Aibė AÌE vadinama išgaubtąja, jei kartu su bet kuriais dviem taškais x 1 ir x 2 yra juos jungianti atkarpa, t.y. formos rinkiniai
[x 1 x 2 ]={xОE n | x=l x 1 + (1-l) x 2, 0 £l £1).
Aukščiau nagrinėjami pustarpiai yra išgaubtos aibės. Pavyzdžiui, patikrinkime, ar puserdvė H + ab ( xОE n |
Sudėkime šias dvi nelygybes, pirmąją padauginus iš savavališko skaičiaus lÎ, o antrąją iš 1-l. Dėl to gauname nelygybę
l
Kadangi l yra savavališkas, visa atkarpa, jungianti pasirinktus taškus, priklauso šiai puserdvei. Todėl pusiau erdvė iš tiesų yra išgaubta aibė.
2.10 pav. Išgaubti (a), neišgaubti (b) rinkiniai.
3 skyrius: Funkcijos pagrindai.
3.1 Funkcijų samprata.
Tegu X ir Y yra dvi aibės. Jei yra nurodyta taisyklė, pagal kurią kiekvienas aibės X elementas yra susietas su tam tikru aibės Y elementu, tada jie sako, kad nurodyta funkcija f, susiejant X su Y. Šis faktas rašomas kaip f: X®Y arba y=f(x), kur x ОX, yОY. Aibė X vadinama duomenų domenu arba funkcijos domenu, o aibė Y yra reikšmių rinkinys. Funkcija f(x) yra taisyklė, leidžianti kiekvieną reikšmę x susieti su viena reikšme y=f(x). Šiuo atveju x yra nepriklausomas kintamasis, y yra priklausomas kintamasis. Funkcijos y=f(x)=f(x 1 +x 2 ,..,x n), t.y. Funkcijos su specifikacijų domenu X Ì E n ir reikšmių rinkiniu Y Ì E vadinamos skaitinėmis funkcijomis, priešingai nei vektorinės funkcijos, kurioms YÌ E m , m>1.
Daug rūšių
((x,y)ОE n +1 ½ y=f(x) kai kuriems xОX)
vadinamas funkcijos grafiku y=f(x).
Nemažai fizinių procesų galima aprašyti naudojant tolydžiosias funkcijas, t.y. funkcijos, turinčios tęstinumo savybę kiekviename taške x, priklausančiame jų apibrėžimo sritims.
Funkcija f vadinama ištisine taške x 0 ОX, jei bet kuriam skaičiui e>0 galima nurodyti skaičių d e >0 taip, kad visiems xОX О Ède ½x 0 ½ būtų nelygybė ½f(x)-f(x 0 )½ laikosi Kaip E n tęstinių funkcijų pavyzdžius pateikiame tiesinę funkciją f 1 (x)= kur Q yra skaitinė simetrinė matrica, kurios dydis yra n*m, c yra koks nors vektorius iš E n, o b yra koks nors skaičius, o Qx reiškia matricos sandaugą vektoriumi pagal matricos daugybos taisykles, priimtas tiesinėje algebroje. 3.2 Funkcijų klasifikacija. 3.2.1 Nenutrūkstamos ir atskiros funkcijos. nepertraukiamos funkcijos. Pavyzdžiui, kiekio perdavimo tam tikrai sistemai kaina šiluma esant skirtingoms sistemos temperatūroms gauname gabalų ištisinę kreivę (3.1 pav.). Gali būti atvejų, kai kintamasis įgauna atskiras reikšmes (3.2 pav.). Priklausomai nuo to, ar tiriama funkcija yra nuolatinė, ar nepertraukiama, turėtų būti naudojami skirtingi tyrimo metodai. Pažymėtina, kad metodas yra efektyvus analizuojant ištisines funkcijas, tačiau gali būti neefektyvus tiriant nepertraukiamas funkcijas, nors neatmetama ir priešinga. Funkcijos gali būti klasifikuojamos ir pagal jų formą, kuri lemia funkcijų topologines savybes nagrinėjamame intervale. 3.2.2 Monotoniškos funkcijos. Funkcija f(x) yra monotoniška (3.3 pav.) ir didėjanti, ir mažėjanti), jei dviejuose savavališkuose taškuose x 1 ir x 2 taip, kad x 1 3.3 pav. Apie monotoninės funkcijos sampratą. 3.4 paveiksle parodytas funkcijos, kuri monotoniškai mažėja kaip x £ 0 ir monotoniškai didėja kaip x³0, grafikas. Funkcija pasiekia savo minimumą taške x=x * (kilmė 0) ir yra monotoniška abiejose minimalaus taško pusėse. Tokios funkcijos vadinamos unimodalinėmis. Atkreipkite dėmesį, kad vienmodalinė funkcija visai nebūtinai turi būti lygi (3.4 pav., a) ir netgi tęstinė (3.4 pav., b), ji gali būti lūžusi (nediferencijuojama), nepertraukiama (3.4 pav., c); diskretiškas (3.4 pav. d) ir kai kuriais intervalais gali būti net neapibrėžtas (3.4 pav., d.). Taigi funkcija f(x) vadinama unimodaline intervale, jei ji yra ištisinė ir yra tokių skaičių a ir b a£a£b£b, kad: 1) jei a 2) jei b
