Paprasčiausia parabolės lygtis. Kaip sukurti parabolę naudojant kvadratinę lygtį

Įveskime stačiakampę koordinačių sistemą, kur . Leiskite ašiai pereiti per fokusą F parabolė ir statmena krypčiai, o ašis eina per vidurį tarp židinio ir krypties. Pažymėkime atstumu tarp židinio ir krypties. Tada krypties lygtis.

Skaičius vadinamas židinio parabolės parametru. Leisti yra dabartinis parabolės taškas. Leisti būti hiperbolės taško židinio spindulys Leisti būti atstumas nuo taško iki krypties. Tada ( 27 brėžinys.)

27 brėžinys.

Pagal parabolės apibrėžimą. Vadinasi,

Pastatykime lygtį kvadratu ir gausime:

(15)

kur (15) yra kanoninė parabolės lygtis, kuri yra simetriška ašiai ir eina per pradžią.

Parabolės savybių tyrimas

1) Parabolės viršūnė:

(15) lygtį tenkina skaičiai, todėl parabolė eina per pradžią.

2) Parabolės simetrija:

Tegul priklauso parabolei, ty tikrajai lygybei. Taškas yra simetriškas taškui ašies atžvilgiu, todėl parabolė yra simetriška abscisių ašiai.

Parabolės ekscentriškumas:

Apibrėžimas 4.2. Parabolės ekscentriškumas yra skaičius, lygus vienetui.

Kadangi pagal parabolės apibrėžimą.

4) Parabolės liestinė:

Parabolės liestinė liesties taške pateikiama lygtimi

kur ( 28 brėžinys.)

28 brėžinys.

Parabolės vaizdas

29 brėžinys.

Naudojant ESO-Mathcad:

30 brėžinys.)

30 brėžinys.

a) Konstravimas nenaudojant IKT: Norėdami sukurti parabolę, nustatome stačiakampę koordinačių sistemą, kurios centras yra taške O ir vieneto atkarpa. Židinį pažymime OX ašyje, nes nubrėžiame tokią, kad ir parabolės kryptis. Statome apskritimą taške, kurio spindulys lygus atstumui nuo tiesės iki parabolės krypties. Apskritimas kerta tiesę taškuose . Sukonstruojame parabolę taip, kad ji eitų per pradžią ir per taškus.( 31 brėžinys.)

31 brėžinys.

b) Naudojant ESO-Mathcad:

Gauta lygtis atrodo taip: . Norėdami sukurti antros eilės eilutę Mathcad programoje, lygtį sumažiname iki formos: .( 32 brėžinys.)

32 brėžinys.

Siekdami apibendrinti antros eilės eilučių teorijos darbą elementariojoje matematikoje ir informacijos apie eilutes naudojimo patogumui sprendžiant uždavinius, visus antros eilės eilučių duomenis įtrauksime į lentelę Nr.

Lentelė Nr.1.

Antrosios eilės elementariosios matematikos eilutės

IKT panaudojimo galimybės tiriant antros eilės linijas

Informatizacijos procesas, šiandien apėmęs visus šiuolaikinės visuomenės gyvenimo aspektus, turi keletą prioritetinių sričių, kurios, be abejo, turėtų apimti ir švietimo informatizavimą. Tai yra pagrindinis pasaulinio žmogaus intelektinės veiklos racionalizavimo, naudojant informacines ir ryšių technologijas (IKT), pagrindas.

Praėjusio amžiaus 90-ųjų viduriui iki šių dienų būdingas platus asmeninių kompiuterių naudojimas ir prieinamumas Rusijoje, plačiai paplitusios telekomunikacijos, leidžiančios į ugdymo procesą įdiegti sukurtas švietimo informacines technologijas, jį tobulinti ir modernizuoti, tobulinti. žinių kokybę, didinant motyvaciją mokytis, maksimaliai išnaudojant mokymosi individualizavimo principą. Informacinės technologijos ugdymui yra būtina priemonė šiame švietimo informatizacijos etape.

Informacinės technologijos ne tik palengvina prieigą prie informacijos ir atveria ugdymo veiklos kintamumo, individualizavimo ir diferencijavimo galimybes, bet ir leidžia naujai pertvarkyti visų mokymosi dalykų sąveiką, sukurti ugdymo sistemą, kurioje mokinys būtų aktyvus ir lygiavertis edukacinės veiklos dalyvis.

Naujų informacinių technologijų formavimas dalykų pamokų rėmuose skatina poreikį kurti naują programinę įrangą ir metodinius kompleksus, kuriais siekiama kokybiškai padidinti pamokos efektyvumą. Todėl norint sėkmingai ir tikslingai panaudoti informacinių technologijų priemones ugdymo procese, mokytojai turi žinoti bendrą programų veikimo principų aprašymą ir didaktines galimybes, o vėliau, remdamiesi savo patirtimi ir rekomendacijomis, jas „sukurti“. į ugdymo procesą.

