Pamoka ir pristatymas tema: "Skaičių sekos. Geometrinė progresija"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Mokymo priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 9 klasei
Galios ir šaknys Funkcijos ir grafikai

Vaikinai, šiandien mes susipažinsime su kitu progresavimo tipu.
Šios dienos pamokos tema – geometrinė progresija.

Geometrinė progresija

Pavyzdys. 1,2,4,8,16... Geometrinė progresija, kurios pirmasis narys lygus vienetui, o $q=2$.

Pavyzdys. 8,8,8,8... Geometrinė progresija, kurios pirmasis narys yra lygus aštuoniems,
ir $q=1$.

Pavyzdys. 3,-3,3,-3,3... Geometrinė progresija, kurioje pirmasis narys yra lygus trims,
ir $q=-1$.

Geometrinė progresija turi monotoniškumo savybių.
Jei $b_(1)>0$, $q>1$,
tada seka didėja.
Jei $b_(1)>0$, $0 Seka dažniausiai žymima tokia forma: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Kaip ir aritmetinėje progresijoje, jei geometrinėje progresijoje elementų skaičius yra baigtinis, progresija vadinama baigtine geometrine progresija.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Atkreipkite dėmesį, kad jei seka yra geometrinė progresija, tai terminų kvadratų seka taip pat yra geometrinė progresija. Antroje sekoje pirmasis narys yra lygus $b_(1)^2$, o vardiklis lygus $q^2$.

Geometrinės progresijos n-ojo nario formulė

Grįžkime prie mūsų pavyzdžių.

Pavyzdys. 1,2,4,8,16... Geometrinė progresija, kurioje pirmasis narys yra lygus vienetui,
ir $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Pavyzdys. 16,8,4,2,1,1/2… Geometrinė progresija, kurios pirmasis narys yra lygus šešiolikai ir $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Pavyzdys. 8,8,8,8... Geometrinė progresija, kurios pirmasis narys lygus aštuoniems, o $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Pavyzdys. 3,-3,3,-3,3... Geometrinė progresija, kurios pirmasis narys lygus trims, o $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Pavyzdys. Duota geometrinė progresija $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Yra žinoma, kad $b_(1)=6, q=3$. Raskite $b_(5)$.
b) Yra žinoma, kad $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Rasti n.
c) Yra žinoma, kad $q=-2, b_(6)=96$. Raskite $b_(1)$.
d) Yra žinoma, kad $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Rasti q.

Sprendimas.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, nes $2^7=128 => n-1=7; n = 8 USD.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Pavyzdys. Skirtumas tarp septintojo ir penktojo geometrinės progresijos narių yra 192, penktojo ir šeštojo progresijos narių suma yra 192. Raskite dešimtąjį šios progresijos narį.

Sprendimas.
Žinome, kad: $b_(7)-b_(5)=192$ ir $b_(5)+b_(6)=192$.
Taip pat žinome: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Tada:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Gavome lygčių sistemą:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Sulyginę lygtis, gauname:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Gavome du sprendinius q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Iš eilės pakeiskite antrąją lygtį:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ sprendimų nėra.
Gavome: $b_(1)=4, q=2$.
Raskime dešimtąjį terminą: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Baigtinės geometrinės progresijos suma

Tegu pateikta baigtinė geometrinė progresija: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Įveskime jos narių sumos pavadinimą: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Tuo atveju, kai $q=1$. Visi geometrinės progresijos nariai lygūs pirmajam nariui, tada akivaizdu, kad $S_(n)=n*b_(1)$.
Dabar panagrinėkime atvejį $q≠1$.
Aukščiau nurodytą sumą padauginkime iš q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Pastaba:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Gavome baigtinės geometrinės progresijos sumos formulę.

Sprendimas.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Pavyzdys.
Raskite penktąjį žinomos geometrinės progresijos narį: $b_(1)=-3$; $b_(n) = -3072 $; $S_(n) = -4095 $.

Sprendimas.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072 $.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
-4095 USD(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
-4095 USD(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341 USD = 1364 USD.
$q = 4 $.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Būdinga geometrinės progresijos savybė

Skaičių seka yra geometrinė progresija tik tada, kai kiekvieno nario kvadratas yra lygus dviejų gretimų progresijos narių sandaugai. Nepamirškite, kad baigtinei progresijai ši sąlyga netenkinama pirmajai ir paskutinei kadencijoms.

Bet kurio geometrinės progresijos nario modulis yra lygus dviejų gretimų jo narių geometriniam vidurkiui.

Sprendimas.
Naudokime būdingą savybę:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ ir $x_(2)=-1$.
Paeiliui pakeisime savo sprendimus pradine išraiška:
Kai $x=2$, gavome seką: 4;6;9 – geometrinė progresija su $q=1.5$.
Jei $x=-1$, gauname seką: 1;0;0.
Atsakymas: $x=2.$

Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai

Geometrinė progresija ne mažiau svarbi matematika, palyginti su aritmetika. Geometrinė progresija – tai skaičių seka b1, b2,..., b[n], kurios kiekvienas kitas narys gaunamas ankstesnįjį padauginus iš pastovaus skaičiaus. Šis skaičius, kuris taip pat apibūdina augimo ar progresavimo greitį, vadinamas geometrinės progresijos vardiklis ir žymėti

Norint visiškai nurodyti geometrinę progresiją, be vardiklio, būtina žinoti arba nustatyti pirmąjį jos narį. Teigiamai vardiklio reikšmei progresija yra monotoniška seka, o jei ši skaičių seka monotoniškai mažėja ir jei monotoniškai didėja. Atvejis, kai vardiklis lygus vienetui, praktiškai nenagrinėjamas, nes turime identiškų skaičių seką, o jų sumavimas praktiškai neįdomus

Bendrasis geometrinės progresijos terminas apskaičiuojamas pagal formulę

Geometrinės progresijos pirmųjų n narių suma nustatoma pagal formulę

Pažvelkime į klasikinės geometrinės progresijos uždavinių sprendimus. Pradėkime nuo paprasčiausių, kuriuos reikia suprasti.

1 pavyzdys. Pirmasis geometrinės progresijos narys yra 27, o jo vardiklis yra 1/3. Raskite pirmuosius šešis geometrinės progresijos narius.

Sprendimas: Parašykime problemos sąlygą formoje

Skaičiavimams naudojame geometrinės progresijos n-ojo nario formulę

Remdamiesi juo, randame nežinomus progresavimo terminus

Kaip matote, apskaičiuoti geometrinės progresijos sąlygas nėra sunku. Pati progresija atrodys taip

2 pavyzdys. Pateikti pirmieji trys geometrinės progresijos nariai: 6; -12; 24. Raskite vardiklį ir jo septintą narį.

Sprendimas: Geomitrinės progresijos vardiklį apskaičiuojame pagal jo apibrėžimą

Gavome kintamąją geometrinę progresiją, kurios vardiklis lygus -2. Septintasis narys apskaičiuojamas pagal formulę

Tai išsprendžia problemą.