3) xО f(x)=f * =min f(x); 3.4 pav. Unimodalinės funkcijos: a) sklandžiai, b) ištisinės, c) nepertraukiamos, d) diskrečios, e) savavališkos. viena ar dvi atkarpos , gali išsigimti iki taško (3.5 pav.). 3.5 pav. Vietos ir išsigimimo iki vienmodalinės funkcijos monotoniškumo ir pastovumo segmentų taško variantai. funkcijų, kurios yra vienarūšės intervale, aibė bus žymima Q. Funkcijų vienarūšiškumas yra nepaprastai svarbi savybė, plačiai naudojama optimizavimo tyrimuose. 3.2.3 Išgaubtos, pseudoišgaubtos ir beveik išgaubtos funkcijos. Optimizavimo teorijoje svarbų vaidmenį atlieka išgaubtos funkcijos ir jų apibendrinimai (pseudokaubosios ir kvazisigaubosios funkcijos). Naudojant šias funkcijas, bus suformuluotos pakankamos optimalumo sąlygos. Skaitinė funkcija f, apibrėžta išgaubtoje aibėje X, XОE n, vadinama išgaubtąja, jei bet kurių dviejų taškų x 1 ,x 2 ОX ir savavališko skaičiaus lО nelygybė f(lx 1 +(1-l)x 2) £ lf(x 1)+(1-l)f(x 2). (3.1) Priešingos reikšmės nelygybė apibrėžia įgaubtą funkciją, dažnai vartojamos sąvokos „išgaubtas žemyn (1)“ ir „išgaubtas aukštyn (2)“ (3.6 pav.). 3.6 pav. 1) Išgaubta (išgaubta žemyn) funkcija, 2) Įgaubta (įgaubta aukštyn) funkcija. Geometriškai funkcijos f išgaubtumas reiškia, kad bet kuris savavališkos grafiko f stygos taškas yra ne žemiau už atitinkamą paties grafiko tašką (yra po styga, jungiančia du jo grafiko taškus), (3.6 pav., 1 kreivė). Paprasčiausi vieno kintamojo išgaubtų funkcijų pavyzdžiai yra parabolė y=x 2 ir eksponentinė y=e x . Funkcijos y=-x 2 ir y=-e x yra įgaubtos. Jei visiems x 1, x 2 ОX x 1 ¹x 2 ir lо nelygybė (3.1) tenkinama kaip griežta (<), то f называется griežtai išgaubtas
ant X (3.7 pav., a). Funkcija vadinama (griežtai) išlenktas
, jei - f yra (griežtai) išgaubtas (3.7 pav., b). 3.7 pav. Griežtai išgaubtos (a) ir griežtai įgaubtos funkcijos, jų išvestinės (punktyrinė linija) ir funkcija su tiesine pjūviu Funkcija f(x), apibrėžta išgaubtoje aibėje X, vadinamas stipriai išgaubtu su konstanta l> 0 jei Pateiksime geometrinę apibrėžimo (3.2) interpretaciją, atsižvelgdami į funkciją y=f(x) vienas kintamasis. Sutvarkęs x 1 ir x 2 iš funkcijos apibrėžimo srities ir žymėdami , pakeisime l iš 0 į 1. Aišku, kad tada reikšmė x(l), skirsis nuo x 1į x 2, ir taškas ( X, f(x)) laikysis funkcijos grafiko y=f(x) iš taško B= ( x 2 , f(x 2)) iki esmės A= (x 1 , f (x 1))(3.8 pav.). 3.8 pav. Labai išgaubtos funkcijos grafikas. Lygtys xOy plokštumoje apibūdinkite tiesę L(sekantas) sujungimo taškai A Ir IN, ir lygtis apibrėžti parabolę R malonus · 3.1 teorema
Nuolat diferencijuojama funkcija išgaubtoje aibėje X f yra išgaubta šioje aibėje tada ir tik tada, kai yra bet kuri x 1 , x 2 О X nelygybė tiesa f(x 2) ³ f(x 1) +<Ñf(x 1 ,x 2 -x 1)>, (3.3) gautas išplečiant funkciją f(x) Taylor serijoje tam tikru momentu x 1 panaikinant antros ir aukštesnės eilės plėtimosi sąlygas F(x 1 +h) = f(x 1) + hf ¢(x 1) + h 2 /2*f¢¢(x 1) +..., (3.3) kur h yra pakankamai mažas skaičius, |h| Ñf(x 1) = (¶f/¶x 1, ¶f/¶x 2,.., ¶f/¶x n) t, tie. yra pirmosios eilės dalinių išvestinių vektorius, apskaičiuotas taške x 1 ir vadinamas funkcijos f gradientu taške x 1 . · 3.2 teorema
