Apskaičiuokite trapecijos plotą internete iš keturių pusių. Trapecijos plotas

Norint jaustis užtikrintai ir sėkmingai spręsti uždavinius geometrijos pamokose, neužtenka išmokti formulių. Pirmiausia juos reikia suprasti. Bijoti, o juo labiau nekęsti formulių – neproduktyvu. Šiame straipsnyje prieinama kalba bus analizuojami įvairūs trapecijos ploto nustatymo būdai. Norėdami geriau suprasti atitinkamas taisykles ir teoremas, atkreipsime dėmesį į jo savybes. Tai padės suprasti, kaip veikia taisyklės ir kokiais atvejais reikėtų taikyti tam tikras formules.

Trapecijos apibrėžimas

Kokia tai apskritai figūra? Trapecija yra daugiakampis su keturiais kampais ir dviem lygiagrečiomis kraštinėmis. Kitos dvi trapecijos pusės gali būti pasvirusios skirtingais kampais. Jo lygiagrečios kraštinės vadinamos bazėmis, o nelygiagrečioms – „šonų“ arba „klubo“ pavadinimas. Tokie skaičiai yra gana dažni kasdieniame gyvenime. Trapecijos kontūrai matomi drabužių, interjero daiktų, baldų, indų ir daugelio kitų siluetuose. Yra įvairių tipų trapecijos: skalenos, lygiakraštės ir stačiakampės. Toliau straipsnyje mes išsamiau išnagrinėsime jų tipus ir savybes.

Trapecijos savybės

Trumpai pakalbėkime apie šio paveikslo savybes. Kampų, esančių šalia bet kurios kraštinės, suma visada yra 180°. Reikėtų pažymėti, kad visi trapecijos kampai sudaro 360°. Trapecija turi vidurio linijos sąvoką. Jei kraštinių vidurio taškus sujungsite su segmentu, tai bus vidurinė linija. Jis žymimas m. Vidurinė linija turi svarbių savybių: ji visada lygiagreti pagrindams (atsimename, kad pagrindai taip pat lygiagrečiai vienas kitam) ir lygi jų pusei:

Šį apibrėžimą reikia išmokti ir suprasti, nes tai yra raktas į daugelio problemų sprendimą!

Naudodami trapeciją, visada galite nuleisti aukštį iki pagrindo. Aukštis yra statmenas, dažnai žymimas simboliu h, brėžiamas iš bet kurio vieno pagrindo taško į kitą bazę arba jos tęsinį. Vidurinė linija ir aukštis padės rasti trapecijos plotą. Tokios problemos dažniausiai pasitaiko mokykliniame geometrijos kurse ir reguliariai atsiranda tarp kontrolinių ir egzaminų darbų.

Paprasčiausios trapecijos ploto formulės

Pažvelkime į dvi populiariausias ir paprasčiausias formules, naudojamas trapecijos plotui rasti. Pakanka aukštį padauginti iš pusės pagrindų sumos, kad lengvai rastumėte tai, ko ieškote:

S = h*(a + b)/2.

Šioje formulėje a, b žymi trapecijos pagrindus, h – aukštį. Kad būtų lengviau suvokti, šiame straipsnyje daugybos ženklai formulėse žymimi simboliu (*), nors oficialiose žinynuose daugybos ženklas dažniausiai praleidžiamas.

Pažiūrėkime į pavyzdį.

Pateikta: trapecija su dviem pagrindais, lygiais 10 ir 14 cm, aukštis yra 7 cm. Koks yra trapecijos plotas?

Pažvelkime į šios problemos sprendimą. Naudojant šią formulę, pirmiausia reikia rasti bazių pusę: (10+14)/2 = 12. Taigi, pusė sumos lygi 12 cm. Dabar pusę sumos padauginame iš aukščio: 12*7 = 84. Tai, ko ieškome, yra rasta. Atsakymas: Trapecijos plotas yra 84 kvadratiniai metrai. cm.

Antroji gerai žinoma formulė sako: trapecijos plotas yra lygus vidurio linijos ir trapecijos aukščio sandaugai. Tai yra, tai iš tikrųjų išplaukia iš ankstesnės vidurinės linijos sampratos: S=m*h.