3 pavyzdys. Geometrinė progresija pateikiama dviem jos nariais . Raskite dešimtąjį progresijos narį.

Sprendimas:

Parašykime pateiktas reikšmes naudodami formules

Pagal taisykles turėtume rasti vardiklį ir tada ieškoti norimos reikšmės, tačiau dešimtam kadencijai turime

Tą pačią formulę galima gauti naudojant paprastas manipuliacijas su įvesties duomenimis. Šeštą serijos terminą padalinkite iš kito ir gausime

Jei gautą reikšmę padauginame iš šeštojo nario, gauname dešimtą

Taigi tokioms problemoms, greitai naudodami paprastas transformacijas, galite rasti tinkamą sprendimą.

4 pavyzdys. Geometrinė progresija pateikiama pasikartojančiomis formulėmis

Raskite geometrinės progresijos vardiklį ir pirmųjų šešių narių sumą.

Sprendimas:

Pateiktus duomenis užrašykime lygčių sistemos forma

Išreikškite vardiklį, padalydami antrąją lygtį iš pirmosios

Raskime pirmąjį progresijos narį iš pirmosios lygties

Apskaičiuokime šiuos penkis terminus, kad surastume geometrinės progresijos sumą

Pradinis lygis

Geometrinė progresija. Išsamus vadovas su pavyzdžiais (2019 m.)

Skaičių seka

Taigi, atsisėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:

Galite rašyti bet kokius skaičius, o jų gali būti tiek, kiek norite (mūsų atveju jų yra). Kad ir kiek skaičių berašytume, visada galime pasakyti, kuris pirmas, kuris antras ir taip iki paskutinio, tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys:

Skaičių seka yra skaičių rinkinys, kiekvienam iš kurių galima priskirti unikalų numerį.

Pavyzdžiui, mūsų seka:

Priskirtas numeris būdingas tik vienam sekos numeriui. Kitaip tariant, sekoje nėra trijų sekundžių skaičių. Antrasis skaičius (kaip ir antrasis) visada yra tas pats.

Skaičius su skaičiumi vadinamas n-tuoju sekos nariu.

Paprastai visą seką vadiname kokia nors raide (pvz.,), ir kiekvienas šios sekos narys yra ta pati raidė, kurios indeksas yra lygus šio nario skaičiui: .

Mūsų atveju:

Labiausiai paplitę progresijos tipai yra aritmetiniai ir geometriniai. Šioje temoje kalbėsime apie antrąjį tipą - geometrinė progresija.

Kodėl reikalinga geometrinė progresija ir jos istorija?

Net senovėje italų matematikas vienuolis Leonardo iš Pizos (geriau žinomas kaip Fibonacci) sprendė praktinius prekybos poreikius. Vienuolis susidūrė su užduotimi nustatyti, koks yra mažiausias svarmenų skaičius, kuriuo galima sverti gaminį? Fibonačis savo darbuose įrodo, kad tokia svorių sistema yra optimali: Tai viena pirmųjų situacijų, kai žmonėms teko susidurti su geometrine progresija, apie kurią tikriausiai jau girdėjote ir turite bent bendrą supratimą. Kai visiškai suprasite temą, pagalvokite, kodėl tokia sistema yra optimali?

Šiuo metu gyvenimo praktikoje geometrinė progresija pasireiškia investuojant pinigus į banką, kai už praėjusį laikotarpį sąskaitoje sukauptos sumos priskaičiuojamos palūkanos. Kitaip tariant, jei į taupyklę dedate pinigus į terminuotąjį indėlį, tai po metų indėlis padidės pradine suma, t.y. nauja suma bus lygi įnašui, padaugintam iš. Kitais metais ši suma padidės, t.y. tuo metu gauta suma vėl bus padauginta iš ir pan. Panaši situacija aprašyta vadinamųjų skaičiavimo uždaviniuose sudėtines palūkanas- procentas kiekvieną kartą imamas nuo sumos, kuri yra sąskaitoje, atsižvelgiant į ankstesnes palūkanas. Apie šias užduotis pakalbėsime šiek tiek vėliau.

Yra daug daugiau paprastų atvejų, kai taikoma geometrinė progresija. Pavyzdžiui, gripo plitimas: vienas žmogus užkrėtė kitą žmogų, jis savo ruožtu užkrėtė kitą žmogų, taigi antroji užsikrėtimo banga yra žmogus, o jie savo ruožtu užkrėtė kitą... ir taip toliau. .

Beje, finansinė piramidė, ta pati MMM, yra paprastas ir sausas skaičiavimas, pagrįstas geometrinės progresijos savybėmis. Įdomu? Išsiaiškinkime.

Geometrinė progresija.

Tarkime, kad turime skaičių seką:

Iš karto atsakysite, kad tai lengva ir tokios sekos pavadinimas yra aritmetinė progresija su jos terminų skirtumu. Kaip apie tai:

Jei atimsite ankstesnį skaičių iš paskesnio skaičiaus, pamatysite, kad kiekvieną kartą gausite naują skirtumą (ir taip toliau), tačiau seka tikrai egzistuoja ir ją nesunku pastebėti – kiekvienas paskesnis skaičius yra kelis kartus didesnis nei ankstesnis!

Tokio tipo skaičių seka vadinama geometrinė progresija ir yra paskirtas.

Geometrinė progresija () yra skaitinė seka, kurios pirmasis narys skiriasi nuo nulio, o kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniam, padaugintam iš to paties skaičiaus. Šis skaičius vadinamas geometrinės progresijos vardikliu.

Apribojimai, kad pirmasis narys ( ) nėra lygus ir nėra atsitiktiniai. Tarkime, kad jų nėra, o pirmasis narys vis tiek lygus, o q lygus, hmm.. tegul būna, tada išeina:

Sutikite, kad tai nebėra progresas.

Kaip suprantate, gausime tuos pačius rezultatus, jei yra bet koks skaičius, išskyrus nulį, a. Tokiais atvejais tiesiog nebus progresavimo, nes visa skaičių serija bus arba visi nuliai, arba vienas skaičius, o visos likusios yra nuliai.

Dabar pakalbėkime išsamiau apie geometrinės progresijos vardiklį, tai yra, o.

Pakartokime: – tai skaičius kiek kartų keičiasi kiekvienas paskesnis terminas? geometrinė progresija.

Kaip manote, kas tai galėtų būti? Tai tiesa, teigiama ir neigiama, bet ne nulis (apie tai kalbėjome šiek tiek aukščiau).

Tarkime, kad mūsų požiūris yra teigiamas. Tegul mūsų atveju a. Kokia antrojo termino vertė ir? Galite lengvai atsakyti į tai:

tai tiesa. Atitinkamai, jei, tada visi tolesni progresavimo terminai turi tą patį ženklą - jie yra teigiami.

O jei tai neigiama? Pavyzdžiui, a. Kokia antrojo termino vertė ir?