Tegul funkcija f du kartus nepertraukiamai diferencijuojasi išgaubtoje aibėje X, kurioje yra bent vienas vidinis taškas, ir tegul Ñ 2 f(x) yra jos Hesenas. Tada, kad f būtų išgaubta aibėje X, būtina ir pakanka, kad matrica Ñ 2 f(x) būtų neneigiamai apibrėžta visiems xÎX, t.y. taigi ta nelygybė <Ñ 2 f(x)h, h>³0 (3,4) buvo įvykdyta visuose taškuose xÎX, hÎE n . Čia skaitmeninė matrica Ñ 2 f(x) vadinama Heseno (arba Heseno matrica). Jei funkcija f taške x 1 turi antros eilės ištisines dalines išvestines (du kartus nuolat diferencijuojamas), tai ji yra du kartus diferencijuojama taške x 1 ir turi formos Heseno matricą Be to, ši matrica yra simetriška, t.y. Panašūs teiginiai galioja ir įgaubtoms funkcijoms. Šiuo atveju (3.2) ir (3.4) formulėse nelygybės ženklas ³ turėtų būti pakeistas £. Funkcijos išgaubimo tikrinimas. Funkcija f yra išgaubta, jei jos Heseno matrica yra teigiama apibrėžtoji (>0) arba teigiama pusiau apibrėžta visoms reikšmėms x 1 , x 2 , .., x n. Tikrinama, ar funkcija išsipūtusi. Funkcija f yra išgaubta, jei jos Heseno matrica yra neigiama pusiau apibrėžta (£0) visoms reikšmėms x 1 , x 2 , .., x n . Griežtai išgaubta arba įgaubta funkcija turi vieną ekstremumą, kuris yra atitinkamai pasaulinis minimumas arba maksimumas. Funkcija, turinti tiesinę atkarpą (3.7 pav., c), turi begalinį vienodo dydžio ekstremalių skaičių. Norint spręsti apie vieną ekstremalumą esant apribojimams, galima naudoti leistinos aibės išgaubimo sąvoką. Aibė yra išgaubta, jei bet kuri linijos atkarpa, jungianti du aibės ribų taškus, yra visiškai aibės viduje. Tikslinės funkcijos išgaubtumą arba įgaubtumą taip pat galima spręsti pagal jos dalinių išvestinių ¶f/¶x pokyčio pobūdį. Griežtai išgaubtos funkcijos atveju ši išvestinė didėja argumentui didėjant (3.7 pav. a), o griežtai išgaubtai funkcijai – mažėja (3.7 b pav.). Jei yra tikslo funkcijos tiesinė atkarpa, šioje dalyje nurodyta išvestinė yra pastovi. Išgaubtas formos rinkinys X=(xÎE n ) | Ax£b)=(xÎE n | £b i , i=1,..,m) kur A yra kokia nors m*n dydžio matrica su eilutėmis a 1 ,..,a m , b=(b 1 ,..,b m) О E n (m=1,2,..). Paprastai jie vadinami daugiakampiais arba tiesiog daugiakampiais. Taigi daugiakampis – tai baigtinio skaičiaus tiesinių nelygybių sistemos sprendinių rinkinys arba, kas yra tas pats, baigtinio skaičiaus puservių sankirtos (3.9 pav.). 3.9 pav. Daugiakampis rinkinys (daugiakampis). Linijinio programavimo problema yra tiesinės funkcijos minimumo nustatymas f: n > 1, apibrėžta tam tikroje uždaroje išgaubtoje aibėje, išsiskiriančioje tiesinėmis nelygybėmis. Bendra linijinio programavimo problema turi formą: Duota m tiesinių lygčių ir nelygybių sistema su n kintamųjų ir tiesinė funkcija F = c 1 x 1 + c 2 x 2 +… + c n x n min (maks.) Sistema (1) vadinama apribojimų sistema, o funkcija F vadinama tiesine funkcija, tiesine forma, tikslo funkcija arba tikslo funkcija. Trumpiau tariant, bendrąją linijinio programavimo problemą galima pavaizduoti taip: x=(x|Axb, A=, b=( T )}