Matematikos studijos šiuo metu yra susijusios su daugybe mūsų šalies mokyklinio ugdymo plėtros ypatybių ir sunkumų.

Matematikos ugdyme iškilo vadinamoji krizė. To priežastys yra šios:

Keičiantis prioritetams visuomenėje ir moksle, tai yra, humanitarinių mokslų prioritetas šiuo metu auga;

Mažinant matematikos pamokų skaičių mokykloje;

Matematinio ugdymo turinio išskyrimas nuo gyvenimo;

Turi mažai įtakos mokinių jausmams ir emocijoms.

Šiandien lieka atviras klausimas: „Kaip efektyviausiai panaudoti potencialias šiuolaikinių informacinių ir ryšių technologijų galimybes mokant moksleivius, taip pat ir mokant matematikos?

Kompiuteris yra puikus pagalbininkas studijuojant tokią temą kaip „Kvadratinė funkcija“, nes specialiomis programomis galima sudaryti įvairių funkcijų grafikus, tyrinėti funkciją, lengvai nustatyti susikirtimo taškų koordinates, apskaičiuoti uždarų figūrų plotus ir kt. Pavyzdžiui, 9 klasės algebros pamokoje, skirtoje grafų transformacijai (tempimui, suspaudimui, koordinačių ašių judėjimui), matosi tik fiksuotas konstravimo rezultatas, o visa mokytojo ir mokinio nuoseklių veiksmų dinamika. monitoriaus ekrane.

Kompiuteris, kaip jokia kita techninė priemonė, tiksliai, vaizdžiai ir įdomiai atskleidžia mokiniui idealius matematinius modelius, t.y. ko vaikas turėtų siekti savo praktiniuose veiksmuose.

Kiek sunkumų turi įveikti matematikos mokytojas, kad įtikintų mokinius, kad kvadratinės funkcijos grafiko liestinė liesties taške praktiškai susilieja su funkcijos grafiku. Šį faktą labai lengva pademonstruoti kompiuteriu – pakanka susiaurinti intervalą išilgai Ox ašies ir atrasti, kad labai mažoje liestinės taško kaimynystėje funkcijos grafikas ir liestinės linijos sutampa. Visi šie veiksmai vyksta mokinių akivaizdoje. Šis pavyzdys suteikia impulsą aktyviai apmąstyti pamoką. Naudotis kompiuteriu galima tiek naujos medžiagos aiškinimo pamokoje, tiek kontrolės etape. Naudodamas šias programas, pavyzdžiui, „Mano testas“, studentas gali savarankiškai pasitikrinti savo žinių lygį teorijoje ir atlikti teorines bei praktines užduotis. Programos patogios dėl savo universalumo. Jie gali būti naudojami tiek savikontrolei, tiek mokytojo kontrolei.

Protingas matematikos ir kompiuterinių technologijų integravimas leis turtingiau ir giliau pažvelgti į problemos sprendimo ir matematinių dėsnių suvokimo procesą. Be to, kompiuteris padės formuoti grafinę, matematinę ir psichinę mokinių kultūrą, o kompiuterio pagalba galėsite paruošti didaktinę medžiagą: korteles, apklausų lapus, testus ir kt. Tuo pačiu duokite vaikams galimybė savarankiškai rengti testus šia tema, kurių metu susidomėjimas ir kūrybiškas požiūris.

Taigi atsiranda poreikis matematikos pamokose naudoti kompiuterius kuo plačiau. Informacinių technologijų naudojimas padės pagerinti žinių kokybę, praplės kvadratinės funkcijos tyrimo akiratį, todėl padės rasti naujų perspektyvų išlaikyti studentų susidomėjimą dalyku ir tema, taigi ir geresnį, dėmesingesnį požiūrį į tai. Šiuolaikinės informacinės technologijos šiandien tampa svarbiausia priemone modernizuojant mokyklą kaip visumą – nuo ​​vadybos iki ugdymo ir švietimo prieinamumo užtikrinimo.

Parabolė yra plokštumos taškų, kurie yra vienodai nutolę nuo nurodyto taško F ir tiesės d, kuri nekerta tam tikro taško, vieta. Šis geometrinis apibrėžimas išreiškia režisūrinė parabolės nuosavybė.

Režisūrinė parabolės nuosavybė

Taškas F vadinamas parabolės židiniu, linija d yra parabolės kryptis, statmens, nuleistos nuo židinio iki krypties, vidurio taškas O yra parabolės viršūnė, atstumas p nuo židinio iki krypties. yra parabolės parametras, o atstumas \frac(p)(2) nuo parabolės viršūnės iki jos židinio yra židinio nuotolis (3.45a pav.). Tiesė, statmena krypčiai ir einanti per židinį, vadinama parabolės ašimi (parabolės židinio ašimi). Atkarpa FM, jungianti savavališką parabolės tašką M su jo židiniu, vadinama taško M židinio spinduliu. Atkarpa, jungianti du parabolės taškus, vadinama parabolės styga.