Tai visiškai kitokia istorija

Pabandykite suskaičiuoti šios progresijos sąlygas. Kiek gavai? turiu. Taigi, jei, tada geometrinės progresijos narių ženklai pakaitomis. Tai yra, jei matote progresą su kintamaisiais jos narių ženklais, tada jo vardiklis yra neigiamas. Šios žinios gali padėti išbandyti save sprendžiant problemas šia tema.

Dabar šiek tiek pasitreniruokime: pabandykite nustatyti, kurios skaičių sekos yra geometrinė, o kurios – aritmetinė:

Supratai? Palyginkime savo atsakymus:

• Geometrinė progresija – 3, 6.
• Aritmetinė progresija – 2, 4.
• Tai nėra nei aritmetinė, nei geometrinė progresija – 1, 5, 7.

Grįžkime prie paskutinės progresijos ir pabandykime rasti jos terminą, kaip ir aritmetikoje. Kaip jau spėjote, yra du būdai jį rasti.

Kiekvieną terminą paeiliui padauginame iš.

Taigi aprašytos geometrinės progresijos asis narys yra lygus.

Kaip jau atspėjote, dabar jūs patys sukursite formulę, kuri padės rasti bet kurį geometrinės progresijos narį. O gal jau sukūrėte jį sau, aprašydami, kaip žingsnis po žingsnio rasti narį? Jei taip, patikrinkite savo samprotavimų teisingumą.

Iliustruojame tai pavyzdžiu, kaip rasti šios progresijos d.

Kitaip tariant:

Pats raskite duotosios geometrinės progresijos nario reikšmę.

Ar pavyko? Palyginkime savo atsakymus:

Atkreipkite dėmesį, kad gavote lygiai tokį patį skaičių kaip ir ankstesniame metode, kai padauginome iš kiekvieno ankstesnio geometrinės progresijos nario.
Pabandykime „nuasmeninti“ šią formulę – pateikime ją bendra forma ir gaukime:

Išvestinė formulė tinka visoms reikšmėms - tiek teigiamoms, tiek neigiamoms. Patikrinkite tai patys, apskaičiuodami geometrinės progresijos sąlygas tokiomis sąlygomis: , a.

Ar skaičiavai? Palyginkime rezultatus:

Sutikite, kad progresijos terminą būtų galima rasti taip pat kaip ir terminą, tačiau yra galimybė neteisingai apskaičiuoti. Ir jei jau radome geometrinės progresijos narį, tai kas gali būti paprasčiau, nei naudoti „sutrumpintą“ formulės dalį.

Be galo mažėjanti geometrinė progresija.

Visai neseniai kalbėjome apie tai, kad jis gali būti didesnis arba mažesnis už nulį, tačiau yra specialių verčių, kurioms vadinama geometrinė progresija. be galo mažėja.

Kaip manote, kodėl toks vardas suteiktas?
Pirmiausia užsirašykime geometrinę progresiją, kurią sudaro terminai.
Tarkime, tada:

Matome, kad kiekvienas paskesnis narys yra mažesnis už ankstesnį koeficientą, bet ar bus koks nors skaičius? Iš karto atsakysite – „ne“. Štai kodėl ji be galo mažėja – mažėja ir mažėja, bet niekada netampa nuliu.

Norėdami aiškiai suprasti, kaip tai atrodo vizualiai, pabandykime nubraižyti savo progreso grafiką. Taigi mūsų atveju formulė yra tokia:

Grafikuose esame įpratę braižyti priklausomybę nuo:

Išraiškos esmė nepasikeitė: pirmajame įraše parodėme geometrinės progresijos nario reikšmės priklausomybę nuo eilės skaičiaus, o antrame įraše tiesiog paėmėme geometrinės progresijos nario reikšmę kaip , o eilės numerį nurodė ne kaip, o kaip. Viskas, ką reikia padaryti, yra sukurti grafiką.
Pažiūrėkime, ką gavai. Štai diagrama, kurią sugalvojau:

ar matai? Funkcija mažėja, linkusi į nulį, bet niekada jos nekerta, todėl be galo mažėja. Pažymėkime savo taškus grafike ir tuo pačiu ką koordinatė ir reiškia:

Pabandykite schematiškai pavaizduoti geometrinės progresijos grafiką, jei jo pirmasis narys taip pat lygus. Išanalizuokite, kuo skiriasi mūsų ankstesnė diagrama?

Ar susitvarkei? Štai diagrama, kurią sugalvojau:

Dabar, kai visiškai supratote geometrinės progresijos temos pagrindus: žinote, kas tai yra, žinote, kaip rasti jos terminą, taip pat žinote, kas yra be galo mažėjanti geometrinė progresija, pereikime prie pagrindinės jos savybės.

Geometrinės progresijos savybė.

Ar prisimenate aritmetinės progresijos terminų savybę? Taip, taip, kaip rasti tam tikro progresijos skaičiaus reikšmę, kai yra ankstesnės ir vėlesnės šios progresijos sąlygų reikšmės. Ar prisimeni? Štai jis:

Dabar susiduriame su lygiai tuo pačiu klausimu dėl geometrinės progresijos sąlygų. Norėdami išvesti tokią formulę, pradėkime piešti ir samprotauti. Pamatysi, tai labai lengva, o jei pamirši, galėsi pats išsisukti.

Paimkime dar vieną paprastą geometrinę progresiją, kurioje žinome ir. Kaip rasti? Su aritmetine progresija lengva ir paprasta, bet kaip čia? Tiesą sakant, geometrijoje taip pat nėra nieko sudėtingo – tereikia kiekvieną mums pateiktą reikšmę užrašyti pagal formulę.

Galite paklausti, ką dabar turėtume su tuo daryti? Taip, labai paprasta. Pirmiausia pavaizduokime šias formules paveikslėlyje ir pabandykime su jomis atlikti įvairias manipuliacijas, kad gautume vertę.

Atsiribokime nuo mums pateiktų skaičių, susitelkime tik į jų išraišką formule. Turime rasti oranžine spalva paryškintą reikšmę, žinant šalia esančius terminus. Pabandykime su jais atlikti įvairius veiksmus, kurių pasekoje galime gauti.

Papildymas.
Pabandykime pridėti dvi išraiškas ir gausime:

Iš šios išraiškos, kaip matote, jokiu būdu negalime išreikšti, todėl bandysime kitą variantą - atimtį.

Atimtis.

Kaip matote, mes to irgi negalime išreikšti, todėl pabandykime šias išraiškas padauginti vieną iš kitos.

Daugyba.

Dabar atidžiai pažiūrėkite, ką turime, padaugindami mums pateiktos geometrinės progresijos terminus, palyginti su tuo, ką reikia rasti:

Atspėk apie ką aš kalbu? Teisingai, norėdami rasti, turime paimti kvadratinę šaknį iš geometrinės progresijos skaičių, esančių šalia pageidaujamo skaičiaus, padaugintų vieną iš kito:

Štai jums. Jūs pats išvedėte geometrinės progresijos savybę. Pabandykite parašyti šią formulę bendra forma. Ar pavyko?