Linijinio programavimo uždavinys rašomas kitomis formomis – kanonine ir normalia. Pavadinkime kanoninę problemą - Zk žymėjimą: x=(x|Axb, ?0, j=)) Įprasta užduotis yra žymėjimas Zn, pavadinkime jį x=(x|Axb, ?0, j=)) Išgaubtos aibės apibrėžimas: aibė yra išgaubta, jei kartu su bet kuriais dviem taškais aibėje yra visi atkarpos, jungiančios tašką su erdvės tašku, taškai. Toliau pateiktame paveikslėlyje pavaizduotos dvi aibės plokštumoje: viena išgaubta, o kita ne. Ryžiai. 1
Pavyzdžiui, šios aibės yra išgaubtos erdvėje: visa erdvė, jos teigiamas oktantas ir neneigiamas oktantas, bet koks rutulys, atviras ir uždaras, bet kokia hiperplokštuma (pateikta tam tikra formos lygtimi, taip pat atvira ir uždara pusė -tarpai, atitinkamai nurodyti sąlygomis Ir. Tarp išgaubtos aibės taškų galima išskirti vidinius, ribinius ir kampinius taškus. Aibės taškas vadinamas vidiniu, jei kai kuriose jo apylinkėse yra tik šios aibės taškų. Aibės taškas vadinamas ribiniu tašku, jei kurioje nors jo apylinkėje yra ir taškai, priklausantys duotai aibei, ir jai nepriklausantys. Ypatingas susidomėjimas linijinio programavimo problemomis yra kampiniai taškai. Aibės taškas vadinamas kampinis(arba kraštutinis), jei jis nėra vidinis jokiam segmentui, visiškai priklausančiam duotajam rinkiniui. Fig. pateikiami įvairių daugiakampio taškų pavyzdžiai: vidinis (taškas M), riba (taškas N) ir kampas (taškai A, B, C, D, E). Taškas A yra kampinis taškas, nes bet kuriai atkarpai, visiškai priklausančiai daugiakampiui, pavyzdžiui, atkarpai AP, jis nėra vidinis; taškas A yra atkarpos KL vidinis, tačiau ši atkarpa ne visiškai priklauso daugiakampiui. Išgaubtoje aibėje kampiniai taškai visada sutampa su daugiakampio (daugiakampio) viršūnėmis, o ne išgaubtoje aibėje tai nėra būtina. Taškų aibė vadinama uždara, jei ji apima visus jos ribinius taškus. Taškų rinkinys vadinamas ribotas, jei bet kuriame aibės taške yra baigtinio ilgio spindulio rutulys (apskritimas), kurio centras yra pilnai duotas; kitu atveju aibė laikoma neapribota. Išgaubta uždara taškų aibė plokštumoje, turinti baigtinį kampinių taškų skaičių, vadinama išgaubtu daugiakampiu, jei ji apribota, ir išgaubtąja daugiakampio sritimi, jei ji neapribota. Funkcija f: vadinama išgaubta, jei jos epigrafas epi f= yra išgaubta aibė. Paveikslėlyje pavaizduota išgaubta funkcija, jos grafikas paryškintas mėlynai, o epigrafas nuspalvintas žalia spalva. Funkcija f: vadinama uždara, jei jos epigrafas yra uždaroji aibė. Nelygybių, lygčių ir jų sistemų sprendinių geometrinė reikšmė Panagrinėkime nelygybių sprendimus. 1 teiginys. Nelygybės su dviem kintamaisiais a11x1+a12x2 sprendinių aibė<=b1 является одной из двух полуплоскостей, на которые вся плоскость делится прямой a11x1+a12x2=b1, включая и эту прямую, а другая полуплоскость с той же прямой есть множество решений неравенства a11x1+a12x2>=b1. Norint nustatyti pageidaujamą pusiau plokštumą (viršutinę arba apatinę), rekomenduojama nustatyti savavališką valdymo tašką, kuris nėra ant jo ribos - pastatytą tiesią liniją. Jei nelygybė galioja valdymo taške, tada ji galioja visuose pusės plokštumos, kurioje yra valdymo taškas, taškuose, o ne visuose kitos pusės plokštumos taškuose. Ir atvirkščiai, jei nelygybė netenkinama valdymo taške, ji netenkinama visuose pusės plokštumos, kurioje yra valdymo taškas, taškuose, o tenkinama visuose kitos pusės plokštumos taškuose. Kaip valdymo tašką patogu paimti koordinačių O (0; 0) pradžią, kuri nėra pastatytoje tiesėje. Panagrinėkime nelygybių sistemų sprendimų rinkinį. 