Įstrižainių naudojimas skaičiavimams

Kitas būdas rasti trapecijos plotą iš tikrųjų nėra toks sudėtingas. Jis yra prijungtas prie jo įstrižainių. Naudodami šią formulę, norėdami rasti plotą, turite padauginti jo įstrižainių pusgaminį (d 1 d 2) iš kampo tarp jų sinuso:

S = ½ d 1 d 2 sin a.

Panagrinėkime problemą, kuri parodo šio metodo taikymą. Duota: trapecija, kurios įstrižainių ilgis yra atitinkamai 8 ir 13 cm Kampas a tarp įstrižainių yra 30°. Raskite trapecijos plotą.

Sprendimas. Naudojant aukščiau pateiktą formulę, lengva apskaičiuoti, ko reikia. Kaip žinote, nuodėmė 30° yra 0,5. Todėl S = 8*13*0,5=52. Atsakymas: plotas 52 kvadratiniai metrai. cm.

Lygiašonės trapecijos ploto radimas

Trapecija gali būti lygiašonė (lygiašonė). Jo kraštinės vienodos, o kampai prie pagrindų lygūs, tai puikiai iliustruoja paveikslas. Lygiašonė trapecija turi tokias pačias savybes kaip ir įprasta, be to, daug specialių. Aplink lygiašonę trapeciją galima apibrėžti apskritimą, o joje – apskritimą.

Kokie yra tokios figūros ploto apskaičiavimo metodai? Toliau pateiktas metodas pareikalaus daug skaičiavimų. Norėdami jį naudoti, turite žinoti kampo ties trapecijos pagrindu sinuso (sin) ir kosinuso (cos) reikšmes. Norint juos apskaičiuoti, reikia arba Bradis lentelių, arba inžinerinio skaičiuotuvo. Štai formulė:

S = c*nuodėmė a*(a - c* cos a),

Kur Su- šoninės šlaunies, a- kampas prie apatinio pagrindo.

Lygiakraščio trapecijos įstrižainės yra vienodo ilgio. Taip pat yra priešingai: jei trapecijos įstrižainės yra lygios, tada ji yra lygiašonė. Taigi ši formulė, padedanti rasti trapecijos plotą - įstrižainių kvadrato ir kampo tarp jų sinuso sandauga: S = ½ d 2 sin a.

Stačiakampės trapecijos ploto radimas

Yra žinomas ypatingas stačiakampės trapecijos atvejis. Tai trapecija, kurios viena pusė (jos šlaunys) stačiu kampu ribojasi su pagrindais. Jis turi įprastos trapecijos savybių. Be to, jis turi labai įdomią funkciją. Tokios trapecijos įstrižainių kvadratų skirtumas lygus jos pagrindų kvadratų skirtumui. Tam naudojami visi anksčiau aprašyti ploto apskaičiavimo metodai.

Mes naudojame išradingumą

Yra vienas triukas, kuris gali padėti, jei pamiršite konkrečias formules. Pažiūrėkime atidžiau, kas yra trapecija. Jei mintyse suskirstysime jį į dalis, gausime pažįstamas ir suprantamas geometrines figūras: kvadratą arba stačiakampį ir trikampį (vieną ar du). Jei trapecijos aukštis ir kraštinės yra žinomi, galite naudoti trikampio ir stačiakampio ploto formules ir sudėti visas gautas reikšmes.

Iliustruojame tai tokiu pavyzdžiu. Duota stačiakampė trapecija. Kampas C = 45°, kampai A, D yra 90°. Viršutinis trapecijos pagrindas yra 20 cm, aukštis - 16 cm. Reikia apskaičiuoti figūros plotą.