Pamiršote sąlygą? Pagalvokite, kodėl tai svarbu, pavyzdžiui, pabandykite tai apskaičiuoti patys. Kas bus šiuo atveju? Teisingai, visiška nesąmonė, nes formulė atrodo taip:

Todėl nepamirškite šio apribojimo.

Dabar paskaičiuokime, kam jis lygus

Teisingas atsakymas yra! Jei skaičiuodami nepamiršote antros galimos reikšmės, tada esate puikūs ir galite iškart pereiti prie treniruočių, o jei pamiršote, perskaitykite, kas aptarta žemiau ir atkreipkite dėmesį, kodėl abi šaknys turi būti užrašytos atsakyti.

Nubraižykime abi mūsų geometrines progresijas – vieną su reikšme, o kitą su reikšme ir patikrinkime, ar abi turi teisę egzistuoti:

Norint patikrinti, ar tokia geometrinė progresija egzistuoja, ar ne, reikia išsiaiškinti, ar visi jos pateikti terminai yra vienodi? Apskaičiuokite q pirmajam ir antrajam atvejui.

Sužinok, kodėl turime parašyti du atsakymus? Nes ieškomo termino ženklas priklauso nuo to, ar jis teigiamas, ar neigiamas! Ir kadangi mes nežinome, kas tai yra, turime rašyti abu atsakymus su pliusu ir minusu.

Dabar, kai įsisavinote pagrindinius dalykus ir išvedėte geometrinės progresijos savybės formulę, suraskite, žinokite ir

Palyginkite savo atsakymus su teisingais:

Ką manote, o jei mums būtų pateiktos ne geometrinės progresijos terminų reikšmės, esančios šalia norimo skaičiaus, o vienodai nutolusios nuo jo. Pavyzdžiui, mums reikia rasti, ir duota ir. Ar šiuo atveju galime naudoti formulę, kurią išvedėme? Pabandykite patvirtinti arba paneigti šią galimybę tuo pačiu būdu, apibūdindami, iš ko susideda kiekviena reikšmė, kaip ir tada, kai iš pradžių išvedėte formulę, at.
ką gavai?

Dabar dar kartą atidžiai pažiūrėkite.
ir atitinkamai:

Iš to galime daryti išvadą, kad formulė veikia ne tik su kaimynais su norimais geometrinės progresijos nariais, bet ir su vienodu atstumu iš ko nariai ieško.

Taigi mūsų pradinė formulė yra tokia:

Tai yra, jei pirmuoju atveju mes taip sakėme, dabar sakome, kad jis gali būti lygus bet kuriam natūraliam skaičiui, kuris yra mažesnis. Svarbiausia, kad jis būtų vienodas abiem duotiesiems skaičiams.

Praktikuokite su konkrečiais pavyzdžiais, tik būkite labai atsargūs!

1. , . Rasti.
2. , . Rasti.
3. , . Rasti.

Nusprendė? Tikiuosi, buvote labai dėmesingi ir pastebėjote nedidelį laimikį.

Palyginkime rezultatus.

Pirmaisiais dviem atvejais ramiai taikome aukščiau pateiktą formulę ir gauname šias reikšmes:

Trečiuoju atveju, kai atidžiai išnagrinėjame mums duotų numerių eilės numerius, suprantame, kad jie nėra vienodai nutolę nuo mūsų ieškomo numerio: tai yra ankstesnis numeris, bet yra pašalintas tam tikroje vietoje, todėl formulės pritaikyti neįmanoma.

Kaip tai išspręsti? Iš tikrųjų tai nėra taip sunku, kaip atrodo! Užsirašykime, iš ko susideda kiekvienas mums duotas skaičius ir skaičius, kurio ieškome.

Taigi mes turime ir. Pažiūrėkime, ką galime su jais padaryti? Siūlau padalinti iš. Mes gauname:

Mes pakeičiame savo duomenis į formulę:

Kitas žingsnis, kurį galime rasti, yra - tam turime paimti gauto skaičiaus kubo šaknį.

Dabar dar kartą pažiūrėkime, ką turime. Mes jį turime, bet turime jį rasti, o jis, savo ruožtu, yra lygus:

Radome visus skaičiavimui reikalingus duomenis. Pakeiskite formulę:

Mūsų atsakymas: .

Pabandykite patys išspręsti kitą panašią problemą:
Duota: ,
Rasti:

Kiek gavai? Aš turiu -.

Kaip matote, iš esmės jums reikia prisimink tik vieną formulę- . Visa kita galite bet kada be jokių sunkumų atsiimti patys. Norėdami tai padaryti, tiesiog užrašykite paprasčiausią geometrinę progresiją ant popieriaus lapo ir pagal aukščiau aprašytą formulę užrašykite, kam yra lygus kiekvienas jos skaičius.

Geometrinės progresijos narių suma.

Dabar pažvelkime į formules, kurios leidžia greitai apskaičiuoti geometrinės progresijos terminų sumą tam tikrame intervale:

Norėdami gauti baigtinės geometrinės progresijos narių sumos formulę, visas aukščiau pateiktos lygties dalis padauginame iš. Mes gauname:

Atidžiai pažiūrėkite: ką bendro turi paskutinės dvi formulės? Tai tiesa, pavyzdžiui, bendrieji nariai ir pan., išskyrus pirmąjį ir paskutinįjį narį. Pabandykime atimti 1-ąjį iš 2-osios lygties. ką gavai?

Dabar formule išreikškite geometrinės progresijos terminą ir gautą išraišką pakeiskite paskutine formule:

Grupuokite išraišką. Turėtumėte gauti:

Viskas, ką reikia padaryti, tai išreikšti:

Atitinkamai, šiuo atveju.

o jeigu? Kokia formulė tada veikia? Įsivaizduokite geometrinę progresiją ties. kokia ji? Identiškų skaičių serija yra teisinga, todėl formulė atrodys taip:

Yra daug legendų apie aritmetinę ir geometrinę progresiją. Viena jų – legenda apie Setą, šachmatų kūrėją.

Daugelis žmonių žino, kad šachmatų žaidimas buvo išrastas Indijoje. Kai induistų karalius ją sutiko, jis džiaugėsi jos sąmoju ir galimų joje pozicijų įvairove. Sužinojęs, kad jį sugalvojo vienas iš jo pavaldinių, karalius nusprendė jam asmeniškai atlyginti. Jis pasikvietė išradėją pas save ir liepė jo paprašyti visko, ko tik nori, pažadėdamas išpildyti net įmantriausią norą.

Seta paprašė laiko pagalvoti, o kai kitą dieną Seta pasirodė karaliui, jis nustebino karalių precedento neturinčiu prašymo kuklumu. Prašė duoti kviečio grūdą už pirmą šachmatų lentos langelį, kviečio grūdą už antrą, kviečio grūdą už trečią, ketvirtą ir t.t.

Karalius supyko ir išvijo Setą, sakydamas, kad tarno prašymas nevertas karaliaus dosnumo, bet pažadėjo, kad tarnas gaus savo grūdus už visus lentos kvadratus.