Savavališkam parabolės taškui atstumo iki židinio ir atstumo iki krypties santykis yra lygus vienetui. Palyginę , ir parabolių direktorijų ypatybes, darome tokią išvadą parabolės ekscentriškumas pagal apibrėžimą lygus vienetui (e=1).

Geometrinis parabolės apibrėžimas, išreiškiantis jo direktorijos savybę, yra lygiavertis jo analitiniam apibrėžimui – tiesei, apibrėžtai kanonine parabolės lygtimi:

Išties, įveskime stačiakampę koordinačių sistemą (3.45 pav., b). Koordinačių sistemos pradžia laikome parabolės viršūnę O; abscisių ašimi laikykime tiesę, einančią per židinį, statmeną krypčiai (teigiama kryptis joje yra nuo taško O iki taško F); Ordinačių ašimi laikykime tiesę, statmeną abscisių ašiai, einančią per parabolės viršūnę (kryptis ordinačių ašyje parenkama taip, kad stačiakampė koordinačių sistema Oxy būtų teisinga).

Sukurkime parabolės lygtį, naudodami jos geometrinį apibrėžimą, kuris išreiškia parabolės krypties savybę. Pasirinktoje koordinačių sistemoje nustatome židinio koordinates F\!\left(\frac(p)(2);\,0\right) ir krypties lygtis x=-\frac(p)(2) . Savavališkam taškui M(x,y), priklausančiam parabolei, turime:

FM=MM_d,

Kur M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\right)- taško M(x,y) stačiakampė projekcija į kryptį. Šią lygtį užrašome koordinačių forma:

\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}

Abi lygties puses padalijame kvadratu: (\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Pateikdami panašias sąlygas, gauname kanoninė parabolės lygtis

y^2=2\cdot p\cdot x, tie. pasirinkta koordinačių sistema yra kanoninė.

Atlikdami samprotavimus atvirkštine tvarka, galime parodyti, kad visi taškai, kurių koordinatės tenkina (3.51) lygtį, ir tik jie priklauso taškų lokusui, vadinamam parabole. Taigi, analitinis parabolės apibrėžimas yra lygiavertis jos geometriniam apibrėžimui, kuris išreiškia parabolės direktyvinę savybę.

Parabolės lygtis polinėje koordinačių sistemoje

Parabolės lygtis polinėje koordinačių sistemoje Fr\varphi (3.45 pav., c) turi formą

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), kur p yra parabolės parametras, o e = 1 yra jos ekscentriškumas.

Tiesą sakant, poliarinės koordinačių sistemos poliu pasirenkame parabolės židinį F, o poliarine ašimi - spindulį, kurio pradžia taške F, statmeną krypčiai ir jos nekertantį (3.45 pav., c). . Tada savavališkam taškui M(r,\varphi), priklausančiam parabolei, pagal geometrinį parabolės apibrėžimą (krypties savybę) gauname MM_d=r. Nes MM_d=p+r\cos\varphi, gauname parabolės lygtį koordinačių forma:

p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),

Q.E.D. Atkreipkite dėmesį, kad poliarinėse koordinatėse elipsės, hiperbolės ir parabolės lygtys sutampa, tačiau apibūdinkite skirtingas tieses, nes jos skiriasi ekscentriškumu (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 už ).

Geometrinė parametro reikšmė parabolės lygtyje

Paaiškinkime geometrinė parametro reikšmė p kanoninėje parabolės lygtyje. Pakeitę x=\frac(p)(2) į lygtį (3.51), gauname y^2=p^2, t.y. y=\pm p . Todėl parametras p yra pusė parabolės stygos, einančios per jos židinį statmenai parabolės ašiai, ilgio.

Parabolės židinio parametras, taip pat elipsei ir hiperbolei, vadinama puse stygos, einančios per jos židinį statmenai židinio ašiai, ilgio (žr. 3.45 pav., c). Iš parabolės lygties polinėmis koordinatėmis ties \varphi=\frac(\pi)(2) gauname r=p, t.y. parabolės parametras sutampa su jos židinio parametru.

Pastabos 3.11.

1. Parabolės parametras p apibūdina jos formą. Kuo p didesnis, tuo platesnės parabolės šakos, tuo p arčiau nulio, tuo siauresnės parabolės šakos (3.46 pav.).

2. Lygtis y^2=-2px (kai p>0) apibrėžia parabolę, kuri yra į kairę nuo ordinačių ašies (3.47 pav.,a). Ši lygtis sumažinama iki kanoninės, pakeitus x ašies kryptį (3.37). Fig. 3.47,a rodo duotąją koordinačių sistemą Oxy ir kanoninę Ox"y".

3. Lygtis (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 apibrėžia parabolę su viršūne O"(x_0,y_0), kurios ašis lygiagreti abscisių ašiai (3.47 pav.,6). Ši lygtis, naudojant lygiagretųjį vertimą, redukuojama į kanoninę (3.36).

Lygtis (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, taip pat apibrėžia parabolę su viršūne O"(x_0,y_0), kurios ašis lygiagreti ordinačių ašiai (3.47 pav., c). Ši lygtis redukuojama iki kanoninės naudojant lygiagretųjį vertimą (3.36) ir pervadinant koordinačių ašys (3.38) 3.47,b,c pav. pavaizduotos pateiktos koordinačių sistemos Oxy ir kanoninės koordinačių sistemos Ox"y".

4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0 yra parabolė su viršūne taške O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\right), kurios ašis lygiagreti ordinačių ašiai, parabolės šakos nukreiptos aukštyn (jeigu a>0) arba žemyn (a<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftright rodyklė \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\right)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right)\!,

kuri redukuojama iki kanoninės formos (y")^2=2px" , kur p=\left|\frac(1)(2a)\right|, naudojant pakaitalą y"=x+\frac(b)(2a) Ir x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right).

Ženklas pasirenkamas taip, kad sutaptų su pirmaujančio koeficiento a ženklu. Šis pakeitimas atitinka kompoziciją: lygiagretus perkėlimas (3.36) su x_0=-\frac(b)(2a) Ir y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), pervardijant koordinačių ašis (3.38), o a atveju<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 ir a<0 соответственно.

5. Kanoninės koordinačių sistemos x ašis yra parabolės simetrijos ašis, nes kintamąjį y pakeitus -y lygtis (3.51) nekeičiama. Kitaip tariant, taško M(x,y), priklausančio parabolei, koordinatės ir taško M"(x,-y) koordinatės, simetriškos taškui M x ašies atžvilgiu, atitinka lygtį. (3.S1) vadinamos kanoninės koordinačių sistemos ašys pagrindinės parabolės ašys.

3.22 pavyzdys.

Nubraižykite parabolę y^2=2x kanoninėje koordinačių sistemoje Oxy. Raskite židinio parametrą, židinio koordinates ir krypties lygtį. Sprendimas. Konstruojame parabolę, atsižvelgdami į jos simetriją abscisių ašies atžvilgiu (3.49 pav.). Jei reikia, nustatykite kai kurių parabolės taškų koordinates. Pavyzdžiui, pakeitę x=2 į parabolės lygtį, gauname y^2=4~\Leftright arrow~y=\pm2

. Vadinasi, taškai su koordinatėmis (2;2),\,(2;-2) priklauso parabolei. Palyginę pateiktą lygtį su kanonine (3.S1), nustatome židinio parametrą: p=1. Fokusavimo koordinatės x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0 , t.y. F\!\left(\frac(1)(2),\,0\right)

. Sudarome krypties lygtį x=-\frac(p)(2) , t.y. x=-\frac(1)(2) .

Bendrosios elipsės, hiperbolės, parabolės savybės 1. Režisūros ypatybę galima naudoti kaip vieną elipsės, hiperbolės, parabolės apibrėžimą (žr. 3.50 pav.):

taškų lokusas plokštumoje, kurių kiekvieno atstumo iki duoto taško F (fokuso) ir atstumo iki nurodytos tiesės d (kryptis), nekertančios tam tikro taško, santykis yra pastovus ir lygus ekscentricitetui e , vadinamas:<1 ;

a) jei 0\leqslant e

b) jei e>1;

c) parabolė, jei e=1. 2. Elipsė, hiperbolė ir parabolė gaunamos kaip plokštumos apskrito kūgio atkarpose ir todėl vadinamos kūginės sekcijos

. Ši savybė taip pat gali būti naudojama kaip geometrinis elipsės, hiperbolės ir parabolės apibrėžimas. 3. Įprastos elipsės, hiperbolės ir parabolės savybės bisektorinė nuosavybė jų liestinės. Pagal liestinė į tiesę tam tikrame taške K suprantama kaip ribinė sekanto KM padėtis, kai taškas M, likęs nagrinėjamoje tiesėje, krypsta į tašką K. Vadinama tiesė, statmena tiesės liestinei ir einanti per liesties tašką normalus

į šią eilutę. Elipsės, hiperbolės ir parabolės liestinių (ir normaliųjų) bisektorinė savybė formuluojama taip: elipsės arba hiperbolės liestinė (normalioji) sudaro lygius kampus su liestinės taško židinio spinduliais (3.51 pav., a, b);(3.51 pav., c). Kitaip tariant, elipsės liestinė taške K yra trikampio F_1KF_2 išorinio kampo pusiausvyra (o normalioji yra trikampio vidinio kampo F_1KF_2 pusiausvyra); hiperbolės liestinė yra trikampio F_1KF_2 vidinio kampo pusiausvyra (o normalioji yra išorinio kampo pusiausvyra); parabolės liestinė yra trikampio FKK_d vidinio kampo pusiausvyra (o normalioji yra išorinio kampo pusiausvyra). Parabolės liestinės bisektorinė savybė gali būti suformuluota taip pat, kaip elipsės ir hiperbolės atveju, jei manome, kad parabolė turi antrąjį židinį taške begalybėje.

4. Iš bisektorinių savybių išplaukia elipsės, hiperbolės ir parabolės optinės savybės, paaiškinantis fizinę termino „fokusas“ reikšmę. Įsivaizduokime paviršius, susidariusius sukant elipsę, hiperbolę ar parabolę aplink židinio ašį. Jei ant šių paviršių padengiama atspindinti danga, gaunami elipsiniai, hiperboliniai ir paraboliniai veidrodžiai. Pagal optikos dėsnį šviesos spindulio kritimo į veidrodį kampas yra lygus atspindžio kampui, t.y. krintantys ir atsispindėję spinduliai sudaro lygius kampus su normaliu paviršiumi, o abu spinduliai ir sukimosi ašis yra toje pačioje plokštumoje. Iš čia gauname šias savybes:

– jeigu šviesos šaltinis yra viename iš elipsinio veidrodžio židinių, tai nuo veidrodžio atsispindėję šviesos spinduliai surenkami kitame židinyje (3.52 pav., a);

– jeigu šviesos šaltinis yra viename iš hiperbolinio veidrodžio židinių, tai nuo veidrodžio atsispindėję šviesos spinduliai išsiskirsto taip, lyg būtų iš kito židinio (3.52 pav., b);

– jeigu šviesos šaltinis yra parabolinio veidrodžio židinyje, tai nuo veidrodžio atsispindėję šviesos spinduliai eina lygiagrečiai židinio ašiai (3.52 pav., c).

5. Diametrinė savybė elipsė, hiperbolė ir parabolė gali būti formuluojamos taip:

– elipsės (hiperbolės) lygiagrečių stygų vidurio taškai yra vienoje tiesėje, einančioje per elipsės centrą (hiperbolė);

– parabolės lygiagrečių stygų vidurio taškai yra tiesioje, kolinearinėje parabolės simetrijos ašyje.

Visų lygiagrečių elipsės stygų (hiperbolės, parabolės) vidurio taškų geometrinis lokusas vadinamas elipsės skersmuo (hiperbolė, parabolė), susieti su šiais akordais.

Tai yra skersmens apibrėžimas siaurąja prasme (žr. 2.8 pavyzdį). Anksčiau skersmens apibrėžimas buvo pateiktas plačiąja prasme, kur elipsės, hiperbolės, parabolės ir kitų antrosios eilės linijų skersmuo yra tiesi linija, kurioje yra visų lygiagrečių stygų vidurio taškai. Siaurąja prasme elipsės skersmuo yra bet kokia styga, einanti per jos centrą (3.53 pav., a); hiperbolės skersmuo – bet kuri tiesė, einanti per hiperbolės centrą (išskyrus asimptotes), arba tokios tiesės dalis (3.53,6 pav.); Parabolės skersmuo – tai bet koks spindulys, sklindantis iš tam tikro parabolės taško ir kolineriškas simetrijos ašiai (3.53 pav., c).

Du skersmenys, kurių kiekvienas padalija visas stygas lygiagrečiai kitam skersmeniui, vadinami konjugatu. 3.53 pav. paryškintomis linijomis pavaizduoti elipsės, hiperbolės ir parabolės konjuguoti skersmenys.

Elipsės liestinė (hiperbolė, parabolė) taške K gali būti apibrėžta kaip lygiagrečių sekantų M_1M_2 ribinė padėtis, kai taškai M_1 ir M_2, likę nagrinėjamoje tiesėje, linkę į tašką K. Iš šio apibrėžimo matyti, kad liestinė, lygiagreti stygoms, eina per skersmens konjugato galą su šiomis stygomis.

6. Elipsė, hiperbolė ir parabolė, be pirmiau nurodytų, turi daugybę geometrinių savybių ir fizinių pritaikymų. Pavyzdžiui, 3.50 pav. galima pavaizduoti kosminių objektų, esančių netoli svorio centro F, trajektorijas.

Parabolė yra begalinė kreivė, susidedanti iš taškų, nutolusių vienodu atstumu nuo nurodytos tiesės, vadinamos parabolės kryptis, ir nurodyto taško, parabolės židinio. Parabolė yra kūgio pjūvis, tai yra, ji reiškia plokštumos ir apskrito kūgio sankirtą.

Apskritai matematinė parabolės lygtis yra tokia: y=ax^2+bx+c, kur a nėra lygus nuliui, b atspindi funkcijos grafiko horizontalų poslinkį nuo pradžios, o c yra vertikali funkcijos grafiko poslinkis kilmės atžvilgiu. Be to, jei a>0, tai braižant grafiką jie bus nukreipti į viršų, o jei parabolės savybės

Parabolė yra antros eilės kreivė, kurios simetrijos ašis eina per parabolės židinį ir statmena parabolės krypčiai.

Parabolė turi ypatingą optinę savybę, kurią sudaro lygiagrečių jos simetrijos ašiai į parabolę nukreiptų šviesos spindulių fokusavimas parabolės viršūnėje ir šviesos pluošto, nukreipto į parabolės viršūnę, fokusavimas į lygiagrečius šviesos spindulius. ta pati ašis.

Jei atspindėsite parabolę bet kurios liestinės atžvilgiu, tada parabolės vaizdas atsiras jos kryptyje. Visos parabolės yra panašios viena į kitą, tai yra, kiekviename dviejuose vienos parabolės taškuose A ir B yra taškai A1 ir B1, kuriems teiginys |A1,B1| = |A,B|*k, kur k yra panašumo koeficientas, kuris skaitine verte visada yra didesnis už nulį.

Parabolės pasireiškimas gyvenime

Kai kurie kosminiai kūnai, tokie kaip kometos ar asteroidai, dideliu greičiu prasilenkiantys šalia didelių kosminių objektų, turi parabolės formos trajektoriją. Ši mažų kosminių kūnų savybė naudojama erdvėlaivių gravitaciniuose manevruose.

Būsimiems kosmonautams apmokyti specialūs orlaivių skrydžiai vykdomi žemėje pagal parabolinę trajektoriją ir taip pasiekiamas nesvarumo efektas žemės gravitaciniame lauke.

Kasdieniame gyvenime parabolių galima rasti įvairiuose šviestuvuose. Taip yra dėl optinių parabolės savybių. Vienas iš naujausių parabolės panaudojimo būdų, paremtas jos šviesos spindulių fokusavimo ir defokusavimo savybėmis, yra saulės baterijos, kurios vis dažniau įtraukiamos į energijos tiekimo sektorių pietiniuose Rusijos regionuose.

III lygis

3.1. Hiperbolė paliečia 5 eilutes x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y– – 48 = 0. Užrašykite hiperbolės lygtį, jei jos ašys sutampa su koordinačių ašimis.

3.2. Parašykite hiperbolės liestinių lygtis

1) einantis per tašką A(4, 1), B(5, 2) ir C(5, 6);

2) lygiagrečiai tiesei 10 x – 3y + 9 = 0;

3) statmena tiesei 10 x – 3y + 9 = 0.

Parabolė yra plokštumos taškų, kurių koordinatės atitinka lygtį, geometrinis lokusas

Parabolės parametrai:

Taškas F(p/2, 0) vadinamas sutelkti dėmesį parabolės, dydis p – parametras , taškas APIE(0, 0) – viršuje . Šiuo atveju tiesi linija OF, kurios atžvilgiu parabolė yra simetriška, apibrėžia šios kreivės ašį.

Didumas Kur M(x, y) – savavališkas parabolės taškas, vadinamas židinio spindulys , tiesus D: x = –p/2 – direktorė (ji nekerta vidinės parabolės srities). Didumas vadinamas parabolės ekscentriškumu.

Pagrindinė parabolės charakteristika: visi parabolės taškai yra vienodu atstumu nuo krypties ir židinio (24 pav.).

Egzistuoja ir kitos kanoninės parabolės lygties formos, nulemiančios kitas jos šakų kryptis koordinačių sistemoje (25 pav.):

Už parametrinis parabolės apibrėžimas kaip parametras t parabolės taško ordinatės vertė gali būti paimta:

Kur t yra savavališkas realusis skaičius.

1 pavyzdys. Nustatykite parabolės parametrus ir formą naudodami kanoninę lygtį:

Sprendimas. 1. Lygtis y 2 = –8x apibrėžia parabolę su viršūne taške APIE Oi. Jo šakos nukreiptos į kairę. Palyginus šią lygtį su lygtimi y 2 = –2px, randame: 2 p = 8, p = 4, p/2 = 2. Todėl židinys yra taške F(–2; 0), krypties lygtis D: x= 2 (26 pav.).

2. Lygtis x 2 = –4y apibrėžia parabolę su viršūne taške O(0; 0), simetriškas ašies atžvilgiu Oy. Jo šakos nukreiptos žemyn. Palyginus šią lygtį su lygtimi x 2 = –2py, randame: 2 p = 4, p = 2, p/2 = 1. Todėl židinys yra taške F(0; –1), krypties lygtis D: y= 1 (27 pav.).

2 pavyzdys. Nustatykite kreivės parametrus ir tipą x 2 + 8x – 16y– 32 = 0. Padarykite brėžinį.

Sprendimas. Transformuokime kairę lygties pusę naudodami pilno kvadrato ištraukimo metodą:

x 2 + 8x– 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

Kaip rezultatas, mes gauname

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

Tai kanoninė parabolės lygtis su viršūne taške (–4, –3), parametras p= 8, šakos nukreiptos į viršų (), ašis x= –4. Dėmesys nukreiptas į tašką F(–4; –3 + p/2), t.y. F(–4; 1) direktorė D pateikta lygtimi y = –3 – p/2 arba y= –7 (28 pav.).

4 pavyzdys. Parašykite parabolės, kurios viršūnė yra taške, lygtį V(3; –2) ir sufokusuokite tašką F(1; –2).

Sprendimas. Tam tikros parabolės viršūnė ir židinys yra tiesėje, lygiagrečioje ašiai Jautis(tos pačios ordinatės), parabolės šakos nukreiptos į kairę (židinio abscisė mažesnė už viršūnės abscisę), atstumas nuo židinio iki viršūnės p/2 = 3 – 1 = 2, p= 4. Vadinasi, reikiama lygtis

(y+ 2) 2 = –2 4 ( x– 3) arba ( y + 2) 2 = = –8(x – 3).

Savarankiško sprendimo užduotys

I lygiu

1.1. Nustatykite parabolės parametrus ir sukonstruokite:

1) y 2 = 2x; 2) y 2 = –3x;

3) x 2 = 6y; 4) x 2 = –y.

1.2. Parašykite parabolės lygtį su jos viršūne ištakoje, jei žinote, kad:

1) parabolė yra kairiojoje pusplokštumoje simetriškai ašies atžvilgiu Jautis Ir p = 4;

2) parabolė yra simetriškai ašies atžvilgiu Oy ir eina per tašką M(4; –2).

3) kryptis pateikiama pagal 3 lygtį y + 4 = 0.

1.3. Parašykite kreivės, kurios visi taškai yra vienodu atstumu nuo taško (2; 0) ir tiesės, lygtį x = –2.

II lygis

2.1. Nustatykite kreivės tipą ir parametrus.

Šiame skyriuje daroma prielaida, kad plokštumoje pasirinkta tam tikra skalė (joje yra visos toliau nurodytos figūros); Nagrinėjamos tik stačiakampės koordinačių sistemos su šia masteliu.

§ 1. Parabolė

Parabolė skaitytojui žinoma iš mokyklinio matematikos kurso kaip kreivė, kuri yra funkcijos grafikas

(76 pav.). (1)

Bet kurio kvadratinio trinalio grafikas

taip pat yra parabolė; galima tiesiog perkeliant koordinačių sistemą (kokiu nors vektoriumi OO), t.y. transformuojant

užtikrinti, kad funkcijos grafikas (antrojoje koordinačių sistemoje) sutaptų su grafiku (2) (pirmojoje koordinačių sistemoje).

Tiesą sakant, pakeiskime (3) lygybe (2). Mes gauname

Norime pasirinkti taip, kad dešinėje šios lygybės pusėje polinomo koeficientas ties ir laisvasis narys (atsižvelgiant į ) būtų lygus nuliui. Norėdami tai padaryti, mes nustatome iš lygties

kuris duoda

Dabar nustatome iš sąlygos

į kurią pakeičiame jau rastą reikšmę. Mes gauname

Taigi, naudojant pamainą (3), kurioje

mes perėjome prie naujos koordinačių sistemos, kurioje parabolės (2) lygtis įgavo formą

(77 pav.).

Grįžkime prie (1) lygties. Tai gali būti parabolės apibrėžimas. Prisiminkime paprasčiausias jo savybes. Kreivė turi simetrijos ašį: jei taškas tenkina (1) lygtį, tai taškas, simetriškas taškui M ordinačių ašies atžvilgiu, tenkina ir (1) lygtį – kreivė yra simetriška ordinačių ašies atžvilgiu (76 pav.). .

Jei , tada parabolė (1) yra viršutinėje pusiau plokštumoje, turinti vieną bendrą tašką O su abscisių ašimi.

Neribotai padidėjus abscisių absoliučiai vertei, ordinatės taip pat didėja neribotai. Bendras kreivės vaizdas parodytas fig. 76, a.

Jei (76 pav., b), tai kreivė yra apatinėje pusplokštumoje simetriškai kreivės abscisių ašies atžvilgiu.

Jei pereisime prie naujos koordinačių sistemos, gautos iš senosios pakeitus teigiamą ordinačių ašies kryptį priešinga, tai parabolė, kurios senojoje sistemoje yra lygtis y, naujojoje gaus lygtį y. koordinačių sistema. Todėl tirdami paraboles galime apsiriboti (1) lygtimis, kuriose .