Ši figūra akivaizdžiai susideda iš stačiakampio (jei du kampai lygūs 90°) ir trikampio. Kadangi trapecija yra stačiakampė, jos aukštis lygus jos kraštinei, tai yra 16 cm. Turime stačiakampį, kurio kraštinės yra atitinkamai 20 ir 16 cm. Dabar apsvarstykite trikampį, kurio kampas yra 45 °. Žinome, kad viena jo kraštinė yra 16 cm. Kadangi ši kraštinė yra ir trapecijos aukštis (ir žinome, kad aukštis nusileidžia stačiu kampu), todėl antrasis trikampio kampas yra 90°. Taigi likęs trikampio kampas yra 45°. To pasekmė yra ta, kad gauname statųjį lygiašonį trikampį, kurio dvi kraštinės yra vienodos. Tai reiškia, kad kita trikampio pusė yra lygi aukščiui, tai yra 16 cm, belieka apskaičiuoti trikampio ir stačiakampio plotą ir pridėti gautas reikšmes.

Stačiakampio plotas lygus pusei jo kojų sandaugos: S = (16*16)/2 = 128. Stačiakampio plotas lygus jo pločio ir ilgio sandaugai: S = 20*16 = 320. Radome reikiamą: trapecijos plotas S = 128 + 320 = 448 kv. žr. Galite lengvai patikrinti save naudodami aukščiau pateiktas formules, atsakymas bus identiškas.

Mes naudojame Pick formulę

S = M/2 + N - 1,

šioje formulėje M yra mazgų skaičius, t.y. figūros linijų susikirtimo su langelio linijomis ties trapecijos ribomis (paveiksle oranžiniai taškai), N – mazgų skaičius figūros viduje (mėlyni taškai). Patogiausia jį naudoti ieškant netaisyklingo daugiakampio ploto. Tačiau kuo didesnis naudojamų technikų arsenalas, tuo mažiau klaidų ir geresni rezultatai.

Žinoma, pateikta informacija neišsemia trapecijos tipų ir savybių, taip pat jos ploto nustatymo būdų. Šiame straipsnyje apžvelgiamos svarbiausios jo savybės. Sprendžiant geometrinius uždavinius, svarbu veikti palaipsniui, pradėti nuo lengvų formulių ir uždavinių, nuosekliai įtvirtinti savo supratimą ir pereiti į kitą sudėtingumo lygį.

Surinktos kartu, dažniausiai pasitaikančios formulės padės mokiniams naršyti įvairiais būdais apskaičiuoti trapecijos plotą ir geriau pasiruošti šios temos testams bei užduotims.

Šis skaičiuotuvas apskaičiavo 2192 uždavinius tema "Trapecijos plotas"

TRAPECIJOS PLOTAS

Pasirinkite trapecijos ploto apskaičiavimo formulę, kurią ketinate naudoti norėdami išspręsti jums priskirtą problemą:

Bendroji trapecijos ploto skaičiavimo teorija.

Trapecija - Tai plokščia figūra, susidedanti iš keturių taškų, iš kurių trys nėra toje pačioje tiesėje, ir keturios atkarpos (kraštinės), jungiančios šiuos keturis taškus poromis, kurių dvi priešingos kraštinės yra lygiagrečios (guli lygiagrečiose tiesėse), ir kitos dvi nėra lygiagrečios.

Taškai vadinami trapecijos viršūnės ir nurodomos didžiosiomis lotyniškomis raidėmis.

Segmentai vadinami trapecijos formos šonai ir žymimi pora didžiųjų lotyniškų raidžių, atitinkančių segmentus jungiančias viršūnes.

Vadinamos dvi lygiagrečios trapecijos kraštinės trapecijos formos pagrindai .

Vadinamos dvi nelygiagrečios trapecijos kraštinės trapecijos šonai .

1 pav. Trapecija ABCD

1 paveiksle pavaizduota trapecija ABCD su viršūnėmis A, B, C, D ir kraštinėmis AB, BC, CD, DA.

AB ǁ DC - trapecijos ABCD pagrindai.

AD, BC – trapecijos ABCD šoninės kraštinės.

Spindulių AB ir AD sudarytas kampas vadinamas kampu viršūnėje A. Jis žymimas kaip ÐA arba ÐBAD, arba ÐDAB.

