Mat lūkesčių skaičiavimas. Matematinis lūkestis (populiacijos vidurkis) yra

Atsitiktinio dydžio X matematinė prognozė (vidutinė reikšmė), pateikta diskrečioje tikimybių erdvėje, yra skaičius m =M[X]=∑x i p i, jei eilutė absoliučiai suartėja.

Paslaugos paskirtis. Naudodamiesi internetine paslauga apskaičiuojama matematinė prognozė, dispersija ir standartinis nuokrypis(žr. pavyzdį). Be to, nubraižytas skirstinio funkcijos F(X) grafikas.

Atsitiktinio dydžio matematinio lūkesčio savybės

1. Matematinis pastovios reikšmės lūkestis lygus sau pačiam: M[C]=C, C – konstanta;
2. M=C M[X]
3. Atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai: M=M[X]+M[Y]
4. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai: M=M[X] M[Y] , jei X ir Y yra nepriklausomi.

Dispersijos savybės

1. Konstantos reikšmės dispersija lygi nuliui: D(c)=0.
2. Pastovų koeficientą galima ištraukti iš po dispersijos ženklo, padalijus jį kvadratu: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Jeigu atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi, tai sumos dispersija lygi dispersijų sumai: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Jei atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra priklausomi: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Sklaidai tinka ši skaičiavimo formulė:
   D(X) = M(X 2)-(M(X)) 2

Pavyzdys. Žinomi dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių X ir Y matematiniai lūkesčiai ir dispersijos: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Raskite atsitiktinio dydžio Z=9X-8Y+7 matematinę lūkestį ir dispersiją.
Sprendimas. Remiantis matematinio lūkesčio savybėmis: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Remiantis dispersijos savybėmis: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81 * 9 - 64 * 6 = 345

Matematinės lūkesčių skaičiavimo algoritmas

1. Poras dauginame po vieną: x i iš p i .
2. Sudėkite kiekvienos poros sandaugą x i p i .
   Pavyzdžiui, jei n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

1 pavyzdys.

2 pavyzdys. Diskretus atsitiktinis kintamasis turi tokią pasiskirstymo eilutę:

Sprendimas. A reikšmė randama iš santykio: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 arba 0,24 = 3 a , iš kur a = 0,08

3 pavyzdys. Nustatykite diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį, jei žinoma jo dispersija, ir x 1 x 1 = 6; x 2 =9; x 3 =x; x 4 = 15
p 1 =0,3; p 2 = 0,3; p 3 = 0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96

Sprendimas.
Čia reikia sukurti dispersijos d(x) nustatymo formulę:
d(x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m(x) 2
kur lūkestis m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Mūsų duomenims
m(x)=6*0,3+9*0,3+x3 *0,1+15*0,3=9+0,1x3
12,96 = 6 2 0,3 + 9 2 0,3 + x 3 2 0,1 + 15 2 0,3-(9 + 0,1 x 3) 2
arba -9/100 (x 2 -20x+96) = 0
Atitinkamai, turime rasti lygties šaknis, ir jų bus dvi.
x 3 = 8, x 3 = 12
Pasirinkite tą, kuris atitinka sąlygą x 1 x 3 = 12

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis
x 1 = 6; x 2 =9; x 3 = 12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 = 0,3; p 3 = 0,1; p 4 =0,3

Atsitiktinis kintamasis Kintamasis vadinamas kintamuoju, kuris kiekvieno testo rezultate, priklausomai nuo atsitiktinių priežasčių, įgyja vieną anksčiau nežinomą reikšmę. Atsitiktiniai dydžiai žymimi didžiosiomis lotyniškomis raidėmis: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Atsitiktiniai dydžiai pagal jų tipą gali būti diskretiškas Ir tęstinis.

Diskretus atsitiktinis dydis- tai yra atsitiktinis dydis, kurio reikšmės gali būti ne daugiau kaip skaičiuojamos, tai yra, baigtinės arba skaičiuojamos. Suskaičiuojamumas reiškia, kad atsitiktinio dydžio reikšmės gali būti sunumeruotos.

1 pavyzdys . Štai diskrečiųjų atsitiktinių dydžių pavyzdžiai:

a) smūgių į taikinį skaičius $n$ šūviais, čia galimos reikšmės yra $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) emblemų skaičius nukrito metant monetą, čia galimos reikšmės yra $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) į laivą atplaukiančių laivų skaičius (suskaičiuojamas verčių rinkinys).

d) skambučių, gaunamų į PBX, skaičius (skaičiuojamas reikšmių rinkinys).

1. Diskrečiojo atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinio dėsnis.

Diskretus atsitiktinis kintamasis $X$ gali turėti reikšmes $x_1,\dots ,\ x_n$ su tikimybėmis $p\left(x_1\right),\ \dots ,\p\left(x_n\right)$. Šių verčių ir jų tikimybių atitikimas vadinamas diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis. Paprastai šis atitikimas nurodomas naudojant lentelę, kurios pirmoje eilutėje nurodomos reikšmės $x_1,\dots ,\ x_n$, o antroje eilutėje - tikimybės $p_1,\dots ,\ p_n$ nurodytos atitinkančios šias vertes.

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \taškai & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \taškai & p_n \\
\hline
\end(masyvas)$

2 pavyzdys . Tegul atsitiktinis kintamasis $X$ yra taškų, metamų metant kauliuką, skaičius. Toks atsitiktinis kintamasis $X$ gali turėti tokias reikšmes: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Visų šių verčių tikimybė yra lygi $ 1/6 $. Tada atsitiktinio dydžio $X$ tikimybių pasiskirstymo dėsnis:

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(masyvas)$

komentuoti. Kadangi diskretinio atsitiktinio dydžio $X$ pasiskirstymo dėsnyje įvykiai $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ sudaro visą įvykių grupę, tada tikimybių suma turi būti lygi vienetui, tai yra $ \sum(p_i)=1$.

2. Matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis.

Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis nurodo jo „centrinę“ reikšmę. Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui matematinė lūkestis apskaičiuojamas kaip reikšmių $x_1,\taškai ,\ x_n$ ir šias reikšmes atitinkančių tikimybių $p_1,\taškai ,\ p_n$ sandaugų suma, ty : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Literatūroje anglų kalba naudojama kita žyma $E\left(X\right)$.

Matematinės lūkesčių savybės$M\kairė(X\dešinė)$:

1. $M\left(X\right)$ yra tarp mažiausios ir didžiausios atsitiktinio dydžio $X$ reikšmių.
2. Matematinis konstantos lūkestis yra lygus pačiai konstantai, t.y. $M\left(C\right)=C$.
3. Pastovų koeficientą galima išimti iš matematinio lūkesčio ženklo: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

3 pavyzdys . Iš pavyzdžio $2$ suraskime atsitiktinio dydžio $X$ matematinį tikėjimą.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\ctaškas ((1)\virš (6))+4\ctaškas ((1)\virš (6))+5\ctaškas ((1)\virš (6))+6\ctaškas ((1) )\virš (6))=3,5.$$

Galime pastebėti, kad $M\left(X\right)$ yra tarp mažiausios ($1$) ir didžiausios ($6$) atsitiktinio kintamojo $X$ reikšmių.

4 pavyzdys . Yra žinoma, kad atsitiktinio dydžio $X$ matematinis lūkestis yra lygus $M\left(X\right)=2$. Raskite atsitiktinio dydžio $3X+5$ matematinį lūkestį.

Naudodami aukščiau pateiktas ypatybes gauname $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5 = 11 USD.

5 pavyzdys . Yra žinoma, kad atsitiktinio dydžio $X$ matematinis lūkestis yra lygus $M\left(X\right)=4$. Raskite atsitiktinio dydžio $2X-9$ matematinį lūkestį.

Naudodami aukščiau pateiktas ypatybes gauname $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Diskrečiojo atsitiktinio dydžio sklaida.

Galimos atsitiktinių dydžių reikšmės su vienodais matematiniais lūkesčiais gali skirtingai išsiskirstyti aplink jų vidutines vertes. Pavyzdžiui, dviejose mokinių grupėse tikimybių teorijos egzamino vidurkis pasirodė 4, tačiau vienoje grupėje visi pasirodė gerai, o kitoje – tik C mokiniai ir puikūs mokiniai. Todėl reikia skaitinės atsitiktinio dydžio charakteristikos, kuri parodytų atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidą aplink jo matematinius lūkesčius. Ši savybė yra dispersija.

Diskretinio atsitiktinio dydžio dispersija$X$ yra lygus:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

Anglų literatūroje naudojamas žymėjimas $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Labai dažnai dispersija $D\left(X\right)$ apskaičiuojama naudojant formulę $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) kairėje(X \dešinėje)\dešinėje))^2$.

Dispersijos savybės$D\kairė(X\dešinė)$:

1. Dispersija visada yra didesnė arba lygi nuliui, t.y. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Konstantos dispersija lygi nuliui, t.y. $D\left(C\right)=0$.
3. Pastovų koeficientą galima išimti iš dispersijos ženklo, jei jis yra kvadratas, t.y. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumos dispersija lygi jų dispersijų sumai, t.y. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių skirtumo dispersija lygi jų dispersijų sumai, t.y. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

6 pavyzdys . Apskaičiuokime atsitiktinio dydžio $X$ dispersiją iš pavyzdžio $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\kairė(1-3.5\dešinė))^2+((1)\virš (6))\ctaškas (\kairė(2-3.5\dešinė))^2+ \taškai +( (1)\virš (6))\ctaškas (\kairė(6-3,5\dešinė))^2=((35)\virš (12))\apie 2,92.$$

7 pavyzdys . Yra žinoma, kad atsitiktinio dydžio $X$ dispersija yra lygi $D\left(X\right)=2$. Raskite atsitiktinio dydžio $4X+1$ dispersiją.

