Išplėskite galios seriją internete. Laipsninės eilutės, jų konvergencija, funkcijų išplėtimas į laipsnio eilutes

Tarp funkcinių serijų svarbiausią vietą užima galios serijos.

Galios serija yra serija

kurių terminai yra laipsnio funkcijos, išdėstytos didėjančiais neneigiamais sveikųjų skaičių laipsniais x, A c 0 , c 1 , c 2 , c n – pastovios reikšmės. Skaičiai c 1 , c 2 , c n – eilės terminų koeficientai, c 0 – laisvas narys. Laipsnių eilučių sąlygos apibrėžtos visoje skaičių eilutėje.

Susipažinkime su koncepcija laipsnių eilučių konvergencijos sritis. Tai kintamųjų reikšmių rinkinys x, kurio serija sutampa. Galios eilutės turi gana paprastą konvergencijos sritį. Realioms kintamosioms reikšmėms x konvergencijos sritis susideda arba iš vieno taško, arba yra tam tikras intervalas (konvergencijos intervalas), arba sutampa su visa ašimi Jautis .

Keičiant reikšmes į galios eilutes x= 0 bus skaičių serija

c 0 +0+0+...+0+... ,

kuris susilieja.

Todėl kai x= 0 bet kuri laipsnio eilutė suartėja ir todėl jos konvergencijos sritis negali būti tuščias rinkinys. Visų laipsnių eilučių konvergencijos srities struktūra yra vienoda. Jį galima nustatyti naudojant šią teoremą.

1 teorema (Abelio teorema). Jei laipsnio eilutė suartėja ties kokia nors verte x = x 0, skiriasi nuo nulio, tada jis suartėja ir, be to, absoliučiai visoms | x| < |x 0 |

. Atkreipkite dėmesį: ir pradinė reikšmė „X yra nulis“, ir bet kuri „X“ reikšmė, kuri lyginama su pradine reikšme, imama modulo – neatsižvelgiant į ženklą. Pasekmė. Jeigu galios serijos skiriasi x = x tam tikra verte x| > |x 1 | .

1, tada jis skiriasi visoms | reikšmėms x Kaip jau sužinojome anksčiau, bet kuri laipsnio eilutė suartėja su verte x= 0. Yra laipsnių eilučių, kurios susilieja tik tada, kai = 0 ir kitoms reikšmėms skiriasi X x = x. Neatsižvelgdami į šį atvejį, darome prielaidą, kad laipsnio eilutė suartėja ties tam tikra verte x 0 |, |x 0, skiriasi nuo nulio. Tada, pagal Abelio teoremą, jis suartėja visuose intervalo ]-| taškuose

0 |[ (intervalas, kurio kairioji ir dešinioji ribos yra x reikšmės, kuriose laipsnių eilutė suartėja, atitinkamai paimta su minuso ir pliuso ženklu), simetriškas kilmei. x = x 1, tada, remiantis Abelio teoremos išvadomis, jis skiriasi visuose taškuose, esančiuose už atkarpos ribų [-| x 1 |, |x 1 |] . Iš to išplaukia, kad bet kuriai laipsnio eilei yra intervalas, simetriškas pradžios atžvilgiu, vadinamas konvergencijos intervalas, kiekviename taške, kurio eilutė suartėja, ties ribomis ji gali suartėti arba gali skirtis, ir nebūtinai tuo pačiu metu, o už atkarpos ribų serija skiriasi. Skaičius R vadinamas laipsnių eilučių konvergencijos spinduliu.

Ypatingais atvejais laipsnių eilučių konvergencijos intervalas gali išsigimti iki taško (tada serija susilieja tik tada, kai x= 0 ir laikoma, kad R= 0) arba pavaizduoti visą skaičių tiesę (tada serija suartėja visuose skaičių linijos taškuose ir daroma prielaida, kad ).

Taigi laipsnių eilutės konvergencijos srities nustatymas susideda iš jos nustatymo konvergencijos spindulys R ir tiriant eilučių konvergenciją ties konvergencijos intervalo ribomis (prie ).

2 teorema. Jei visi laipsnio eilutės koeficientai, pradedant nuo tam tikro, skiriasi nuo nulio, tada jos konvergencijos spindulys yra lygus ribai, kuri yra bendrųjų narių koeficientų absoliučių verčių santykiu. ją sekančios serijos, t.y.

1 pavyzdys. Raskite laipsnių eilučių konvergencijos sritį

Sprendimas. Čia

Naudodami (28) formulę randame šios eilutės konvergencijos spindulį:

Ištirkime eilučių konvergenciją konvergencijos intervalo galuose. 13 pavyzdys rodo, kad ši eilutė suartėja ties x= 1 ir skiriasi ties x= -1. Vadinasi, konvergencijos sritis yra pusės intervalas.