Spindulių BA ir BC sudarytas kampas vadinamas kampu viršūnėje B. Jis žymimas ÐB arba ÐABC, arba ÐCBA.

Spindulių CB ir CD sudarytas kampas vadinamas viršūnės kampu C. Jis žymimas ÐC arba ÐDCB, arba ÐBCD.

Kampas, kurį sudaro spinduliai AD ir CD, vadinamas viršūnės kampu D. Jis žymimas kaip ÐD arba ÐADC, arba ÐCDA.

2 pav. Trapecija ABCD

2 paveiksle vadinamas atkarpa MN, jungianti šoninių kraštinių vidurio taškus trapecijos vidurio linija.

Trapecijos vidurio linija lygiagrečios bazėms ir lygios jų pusinei sumai. tai yra .

3 pav. Lygiašonė trapecija ABCD

3 paveiksle AD=BC.

Trapecija vadinama lygiašonis (lygiašonis), jei jo kraštinės lygios.

4 pav. Stačiakampė trapecija ABCD

4 paveiksle kampas D yra tiesus (lygus 90°).

Trapecija vadinama stačiakampis, jei kampas šone tiesus.

Plotas S butas figūros, kuriose yra trapecija, vadinamos ribota uždara erdve plokštumoje. Plokščios figūros plotas rodo šios figūros dydį.

Teritorija turi keletą savybių:

1. Jis negali būti neigiamas.

2. Jei plokštumoje pateikiamas tam tikras uždaras plotas, sudarytas iš kelių figūrų, kurios nesikerta viena su kita (tai yra, figūros neturi bendrų vidinių taškų, bet gali gerai liesti viena kitą), tada plotas tokio ploto yra lygus jį sudarančių skaičių plotų sumai.

3. Jei dvi figūros lygios, tai jų plotai lygūs.

4. Kvadrato, pastatyto ant vienetinio segmento, plotas lygus vienetui.

Už vienetas matavimai plotas paimkite kvadrato, kurio kraštinė lygi, plotą vienetas matavimai segmentai.

Sprendžiant problemas, dažnai naudojamos šios trapecijos ploto apskaičiavimo formulės:

1. Trapecijos plotas lygus pusei jos pagrindų sumos, padaugintos iš jos aukščio:

2. Trapecijos plotas lygus jos vidurio linijos ir aukščio sandaugai:

3. Esant žinomiems trapecijos pagrindų ir kraštinių ilgiams, jos plotą galima apskaičiuoti pagal formulę:

4. Galima apskaičiuoti lygiašonės trapecijos plotą su žinomu į trapeciją įrašyto apskritimo spindulio ilgiu ir žinoma kampo prie pagrindo reikšme naudojant šią formulę:

1 pavyzdys: Apskaičiuokite trapecijos, kurios pagrindai a=7, b=3 ir aukštis h=15, plotą.

Sprendimas:

Atsakymas:

2 pavyzdys: Raskite trapecijos pagrindo kraštinę, kurios plotas S = 35 cm 2, aukštis h = 7 cm ir antrasis pagrindas b = 2 cm.

Sprendimas:

Norėdami rasti trapecijos pagrindo kraštinę, naudojame ploto skaičiavimo formulę:

Iš šios formulės išreikškime trapecijos pagrindo kraštinę:

Taigi, mes turime šiuos dalykus:

Atsakymas:

3 pavyzdys: Raskite trapecijos, kurios plotas S = 17 cm 2, o pagrindai a = 30 cm, b = 4 cm, aukštį.

Sprendimas:

Norėdami rasti trapecijos aukštį, naudojame ploto skaičiavimo formulę:

Taigi, mes turime šiuos dalykus:

Atsakymas:

4 pavyzdys: Apskaičiuokite trapecijos, kurios aukštis h = 24 ir vidurio linija m = 5, plotą.

Sprendimas:

Norėdami rasti trapecijos plotą, mes naudojame šią ploto apskaičiavimo formulę:

Taigi, mes turime šiuos dalykus:

Atsakymas:

5 pavyzdys: Raskite trapecijos, kurios plotas S = 48 cm 2 ir vidurio linija m = 6 cm, aukštį.