2 teiginys. Dviejų kintamųjų tiesinių nelygybių jungtinės sistemos sprendinių aibė yra išgaubtas daugiakampis (arba išgaubta daugiakampio sritis). Kiekviena nelygybė pagal 1 teiginį nustato vieną iš pusplokštumų, kuri yra išgaubta taškų rinkinys. Jungtinės tiesinių nelygybių sistemos sprendinių aibė yra taškai, priklausantys visų nelygybių sprendinių pusplokštumoms, t.y. priklauso jų sankirtai. Pagal teiginį apie išgaubtų aibių sankirtą, ši aibė yra išgaubta ir joje yra baigtinis kampinių taškų skaičius, t.y. yra išgaubtas daugiakampis (išgaubtas daugiakampis plotas). Kampinių taškų – daugiakampio viršūnių – koordinatės randamos kaip atitinkamų tiesių susikirtimo taškų koordinatės. Konstruojant sprendinių sritis nelygybių sistemoms, gali pasitaikyti ir kitų atvejų: sprendinių aibė yra išgaubtas daugiakampis plotas (a pav.); vienas taškas (b pav.); tuščia aibė, kai nelygybių sistema yra nenuosekli (c pav.). Leiskite f:. Funkcija f*: apibrėžiama lygybe f*(x*)==(x*) vadinama konjuguota f funkcija, o funkcija f**: apibrėžiama taisykle f**(x*)==( x*) vadinama antrąja konjuguota funkcija su f. Rodyti f* (x*) =< x*, x>? f(x) vadinamas Legendre transformacija. Įprasta dvigubos problemos konstravimo technika yra tokia. Sumažinimo problema kur X yra tiesinė erdvė, yra įtraukta į panašių problemų klasę, priklausomai nuo parametro: kur Y yra kokia nors kita tiesinė erdvė, F (x, 0)=f(x) (funkcija F vadinama f perturbacija). Paprastai manoma, kad F yra išgaubtas. Dviguba problema tam tikro trikdymo atžvilgiu vadinama. užduotis kur F* yra dviguba funkcija (konjugatas) su F Legendre-Young-Fennel prasme. Šis dvilypumas leidžia susieti su kiekviena išgaubta funkcija f: X-> R dvigubą objektą – konjuguotą funkciją, apibrėžtą konjugato erdvėje X* ir apibrėžta formule Paprasčiausioms išgaubtoms programavimo problemoms, pvz kur X yra tiesinė erdvė, išgaubtos funkcijos X, B-išgaubta aibė X (ypatingi atvejai (3) yra tiesinio programavimo problemos), dažniausiai naudojami šie standartiniai trikdžiai, priklausomai nuo parametrų y=(y 1 ,…, y m), m ,Dualumo teoremos bendroms išgaubto programavimo klasėms, uždaviniai teigia, kad, esant tam tikroms trikdymo F prielaidoms, uždavinių (2) ir (2*) reikšmės sutampa ir, be to, sprendimas vienai iš ,problemų yra kitos Lagranžo daugiklis. Aibė X vadinama išgaubta, jei bet kuriems dviem jos taškams A, B ∈ X visi atkarpos taškai taip pat priklauso aibei X, tai yra, jei bet kuriems dviem jos taškams A, B ∈ X ir bet kuriai reikšmei α taške M = αA + (1 − α)B taip pat priklauso aibei X: M ∈ X. Tegu pateiktos X1, ...Xn – išgaubtos aibės. Pažymime Y =Xi – išgaubtų aibių sankirtą. Parodykime, kad Y yra išgaubta aibė. Norėdami tai padaryti, parodome, kad bet kuriems taškams A,B ∈ Y ir bet kuriai α in reikšmei taškas M = αA + (1 − α)B taip pat priklauso aibei Y: M ∈ Y . Kadangi Y yra išgaubtų aibių X1, ...Xn sankirta, tai savavališkai pasirinkti taškai A, B priklauso kiekvienai iš šių aibių Xi, i = 1..n. Dėl kiekvienos aibės Xi išgaubtumo pagal apibrėžimą išplaukia, kad savavališkai pasirinktai reikšmei α ∈ taškas M = αA+(1−α)B priklauso kiekvienai aibei (visos jos yra išgaubtos ir turi A, B). Kadangi visose aibėse Xi yra taškas M, tada šių aibių sankirtoje taip pat yra taškas M: M ∈ Y. Iš paskutinio įtraukimo, dėl A,B ∈ Y ir parametro α ∈ savavališkumo, aibė Y yra išgaubta, kaip reikia parodyti. 