektaro. Kiek hektarų žemės vidutiniškai per dieną suardavo traktorininkas?
2) Moksleivių grupė, vykusi į trijų dienų turistinę kelionę, pirmą dieną buvo kelyje 6 1/3 val., antrąją – 7 val. o trečią dieną – 4 2/3 val. Kiek valandų vidutiniškai kasdien keliaudavo moksleiviai?
520. 1) Name gyvena trys šeimos. Pirmoji šeima turi 3 lemputes butui apšviesti, antroji – 4, trečioji – 5 lemputes. Kiek kiekviena šeima turėtų mokėti už elektrą, jei visos lempos būtų vienodos, o bendra sąskaita už elektrą (visam namui) buvo 7 1/5 rublių?
2) Bute, kuriame gyveno trys šeimos, poliruotojas blizgino grindis. Pirmoji šeima turėjo 36 1/2 kvadratinių metrų gyvenamąjį plotą. m, antrasis yra 24 1/2 kv. m, o trečias – 43 kv. m Už visus darbus buvo sumokėta 2 rubliai. 08 kop. Kiek mokėjo kiekviena šeima?
521. 1) Sodo sklype bulvės buvo renkamos nuo 50 krūmų po 1 1/10 kg vienam krūmui, nuo 70 krūmų po 4/5 kg vienam krūmui, nuo 80 krūmų po 9/10 kg vienam krūmui. Kiek kilogramų bulvių vidutiniškai priskinama nuo kiekvieno krūmo?
2) Lauko įgula 300 hektarų plote gavo 20 1/2 centnerių žieminių kviečių iš 1 hektaro, nuo 80 hektarų iki 24 centnerių iš 1 ha, o iš 20 hektarų - 28 1/2 centnerių iš 1 ha. 1 ha. Koks vidutinis derlius brigadoje su 1 hektaru?
522. 1) Dviejų skaičių suma yra 7 1/2. Vienas skaičius yra 4 4/5 didesnis už kitą. Raskite šiuos skaičius.
2) Sudėjus skaičius, išreiškiančius Totorių ir Kerčės sąsiaurio plotį, gauname 11 7/10 km. Totorių sąsiauris yra 3 1/10 km platesnis nei Kerčės sąsiauris. Koks kiekvieno sąsiaurio plotis?
523. 1) Trijų skaičių suma yra 35 2/3. Pirmasis skaičius yra didesnis už antrąjį 5 1/3 ir didesnis už trečiąjį 3 5/6. Raskite šiuos skaičius.
2) Novaya Zemlya, Sachalin ir Severnaya Zemlya salos kartu užima 196 7/10 tūkstančių kvadratinių metrų plotą. km. Novaya Zemlya plotas yra 44 1/10 tūkstančių kvadratinių metrų. km didesnis nei Severnaja Zemlijos plotas ir 5 1/5 tūkst. km didesnis nei Sachalino plotas. Koks yra kiekvienos iš išvardytų salų plotas?
524. 1) Butas susideda iš trijų kambarių. Pirmojo kambario plotas 24 3/8 kv. m ir yra 13/36 viso buto ploto. Antrojo kambario plotas 8 1/8 kv. m daugiau nei trečiojo plotas. Koks antrojo kambario plotas?
2) Dviratininkas per tris dienas trukusias varžybas pirmąją dieną kelyje buvo 3 1/4 valandos, o tai sudarė 13/43 viso kelionės laiko. Antrą dieną jis važiavo 1 1/2 valandos daugiau nei trečią dieną. Kiek valandų dviratininkas važiavo antrąją varžybų dieną?
525. Trys geležies gabalai kartu sveria 17 1/4 kg. Jei pirmojo gabalo svoris sumažinamas 1 1/2 kg, antrojo - 2 1/4 kg, tada visos trys dalys bus vienodo svorio. Kiek svėrė kiekvienas geležies gabalas?
526. 1) Dviejų skaičių suma yra 15 1/5. Jei pirmasis skaičius sumažinamas 3 1/10, o antrasis padidinamas 3 1/10, tada šie skaičiai bus lygūs. Kam lygus kiekvienas skaičius?
2) Dviejose dėžėse buvo 38 1/4 kg javų. Jei iš vienos dėžės į kitą supilsite 4 3/4 kg dribsnių, tai abiejose dėžėse bus vienodas grūdų kiekis. Kiek grūdų yra kiekvienoje dėžutėje?
527 . 1) Dviejų skaičių suma yra 17 17 / 30. Jei iš pirmojo skaičiaus atimsite 5 1/2 ir pridėsite jį prie antrojo, tada pirmasis vis tiek bus didesnis nei antrasis 2 17/30. Raskite abu skaičius.
2) Dviejose dėžėse yra 24 1/4 kg obuolių. Jei iš pirmos dėžės į antrą perkelsite 3 1/2 kg, tai pirmoje obuolių vis tiek bus 3/5 kg daugiau nei antroje. Kiek kilogramų obuolių yra kiekvienoje dėžutėje?