O dabar klausimas: naudodamiesi geometrinės progresijos narių sumos formule apskaičiuokite, kiek grūdelių turėtų gauti Setas?

Pradėkime samprotauti. Kadangi pagal sąlygą Setas prašė kviečio grūdo pirmam šachmatų lentos kvadratui, antram, trečiam, ketvirtam ir t.t., tai matome, kad problema susijusi su geometrine progresija. Kas šiuo atveju prilygsta?
Teisingai.

Iš viso šachmatų lentos kvadratų. Atitinkamai,. Turime visus duomenis, belieka įkišti į formulę ir paskaičiuoti.

Norėdami įsivaizduoti bent apytiksliai tam tikro skaičiaus „mastą“, transformuojame naudodami laipsnio savybes:

Žinoma, jei norite, galite paimti skaičiuotuvą ir paskaičiuoti, kokiu skaičiumi atsidursite, o jei ne, turėsite pritarti mano žodžiui: galutinė išraiškos reikšmė bus.
Tai yra:

kvintilijonas kvadrilijonas trilijonas milijardų milijonų tūkstančių tūkstančių.

Phew) Jei norite įsivaizduoti šio skaičiaus milžinišką dydį, įvertinkite, kokio dydžio tvartas būtų reikalingas visam grūdų kiekiui.
Jei tvartas yra m aukščio ir m pločio, jo ilgis turėtų tęstis km, t.y. du kartus toliau nei nuo Žemės iki Saulės.

Jei karalius būtų stiprus matematikoje, jis būtų galėjęs pakviesti patį mokslininką skaičiuoti grūdus, nes norint suskaičiuoti milijoną grūdų, jam reikėtų bent dienos nenuilstamo skaičiavimo, o turint omenyje, kad reikia skaičiuoti kvintilijonus, grūdus turėtų būti skaičiuojamas visą gyvenimą.

Dabar išspręskime paprastą uždavinį, susijusį su geometrinės progresijos narių suma.
5A klasės mokinys Vasya susirgo gripu, bet toliau lanko mokyklą. Kasdien Vasja užkrečia du žmones, kurie savo ruožtu užkrečia dar du žmones ir pan. Klasėje yra tik žmonės. Po kiek dienų visa klasė susirgs gripu?

Taigi pirmasis geometrinės progresijos terminas yra Vasya, tai yra žmogus. Geometrinės progresijos terminas yra du žmonės, kuriuos jis užkrėtė pirmąją atvykimo dieną. Bendra pažangos terminų suma lygi 5A mokinių skaičiui. Atitinkamai, mes kalbame apie progresą, kuriame:

Pakeiskime savo duomenis į geometrinės progresijos terminų sumos formulę:

Visa klasė susirgs per kelias dienas. Netikite formulėmis ir skaičiais? Pabandykite patys pavaizduoti mokinių „užsikrėtimą“. Ar pavyko? Pažiūrėk, kaip man atrodo:

Patys paskaičiuokite, kiek dienų mokiniai susirgtų gripu, jei kiekvienas užkrėstų žmogų, o klasėje būtų tik vienas žmogus.

Kokią vertę gavai? Paaiškėjo, kad po paros visi pradėjo sirgti.

Kaip matote, tokia užduotis ir jai skirtas piešinys primena piramidę, į kurią kiekviena sekanti „atveda“ naujų žmonių. Tačiau anksčiau ar vėliau ateina momentas, kai pastarasis negali nieko patraukti. Mūsų atveju, jei įsivaizduojame, kad klasė yra izoliuota, asmuo iš uždaro grandinę (). Taigi, jei asmuo būtų įtrauktas į finansinę piramidę, kurioje pinigai buvo duodami, jei atsineštumėte dar du dalyvius, tada asmuo (ar apskritai) niekam neatsivestų, atitinkamai prarastų viską, ką investavo į šią finansinę aferą.

Viskas, kas buvo pasakyta aukščiau, reiškia mažėjančią arba didėjančią geometrinę progresiją, tačiau, kaip prisimenate, turime specialų tipą – be galo mažėjančią geometrinę progresiją. Kaip apskaičiuoti jos narių sumą? Ir kodėl tokio tipo progresas turi tam tikrų savybių? Išsiaiškinkime tai kartu.

Taigi, pirmiausia, dar kartą pažvelkime į šį be galo mažėjančios geometrinės progresijos brėžinį iš mūsų pavyzdžio:

Dabar pažvelkime į geometrinės progresijos sumos formulę, gautą šiek tiek anksčiau:
arba

Ko mes siekiame? Tiesa, diagrama rodo, kad ji linkusi į nulį. Tai yra, at, bus beveik lygus, atitinkamai, skaičiuodami išraišką gausime beveik. Šiuo atžvilgiu manome, kad skaičiuojant be galo mažėjančios geometrinės progresijos sumą, į šį skliaustą galima nepaisyti, nes jis bus lygus.

- formulė yra be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių suma.

SVARBU! Be galo mažėjančios geometrinės progresijos terminų sumos formulę naudojame tik tuo atveju, jei sąlyga aiškiai nurodo, kad reikia rasti sumą begalinis narių skaičius.

Jei nurodytas konkretus skaičius n, tai naudojame formulę n narių sumai, net jei arba.

Dabar praktikuokime.

1. Raskite pirmųjų geometrinės progresijos narių sumą su ir.
2. Raskite be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių sumą su ir.

Tikiuosi, buvote labai atsargūs. Palyginkime savo atsakymus:

Dabar jūs žinote viską apie geometrinę progresiją ir laikas pereiti nuo teorijos prie praktikos. Dažniausios geometrinės progresijos problemos, su kuriomis susiduriama per egzaminą, yra sudėtingų palūkanų skaičiavimo problemos. Tai yra tie, apie kuriuos mes kalbėsime.

Sudėtinių palūkanų skaičiavimo problemos.

Tikriausiai esate girdėję apie vadinamąją sudėtinių palūkanų formulę. Ar supranti, ką tai reiškia? Jei ne, išsiaiškinkime, nes supratę patį procesą iš karto suprasite, ką geometrinė progresija turi su juo.

Visi einame į banką ir žinome, kad indėlių sąlygos yra skirtingos: tai ir terminas, ir papildomos paslaugos, ir palūkanos su dviem skirtingais jų apskaičiavimo būdais – paprastu ir sudėtingu.

SU paprastas palūkanas viskas daugmaž aišku: palūkanos skaičiuojamos vieną kartą pasibaigus indėlio terminui. Tai yra, jei sakysime, kad įnešame 100 rublių metams, tai jie bus įskaityti tik metų pabaigoje. Atitinkamai, iki indėlio pabaigos gausime rublių.