Sprendimas:

Norėdami rasti trapecijos aukštį, mes naudojame trapecijos ploto apskaičiavimo formulę:

Iš šios formulės išreikškime trapecijos aukštį:

Taigi, mes turime šiuos dalykus:

Atsakymas:

6 pavyzdys: Raskite trapecijos, kurios plotas S = 56, o aukštis h = 4, vidurio liniją.

Sprendimas:

Norėdami rasti trapecijos vidurio liniją, mes naudojame trapecijos ploto apskaičiavimo formulę:

Iš šios formulės išreikškime trapecijos vidurinę liniją:

Taigi, mes turime šiuos dalykus.

IR . Dabar galime pradėti svarstyti klausimą, kaip rasti trapecijos plotą. Ši užduotis kasdieniame gyvenime iškyla labai retai, tačiau kartais pasirodo, kad reikia, pavyzdžiui, surasti trapecijos formos kambario plotą, kuris vis dažniau naudojamas statant modernius butus, arba projektiniai renovacijos projektai.

Trapecija yra geometrinė figūra, sudaryta iš keturių susikertančių atkarpų, iš kurių dvi lygiagrečios viena kitai ir vadinamos trapecijos pagrindais. Kiti du segmentai vadinami trapecijos kraštinėmis. Be to, vėliau mums reikės kito apibrėžimo. Tai trapecijos vidurinė linija, kuri yra atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus ir trapecijos aukštį, kuris lygus atstumui tarp pagrindų.
Kaip ir trikampiai, trapecijos turi specialius tipus: lygiašonę (lygiašonę) trapeciją, kurios kraštinių ilgiai yra vienodi, ir stačiakampę trapeciją, kurioje viena iš kraštinių sudaro stačią kampą su pagrindais.

Trapecijos turi keletą įdomių savybių:

1. Trapecijos vidurio linija lygi pusei bazių sumos ir yra lygiagreti jiems.
   
2. Lygiašonės trapecijos turi lygias kraštines ir kampus, kuriuos jie sudaro su pagrindais.
   
3. Trapecijos įstrižainių vidurio taškai ir jos įstrižainių susikirtimo taškai yra toje pačioje tiesėje.
   
4. Jei trapecijos kraštinių suma lygi pagrindų sumai, tai į ją galima įrašyti apskritimą
   
5. Jei kampų, kuriuos sudaro trapecijos kraštinės bet kuriame iš jos pagrindų, suma yra 90, tai atkarpos, jungiančios pagrindų vidurio taškus, ilgis yra lygus jų pusės skirtumui.
   
6. Lygiašonę trapeciją galima apibūdinti apskritimu. Ir atvirkščiai. Jei trapecija telpa į apskritimą, tada ji yra lygiašonė.
   
7. Atkarpa, einanti per lygiašonės trapecijos pagrindų vidurio taškus, bus statmena jos pagrindams ir žymi simetrijos ašį.
   

Kaip rasti trapecijos plotą.

Trapecijos plotas bus lygus pusei jos pagrindų sumos, padaugintos iš jos aukščio. Formulės formoje tai parašyta kaip išraiška:

kur S – trapecijos plotas, a, b – kiekvieno trapecijos pagrindo ilgis, h – trapecijos aukštis.

Bet kurią trapeciją taip pat galite išskaidyti į paprastesnes figūras: stačiakampį ir vieną ar du trikampius, o jei jums lengviau, tada raskite trapecijos plotą kaip ją sudarančių figūrų plotų sumą.

Yra dar viena paprasta formulė jo plotui apskaičiuoti. Pagal ją trapecijos plotas lygus jos vidurio linijos sandaugai iš trapecijos aukščio ir rašomas tokia forma: S = m*h, kur S yra plotas, m yra trapecijos ilgis. vidurio linija, h yra trapecijos aukštis. Ši formulė labiau tinka matematikos, o ne kasdieniams uždaviniams, nes realiomis sąlygomis be išankstinių skaičiavimų nesužinosite vidurio linijos ilgio. O jūs žinosite tik pagrindų ir šonų ilgius.