Pagaliau pakeisime ašių pavadinimus, t.y., pereisime prie naujos koordinačių sistemos, kurioje ordinačių ašis bus senoji abscisių ašis, o abscisių ašis – senoji ordinačių ašis. Šioje naujoje sistemoje (1) lygtis bus parašyta kaip

Arba, jei skaičius žymimas , formoje

(4) lygtis analitinėje geometrijoje vadinama kanonine parabolės lygtimi; stačiakampė koordinačių sistema, kurioje tam tikra parabolė turi lygtį (4), vadinama kanonine koordinačių sistema (šiai parabolei).

Dabar nustatysime koeficiento geometrinę reikšmę. Norėdami tai padaryti, imame taško

vadinama parabolės židiniu (4) ir tiese d, apibrėžta lygtimi

Ši linija vadinama parabolės (4) kryptine (žr. 78 pav.).

Leisti būti savavališkai taškas parabolė (4). Iš (4) lygties matyti, kad taško M atstumas nuo krypties d yra skaičius

M taško atstumas nuo židinio F yra

Tačiau, todėl

Taigi visi parabolės taškai M yra vienodu atstumu nuo jos židinio ir krypties:

Ir atvirkščiai, kiekvienas taškas M, atitinkantis sąlygą (8), yra ant parabolės (4).

Tiesą sakant,

Vadinasi,

ir, atidarius skliaustus ir įtraukus panašius terminus,

Įrodėme, kad kiekviena parabolė (4) yra taškų, vienodu atstumu nuo židinio F ir nuo šios parabolės krypties d, vieta.

Tuo pačiu metu (4) lygtyje nustatėme geometrinę koeficiento reikšmę: skaičius lygus atstumui tarp židinio ir parabolės krypties.

Tarkime, kad taškas F ir tiesė d, nekertantys šio taško, plokštumoje pateikti savavališkai. Įrodykime, kad egzistuoja parabolė, kurios židinys F ir kryptis d.

Norėdami tai padaryti, per tašką F nubrėžkite tiesę g (79 pav.), statmeną tiesei d; abiejų tiesių susikirtimo tašką pažymėkime D; atstumas (t. y. atstumas tarp taško F ir tiesės d) bus žymimas .

Tiesę g paverskime ašimi, kryptį DF laikykime teigiama. Padarykime šią ašį stačiakampės koordinačių sistemos abscisių ašimi, kurios pradžia yra atkarpos vidurys O

Tada tiesė d taip pat gauna lygtį .

Dabar galime parašyti kanoninę parabolės lygtį pasirinktoje koordinačių sistemoje:

kur taškas F bus židinys, o tiesi linija d bus parabolės (4) kryptis.

Aukščiau nustatėme, kad parabolė yra taškų M vieta vienodu atstumu nuo taško F ir tiesės d. Taigi, galime pateikti tokį geometrinį (t. y. nepriklausomą nuo jokios koordinačių sistemos) parabolės apibrėžimą.

Apibrėžimas. Parabolė yra taškų, esančių vienodu atstumu nuo fiksuoto taško (parabolės židinio) ir tam tikros fiksuotos linijos (parabolės krypties), vieta.

Atstumą tarp židinio ir parabolės krypties pažymėdami , visada galime rasti stačiakampę koordinačių sistemą, kuri yra kanoninė tam tikrai parabolei, ty tokią, kurioje parabolės lygtis turi kanoninę formą:

Ir atvirkščiai, bet kuri kreivė, turinti tokią lygtį kokioje nors stačiakampėje koordinačių sistemoje, yra parabolė (ko tik nustatyta geometrine prasme).

Atstumas tarp židinio ir parabolės krypties vadinamas židinio parametru arba tiesiog parabolės parametru.

Tiesė, einanti per židinį, statmeną parabolės krypčiai, vadinama jos židinio ašimi (arba tiesiog ašimi); tai parabolės simetrijos ašis - tai išplaukia iš to, kad parabolės ašis yra abscisių ašis koordinačių sistemoje, kurios atžvilgiu parabolės lygtis turi formą (4).

Jei taškas tenkina (4) lygtį, tai taškas, simetriškas taškui M abscisių ašies atžvilgiu, taip pat tenkina šią lygtį.

Parabolės ir jos ašies susikirtimo taškas vadinamas parabolės viršūne; tai yra koordinačių sistemos kanoninė tam tikros parabolės pradžia.

Pateikime kitą geometrinę parabolės parametro interpretaciją.

Per parabolės židinį nubrėžkime tiesią liniją, statmeną parabolės ašiai; ji kirs parabolę dviejuose taškuose (žr. 79 pav.) ir nustatys vadinamąją parabolės židinio stygą (t. y. styga, einanti per židinį lygiagrečiai parabolės krypčiai). Pusė židinio stygos ilgio yra parabolės parametras.

Tiesą sakant, pusė židinio stygos ilgio yra absoliuti bet kurio taško ordinatės reikšmė, kurių kiekvieno abscisė yra lygi židinio abscisei, t.y. Todėl kiekvieno mūsų turimo taško ordinatėms

Q.E.D.