528 *. 1) Dviejų skaičių suma yra 8 11/14, o jų skirtumas yra 2 3/7. Raskite šiuos skaičius.
2) Valtis judėjo upe 15 1/2 km per valandą greičiu, o prieš srovę - 8 1/4 km per valandą. Koks upės tėkmės greitis?
529. 1) Dviejuose garažuose yra 110 automobilių, o viename jų yra 1 1/5 karto daugiau nei kitame. Kiek automobilių yra kiekviename garaže?
2) Buto, susidedančio iš dviejų kambarių, gyvenamasis plotas yra 47 1/2 kv.m. m vieno kambario plotas yra 8/11 kito ploto. Raskite kiekvieno kambario plotą.
530. 1) Lydinys, sudarytas iš vario ir sidabro, sveria 330 g. Vario svoris šiame lydinyje yra 5/28 sidabro svorio. Kiek sidabro ir kiek vario yra lydinyje?
2) Dviejų skaičių suma yra 6 3/4, o koeficientas yra 3 1/2. Raskite šiuos skaičius.
531. Trijų skaičių suma yra 22 1/2. Antrasis skaičius yra 3 1/2 karto, o trečiasis yra 2 1/4 karto didesnis už pirmąjį. Raskite šiuos skaičius.
532. 1) Dviejų skaičių skirtumas yra 7; didesnio skaičiaus dalijimo iš mažesnio skaičiaus koeficientas yra 5 2/3. Raskite šiuos skaičius.
2) Skirtumas tarp dviejų skaičių yra 29 3/8, o jų kartotinis santykis yra 8 5/6. Raskite šiuos skaičius.
533. Klasėje nelankančių mokinių skaičius yra 3/13 dalyvaujančių mokinių skaičiaus. Kiek mokinių yra klasėje pagal sąrašą, jei dalyvauja 20 žmonių daugiau nei nėra?
534. 1) Skirtumas tarp dviejų skaičių yra 3 1/5. Vienas skaičius yra 5/7 kito. Raskite šiuos skaičius.
2) Tėvas yra 24 metais vyresnis už sūnų. Sūnaus metų skaičius lygus 5/13 tėvo metų skaičiaus. Kiek metų tėčiui ir kiek sūnui?
535. Trupmenos vardiklis yra 11 vienetų didesnis už jos skaitiklį. Kokia yra trupmenos reikšmė, jei jos vardiklis yra 3 3/4 karto didesnis už skaitiklį?
Nr.536 - 537 žodžiu.
536. 1) Pirmasis skaičius yra 1/2 antrojo. Kiek kartų antrasis skaičius didesnis už pirmąjį?
2) Pirmasis skaičius yra 3/2 antrojo. Kokia pirmojo skaičiaus dalis yra antrasis skaičius?
537. 1) 1/2 pirmojo skaičiaus yra lygi 1/3 antrojo skaičiaus. Kokia pirmojo skaičiaus dalis yra antrasis skaičius?
2) 2/3 pirmojo skaičiaus yra lygi 3/4 antrojo skaičiaus. Kokia pirmojo skaičiaus dalis yra antrasis skaičius? Kokia antrojo skaičiaus dalis yra pirmoji?
538. 1) Dviejų skaičių suma lygi 16. Raskite šiuos skaičius, jei 1/3 antrojo skaičiaus yra lygus 1/5 pirmojo.
2) Dviejų skaičių suma lygi 38. Raskite šiuos skaičius, jei 2/3 pirmojo skaičiaus yra lygus 3/5 antrojo.
539 *. 1) Du berniukai kartu surinko 100 grybų. 3/8 pirmojo berniuko surinktų grybų skaičiaus yra lygus 1/4 antrojo berniuko surinktų grybų skaičiaus. Kiek grybų surinko kiekvienas berniukas?
2) Įstaigoje dirba 27 darbuotojai. Kiek vyrų dirba ir kiek moterų dirba, jei 2/5 visų vyrų yra lygūs 3/5 visų moterų?
540 *. Trys berniukai nusipirko tinklinį. Nustatykite kiekvieno berniuko indėlį, žinodami, kad 1/2 pirmojo berniuko įnašo yra lygi 1/3 antrojo įnašo arba 1/4 trečiojo indėlio, o trečiojo įnašo berniukas yra 64 kapeikomis daugiau nei pirmojo įnašas.
541 *. 1) Vienas skaičius yra 6 didesnis už kitą. Raskite šiuos skaičius, jei 2/5 vieno skaičiaus yra lygūs 2/3 kito.
2) Dviejų skaičių skirtumas yra 35. Raskite šiuos skaičius, jei 1/3 pirmojo skaičiaus yra lygus 3/4 antrojo skaičiaus.
542. 1) Pirmoji komanda kai kuriuos darbus gali atlikti per 36 dienas, o antroji – per 45 dienas. Per kiek dienų abi komandos, dirbdamos kartu, atliks šį darbą?