Tokiu atveju trapecijos plotą galima rasti naudojant formulę:

S = ((a+b)/2)*√c 2-((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

kur S – plotas, a, b – pagrindai, c, d – trapecijos kraštinės.

Yra keletas kitų būdų, kaip rasti trapecijos plotą. Tačiau jie yra beveik tokie pat nepatogūs, kaip ir paskutinė formulė, o tai reiškia, kad nėra prasmės prie jų galvoti. Todėl rekomenduojame naudoti pirmąją formulę iš straipsnio ir linkime, kad visada gautumėte tikslius rezultatus.

Trapecija yra specialus keturkampio tipas, kurio dvi priešingos kraštinės yra lygiagrečios viena kitai, bet kitos dvi ne. Įvairūs realūs objektai turi trapecijos formą, todėl norint išspręsti kasdienes ar mokyklines problemas, gali tekti apskaičiuoti tokios geometrinės figūros perimetrą.

Trapecijos geometrija

Trapecija (iš graikų kalbos „trapecija“ - lentelė) yra figūra plokštumoje, apribota keturiais segmentais, iš kurių du yra lygiagrečiai, o du ne. Lygiagrečios atkarpos vadinamos trapecijos pagrindais, o nelygiagrečios – figūros kraštinėmis. Kraštinės ir jų pasvirimo kampai lemia trapecijos tipą, kuri gali būti skalinė, lygiašonė arba stačiakampė. Be pagrindų ir šonų, trapecija turi dar du elementus:

• aukštis - atstumas tarp lygiagrečių figūros pagrindų;
• vidurio linija – atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus.

Ši geometrinė figūra yra plačiai paplitusi realiame gyvenime.

Trapecija realybėje

Kasdieniame gyvenime daugelis realių objektų įgauna trapecijos formą. Galite lengvai rasti trapecijas šiose žmogaus veiklos srityse:

• interjero dizainas ir dekoras - sofos, stalviršiai, sienos, kilimai, pakabinamos lubos;
• kraštovaizdžio dizainas - vejos ir dirbtinių rezervuarų ribos, dekoratyvinių elementų formos;
• mada – drabužių, batų ir aksesuarų forma;
• architektūra - langai, sienos, pastato pamatai;
• gamyba – įvairūs gaminiai ir dalys.

Taip plačiai naudojant trapecijas, specialistams dažnai tenka skaičiuoti geometrinės figūros perimetrą.

Trapecijos perimetras

Figūros perimetras yra skaitinė charakteristika, kuri apskaičiuojama kaip visų n kampo kraštinių ilgių suma. Trapecija yra keturkampis ir apskritai visos jos kraštinės yra skirtingo ilgio, todėl perimetras apskaičiuojamas pagal formulę:

P = a + b + c + d,

kur a ir c yra figūros pagrindai, b ir d yra jos kraštinės.

Nors skaičiuojant trapecijos perimetrą mums nereikia žinoti aukščio, skaičiuotuvo kodas reikalauja įvesti šį kintamąjį. Kadangi ūgis neturi įtakos skaičiavimams, naudodamiesi mūsų internetiniu skaičiuotuvu galite įvesti bet kokią aukščio reikšmę, didesnę už nulį. Pažvelkime į porą pavyzdžių.

Realaus gyvenimo pavyzdžiai

Nosine

Tarkime, kad turite trapecijos formos šaliką ir norite jį apipjaustyti kutais. Turėsite žinoti šaliko perimetrą, kad nepirktumėte papildomos medžiagos arba du kartus nenueitumėte į parduotuvę. Tegul jūsų lygiašonis šalikas turi tokius parametrus: a = 120 cm, b = 60 cm, c = 100 cm, d = 60 cm Įvedame šiuos duomenis į internetinę formą ir gauname atsakymą:

Taigi, skarelės perimetras yra 340 cm, ir būtent tiek ilgio kutais reikia ją užbaigti.