95. Ar sąlygą tenkinanti taškų aibė yra išgaubta? Pagrįskite savo atsakymą. Taip, akivaizdu, kad ši lygybė apibrėžia tiesinę pusplokštumą R4. Pagrįskime tai pagal apibrėžimą: A = (a1, a2, a3, a4), B= (b1, b2, b3, b4) ∈ X, tenkinantis minėtą nelygybę. Apsvarstykite savavališką tašką M = αA + (1 − α)B, kur α ∈ yra savavališka parametro reikšmė. Tada M(m1,m2,m3,m4) = αA + (1 − α)B m1 = αa1 + (1 − αb1) m2 = αa2 + (1 − αb2) m3 = αa3 + (1 − αb3) m4 = αa4 + (1 – αb4) pateiktos nelygybės tenkinamumas: 5 + 2m1 + 3m2 - m3 + 5m4 ≥ 0 5 + 2(αa1 + (1 − αb1)) + 3(αa2 + (1 − αb2)) − (αa3 + (1 − αb3)) + 5(αa4 + (1 − αb4)) ≥ 0 Įsivaizduokime 5 = α5+(1−α)5, išplėskime ir sugrupuokime terminus ai ir bi. Mes gauname: α(5 + 2a1 + 3a2 − a3 + 5a4) + (1 − α)(5 + 2b1 + 3b2 − b3 + 5b4) ≥ 0 Kadangi taškai A, B yra aibėje X, jų koordinatės tenkina nelygybę, tam, kuris nustato rinkinį. Tai reiškia, kad abu terminai yra neneigiami dėl neneigiamumo α ir 1 − α. Todėl paskutinė nelygybė galioja bet kuriai A, B ir bet kuriai vertei parametras α ∈ . Pagal apibrėžimą parodėme, kad duotoji aibė X yra išgaubtas. 96. Ar sąlygą tenkinanti taškų aibė yra išgaubta? Pagrįskite savo atsakymą. Taip, akivaizdu, kad ši lygybė apibrėžia tiesinę hiperplokštumą R4. Pagrįskime tai pagal apibrėžimą: Apsvarstykite bet kuriuos du šios erdvės taškus A = (a1, a2, a3, a4), B= (b1, b2, b3, b4) ∈ X tenkinantis minėtą lygybę. Apsvarstykite savavališką tašką M = αA + (1 − α)B, kur α ∈ yra savavališka parametro reikšmė. Tada M(m1,m2,m3,m4) = αA + (1 − α)B m1 = αa1 + (1 − αb1) m2 = αa2 + (1 − αb2) m3 = αa3 + (1 − αb3) m4 = αa4 + (1 – αb4) Patikrinkime taško M(m1,m2,m3,m4) narystę aibėje X naudojant pateiktos lygybės įgyvendinamumas: m1 + 2m2 − 3m3 + 4m4 = 55 (αa1 + (1 - αb1)) + 2 (αa2 + (1 - αb2)) - 3 (αa3 + (1 - αb3)) + 4 (αa4 + (1 - αb4)) = 55 Atidarykime skliaustus ir sugrupuokime terminus ai ir bi. Mes gauname: α(a1 + 2a2 − 3a3 + 4a4) + (1 − α)(b1 + 2b2 − 3b3 + 4b4) = 55 Kadangi taškai A, B yra aibėje X, jų koordinatės tenkina lygybę apibrėžiantis aibę, tai yra, (a1 + 2a2 − 3a3 + 4a4) = 55 ir (b1 + 2b2 − 3b3 + 4b4) = 55. Pakeitę šias lygybes į paskutinę išraišką, gauname: α55 + (1 − α)55 = 55 Paskutinė lygybė galioja bet kuriai A,B ir bet kuriai parametro α ∈ reikšmei. Pagal apibrėžimą parodėme, kad ši aibė X yra išgaubta. 97. Pateikite išgaubtos aibės pavyzdžių: a) turinčios kampinį tašką; b) be kampinio taško. Ar neapribota išgaubta aibė gali turėti kampinį tašką? Pateikite pavyzdį. a) kvadratas turi 4 kampinius taškus b) apskritimas neturi kampinių taškų c) neribota aibė gali turėti kampinius taškus: turi vieną kampinį tašką (0;0) 98. Apibrėžkite taškų sistemos išgaubtą korpusą. Leisti būti išgaubtas korpusas taškų , , , . Ar taškai: , ? Pagrįskite savo atsakymą. Kuriame visi taškai segmentas, sudarytas iš bet kurių dviejų taškais tam tikros aibės taip pat priklauso šiai aibei. Iš armijos į Maskvą grįžęs Nikolajus Rostovas savo šeimoje buvo priimtas kaip geriausias sūnus, didvyris ir mylimasis Nikoluška; artimieji – kaip mielas, malonus ir pagarbus jaunuolis; pažįstamų – kaip gražuolis husarų leitenantas, apsukrus šokėjas ir vienas geriausių jaunikių Maskvoje. 