2) Keleivinis traukinys atstumą tarp dviejų miestų įveikia per 10 valandų, o krovininis – per 15 valandų. Abu traukiniai iš šių miestų išvažiavo vienu metu vienas kito link. Po kiek valandų jie susitiks?
543. 1) Greitasis traukinys atstumą tarp dviejų miestų įveikia per 6 1/4 valandos, o keleivinis – per 7 1/2 valandos. Po kiek valandų šie traukiniai susitiks, jei iš abiejų miestų išvažiuos vienu metu vienas kito link? (Apvalus atsakymas 1 valandos tikslumu.)
2) Du motociklininkai vienu metu išvažiavo iš dviejų miestų vienas kito link. Vienas motociklininkas visą atstumą tarp šių miestų gali nuvažiuoti per 6 valandas, kitas – per 5 valandas. Kiek valandų po išvykimo susitiks motociklininkai? (Apvalus atsakymas 1 valandos tikslumu.)
544. 1) Kai kuriuos krovinius gali gabenti trys skirtingos keliamosios galios automobiliai, dirbantys atskirai: pirmas per 10 val., antrasis per 12 val. o trečias per 15 valandų per kiek valandų gali vežti tą patį krovinį, dirbdami kartu?
2) Du traukiniai vienu metu išvažiuoja iš dviejų stočių vienas link kito: pirmasis traukinys atstumą tarp šių stočių įveikia per 12 1/2 val., o antrasis – per 18 3/4 valandų. Kiek valandų po išvykimo susitiks traukiniai?
545. 1) Prie vonios prijungti du čiaupai. Per vieną iš jų vonią galima užpildyti per 12 minučių, per kitą – 1 1/2 karto greičiau. Kiek minučių prireiks užpildyti 5/6 visos vonios, jei vienu metu atidarysite abu čiaupus?
2) Du mašinininkai turi perrašyti rankraštį. Pirmasis vairuotojas šį darbą gali atlikti per 3 1/3 dienų, o antrasis – 1 1/2 karto greičiau. Kiek dienų prireiks abiem mašininkėms, kad atliktų darbą, jei jie dirbs vienu metu?
546. 1) Pirmu vamzdžiu baseinas užpildomas per 5 valandas, o per antrąjį vamzdį galima ištuštinti per 6 valandas Po kiek valandų bus užpildytas visas baseinas, jei abu vamzdžiai bus atidaryti vienu metu?
Pastaba. Per valandą baseinas užpildomas iki (1/5–1/6 talpos).
2) Du traktoriai lauką suarė per 6 valandas. Pirmasis traktorius, dirbantis vienas, galėtų suarti šį lauką per 15 valandų. Kiek valandų prireiktų antram traktoriui, dirbančiam vienam, suarti šį lauką?
547 *. Du traukiniai vienu metu išvažiuoja iš dviejų stočių vienas į kitą ir susitinka po 18 valandų. po jo paleidimo. Kiek laiko antrasis traukinys įveikia atstumą tarp stočių, jei pirmasis traukinys šį atstumą įveikia per 1 dieną 21 valandą?
548 *. Baseinas užpildytas dviem vamzdžiais. Pirmiausia jie atidarė pirmąjį vamzdį, o po 3 3/4 valandų, kai buvo užpildyta pusė baseino, atidarė antrą vamzdį. Po 2 1/2 valandų darbo kartu baseinas buvo pilnas. Nustatykite baseino talpą, jei per antrąjį vamzdį išpilama 200 kibirų vandens per valandą.
549. 1) Kurjerinis traukinys išvyko iš Leningrado į Maskvą ir nuvažiuoja 1 km per 3/4 min. Praėjus 1/2 valandos po šio traukinio išvykimo iš Maskvos, greitasis traukinys iš Maskvos išvyko į Leningradą, kurio greitis buvo lygus 3/4 greitojo traukinio greičio. Kokiu atstumu vienas nuo kito bus traukiniai po 2 1/2 valandos po kurjerio išvykimo, jei atstumas tarp Maskvos ir Leningrado yra 650 km?
2) Nuo kolūkio iki miesto 24 km. Sunkvežimis išvažiuoja iš kolūkio ir nuvažiuoja 1 km per 2 1/2 min. Po 15 min. Šiam automobiliui išvažiavus iš miesto į kolūkį dviratininkas išvažiavo perpus mažesniu nei sunkvežimio greičiu. Kiek laiko po išvykimo dviratininkas pasitiks sunkvežimį?
550. 1) Iš vieno kaimo išėjo pėstysis. Praėjus 4 1/2 val. po pėsčiojo pasitraukimo ta pačia kryptimi važiavo dviratininkas, kurio greitis buvo 2 1/2 karto didesnis už pėsčiojo greitį. Kiek valandų po pėsčiojo pasitraukimo dviratininkas jį aplenks?