2 pavyzdys. Raskite laipsnių eilučių konvergencijos sritį

Sprendimas. Serijos koeficientai yra teigiami, ir

Raskime šio santykio ribą, t.y. laipsnių eilučių konvergencijos spindulys:

Išnagrinėkime eilučių konvergenciją intervalo galuose. Vertybių pakeitimas x= -1/5 ir x= 1/5 šioje eilutėje suteikia:

Pirmoji iš šių eilučių suartėja (žr. 5 pavyzdį). Bet tada, remiantis „absoliučios konvergencijos“ skyriaus teorema, antroji eilutė taip pat suartėja, o jos konvergencijos sritis yra segmentas

3 pavyzdys. Raskite laipsnių eilučių konvergencijos sritį

Sprendimas. Čia

Naudodami (28) formulę randame eilučių konvergencijos spindulį:

Išnagrinėkime reikšmių eilučių konvergenciją. Pakeitę juos šioje serijoje, gauname atitinkamai

Abi eilutės skiriasi, nes netenkinama būtina konvergencijos sąlyga (jų bendrieji terminai nelinkę į nulį ties ). Taigi abiejuose konvergencijos intervalo galuose ši eilutė skiriasi, o jos konvergencijos sritis yra intervalas.

5 pavyzdys. Raskite laipsnių eilučių konvergencijos sritį

Sprendimas. Mes randame santykį, kur , ir :

Pagal (28) formulę šios eilutės konvergencijos spindulys

tai yra, serija susilieja tik tada, kai x= 0 ir skiriasi kitoms reikšmėms = 0 ir kitoms reikšmėms skiriasi.

Pavyzdžiai rodo, kad konvergencijos intervalo pabaigoje eilutės elgiasi skirtingai. 1 pavyzdyje viename konvergencijos intervalo gale konverguoja, o kitame, 2 pavyzdyje, ji suartėja abiejuose galuose;

Laipsnių eilutės konvergencijos spindulio formulė gaunama darant prielaidą, kad visi eilutės narių koeficientai, pradedant nuo tam tikro taško, skiriasi nuo nulio. Todėl (28) formulę galima naudoti tik šiais atvejais. Jei ši sąlyga pažeidžiama, laipsnių eilučių konvergencijos spindulio reikia ieškoti naudojant d'Alembert testą arba, pakeičiant kintamąjį, seką transformuoti į formą, kurioje tenkinama nurodyta sąlyga.

6 pavyzdys. Raskite laipsnių eilučių konvergencijos intervalą

Sprendimas. Šioje serijoje nėra terminų su nelyginiais laipsniais = 0 ir kitoms reikšmėms skiriasi. Todėl transformuojame seriją, nustatymą . Tada gauname seriją

rasti kurio konvergencijos spindulį galime pritaikyti (28) formulę. Kadangi , a , tada šios serijos konvergencijos spindulys

Iš lygybės gauname Todėl ši serija suartėja su intervalu .

Galios eilučių suma. Galios eilučių diferencijavimas ir integravimas

Leiskite galios serijai

konvergencijos spindulys R> 0, t.y. ši serija susilieja į intervalą .

Tada kiekviena vertė = 0 ir kitoms reikšmėms skiriasi iš konvergencijos intervalo atitinka tam tikrą eilutės sumą. Todėl laipsnių eilučių suma yra funkcija = 0 ir kitoms reikšmėms skiriasi konvergencijos intervale. Žymėdamas tai f(x), galime parašyti lygybę

suprasti tai ta prasme, kad serijų suma kiekviename taške = 0 ir kitoms reikšmėms skiriasi iš konvergencijos intervalo yra lygus funkcijos reikšmei f(x) šiuo metu. Ta pačia prasme sakysime, kad laipsnio eilutė (29) konverguoja į funkciją f(x) konvergencijos intervale.

Už konvergencijos intervalo ribų lygybė (30) neturi prasmės.

7 pavyzdys. Raskite laipsnių eilučių sumą

Sprendimas. Tai geometrinė serija, kuriai a= 1, a q= x. Todėl jo suma yra funkcija . Serija konverguoja, jei , ir yra jos konvergencijos intervalas. Todėl lygybė

galioja tik reikšmėms, nors funkcija apibrėžtos visoms vertėms = 0 ir kitoms reikšmėms skiriasi, išskyrus = 0 ir kitoms reikšmėms skiriasi= 1.

Galima įrodyti, kad laipsnių eilutės suma f(x) yra tęstinis ir diferencijuojamas bet kuriame konvergencijos intervalo intervale, ypač bet kuriame eilutės konvergencijos intervalo taške.

Pateiksime teoremas apie laipsnių eilučių diferencijavimą ir integravimą.

1 teorema. Laipsninės eilutės (30) jos konvergencijos intervale gali būti diferencijuojamos pagal terminą neribotą skaičių kartų, o gautos laipsnių eilutės konvergencijos spindulys yra toks pat kaip ir pradinės eilutės, o jų sumos atitinkamai lygios .

