Norėdami dirbti su matricos rango sąvoka, mums reikės informacijos iš temos "Algebriniai papildiniai ir mažieji. Mažųjų ir algebrinių papildinių tipai". Visų pirma, tai susiję su terminu „mažoji matrica“, nes matricos rangą nustatysime būtent per nepilnamečius.
Matricos rangas yra didžiausia jo nepilnamečių eilė, tarp kurių yra bent vienas, kuris nėra lygus nuliui.
Lygiavertės matricos- matricos, kurių eilės yra lygios viena kitai.
Leiskite mums paaiškinti išsamiau. Tarkime, kad tarp antros eilės nepilnamečių yra bent vienas, kuris skiriasi nuo nulio. Ir visi nepilnamečiai, kurių eilė didesnis nei du, yra lygūs nuliui. Išvada: matricos rangas yra 2 arba, pavyzdžiui, tarp dešimtosios eilės nepilnamečių yra bent vienas, kuris nėra lygus nuliui. O visi nepilnamečiai, kurių eilė didesnis nei 10, yra lygūs nuliui. Išvada: matricos reitingas yra 10.
Matricos $A$ rangas žymimas taip: $\rang A$ arba $r(A)$. Nulinės matricos $O$ rangas laikomas nuliu, $\rang O=0$. Leiskite jums priminti, kad norint sudaryti mažąją matricą, reikia išbraukti eilutes ir stulpelius, tačiau neįmanoma išbraukti daugiau eilučių ir stulpelių, nei yra pačioje matricoje. Pavyzdžiui, jei matricos $F$ dydis yra $5\ kartus 4$ (t. y. turi 5 eilutes ir 4 stulpelius), tada didžiausia jos antraeilių tvarka yra keturi. Penktosios eilės nepilnamečių formuoti nebebus galima, nes jiems reikės 5 stulpelių (o mes turime tik 4). Tai reiškia, kad matricos $F$ rangas negali būti didesnis nei keturi, t.y. $\rang F≤4$.
Bendresne forma aukščiau išdėstyta reiškia, kad jei matricoje yra $m$ eilučių ir $n$ stulpelių, tai jos rangas negali viršyti mažiausio iš $m$ ir $n$, t.y. $\rang A≤\min(m,n)$.
Iš esmės nuo paties rango apibrėžimo seka jo radimo metodas. Matricos rango suradimo procesas pagal apibrėžimą gali būti schematiškai pavaizduotas taip:
Leiskite man paaiškinti šią diagramą išsamiau. Pradėkime samprotauti nuo pat pradžių, t.y. nuo pirmos eilės nepilnamečių kažkokios matricos $A$.
- Jei visi pirmos eilės nepilnamečiai (t. y. matricos $A$ elementai) yra lygūs nuliui, tai $\rang A=0$. Jei tarp pirmos eilės nepilnamečių yra bent vienas, kuris nėra lygus nuliui, tai $\rang A≥ 1$. Pereikime prie antros eilės nepilnamečių tikrinimo.
- Jei visi antros eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, tada $\rang A=1$. Jei tarp antros eilės nepilnamečių yra bent vienas, kuris nėra lygus nuliui, tai $\rang A≥ 2$. Pereikime prie trečios eilės nepilnamečių tikrinimo.
- Jei visi trečiosios eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, tada $\rang A=2$. Jei tarp trečios eilės nepilnamečių yra bent vienas, kuris nėra lygus nuliui, tai $\rang A≥ 3$. Pereikime prie ketvirtos eilės nepilnamečių tikrinimo.
- Jei visi ketvirtos eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, tada $\rang A=3$. Jei tarp ketvirtos eilės nepilnamečių yra bent vienas, kuris nėra lygus nuliui, tai $\rang A≥ 4$. Pereiname prie penktos eilės nepilnamečių tikrinimo ir pan.
Kas mūsų laukia šios procedūros pabaigoje? Gali būti, kad tarp k-os eilės nepilnamečių atsiras bent vienas, kuris skiriasi nuo nulio, o visi (k+1) eilės nepilnamečiai bus lygūs nuliui. Tai reiškia, kad k yra didžiausia nepilnamečių eilė, tarp kurių yra bent vienas, kuris nėra lygus nuliui, t.y. rangas bus lygus k. Gali būti ir kitokia situacija: tarp k-os eilės nepilnamečių atsiras bent vienas, kuris nelygus nuliui, bet nebebus galima suformuoti (k+1) eilės nepilnamečių. Šiuo atveju matricos rangas taip pat lygus k. Trumpai tariant, paskutinio sudaryto ne nulio minoro eilė bus lygi matricos rangui.
Pereikime prie pavyzdžių, kuriuose pagal apibrėžimą bus aiškiai iliustruotas matricos rango nustatymo procesas. Leiskite dar kartą pabrėžti, kad šios temos pavyzdžiuose matricų rangą rasime naudodami tik rango apibrėžimą. Kiti metodai (matricos rango apskaičiavimas ribojimo nepilnamečių metodu, matricos rango skaičiavimas elementariųjų transformacijų metodu) aptariami tolesnėse temose.
Beje, visai nebūtina pradėti rango suradimo procedūros su mažiausio laipsnio nepilnamečiais, kaip buvo padaryta pavyzdžiuose Nr.1 ir Nr.2. Iš karto galite pereiti prie aukštesnio rango nepilnamečių (žr. pavyzdį Nr. 3).