Naudodami aukščiau pateiktas savybes randame $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ left(X\right)=16\cdot 2 = 32$.

8 pavyzdys . Yra žinoma, kad atsitiktinio dydžio $X$ dispersija yra lygi $D\left(X\right)=3$. Raskite atsitiktinio dydžio $3-2X$ dispersiją.

Naudodami aukščiau pateiktas savybes randame $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ left(X\right)=4\cdot 3 = 12$.

4. Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija.

Diskretaus atsitiktinio dydžio vaizdavimo skirstinio eilutės forma metodas nėra vienintelis, o svarbiausia, jis nėra universalus, nes nenutrūkstamas atsitiktinis dydis negali būti nurodytas naudojant pasiskirstymo eilutę. Yra ir kitas atsitiktinio dydžio atvaizdavimo būdas – pasiskirstymo funkcija.

Paskirstymo funkcija atsitiktinis kintamasis $X$ vadinamas funkcija $F\left(x\right)$, kuri nustato tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis $X$ įgis mažesnę reikšmę nei kokia nors fiksuota reikšmė $x$, tai yra $F\ left(x\right )=P\left(X< x\right)$

Paskirstymo funkcijos savybės:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis $X$ paims reikšmes iš intervalo $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, yra lygi skirtumui tarp paskirstymo funkcijos reikšmių šio galuose intervalas: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ – nemažėjantis.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

9 pavyzdys . Raskime paskirstymo funkciją $F\left(x\right)$ diskrečiojo atsitiktinio dydžio $X$ paskirstymo dėsniui iš pavyzdžio $2$.

$\begin(masyvas)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(masyvas)$

Jei $x\le 1$, tai akivaizdu, kad $F\left(x\right)=0$ (įskaitant $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).

Jei 1 USD< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Jei 2 USD< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Jei 3 USD< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Jei 4 USD< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Jei 5 USD< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Jei $x > 6 $, tada $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\kairė(X=4\dešinė)+P\kairė(X=5\dešinė)+P\kairė(X=6\dešinė)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Taigi $F(x)=\left\(\begin(matrica)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6,at\1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, 3 val< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ už\ x > 6.
\end(matrica)\right.$

Kaip jau žinoma, pasiskirstymo dėsnis visiškai apibūdina atsitiktinį kintamąjį. Tačiau dažnai paskirstymo dėsnis nežinomas ir tenka apsiriboti mažiau informacijos. Kartais netgi labiau apsimoka naudoti skaičius, apibūdinančius atsitiktinį kintamąjį sumoje; tokie numeriai vadinami atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos. Viena iš svarbių skaitinių charakteristikų yra matematinis lūkestis.

Matematinis lūkestis, kaip bus parodyta toliau, yra maždaug lygus vidutinei atsitiktinio dydžio vertei. Norint išspręsti daugelį problemų, pakanka žinoti matematinį lūkestį. Pavyzdžiui, jei žinoma, kad matematinis pirmojo šaulio surinktų taškų skaičius yra didesnis nei antrojo šaulys, tada pirmasis šaulys vidutiniškai surenka daugiau taškų nei antrasis, todėl šaudo geriau. nei antrasis. Nors matematinis lūkestis suteikia daug mažiau informacijos apie atsitiktinį kintamąjį nei jo pasiskirstymo dėsnis, matematinio lūkesčio žinių pakanka sprendžiant tokias problemas kaip aukščiau ir daugelis kitų.

§ 2. Matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis

Matematinis lūkestis Diskretusis atsitiktinis dydis yra visų jo galimų reikšmių ir jų tikimybių sandaugų suma.

Tegul atsitiktinis dydis X gali imti tik vertybes X 1 , X 2 , ..., X n , kurių tikimybės atitinkamai lygios r 1 , r 2 , . . ., r n . Tada matematinis lūkestis M(X) atsitiktinis kintamasis X yra nulemtas lygybės

M(X) = X 1 r 1 + X 2 r 2 + … + x n p n .

Jei diskretinis atsitiktinis dydis X tada paima skaičiuojamą galimų reikšmių rinkinį

M(X)=

Be to, matematinis lūkestis egzistuoja, jei eilutės dešinėje lygybės pusėje absoliučiai suartėja.

komentuoti. Iš apibrėžimo išplaukia, kad matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis yra neatsitiktinis (pastovus) dydis. Rekomenduojame atsiminti šį teiginį, nes vėliau jis bus naudojamas daug kartų. Vėliau bus parodyta, kad nuolatinio atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis taip pat yra pastovi reikšmė.

1 pavyzdys. Raskite atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą X, žinant jo pasiskirstymo dėsnį:

Sprendimas. Reikalingas matematinis lūkestis yra lygus visų galimų atsitiktinio dydžio dydžių ir jų tikimybių sandaugų sumai:

M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

2 pavyzdys. Raskite matematinį įvykio įvykių skaičių A per vieną bandymą, jei įvykio tikimybė A lygus r.

Sprendimas. Atsitiktinis kintamasis X - įvykio atvejų skaičius A viename bandyme - gali būti tik dvi reikšmės: X 1 = 1 (įvykis Aįvyko) su tikimybe r Ir X 2 = 0 (įvykis A neįvyko) su tikimybe q= 1 -r. Reikalingas matematinis lūkestis

M(X)= 1* p+ 0* q= p

Taigi, matematinis įvykio įvykių skaičiaus lūkestis vieno bandymo metu yra lygus šio įvykio tikimybei.Šis rezultatas bus naudojamas toliau.

§ 3. Tikimybinė matematinio lūkesčio reikšmė

Tegul jis gaminamas n testai, kuriuose atsitiktinis dydis X priimtas T 1 kartų vertės X 1 , T 2 kartų vertės X 2 ,...,m k kartų vertės x k , ir T 1 + T 2 + …+t Į = p. Tada visų paimtų verčių suma X, lygus

X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X Į T Į .

Raskime aritmetinį vidurkį visos reikšmės, priimtos atsitiktiniu dydžiu, kurio rastą sumą padaliname iš bendro testų skaičiaus:

= (X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X Į T Į)/p,

= X 1 (m 1 / n) + X 2 (m 2 / n) + ... + X Į (T Į /p). (*)

Pastebėjus, kad požiūris m 1 / n- santykinis dažnis W 1 vertybes X 1 , m 2 / n - santykinis dažnis W 2 vertybes X 2 ir tt, ryšį (*) rašome taip:

=X 1 W 1 + x 2 W 2 + .. . + X Į W k . (**)

Tarkime, kad testų skaičius yra gana didelis. Tada santykinis dažnis yra maždaug lygus įvykio tikimybei (tai bus įrodyta IX skyriaus 6 paragrafe):

W 1 p 1 , W 2 p 2 , …, W k p k .

Santykinius dažnius santykyje (**) pakeitę atitinkamomis tikimybėmis, gauname

x 1 p 1 + X 2 r 2 + … + X Į r Į .

Dešinė šios apytikslės lygybės pusė yra M(X). Taigi,

M(X).

Tikimybinė gauto rezultato reikšmė yra tokia: matematinis lūkestis yra maždaug vienodas(kuo tikslesnis, tuo didesnis testų skaičius) atsitiktinio dydžio stebimų verčių aritmetinis vidurkis.

1 pastaba. Nesunku suprasti, kad matematinis lūkestis yra didesnis nei mažiausia ir mažesnė už didžiausią įmanomą reikšmę. Kitaip tariant, skaičių eilutėje galimos reikšmės yra matematinio lūkesčio kairėje ir dešinėje. Šia prasme matematinis lūkestis apibūdina skirstinio vietą ir todėl dažnai vadinamas paskirstymo centras.

Šis terminas pasiskolintas iš mechanikos: jei masės r 1 , p 2 , ..., r n esantys abscisių taškuose x 1 , X 2 , ..., X n, ir
tada svorio centro abscisė

x c =
.

Atsižvelgiant į tai
= M (X) Ir
gauname M(X)= x Su .

Taigi matematinis lūkestis yra materialių taškų sistemos svorio centro abscisė, kurios abscisės yra lygios galimoms atsitiktinio dydžio reikšmėms, o masės yra lygios jų tikimybei.

2 pastaba. Sąvokos „matematinis lūkestis“ kilmė siejama su pradiniu tikimybių teorijos atsiradimo laikotarpiu (XVI – XVII a.), kai jos taikymo sritis apsiribojo azartiniais lošimais. Žaidėjas domėjosi vidutine tikėtino laimėjimo verte, arba, kitaip tariant, matematiniu laimėjimo lūkesčiu.

1 užduotis. Kviečių sėklų sudygimo tikimybė yra 0,9. Kokia tikimybė, kad iš keturių pasėtų sėklų išdygs bent trys?

Sprendimas. Tegul renginys A– iš 4 sėklų išdygs bent 3 sėklos; įvykis IN– iš 4 sėklų išdygs 3 sėklos; įvykis SU– iš 4 sėklų išdygs 4 sėklos. Tikimybių pridėjimo teorema

Tikimybės
Ir
nustatome pagal Bernulio formulę, taikomą tokiu atveju. Tegul serija vyksta n nepriklausomi testai, kurių metu kiekvieno įvykio tikimybė yra pastovi ir lygi r, o tikimybė, kad šis įvykis neįvyks, yra lygi
. Tada tikimybė, kad įvykis A V n testai pasirodys tiksliai kartų, skaičiuojant pagal Bernulio formulę

,

Kur
– derinių skaičius n elementai pagal . Tada

Reikalinga tikimybė

2 užduotis. Kviečių sėklų sudygimo tikimybė yra 0,9. Raskite tikimybę, kad iš 400 pasėtų sėklų išdygs 350 sėklų.