Sudėtinės palūkanos- tai yra variantas, kuriame jis atsiranda palūkanų kapitalizacija, t.y. jų pridėjimas prie indėlio sumos ir vėlesnis pajamų skaičiavimas ne nuo pradinės, o nuo sukauptos indėlio sumos. Didžiosios raidės rašomos ne nuolat, o tam tikru dažnumu. Paprastai tokie laikotarpiai yra vienodi ir dažniausiai bankai naudoja mėnesį, ketvirtį ar metus.

Tarkime, kad kasmet įnešame tuos pačius rublius, bet kas mėnesį kapitalizuojant indėlį. Ką mes darome?

Ar tu čia viską supranti? Jei ne, išsiaiškinkime tai žingsnis po žingsnio.

Į banką atnešėme rublių. Iki mėnesio pabaigos sąskaitoje turėtų būti suma, kurią sudaro mūsų rubliai ir jų palūkanos, tai yra:

Sutinku?

Mes galime jį išimti iš skliaustų ir tada gauname:

Sutikite, ši formulė jau panašesnė į tai, ką rašėme pradžioje. Belieka išsiaiškinti procentus

Problemos pareiškime mums pasakyta apie metinius tarifus. Kaip žinote, mes nedauginame iš - konvertuojame procentus į dešimtaines trupmenas, tai yra:

Tiesa? Dabar galite paklausti, iš kur atsirado šis skaičius? Labai paprasta!
Kartoju: problemos teiginys sako apie METINIS susikaupusių palūkanų MĖNESIO. Kaip žinote, per metus mėnesių, atitinkamai, bankas iš mūsų priskaičiuos dalį metinių palūkanų per mėnesį:

Suprato? Dabar pabandykite parašyti, kaip atrodytų ši formulės dalis, jei sakyčiau, kad palūkanos skaičiuojamos kasdien.
Ar susitvarkei? Palyginkime rezultatus:

Gerai padaryta! Grįžkime prie savo užduoties: parašykite, kiek bus įskaityta į mūsų sąskaitą antrą mėnesį, atsižvelgiant į tai, kad nuo sukauptos indėlio sumos skaičiuojamos palūkanos.
Štai ką aš gavau:

Arba, kitaip tariant:

Manau, kad jūs jau pastebėjote modelį ir matėte geometrinę progresiją visame tame. Parašykite, kam bus lygus jo narys, arba, kitaip tariant, kokią pinigų sumą gausime mėnesio pabaigoje.
Padarė? Patikrinkim!

Kaip matote, metams įdėjus pinigus į banką su paprastomis palūkanomis, gausite rublius, o jei su sudėtinėmis – gausite rublius. Nauda nedidelė, bet tai atsitinka tik per metus, tačiau ilgesniam laikotarpiui kapitalizacija yra daug pelningesnė:

Pažvelkime į kitą problemą, susijusią su sudėtinėmis palūkanomis. Po to, ką išsiaiškinsi, tau bus elementaru. Taigi, užduotis:

„Zvezda“ įmonė pradėjo investuoti į pramonę 2000 m., turėdama kapitalą doleriais. Nuo 2001 metų kasmet gaudavo pelną, prilygstantį praėjusių metų kapitalui. Kiek pelno Zvezda gaus 2003 m. pabaigoje, jei pelnas nebus išimtas iš apyvartos?

Įmonės „Zvezda“ kapitalas 2000 m.
- Zvezda bendrovės kapitalas 2001 m.
- Zvezda bendrovės kapitalas 2002 m.
- Zvezda bendrovės kapitalas 2003 m.

Arba galime trumpai parašyti:

Mūsų atveju:

2000, 2001, 2002 ir 2003 m.

Atitinkamai:
rublių
Atkreipkite dėmesį, kad šioje užduotyje mes neturime padalijimo nei pagal, nei pagal, nes procentas pateikiamas METAIS ir skaičiuojamas KASmet. Tai yra, skaitydami sudėtinių palūkanų problemą, atkreipkite dėmesį į tai, koks procentas pateikiamas ir kokiu laikotarpiu jis skaičiuojamas, ir tik tada pereikite prie skaičiavimų.
Dabar jūs žinote viską apie geometrinę progresiją.

Treniruotės.

1. Raskite geometrinės progresijos terminą, jei žinoma, kad ir
2. Raskite pirmųjų geometrinės progresijos narių sumą, jei žinoma, kad ir
3. MDM Capital bendrovė pradėjo investuoti į pramonę 2003 m., turėdama kapitalą doleriais. Nuo 2004 metų kasmet gaudavo pelną, prilygstantį praėjusių metų kapitalui. MSK Cash Flows bendrovė pradėjo investuoti į pramonę 2005 m. už 10 000 USD, o 2006 m. pradėjo nešti pelną. Kiek dolerių vienos įmonės kapitalas didesnis už kitos 2007 m. pabaigoje, jei pelnas nebūtų išimtas iš apyvartos?

Atsakymai:

1. Kadangi problemos teiginyje nesakoma, kad progresija yra begalinė, o reikia rasti konkretaus jos narių skaičiaus sumą, skaičiavimas atliekamas pagal formulę:
2. 
   MDM kapitalo įmonė:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007 m.
   - padidėja 100%, tai yra 2 kartus.
   Atitinkamai:
   rublių
   MSK pinigų srautų įmonė:

   2005, 2006, 2007 m.
   - padidėja, tai yra, kartus.
   Atitinkamai:
   rublių
   rublių

Apibendrinkime.

1) Geometrinė progresija ( ) yra skaitinė seka, kurios pirmasis narys skiriasi nuo nulio, o kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus. Šis skaičius vadinamas geometrinės progresijos vardikliu.

2) Geometrinės progresijos narių lygtis yra .

3) gali turėti bet kokias reikšmes, išskyrus ir.

• jei, tai visi tolesni progresavimo terminai turi tą patį ženklą – jie yra teigiami;
• jei, tai visi tolesni progresavimo terminai alternatyvūs ženklai;
• kai – progresija vadinama be galo mažėjančia.

4) , su - geometrinės progresijos savybė (gretimi terminai)

arba
, esant (vienodo atstumo terminai)

Kai surasi, nepamiršk turėtų būti du atsakymai.

Pavyzdžiui,

5) Geometrinės progresijos narių suma apskaičiuojama pagal formulę:
arba

Jei progresas be galo mažėja, tada:
arba

SVARBU! Be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių sumos formulę naudojame tik tuo atveju, jei sąlyga aiškiai nurodo, kad reikia rasti begalinio skaičiaus narių sumą.

6) Sudėtinių palūkanų problemos taip pat apskaičiuojamos naudojant geometrinės progresijos n-ojo nario formulę, jei lėšos nebuvo išimtos iš apyvartos:

GEOMETRINĖ PROGRESIJA. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Geometrinė progresija( ) yra skaitinė seka, kurios pirmasis narys skiriasi nuo nulio, o kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus. Šis numeris vadinamas geometrinės progresijos vardiklis.

Geometrinės progresijos vardiklis gali būti bet kokia reikšmė, išskyrus ir.

• Jei, tada visi tolesni progresavimo terminai turi tą patį ženklą - jie yra teigiami;
• jei, tada visi paskesni progresavimo nariai keičia ženklus;
• kai – progresija vadinama be galo mažėjančia.