2) Greitasis traukinys 187 1/2 km nuvažiuoja per 3 valandas, o prekinis 288 km per 6 valandas. 7 1/4 valandos po prekinio traukinio išvykimo greitosios medicinos pagalbos automobilis išvyksta ta pačia kryptimi. Kiek laiko užtruks greitasis traukinys, kad pasivys prekinį traukinį?
551. 1) Iš dviejų kolūkių, per kuriuos eina kelias į valsčiaus centrą, vienu metu arkliais į rajoną išjojo du kolūkiečiai. Pirmasis iš jų važiavo 8 3/4 km per valandą, o antrasis buvo 1 1/7 karto didesnis nei pirmasis. Antrasis kolūkietis pirmąjį pasivijo po 3 4/5 val. Nustatykite atstumą tarp kolūkių.
2) 26 1/3 valandos po traukinio Maskva-Vladivostokas, kurio vidutinis greitis buvo 60 km per valandą, išvykimo, lėktuvas TU-104 pakilo ta pačia kryptimi, 14 1/6 karto didesniu greičiu. traukinio. Kiek valandų po išvykimo lėktuvas pasieks traukinį?
552. 1) Atstumas tarp miestų palei upę yra 264 km. Garlaivis šį atstumą pasroviui įveikė per 18 valandų, 1/12 šio laiko praleidęs sustodamas. Upės greitis yra 1 1/2 km per valandą. Kiek laiko užtruktų garlaivis nuvažiuoti 87 km nesustodamas stovinčiame vandenyje?
2) Motorinis kateris upe 207 km nuplaukė per 13 1/2 valandos, 1/9 šio laiko praleisdamas sustojimuose. Upės greitis yra 1 3/4 km per valandą. Kiek kilometrų šis laivas gali nuvažiuoti nejudančiame vandenyje per 2 1/2 valandos?
553. 52 km atstumą per tvenkinį kateris nesustodamas įveikė per 3 valandas 15 minučių. Toliau, plaukdamas upe prieš srovę, kurios greitis yra 1 3/4 km per valandą, šis kateris įveikė 28 1/2 km per 2 1/4 val., atlikdamas 3 vienodos trukmės sustojimus. Kiek minučių laivas laukė kiekvienoje stotelėje?
554. Iš Leningrado į Kronštatą 12 val. Garlaivis išvyko po pietų ir visą atstumą tarp šių miestų įveikė per 1 1/2 valandos. Pakeliui jis sutiko kitą laivą, kuris iš Kronštato išplaukė į Leningradą 12.18 val. ir eiti 1 1/4 karto didesniu greičiu nei pirmasis. Kuriuo metu abu laivai susitiko?
555. Traukinys 630 km atstumą turėjo įveikti per 14 valandų. Įveikęs 2/3 šio atstumo, buvo sulaikytas 1 val. 10 min. Kokiu greičiu jis turėtų tęsti kelionę, kad nedelsdamas pasiektų tikslą?
556. 4.20 val. Ryte iš Kijevo į Odesą išvažiavo krovininis traukinys, kurio vidutinis greitis 31 1/5 km per valandą. Po kurio laiko iš Odesos jo pasitikti išvažiavo pašto traukinys, kurio greitis buvo 1 17/39 karto didesnis už prekinio traukinio greitį, ir pasitiko prekinį traukinį praėjus 6 1/2 valandos po jo išvykimo. Kada pašto traukinys išvyko iš Odesos, jei atstumas tarp Kijevo ir Odesos yra 663 km?
557*. Laikrodis rodo vidurdienį. Kiek laiko užtruks, kad valandos ir minutės rodyklės sutaptų?
558. 1) Gamykloje yra trys dirbtuvės. Pirmajame ceche dirba 9/20 visų gamyklos darbuotojų, antrame ceche dirba 1 1/2 karto mažiau nei pirmame, o trečiame ceche dirba 300 darbuotojų mažiau nei gamykloje. antra. Kiek darbuotojų dirba gamykloje?
2) Mieste yra trys vidurinės mokyklos. Pirmosios mokyklos mokinių skaičius yra 3/10 visų šių trijų mokyklų mokinių; antroje mokykloje mokosi 1 1/2 karto daugiau nei pirmoje, o trečioje – 420 mokinių mažiau nei antroje. Kiek mokinių yra trijose mokyklose?
559. 1) Toje pačioje srityje dirbo du kombainų operatoriai. Vienam kombainui nuėmus 9/16 viso sklypo, o antrajam – 3/8 to paties sklypo, paaiškėjo, kad pirmasis kombainas nuskynė 97 1/2 hektaro daugiau nei antrasis. Iš kiekvieno hektaro buvo iškulta vidutiniškai 32 1/2 centnerių grūdų. Kiek centnerių grūdų kulė kiekvienas kombainininkas?