Šlaitai

Pavyzdžiui, jūs nusprendėte padaryti šlaitus nestandartiniams metalo-plastikiniams langams, kurie turi trapecijos formą. Tokie langai plačiai naudojami projektuojant pastatus, sukuriant kelių varčių kompoziciją. Dažniausiai tokie langai gaminami stačiakampio trapecijos pavidalu. Sužinokime, kiek medžiagos reikia tokio lango šlaitams pagaminti. Standartinis langas turi tokius parametrus a = 140 cm, b = 20 cm, c = 180 cm, d = 50 cm Mes naudojame šiuos duomenis ir gauname rezultatą formoje

Todėl trapecinio lango perimetras yra 390 cm, ir būtent tiek plastikinių plokščių reikės įsigyti šlaitams suformuoti.

Išvada

Trapecija yra populiari figūra kasdieniame gyvenime, kurios parametrų nustatymo gali prireikti netikėčiausiose situacijose. Skaičiuoti trapecijos perimetrus būtina daugeliui specialistų: nuo inžinierių ir architektų iki dizainerių ir mechanikų. Mūsų internetinių skaičiuoklių katalogas leis atlikti bet kokių geometrinių formų ir kūnų skaičiavimus.

Yra daug būdų, kaip rasti trapecijos plotą. Paprastai matematikos mokytojas žino kelis jo skaičiavimo būdus, pažvelkime į juos išsamiau:
1) , kur AD ir BC yra pagrindai, o BH yra trapecijos aukštis. Įrodymas: nubrėžkite įstrižainę BD ir išreikškite trikampių ABD ir CDB plotus per jų pagrindų ir aukščių pusgaminį:

, kur DP yra išorinis aukštis

Sudėkime šias lygybes po vieną ir atsižvelgdami į tai, kad aukščiai BH ir DP yra vienodi, gauname:

Išdėkime jį iš skliaustų

Q.E.D.

Išvada iš trapecijos ploto formulės:
Kadangi bazių pusė yra lygi MN - trapecijos vidurio linijai, tada

2) Keturkampio ploto bendrosios formulės taikymas.
Keturkampio plotas lygus pusei įstrižainių sandaugos, padaugintos iš kampo tarp jų sinuso
Norėdami tai įrodyti, pakanka padalyti trapeciją į 4 trikampius, išreikšti kiekvieno plotą „įstrižainių ir kampo tarp jų sinuso sandauga“ (imkite kaip kampą, pridėkite gautą išraiškas, išimkite juos iš skliausto ir suskirstykite šį skliaustą naudodami grupavimo metodą, kad gautumėte lygybę išraiškai

3) Įstrižainės poslinkio metodas
Tai mano vardas. Matematikos mokytojas mokykliniuose vadovėliuose tokios antraštės nesusidurs. Technikos aprašymą kaip problemos sprendimo pavyzdį galima rasti tik papildomuose vadovėliuose. Noriu pastebėti, kad daugumą įdomių ir naudingų faktų apie planimetriją studentams atskleidžia matematikos dėstytojai, atlikdami praktinius darbus. Tai labai neoptimalu, nes studentas turi jas išskirti į atskiras teoremas ir vadinti jas „dideliais vardais“. Vienas iš jų yra „įstrižainės poslinkis“. apie ką mes kalbame? Nubrėžkime tiesę, lygiagrečią AC per viršūnę B, kol ji susikirs su apatine baze taške E. Šiuo atveju keturkampis EBCA bus lygiagretainis (pagal apibrėžimą), todėl BC=EA ir EB=AC. Pirmoji lygybė mums dabar svarbi. Turime:

Atkreipkite dėmesį, kad trikampis BED, kurio plotas lygus trapecijos plotui, turi dar keletą puikių savybių:
1) Jo plotas lygus trapecijos plotui
2) Jo lygiašonis atsiranda kartu su pačios trapecijos lygiašoniais
3) Jo viršutinis kampas viršūnėje B yra lygus kampui tarp trapecijos įstrižainių (kuris labai dažnai naudojamas uždaviniuose)
4) Jo mediana BK lygi atstumui QS tarp trapecijos pagrindų vidurio taškų. Neseniai susidūriau su šios savybės naudojimu ruošiant studentą mechanikai ir matematikai Maskvos valstybiniame universitete, naudodamas Tkachuko vadovėlį, 1973 m. versiją (uždavinys pateikta puslapio apačioje).