Geometrinės progresijos narių lygtis - .

Geometrinės progresijos narių suma apskaičiuojamas pagal formulę:
arba

Matematika yra kasžmonės valdo gamtą ir save.

Sovietų matematikas, akademikas A.N. Kolmogorovas

Geometrinė progresija.

Be aritmetinės progresijos problemų, matematikos stojamuosiuose egzaminuose taip pat dažnai pasitaiko problemų, susijusių su geometrinės progresijos samprata. Norint sėkmingai išspręsti tokias problemas, reikia išmanyti geometrinių progresijų savybes ir turėti gerus jo naudojimo įgūdžius.

Šis straipsnis skirtas pagrindinių geometrinės progresijos savybių pristatymui. Čia taip pat pateikiami tipinių problemų sprendimo pavyzdžiai., pasiskolintas iš matematikos stojamųjų egzaminų užduočių.

Pirmiausia atkreipkime dėmesį į pagrindines geometrinės progresijos savybes ir prisiminkime svarbiausias formules ir teiginius, susijusi su šia sąvoka.

Apibrėžimas. Skaičių seka vadinama geometrine progresija, jei kiekvienas skaičius, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus. Skaičius vadinamas geometrinės progresijos vardikliu.

Geometrinei progresijaiformulės galioja

, (1)

Kur. Formulė (1) vadinama geometrinės progresijos bendrojo nario formule, o (2) formulė parodo pagrindinę geometrinės progresijos savybę: kiekvienas progresijos narys sutampa su gretimų narių ir geometriniu vidurkiu.

Pastaba, kad kaip tik dėl šios savybės nagrinėjama progresija vadinama „geometrine“.

Pirmiau pateiktos (1) ir (2) formulės apibendrinamos taip:

, (3)

Norėdami apskaičiuoti sumą pirma geometrinės progresijos terminaitaikoma formulė

Jei pažymime , tada

Kur. Kadangi , (6) formulė yra (5) formulės apibendrinimas.

Tuo atveju, kai ir geometrinė progresijabe galo mažėja. Norėdami apskaičiuoti sumąvisų be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių naudojama formulė

. (7)

Pavyzdžiui, naudodami (7) formulę galime parodyti, Ką

Kur. Šios lygybės gaunamos iš (7) formulės su sąlyga, kad , (pirmoji lygybė) ir , (antroji lygybė).

Teorema. Jei, tada

Įrodymas. Jei, tada

Teorema įrodyta.

Pereikime prie problemų sprendimo pavyzdžių tema „Geometrinė progresija“.

1 pavyzdys. Atsižvelgiant: , ir . Rasti.

Sprendimas. Jei pritaikysime (5) formulę, tai

Atsakymas:.

2 pavyzdys. Tegul būna. Rasti.

Sprendimas. Kadangi ir , naudojame formules (5), (6) ir gauname lygčių sistemą

Jei antroji sistemos (9) lygtis dalinama iš pirmosios, tada arba . Iš to išplaukia, kad . Panagrinėkime du atvejus.

1. Jei tada iš pirmosios sistemos (9) lygties turime.

2. Jei , tada .

3 pavyzdys. Leiskite , ir . Rasti.

Sprendimas. Iš (2) formulės išplaukia, kad arba . Nuo tada arba .

Pagal būklę. Tačiau todėl. Nuo ir tada čia turime lygčių sistemą

Jei antroji sistemos lygtis yra padalinta iš pirmosios, tada arba .

Kadangi lygtis turi unikalią tinkamą šaknį. Šiuo atveju tai išplaukia iš pirmosios sistemos lygties.

Atsižvelgdami į (7) formulę, gauname.

Atsakymas:.

4 pavyzdys. Duota: ir . Rasti.

Sprendimas. Nuo tada.

Nuo tada arba

Pagal (2) formulę turime . Šiuo atžvilgiu iš lygybės (10) gauname arba .

Tačiau pagal sąlygą, todėl.

5 pavyzdys. Yra žinoma, kad. Rasti.

Sprendimas. Pagal teoremą turime dvi lygybes

Nuo tada arba . Nes tada.

Atsakymas:.

6 pavyzdys. Atsižvelgiant: ir . Rasti.

Sprendimas. Atsižvelgdami į (5) formulę, gauname

Nuo tada. Nuo , ir tada .

7 pavyzdys. Tegul būna. Rasti.

Sprendimas. Pagal (1) formulę galime rašyti

Todėl mes turime arba . Yra žinoma, kad ir , todėl ir .

Atsakymas:.

8 pavyzdys. Raskite begalinės mažėjančios geometrinės progresijos vardiklį, jei

Ir .

Sprendimas. Iš (7) formulės išplaukia Ir . Iš čia ir iš uždavinio sąlygų gauname lygčių sistemą

Jei pirmoji sistemos lygtis yra kvadratinė, o tada gautą lygtį padalinkite iš antrosios lygties, tada gauname

Arba .

Atsakymas:.

9 pavyzdys. Raskite visas reikšmes, kurių seka , , yra geometrinė progresija.

Sprendimas. Tegul , ir . Pagal (2) formulę, kuri apibrėžia pagrindinę geometrinės progresijos savybę, galime parašyti arba .

Iš čia gauname kvadratinę lygtį, kurių šaknys yra Ir .

Patikrinkime: jei, tada , ir ;

jei , tada ir . Pirmuoju atveju turime

ir , o antrajame – ir .

Atsakymas: ,.10 pavyzdys.

, (11)

Išspręskite lygtį

kur ir.

Iš (7) formulės išplaukia, Ką Sprendimas. Kairėje (11) lygties pusėje yra begalinės mažėjančios geometrinės progresijos suma, kurioje ir , Atsižvelgiant į: ir .. Šiuo atžvilgiu (11) lygtis įgauna formą arba . Tinkama šaknis

Atsakymas:.

kvadratinė lygtis yra 11 pavyzdys. Pteigiamų skaičių seka sudaro aritmetinę progresiją , A– geometrinė progresija

Sprendimas., ir čia. Rasti. Nes aritmetinė seka , Tai(pagrindinė aritmetinės progresijos savybė). Kadangi , tada arba . Iš to išplaukia,kad geometrinė progresija turi formą. Pagal (2) formulę

, tada mes tai užrašome. Nuo ir tada. Šiuo atveju išraiška įgauna formą arba . Pagal būklę,taigi iš lygties. gauname unikalų nagrinėjamos problemos sprendimą

Atsakymas:.

, t.y. . 12 pavyzdys.

. (12)

Sprendimas. Apskaičiuokite sumą

Padauginkime abi lygybės (12) puses iš 5 ir gaukime aritmetinė seka

Jei iš gautos išraiškos atimsime (12).

arba .

Atsakymas:.