Sprendimas. Apskaičiuokite reikiamą tikimybę
naudoti Bernulio formulę sunku dėl skaičiavimų sudėtingumo. Todėl taikome apytikslę formulę, išreiškiančią Laplaso lokalinę teoremą:

,

Kur
Ir
.

Iš probleminių sąlygų. Tada

.

Iš priedų 1 lentelės randame. Reikalinga tikimybė yra lygi

3 užduotis. Kviečių sėklose yra 0,02% piktžolių. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai atrinkus 10 000 sėklų, bus rasta 6 piktžolių sėklos?

Sprendimas. Laplaso lokalinės teoremos taikymas dėl mažos tikimybės
lemia reikšmingą tikimybės nukrypimą nuo tikslios vertės
. Todėl mažomis vertėmis r apskaičiuoti
taikyti asimptotinę Puasono formulę

, Kur.

Ši formulė naudojama, kai
, ir tuo mažiau r ir daugiau n, tuo tikslesnis rezultatas.

Pagal problemos sąlygas
;
. Tada

4 užduotis. Kviečių sėklų daigumas yra 90%. Raskite tikimybę, kad iš 500 pasėtų sėklų išdygs nuo 400 iki 440 sėklų.

Sprendimas. Jei įvykio tikimybė A kiekviename n testai yra pastovūs ir vienodi r, tada tikimybė
kad įvykis A tokiuose bandymuose bus ne mažiau vieną kartą ir ne daugiau laikai, nustatyti Laplaso integraliąja teorema pagal šią formulę:

, Kur

,
.

Funkcija
vadinama Laplaso funkcija. Prieduose (2 lentelė) pateikiamos šios funkcijos reikšmės
. At
funkcija
. Dėl neigiamų verčių X dėl Laplaso funkcijos keistumo
. Naudodami Laplaso funkciją turime:

Pagal užduoties sąlygas. Naudodami aukščiau pateiktas formules randame
Ir :

5 užduotis. Duotas diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis X:

2. Raskite: 1) matematinį lūkestį; 2) dispersija; 3) standartinis nuokrypis.

Sprendimas. 1) Jei diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį pateikia lentelė

2. Kai pirmoje eilutėje yra atsitiktinio dydžio x reikšmės, o antroje eilutėje yra šių reikšmių tikimybės, tada matematinis lūkestis apskaičiuojamas naudojant formulę

2) dispersija
diskrečiųjų atsitiktinių dydžių X vadinamas atsitiktinio dydžio kvadratinio nuokrypio nuo jo matematinio lūkesčio matematiniu lūkesčiu, t.y.

Ši reikšmė apibūdina vidutinę tikėtiną kvadratinio nuokrypio vertę X iš
. Iš paskutinės mūsų turimos formulės

Dispersija
galima rasti kitu būdu, remiantis šia jo savybe: dispersija
lygus skirtumui tarp matematinio atsitiktinio dydžio kvadrato lūkesčio X ir jo matematinio lūkesčio kvadratas
, tai yra

Norėdami apskaičiuoti
sudarykime tokį kiekio pasiskirstymo dėsnį
:

3) Norint apibūdinti galimų atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidą aplink jo vidutinę vertę, įvedamas standartinis nuokrypis
atsitiktinis kintamasis X, lygus dispersijos kvadratinei šakniai
, tai yra

.

Iš šios formulės turime:

6 užduotis. Nuolatinis atsitiktinis dydis X duota kaupiamojo skirstinio funkcija

Raskite: 1) diferencinio pasiskirstymo funkciją
; 2) matematinis lūkestis
; 3) dispersija
.

Sprendimas. 1) Diferencinio pasiskirstymo funkcija
nuolatinis atsitiktinis dydis X vadinama kaupiamojo skirstinio funkcijos išvestine
, tai yra

.

Ieškoma diferencinė funkcija turi tokią formą:

2) Jei nuolatinis atsitiktinis dydis X suteikta funkcija
, tada jo matematinis lūkestis nustatomas pagal formulę

Nuo funkcijos
adresu
ir pas
yra lygus nuliui, tada iš paskutinės turimos formulės

.

3) dispersija
pagal formulę nustatysime

7 užduotis. Dalies ilgis yra normaliai pasiskirstęs atsitiktinis dydis, kurio matematinė prognozė yra 40 mm ir standartinis nuokrypis 3 mm. Raskite: 1) tikimybę, kad savavališkai paimtos detalės ilgis bus didesnis nei 34 mm ir mažesnis nei 43 mm; 2) tikimybę, kad detalės ilgis nuo matematinio lūkesčio nukryps ne daugiau kaip 1,5 mm.

Sprendimas. 1) Leiskite X– dalies ilgis. Jei atsitiktinis dydis X suteikiama diferencine funkcija
, tada tikimybė, kad X paims segmentui priklausančias reikšmes
, nustatoma pagal formulę

.

Griežtų nelygybių tikimybė
nustatoma pagal tą pačią formulę. Jei atsitiktinis dydis X paskirstomas pagal įprastą dėsnį, tada

, (1)

Kur
- Laplaso funkcija,
.

Problemoje. Tada

2) Pagal uždavinio sąlygas, kur
. Pakeitę į (1), turime

. (2)

Iš (2) formulės turime.

Laukimas yra atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinys

Matematinis lūkestis, apibrėžimas, matematinė diskrečiųjų ir tolydinių atsitiktinių dydžių lūkesčiai, imtis, sąlyginis lūkestis, skaičiavimas, savybės, problemos, lūkesčių įvertinimas, sklaida, pasiskirstymo funkcija, formulės, skaičiavimo pavyzdžiai

Išplėskite turinį

Sutraukti turinį

Matematinis lūkestis yra apibrėžimas

Viena iš svarbiausių matematinės statistikos ir tikimybių teorijos sąvokų, apibūdinančių atsitiktinio dydžio reikšmių arba tikimybių pasiskirstymą. Paprastai išreiškiamas kaip visų galimų atsitiktinio dydžio parametrų svertinis vidurkis. Plačiai naudojamas atliekant techninę analizę, tiriant skaičių eilutes, tiriant nuolatinius ir ilgalaikius procesus. Jis svarbus vertinant riziką, prognozuojant kainų rodiklius prekiaujant finansų rinkose, naudojamas kuriant lošimo taktikos strategijas ir metodus azartinių lošimų teorijoje.

Matematinis lūkestis yra atsitiktinio dydžio vidutinė reikšmė, tikimybių teorijoje nagrinėjamas atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinys.

Matematinis lūkestis yra tikimybių teorijos atsitiktinio dydžio vidutinės vertės matas. Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis xžymimas M(x).

Matematinis lūkestis yra

Matematinis lūkestis yra tikimybių teorijoje – svertinis visų galimų atsitiktinio dydžio verčių vidurkis.

Matematinis lūkestis yra visų galimų atsitiktinio dydžio reikšmių sandaugų ir šių reikšmių tikimybių suma.

Matematinis lūkestis yra vidutinė nauda iš konkretaus sprendimo, su sąlyga, kad toks sprendimas gali būti svarstomas didelių skaičių ir tolimojo atstumo teorijos rėmuose.

Matematinis lūkestis yra lošimų teorijoje – laimėjimų suma, kurią žaidėjas gali uždirbti arba prarasti vidutiniškai už kiekvieną statymą. Azartinių lošimų kalboje tai kartais vadinama „žaidėjo pranašumu“ (jei žaidėjui jis teigiamas) arba „namo pranašumu“ (jei žaidėjui jis yra neigiamas).

Matematinis lūkestis yra pelno, tenkančio vienam laimėjimui, procentas, padaugintas iš vidutinio pelno, atėmus nuostolio tikimybę, padaugintą iš vidutinio nuostolio.

Matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis matematinėje teorijoje

Viena iš svarbių atsitiktinio dydžio skaitmeninių charakteristikų yra jo matematinė prognozė. Supažindinkime su atsitiktinių dydžių sistemos samprata. Panagrinėkime atsitiktinių dydžių, kurie yra to paties atsitiktinio eksperimento rezultatai, rinkinį. Jei yra viena iš galimų sistemos reikšmių, tai įvykis atitinka tam tikrą tikimybę, atitinkančią Kolmogorovo aksiomas. Funkcija, apibrėžta bet kokioms galimoms atsitiktinių dydžių reikšmėms, vadinama jungtiniu paskirstymo dėsniu. Ši funkcija leidžia apskaičiuoti bet kokių įvykių tikimybę iš. Visų pirma, atsitiktinių dydžių ir jungtinis pasiskirstymo dėsnis, kuris paima reikšmes iš aibės ir, yra pateikiamas tikimybėmis.

Terminą „matematiniai lūkesčiai“ įvedė Pierre'as Simonas Marquisas de Laplasas (1795) ir jis kilęs iš sąvokos „tikėtina laimėjimo vertė“, kuri pirmą kartą atsirado XVII amžiuje azartinių lošimų teorijoje Blaise'o Pascalio ir Christiano darbuose. Huygensas. Tačiau pirmąjį išsamų teorinį šios koncepcijos supratimą ir įvertinimą pateikė Pafnuty Lvovich Chebyshev (XIX a. vidurys).

Atsitiktinių skaitinių dydžių pasiskirstymo dėsnis (paskirstymo funkcija ir pasiskirstymo eilutė arba tikimybių tankis) visiškai apibūdina atsitiktinio dydžio elgesį. Tačiau daugelyje problemų pakanka žinoti kai kurias skaitines tiriamo dydžio charakteristikas (pavyzdžiui, jo vidutinę vertę ir galimą nuokrypį nuo jos), kad būtų galima atsakyti į užduotą klausimą. Pagrindinės atsitiktinių dydžių skaitmeninės charakteristikos yra matematinės lūkesčiai, dispersija, režimas ir mediana.