Inžinerinėse programose dažnai pasitaiko atvejų, kai būtina naudoti
f(x 1)³ (x 2) (monotoniškai mažėjanti funkcija)
, kuris eina per taškus A Ir IN. Nelygybė (3.2) šiuo atveju reiškia, kad funkcijos grafikas y = f(x) xOy plokštumoje yra žemiau ne tik taškus jungiančio sekanto A Ir IN, bet ir parabolė P, kurios įlinkį lemia parametras l ir jį galima pasirinkti tiek mažo, kiek norisi. Kitaip tariant, srityje, kurią riboja sekantas ir funkcijos grafikas, galite sukurti parabolę, jungiančią taškus. A Ir IN.
Išgaubtos aibės ir funkcijos
Dvilypumo sampratos apibrėžimas naudojant Legendre transformaciją
tai yra, tenkinama sąlyga, kad tai yra išgaubtas tiesinis derinys, o tai reiškia, kad X yra išgaubto korpuso dalis. Tarkime, kad Y yra įtrauktas ir į išgaubtą derinį, tada visi atkarpos taškai turi būti įtraukti į tiesinį derinį, tačiau iš pradinių taškų tai aišku (jie visi yra į dešinę nuo tiesės x = -1) kad visas išgaubtas derinys yra į dešinę nuo tiesės x = -1, o taškas Y yra kairėje, o tai patvirtina, kad nei visas ruožas, nei taškas Y nepriklauso išgaubtam korpusui.Apibrėžimai
Pavyzdžiai
Savybės
priklauso .
Variacijos ir apibendrinimai
Taip pat žr
Parašykite apžvalgą apie straipsnį "Išgaubtas rinkinys"
Literatūra
Nuorodos
Ištrauka, apibūdinanti išgaubtą rinkinį
O Nataša atsistojo ant kojų pirštų galų ir išėjo iš kambario taip, kaip daro šokėjai, bet šypsojosi taip, kaip šypsosi tik laimingos 15-metės merginos. Svetainėje susitikęs su Sonya, Rostovas paraudo. Jis nežinojo, kaip su ja elgtis. Vakar jie pasibučiavo pirmąją pasimatymo džiaugsmo minutę, tačiau šiandien pajuto, kad to padaryti neįmanoma; jautė, kad visi – jo mama ir seserys – klausiamai į jį žiūrėjo ir tikėjosi, kad pamatys, kaip su ja elgsis. Jis pabučiavo jos ranką ir pavadino ją tavimi - Sonya. Tačiau jų akys, susitikusios, pasakė vienas kitam „tu“ ir švelniai pabučiavo. Savo žvilgsniu ji prašė jo atleidimo už tai, kad Natašos ambasadoje ji išdrįso jam priminti pažadą ir padėkojo už meilę. Žvilgsniu padėkojo už pasiūlytą laisvę ir sakė, kad vienaip ar kitaip niekada nenustos jos mylėti, nes nemylėti neįmanoma.
„Kaip keista, – pasakė Vera, pasirinkdama bendrą tylos akimirką, – kad Sonya ir Nikolenka dabar susitiko kaip nepažįstamieji. – Veros pastaba buvo teisinga, kaip ir visi jos komentarai; bet, kaip ir dauguma jos pastabų, visi jautėsi nejaukiai, o ne tik Sonja, Nikolajus ir Nataša, bet ir senoji grafienė, kuri bijojo šio sūnaus meilės Sonjai, galinčios atimti iš jo puikų vakarėlį, taip pat raudonavo kaip mergaitė. . Denisovas, Rostovo nuostabai, apsivilkęs naują uniformą, išmargintą ir kvepiančią, svetainėje pasirodė toks pat puošnus, koks buvo mūšyje ir toks draugiškas su poniomis bei ponais, kokio Rostovas niekada nesitikėjo jo pamatyti.