1 pavyzdys
Raskite matricos reitingą $A=\left(\begin(masyvas)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(masyvas) \right)$.
Šios matricos dydis yra $3\ kartus 5$, t.y. yra trys eilutės ir penki stulpeliai. Iš skaičių 3 ir 5 minimumas yra 3, todėl matricos $A$ rangas yra ne didesnis kaip 3, t.y. $\rang A≤ 3$. Ir ši nelygybė akivaizdi, nes nebegalėsime formuoti ketvirtos eilės nepilnamečių – jiems reikia 4 eilučių, o mes turime tik 3. Pereikime tiesiai prie duotosios matricos rango paieškos.
Tarp pirmos eilės nepilnamečių (t. y. tarp matricos $A$ elementų) yra nulinių vienetų. Pavyzdžiui, 5, -3, 2, 7. Apskritai mūsų nedomina bendras nulinių elementų skaičius. Yra bent vienas nenulinis elementas – ir to pakanka. Kadangi tarp pirmos eilės nepilnamečių yra bent vienas ne nulis, darome išvadą, kad $\rang A≥ 1$ ir pereiname prie antros eilės nepilnamečių tikrinimo.
Pradėkime tyrinėti antros eilės nepilnamečius. Pavyzdžiui, eilučių Nr. 1, Nr. 2 ir stulpelių Nr. 1, Nr. 4 sankirtoje yra šių mažųjų elementų: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(masyvas) \right|. Šiam determinantui visi antrojo stulpelio elementai lygūs nuliui, todėl ir pats determinantas lygus nuliui, t.y. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(masyvas) \right|=0$ (žr. determinantų savybių temoje savybę Nr. 3). Arba galite tiesiog apskaičiuoti šį determinantą naudodami formulę Nr. 1 iš antros ir trečios eilės determinantų skaičiavimo skyriaus:
$$ \left|\begin(masyvas)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(masyvas) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$
Pirmas mūsų išbandytas antros eilės nepilnametis pasirodė lygus nuliui. Ką tai reiškia? Apie būtinybę toliau tikrinti antros eilės nepilnamečius. Arba jie visi bus lygūs nuliui (ir tada rangas bus lygus 1), arba tarp jų bus bent vienas nepilnametis, kuris skiriasi nuo nulio. Pabandykime geriau pasirinkti parašydami antros eilės minorą, kurio elementai yra eilučių Nr. 1, Nr. 2 ir stulpelių Nr. 1 ir Nr. 5 sankirtoje: $\left|\begin( masyvas)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(masyvas) \right|$. Raskime šio antrosios eilės nepilnamečio reikšmę:
$$ \left|\begin(masyvas)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(masyvas) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$
Šis nepilnametis nėra lygus nuliui. Išvada: tarp antros eilės nepilnamečių yra bent vienas ne nulis. Todėl $\rang A≥ 2$. Turime pereiti prie trečios eilės nepilnamečių studijų.
Jei trečios eilės nepilnamečiams formuoti pasirinksime stulpelį Nr. 2 arba stulpelį Nr. 4, tai tokie nepilnamečiai bus lygūs nuliui (nes juose bus nulinis stulpelis). Belieka patikrinti tik vieną trečios eilės nepilnametį, kurio elementai yra stulpelių Nr.1, Nr.3, Nr.5 ir eilučių Nr.1, Nr.2, Nr.3 sankirtoje. Užrašykime šį minorą ir suraskime jo reikšmę:
$$ \left|\begin(masyvas)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(masyvas) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$
Taigi visi trečios eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui. Paskutinis mūsų sudarytas ne nulis minoras buvo antros eilės. Išvada: didžiausia nepilnamečių eilė, tarp kurių yra bent vienas ne nulis, yra 2. Todėl $\rang A=2$.
Atsakymas: $\rang A=2$.
2 pavyzdys
Raskite matricos rangą $A=\left(\begin(masyvas) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(masyvas) \right)$.
Turime ketvirtos eilės kvadratinę matricą. Iš karto atkreipkime dėmesį, kad šios matricos rangas neviršija 4, t.y. $\rang A≤ 4$. Pradėkime ieškoti matricos rango.
Tarp pirmos eilės nepilnamečių (t. y. tarp matricos $A$ elementų) yra bent vienas, kuris nėra lygus nuliui, todėl $\rang A≥ 1$. Pereikime prie antros eilės nepilnamečių tikrinimo. Pavyzdžiui, eilučių Nr. 2, Nr. 3 ir stulpelių Nr. 1 ir Nr. 2 sankirtoje gauname tokią antros eilės minorą: $\left| \begin(masyvas) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(masyvas) \right|$. Paskaičiuokime:
$$\left| \begin(masyvas) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(masyvas) \right|=0-10=-10. $$
Tarp antros eilės nepilnamečių yra bent vienas, kuris nėra lygus nuliui, taigi $\rang A≥ 2$.