Specialūs metodai matematikos mokytojui.

Kartais aš siūlau problemas, naudodamas labai sudėtingą trapecijos ploto nustatymo būdą. Priskiriu ją prie specialių technikų, nes praktikoje dėstytojas jas naudoja itin retai. Jei jums reikia pasiruošimo vieningam valstybiniam matematikos egzaminui tik B dalyje, jums nereikia apie juos skaityti. Kitiems papasakosiu toliau. Pasirodo, trapecijos plotas yra du kartus didesnis už trikampio, kurio viršūnės yra vienos kraštinės galuose ir kitos viduryje, plotas, tai yra trikampis ABS paveikslėlyje:
Įrodymas: trikampiuose BCS ir ADS nubrėžkite aukščius SM ir SN ir išreikškite šių trikampių plotų sumą:

Kadangi taškas S yra CD vidurys, tada (įrodykite tai patys) Raskite trikampių plotų sumą:

Kadangi ši suma pasirodė lygi pusei trapecijos ploto, tada jos antroji pusė. ir kt.

Į dėstytojo specialiųjų technikų rinkinį įtraukčiau lygiašonės trapecijos ploto išilgai jos kraštų apskaičiavimo formą: kur p yra trapecijos pusiau perimetras. Aš nepateiksiu įrodymų. Priešingu atveju jūsų matematikos mokytojas liks be darbo :). Ateik į klasę!

Problemos dėl trapecijos srities:

Matematikos mokytojo pastaba: Žemiau pateiktas sąrašas nėra metodinis temos priedas, tai tik nedidelis įdomių užduočių pasirinkimas, pagrįstas aukščiau aptartais metodais.

1) Lygiašonės trapecijos apatinis pagrindas yra 13, o viršutinis - 5. Raskite trapecijos plotą, jei jos įstrižainė yra statmena kraštinei.
2) Raskite trapecijos plotą, jei jos pagrindai yra 2 cm ir 5 cm, o kraštinės yra 2 cm ir 3 cm.
3) Lygiašonės trapecijos didesnė bazė yra 11, kraštinė yra 5, o įstrižainė yra Raskite trapecijos plotą.
4) Lygiašonės trapecijos įstrižainė lygi 5, o vidurio linija lygi 4. Raskite plotą.
5) Lygiašonės trapecijos pagrindai yra 12 ir 20, o įstrižainės yra viena kitai statmenos. Apskaičiuokite trapecijos plotą
6) Lygiašonės trapecijos įstrižainė sudaro kampą su apatiniu pagrindu. Raskite trapecijos plotą, jei jos aukštis yra 6 cm.
7) Trapecijos plotas yra 20, o viena iš jos kraštinių yra 4 cm. Raskite atstumą iki jos nuo priešingos pusės vidurio.
8) Lygiašonės trapecijos įstrižainė padalija ją į trikampius, kurių plotai yra 6 ir 14. Raskite aukštį, jei šoninė kraštinė lygi 4.
9) Trapecijos įstrižainės lygios 3 ir 5, o atkarpa, jungianti pagrindų vidurio taškus, lygi 2. Raskite trapecijos plotą (Mekhmat MSU, 1970).

Pasirinkau ne pačias sunkiausias problemas (nebijokite mechanikos inžinerijos!) tikėdamasis, kad sugebėsiu jas išspręsti savarankiškai. Spręskite dėl savo sveikatos! Jei jums reikia pasiruošimo vieningam valstybiniam matematikos egzaminui, šiame procese nedalyvaujant trapecijos ploto formulei, gali kilti rimtų problemų net su B6 ir tuo labiau su C4 problema. Nepradėkite temos, o iškilus sunkumams kreipkitės pagalbos. Matematikos mokytojas visada mielai jums padės.

Kolpakovas A.N.
Matematikos mokytojas Maskvoje, pasiruošimas vieningam valstybiniam egzaminui Strogine.