Rostovai pažinojo visą Maskvą; šiemet senajam grafui užteko pinigų, nes visi jo dvarai buvo iš naujo įkeisti, todėl Nikoluška, gavęs savo ristūną ir madingiausius antblauzdžius, specialius, kurių niekas kitas Maskvoje neturėjo, ir batus, madingiausius. , su smailiausiomis kojinėmis ir mažomis sidabrinėmis spygliutėmis, smagiai praleido laiką. Rostovas, grįžęs namo, po kurio laiko išbandęs senas gyvenimo sąlygas patyrė malonų jausmą. Jam atrodė, kad jis labai subrendo ir išaugo. Neviltis dėl to, kad neišlaikė egzamino pagal Dievo įstatymą, skolinosi iš Gavrilos pinigų taksi vairuotojui, slaptus bučinius su Sonja, jis visa tai prisiminė kaip vaikiškumą, nuo kurio dabar buvo nepamatuojamai toli. Dabar jis – husaras leitenantas sidabriniu mentiku, su kareiviu Jurgiu, ruošiantis ristūną bėgimui, kartu su garsiais medžiotojais, pagyvenusiais, garbingais. Jis pažįsta vieną moterį bulvare, kurios vakare eina pasižiūrėti. Archarovų baliuje jis vedė mazurką, kalbėjo apie karą su feldmaršalu Kamenskiu, lankėsi anglų klube ir draugiškai bendravo su keturiasdešimties metų pulkininku, su kuriuo Denisovas jį supažindino.
Jo aistra suverenui Maskvoje šiek tiek susilpnėjo, nes per tą laiką jis jo nematė. Tačiau jis dažnai kalbėdavo apie valdovą, apie savo meilę jam, leisdamas jausti, kad jis dar ne viską pasako, kad jo jausmuose suverenui yra kažkas kito, ko negali suprasti visi; ir iš visos širdies jis dalijosi tuo metu Maskvoje tvyrančiame bendrame adoracijos jausme imperatoriui Aleksandrui Pavlovičiui, kuriam tuo metu Maskvoje buvo suteiktas angelo kūne vardas.
Per šią trumpą Rostove viešnagę Maskvoje, prieš išvykdamas į armiją, jis nesusitapo, o, priešingai, išsiskyrė su Sonya. Ji buvo labai graži, miela ir akivaizdžiai aistringai jį įsimylėjusi; bet jis buvo tais jaunystės laikais, kai atrodo, kad reikia tiek daug, kad nėra laiko, o jaunuolis bijo įsitraukti - jis vertina savo laisvę, kurios jam reikia daugeliui. kiti dalykai. Kai jis pagalvojo apie Soniją šios naujos viešnagės Maskvoje metu, jis pasakė sau: Ech! tokių bus dar daug, daug daugiau, kažkur, man vis dar nežinoma. Dar turėsiu laiko mylėtis, kai noriu, bet dabar nėra laiko. Be to, jam atrodė, kad moterų visuomenėje yra kažkas žeminančio jo drąsą. Jis eidavo į balius ir būrelius, apsimesdamas, kad tai daro prieš savo valią. Bėgimas, anglų klubas, važinėjimas su Denisovu, kelionė ten – tai buvo kitas reikalas: tai pridera šauniam husarui.
Kovo pradžioje senasis grafas Ilja Andreichas Rostovas buvo užsiėmęs vakarienės organizavimu Anglijos klube princui Bagrationui priimti.
Grafas su chalatu vaikščiojo po salę, duodamas klubo namų šeimininkei ir garsiajam Theoktistui, vyresniajam Anglijos klubo virėjui, įsakymus apie šparagus, šviežius agurkus, braškes, veršieną ir žuvį princo Bagrationo vakarienei. Grafas nuo pat klubo įkūrimo dienos buvo jo narys ir meistras. Jam klubas patikėjo surengti šventę Bagrationui, nes retai kas mokėjo surengti šventę taip didingai, svetingai, juolab kad retai kas žinojo, kaip ir norėjo prisidėti savo pinigais, jei jų prireiktų organizuoti. šventė. Klubo virėja ir namų tvarkytoja linksmais veidais klausė grafo įsakymų, nes žinojo, kad niekam kitam geriau nepasipelnyti iš kelis tūkstančius kainuojančios vakarienės.