Pereikime prie trečios eilės nepilnamečių. Raskime, pavyzdžiui, nepilnametį, kurio elementai yra eilučių Nr.1, Nr.3, Nr.4 ir stulpelių Nr.1, Nr.2, Nr.4 sankirtoje:
$$\left | \begin(masyvas) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(masyvas) \right|=105-105=0. $$
Kadangi šis trečios eilės nepilnametis pasirodė lygus nuliui, būtina tirti kitą trečios eilės nepilnametį. Arba visi jie bus lygūs nuliui (tada rangas bus lygus 2), arba tarp jų bus bent vienas, kuris nėra lygus nuliui (tada pradėsime mokytis ketvirtos eilės nepilnamečių). Panagrinėkime trečios eilės nepilnametį, kurio elementai yra eilučių Nr.2, Nr.3, Nr.4 ir stulpelių Nr.2, Nr.3, Nr.4 sankirtoje:
$$\left| \begin(masyvas) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(masyvas) \right|=-28. $$
Tarp trečios eilės nepilnamečių yra bent vienas ne nulis, taigi $\rang A≥ 3$. Pereikime prie ketvirtos eilės nepilnamečių tikrinimo.
Bet kuri ketvirtos eilės mažoji yra keturių eilučių ir keturių stulpelių $A$ sankirtoje. Kitaip tariant, ketvirtos eilės mažoji yra matricos $A$ determinantas, nes šioje matricoje yra 4 eilutės ir 4 stulpeliai. Šios matricos determinantas buvo apskaičiuotas temos „Determinanto eilės mažinimas“ pavyzdyje Nr.
$$\left| \begin(masyvas) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (masyvas)\right|=86. $$
Taigi ketvirtos eilės minoras nėra lygus nuliui. Nebegalime formuoti penktos eilės nepilnamečių. Išvada: didžiausia nepilnamečių eilė, tarp kurių yra bent vienas ne nulis, yra 4. Rezultatas: $\rang A=4$.
Atsakymas: $\rang A=4$.
3 pavyzdys
Raskite matricos rangą $A=\left(\begin(masyvas) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end(masyvas) \right)$.
Iš karto atkreipkime dėmesį, kad šioje matricoje yra 3 eilutės ir 4 stulpeliai, taigi $\rang A≤ 3$. Ankstesniuose pavyzdžiuose rango nustatymo procesą pradėjome atsižvelgdami į mažiausios (pirmosios) eilės nepilnamečius. Čia stengsimės iš karto patikrinti kuo aukštesnės eilės nepilnamečius. Matricai $A$ tai yra trečios eilės nepilnamečiai. Panagrinėkime trečios eilės nepilnametį, kurio elementai yra eilučių Nr. 1, Nr. 2, Nr. 3 ir stulpelių Nr. 2, Nr. 3, Nr. 4 sankirtoje:
$$\left| \begin(masyvas) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(masyvas) \right|=-8-60-20=-88. $$
Taigi, aukščiausia nepilnamečių eilė, tarp kurių yra bent vienas, kuris nėra lygus nuliui, yra 3. Todėl matricos rangas yra 3, t.y. $\rang A=3$.
Atsakymas: $\rang A=3$.
Apskritai, rasti matricos rangą pagal apibrėžimą paprastai yra gana daug darbo reikalaujanti užduotis. Pavyzdžiui, santykinai mažoje matricoje, kurios dydis yra $5\x4$, yra 60 antros eilės nepilnamečių. Ir net jei 59 iš jų yra lygūs nuliui, 60-asis nepilnametis gali pasirodyti ne nulis. Tada teks mokytis trečios eilės nepilnamečių, kurių ši matrica turi 40 vnt. Paprastai jie stengiasi naudoti ne tokius sudėtingus metodus, kaip nepilnamečių ribojimas arba lygiaverčių transformacijų metodas.
Anksčiau kvadratinei matricai 
įsakymu buvo įvesta nepilnamečio sąvoka 
elementas 
. Prisiminkime, kad taip vadinamas tvarkos determinantas 
, gautas iš determinanto 
perbraukiant 
eilutė ir 
stulpelis.
Dabar pristatykime bendrą nepilnamečio sąvoką. Panagrinėkime kai kuriuos nebūtinai kvadratas matrica 
. Išsirinkime keletą 
eilučių numeriai 
Ir 
stulpelių numeriai 
.
Apibrėžimas.
Nedidelis užsakymas 
matricos 
(atitinka pasirinktas eilutes ir stulpelius) vadinamas eilės determinantu 
, sudarytas iš elementų, esančių pasirinktų eilučių ir stulpelių sankirtoje, t.y. numerį
.
Kiekvienoje matricoje yra tiek tam tikros eilės nepilnamečių 
, kiek būdų galite pasirinkti eilučių numerius 
ir stulpeliai 
.
Apibrėžimas. Matricoje 
dydžiai 
smulkus užsakymas 
paskambino pagrindinis, jei jis nėra nulis ir visi nepilnamečiai yra tvarkingi 
lygus nuliui arba nedidelės eilės tvarka 
prie matricos 
visai ne.
Akivaizdu, kad matricoje gali būti keli skirtingi pagrindiniai nepilnamečiai, tačiau visi pagrindiniai nepilnamečiai turi tą pačią tvarką. Iš tiesų, jei visi nepilnamečiai yra tvarkingi 
yra lygūs nuliui, tada visi eilės nepilnamečiai lygūs nuliui 
, taigi ir visi aukštesni įsakymai.
Apibrėžimas. Matricos rangas Vadinama pagrindinės mažosios eilės tvarka, arba, kitaip tariant, didžiausia tvarka, kurioje yra nepilnamečių, išskyrus nulį. Jei visi matricos elementai yra lygūs nuliui, tada tokios matricos rangas pagal apibrėžimą laikomas nuliu.
Matricos rangas 
žymėsime simboliu 
. Iš rango apibrėžimo matyti, kad matricai 
dydžiai 
santykis teisingas.