2) Du broliai nusipirko fotoaparatą. Vienas turėjo 5/8, o antras 4/7 fotoaparato kainos, o pirmasis - 2 rublius. 25 kapeikos daugiau nei antrasis. Visi sumokėjo pusę įrenginio kainos. Kiek pinigų visiems liko?
560. 1) Lengvasis automobilis išvyksta iš miesto A į miestą B, atstumas tarp jų 215 km, 50 km per valandą greičiu. Tuo pačiu metu sunkvežimis išvažiavo iš miesto B į miestą A. Kiek kilometrų nuvažiavo lengvasis automobilis prieš susitikdamas su sunkvežimiu, jei sunkvežimio greitis per valandą buvo 18/25 lengvojo automobilio greičio?
2) Tarp miestų A ir B 210 km. Lengvasis automobilis išvažiavo iš miesto A į miestą B. Tuo pačiu metu sunkvežimis išvažiavo iš miesto B į miestą A. Kiek kilometrų sunkvežimis nuvažiavo prieš pasitikdamas lengvąjį automobilį, jei lengvasis automobilis važiavo 48 km per valandą greičiu, o sunkvežimio greitis per valandą buvo 3/4 lengvojo automobilio greičio?
561. Kolūkis rinko kviečius ir rugius. Kviečių pasėta 20 hektarų daugiau nei rugiais. Bendras rugių derlius sudarė 5/6 viso kviečių derliaus, 20 c iš 1 ha ir kviečių, ir rugių derliaus. 7/11 viso kviečių ir rugių derliaus kolūkis pardavė valstybei, o likusius grūdus paliko savo poreikiams tenkinti. Kiek reisų prireikė dviejų tonų sunkvežimiams eksportuoti į valstybę parduotą duoną?
562. Į kepyklą buvo atvežti ruginiai ir kvietiniai miltai. Kvietinių miltų masė buvo 3/5 ruginių miltų masės, o ruginių miltų buvo atvežta 4 tonomis daugiau nei kvietinių. Kiek kvietinės ir kiek ruginės duonos kepykla iškeps iš šių miltų, jei kepiniai sudaro 2/5 visų miltų?
563. Per tris dienas darbininkų komanda atliko 3/4 visų greitkelio tarp dviejų kolūkių remonto darbų. Pirmą dieną sutvarkyta 2 2/5 km šios plento, antrą dieną 1 1/2 karto daugiau nei pirmąją, o trečią dieną 5/8 to, kas sutvarkyta per pirmas dvi dienas kartu. Raskite greitkelio tarp kolūkių ilgį.
564. Užpildykite tuščias lentelės vietas, kur S yra stačiakampio plotas, A- stačiakampio pagrindas, a h-stačiakampio aukštis (plotis).
565. 1) Stačiakampio sklypo ilgis 120 m, plotis 2/5 ilgio. Raskite svetainės perimetrą ir plotą.
2) Stačiakampio pjūvio plotis 250 m, o ilgis 1 1/2 pločio. Raskite svetainės perimetrą ir plotą.
566. 1) Stačiakampio perimetras yra 6 1/2 colio, jo pagrindas yra 1/4 colio didesnis nei jo aukštis. Raskite šio stačiakampio plotą.
2) Stačiakampio perimetras yra 18 cm, jo aukštis 2 1/2 cm mažesnis už pagrindą. Raskite stačiakampio plotą.
567. Apskaičiuokite 30 paveiksle pavaizduotų figūrų plotus, padalydami jas į stačiakampius ir išmatuodami rasdami stačiakampio matmenis.
568. 1) Kiek sauso tinko lakštų reikės 4 1/2 m ilgio ir 4 m pločio patalpos luboms padengti, jei tinko lakšto matmenys yra 2 m x l 1/2 m?
2) Kiek 4 1/2 m ilgio ir 1/4 m pločio lentų reikia 4 1/2 m ilgio ir 3 1/2 m pločio grindims pakloti?
569. 1) 560 m ilgio ir 3/4 ilgio pločio stačiakampis sklypas buvo apsėtas pupomis. Kiek sėklų reikėjo sklypui pasėti, jei 1 hektarui buvo pasėtas 1 centneris?
2) Iš stačiakampio lauko buvo surinktas 25 centnerių iš hektaro kviečių derlius. Kiek kviečių buvo nuimta iš viso lauko, jei lauko ilgis 800 m, o plotis 3/8 jo ilgio?
570 . 1) Stačiakampis 78 3/4 m ilgio ir 56 4/5 m pločio žemės sklypas užstatytas taip, kad 4/5 jo ploto užima pastatai. Nustatykite žemės plotą po pastatais.
2) Stačiakampiame žemės sklype, kurio ilgis 9/20 km, plotis 4/9 ilgio, kolūkis planuoja sutvarkyti sodą. Kiek medžių bus pasodinta šiame sode, jei kiekvienam medžiui reikia vidutiniškai 36 kv.m.
571. 1) Normaliam dienos šviesos apšvietimui patalpoje būtina, kad visų langų plotas būtų bent 1/5 grindų ploto. Nustatykite, ar patalpoje, kurios ilgis yra 5 1/2 m ir plotis 4 m, yra pakankamai šviesos. Ar kambaryje yra vienas 1 1/2 m x 2 m langas?
2) Remdamiesi ankstesnės užduoties sąlyga, išsiaiškinkite, ar jūsų klasėje yra pakankamai šviesos.
572. 1) Tvarto matmenys yra 5 1/2 m x 4 1/2 m x 2 1/2 m. Kiek šieno (pagal svorį) tilps į šį tvartą, jei jis užpildytas iki 3/4 jo aukščio ir jei 1 kub. . m šieno sveria 82 kg?
2) Medinė krūva yra stačiakampio gretasienio formos, kurios matmenys yra 2 1/2 m x 3 1/2 m x 1 1/2 m Koks yra medžio krūvos svoris, jei 1 kub. m malkų sveria 600 kg?
573. 1) Stačiakampis akvariumas pripildytas vandens iki 3/5 jo aukščio. Akvariumo ilgis 1 1/2 m, plotis 4/5 m, aukštis 3/4 m Kiek litrų vandens įpilama į akvariumą?
2) Stačiakampio gretasienio formos baseinas yra 6 1/2 m ilgio, 4 m pločio ir 2 m aukščio Baseinas užpildytas vandeniu iki 3/4 jo aukščio. Apskaičiuokite į baseiną pilamo vandens kiekį.
574. Aplink stačiakampį 75 m ilgio ir 45 m pločio žemės sklypą reikia pastatyti tvorą. Kiek kubinių metrų lentų reikia įdėti į jo statybą, jei lentos storis 2 1/2 cm, o tvoros aukštis - 2 1/4 m?
575. 1) Koks kampas tarp minučių ir valandų rodyklės 13 valandą? 15 val.? 17 val.? 21 val.? 23:30?
2) Kiek laipsnių pasisuks valandinė rodyklė per 2 valandas? 5 valanda? 8 valanda? 30 min.?
3) Kiek laipsnių turi lankas, lygus pusei apskritimo? 1/4 apskritimo? 1/24 apskritimo? 5/24 apskritimai?
576. 1) Naudodami transporterį nubrėžkite: a) statųjį kampą; b) 30° kampas; c) 60° kampas; d) 150° kampas; e) 55° kampas.
2) Naudodami transporterį išmatuokite figūros kampus ir raskite kiekvienos figūros visų kampų sumą (31 pav.).
577. Atlikite šiuos veiksmus:
578. 1) Puslankis padalintas į du lankus, kurių vienas yra 100° didesnis už kitą. Raskite kiekvieno lanko dydį.
2) Puslankis padalintas į du lankus, kurių vienas yra 15° mažesnis už kitą. Raskite kiekvieno lanko dydį.
3) Puslankis padalintas į du lankus, kurių vienas yra dvigubai didesnis už kitą. Raskite kiekvieno lanko dydį.
4) Puslankis padalintas į du lankus, kurių vienas yra 5 kartus mažesnis už kitą. Raskite kiekvieno lanko dydį.
579. 1) Diagramoje „Gyventojų raštingumas SSRS“ (32 pav.) parodytas raštingų žmonių skaičius šimtui gyventojų. Remdamiesi diagramos duomenimis ir jos masteliu, nustatykite raštingų vyrų ir moterų skaičių kiekvienais nurodytais metais.
Rezultatus parašykite į lentelę:
2) Naudodamiesi schemos „Sovietų pasiuntiniai į kosmosą“ (33 pav.) duomenimis, sukurkite užduotis.
580. 1) Pagal skritulinę diagramą „Penktos klasės mokinio dienos režimas“ (34 pav.) užpildykite lentelę ir atsakykite į klausimus: kokia paros dalis skirta miegui? už namų darbus? į mokyklą?
2) Sukurkite skritulinę diagramą apie savo kasdienybę.
Kalbant apie matematiką, negalima atsiminti trupmenų. Jų studijoms skiriama daug dėmesio ir laiko. Prisiminkite, kiek pavyzdžių turėjote išspręsti, kad išmoktumėte tam tikras darbo su trupmenomis taisykles, kaip įsiminėte ir pritaikėte pagrindinę trupmenos savybę. Kiek nervų išeikvota ieškant bendro vardiklio, ypač jei pavyzdžiuose buvo daugiau nei du terminai!
Prisiminkime, kas tai yra, ir šiek tiek atnaujinkime pagrindinę informaciją ir darbo su trupmenomis taisykles.
Trupmenų apibrėžimas
Pradėkime, ko gero, nuo svarbiausio dalyko – apibrėžimo. Trupmena yra skaičius, sudarytas iš vienos ar kelių vieneto dalių. Trupmeninis skaičius rašomas kaip du skaičiai, atskirti horizontaliu arba pasviruoju brūkšniu. Šiuo atveju viršutinė (arba pirmoji) vadinama skaitikliu, o apatinė (antra) vadinama vardikliu.
Verta paminėti, kad vardiklis rodo, į kiek dalių padalintas vienetas, o skaitiklis – paimtų akcijų ar dalių skaičių. Dažnai trupmenos, jei tinkamos, yra mažesnės nei viena.
Dabar pažvelkime į šių skaičių savybes ir pagrindines taisykles, kurios taikomos dirbant su jais. Tačiau prieš nagrinėdami tokią sąvoką kaip „pagrindinė racionalios trupmenos savybė“, pakalbėkime apie trupmenų tipus ir jų ypatybes.
Kas yra trupmenos?
Yra keletas tokių skaičių tipų. Visų pirma, tai yra įprasti ir dešimtainiai. Pirmasis reiškia įrašo tipą, kurį jau nurodėme naudodami horizontalų arba pasvirąjį brūkšnį. Antrojo tipo trupmenos nurodomos naudojant vadinamąjį pozicinį žymėjimą, kai pirmiausia nurodoma sveikoji skaičiaus dalis, o po to, po kablelio, nurodoma trupmeninė dalis.
Čia verta paminėti, kad matematikoje vienodai vartojamos ir dešimtainės, ir paprastosios trupmenos. Pagrindinė trupmenos savybė galioja tik antrajam variantui. Be to, paprastosios trupmenos skirstomos į įprastus ir netinkamus skaičius. Pirmajam skaitiklis visada yra mažesnis už vardiklį. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad tokia trupmena yra mažesnė už vieną. Priešingai, netinkamoje trupmenoje skaitiklis yra didesnis už vardiklį, o pati trupmena yra didesnė už vienetą. Tokiu atveju iš jo galima išgauti sveikąjį skaičių. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime tik paprastas trupmenas.
Trupmenų savybės
Bet koks reiškinys, cheminis, fizinis ar matematinis, turi savo ypatybes ir savybes. Trupmeniniai skaičiai nebuvo išimtis. Jie turi vieną svarbią savybę, kurios pagalba su jais galima atlikti tam tikras operacijas. Kokia yra pagrindinė trupmenos savybė? Taisyklė teigia, kad jos skaitiklį ir vardiklį padauginus arba padalijus iš to paties racionalaus skaičiaus, gauname naują trupmeną, kurios reikšmė bus lygi pradinės reikšmei. Tai yra, padauginus dvi trupmeninio skaičiaus 3/6 dalis iš 2, gauname naują trupmeną 6/12, ir jos bus lygios.
Remdamiesi šia savybe, galite sumažinti trupmenas, taip pat pasirinkti bendrus tam tikros skaičių poros vardiklius.
Operacijos
Nors trupmenos atrodo sudėtingesnės, jas taip pat galima naudoti atliekant pagrindines matematines operacijas, tokias kaip sudėjimas ir atimtis, daugyba ir padalijimas. Be to, yra toks specifinis veiksmas kaip frakcijų mažinimas. Natūralu, kad kiekvienas iš šių veiksmų atliekamas pagal tam tikras taisykles. Žinant šiuos dėsnius, dirbti su trupmenomis tampa lengviau, lengviau ir įdomiau. Štai kodėl toliau apžvelgsime pagrindines taisykles ir veiksmų algoritmą dirbant su tokiais skaičiais.
Tačiau prieš kalbėdami apie matematines operacijas, tokias kaip sudėjimas ir atėmimas, pažvelkime į tokią operaciją kaip sumažinimas iki bendro vardiklio. Čia praverčia žinios apie tai, kokia pagrindinė trupmenos savybė egzistuoja.
Bendras vardiklis
Norėdami sumažinti skaičių iki bendro vardiklio, pirmiausia turite rasti mažiausią bendrą dviejų vardklių kartotinį. Tai yra mažiausias skaičius, kuris tuo pačiu metu dalijasi iš abiejų vardklių be liekanos. Lengviausias būdas rasti LCM (mažiausią bendrąjį kartotinį) yra užrašyti vieną vardiklį eilutėje, tada – antrą, ir rasti tarp jų atitinkantį skaičių. Jei LCM nerastas, tai yra, šie skaičiai neturi bendro kartotinio, turėtumėte juos padauginti, o gauta reikšmė bus laikoma LCM.
Taigi, mes radome LCM, dabar turime rasti papildomą veiksnį. Norėdami tai padaryti, turite pakaitomis padalyti LCM į trupmenų vardiklius ir ant kiekvieno iš jų užrašyti gautą skaičių. Tada turėtumėte padauginti skaitiklį ir vardiklį iš gauto papildomo koeficiento ir užrašyti rezultatus kaip naują trupmeną. Jei abejojate, ar gautas skaičius yra lygus ankstesniam, prisiminkite pagrindinę trupmenos savybę.
Papildymas
Dabar pereikime tiesiai prie matematinių operacijų su trupmeniniais skaičiais. Pradėkime nuo paprasčiausio. Yra keletas frakcijų pridėjimo parinkčių. Pirmuoju atveju abu skaičiai turi tą patį vardiklį. Tokiu atveju belieka sudėti skaitiklius. Tačiau vardiklis nesikeičia. Pavyzdžiui, 1/5 + 3/5 = 4/5.
Jei trupmenos turi skirtingus vardiklius, turėtumėte juos sumažinti iki bendro vardiklio ir tik tada atlikti sudėjimą. Mes aptarėme, kaip tai padaryti, šiek tiek aukščiau. Šioje situacijoje pravers pagrindinė trupmenos savybė. Taisyklė leis suvesti skaičius į bendrą vardiklį. Vertė niekaip nepasikeis.
Arba gali atsitikti taip, kad frakcija sumaišoma. Tada pirmiausia turėtumėte sudėti visas dalis, o tada – trupmenines.
Daugyba
Tam nereikia jokių gudrybių, o norint atlikti šį veiksmą, nebūtina žinoti pagrindinės trupmenos savybės. Pakanka iš pradžių padauginti skaitiklius ir vardiklius. Tokiu atveju skaitiklių sandauga taps nauju skaitikliu, o vardikliai – nauju vardikliu. Kaip matote, nieko sudėtingo.
Vienintelis dalykas, kurio iš jūsų reikalaujama, yra daugybos lentelių išmanymas, taip pat atidumas. Be to, gavę rezultatą, būtinai turėtumėte patikrinti, ar šį skaičių galima sumažinti, ar ne. Apie tai, kaip sumažinti trupmenas, kalbėsime šiek tiek vėliau.
Atimtis
Atlikdami turėtumėte vadovautis tomis pačiomis taisyklėmis, kaip ir pridedant. Taigi skaičiais su tuo pačiu vardikliu pakanka atimti poskyrio skaitiklį iš minuend skaitiklio. Jei trupmenos turi skirtingus vardiklius, turėtumėte juos sumažinti iki bendro vardiklio ir tada atlikti šią operaciją. Kaip ir pridėjus, turėsite naudoti pagrindines algebrinių trupmenų savybes, taip pat įgūdžius ieškant LCM ir bendrų trupmenų faktorių.
Padalinys
Ir paskutinė, įdomiausia operacija dirbant su tokiais skaičiais yra padalijimas. Tai gana paprasta ir nesukelia jokių ypatingų sunkumų net tiems, kurie mažai supranta, kaip dirbti su trupmenomis, ypač sudėti ir atimti. Dalinant galioja ta pati taisyklė kaip ir dauginant iš atvirkštinės trupmenos. Pagrindinė trupmenos savybė, kaip ir daugybos atveju, šiai operacijai nebus naudojama. Pažiūrėkime atidžiau.
Dalijant skaičius, dividendas išlieka nepakitęs. Daliklio trupmena virsta atvirkštine, tai yra, skaitiklis ir vardiklis keičiasi vietomis. Po to skaičiai dauginami vienas su kitu.
Sumažinimas
Taigi, mes jau išnagrinėjome trupmenų apibrėžimą ir struktūrą, jų tipus, operacijų su šiais skaičiais taisykles ir išsiaiškinome pagrindinę algebrinės trupmenos savybę. Dabar pakalbėkime apie tokią operaciją kaip sumažinimas. Trupmenos sumažinimas yra jos konvertavimo procesas – skaitiklio ir vardiklio dalijimas iš to paties skaičiaus. Taigi, frakcija sumažinama nekeičiant jos savybių.
Paprastai atliekant matematinį veiksmą reikia atidžiai pažvelgti į gautą rezultatą ir išsiaiškinti, ar galima gautą trupmeną sumažinti, ar ne. Atminkite, kad galutiniame rezultate visada yra trupmeninis skaičius, kurio nereikia mažinti.
Kitos operacijos
Galiausiai pažymime, kad neišvardinome visų operacijų su trupmeniniais skaičiais, paminėjome tik žinomiausias ir būtiniausias. Trupmenas taip pat galima lyginti, konvertuoti į dešimtaines dalis ir atvirkščiai. Tačiau šiame straipsnyje mes nenagrinėjome šių operacijų, nes matematikoje jos atliekamos daug rečiau nei tos, kurias pateikėme aukščiau.
Išvados
Kalbėjomės apie trupmeninius skaičius ir operacijas su jais. Mes taip pat išnagrinėjome pagrindinę savybę. Pateikėme tik žinomiausias ir naudojamas taisykles bei davėme pačius svarbiausius, mūsų nuomone, patarimus.
Šis straipsnis skirtas atnaujinti pamirštą informaciją apie trupmenas, o ne suteikti naujos informacijos ir užpildyti galvą begale taisyklių ir formulių, kurios, greičiausiai, niekada jums nebus naudingos.
Tikimės, kad straipsnyje pateikta medžiaga, paprasta ir glausta, jums buvo naudinga.