Matematinis diskretiškojo atsitiktinio dydžio lūkestis yra jo galimų reikšmių sandaugų ir atitinkamų tikimybių suma. Kartais matematinis lūkestis vadinamas svertiniu vidurkiu, nes jis yra maždaug lygus daugelio eksperimentų metu stebimų atsitiktinio kintamojo verčių aritmetiniam vidurkiui. Iš matematinio lūkesčio apibrėžimo išplaukia, kad jo reikšmė yra ne mažesnė už mažiausią įmanomą atsitiktinio dydžio reikšmę ir ne didesnė už didžiausią. Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis yra neatsitiktinis (pastovus) kintamasis.

Matematinis lūkestis turi paprastą fizinę prasmę: jei vienetinę masę dedate ant tiesės, tam tikruose taškuose pastatote tam tikrą masę (diskrečiam pasiskirstymui) arba „užtepdami“ ją tam tikru tankiu (absoliučiai nenutrūkstamam pasiskirstymui) , tada taškas, atitinkantis matematinius lūkesčius, bus koordinačių "svorio centras" yra tiesus.

Vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė yra tam tikras skaičius, kuris tarsi yra jo „atstovas“ ir pakeičia jį apytiksliais skaičiavimais. Kai sakome: „vidutinis lempos veikimo laikas yra 100 valandų“ arba „vidutinis smūgio taškas taikinio atžvilgiu pasislenka 2 m į dešinę“, nurodome tam tikrą atsitiktinio dydžio skaitinę charakteristiką, apibūdinančią jo vietą. skaitinėje ašyje, t.y. „padėties charakteristikos“.

Iš padėties charakteristikų tikimybių teorijoje svarbiausią vaidmenį atlieka matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis, kuris kartais vadinamas tiesiog vidutine atsitiktinio dydžio reikšme.

Apsvarstykite atsitiktinį kintamąjį X, turintys galimas vertes x1, x2, …, xn su tikimybėmis p1, p2, …, pn. Turime tam tikru skaičiumi apibūdinti atsitiktinio dydžio reikšmių padėtį x ašyje, atsižvelgiant į tai, kad šios reikšmės turi skirtingas tikimybes. Šiuo tikslu natūralu naudoti vadinamąjį „svertinį vidurkį“. xi, o į kiekvieną reikšmę xi vidurkinimo metu reikia atsižvelgti su „svoriu“, proporcingu šios vertės tikimybei. Taigi apskaičiuosime atsitiktinio dydžio vidurkį X, kurį žymime M |X|:

Šis svertinis vidurkis vadinamas atsitiktinio dydžio matematiniu lūkesčiu. Taigi, mes pristatėme vieną iš svarbiausių tikimybių teorijos sąvokų – matematinio lūkesčio sąvoką. Matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis yra visų galimų atsitiktinio dydžio dydžių sandaugų ir šių dydžių tikimybių suma.

Tegul jis gaminamas N nepriklausomi eksperimentai, kurių kiekvieno vertė Xįgauna tam tikrą vertę. Tarkime, kad vertė x1 pasirodė m1 kartus, vertė x2 pasirodė m2 laikai, bendra reikšmė xi pasirodė mi kartų. Apskaičiuokime stebimų reikšmės X reikšmių aritmetinį vidurkį, kuris, priešingai nei matematinis M|X|žymime M*|X|:

Didėjant eksperimentų skaičiui N dažnius pi priartės (tikimybe suartės) prie atitinkamų tikimybių. Vadinasi, atsitiktinio dydžio stebimų verčių aritmetinis vidurkis M|X| didėjant eksperimentų skaičiui, jis priartės (tikimybe suartės) prie savo matematinių lūkesčių. Aukščiau suformuluotas ryšys tarp aritmetinio vidurkio ir matematinio lūkesčio sudaro vienos iš didelių skaičių dėsnio formų turinį.

Jau žinome, kad visos didelių skaičių dėsnio formos teigia, kad kai kurie vidurkiai yra stabilūs atliekant daugybę eksperimentų. Čia mes kalbame apie aritmetinio vidurkio stabilumą iš to paties dydžio stebėjimų serijos. Atliekant nedidelį skaičių eksperimentų, jų rezultatų aritmetinis vidurkis yra atsitiktinis; pakankamai padidinus eksperimentų skaičių, jis tampa „beveik neatsitiktinis“ ir stabilizuodamasis artėja prie pastovios vertės - matematinio lūkesčio.

Daugelio eksperimentų vidurkių stabilumą galima lengvai patikrinti eksperimentiškai. Pavyzdžiui, sverdami kūną laboratorijoje tiksliomis svarstyklėmis, kiekvieną kartą svėrimo rezultatas gauname naują vertę; Norėdami sumažinti stebėjimo paklaidą, kelis kartus pasveriame kūną ir naudojame gautų reikšmių aritmetinį vidurkį. Nesunku pastebėti, kad toliau didėjant eksperimentų (svėrimų) skaičiui, aritmetinis vidurkis į šį padidėjimą reaguoja vis rečiau ir, atlikus pakankamai daug eksperimentų, praktiškai nustoja keistis.

Pažymėtina, kad svarbiausia atsitiktinio dydžio padėties charakteristika – matematinis lūkestis – egzistuoja ne visiems atsitiktiniams dydžiams. Galima sudaryti tokių atsitiktinių dydžių, kuriems nėra matematinės lūkesčių, pavyzdžius, nes atitinkama suma arba integralas skiriasi. Tačiau tokie atvejai nėra labai svarbūs praktikai. Paprastai atsitiktiniai dydžiai, su kuriais susiduriame, turi ribotą galimų verčių diapazoną ir, žinoma, turi matematinius lūkesčius.

Be svarbiausių atsitiktinio dydžio padėties charakteristikų – matematinio lūkesčio – praktikoje kartais naudojamos ir kitos padėties charakteristikos, ypač atsitiktinio dydžio režimas ir mediana.

Atsitiktinio dydžio režimas yra labiausiai tikėtina jo reikšmė. Sąvoka „labiausiai tikėtina vertė“ griežtai kalbant taikoma tik nepertraukiamiems dydžiams; ištisiniam kiekiui režimas yra reikšmė, kuriai esant tikimybės tankis yra didžiausias. Paveiksluose parodytas atitinkamai nenutrūkstamų ir nuolatinių atsitiktinių dydžių režimas.

Jei pasiskirstymo daugiakampis (paskirstymo kreivė) turi daugiau nei vieną maksimumą, pasiskirstymas vadinamas „daugiarūšiu“.

Kartais yra paskirstymų, kurių minimumas yra viduryje, o ne maksimumas. Tokie paskirstymai vadinami „antimodaliniais“.

Bendru atveju atsitiktinio dydžio režimas ir matematinis lūkestis nesutampa. Konkrečiu atveju, kai skirstinys yra simetriškas ir modalus (t. y. turi modą) ir yra matematinis lūkestis, tada jis sutampa su skirstinio moda ir simetrijos centru.

Dažnai naudojama ir kita padėties charakteristika – vadinamoji atsitiktinio dydžio mediana. Ši charakteristika paprastai naudojama tik nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams, nors ji gali būti oficialiai apibrėžta nenutrūkstamam kintamajam. Geometriškai mediana yra taško, kuriame pasiskirstymo kreivės aptvertas plotas yra padalintas per pusę, abscisė.

Simetriško modalinio pasiskirstymo atveju mediana sutampa su matematiniu lūkesčiu ir režimu.

Matematinis lūkestis yra vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė – atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinio skaitinė charakteristika. Paprasčiausiu būdu, matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis X(w) apibrėžiamas kaip Lebesgue integralas tikimybės mato atžvilgiu R pradinėje tikimybių erdvėje:

Matematinis lūkestis taip pat gali būti apskaičiuojamas kaip Lebesgue integralas X pagal tikimybių pasiskirstymą px kiekiai X:

Atsitiktinio dydžio su begaliniais matematiniais lūkesčiais sąvoka gali būti apibrėžta natūraliu būdu. Tipiškas pavyzdys yra kai kurių atsitiktinių pasivaikščiojimų grįžimo laikas.

Naudojant matematinį lūkestį, nustatomos daugelis skirstinio skaitinių ir funkcinių charakteristikų (kaip atitinkamų atsitiktinio dydžio funkcijų matematinės lūkesčiai), pavyzdžiui, generavimo funkcija, charakteristika, bet kokios eilės momentai, ypač sklaida, kovariacija. .

Matematinis lūkestis yra atsitiktinio dydžio reikšmių vietos charakteristika (vidutinė jo pasiskirstymo vertė). Šiuo atžvilgiu matematinis lūkestis yra tam tikras „tipinis“ pasiskirstymo parametras ir jo vaidmuo yra panašus į statinio momento - masės pasiskirstymo svorio centro koordinatės - vaidmenį mechanikoje. Nuo kitų vietos charakteristikų, kurių pagalba skirstinys aprašomas bendrais bruožais – medianų, modų, matematinis lūkestis skiriasi didesne reikšme, kurią ji ir atitinkama sklaidos charakteristika – dispersija – turi tikimybių teorijos ribinėse teoremose. Matematinio lūkesčio prasmę labiausiai atskleidžia didelių skaičių dėsnis (Čebyševo nelygybė) ir sustiprintas didelių skaičių dėsnis.

Diskretaus atsitiktinio dydžio lūkestis

Tegul yra koks nors atsitiktinis dydis, kuris gali turėti vieną iš kelių skaitinių reikšmių (pavyzdžiui, taškų skaičius metant kauliuką gali būti 1, 2, 3, 4, 5 arba 6). Dažnai praktikoje tokiai vertei kyla klausimas: kokią vertę ji turi „vidutiniškai“ atliekant daugybę testų? Kokios bus mūsų vidutinės pajamos (ar nuostoliai) iš kiekvieno rizikingo sandorio?

Tarkime, yra kažkokia loterija. Norime suprasti, ar apsimoka jame dalyvauti (ar net pakartotinai, reguliariai) apsimoka ar ne. Tarkime, kas ketvirtas bilietas yra laimėtojas, prizas bus 300 rublių, o bet kurio bilieto kaina bus 100 rublių. Taip ir atsitinka, kai dalyvauja be galo daug. Tris ketvirtadalius atvejų pralaimėsime, kas trys nuostoliai kainuos 300 rublių. Kas ketvirtu atveju laimėsime 200 rublių. (prizas atėmus kainą), tai yra, už keturis dalyvavimus prarandame vidutiniškai 100 rublių, už vieną - vidutiniškai 25 rublius. Iš viso mūsų griuvėsių vidutinė kaina bus 25 rubliai už bilietą.

Metame kauliukus. Jei tai ne apgaulė (neperkeliant svorio centro ir pan.), tai kiek taškų turėsime vidutiniškai vienu metu? Kadangi kiekvienas variantas yra vienodai tikėtinas, tiesiog imame aritmetinį vidurkį ir gauname 3,5. Kadangi tai VIDUTINIS, nereikia piktintis, kad joks konkretus ritinys nesuteiks 3,5 balo – na, šis kubas neturi veido su tokiu skaičiumi!

Dabar apibendrinkime savo pavyzdžius:

Pažiūrėkime į ką tik pateiktą paveikslėlį. Kairėje yra atsitiktinio dydžio pasiskirstymo lentelė. Reikšmė X gali turėti vieną iš n galimų verčių (nurodyta viršutinėje eilutėje). Jokių kitų reikšmių negali būti. Po kiekviena galima reikšme žemiau parašyta jos tikimybė. Dešinėje yra formulė, kur M(X) vadinamas matematiniu lūkesčiu. Šios vertės reikšmė yra ta, kad atliekant daug testų (su dideliu imtimi), vidutinė vertė bus linkusi į tą patį matematinį lūkestį.

Vėl grįžkime prie to paties žaidimo kubo. Matematinis taškų skaičiaus lūkestis metant yra 3,5 (jei netikite, apskaičiuokite patys pagal formulę). Tarkime, išmetėte porą kartų. Rezultatai buvo 4 ir 6. Vidurkis buvo 5, tai toli gražu nėra 3,5. Metė dar vieną kartą, gavosi 3, tai yra vidutiniškai (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Kažkaip toli nuo matematinio lūkesčio. Dabar atlikite beprotišką eksperimentą – sukite kubą 1000 kartų! Ir net jei vidurkis nėra tiksliai 3,5, jis bus arti to.

Apskaičiuokime aukščiau aprašytos loterijos matematinį lūkestį. Plokštelė atrodys taip:

Tada matematinė viltis bus tokia, kaip nustatėme aukščiau:

Kitas dalykas – „ant pirštų“ be formulės būtų sunku padaryti, jei būtų daugiau galimybių. Na, tarkime, kad būtų 75% prarastų bilietų, 20% laimėtų bilietų ir 5% ypač laiminčių.

Dabar kai kurios matematinių lūkesčių savybės.

Tai lengva įrodyti:

Pastovus veiksnys gali būti išimtas kaip matematinio lūkesčio ženklas, tai yra:

Tai ypatingas matematinio lūkesčio tiesiškumo savybės atvejis.

Kita matematinio lūkesčio tiesiškumo pasekmė:

tai yra atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus atsitiktinių dydžių matematinių lūkesčių sumai.

Tegul X, Y yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, Tada:

Tai taip pat nesunku įrodyti) Darbas XY pats savaime yra atsitiktinis kintamasis, ir jei pradinės reikšmės galėtų užtrukti n Ir m atitinkamai vertybes XY gali gauti nm vertes. Kiekvienos reikšmės tikimybė apskaičiuojama remiantis tuo, kad nepriklausomų įvykių tikimybės padauginamos. Kaip rezultatas, mes gauname tai:

Ištisinio atsitiktinio dydžio tikėjimasis

Nuolatiniai atsitiktiniai dydžiai turi tokią charakteristiką kaip pasiskirstymo tankis (tikimybių tankis). Tai iš esmės apibūdina situaciją, kad atsitiktinis kintamasis dažniau paima kai kurias reikšmes iš realiųjų skaičių rinkinio, o kai kurias rečiau. Pavyzdžiui, apsvarstykite šią diagramą:

Čia X- faktinis atsitiktinis dydis, f(x)- pasiskirstymo tankis. Sprendžiant iš šio grafiko, eksperimentų metu vertė X dažnai bus skaičius, artimas nuliui. Šansai viršyti 3 arba būti mažesnis -3 veikiau grynai teorinis.

Pavyzdžiui, tebūnie vienodas paskirstymas:

Tai visiškai atitinka intuityvų supratimą. Tarkime, jei gausime daug atsitiktinių realiųjų skaičių su vienodu pasiskirstymu, kiekvienas segmentas |0; 1| , tada aritmetinis vidurkis turėtų būti apie 0,5.

Čia taip pat galioja diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams taikomos matematinio lūkesčio savybės – tiesiškumas ir kt.

Ryšys tarp matematinių lūkesčių ir kitų statistinių rodiklių

Statistinėje analizėje kartu su matematiniu lūkesčiu yra tarpusavyje susijusių rodiklių sistema, atspindinti reiškinių homogeniškumą ir procesų stabilumą. Variacijos rodikliai dažnai neturi savarankiškos reikšmės ir yra naudojami tolesnei duomenų analizei. Išimtis yra variacijos koeficientas, apibūdinantis duomenų homogeniškumą, kuris yra vertinga statistinė charakteristika.

Statistikos mokslo procesų kintamumo ar stabilumo laipsnį galima išmatuoti naudojant kelis rodiklius.

Svarbiausias atsitiktinio dydžio kintamumą apibūdinantis rodiklis yra Sklaida, kuris glaudžiausiai ir tiesiogiai susijęs su matematiniu lūkesčiu. Šis parametras aktyviai naudojamas kitų tipų statistinėje analizėje (hipotezių tikrinimas, priežasties ir pasekmės ryšių analizė ir kt.). Kaip ir vidutinis tiesinis nuokrypis, dispersija taip pat atspindi duomenų sklaidos apie vidutinę vertę mastą.

Naudinga ženklų kalbą išversti į žodžių kalbą. Pasirodo, dispersija yra vidutinis nuokrypių kvadratas. Tai yra, pirmiausia apskaičiuojama vidutinė vertė, tada imamas skirtumas tarp kiekvienos pradinės ir vidutinės vertės, padalinamas kvadratu, pridedamas ir padalinamas iš populiacijos verčių skaičiaus. Skirtumas tarp individualios vertės ir vidurkio atspindi nuokrypio matą. Jis padalytas į kvadratą, kad visi nuokrypiai taptų išskirtinai teigiamais skaičiais ir būtų išvengta abipusio teigiamų ir neigiamų nuokrypių sunaikinimo juos sumuojant. Tada, atsižvelgiant į kvadratinius nuokrypius, tiesiog apskaičiuojame aritmetinį vidurkį. Vidutiniai – kvadratiniai – nuokrypiai. Nuokrypiai skaičiuojami kvadratu ir apskaičiuojamas vidurkis. Atsakymas į stebuklingą žodį „dispersija“ slypi tik trijuose žodžiuose.

Tačiau gryna forma, tokia kaip aritmetinis vidurkis arba indeksas, dispersija nenaudojama. Tai veikiau pagalbinis ir tarpinis rodiklis, naudojamas kitų tipų statistinei analizei. Jame net nėra įprasto matavimo vieneto. Sprendžiant iš formulės, tai yra pirminių duomenų matavimo vieneto kvadratas.

Išmatuokime atsitiktinį kintamąjį N kartų, pavyzdžiui, vėjo greitį matuojame dešimt kartų ir norime rasti vidutinę reikšmę. Kaip vidutinė vertė yra susijusi su pasiskirstymo funkcija?

Arba messime kauliuką daug kartų. Taškų skaičius, kuris atsiras ant kauliuko su kiekvienu metimu, yra atsitiktinis dydis ir gali turėti bet kokią natūralią reikšmę nuo 1 iki 6. Visiems kauliukų metimams apskaičiuotas kritusių taškų aritmetinis vidurkis taip pat yra atsitiktinis dydis, bet dideliems N jis linkęs į labai konkretų skaičių – matematinį lūkestį Mx. Šiuo atveju Mx = 3,5.

Kaip gavote šią vertę? Įleisti N bandymai n1 kai gausite 1 tašką, n2 vieną kartą – 2 taškai ir pan. Tada rezultatų, kai sumažėjo vienas taškas, skaičius:

Panašiai ir rezultatams, kai metami 2, 3, 4, 5 ir 6 taškai.

Tarkime, kad žinome atsitiktinio dydžio x pasiskirstymo dėsnį, tai yra, žinome, kad atsitiktinis dydis x gali turėti reikšmes x1, x2, ..., xk su tikimybėmis p1, p2, ..., pk.

Atsitiktinio dydžio x matematinė lūkestis Mx yra lygi:

Matematinis lūkestis ne visada yra pagrįstas kokio nors atsitiktinio kintamojo įvertinimas. Taigi vidutiniam darbo užmokesčiui įvertinti tikslingiau vartoti medianos sąvoką, tai yra tokią reikšmę, kad sutaptų žmonių, gaunančių mažesnį nei mediana atlyginimą, ir didesnį atlyginimą.