Norėdami apskaičiuoti, reikšmes pakeičiame formule (7) ir gauname . Nuo tada., Čia pateikti problemų sprendimo pavyzdžiai pravers stojantiesiems ruošiantis stojamiesiems egzaminams. Gilesniam problemų sprendimo metodų tyrimui, susijusi su geometrine progresija

1. Matematikos uždavinių rinkinys stojantiesiems į kolegijas / Red. M.I. Scanavi. – M.: Mir and Education, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematika aukštųjų mokyklų studentams: papildomos mokyklos programos dalys. – M.: Lenandas / URSS, 2014. – 216 p.

3. Medynsky M.M. Pilnas elementarios matematikos kursas uždaviniuose ir pratybose. 2 knyga: skaičių sekos ir progresas. – M.: Editus, 2015. – 208 p.

Vis dar turite klausimų?

Norėdami gauti pagalbos iš dėstytojo, užsiregistruokite.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

Instrukcijos

10, 30, 90, 270...

Turite rasti geometrinės progresijos vardiklį.
Sprendimas:

1 variantas. Paimkime savavališką progresijos narį (pavyzdžiui, 90) ir padalinkime jį iš ankstesnio (30): 90/30=3.

Jei žinoma kelių geometrinės progresijos narių suma arba visų mažėjančios geometrinės progresijos narių suma, tada progresijos vardikliui rasti naudokite atitinkamas formules:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), kur Sn yra pirmųjų n geometrinės progresijos narių suma ir
S = b1/(1-q), kur S yra be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma (visų progresijos narių, kurių vardiklis mažesnis už vieną, suma).
Pavyzdys.

Mažėjančios geometrinės progresijos pirmasis narys lygus vienetui, o visų jos narių suma lygi dviem.

Būtina nustatyti šios progresijos vardiklį.
Sprendimas:

Pakeiskite duomenis iš uždavinio į formulę. Tai paaiškės:
2=1/(1-q), iš kur – q=1/2.

Progresija yra skaičių seka. Geometrinėje progresijoje kiekvienas paskesnis narys gaunamas padauginus ankstesnįjį iš tam tikro skaičiaus q, vadinamo progresijos vardikliu.

Instrukcijos

Jei žinomi du gretimi geometriniai terminai b(n+1) ir b(n), norint gauti vardiklį, skaičių su didesniu reikia padalyti iš prieš jį esančio: q=b(n+1)/b (n). Tai išplaukia iš progresijos apibrėžimo ir jo vardiklio. Svarbi sąlyga yra ta, kad progresijos pirmasis narys ir vardiklis nėra lygūs nuliui, kitaip jis laikomas neapibrėžtu.

Taigi tarp progresijos narių nustatomi tokie ryšiai: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Naudojant formulę b(n)=b1 q^(n-1), galima apskaičiuoti bet kurį geometrinės progresijos narį, kuriame žinomas vardiklis q ir terminas b1. Be to, kiekviena progresija pagal modulį yra lygi gretimų narių vidurkiui: |b(n)|=√, kur progresija gavo savo .

Geometrinės progresijos analogas yra paprasčiausia eksponentinė funkcija y=a^x, kur x – eksponentas, a – tam tikras skaičius. Šiuo atveju progresijos vardiklis sutampa su pirmuoju nariu ir yra lygus skaičiui a. Funkcijos y reikšmė gali būti suprantama kaip n-asis progresijos narys, jei argumentas x laikomas natūraliuoju skaičiumi n (skaitiklis).

Egzistuoja geometrinės progresijos pirmųjų n narių sumai: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Ši formulė galioja q≠1. Jei q=1, tai pirmųjų n narių suma apskaičiuojama pagal formulę S(n)=n b1. Beje, progresija bus vadinama didėjančia, kai q yra didesnis už vienetą ir b1 yra teigiamas. Jei progresijos vardiklis absoliučia verte neviršija vieneto, progresija bus vadinama mažėjančia.

Ypatingas geometrinės progresijos atvejis yra be galo mažėjanti geometrinė progresija (be galo mažėjanti geometrinė progresija). Faktas yra tas, kad mažėjančios geometrinės progresijos sąlygos vėl ir vėl mažės, bet niekada nepasieks nulio. Nepaisant to, galima rasti visų tokios progresijos terminų sumą. Jis nustatomas pagal formulę S=b1/(1-q). Bendras terminų skaičius n yra begalinis.

Norėdami įsivaizduoti, kaip galite pridėti begalinį skaičių skaičių, negaudami begalybės, iškepkite pyragą. Nupjaukite pusę jo. Tada nupjaukite 1/2 pusę ir pan. Dalys, kurias gausite, yra ne kas kita, kaip be galo mažėjančios geometrinės progresijos, kurios vardiklis yra 1/2, nariai. Jei sudėsite visus šiuos gabalus, gausite originalų pyragą.

Geometrijos problemos yra ypatingas pratimų tipas, reikalaujantis erdvinio mąstymo. Jei negalite išspręsti geometrijos užduotis, pabandykite laikytis toliau pateiktų taisyklių.

Instrukcijos

Labai atidžiai perskaitykite užduoties sąlygas, jei ko nors neprisimenate ar nesuprantate, perskaitykite dar kartą.

Pabandykite nustatyti, kokio tipo geometrinės problemos tai yra, pavyzdžiui: skaičiavimo uždaviniai, kai reikia išsiaiškinti kokią nors reikšmę, problemos, susijusios su , reikalaujančios loginės samprotavimo grandinės, problemos, susijusios su konstravimu naudojant kompasą ir liniuotę. Daugiau mišraus tipo užduočių. Kai išsiaiškinsite problemos tipą, pabandykite mąstyti logiškai.

Taikykite reikiamą teoremą duotai užduočiai, bet jei abejojate arba visai nėra pasirinkimų, pabandykite prisiminti teoriją, kurią studijavote atitinkama tema.

Taip pat užrašykite problemos sprendimą juodraščio formoje. Pabandykite naudoti žinomus metodus, kad patikrintumėte savo sprendimo teisingumą.

Atidžiai užpildykite problemos sprendimą savo sąsiuvinyje, neištrindami ir neperbraukdami, o svarbiausia – gali prireikti laiko ir pastangų išspręsti pirmąsias geometrines užduotis. Tačiau kai tik įvaldysite šį procesą, pradėsite spustelėti tokias užduotis kaip riešutai ir tuo mėgautis!

Geometrinė progresija yra tokia skaičių seka b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n), kad b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Kitaip tariant, kiekvienas progresijos narys gaunamas iš ankstesnio, padauginus jį iš kokio nors progresijos q vardiklio, kuris nėra nulis.

Instrukcijos

Progresavimo problemos dažniausiai sprendžiamos sudarant ir po to sekant sistemą, atsižvelgiant į pirmąjį progresijos narį b1 ir progresijos vardiklį q. Norint sukurti lygtis, naudinga atsiminti kai kurias formules.

Kaip išreikšti n-ąjį progresijos narį per pirmąjį progresijos narį ir progresijos vardiklį: b(n)=b1*q^(n-1).

Atskirai panagrinėkime atvejį |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии