Kūnas yra ramybės būsenoje (arba juda tolygiai ir tiesia linija), jei visų jį veikiančių jėgų vektorinė suma lygi nuliui. Jie sako, kad jėgos subalansuoja viena kitą. Kai susiduriame su tam tikros geometrinės formos kūnu, skaičiuojant gaunamąją jėgą, visos jėgos gali būti taikomos kūno masės centrui.
Kūnų pusiausvyros sąlyga
Kad kūnas, kuris nesisuka, būtų pusiausvyroje, būtina, kad visų jį veikiančių jėgų rezultantas būtų lygus nuliui.
F → = F 1 → + F 2 → + . . + F n → = 0 .
Aukščiau pateiktame paveikslėlyje parodyta standaus kūno pusiausvyra. Blokas yra pusiausvyros būsenoje, veikiamas trijų jį veikiančių jėgų. Jėgų F 1 → ir F 2 → veikimo linijos susikerta taške O. Gravitacijos taikymo taškas yra kūno masės centras C. Šie taškai yra toje pačioje tiesėje, o skaičiuojant atstojamąją jėgą F 1 →, F 2 → ir m g → nukreipiami į tašką C.
Sąlygos, kad visų jėgų rezultatas būtų lygus nuliui, nepakanka, jei kūnas gali suktis aplink tam tikrą ašį.
Jėgos d ranka yra statmens, nubrėžto nuo jėgos veikimo linijos iki jos taikymo taško, ilgis. Jėgos momentas M yra jėgos peties ir jos modulio sandauga.
Jėgos momentas linkęs pasukti kūną aplink savo ašį. Tos akimirkos, kurios sukasi kūną prieš laikrodžio rodyklę, laikomos teigiamomis. Jėgos momento matavimo vienetas tarptautinėje SI sistemoje yra 1 niutonmetras.
Apibrėžimas. Akimirkų taisyklė
Jei kūnui taikomų momentų algebrinė suma fiksuotos sukimosi ašies atžvilgiu yra lygi nuliui, tai kūnas yra pusiausvyros būsenoje.
M 1 + M 2 + . . +Mn=0
Svarbu!
Bendruoju atveju, kad kūnai būtų pusiausvyroje, turi būti įvykdytos dvi sąlygos: atstojamoji jėga turi būti lygi nuliui ir turi būti laikomasi momentų taisyklės.
Mechanikoje yra įvairių tipų pusiausvyros. Taigi, išskiriama stabili ir nestabili, taip pat indiferentinė pusiausvyra.
Tipiškas abejingos pusiausvyros pavyzdys yra riedantis ratas (arba rutulys), kuris, sustojęs bet kuriame taške, bus pusiausvyros būsenoje.
Stabili pusiausvyra yra tokia kūno pusiausvyra, kai su nedideliais jo nuokrypiais atsiranda jėgos arba jėgos momentai, kurie linkę grąžinti kūną į pusiausvyros būseną.
Nestabili pusiausvyra – tai pusiausvyros būsena su nedideliu nukrypimu, nuo kurios jėgos ir jėgų momentai linkę dar labiau išmušti kūną iš pusiausvyros.
Viršuje esančiame paveikslėlyje rutulio padėtis yra (1) – indiferentiška pusiausvyra, (2) – nestabili pusiausvyra, (3) – stabili pusiausvyra.
Kūnas su fiksuota sukimosi ašimi gali būti bet kurioje iš aprašytų pusiausvyros padėčių. Jei sukimosi ašis eina per masės centrą, atsiranda abejingumo pusiausvyra. Esant stabiliai ir nestabiliai pusiausvyrai, masės centras yra vertikalioje tiesėje, kuri eina per sukimosi ašį. Kai masės centras yra žemiau sukimosi ašies, pusiausvyra yra stabili. Priešingu atveju yra atvirkščiai.
Ypatingas pusiausvyros atvejis yra kūno balansas ant atramos. Tokiu atveju tamprumo jėga pasiskirsto per visą kūno pagrindą, o ne praeina per vieną tašką. Kūnas yra ramybės būsenoje, kai vertikali linija, nubrėžta per masės centrą, kerta atramos sritį. Priešingu atveju, jei linija nuo masės centro nepatenka į atramos taškus jungiančių linijų suformuotą kontūrą, kūnas apvirsta.
Kūno pusiausvyros ant atramos pavyzdys yra garsusis Pizos bokštas. Pasak legendos, Galilėjus Galilėjus iš jo numetė kamuoliukus, kai atliko eksperimentus tirdamas laisvą kūnų kritimą.
Nuo bokšto masės centro nubrėžta linija kerta pagrindą maždaug 2,3 m atstumu nuo jo centro.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
APIBRĖŽIMAS
Stabilus balansas- tai pusiausvyra, kai kūnas, pašalintas iš pusiausvyros padėties ir paliktas savieigai, grįžta į ankstesnę padėtį.
Taip atsitinka, jei, šiek tiek pasislinkus kūnui bet kuria kryptimi nuo pradinės padėties, kūną veikiančių jėgų rezultatas tampa ne lygus nuliui ir nukreipiamas į pusiausvyros padėtį. Pavyzdžiui, rutulio formos įdubos apačioje gulintis rutulys (1 a pav.).
APIBRĖŽIMAS
Nestabili pusiausvyra- tai pusiausvyra, kurioje kūnas, ištrauktas iš pusiausvyros padėties ir paliktas sau, dar labiau nukryps nuo pusiausvyros padėties.
Šiuo atveju, šiek tiek pasislinkus kūnui iš pusiausvyros padėties, jį veikiančių jėgų atstumas yra nulinis ir nukreiptas iš pusiausvyros padėties. Pavyzdys yra rutulys, esantis viršutiniame išgaubto sferinio paviršiaus taške (1 b pav.).
APIBRĖŽIMAS
Abejinga pusiausvyra- tai pusiausvyra, kurioje kūnas, ištrauktas iš pusiausvyros padėties ir paliktas savieigai, nekeičia savo padėties (būsenos).
Šiuo atveju, esant nedideliems kūno poslinkiams nuo pradinės padėties, kūnui veikiančių jėgų rezultatas lieka lygus nuliui. Pavyzdžiui, rutulys, gulintis ant lygaus paviršiaus (1c pav.).
1 pav. Skirtingi kūno balanso tipai ant atramos: a) stabili pusiausvyra; b) nestabili pusiausvyra; c) indiferentinė pusiausvyra.
Statinė ir dinaminė kūnų pusiausvyra
Jei dėl jėgų veikimo kūnas negauna pagreičio, jis gali būti ramybės būsenoje arba tolygiai judėti tiesia linija. Todėl galime kalbėti apie statinę ir dinaminę pusiausvyrą.
APIBRĖŽIMAS
Statinis balansas- tai pusiausvyra, kai, veikiamas veikiančių jėgų, kūnas ilsisi.
Dinaminis balansas- tai pusiausvyra, kai dėl jėgų veikimo kūnas nekeičia savo judėjimo.
Ant kabelių pakabintas žibintas arba bet kokia pastato konstrukcija yra statinės pusiausvyros būsenoje. Kaip dinaminės pusiausvyros pavyzdį apsvarstykite ratą, kuris rieda plokščiu paviršiumi, kai nėra trinties jėgų.
« Fizika – 10 kl.
Prisiminkite, kas yra jėgos momentas.
Kokiomis sąlygomis kūnas ilsisi?
Jei kūnas yra ramybės būsenoje pasirinktos atskaitos sistemos atžvilgiu, sakoma, kad šis kūnas yra pusiausvyroje. Pastatai, tiltai, sijos su atramomis, mašinų dalys, knyga ant stalo ir daugelis kitų kūnų yra ramybės būsenoje, nepaisant to, kad juos veikia jėgos iš kitų kūnų. Kūnų pusiausvyros sąlygų tyrimo užduotis turi didelę praktinę reikšmę mechanikos inžinerijai, statybai, instrumentų gamybai ir kitoms technologijos sritims. Visi tikrieji kūnai, veikiami juos veikiančių jėgų, keičia savo formą ir dydį arba, kaip sakoma, deformuojasi.
Daugeliu atvejų, sutinkamų praktikoje, kūnų deformacijos, kai jie yra pusiausvyroje, yra nereikšmingi. Tokiais atvejais galima nepaisyti deformacijų ir atlikti skaičiavimus, atsižvelgiant į kėbulą visiškai sunku.
Trumpumo dėlei pavadinsime absoliučiai standų korpusą tvirtas kūnas arba tiesiog kūno. Ištyrę kietojo kūno pusiausvyros sąlygas, rasime realių kūnų pusiausvyros sąlygas tais atvejais, kai jų deformacijų galima nepaisyti.
Prisiminkite absoliučiai standaus kūno apibrėžimą.
Mechanikos šaka, kurioje tiriamos absoliučiai standžių kūnų pusiausvyros sąlygos, vadinama statinis.
Statikoje atsižvelgiama į kūnų dydį ir formą, šiuo atveju reikšminga ne tik jėgų reikšmė, bet ir jų taikymo taškų padėtis.
Pirmiausia išsiaiškinkime, naudodamiesi Niutono dėsniais, kokiomis sąlygomis bet kuris kūnas bus pusiausvyroje. Šiuo tikslu mintyse padalinkime visą kūną į daugybę mažų elementų, kurių kiekvienas gali būti laikomas materialiu tašku. Jėgas, veikiančias kūną nuo kitų kūnų, kaip įprasta, vadinsime išorinėmis, o jėgas, su kuriomis sąveikauja patys kūno elementai, vidinėmis (7.1 pav.). Taigi 1,2 jėga yra jėga, veikianti elementą 1 iš elemento 2. Jėga, lygia 2,1, veikia elementą 2 iš elemento 1. Tai yra vidinės jėgos; tai taip pat apima 1.3 ir 3.1, 2.3 ir 3.2 jėgas. Akivaizdu, kad geometrinė vidinių jėgų suma lygi nuliui, nes pagal trečiąjį Niutono dėsnį
12 = - 21, 23 = - 32, 31 = - 13 ir kt.
Statika yra ypatingas dinamikos atvejis, nes likę kūnai, kai juos veikia jėgos, yra ypatingas judėjimo atvejis ( = 0).
Apskritai kiekvieną elementą gali veikti kelios išorinės jėgos. 1, 2, 3 ir tt suprasime visas išorines jėgas, atitinkamai taikomas 1, 2, 3, ... elementams. Lygiai taip pat per "1, "2, "3 ir tt žymime geometrinę vidinių jėgų, veikiančių atitinkamai 2, 2, 3, ... elementus, sumą (šios jėgos paveiksle nepavaizduotos), t.y.
" 1 = 12 + 13 + ... , " 2 = 21 + 22 + ... , " 3 = 31 + 32 + ... ir tt
Jei kūnas yra ramybės būsenoje, tada kiekvieno elemento pagreitis yra lygus nuliui. Todėl pagal antrąjį Niutono dėsnį geometrinė visų jėgų, veikiančių bet kurį elementą, suma taip pat bus lygi nuliui. Todėl galime rašyti:
1 + "1 = 0, 2 + "2 = 0, 3 + "3 = 0. (7.1)
Kiekviena iš šių trijų lygčių išreiškia standaus kūno elemento pusiausvyros sąlygas.
Pirmoji standaus kūno pusiausvyros sąlyga.
Išsiaiškinkime, kokias sąlygas turi tenkinti išorinės jėgos, veikiančios kietąjį kūną, kad jis būtų pusiausvyroje. Norėdami tai padaryti, pridedame lygtis (7.1):
(1 + 2 + 3) + ("1 + "2 + "3) = 0.
Pirmuosiuose šios lygybės skliausteliuose rašoma visų kūną veikiančių išorinių jėgų vektorinė suma, o antrajame - visų vidinių jėgų, veikiančių šio kūno elementus, vektorinė suma. Tačiau, kaip žinoma, visų sistemos vidinių jėgų vektorinė suma yra lygi nuliui, nes pagal trečiąjį Niutono dėsnį bet kokia vidinė jėga atitinka jėgą, lygią jai pagal dydį ir priešingą kryptimi. Todėl kairėje paskutinės lygybės pusėje išliks tik geometrinė išorinių jėgų, veikiančių kūną, suma:
1 + 2 + 3 + ... = 0 . (7.2)
Absoliučiai standaus kūno atveju vadinama sąlyga (7.2). pirmoji jo pusiausvyros sąlyga.
Tai būtina, bet nepakankama.
Taigi, jei standus kūnas yra pusiausvyroje, tada jam taikomų išorinių jėgų geometrinė suma yra lygi nuliui.
Jei išorinių jėgų suma lygi nuliui, tai šių jėgų projekcijų į koordinačių ašis suma taip pat lygi nuliui. Visų pirma, išorinių jėgų projekcijoms OX ašyje galime parašyti:
F 1x + F 2x + F 3x + ... = 0. (7.3)
Tokias pat lygtis galima parašyti ir jėgų projekcijoms ant OY ir OZ ašių.
Antroji standaus kūno pusiausvyros sąlyga.
Įsitikinkime, kad sąlyga (7.2) yra būtina, bet nepakankama standaus kūno pusiausvyrai. Taikykime dvi vienodo dydžio jėgas, nukreiptas į lentą, gulinčią ant stalo skirtinguose taškuose, kaip parodyta 7.2 pav. Šių jėgų suma lygi nuliui:
+ (-) = 0. Tačiau lenta vis tiek suksis. Lygiai taip pat dvi vienodo didumo ir priešingų krypčių jėgos suka dviračio ar automobilio vairą (7.3 pav.).
Kokia dar išorinių jėgų sąlyga turi būti įvykdyta, be to, kad jų suma būtų lygi nuliui, kad standusis kūnas būtų pusiausvyroje? Pasinaudokime teorema apie kinetinės energijos kitimą.
Raskime, pavyzdžiui, taške O ant horizontalios ašies šarnyrinio strypo pusiausvyros sąlygą (7.4 pav.). Šis paprastas prietaisas, kaip žinote iš pagrindinės mokyklos fizikos kurso, yra pirmos rūšies svirtis.
Tegul jėgos 1 ir 2 veikia svirtį statmenai strypui.
Be jėgų 1 ir 2, svirtį veikia vertikaliai į viršų nukreipta normali reakcijos jėga 3 iš svirties ašies pusės. Kai svirtis yra pusiausvyroje, visų trijų jėgų suma lygi nuliui: 1 + 2 + 3 = 0.
Apskaičiuokime išorinių jėgų atliekamą darbą sukant svirtį labai mažu kampu α. Jėgų 1 ir 2 taikymo taškai eis takais s 1 = BB 1 ir s 2 = CC 1 (lankai BB 1 ir CC 1 esant mažais kampais α gali būti laikomi tiesiomis atkarpomis). Jėgos 1 darbas A 1 = F 1 s 1 yra teigiamas, nes taškas B juda jėgos kryptimi, o jėgos 2 darbas A 2 = -F 2 s 2 yra neigiamas, nes taškas C juda kryptimi priešinga jėgos krypčiai 2. 3 jėga neatlieka jokio darbo, nes jos taikymo taškas nejuda.
Nuvažiuotus kelius s 1 ir s 2 galima išreikšti svirties a sukimosi kampu, išmatuotu radianais: s 1 = α|BO| ir s 2 = α|СО|. Atsižvelgdami į tai, darbo išraiškas perrašome taip:
A 1 = F 1 α|BO|, (7.4)
A 2 = -F 2 α|CO|.
1 ir 2 jėgų taikymo taškais aprašytų apskritimo lankų spinduliai BO ir СО yra statmenai, nuleisti nuo sukimosi ašies šių jėgų veikimo linijoje.
Kaip jau žinote, jėgos ranka yra trumpiausias atstumas nuo sukimosi ašies iki jėgos veikimo linijos. Jėgos ranką pažymėsime raide d. Tada |VO| = d 1 – jėgos ranka 1, ir |СО| = d 2 – jėgos ranka 2. Šiuo atveju išraiškos (7.4) bus tokios formos
A 1 = F 1 αd 1, A 2 = -F 2 αd 2. (7.5)
Iš formulių (7.5) aišku, kad kiekvienos jėgos darbas lygus jėgos momento ir svirties sukimosi kampo sandaugai. Vadinasi, darbo išraiškos (7.5) gali būti perrašytos į formą
A 1 = M 1 α, A 2 = M 2 α, (7.6)
o suminis išorinių jėgų darbas gali būti išreikštas formule
A = A 1 + A 2 = (M 1 + M 2)α. α, (7,7)
Kadangi jėgos momentas 1 yra teigiamas ir lygus M 1 = F 1 d 1 (žr. 7.4 pav.), o jėgos momentas 2 yra neigiamas ir lygus M 2 = -F 2 d 2, tai darbui A mes gali parašyti išraišką
A = (M 1 - |M 2 |)α.
Kai kūnas pradeda judėti, jo kinetinė energija didėja. Norint padidinti kinetinę energiją, turi veikti išorinės jėgos, ty šiuo atveju A ≠ 0 ir atitinkamai M 1 + M 2 ≠ 0.
Jeigu išorinių jėgų darbas lygus nuliui, tai kūno kinetinė energija nekinta (lieka lygi nuliui) ir kūnas lieka nejudantis. Tada
M 1 + M 2 = 0. (7.8)
(7 8) lygtis yra antroji standaus kūno pusiausvyros sąlyga.
Kai standus kūnas yra pusiausvyroje, visų jį veikiančių išorinių jėgų momentų suma bet kurios ašies atžvilgiu yra lygi nuliui.
Taigi, esant savavališkam išorinių jėgų skaičiui, absoliučiai standaus kūno pusiausvyros sąlygos yra tokios:
1 + 2 + 3 + ... = 0, (7.9)
M 1 + M 2 + M 3 + ... = 0.
Antroji pusiausvyros sąlyga gali būti išvesta iš pagrindinės standaus kūno sukamojo judėjimo dinamikos lygties. Pagal šią lygtį, kur M yra visas kūną veikiančių jėgų momentas, M = M 1 + M 2 + M 3 + ..., ε yra kampinis pagreitis. Jei standusis kūnas yra nejudantis, tada ε = 0, taigi, M = 0. Taigi antroji pusiausvyros sąlyga yra M = M 1 + M 2 + M 3 + ... = 0.
Jei kūnas nėra absoliučiai kietas, tai veikiant jį veikiančioms išorinėms jėgoms, jis gali neišlikti pusiausvyroje, nors išorinių jėgų suma ir jų momentų suma bet kurios ašies atžvilgiu yra lygi nuliui.
Pavyzdžiui, pritaikykime dvi jėgas guminio laido galams, vienodo dydžio ir nukreiptos išilgai laido priešingomis kryptimis. Veikiant šioms jėgoms, laidas nebus pusiausvyroje (virvelė ištempta), nors išorinių jėgų suma lygi nuliui, o jų momentų suma ašies, einančios per bet kurį laido tašką, atžvilgiu yra lygi. iki nulio.
Ši paskaita apima šiuos klausimus:
1. Mechaninių sistemų pusiausvyros sąlygos.
2. Pusiausvyros stabilumas.
3. Pusiausvyros padėčių nustatymo ir jų stabilumo tyrimo pavyzdys.
Šių klausimų tyrimas yra būtinas norint ištirti mechaninės sistemos svyruojančius judesius pusiausvyros padėties atžvilgiu disciplinoje „Mašinų dalys“, sprendžiant disciplinų „Mašinų ir mechanizmų teorija“ ir „Medžiagų stiprumas“ problemas.
Svarbus mechaninių sistemų judėjimo atvejis yra jų svyruojantis judėjimas. Virpesiai yra pasikartojantys mechaninės sistemos judesiai, palyginti su kai kuriomis jos padėtimis, laikui bėgant vykstantys daugiau ar mažiau reguliariai. Kursiniame darbe nagrinėjamas mechaninės sistemos svyruojantis judėjimas, palyginti su pusiausvyros padėtimi (santykinė arba absoliuti).
Mechaninė sistema pakankamai ilgą laiką gali svyruoti tik šalia stabilios pusiausvyros padėties. Todėl prieš sudarant svyruojamojo judėjimo lygtis, būtina rasti pusiausvyros padėtis ir ištirti jų stabilumą.
Mechaninių sistemų pusiausvyros sąlygos.
Pagal galimų poslinkių principą (pagrindinę statikos lygtį), kad mechaninė sistema, kuriai taikomi idealūs, stacionarūs, ribojantys ir holonominiai apribojimai, būtų pusiausvyroje, būtina ir pakanka, kad visos apibendrintos jėgos šioje sistemoje būti lygus nuliui:
Kur - atitinkama apibendrinta jėga j- oh apibendrinta koordinatė;
s- apibendrintų koordinačių skaičius mechaninėje sistemoje.
Jei tiriamai sistemai buvo sudarytos diferencialinės judesio lygtys antrojo tipo Lagranžo lygčių pavidalu, tai norint nustatyti galimas pusiausvyros padėtis, apibendrintas jėgas pakanka prilyginti nuliui ir išspręsti gautas lygtis apibendrintos atžvilgiu. koordinates.
Jei mechaninė sistema yra pusiausvyroje potencialaus jėgos lauke, tai iš (1) lygčių gauname tokias pusiausvyros sąlygas:
Todėl pusiausvyros padėtyje potenciali energija turi kraštutinę vertę. Ne kiekviena pusiausvyra, nustatyta aukščiau pateiktomis formulėmis, gali būti realizuota praktiškai. Priklausomai nuo sistemos elgesio, kai ji nukrypsta nuo pusiausvyros padėties, kalbama apie šios padėties stabilumą arba nestabilumą.
Pusiausvyros stabilumas
Pusiausvyros padėties stabilumo sąvokos apibrėžimas buvo pateiktas XIX amžiaus pabaigoje rusų mokslininko A. M. Lyapunov darbuose. Pažvelkime į šį apibrėžimą.
Norėdami supaprastinti skaičiavimus, toliau susitarsime dėl apibendrintų koordinačių q 1 , q 2 ,...,q s skaičiuoti iš sistemos pusiausvyros padėties:
Kur
Sakoma, kad pusiausvyros padėtis yra stabili bet kuriam savavališkai mažam skaičiuiar gali rasti kitą numerį? , kad tuo atveju, kai pradinės apibendrintų koordinačių ir greičių reikšmės neviršys:
apibendrintų koordinačių ir greičių reikšmės tolesnio sistemos judėjimo metu neviršys .
Kitaip tariant, sistemos pusiausvyros padėtis q 1 = q 2 = ...= q s = 0 vadinamas tvarus, jei visada įmanoma rasti tokias pakankamai mažas pradines reikšmes, kuriame sistemos judėjimasnepaliks jokios tam tikros, savavališkai mažos, pusiausvyros padėties kaimynystės. Sistemai su vienu laisvės laipsniu stabilų sistemos judėjimą galima aiškiai pavaizduoti fazinėje plokštumoje (1 pav.).Siekiant stabilios pusiausvyros padėties, reprezentuojančio taško judėjimas, pradedant nuo srities [ ] , ateityje neperžengs regiono ribų.
1 pav
Pusiausvyros padėtis vadinama asimptotiškai stabilus , jei laikui bėgant sistema artėja prie pusiausvyros padėties, tai yra
Pusiausvyros padėties stabilumo sąlygų nustatymas yra gana sudėtingas uždavinys, todėl apsiribosime paprasčiausiu atveju: konservatyvių sistemų pusiausvyros stabilumo tyrimu.
Tokioms sistemoms nustatomos pakankamos sąlygos pusiausvyros padėčių stabilumui Lagrange-Dirichlet teorema : Konservatyvios mechaninės sistemos pusiausvyros padėtis yra stabili, jei pusiausvyros padėtyje sistemos potencinė energija turi izoliuotą minimumą .
Mechaninės sistemos potenciali energija nustatoma konstantos ribose. Parinkime šią konstantą taip, kad pusiausvyros padėtyje potencinė energija būtų lygi nuliui:
P (0) = 0.
Tada sistemai su vienu laisvės laipsniu, pakankama sąlyga izoliuoto minimumo egzistavimui kartu su būtina sąlyga (2) bus sąlyga
Kadangi pusiausvyros padėtyje potencinė energija turi izoliuotą minimumą ir P (0) = 0 , tada tam tikroje ribotoje šios padėties kaimynystėje
P(q)=0.
Funkcijos, kurios turi pastovų ženklą ir yra lygios nuliui, iškviečiamos tik tada, kai visi jų argumentai lygūs nuliui neabejotinai. Vadinasi, tam, kad mechaninės sistemos pusiausvyrinė padėtis būtų stabili, būtina ir pakanka, kad šalia šios padėties potenciali energija būtų teigiama apibrėžtoji apibendrintų koordinačių funkcija.
Tiesinėms sistemoms ir sistemoms, kurios gali būti sumažintos iki tiesinės, esant nedideliems nukrypimams nuo pusiausvyros padėties (tiesinė), potenciali energija gali būti pavaizduota kvadratine apibendrintų koordinačių forma.
Kur - apibendrinti standumo koeficientai.
Apibendrinti koeficientaiyra pastovūs skaičiai, kuriuos galima nustatyti tiesiogiai iš nuoseklios potencialios energijos išplėtimo arba iš antrųjų potencialios energijos išvestinių verčių apibendrintų koordinačių atžvilgiu pusiausvyros padėtyje:
Iš (4) formulės matyti, kad apibendrinti standumo koeficientai yra simetriški indeksų atžvilgiu
Už tai Kad būtų įvykdytos pakankamos sąlygos pusiausvyros padėties stabilumui, potenciali energija turi būti teigiama apibrėžta kvadratinė jos apibendrintų koordinačių forma.
Matematikoje yra Sylvesterio kriterijus , kuri suteikia būtinas ir pakankamas sąlygas teigiamam kvadratinių formų apibrėžtumui: kvadratinė forma (3) bus teigiama apibrėžtoji, jei determinantas, sudarytas iš jo koeficientų ir visų jo pagrindinių įstrižainių mažųjų, yra teigiami, t.y. jei šansai atitiks sąlygas
.....
Visų pirma tiesinei sistemai su dviem laisvės laipsniais potenciali energija ir Sylvesterio kriterijaus sąlygos bus tokios formos
Panašiu būdu galima ištirti santykinės pusiausvyros padėtis, jei vietoj potencialios energijos įtraukiame į redukuotos sistemos potencinę energiją.
P Pusiausvyros padėčių nustatymo ir jų stabilumo tyrimo pavyzdys
2 pav
Apsvarstykite mechaninę sistemą, kurią sudaro vamzdis AB, kuris yra strypas OO 1 sujungtas su horizontalia sukimosi ašimi, ir rutulys, kuris juda išilgai vamzdžio be trinties ir yra prijungtas prie taško A vamzdeliai su spyruokle (2 pav.). Nustatykime sistemos pusiausvyros padėtis ir įvertinkime jų stabilumą pagal šiuos parametrus: vamzdžio ilgis l 2 = 1 m , strypo ilgis l 1 = 0,5 m . nedeformuotas spyruoklės ilgis l 0 = 0,6 m spyruoklės standumas c= 100 N/m. Vamzdžio svoris m 2 = 2 kg, strypas - m 1 = 1 kg ir kamuolys - m 3 = 0,5 kg. Atstumas O.A. lygus l 3 = 0,4 m.
Užrašykime nagrinėjamos sistemos potencialios energijos išraišką. Jį sudaro trijų kūnų, esančių vienodame gravitacijos lauke, potencinė energija ir deformuotos spyruoklės potencinė energija.
Kūno potencinė energija gravitacijos lauke yra lygi kūno svorio ir jo svorio centro aukščio sandaugai virš plokštumos, kurioje potenciali energija laikoma lygi nuliui. Tegul potencinė energija lygi nuliui plokštumoje, einančioje per strypo sukimosi ašį O.O. 1, tada gravitacijai
Tamprumo jėgai potenciali energija nustatoma pagal deformacijos dydį
Raskime galimas sistemos pusiausvyros padėtis. Koordinačių reikšmės pusiausvyros padėtyse yra šios lygčių sistemos šaknys.
Panašią lygčių sistemą galima sudaryti bet kuriai mechaninei sistemai, turinčiai du laisvės laipsnius. Kai kuriais atvejais galima gauti tikslų sistemos sprendimą. Sistemai (5) tokio sprendimo nėra, todėl šaknų reikia ieškoti skaitiniais metodais.
Išspręsdami transcendentinių lygčių sistemą (5), gauname dvi galimas pusiausvyros padėtis:
Norėdami įvertinti gautų pusiausvyros padėčių stabilumą, apibendrintų koordinačių atžvilgiu rasime visas antrasis potencialios energijos išvestines ir iš jų nustatysime apibendrintus standumo koeficientus.
Mechanikos šaka, kurioje tiriamos kūnų pusiausvyros sąlygos, vadinama statika. Lengviausias būdas yra atsižvelgti į absoliučiai standaus kūno pusiausvyros sąlygas, tai yra kūno, kurio matmenys ir forma gali būti laikomi nepakitę. Absoliučiai standaus kūno sąvoka yra abstrakcija, nes visi tikrieji kūnai, veikiami jiems veikiančių jėgų, vienu ar kitu laipsniu deformuojasi, tai yra, keičia savo formą ir dydį. Deformacijų dydis priklauso ir nuo kūnui veikiančių jėgų, ir nuo paties kūno savybių – jo formos ir medžiagos, iš kurios jis pagamintas, savybių. Daugeliu praktiškai svarbių atvejų deformacijos yra nedidelės ir absoliučiai standaus kūno sąvokų vartojimas yra pagrįstas.
Visiškai standaus kėbulo modelis. Tačiau deformacijų mažumas ne visada yra pakankama sąlyga, kad kūnas būtų laikomas absoliučiai kietu. Norėdami tai iliustruoti, apsvarstykite šį pavyzdį. Ant dviejų atramų gulinčią lentą (140a pav.) galima laikyti absoliučiai standžiu korpusu, nepaisant to, kad veikiama gravitacijos ji šiek tiek išsilenkia. Iš tiesų, šiuo atveju mechaninės pusiausvyros sąlygos leidžia nustatyti atramų reakcijos jėgas neatsižvelgiant į plokštės deformaciją.
Bet jei ta pati lenta remiasi ant tų pačių atramų (1406 pav.), tada absoliučiai standaus korpuso idėja netaikoma. Tiesą sakant, tegul išorinės atramos yra toje pačioje horizontalioje linijoje, o vidurinė - šiek tiek žemiau. Jei lenta yra absoliučiai vientisa, tai yra, ji visiškai nesilanksto, tada ji visiškai nespaudžia vidurinės atramos. tuo jis stipresnis. Sąlygos
Absoliučiai standaus kūno pusiausvyra šiuo atveju neleidžia nustatyti atramų reakcijos jėgų, nes jos lemia dvi lygtis trims nežinomiems dydžiams.
Ryžiai. 140. Reakcijos jėgos, veikiančios lentą, gulinčią ant dviejų (a) ir trijų (b) atramų
Tokios sistemos vadinamos statiškai neapibrėžtomis. Norint juos apskaičiuoti, būtina atsižvelgti į kūnų elastines savybes.
Aukščiau pateiktas pavyzdys rodo, kad absoliučiai standaus kūno modelio pritaikomumą statikoje lemia ne tiek paties kūno savybės, kiek sąlygos, kuriomis jis yra. Taigi nagrinėjamame pavyzdyje net plonas šiaudelis gali būti laikomas absoliučiai tvirtu kūnu, jei jis guli ant dviejų atramų. Tačiau net ir labai standi sija negali būti laikoma absoliučiai standžiu kūnu, jei ji remiasi į tris atramas.
Pusiausvyros sąlygos. Absoliučiai standaus kūno pusiausvyros sąlygos yra ypatingas dinaminių lygčių atvejis, kai nėra pagreičio, nors istoriškai statika atsirado iš statybos technologijų poreikių beveik du tūkstantmečius anksčiau nei dinamika. Inercinėje atskaitos sistemoje standus kūnas yra pusiausvyroje, jei visų kūną veikiančių išorinių jėgų vektorinė suma ir šių jėgų momentų vektorinė suma yra lygi nuliui. Kai įvykdoma pirmoji sąlyga, kūno masės centro pagreitis lygus nuliui. Kai įvykdoma antra sąlyga, kampinio sukimosi pagreičio nėra. Todėl, jei iš pradžių kūnas ilsėjosi, tada jis liks ramybėje ir toliau.
Ateityje apsiribosime gana paprastų sistemų, kuriose visos veikiančios jėgos yra toje pačioje plokštumoje, tyrimu. Šiuo atveju vektoriaus sąlyga
sumažina iki dviejų skalių:
jeigu išdėstysime jėgų veikimo plokštumos ašis. Kai kurios išorinės jėgos, veikiančios kūną, įtrauktos į pusiausvyros sąlygas (1), gali būti nurodytos, tai yra, žinomi jų moduliai ir kryptys. Kalbant apie jungčių ar atramų reakcijos jėgas, kurios riboja galimą kūno judėjimą, jos, kaip taisyklė, nėra iš anksto nustatytos ir pačios yra nulemtos. Nesant trinties, reakcijos jėgos yra statmenos kūnų kontaktiniam paviršiui.
Ryžiai. 141. Nustatyti reakcijos jėgų kryptį
Reakcijos jėgos. Kartais kyla abejonių nustatant ryšio reakcijos jėgos kryptį, kaip, pavyzdžiui, pav. 141, kuriame pavaizduotas strypas, esantis taške A ant lygaus įgaubto puodelio paviršiaus ir taške B ant aštraus puodelio krašto.
Norėdami nustatyti reakcijos jėgų kryptį šiuo atveju, galite mintyse šiek tiek pajudinti strypą, netrikdydami jo kontakto su puodeliu. Reakcijos jėga bus nukreipta statmenai paviršiui, kuriuo slysta kontaktinis taškas. Taigi taške A strypą veikianti reakcijos jėga yra statmena puodelio paviršiui, o taške B – statmena lazdelei.
Galios akimirka. Jėgos momentas M tam tikro taško atžvilgiu
O yra spindulio vektoriaus, nubrėžto nuo O iki jėgos vektoriaus jėgos taikymo taško, sandauga
Jėgos momento vektorius M yra statmenas plokštumai, kurioje yra vektoriai
Momentų lygtis. Jei kūną veikia kelios jėgos, tada antroji pusiausvyros sąlyga, susijusi su jėgų momentais, rašoma forma
Šiuo atveju taškas O, iš kurio brėžiami spindulio vektoriai, turi būti parinktas taip, kad būtų bendras visoms veikiančioms jėgoms.
Plokštumoje jėgų sistemoje visų jėgų momentų vektoriai yra nukreipti statmenai plokštumai, kurioje yra jėgos, jei momentai laikomi taško, esančio toje pačioje plokštumoje, atžvilgiu. Todėl vektoriaus sąlyga (4) momentams sumažinama iki vieno skaliarinio: pusiausvyros padėtyje visų išorinių veikiančių jėgų momentų algebrinė suma lygi nuliui. Jėgos momento modulis taško O atžvilgiu yra lygus modulio sandaugai
jėgos, esančios atstumu nuo taško O iki linijos, pagal kurią veikia jėga. Taškas, kuriame atsižvelgiama į jėgų momentus, pasirenkamas vien dėl patogumo: momentų lygtis bus paprastesnė, tuo daugiau jėgų turės nulinių momentų.
Pusiausvyros pavyzdys. Norėdami iliustruoti absoliučiai standaus kūno pusiausvyros sąlygų taikymą, apsvarstykite šį pavyzdį. Lengvos kopėčios susideda iš dviejų identiškų dalių, viršuje atlenkiamos, o prie pagrindo surišamos virve (142 pav.). Nustatykime, kokia yra virvės tempimo jėga, kokiomis jėgomis kopėčių pusės sąveikauja vyryje ir kokiomis jėgomis spaudžia grindis, jei vienos iš jų viduryje stovi R sveriantis žmogus.
Nagrinėjama sistema susideda iš dviejų kietų kūnų – kopėčių pusių, o pusiausvyros sąlygos gali būti taikomos tiek visai sistemai, tiek jos dalims. Taikant pusiausvyros sąlygas visai sistemai, galima rasti grindų reakcijos jėgas ir (142 pav.). Nesant trinties, šios jėgos nukreipiamos vertikaliai aukštyn ir sąlyga, kad išorinių jėgų vektorinė suma būtų lygi nuliui (1), įgyja formą
Išorinių jėgų momentų pusiausvyros sąlyga taško A atžvilgiu parašyta taip:
kur yra laiptų ilgis, kampas, kurį sudaro laiptai su grindimis. Išspręsdami (5) ir (6) lygčių sistemą, randame
Ryžiai. 142. Išorinių jėgų vektorinė suma ir išorinių jėgų momentų suma pusiausvyroje lygi nuliui
Žinoma, vietoj momentų lygties (6) apie tašką A, galima būtų parašyti momentų lygtį apie tašką B (ar bet kurį kitą tašką). Taip gautųsi lygčių sistema, lygiavertė naudojamai sistemai (5) ir (6).
Nagrinėjamos fizinės sistemos virvės įtempimo jėga ir vyrio sąveikos jėgos yra vidinės, todėl jų negalima nustatyti pagal visos sistemos pusiausvyros sąlygas. Norint nustatyti šias jėgas, būtina atsižvelgti į atskirų sistemos dalių pusiausvyros sąlygas. Tuo pačiu metu
Sėkmingai pasirinkus tašką, kurio atžvilgiu sudaroma jėgų momentų lygtis, galima supaprastinti algebrinę lygčių sistemą. Taigi, pavyzdžiui, šioje sistemoje galime apsvarstyti jėgų, veikiančių kairiąją laiptų pusę, momentų pusiausvyros sąlygą taško C, kuriame yra vyris, atžvilgiu.
Pasirinkus tašką C, vyrį veikiančios jėgos nebus įtrauktos į šią sąlygą, ir mes iš karto randame lyno įtempimo jėgą T:
kur, atsižvelgiant į tai, kad gauname
Sąlyga (7) reiškia, kad jėgų T rezultantas eina per tašką C, t.y. yra nukreiptas išilgai laiptų. Todėl šios kopėčių pusės pusiausvyra įmanoma tik tuo atveju, jei ją vyrį veikianti jėga taip pat nukreipta išilgai kopėčių (143 pav.), o jos modulis yra lygus gaunamų jėgų moduliui T ir
Ryžiai. 143. Visų trijų jėgų, veikiančių kairiąją laiptų pusę, veikimo linijos eina per vieną tašką
Kitoje kopėčių pusėje esančioje vyryje veikiančios jėgos absoliuti vertė, remiantis trečiuoju Niutono dėsniu, yra lygi ir jos kryptis yra priešinga vektoriaus krypčiai Jėgos kryptį būtų galima nustatyti tiesiogiai iš Fig . 143, atsižvelgiant į tai, kad kai kūnas yra pusiausvyroje, veikiant trims jėgoms, linijos, kuriomis šios jėgos veikia, susikerta viename taške. Iš tiesų, panagrinėkime dviejų iš šių trijų jėgų veikimo linijų susikirtimo tašką ir sukurkime momentų lygtį apie šį tašką. Pirmųjų dviejų jėgų momentai apie šį tašką yra lygūs nuliui; Tai reiškia, kad trečiosios jėgos momentas taip pat turi būti lygus nuliui, o tai pagal (3) yra įmanoma tik tuo atveju, jei per šį tašką eina ir jos veikimo linija.
Auksinė mechanikos taisyklė. Kartais statikos problemą galima išspręsti visai neatsižvelgiant į pusiausvyros sąlygas, o naudojant energijos tvermės dėsnį, taikomą mechanizmams be trinties: joks mechanizmas neduoda naudos. Šis įstatymas
vadinama auksine mechanikos taisykle. Norėdami iliustruoti šį metodą, apsvarstykite tokį pavyzdį: didelis svorio P krovinys pakabinamas ant nesvario vyrio su trimis jungtimis (144 pav.). Kokią įtempimo jėgą turi atlaikyti sriegio jungimo taškai A ir B?
Ryžiai. 144. Nustatyti sriegio įtempimo jėgą trišakiame šarnyre, laikančiame P svorio apkrovą.
Pabandykime šiuo mechanizmu pakelti apkrovą P. Atrišę sriegį taške A, patraukite jį aukštyn, kad taškas B lėtai pakiltų į atstumą. Šį atstumą riboja tai, kad sriegio T įtempimo jėga turi išlikti nepakitusi judėjimo metu. Šiuo atveju, kaip bus aišku iš atsakymo, jėga T visiškai nepriklauso nuo to, kiek vyris suspaustas ar ištemptas. Atliktas darbas. Dėl to apkrova P pakyla iki aukščio, kuris, kaip matyti iš geometrinių svarstymų, yra lygus Kadangi nesant trinties energijos nuostoliai neatsiranda, galima teigti, kad apkrovos potencialios energijos pokytis yra nustatomas. pagal atliktą darbą kėlimo metu. Štai kodėl
Akivaizdu, kad vyriui, kuriame yra savavališkas skaičius identiškų jungčių,
Sriegio įtempimo jėgą rasti nesunku, o tuo atveju, kai reikia atsižvelgti į paties vyrio svorį, kėlimo metu atliktas darbas turi būti prilyginamas sriegio potencialių energijų pokyčių sumai. apkrova ir vyriai. Identiškų grandžių vyriui jo masės centras pakyla Todėl
Suformuluotas principas („auksinė mechanikos taisyklė“) galioja ir tada, kai judėjimo metu potenciali energija nekinta, o mechanizmas naudojamas jėgai konvertuoti. Pavarų dėžės, transmisijos, vartai, svirčių ir blokų sistemos – visose tokiose sistemose konvertuojamą jėgą galima nustatyti sulyginant konvertuojamų ir veikiančių jėgų darbą. Kitaip tariant, nesant trinties, šių jėgų santykį lemia tik įrenginio geometrija.
Šiuo požiūriu panagrinėkime aukščiau aptartą pavyzdį su kopėčiomis. Žinoma, naudoti kopėčias kaip kėlimo mechanizmą, tai yra kelti žmogų suartinant kopėčių puses, vargu ar patartina. Tačiau tai negali sutrukdyti mums taikyti aprašytą metodą virvės įtempimo jėgai nustatyti. Darbo, atliekamo, kai kopėčių dalys susilieja, prilyginimas kopėčiose esančio žmogaus potencialios energijos pokyčiui ir, atsižvelgiant į geometrinius sumetimus, apatinio kopėčių galo judėjimo susiejimas su krovinio aukščio pasikeitimu. (145 pav.), kaip ir galima tikėtis, gauname anksčiau pateiktą rezultatą:
Kaip jau minėta, judesys turi būti parinktas taip, kad proceso metu veikiančią jėgą būtų galima laikyti pastovia. Nesunku pastebėti, kad pavyzdyje su vyriais ši sąlyga neriboja judėjimo, nes sriegio įtempimo jėga nepriklauso nuo kampo (144 pav.). Priešingai, laiptelių užduotyje poslinkis turi būti parinktas nedidelį, nes lyno įtempimo jėga priklauso nuo kampo a.
Pusiausvyros stabilumas. Pusiausvyra gali būti stabili, nestabili ir abejinga. Pusiausvyra yra stabili (146a pav.), jei, nedideliais kūno judesiais iš pusiausvyros padėties, veikiančios jėgos linkusios jį grąžinti atgal, ir nestabili (1466 pav.), jei jėgos nukelia ją toliau iš pusiausvyros padėties.
Ryžiai. 145. Apatinių kopėčių galų judesiai ir krovinio judėjimas, kai kopėčių puselės susilieja
Ryžiai. 146. Stabilios (a), nestabilios (b) ir indiferentinės (c) pusiausvyros
Jei esant nedideliems poslinkiams, kūną veikiančios jėgos ir jų momentai vis dar yra subalansuoti, tai pusiausvyra yra indiferentiška (146c pav.). Esant indiferentinei pusiausvyrai, gretimos kūno padėtys taip pat yra pusiausvyros.
Panagrinėkime pusiausvyros stabilumo tyrimo pavyzdžius.
1. Stabili pusiausvyra atitinka mažiausią potencialią kūno energiją, palyginti su jos reikšmėmis gretimose kūno padėtyse. Šią savybę dažnai patogu naudoti ieškant pusiausvyros padėties ir tiriant pusiausvyros prigimtį.
Ryžiai. 147. Kūno pusiausvyros stabilumas ir masės centro padėtis
Vertikali laisvai stovinti kolona yra stabilioje pusiausvyroje, nes esant nedideliems polinkiams jos masės centras pakyla. Tai vyksta tol, kol vertikali masės centro projekcija neviršija atramos srities, t.y. nuokrypio kampas nuo vertikalės neviršija tam tikros didžiausios vertės. Kitaip tariant, stabilumo sritis tęsiasi nuo minimalios potencialios energijos (vertikalioje padėtyje) iki didžiausios arčiausiai jos (147 pav.). Kai masės centras yra tiksliai virš atramos srities ribos, stulpelis taip pat yra pusiausvyroje, bet nestabilus. Horizontaliai gulinti kolona atitinka daug platesnį stabilumo diapazoną.
2. Yra du apvalūs pieštukai su spinduliais ir Vienas iš jų yra horizontaliai, kitas ant jo subalansuotas horizontalioje padėtyje taip, kad pieštukų ašys būtų viena kitai statmenos (148a pav.). Kokiu spindulių santykiu pusiausvyra yra stabili? Kokiu maksimaliu kampu galima pakreipti viršutinį pieštuką nuo horizontalės? Pieštukų trinties vienas kito atžvilgiu koeficientas lygus
Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad viršutinio pieštuko pusiausvyra paprastai yra nestabili, nes viršutinio pieštuko masės centras yra virš ašies, aplink kurią jis gali suktis. Tačiau čia sukimosi ašies padėtis nelieka nepakitusi, todėl šis atvejis reikalauja specialaus tyrimo. Kadangi viršutinis pieštukas yra subalansuotas horizontalioje padėtyje, pieštukų masės centrai yra ant šios vertikalios (pav.).
Viršutinį pieštuką pakreipkime tam tikru kampu nuo horizontalės. Jei nebūtų statinės trinties, jis iš karto nuslystų žemyn. Kad kol kas negalvotume apie galimą slydimą, manysime, kad trintis gana didelė. Tokiu atveju viršutinis pieštukas „rieda“ per apatinį neslysdamas. Atramos taškas iš padėties A pereina į naują padėtį C, o taškas, kuriame viršutinis pieštukas remtasi į apatinę prieš nukrypimą
eina į padėtį B. Kadangi nėra slydimo, lanko ilgis lygus atkarpos ilgiui
Ryžiai. 148. Viršutinis pieštukas horizontaliai subalansuotas ant apatinio pieštuko (a); pusiausvyros stabilumo tyrimui (b)
Viršutinio pieštuko masės centras pasislenka į padėtį . Jei perbrėžta vertikali linija eina į kairę nuo naujojo atramos taško C, tada gravitacija linkusi grąžinti viršutinį pieštuką į pusiausvyros padėtį.
Išreikškime šią sąlygą matematiškai. Nubrėžę vertikalią liniją per tašką B, matome, kad sąlyga turi būti įvykdyta
Kadangi iš (8) sąlygos gauname
Kadangi gravitacijos jėga bus linkusi grąžinti viršutinį pieštuką į pusiausvyros padėtį tik esant, todėl stabili viršutinio pieštuko pusiausvyra ant apatinio galima tik tada, kai jo spindulys yra mažesnis už apatinio pieštuko spindulį.
Trinties vaidmuo. Norint atsakyti į antrąjį klausimą, reikia išsiaiškinti, kokios priežastys riboja leistiną nuokrypio kampą. Pirma, esant dideliems nuokrypio kampams, vertikalė, nubrėžta per viršutinio pieštuko masės centrą, gali pereiti į dešinę nuo atramos taško C. Iš (9) sąlygos aišku, kad esant tam tikram pieštukų spindulių santykiui didžiausias nuokrypio kampas
Ar visada pakanka standaus kūno pusiausvyros sąlygų reakcijos jėgoms nustatyti?
Kaip galima praktiškai nustatyti reakcijos jėgų kryptį, kai nėra trinties?
Kaip galite naudoti auksinę mechanikos taisyklę analizuodami pusiausvyros sąlygas?
Jei vyryje, parodytame fig. 144, sujunkite sriegiu ne taškus A ir B, o taškus A ir C, tai kokia bus jo įtempimo jėga?
Kaip sistemos pusiausvyros stabilumas yra susijęs su jos potencialia energija?
Kokios sąlygos lemia didžiausią kūno, besiremiančio į plokštumą trijuose taškuose, įlinkio kampą, kad neprarastų jo stabilumas?