Tikimybė p1, kad atsitiktinis dydis x bus mažesnis už x1/2, ir tikimybė p2, kad atsitiktinis dydis x bus didesnis už x1/2, yra vienoda ir lygi 1/2. Mediana nenustatoma vienareikšmiškai visiems skirstiniams.

Standartinis arba standartinis nuokrypis statistikoje vadinamas stebėjimo duomenų ar aibių nuokrypio nuo VIDUTINĖS reikšmės laipsnis. Žymima s arba s raidėmis. Mažas standartinis nuokrypis rodo, kad duomenys telkiasi aplink vidurkį, o didelis standartinis nuokrypis rodo, kad pradiniai duomenys yra toli nuo jo. Standartinis nuokrypis yra lygus dydžio, vadinamo dispersija, kvadratinei šaknei. Tai yra pradinių duomenų, nukrypusių nuo vidutinės reikšmės, skirtumų kvadrato sumos vidurkis. Atsitiktinio dydžio standartinis nuokrypis yra dispersijos kvadratinė šaknis:

Pavyzdys. Bandymo sąlygomis šaudydami į taikinį, apskaičiuokite atsitiktinio dydžio sklaidą ir standartinį nuokrypį:

Variacija- charakteristikos vertės svyravimas, kintamumas tarp populiacijos vienetų. Individualios skaitinės charakteristikos reikšmės, rastos tiriamoje populiacijoje, vadinamos verčių variantais. Vidutinės reikšmės nepakankamumas pilnai apibūdinti populiaciją verčia papildyti vidutines reikšmes rodikliais, leidžiančiais įvertinti šių vidurkių tipiškumą, matuojant tiriamos charakteristikos kintamumą (variaciją). Variacijos koeficientas apskaičiuojamas pagal formulę:

Variacijų diapazonas(R) reiškia skirtumą tarp didžiausių ir mažiausių požymio verčių tiriamoje populiacijoje. Šis indikatorius suteikia bendriausią idėją apie tiriamos charakteristikos kintamumą, nes jis rodo skirtumą tik tarp didžiausių parinkčių verčių. Priklausomybė nuo kraštutinių charakteristikos verčių suteikia variacijos sferai nestabilų, atsitiktinį pobūdį.

Vidutinis tiesinis nuokrypis reiškia absoliutų (modulio) visų analizuojamos populiacijos verčių nuokrypių nuo jų vidutinės vertės aritmetinį vidurkį:

Matematiniai lūkesčiai azartinių lošimų teorijoje

Matematinis lūkestis yra Vidutinė pinigų suma, kurią lošėjas gali laimėti arba prarasti atlikdamas tam tikrą statymą. Tai labai svarbi sąvoka žaidėjui, nes ji yra labai svarbi daugelio žaidimų situacijų įvertinimui. Matematiniai lūkesčiai taip pat yra optimalus įrankis analizuojant pagrindinius kortelių išdėstymus ir žaidimų situacijas.

Tarkime, kad žaidžiate monetų žaidimą su draugu ir kiekvieną kartą statote vienodai 1 USD, nesvarbu, kas nutiktų. Uodegos reiškia, kad laimite, galvos reiškia, kad pralaimite. Šansai yra vienas prieš vieną, kad jis susilauks galvų, todėl statote nuo 1 USD iki 1 USD. Taigi jūsų matematiniai lūkesčiai yra lygūs nuliui, nes Žvelgiant iš matematinio taško, po dviejų metimų ar po 200 negali žinoti, ar pirmauja, ar pralaimėsi.

Jūsų valandinis pelnas yra lygus nuliui. Valandos laimėjimai yra pinigų suma, kurią tikitės laimėti per valandą. Galite mesti monetą 500 kartų per valandą, bet nelaimėsite ir nepralaimėsite, nes... jūsų šansai nėra nei teigiami, nei neigiami. Jei pažiūrėtumėte, rimto žaidėjo požiūriu, ši lažybų sistema nėra bloga. Bet tai tiesiog laiko švaistymas.

Bet tarkime, kad kažkas nori pastatyti 2 USD prieš jūsų 1 USD už tą patį žaidimą. Tada iš karto tikisi 50 centų iš kiekvieno statymo. Kodėl 50 centų? Vidutiniškai laimi vieną statymą, o pralaimi antrą. Statykite už pirmąjį dolerį ir prarasite 1 USD, statykite antroje ir laimėsite 2 USD. Jūs statote 1 USD du kartus ir esate priekyje 1 USD. Taigi kiekvienas jūsų vieno dolerio statymas davė 50 centų.

Jei per vieną valandą moneta pasirodys 500 kartų, jūsų valandinis laimėjimas jau bus 250 USD, nes... Vidutiniškai vieną dolerį praradote 250 kartų, o du dolerius laimėjote 250 kartų. 500 USD minus 250 USD yra lygus 250 USD, tai yra bendras laimėjimas. Atkreipkite dėmesį, kad numatoma vertė, kuri yra vidutinė suma, kurią laimite už statymą, yra 50 centų. Jūs laimėjote 250 USD statydami po dolerį 500 kartų, tai yra 50 centų už statymą.

Matematiniai lūkesčiai neturi nieko bendra su trumpalaikiais rezultatais. Jūsų oponentas, nusprendęs prieš jus statyti 2 USD, galėjo jus įveikti pirmus dešimt metimų iš eilės, tačiau jūs, turėdami statymo pranašumą 2:1, jei visi kiti dalykai yra vienodi, uždirbsite 50 centų už kiekvieną 1 USD statymą aplinkybės. Nesvarbu, ar laimite, ar pralaimite vieną statymą, ar kelis statymus, jei turite pakankamai pinigų, kad galėtumėte patogiai padengti išlaidas. Jei ir toliau statysite taip pat, tai per ilgą laiką jūsų laimėjimai priartės prie lūkesčių sumos atskirais metimais.

Kiekvieną kartą atlikdami geriausią statymą (statymą, kuris ilgainiui gali būti pelningas), kai šansai yra jūsų naudai, jūs privalote ką nors laimėti, nesvarbu, ar pralaimėsite, ar ne. duota ranka. Atvirkščiai, jei atliksite statymą, kuris yra nenaudingas (ilguoju laikotarpiu nepelningas), kai šansai yra prieš jus, jūs ką nors prarandate, nepaisant to, ar laimite, ar pralaimite kortą.

Jūs atliekate statymą su geriausiu rezultatu, jei jūsų lūkesčiai yra teigiami, ir jis yra teigiamas, jei šansai yra jūsų pusėje. Kai statote blogiausią rezultatą, turite neigiamų lūkesčių, o tai atsitinka, kai šansai yra prieš jus. Rimti žaidėjai stato tik už geriausią rezultatą, jei atsitinka blogiausia, jie nusimeta. Ką reiškia šansai jūsų naudai? Galite laimėti daugiau, nei duoda realūs šansai. Tikrasis nusileidimo šansai yra 1:1, bet jūs gaunate 2:1 dėl šansų santykio. Šiuo atveju šansai yra jūsų naudai. Jūs tikrai gausite geriausią rezultatą, tikėdamiesi 50 centų už statymą.

Čia yra sudėtingesnis matematinio lūkesčio pavyzdys. Draugas užrašo skaičius nuo vieno iki penkių ir stato 5 USD prieš jūsų 1 USD, kad jūs neatspėsite skaičiaus. Ar turėtumėte sutikti su tokiu statymu? Ko čia tikėtis?

Vidutiniškai klysite keturis kartus. Remiantis tuo, tikimybė, kad jūs atspėsite skaičių, yra 4:1. Tikimybė, kad prarasite dolerį vienu bandymu. Tačiau jūs laimite 5:1, su galimybe pralaimėti 4:1. Taigi šansai yra jūsų naudai, galite atlikti statymą ir tikėtis geriausio rezultato. Jei atliksite šį statymą penkis kartus, vidutiniškai keturis kartus prarasite 1 USD ir vieną kartą laimėsite 5 USD. Remiantis tuo, už visus penkis bandymus uždirbsite 1 USD, o matematiškai tikimasi 20 centų už statymą.

Žaidėjas, kuris tikisi laimėti daugiau nei stato, kaip aukščiau pateiktame pavyzdyje, rizikuoja. Priešingai, jis sugadina savo šansus, kai tikisi laimėti mažiau, nei stato. Lažytojas gali turėti teigiamų arba neigiamų lūkesčių, kurie priklauso nuo to, ar jis laimi, ar sugriaus šansus.

Jei statysite 50 USD, kad laimėtumėte 10 USD su 4:1 tikimybe laimėti, gausite neigiamą 2 USD lūkesčius, nes... Vidutiniškai keturis kartus laimėsite 10 USD ir vieną kartą prarasite 50 USD, o tai rodo, kad nuostolis už statymą bus 10 USD. Bet jei statote 30 USD, kad laimėtumėte 10 USD su tokia pačia 4:1 šansais laimėti, tokiu atveju jūs tikisi 2 USD, nes jūs vėl keturis kartus laimite 10 USD ir vieną kartą pralaimite 30 USD, gaudami 10 USD pelną. Šie pavyzdžiai rodo, kad pirmasis statymas yra blogas, o antrasis yra geras.

Matematiniai lūkesčiai yra bet kokios žaidimo situacijos centras. Kai lažybų tarpininkas skatina futbolo gerbėjus statyti 11 USD, kad laimėtų 10 USD, jis tikisi 50 centų už kiekvieną 10 USD. Jei kazino moka net pinigus iš leidimo linijos, tada kazino teigiami lūkesčiai bus maždaug 1,40 USD už kiekvieną 100 USD, nes Šis žaidimas sukonstruotas taip, kad kiekvienas, kuris stato ant šios linijos, vidutiniškai pralaimi 50,7% ir laimi 49,3% viso laiko. Be jokios abejonės, būtent šis, atrodytų, minimalus teigiamas lūkestis atneša milžinišką pelną kazino savininkams visame pasaulyje. Kaip pažymėjo „Vegas World“ kazino savininkas Bobas Stupakas, „vieno procento neigiama tikimybė per pakankamai ilgą atstumą sužlugdys turtingiausią pasaulio žmogų“.

Lūkesčiai žaidžiant pokerį

Pokerio žaidimas yra iliustratyviausias ir iliustratyviausias pavyzdys matematinių lūkesčių teorijos ir savybių panaudojimo požiūriu.

Tikėtina vertė pokeryje yra vidutinė nauda iš konkretaus sprendimo, su sąlyga, kad toks sprendimas gali būti svarstomas didelių skaičių ir ilgo nuotolio teorijos rėmuose. Sėkmingas pokerio žaidimas yra visada priimti ėjimus, kurių laukiama vertė yra teigiama.

Matematinė matematinio lūkesčio prasmė žaidžiant pokerį yra ta, kad priimdami sprendimus dažnai susiduriame su atsitiktiniais dydžiais (nežinome, kokias kortas turi oponentas rankose, kokios kortos ateis kituose statymų raunduose). Turime apsvarstyti kiekvieną iš sprendinių didelių skaičių teorijos požiūriu, kuri teigia, kad esant pakankamai didelei imčiai, vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė bus linkusi į jo matematinius lūkesčius.

Tarp konkrečių matematinių lūkesčių skaičiavimo formulių pokeryje labiausiai tinka šios:

Žaidžiant pokerį galima apskaičiuoti numatomą statymų ir skambučių vertę. Pirmuoju atveju reikia atsižvelgti į kapitalą, o antruoju – į paties banko šansus. Vertindami matematinius lūkesčius dėl konkretaus ėjimo, turėtumėte atsiminti, kad sulenkimas visada turi nulinį lūkestį. Taigi kortų išmetimas visada bus pelningesnis sprendimas nei bet koks neigiamas žingsnis.

Lūkesčiai nurodo, ko galite tikėtis (pelno ar nuostolių) už kiekvieną rizikuojamą dolerį. Kazino uždirba pinigus, nes visų juose žaidžiamų žaidimų matematiniai lūkesčiai yra palankūs kazino. Turėdami pakankamai ilgą žaidimų seriją, galite tikėtis, kad klientas praras savo pinigus, nes „šansai“ yra kazino naudai. Tačiau profesionalūs kazino žaidėjai riboja savo žaidimus trumpais laikotarpiais, taip padidindami šansus savo naudai. Tas pats pasakytina ir apie investavimą. Jei jūsų lūkesčiai yra teigiami, galite uždirbti daugiau pinigų atlikdami daug sandorių per trumpą laiką. Tikėtis yra jūsų pelno, tenkančio vienam laimėjimui, procentas, padaugintas iš vidutinio pelno, atėmus jūsų praradimo tikimybę, padaugintą iš vidutinio nuostolio.

Pokeris taip pat gali būti vertinamas matematinių lūkesčių požiūriu. Galite manyti, kad tam tikras žingsnis yra pelningas, tačiau kai kuriais atvejais jis gali būti ne pats geriausias, nes kitas žingsnis yra pelningesnis. Tarkime, penkių kortų traukimo pokeryje pasiekėte pilną namą. Jūsų priešininkas atlieka statymą. Jūs žinote, kad jei padidinsite statymą, jis atsakys. Todėl kėlimas atrodo geriausia taktika. Bet jei padidinsite statymą, likę du žaidėjai tikrai nusimes. Bet jei skambinate, esate visiškai tikri, kad kiti du žaidėjai už jūsų padarys tą patį. Kai padidinate statymą, gaunate vieną vienetą, o kai tik skambinate, gaunate du. Taigi, skambinimas suteikia jums didesnę teigiamą tikėtiną vertę ir bus geriausia taktika.

Matematinis lūkestis taip pat gali padėti suprasti, kuri pokerio taktika yra mažiau pelninga, o kuri – pelningesnė. Pavyzdžiui, jei žaidžiate tam tikrą kombinaciją ir manote, kad jūsų pralaimėjimas bus vidutiniškai 75 centai, įskaitant ante, tuomet turėtumėte žaisti tą ranką, nes tai geriau nei sulankstyti, kai ante yra 1 USD.

Kita svarbi priežastis suprasti tikėtinos vertės sąvoką yra ta, kad ji suteikia jums ramybės jausmą, ar laimėsite statymą, ar ne: jei padarėte gerą statymą arba nusimetėte tinkamu laiku, žinosite, kad uždirbote arba sutaupė tam tikrą pinigų sumą, kurios silpnesnis žaidėjas negalėjo sutaupyti. Daug sunkiau nusimesti, jei esate nusiminęs, nes jūsų priešininkas ištraukė stipresnę ranką. Dėl viso to pinigai, kuriuos sutaupote nežaisdami, o ne lažindami, pridedami prie jūsų nakties ar mėnesio laimėjimo.

Tiesiog atminkite, kad jei pakeitėte rankas, jūsų oponentas būtų jums paskambinęs, ir, kaip pamatysite Fundamentalios pokerio teoremos straipsnyje, tai tik vienas iš jūsų privalumų. Turėtumėte džiaugtis, kai tai atsitiks. Jūs netgi galite išmokti džiaugtis pralaimėję ranką, nes žinote, kad kiti jūsų pozicijos žaidėjai būtų praradę daug daugiau.

Kaip minėta pradžioje monetų žaidimo pavyzdyje, valandinė pelno norma yra susijusi su matematiniais lūkesčiais, o ši sąvoka ypač svarbi profesionaliems žaidėjams. Kai einate žaisti pokerio, turėtumėte mintyse įvertinti, kiek galite laimėti per žaidimo valandą. Daugeliu atvejų turėsite pasikliauti savo intuicija ir patirtimi, tačiau taip pat galite naudoti šiek tiek matematikos. Pavyzdžiui, žaidžiate loteriją ir matote, kad trys žaidėjai stato 10 USD, o tada apsikeičia dviem kortomis, o tai yra labai bloga taktika. Galite suprasti, kad kiekvieną kartą statydami 10 USD, jie pralaimi apie 2 USD. Kiekvienas iš jų tai daro aštuonis kartus per valandą, o tai reiškia, kad visi trys praranda maždaug 48 USD per valandą. Jūs esate vienas iš likusių keturių žaidėjų, kurie yra maždaug lygūs, todėl šie keturi žaidėjai (ir jūs tarp jų) turi padalinti 48 USD, kiekvienas uždirbdamas 12 USD per valandą pelno. Jūsų valandinis koeficientas šiuo atveju yra tiesiog lygus jūsų trijų blogų žaidėjų per valandą prarastos pinigų sumos daliai.

Per ilgą laiką bendras žaidėjo laimėjimas yra jo matematinių lūkesčių atskirose rankose suma. Kuo daugiau rankų žaidžiate su teigiamais lūkesčiais, tuo daugiau laimite, ir atvirkščiai, kuo daugiau rankų žaidžiate su neigiamais lūkesčiais, tuo daugiau pralaimite. Todėl turėtumėte pasirinkti žaidimą, kuris gali maksimaliai padidinti jūsų teigiamus lūkesčius arba paneigti jūsų neigiamus lūkesčius, kad galėtumėte maksimaliai padidinti valandinį laimėjimą.

Teigiami matematiniai lūkesčiai žaidimų strategijoje

Jei mokate skaičiuoti kortas, galite turėti pranašumą prieš kazino, jei jie jūsų nepastebės ir išmes. Kazino mėgsta girtus žaidėjus ir netoleruoja kortų skaičiavimo žaidėjų. Privalumas leis jums laimėti daugiau kartų nei laimėti per tam tikrą laiką. Geras pinigų valdymas naudojant numatomos vertės skaičiavimus gali padėti gauti daugiau pelno iš savo pranašumo ir sumažinti nuostolius. Neturėdami pranašumo, geriau skirsite pinigus labdarai. Žaidime biržoje pranašumą suteikia žaidimų sistema, kuri sukuria didesnį pelną nei nuostoliai, kainų skirtumai ir komisiniai. Joks pinigų valdymas negali išgelbėti blogos žaidimų sistemos.

Teigiamas lūkestis apibrėžiamas kaip vertė, didesnė už nulį. Kuo didesnis šis skaičius, tuo stipresni statistiniai lūkesčiai. Jei reikšmė mažesnė už nulį, matematinis lūkestis taip pat bus neigiamas. Kuo didesnis neigiamos reikšmės modulis, tuo prastesnė situacija. Jei rezultatas lygus nuliui, laukimas yra nenutrūkstamas. Jūs galite laimėti tik tada, kai turite teigiamų matematinių lūkesčių ir pagrįstą žaidimo sistemą. Žaidimas pagal intuiciją veda į nelaimę.

Matematiniai lūkesčiai ir prekyba akcijomis

Matematinis lūkestis yra gana plačiai naudojamas ir populiarus statistinis rodiklis vykdant biržos prekybą finansų rinkose. Visų pirma, šis parametras naudojamas prekybos sėkmės analizei. Nesunku atspėti, kad kuo ši vertė didesnė, tuo daugiau priežasčių laikyti tiriamą prekybą sėkminga. Žinoma, prekiautojo darbo analizė negali būti atlikta naudojant vien šį parametrą. Tačiau apskaičiuota vertė, kartu su kitais darbo kokybės vertinimo metodais, gali žymiai padidinti analizės tikslumą.

