Sumažinimas iki vieno šaknies rodiklio. Šaknų dauginimas: pagrindinės taisyklės

Šaknisn-asis laipsnis ir pagrindinės jo savybės

Laipsnis realus skaičius A su natūraliu indikatoriumi n yra darbas n veiksniai, kurių kiekvienas yra lygus A:

a1 = a; a2 = a · a; A n =

Pavyzdžiui,

25 = 2 2 2 2 2 = 32,

5 kartus

(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.

4 kartus

Realus skaičius A paskambino laipsnio pagrindas, o natūralusis skaičius n yra eksponentas.

Pagrindinės laipsnių su natūraliaisiais rodikliais savybės tiesiogiai išplaukia iš apibrėžimo: teigiamo skaičiaus laipsnis su bet kuriuo n e N teigiamas; Neigiamojo skaičiaus su lyginiu rodikliu galia yra teigiama, su nelyginiu – neigiama.

Pavyzdžiui,

(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.

Veiksmai su laipsniais atliekami taip: taisykles.

1. Norint padauginti laipsnius su tomis pačiomis bazėmis, pakanka pridėti eksponentus ir palikti bazę tokią pat, tai yra

Pavyzdžiui, p5∙ p3 = p5+3 =p8

2. Norint padalinti laipsnius su tais pačiais pagrindais, pakanka iš dividendo indekso atimti daliklio laipsnį ir bazę palikti tokią pat, t.

https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif" width="95" height="44 src=">

2. Norint padidinti laipsnį iki laipsnio, pakanka padauginti eksponentus, paliekant bazę ta pačia, tai yra

(ap)m = at·p. Pavyzdžiui, (23)2 = 26.

4. Norint pakelti sandaugą iki laipsnio, pakanka kiekvieną koeficientą padidinti iki šios laipsnio ir padauginti rezultatus, tai yra

(A b)p= ap∙bn.

Pavyzdžiui, (2у3)2= 4y6.

5. Norint pakelti trupmeną iki laipsnio, pakanka atskirai pakelti skaitiklį ir vardiklį iki šios laipsnio ir pirmąjį rezultatą padalyti iš antrojo, tai yra

https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif" width="87" height="53 src=">

Atkreipkite dėmesį, kad kartais naudinga šias formules perskaityti iš dešinės į kairę. Šiuo atveju jos tampa taisyklėmis. Pavyzdžiui, 4 atveju, apvp= (av)p gauname tokią taisyklę: į Norint padauginti laipsnius su tais pačiais eksponentais, pakanka padauginti bazes, o laipsnį paliekant tą patį.

Šios taisyklės naudojimas yra veiksmingas, pavyzdžiui, apskaičiuojant šį produktą

(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif" width="25" height="23">+1)5=(( -1)( +1))5=( = 1.

Dabar pateikime šaknies apibrėžimą.

n-oji tikrojo skaičiaus šaknis A vadinamas tikru skaičiumi X, kurio n-asis laipsnis yra lygus A.

Akivaizdu, kad pagal pagrindines laipsnių su natūraliaisiais rodikliais savybes, iš bet kurio teigiamo skaičiaus yra dvi priešingos lyginės laipsnio šaknies reikšmės, pavyzdžiui, skaičiai 4 ir -4 yra kvadratinės šaknys iš 16, nes ( -4)2 = 42 = 16, o skaičiai 3 ir -3 yra ketvirtosios 81 šaknys, nes (-3)4 = 34 = 81.

Be to, nėra net neigiamo skaičiaus šaknies, nes bet kurio realaus skaičiaus lyginė galia yra neneigiama. Kalbant apie nelyginę šaknį, bet kurio realaus skaičiaus yra tik viena nelyginė to skaičiaus šaknis. Pavyzdžiui, 3 yra trečioji šaknis iš 27, nes 33 = 27, o -2 yra penktoji šaknis iš -32, nes (-2)5 = 32.

Kadangi egzistuoja dvi lyginio laipsnio teigiamo skaičiaus šaknys, mes pristatome aritmetinės šaknies sąvoką, kad pašalintume šį šaknies dviprasmiškumą.

Vadinama neneigiama neneigiamo skaičiaus n-osios šaknies reikšmė aritmetinė šaknis.

Pavyzdžiui, https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif" width="13" height="16 src="> 0.

Reikia atsiminti, kad sprendžiant neracionalias lygtis, jų šaknys visada laikomos aritmetinėmis.

Atkreipkime dėmesį į pagrindinę n-osios šaknies savybę.

Šaknies reikšmė nepasikeis, jei šaknies rodikliai ir radikalinės išraiškos laipsnis bus padauginti arba padalinti iš to paties natūraliojo skaičiaus, t.

Pavyzdys 7. Sumažinti iki bendro vardiklio ir

Sveikinimai, katės! Praėjusį kartą išsamiai aptarėme, kas yra šaknys (jei neprisimenate, rekomenduoju paskaityti). Pagrindinis tos pamokos ištrauka: yra tik vienas universalus šaknų apibrėžimas, kurį reikia žinoti. Visa kita yra nesąmonė ir laiko švaistymas.

Šiandien einame toliau. Mokysimės padauginti šaknis, išnagrinėsime kai kurias su daugyba susijusias problemas (jei šios problemos nebus išspręstos, egzamine jos gali tapti lemtingos) ir tinkamai pasipraktikuosime. Taigi apsirūpinkite spragėsiais, įsitaisykite patogiai ir pradėkime :)

Jūs taip pat dar nerūkėte, ar ne?

Pamoka pasirodė gana ilga, todėl ją padalinau į dvi dalis:

1. Pirmiausia pažvelgsime į daugybos taisykles. Atrodo, kad dangtelis užsimena: tai yra tada, kai yra dvi šaknys, tarp jų yra ženklas „dauginti“ - ir mes norime su juo ką nors padaryti.
2. Tada pažiūrėkime į priešingą situaciją: yra viena didelė šaknis, bet mes labai norėjome ją pavaizduoti kaip dviejų paprastesnių šaknų produktą. Kodėl to reikia, yra atskiras klausimas. Mes tik analizuosime algoritmą.

Tiems, kurie nekantrauja iškart pereiti prie antrosios dalies, esate laukiami. Pradėkime nuo likusių eilės tvarka.

Pagrindinė daugybos taisyklė

Pradėkime nuo paprasčiausio dalyko – klasikinių kvadratinių šaknų. Tie patys, kurie žymimi $\sqrt(a)$ ir $\sqrt(b)$. Jiems viskas aišku:

Daugybos taisyklė. Norėdami padauginti vieną kvadratinę šaknį iš kitos, tiesiog padauginkite jų radikaliąsias išraiškas ir parašykite rezultatą po bendruoju radikalu:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Dešinėje ar kairėje esantiems skaičiams netaikomi jokie papildomi apribojimai: jei yra pagrindiniai veiksniai, tada egzistuoja ir produktas.

Pavyzdžiai. Iš karto pažvelkime į keturis pavyzdžius su skaičiais:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(lygiuoti)\]

Kaip matote, pagrindinė šios taisyklės prasmė yra supaprastinti neracionalius posakius. Ir jei pirmajame pavyzdyje mes patys būtume ištraukę 25 ir 4 šaknis be jokių naujų taisyklių, tada viskas pasidaro sudėtinga: $\sqrt(32)$ ir $\sqrt(2)$ neatsižvelgiama į save, bet jų sandauga pasirodo esanti tobulas kvadratas, todėl jo šaknis lygi racionaliajam skaičiui.

Ypač norėčiau pabrėžti paskutinę eilutę. Ten abi radikalios išraiškos yra trupmenos. Produkto dėka daugelis veiksnių atšaukiami, o visa išraiška virsta tinkamu skaičiumi.

Žinoma, viskas ne visada bus taip gražu. Kartais po šaknimis bus visiška netvarka – neaišku ką su juo daryti ir kaip padauginus transformuoti. Šiek tiek vėliau, kai pradėsite studijuoti neracionalias lygtis ir nelygybes, atsiras visokių kintamųjų ir funkcijų. Ir labai dažnai problemų rašytojai tikisi tuo, kad atrasite kai kuriuos atšaukiančius terminus ar veiksnius, po kurių problema bus daug kartų supaprastinta.

Be to, visai nebūtina padauginti tiksliai dviejų šaknų. Galite padauginti tris, keturis ar net dešimt iš karto! Tai taisyklės nepakeis. Pažiūrėkite:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(lygiuoti)\]

Ir vėl nedidelė pastaba dėl antrojo pavyzdžio. Kaip matote, trečiajame faktoriuje po šaknimi yra dešimtainė trupmena - skaičiavimo metu ją pakeičiame įprasta, po kurios viskas lengvai sumažinama. Taigi: labai rekomenduoju atsisakyti dešimtainių trupmenų visose neracionaliose išraiškose (t. y. turinčiose bent vieną radikalų simbolį). Taip ateityje sutaupysite daug laiko ir nervų.

Bet tai buvo lyrinis nukrypimas. Dabar panagrinėkime bendresnį atvejį – kai šakniniame eksponente yra savavališkas skaičius $n$, o ne tik „klasikiniai“ du.

Savavališko rodiklio atvejis

Taigi, mes sutvarkėme kvadratines šaknis. Ką daryti su kubiniais? Ar net su savavališko laipsnio $n$ šaknimis? Taip, viskas tas pats. Taisyklė išlieka ta pati:

Norint padauginti dvi $n$ laipsnio šaknis, pakanka padauginti jų radikaliąsias išraiškas, o rezultatą parašyti po vienu radikalu.

Apskritai, nieko sudėtingo. Išskyrus tai, kad skaičiavimų suma gali būti didesnė. Pažvelkime į porą pavyzdžių:

Pavyzdžiai. Apskaičiuokite produktus:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(lygiuoti)\]

Ir vėl atkreipkite dėmesį į antrą posakį. Padauginame kubo šaknis, atsisakome dešimtainės trupmenos ir gauname vardiklį skaičių 625 ir 25 sandauga. Tai gana didelis skaičius – aš asmeniškai negaliu suprasti, kam jis lygus iš viršaus. mano galvos.

Taigi mes tiesiog išskyrėme tikslų kubą skaitiklyje ir vardiklyje, o tada panaudojome vieną iš pagrindinių $n$-osios šaknies savybių (arba, jei norite, apibrėžimo):

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\dešinė|. \\ \end(lygiuoti)\]

Tokios „machinacijos“ gali sutaupyti daug laiko per egzaminą ar testą, todėl atminkite:

Neskubėkite dauginti skaičių naudodami radikalias išraiškas. Pirmiausia patikrinkite: ką daryti, jei tikslus bet kurios išraiškos laipsnis yra „užšifruotas“?

Nepaisant šios pastabos akivaizdumo, turiu pripažinti, kad dauguma nepasiruošusių studentų nemato tikslių laipsnių tuščiame diapazone. Vietoj to, jie daugina viską, o paskui stebisi: kodėl jie gavo tokius brutalius skaičius :)

Tačiau visa tai yra kūdikių kalbėjimas, palyginti su tuo, ką mokysimės dabar.

Šaknų dauginimas su skirtingais rodikliais

Gerai, dabar galime padauginti šaknis su tais pačiais rodikliais. Ką daryti, jei rodikliai skiriasi? Tarkime, kaip padauginti įprastą $\sqrt(2)$ iš kažkokio šūdo, pvz., $\sqrt(23)$? Ar net įmanoma tai padaryti?

Taip, žinoma, galite. Viskas daroma pagal šią formulę:

Šaknų dauginimo taisyklė. Norint padauginti $\sqrt[n](a)$ iš $\sqrt[p](b)$, pakanka atlikti šią transformaciją:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Tačiau ši formulė veikia tik tuo atveju, jei radikalios išraiškos yra neneigiamos. Tai labai svarbi pastaba, prie kurios grįšime šiek tiek vėliau.

Kol kas pažvelkime į keletą pavyzdžių:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(lygiuoti)\]

Kaip matote, nieko sudėtingo. Dabar išsiaiškinkime, iš kur atsirado neneigiamumo reikalavimas ir kas bus, jei jį pažeisime :)

Kodėl radikalios išraiškos turi būti neneigiamos?

Žinoma, galite būti kaip mokyklos mokytojai ir protingai cituoti vadovėlį:

Neneigiamumo reikalavimas siejamas su skirtingais lyginio ir nelyginio laipsnių šaknų apibrėžimais (atitinkamai skiriasi ir jų apibrėžimo sritys).

Na, ar tapo aiškiau? Asmeniškai, kai skaičiau šią nesąmonę 8 klasėje, supratau maždaug taip: „Neneigiamumo reikalavimas siejamas su *#&^@(*#@^#)~%“ – trumpai tariant, aš tuo metu nieko nesuprantu :)

Taigi dabar viską paaiškinsiu įprastai.

Pirmiausia išsiaiškinkime, iš kur kilusi aukščiau pateikta daugybos formulė. Norėdami tai padaryti, leiskite man priminti vieną svarbią šaknies savybę:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Kitaip tariant, radikaliąją išraišką galime drąsiai pakelti iki bet kokios natūralios galios $k$ – tokiu atveju šaknies eksponentą teks padauginti iš tos pačios galios. Todėl galime nesunkiai sumažinti bet kokias šaknis iki bendro laipsnio ir tada jas padauginti. Iš čia kilusi daugybos formulė:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Tačiau yra viena problema, kuri smarkiai riboja visų šių formulių naudojimą. Apsvarstykite šį skaičių:

Pagal ką tik pateiktą formulę galime pridėti bet kokį laipsnį. Pabandykime pridėti $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Minusą pašalinome būtent todėl, kad kvadratas degina minusą (kaip ir bet kuris kitas lyginis laipsnis). Dabar atlikime atvirkštinę transformaciją: „sumažinkime“ du rodiklius ir galią. Juk bet kokią lygybę galima skaityti ir iš kairės į dešinę, ir iš dešinės į kairę:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rodyklė dešinėn \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(lygiuoti)\]

Bet tada paaiškėja, kad tai kažkoks šūdas:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Tai negali atsitikti, nes $\sqrt(-5) \lt 0$ ir $\sqrt(5) \gt 0$. Tai reiškia, kad lyginiams laipsniams ir neigiamiems skaičiams mūsų formulė nebeveikia. Po to turime dvi galimybes:

1. Atsitrenkti į sieną ir teigti, kad matematika yra kvailas mokslas, kur „yra taisyklės, bet jos netikslios“;
2. Įveskite papildomus apribojimus, pagal kuriuos formulė veiks 100 proc.

Pirmuoju variantu turėsime nuolat gaudyti „neveikiančius“ atvejus - tai sudėtinga, atima daug laiko ir paprastai yra baisu. Todėl matematikai pirmenybę teikė antram variantui :)

Bet nesijaudink! Praktiškai šis apribojimas neturi jokios įtakos skaičiavimams, nes visos aprašytos problemos yra susijusios tik su nelyginio laipsnio šaknimis ir iš jų galima paimti minusus.

Todėl suformuluokime dar vieną taisyklę, kuri paprastai taikoma visiems veiksmams su šaknimis:

Prieš daugindami šaknis, įsitikinkite, kad radikalios išraiškos nėra neigiamos.

Pavyzdys. Skaičiuje $\sqrt(-5)$ galite pašalinti minusą iš po šaknies ženklo - tada viskas bus normalu:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rodyklė dešinėn \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(lygiuoti)\]

Ar jaučiate skirtumą? Jei paliksite minusą po šaknimi, tada, kai radikali išraiška bus kvadratuota, ji išnyks ir prasidės šūdas. Ir jei pirmiausia išimsite minusą, tada galėsite kvadratuoti / nuimti iki mėlynos spalvos - skaičius liks neigiamas :)

Taigi teisingiausias ir patikimiausias būdas padauginti šaknis yra toks:

1. Pašalinkite visus negatyvus nuo radikalų. Minusai egzistuoja tik nelyginio daugumo šaknyse – juos galima dėti priešais šaknį ir, jei reikia, sumažinti (pavyzdžiui, jei yra du iš šių minusų).
2. Atlikite dauginimą pagal aukščiau aptartas taisykles šios dienos pamokoje. Jei šaknų rodikliai yra vienodi, radikaliąsias išraiškas tiesiog padauginame. Ir jei jie skiriasi, naudojame blogio formulę \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Mėgaukitės rezultatu ir gerais pažymiais. :)

Na? Praktikuosime?

1 pavyzdys: Supaprastinkite išraišką:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(lygiuoti)\]

Tai paprasčiausias variantas: šaknys vienodos ir nelyginės, tik bėda ta, kad antrasis veiksnys yra neigiamas. Šį minusą išimame iš paveikslėlio, po kurio viskas nesunkiai apskaičiuojama.

2 pavyzdys: Supaprastinkite išraišką:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( lygiuoti)\]

Čia daugelį suklaidintų tai, kad išvestis pasirodė esąs neracionalus skaičius. Taip, atsitinka: mes negalėjome visiškai atsikratyti šaknies, bet bent jau žymiai supaprastinome išraišką.

3 pavyzdys: Supaprastinkite išraišką:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((() a)^(4)) \dešinė))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(lygiuoti)\]

Norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į šią užduotį. Čia yra du punktai:

1. Šaknis yra ne konkretus skaičius ar laipsnis, o kintamasis $a$. Iš pirmo žvilgsnio tai šiek tiek neįprasta, tačiau iš tikrųjų sprendžiant matematinius uždavinius dažniausiai tenka susidurti su kintamaisiais.
2. Galų gale mums pavyko „sumažinti“ radikalumo rodiklį ir radikalios išraiškos laipsnį. Taip nutinka gana dažnai. Ir tai reiškia, kad buvo galima žymiai supaprastinti skaičiavimus, jei nenaudojote pagrindinės formulės.

Pavyzdžiui, galite tai padaryti:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\pabaiga (lygiuoti)\]

Tiesą sakant, visos transformacijos buvo atliekamos tik su antruoju radikalu. Ir jei išsamiai neaprašysite visų tarpinių žingsnių, galų gale skaičiavimų suma bus žymiai sumažinta.

Tiesą sakant, mes jau susidūrėme su panašia užduotimi aukščiau, kai išsprendėme pavyzdį $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Dabar tai galima parašyti daug paprasčiau:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(lygiuoti)\]

Na, mes sutvarkėme šaknų dauginimą. Dabar apsvarstykime atvirkštinį veiksmą: ką daryti, kai po šaknimi yra produktas?

Šiame straipsnyje pateikta medžiaga turėtų būti laikoma temos dalimi neracionalių posakių konvertavimas. Čia pavyzdžiais analizuosime visas subtilybes ir niuansus (kurių yra daug), kurie atsiranda atliekant transformacijas pagal šaknų savybes.

Puslapio naršymas.

Prisiminkime šaknų savybes

Kadangi tuoj susidursime su posakių transformavimu naudojant šaknų savybes, nepakenks atsiminti pagrindines, o dar geriau – užsirašyti ant popieriaus ir pasidėti priešais save.

Pirmiausia tiriamos kvadratinės šaknys ir šios jų savybės (a, b, a 1, a 2, ..., a k yra realieji skaičiai):

Ir vėliau išplečiama šaknies idėja, įvedamas n-ojo laipsnio šaknies apibrėžimas ir atsižvelgiama į šias savybes (a, b, a 1, a 2, ..., a k yra tikrieji skaičiai, m, n, n 1, n 2, ... , n k – natūralieji skaičiai):

Konvertuoti išraiškas su skaičiais po radikaliais ženklais

Kaip įprasta, pirmiausia jie išmoksta dirbti su skaitinėmis išraiškomis, o tik po to pereina prie išraiškų su kintamaisiais. Mes padarysime tą patį ir pirmiausia nagrinėsime neracionalių reiškinių, turinčių tik skaitines išraiškas, transformaciją po šaknų ženklais, o tada kitoje pastraipoje įvessime kintamuosius po šaknų ženklais.

Kaip tai gali būti naudojama išraiškoms transformuoti? Tai labai paprasta: pavyzdžiui, neracionalią išraišką galime pakeisti išraiška arba atvirkščiai. Tai yra, jei konvertuojama išraiška turi išraišką, kuri savo išvaizda atitinka bet kurios iš išvardytų šaknų savybių kairiosios (dešinės) dalies išraišką, tada ją galima pakeisti atitinkama išraiška iš dešinės (kairiosios) dalies. Tai išraiškų transformacija naudojant šaknų savybes.

Pateiksime dar kelis pavyzdžius.

Supaprastinkime išraišką . Skaičiai 3, 5 ir 7 yra teigiami, todėl galime drąsiai pritaikyti šaknų savybes. Čia galite veikti įvairiais būdais. Pavyzdžiui, šaknis, pagrįsta ypatybe, gali būti pavaizduota kaip , o šaknis naudojant ypatybę su k=3 - as , taikant šį metodą sprendimas atrodys taip:

Tai galima padaryti kitaip, pakeičiant , o tada - , tokiu atveju sprendimas atrodytų taip:

Galimi ir kiti sprendimai, pavyzdžiui:

Pažvelkime į kito pavyzdžio sprendimą. Pakeiskime išraišką. Žvelgiant į šaknų savybių sąrašą, iš jo parenkame pavyzdžiui išspręsti reikalingas savybes, aišku, kad čia naudingos dvi iš jų ir , kurios galioja bet kuriai a . Turime:

Arba pirmiausia galima transformuoti radikalias išraiškas naudojant

o tada taikyti šaknų savybes

Iki šiol konvertavome išraiškas, kuriose yra tik kvadratinės šaknys. Atėjo laikas dirbti su šaknimis, kurios turi skirtingus rodiklius.

Pavyzdys.

Konvertuokite neracionalią išraišką .

Sprendimas.

Pagal nuosavybę pirmasis duoto produkto koeficientas gali būti pakeistas skaičiumi –2:

Eikime toliau. Pagal savybę antrasis veiksnys gali būti pavaizduotas kaip , ir nepakenktų 81 pakeisti keturių kartų laipsniu iš trijų, nes likusiuose veiksniuose skaičius 3 pasirodo po šaknų ženklais:

Patartina trupmenos šaknį pakeisti formos šaknų santykiu, kurį galima toliau transformuoti: . Turime

Atlikus operacijas su dvejetais, gauta išraiška įgaus formą , o beliks transformuoti šaknų sandaugą.

Norint transformuoti šaknų produktus, jie paprastai sumažinami iki vieno rodiklio, kuriam patartina imti visų šaknų rodiklius. Mūsų atveju LCM(12, 6, 12) = 12, ir iki šio rodiklio reikės sumažinti tik šaknį, nes kitos dvi šaknys jau turi tokį rodiklį. Lygybė, taikoma iš dešinės į kairę, leidžia mums susidoroti su šia užduotimi. Taigi . Atsižvelgdami į šį rezultatą, turime

Dabar šaknų sandaugą galima pakeisti produkto šaknimi ir atlikti likusias, jau akivaizdžias, transformacijas:

Parašykime trumpą sprendimo versiją:

Atsakymas:

.

Atskirai pabrėžiame, kad norint pritaikyti šaknų savybes, būtina atsižvelgti į apribojimus, taikomus skaičiams po šaknų ženklais (a≥0 ir kt.). Jų nepaisymas gali sukelti neteisingus rezultatus. Pavyzdžiui, žinome, kad ypatybė galioja neneigiamam a . Remdamiesi juo, galime lengvai pereiti, pavyzdžiui, nuo iki, nes 8 yra teigiamas skaičius. Bet jei, pavyzdžiui, paimsime prasmingą neigiamo skaičiaus šaknį ir, remdamiesi aukščiau nurodyta savybe, pakeisime jį , tai iš tikrųjų pakeisime −2 į 2. Tikrai, ah. Tai yra, neigiamam a lygybė gali būti neteisinga, kaip ir kitos šaknų savybės gali būti neteisingos, neatsižvelgiant į joms nurodytas sąlygas.

Tačiau tai, kas buvo pasakyta ankstesnėje pastraipoje, visiškai nereiškia, kad išraiškos su neigiamais skaičiais po šaknų ženklais negali būti transformuojamos naudojant šaknų savybes. Pirmiausia juos reikia „paruošti“ taikant veikimo su skaičiais taisykles arba naudojant nelyginės neigiamo skaičiaus šaknies apibrėžimą, atitinkantį lygybę , kur −a yra neigiamas skaičius (o a yra teigiamas). Pavyzdžiui, jo negalima iš karto pakeisti , nes −2 ir −3 yra neigiami skaičiai, tačiau tai leidžia pereiti nuo šaknies į , o tada toliau taikyti produkto šaknies savybę: . Ir viename iš ankstesnių pavyzdžių nereikėjo pereiti nuo aštuonioliktosios galios šaknies prie šaknies , ir taip .

Taigi, norint transformuoti išraiškas naudojant šaknų savybes, jums reikia

• iš sąrašo pasirinkite reikiamą nuosavybę,
• įsitikinkite, kad skaičiai po šaknimi atitinka pasirinktos ypatybės sąlygas (kitaip reikia atlikti išankstines transformacijas),
• ir atlikti numatytą transformaciją.

Posakių su kintamaisiais po radikaliais ženklais konvertavimas

Norint transformuoti neracionalias išraiškas, kuriose yra ne tik skaičiai, bet ir kintamieji po šaknies ženklu, reikia atidžiai taikyti pirmoje šio straipsnio pastraipoje išvardytas šaknų savybes. Taip yra daugiausia dėl sąlygų, kurias turi atitikti formulėse įtraukti skaičiai. Pavyzdžiui, remiantis formule, išraiška gali būti pakeista išraiška tik toms x reikšmėms, kurios atitinka sąlygas x≥0 ir x+1≥0, nes nurodyta formulė nurodyta a≥0 ir b. ≥0.

Kokie pavojai kyla ignoruojant šias sąlygas? Atsakymas į šį klausimą aiškiai parodytas toliau pateiktame pavyzdyje. Tarkime, kad reikia apskaičiuoti išraiškos reikšmę x=−2. Jei vietoj kintamojo x iš karto pakeisime skaičių −2, gausime mums reikalingą reikšmę . Dabar įsivaizduokime, kad, remdamiesi tam tikrais svarstymais, mes konvertavome pateiktą išraišką į formą ir tik po to nusprendėme apskaičiuoti reikšmę. Pakeičiame x skaičių −2 ir gauname išraišką , kuris neturi prasmės.

Pažiūrėkime, kas atsitiks leistinų verčių diapazonas (APV) kintamasis x pereinant nuo išraiškos prie išraiškos. Neatsitiktinai paminėjome ODZ, nes tai yra rimta priemonė, skirta stebėti atliktų transformacijų priimtinumą, o ODZ pakeitimas po išraiškos transformacijos turėtų bent jau iškelti raudonas vėliavėles. Rasti šių posakių ODZ nėra sunku. Jei išraiška ODZ nustatoma iš nelygybės x·(x+1)≥0, jos sprendimas suteikia skaitinę aibę (−∞, −1]∪∪∪)