Du būdai matricos rangui apskaičiuoti
A) Ribojantis minorinis metodas
Tegul matricoje randasi minoras 
-oji eilė, skiriasi nuo nulio. Panagrinėkime tik tuos nepilnamečius 
-th order, kuriuose yra (kraštas) nepilnametis 
: jei jie visi lygūs nuliui, tai matricos rangas yra 
. Priešingu atveju tarp besiribojančių nepilnamečių yra nepilnametis, kuris nėra nulis 
-toji tvarka, ir visa procedūra kartojama.
9 pavyzdys
. Raskite matricos rangą 
nepilnamečių ribojimo būdu.
Pasirinkime antros eilės nepilnametį 
. Yra tik vienas trečios eilės nepilnametis, besiribojantis su pasirinktu nepilnamečiu 
. Paskaičiuokime.
Taigi tai smulkmena 
bazinis, o matricos rangas yra lygus jos tvarkai, t.y. 
Akivaizdu, kad tokiu būdu kartojimas per nepilnamečius ieškant pagrindo yra užduotis, susijusi su dideliais skaičiavimais, jei matricos matmenys nėra labai maži. Tačiau yra ir paprastesnis būdas rasti matricos rangą – naudojant elementariąsias transformacijas.
b) Elementariosios transformacijos metodas
Apibrėžimas. Elementariosios matricos transformacijos Tokios transformacijos vadinamos:
eilutės padauginimas iš kito skaičiaus nei nulis;
į vieną eilutę įtraukti kitą eilutę;
linijų pertvarkymas;
tos pačios stulpelio transformacijos.
1 ir 2 transformacijos atliekamos elementas po elemento.
Sujungę pirmojo ir antrojo tipų transformacijas, į bet kurią eilutę galime įtraukti linijinį likusių eilučių derinį.
Teorema. Elementarios transformacijos nekeičia matricos rango.
(Jokio įrodymo)
Praktinio matricos rango apskaičiavimo metodo idėja
yra tai, kad elementariųjų transformacijų pagalba ši matrica 
veda prie pasirodymo
,
(5)
kuriame „įstrižainės“ elementai 
skiriasi nuo nulio, o elementai, esantys žemiau „įstrižainių“, yra lygūs nuliui. Sutikime skambinti matrica 
šio tipo trikampis (kitaip jis vadinamas įstrižaine, trapecija arba kopėčiomis). Po matricos sumažinimo 
į trikampę formą iš karto galime parašyti, kad 
.
Tiesą sakant, 
(kadangi elementarios transformacijos rango nekeičia). Bet matrica 
yra ne nulis smulkus užsakymas 
:
,
ir bet koks nepilnametis tvarkos 
yra nulinė eilutė, todėl ji yra lygi nuliui.
Dabar suformuluokime praktinį dalyką rango skaičiavimo taisyklė matricos 
naudojant elementariąsias transformacijas: rasti matricos rangą 
jį reikia paversti trikampiu naudojant elementarias transformacijas 
. Tada matricos rangas 
bus lygus nulinių eilučių skaičiui gautoje matricoje 
.
10 pavyzdys.
Raskite matricos rangą 
elementariųjų transformacijų metodu
Sprendimas.
Sukeiskime pirmą ir antrą eilutes (kadangi pirmasis antrosios eilutės elementas yra −1 ir su juo bus patogu atlikti transformacijas). Dėl to gauname matricą, lygiavertę šiai.
Pažymėkime 
-ta matricos eilutė - 
. Turime sumažinti pradinę matricą iki trikampės formos. Pirmąją eilutę laikysime pagrindine linija, ji dalyvaus visose transformacijose, tačiau pati išliks nepakitusi.
Pirmajame etape atliksime transformacijas, leidžiančias pirmame stulpelyje gauti nulius, išskyrus pirmąjį elementą. Norėdami tai padaryti, iš antrosios eilutės atimkite pirmąją eilutę, padaugintą iš 2 
, pridėkite pirmą prie trečios eilutės 
, o iš trečiojo atimame pirmąjį, padaugintą iš 3 
Gauname matricą, kurios rangas sutampa su šios matricos rangu. Pažymėkime tai ta pačia raide 
:
.
Kadangi turime sumažinti matricą iki formos (5), iš ketvirtos eilutės atimame antrąją. Šiuo atveju turime:
.
Gaunama trikampio formos matrica ir galime padaryti tokią išvadą 
, ty nulinių eilučių skaičius. Trumpai, problemos sprendimą galima parašyti taip:
Kiekvienoje matricoje galima susieti du rangus: eilučių rangą (eilučių sistemos rangą) ir stulpelio rangą (stulpelių sistemos rangą).
Teorema
Matricos eilučių rangas yra lygus jos stulpelio rangui.
Matricos rangas
Apibrėžimas
Matricos rangas$A$ yra jos eilučių arba stulpelių sistemos rangas.
Žymi $\operatoriausvardas(rang) A$
Praktikoje, norint rasti matricos rangą, naudojamas toks teiginys: matricos rangas yra lygus nulinių eilučių skaičiui, sumažinus matricą į ešeloninę formą.
Elementarios transformacijos per matricos eilutes (stulpelius) nekeičia jos rango.
Žingsnio matricos rangas yra lygus jos nulinių eilučių skaičiui.
Pavyzdys
Pratimai. Raskite matricos reitingą $ A=\left(\begin(masyvas)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & ( 7) \ \ (10) & (18) & (40) & (17) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(masyvas)\dešinė) $
Sprendimas. Naudodami elementarias transformacijas jos eilutėse, sumažiname matricą $A$ į ešeloninę formą. Norėdami tai padaryti, pirmiausia iš trečiosios eilutės atimkite antruosius du:
$$ A \sim \left(\begin(masyvas)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) & (2) & (4) & (3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(masyvas)\dešinė) $$
Iš antros eilutės atimame ketvirtą eilutę, padaugintą iš 4; iš trečio - du ketvirti:
$$ A \sim \left(\begin(masyvas)(rrrr)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5 ) \\ (0) & (-12) & (-30) & (-3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(masyvas)\dešinė) $$
Pirmuosius penkis pridedame prie antrosios eilutės, o trečiuosius tris - prie trečios:
$$ A \sim \left(\begin(masyvas)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(masyvas)\dešinė) $$
Sukeiskite pirmą ir antrą eilutes:
$$ A \sim \left(\begin(masyvas)(cccc)(0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(masyvas)\dešinė) $$
$$ A \sim \left(\begin(masyvas)(cccc)(1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0)\end(masyvas)\right) \RightArrow \operatoriaus vardas(rangas) A=2 $$
Atsakymas.$ \operatoriaus vardas(rangas) A=2 $
Nepilnamečių ribojimo metodas
Kitas būdas rasti matricos rangą yra pagrįstas šia teorema - nedidelio apvado metodas. Šio metodo esmė – surasti nepilnamečius, pradedant nuo žemesnių užsakymų ir pereinant prie aukštesnių. Jei $n$-osios eilės minoras nėra lygus nuliui, o visi $n+1$-osios eilės minorai yra lygūs nuliui, tai matricos rangas bus lygus $n$ .
Pavyzdys
Pratimai. Raskite matricos reitingą $ A=\left(\begin(masyvas)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) & (0 ) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6)\end(masyvas)\right) $ naudojant smulkiojo apvado metodą.
Sprendimas. Minimalios eilės minorai yra pirmosios eilės minorai, kurie yra lygūs matricos $A$ elementams. Apsvarstykite, pavyzdžiui, minor $ M_(1)=1 \neq 0 $ . esančios pirmoje eilutėje ir pirmame stulpelyje. Ją apribojame antros eilės ir antrojo stulpelio pagalba, gauname mažąjį $ M_(2)^(1)=\left| \begin(masyvas)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(masyvas)\right|=0 $ ; Panagrinėkime dar vieną antros eilės minorą, tam antros eilės ir trečio stulpelio pagalba apribojame minorinį $M_1$, tada gauname minorinį $ M_(2)^(2)=\left| \begin(array)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(masyvas)\right|=5 \neq 0 $ , tai yra, matricos rangas yra ne mažiau kaip du. Toliau nagrinėjame trečiosios eilės nepilnamečius, besiribojančius su nepilnamečiais $ M_(2)^(2) $ . Yra du tokie nepilnamečiai: trečios eilutės ir antrosios eilės derinys arba su ketvirtuoju stulpeliu. Paskaičiuokime šiuos nepilnamečius.
Bet kokia matrica A tvarka m×n gali būti laikoma kolekcija m stygų vektoriai arba n stulpelių vektoriai.
Reitingas matricos A tvarka m×n yra didžiausias tiesiškai nepriklausomų stulpelių vektorių arba eilučių vektorių skaičius.
Jei matricos rangas A lygus r, tada parašyta:
Matricos rango radimas
Leiskite A savavališkos tvarkos matrica m× n. Norėdami rasti matricos rangą A Jai taikome Gauso eliminacijos metodą.
Atkreipkite dėmesį, kad jei tam tikru pašalinimo etapu pirmaujantis elementas yra lygus nuliui, tada šią eilutę keičiame į eilutę, kurioje pagrindinis elementas skiriasi nuo nulio. Jei paaiškėja, kad tokios eilutės nėra, pereikite prie kito stulpelio ir pan.
Po tiesioginio Gauso eliminavimo proceso gauname matricą, kurios elementai po pagrindine įstrižaline yra lygūs nuliui. Be to, gali būti nulinių eilučių vektorių.
Nulinių eilučių vektorių skaičius bus matricos rangas A.
Pažvelkime į visa tai naudodami paprastus pavyzdžius.
1 pavyzdys.
Padauginus pirmąją eilutę iš 4 ir pridėjus prie antrosios, pirmąją eilutę padauginus iš 2 ir pridėjus prie trečios eilutės gauname:
Padauginkite antrą eilutę iš -1 ir pridėkite prie trečios eilutės:
Gavome dvi ne nulines eilutes, todėl matricos reitingas yra 2.
2 pavyzdys.
Raskime šios matricos rangą:
Padauginkite pirmąją eilutę iš -2 ir pridėkite ją prie antrosios eilutės. Panašiai iš naujo nustatome pirmojo stulpelio trečios ir ketvirtos eilučių elementus:
Iš naujo nustatykime antrojo stulpelio trečios ir ketvirtos eilučių elementus, atitinkamas eilutes pridėdami prie antros eilės, padaugintos iš skaičiaus -1.
Matricos rangas yra svarbi skaitinė charakteristika. Tipiškiausia problema, kuriai reikia rasti matricos rangą, yra tiesinių algebrinių lygčių sistemos nuoseklumo patikrinimas. Šiame straipsnyje pateiksime matricos rango sąvoką ir apsvarstysime būdus, kaip jį rasti. Norėdami geriau suprasti medžiagą, išsamiai išanalizuosime kelių pavyzdžių sprendimus.
Puslapio naršymas.
Matricos rango nustatymas ir būtinos papildomos sąvokos.
Prieš išsakydami matricos rango apibrėžimą, turėtumėte gerai suprasti nepilnamečio sąvoką, o matricos nepilnamečių radimas reiškia gebėjimą apskaičiuoti determinantą. Taigi, jei reikia, rekomenduojame prisiminti straipsnio teoriją, matricos determinanto radimo būdus ir determinanto savybes.
Paimkime matricą A eilės tvarka . Tegul k yra koks nors natūralusis skaičius, neviršijantis mažiausio iš skaičių m ir n, tai yra, 
.
Apibrėžimas.
Mažoji k-oji tvarka matrica A yra kvadratinės eilės matricos determinantas, sudarytas iš matricos A elementų, kurie yra iš anksto pasirinktose k eilučių ir k stulpelių, o matricos A elementų išdėstymas išsaugomas.
Kitaip tariant, jei matricoje A išbraukiame (p–k) eilutes ir (n–k) stulpelius, o iš likusių elementų sukuriame matricą, išsaugodami A matricos elementų išdėstymą, tai determinantas gauta matrica yra matricos A k eilės minorinė.
Pažvelkime į mažosios matricos apibrėžimą naudodami pavyzdį.
Apsvarstykite matricą 
.
Užrašykime keletą šios matricos pirmos eilės nepilnamečių. Pavyzdžiui, jei pasirenkame trečią matricos A eilutę ir antrą stulpelį, tada mūsų pasirinkimas atitinka pirmos eilės minorą 
. Kitaip tariant, norėdami gauti šį mažąjį, iš matricos A išbraukėme pirmąją ir antrąją eilutes, taip pat pirmą, trečią ir ketvirtą stulpelius, o iš likusio elemento sudarėme determinantą. Jei pasirinksime pirmąją matricos A eilutę ir trečią stulpelį, tada gausime minorą 
.
Pavaizduokime laikomų pirmos eilės nepilnamečių gavimo tvarką 
Ir 
.
Taigi matricos pirmos eilės minorai yra patys matricos elementai.
Parodykime kelis antros eilės nepilnamečius. Pasirinkite dvi eilutes ir du stulpelius. Pavyzdžiui, paimkite pirmą ir antrą eilutes bei trečią ir ketvirtą stulpelius. Su šiuo pasirinkimu turime antros eilės nepilnametį 
. Šią mažąją dalį taip pat galima sudaryti iš A matricos išbraukus trečią eilutę, pirmąjį ir antrąjį stulpelius.
Kitas matricos A antros eilės minoras yra .
Pavaizduokime šių antros eilės nepilnamečių konstrukciją 
Ir 
.
Panašiai galima rasti A matricos trečiosios eilės nepilnamečius. Kadangi matricoje A yra tik trys eilutės, pasirenkame jas visas. Jei pasirinksime pirmus tris šių eilučių stulpelius, gausime trečios eilės mažąją 
Jis taip pat gali būti sudarytas perbraukiant paskutinį A matricos stulpelį.
Kitas trečiosios eilės nepilnametis yra 
gautas išbraukus trečiąjį A matricos stulpelį.
Čia yra paveikslėlis, kuriame parodyta šių trečios eilės nepilnamečių statyba 
Ir 
.
Pateiktoje matricoje A nėra aukštesnių nei trečdalio nepilnamečių, nes .
Kiek k-osios eilės nepilnamečių yra eilės A matricoje?
K eilės nepilnamečių skaičius gali būti apskaičiuojamas kaip , kur 
Ir 
- derinių skaičius atitinkamai nuo p iki k ir nuo n iki k.
Kaip sukonstruoti visus p eilės A matricos k eilės mažuosius iš n?
Mums reikės daug matricos eilučių numerių ir daug stulpelių numerių. Viską užrašome p elementų deriniai k(jos atitiks pasirinktas matricos A eilutes konstruojant k eilės minorą). Prie kiekvienos eilučių numerių kombinacijos paeiliui pridedame visas k stulpelių numerių n elementų kombinacijas. Šios matricos A eilučių numerių ir stulpelių numerių derinių rinkiniai padės sudaryti visus k eilės minorinius.
Pažvelkime į tai su pavyzdžiu.
Pavyzdys.
Raskite visus antros eilės matricos nepilnamečius.
Sprendimas.
Kadangi pradinės matricos tvarka yra 3 x 3, antros eilės nepilnamečių suma bus tokia 
.
Užrašykime visas A matricos 3–2 eilučių numerių kombinacijas: 1, 2; 1, 3 ir 2, 3. Visos 3–2 stulpelių numerių kombinacijos yra 1, 2; 1, 3 ir 2, 3.
Paimkime pirmąją ir antrąją matricos A eilutes. Pasirinkę šių eilučių pirmą ir antrą stulpelius, pirmą ir trečią stulpelius, antrą ir trečią stulpelius, gauname atitinkamai nepilnamečius 
Pirmoje ir trečioje eilutėse su panašiu stulpelių pasirinkimu turime 
Belieka į antrą ir trečią eilutes pridėti pirmąjį ir antrąjį, pirmą ir trečią, antrą ir trečią stulpelius: 
Taigi, buvo rasti visi devyni antros eilės A matricos nepilnamečiai.
Dabar galime pereiti prie matricos rango nustatymo.
Apibrėžimas.
Matricos rangas yra aukščiausios matricos mažosios eilės laipsnis.
Matricos A rangas žymimas kaip Rank(A) . Taip pat galite rasti žymėjimus Rg(A) arba Rang(A) .
Iš matricos rango ir mažosios matricos apibrėžimų galime daryti išvadą, kad nulinės matricos rangas yra lygus nuliui, o nenulinės matricos rangas yra ne mažesnis kaip vienas.
Matricos rango nustatymas pagal apibrėžimą.
Taigi, pirmasis matricos rango nustatymo metodas yra nepilnamečių surašymo būdas. Šis metodas pagrįstas matricos rango nustatymu.
Turime rasti eilės matricos A rangą.
Trumpai apibūdinkime algoritmas sprendžiant šią problemą išvardijant nepilnamečius.
Jei yra bent vienas matricos elementas, kuris skiriasi nuo nulio, tada matricos rangas yra bent jau lygus vienetui (kadangi yra pirmos eilės nepilnametis, kuris nėra lygus nuliui).
Toliau žiūrime į antros eilės nepilnamečius. Jei visi antros eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, tada matricos rangas yra lygus vienetui. Jei yra bent vienas antros eilės nepilnametis, pradedame išvardyti trečiosios eilės nepilnamečius, o matricos rangas yra ne mažesnis kaip du.
Panašiai, jei visi trečiosios eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, tada matricos rangas yra du. Jei yra bent vienas trečios eilės nepilnametis, išskyrus nulį, tada matricos rangas yra bent trys, ir mes pereiname prie ketvirtos eilės nepilnamečių sąrašo.
Atkreipkite dėmesį, kad matricos rangas negali viršyti mažiausio iš skaičių p ir n.
Pavyzdys.
Raskite matricos rangą 
.
Sprendimas.
Kadangi matrica yra ne nulis, jos rangas yra ne mažesnis kaip vienas.
Antrosios eilės nepilnametis 
skiriasi nuo nulio, todėl matricos A rangas yra bent du. Pereikime prie trečios eilės nepilnamečių surašymo. Iš viso jų 
dalykų. 
Visi trečiosios eilės nepilnamečiai lygūs nuliui. Todėl matricos rangas yra du.
Atsakymas:
Reitingas(A) = 2 .
Matricos rango nustatymas nepilnamečių ribojimo metodu.
Yra ir kitų matricos rango nustatymo būdų, kurie leidžia gauti rezultatą su mažesniu skaičiavimo darbu.
Vienas iš tokių metodų yra kraštas minor metodas.
Susitvarkykime krašto minoro samprata.
Sakoma, kad matricos A (k+1) eilės mažoji M ok ribojasi su matricos A k eilės mažuoju M, jei mažąją M ok atitinkančioje matricoje „yra“ matrica, atitinkanti mažąją. M .
Kitaip tariant, matrica, atitinkanti ribinį mažąjį M, gaunama iš matricos, atitinkančios ribinį mažąjį M ok, išbraukus vienos eilutės ir vieno stulpelio elementus.
Pavyzdžiui, apsvarstykite matricą 
ir paimti antros eilės nepilnametį. Užrašykime visus besiribojančius nepilnamečius: 
Nepilnamečių ribojimo būdas pateisinamas tokia teorema (jos formuluotę pateikiame be įrodymų).
Teorema.
Jei visi mažieji, besiribojantys su p eilės matricos A k-osios eilės minora, yra lygūs nuliui, tai visi matricos A mažosios eilės (k+1) yra lygūs nuliui.
Taigi, norint rasti matricos rangą, nebūtina pereiti per visus nepilnamečius, kurie yra pakankamai ribojami. Nepilnamečių, besiribojančių su matricos A k-osios eilės nepilnamečiu, skaičius randamas pagal formulę 
. Atkreipkite dėmesį, kad matricos A k-osios eilės nepilnamečių ribojasi ne daugiau nei yra (k + 1) matricos A nepilnamečių. Todėl daugeliu atvejų ribojimo su nepilnamečiais metodas yra naudingesnis nei tiesiog visų nepilnamečių surašymas.
Pereikime prie matricos rango nustatymo, naudojant nepilnamečių ribojimo metodą. Trumpai apibūdinkime algoritmasšis metodas.
Jei matrica A yra ne nulis, tai kaip pirmos eilės mažąjį imame bet kurį matricos A elementą, kuris skiriasi nuo nulio. Pažvelkime į besiribojančius nepilnamečius. Jei jie visi lygūs nuliui, tada matricos rangas yra lygus vienetui. Jei yra bent vienas ne nulis besiribojantis nepilnametis (jo eilė yra du), mes pradedame svarstyti besiribojančius nepilnamečius. Jei jie visi lygūs nuliui, tada reitingas (A) = 2. Jei bent vienas besiribojantis nepilnametis yra ne nulis (jo eilė yra trys), tada mes laikome jo besiribojančiais nepilnamečiais. Ir taip toliau. Dėl to Rank(A) = k, jei visi besiribojantys matricos A (k + 1) eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, arba Rangas(A) = min(p, n), jei yra ne nulis minoras, besiribojantis su eilės minora (min( p, n) – 1) .
Pažvelkime į nepilnamečių ribų nustatymo metodą, kad rastume matricos rangą pagal pavyzdį.
Pavyzdys.
Raskite matricos rangą 
nepilnamečių ribojimo būdu.
Sprendimas.
Kadangi matricos A elementas a 1 1 yra ne nulis, mes jį laikome pirmos eilės mažuoju. Pradėkime ieškoti besiribojančio nepilnamečio, kuris skiriasi nuo nulio: 
Rastas antros eilės kraštinis minoras, besiskiriantis nuo nulio. Pažvelkime į besiribojančius nepilnamečius (jų 
dalykai): 
Visi nepilnamečiai, besiribojantys su antros eilės nepilnamečiu, yra lygūs nuliui, todėl A matricos rangas yra lygus dviem.
Atsakymas:
Reitingas(A) = 2 .
Pavyzdys.
Raskite matricos rangą 
naudojant besiribojančius nepilnamečius.
Sprendimas.
Kaip pirmos eilės mažąjį nulį, imame matricos A elementą a 1 1 = 1. Aplinkinis antrojo laipsnio nepilnametis 
nelygu nuliui. Šis nepilnametis ribojasi su trečios eilės nepilnamečiu 
. Kadangi jis nėra lygus nuliui ir jam nėra nė vieno besiribojančio minoro, matricos A rangas yra lygus trims.
Atsakymas:
Reitingas(A) = 3 .
Rango suradimas naudojant elementariosios matricos transformacijas (Gauso metodas).
Panagrinėkime kitą būdą, kaip rasti matricos rangą.
Šios matricos transformacijos vadinamos elementariomis:
- matricos eilučių (arba stulpelių) pertvarkymas;
- padauginus visus bet kurios matricos eilutės (stulpelio) elementus iš savavališko skaičiaus k, kuris skiriasi nuo nulio;
- prie eilutės (stulpelio) elementų pridedant atitinkamus kitos matricos eilutės (stulpelio) elementus, padaugintus iš savavališko skaičiaus k.
Matrica B vadinama ekvivalentiška matricai A, jei B gaunamas iš A naudojant baigtinį elementariųjų transformacijų skaičių. Matricų lygiavertiškumas žymimas simboliu „~“, tai yra, parašyta A ~ B.
Matricos rango nustatymas naudojant elementariąsias matricos transformacijas grindžiamas teiginiu: jei matrica B gaunama iš matricos A naudojant baigtinį elementariųjų transformacijų skaičių, tai Rank(A) = Rank(B) .
Šio teiginio pagrįstumas išplaukia iš matricos determinanto savybių:
- Pertvarkant matricos eilutes (ar stulpelius), jos determinantas keičia ženklą. Jei jis lygus nuliui, tai perstačius eilutes (stulpelius), jis lieka lygus nuliui.
- Padauginus visus bet kurios matricos eilutės (stulpelio) elementus iš savavališko skaičiaus k, kuris nėra nulis, gautos matricos determinantas yra lygus pradinės matricos determinantui, padaugintam iš k. Jei pradinės matricos determinantas yra lygus nuliui, tada padauginus visus bet kurios eilutės ar stulpelio elementus iš skaičiaus k, gautos matricos determinantas taip pat bus lygus nuliui.
- Prie tam tikros matricos eilutės (stulpelio) elementų pridėjus atitinkamus kitos matricos eilutės (stulpelio) elementus, padaugintus iš tam tikro skaičiaus k, jo determinantas nekeičiamas.
Elementariųjų transformacijų metodo esmė susideda iš matricos, kurios rangą turime rasti, sumažinimas iki trapecijos formos (konkrečiu atveju iki viršutinės trikampės), naudojant elementariąsias transformacijas.
Kodėl tai daroma? Šio tipo matricų rangą labai lengva rasti. Jis lygus eilučių, kuriose yra bent vienas nulinis elementas, skaičiui. Ir kadangi matricos rangas nesikeičia atliekant elementarias transformacijas, gauta reikšmė bus pradinės matricos rangas.
Pateikiame matricų iliustracijas, iš kurių viena turėtų būti gauta po transformacijų. Jų išvaizda priklauso nuo matricos eilės.
Šios iliustracijos yra šablonai, į kuriuos transformuosime matricą A.
Aprašykime metodo algoritmas.
Turime rasti nulinės eilės matricos A rangą (p gali būti lygus n).
Taigi,. Padauginkime visus pirmosios matricos A eilutės elementus iš . Šiuo atveju gauname lygiavertę matricą, žyminčią ją A (1): 
Prie gautos matricos A (1) antros eilutės elementų pridedame atitinkamus pirmosios eilutės elementus, padaugintus iš . Prie trečios eilutės elementų pridedame atitinkamus pirmosios eilutės elementus, padaugintus iš . Ir taip iki p-osios eilutės. Gaukime ekvivalentinę matricą, pažymėkite ją A (2): 
Jei visi gautos matricos elementai, esantys eilutėse nuo antrosios iki p-osios, yra lygūs nuliui, tada šios matricos rangas yra lygus vienetui, taigi ir pradinės matricos rangas yra lygus į vieną.
Jei eilutėse nuo antrosios iki p-osios yra bent vienas elementas, kuris skiriasi nuo nulio, tada mes ir toliau atliekame transformacijas. Be to, elgiamės visiškai taip pat, bet tik su paveiksle pažymėta matricos A (2) dalimi. 
Jei , tai matricos A (2) eilutes ir (arba) stulpelius pertvarkome taip, kad „naujas“ elementas taptų ne nulis.