Prekybos sąskaitų stebėjimo paslaugose dažnai skaičiuojamas matematinis lūkestis, leidžiantis greitai įvertinti su indėliu atliktus darbus. Išimtys apima strategijas, kuriose naudojami nepelningi sandoriai. Prekybininkui kurį laiką gali pasisekti, todėl jo darbe gali nebūti jokių nuostolių. Tokiu atveju nebus galima orientuotis tik pagal matematinius lūkesčius, nes nebus atsižvelgta į darbe naudojamą riziką.

Rinkos prekyboje matematinis lūkestis dažniausiai naudojamas prognozuojant bet kokios prekybos strategijos pelningumą arba prognozuojant prekiautojo pajamas pagal jo ankstesnės prekybos statistinius duomenis.

Kalbant apie pinigų valdymą, labai svarbu suprasti, kad atliekant sandorius su neigiamais lūkesčiais, nėra pinigų valdymo schemos, kuri neabejotinai galėtų atnešti didelį pelną. Jei ir toliau žaisite akcijų rinkoje tokiomis sąlygomis, nepriklausomai nuo to, kaip valdote savo pinigus, prarasite visą savo sąskaitą, nesvarbu, kokia ji buvo iš pradžių.

Ši aksioma galioja ne tik žaidimams ar sandoriams su neigiamais lūkesčiais, bet ir žaidimams su lygiomis galimybėmis. Todėl vienintelis atvejis, kai turite galimybę užsidirbti ilgalaikėje perspektyvoje, yra sandoriai, kurių numatoma vertė yra teigiama.

Skirtumas tarp neigiamų lūkesčių ir teigiamų lūkesčių yra skirtumas tarp gyvenimo ir mirties. Nesvarbu, koks teigiamas ar neigiamas yra lūkestis; Svarbu tik tai, ar jis teigiamas, ar neigiamas. Todėl prieš pradėdami tvarkyti pinigus, turėtumėte susirasti žaidimą su pozityviais lūkesčiais.

Jei neturite to žaidimo, visas pasaulio pinigų valdymas jūsų neišgelbės. Kita vertus, jei turite teigiamų lūkesčių, tinkamai valdydami pinigus galite tai paversti eksponentinės augimo funkcija. Nesvarbu, kokie maži yra teigiami lūkesčiai! Kitaip tariant, nesvarbu, kiek pelninga yra prekybos sistema, pagrįsta viena sutartimi. Jei turite sistemą, kuri laimi 10 USD už vieną kontraktą už sandorį (po komisinių ir praslydimo), galite naudoti pinigų valdymo metodus, kad ji būtų pelningesnė nei sistema, kuri vidutiniškai kainuoja 1000 USD už sandorį (atėmus komisinius ir praslydimą).

Svarbu ne tai, kiek sistema buvo pelninga, o tai, ar galima sakyti, kad sistema ateityje duos bent minimalų pelną. Todėl svarbiausias prekiautojo pasiruošimas yra užtikrinti, kad sistema ateityje parodys teigiamą tikėtiną vertę.

Norint turėti teigiamą numatomą vertę ateityje, labai svarbu neriboti savo sistemos laisvės laipsnių. Tai pasiekiama ne tik pašalinus arba sumažinus optimizuojamų parametrų skaičių, bet ir sumažinus kuo daugiau sistemos taisyklių. Kiekvienas jūsų pridėtas parametras, kiekviena jūsų nustatyta taisyklė, kiekvienas mažas sistemos pakeitimas sumažina laisvės laipsnių skaičių. Idealiu atveju jums reikia sukurti gana primityvią ir paprastą sistemą, kuri nuolat generuotų nedidelį pelną beveik bet kurioje rinkoje. Vėlgi, jums svarbu suprasti, kad nesvarbu, kiek pelninga yra sistema, kol ji yra pelninga. Pinigai, kuriuos uždirbate prekyboje, bus uždirbti efektyviai valdydami pinigus.

Prekybos sistema yra tiesiog įrankis, suteikiantis teigiamą tikėtiną vertę, kad galėtumėte valdyti pinigus. Sistemos, kurios veikia (rodo bent minimalų pelną) tik vienoje ar keliose rinkose arba turi skirtingas taisykles ar parametrus skirtingoms rinkoms, realiu laiku veikiausiai neveiks ilgai. Daugumos techniškai orientuotų prekiautojų problema yra ta, kad jie praleidžia per daug laiko ir pastangų optimizuodami įvairias prekybos sistemos taisykles ir parametrų reikšmes. Tai duoda visiškai priešingus rezultatus. Užuot eikvoję energiją ir kompiuterio laiką prekybos sistemos pelno didinimui, nukreipkite savo energiją į minimalaus pelno gavimo patikimumo lygį.

Žinodamas, kad pinigų valdymas tėra skaičių žaidimas, reikalaujantis teigiamų lūkesčių, prekiautojas gali nustoti ieškoti „šventojo gralio“ akcijų prekybos. Vietoj to jis gali pradėti testuoti savo prekybos metodą, išsiaiškinti, kiek šis metodas yra logiškas ir ar jis teikia teigiamų lūkesčių. Tinkami pinigų valdymo metodai, taikomi bet kokiems, net ir labai vidutiniams prekybos metodams, likusį darbą atliks patys.

Kad jūsų darbas būtų sėkmingas, bet kuris prekybininkas turi išspręsti tris svarbiausias užduotis: . Užtikrinti, kad sėkmingų operacijų skaičius viršytų neišvengiamų klaidų ir klaidingų skaičiavimų skaičių; Susikurkite savo prekybos sistemą taip, kad turėtumėte galimybę kuo dažniau užsidirbti pinigų; Pasiekite stabilių teigiamų savo operacijų rezultatų.

Ir čia mums, dirbantiems prekybininkams, matematinis lūkestis gali labai padėti. Šis terminas yra vienas iš pagrindinių tikimybių teorijos terminų. Su jo pagalba galite pateikti vidutinį tam tikros atsitiktinės vertės įvertinimą. Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis yra panašus į svorio centrą, jei visas įmanomas tikimybes įsivaizduojate kaip skirtingų masių taškus.

Kalbant apie prekybos strategiją, jos efektyvumui įvertinti dažniausiai naudojamas matematinis pelno (ar nuostolio) lūkestis. Šis parametras apibrėžiamas kaip nurodytų pelno ir nuostolių lygių produktų ir jų atsiradimo tikimybės suma. Pavyzdžiui, parengtoje prekybos strategijoje daroma prielaida, kad 37% visų sandorių atneš pelną, o likusi dalis – 63% – bus nuostolingi. Tuo pačiu metu vidutinės pajamos iš sėkmingo sandorio bus 7 USD, o vidutinis nuostolis – 1,4 USD. Apskaičiuokime matematinius prekybos lūkesčius naudodami šią sistemą:

Ką reiškia šis skaičius? Jame rašoma, kad, vadovaujantis šios sistemos taisyklėmis, vidutiniškai iš kiekvienos uždarytos operacijos gausime 1708 USD. Kadangi gautas naudingumo koeficientas yra didesnis nei nulis, tokia sistema gali būti naudojama realiam darbui. Jei dėl skaičiavimo matematinis lūkestis pasirodo neigiamas, tai jau rodo vidutinį nuostolį ir tokia prekyba sukels žlugimą.

Vieno sandorio pelno suma taip pat gali būti išreikšta santykine verte % forma. Pavyzdžiui:

– pajamų procentas už 1 sandorį - 5%;

– sėkmingų prekybos operacijų procentas - 62%;

– nuostolio procentas už 1 sandorį - 3%;

– nesėkmingų sandorių procentas - 38%;

Tai yra, vidutinė prekyba atneš 1,96%.

Galima sukurti sistemą, kuri, nepaisant nepelningų sandorių vyravimo, duos teigiamą rezultatą, nes jos MO>0.

Tačiau vien laukti neužtenka. Sunku užsidirbti pinigų, jei sistema duoda labai mažai prekybos signalų. Tokiu atveju jos pelningumas bus panašus į banko palūkanas. Tegul kiekviena operacija atneša vidutiniškai tik 0,5 USD, bet kas, jei sistema apima 1000 operacijų per metus? Tai bus labai reikšminga suma per palyginti trumpą laiką. Iš to logiškai išplaukia, kad dar vienu išskirtiniu geros prekybos sistemos bruožu galima laikyti trumpą pozicijų laikymo laikotarpį.

Šaltiniai ir nuorodos

dic.academic.ru – akademinis internetinis žodynas

mathematics.ru – mokomoji matematikos svetainė

nsu.ru – Novosibirsko valstybinio universiteto edukacinė svetainė

webmath.ru yra švietimo portalas studentams, kandidatams ir moksleiviams.

exponenta.ru mokomoji matematinė svetainė

ru.tradimo.com – nemokama internetinės prekybos mokykla

crypto.hut2.ru – daugiadisciplininis informacijos šaltinis

poker-wiki.ru – nemokama pokerio enciklopedija

sernam.ru – Mokslinė rinktinių gamtos mokslų leidinių biblioteka

reshim.su – svetainė MES SPRĘSIME bandomųjų kursinių darbų problemas

unfx.ru – Forex UNFX: mokymai, prekybos signalai, pasitikėjimo valdymas

slovopedia.com – Didysis enciklopedinis žodynas Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Jūsų vadovas pokerio pasaulyje

statanaliz.info – informacinis tinklaraštis „Statistinių duomenų analizė“

forex-trader.rf – Forex-Trader portalas

megafx.ru – dabartinė Forex analizė

fx-by.com – viskas prekybininkui