2 teorema. Laipsnių eilutę (30) galima integruoti po terminą neribotą skaičių kartų intervale nuo 0 iki = 0 ir kitoms reikšmėms skiriasi, jei , ir gautos laipsnio eilutės turi tokį patį konvergencijos spindulį kaip ir pradinės eilutės, o jų sumos yra atitinkamai lygios

Funkcijų išplėtimas į galių eilutes

Tegu funkcija duota f(x), kurią reikia išplėsti į galios eilutę, t.y. pavaizduoti formoje (30):

Užduotis – nustatyti koeficientus eilutė (30). Norėdami tai padaryti, diferencijuodami lygybę (30) pagal terminą, nuosekliai randame:

……………………………………………….. (31)

Darant prielaidą, kad lygybės (30) ir (31) = 0 ir kitoms reikšmėms skiriasi= 0, randame

Rastus posakius pakeitę lygybe (30), gauname

(32)

Raskime kai kurių elementarių funkcijų Maclaurin serijos išplėtimą.

8 pavyzdys. Išplėskite funkciją Maclaurin serijoje

Sprendimas. Šios funkcijos išvestiniai sutampa su pačia funkcija:

Todėl kai = 0 ir kitoms reikšmėms skiriasi= 0 turime

Pakeitę šias reikšmes į (32) formulę, gauname norimą išplėtimą:

(33)

Ši eilutė susilieja į visą skaičių tiesę (jos konvergencijos spindulį).

16.1. Elementariųjų funkcijų išplėtimas Taylor ir Maclaurin serijose

Parodykime, kad jei aibėje yra apibrėžta savavališka funkcija
, netoli taško
turi daug išvestinių ir yra laipsnių eilutės suma:

tada galite rasti šios serijos koeficientus.

Pakeiskime galios seriją
. Tada
.

Raskime pirmąją funkcijos išvestinę
:

At
:
.

Dėl antrosios išvestinės gauname:

At
:
.

Tęsiant šią procedūrą n kai tik gausime:
.

Taigi, mes gavome formos laipsnius:

kuris vadinamas šalia Teiloro už funkciją
taško apylinkėse
.

Ypatingas Taylor serijos atvejis yra Maclaurin serija adresu
:

Likusi Taylor (Maclaurin) serijos dalis gaunama išmetus pagrindinę seriją n pirmieji nariai ir žymimas kaip
. Tada funkcija
galima parašyti kaip sumą n pirmieji serijos nariai
o likusią dalį
:,

Likusi dalis paprastai yra
išreikštas skirtingomis formulėmis.

Vienas iš jų yra Lagrange formos:

, Kur
.
.

Atkreipkite dėmesį, kad praktikoje Maclaurin serija naudojama dažniau. Taigi, norint parašyti funkciją
laipsnio eilutės sumos pavidalu būtina:

1) rasti Maclaurin (Taylor) serijos koeficientus;

2) rasti gautų laipsnių eilučių konvergencijos sritį;

3) įrodyti, kad ši eilutė suartėja su funkcija
.

1 teorema (būtina ir pakankama Maclaurino eilučių konvergencijos sąlyga). Tegul serijos konvergencijos spindulys
. Kad ši serija suartėtų intervale
funkcionuoti
, būtina ir pakanka, kad sąlyga būtų įvykdyta:
nurodytu intervalu.

2 teorema. Jei funkcijos bet kurios eilės išvestinės
tam tikru intervalu
absoliučia verte apribota iki to paties skaičiaus M, tai yra
, tada šiame intervale funkcija
gali būti išplėsta į Maclaurin seriją.

1 pavyzdys. Išplėskite Taylor seriją aplink tašką
funkcija.

Sprendimas.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

Konvergencijos regionas
.

2 pavyzdys. Išplėskite funkciją Taylor serijoje aplink tašką
.

Sprendimas:

Raskite funkcijos ir jos išvestinių reikšmę ties
.

,
;

...........……………………………

,
.

Sudėkime šias vertes iš eilės. Mes gauname:

arba
.

Raskime šios eilutės konvergencijos sritį. Pagal d'Alemberto testą, serija suartėja, jei

Todėl bet kokiam ši riba yra mažesnė nei 1, todėl eilučių konvergencijos diapazonas bus toks:
.

Panagrinėkime keletą pagrindinių elementariųjų funkcijų išplėtimo iš Maclaurin serijos pavyzdžių. Prisiminkite, kad Maclaurin serija:

susilieja į intervalą
funkcionuoti
.

Atminkite, kad norint išplėsti funkciją į seriją, būtina:

a) raskite šios funkcijos Maklaurino eilučių koeficientus;

b) apskaičiuokite gautų eilučių konvergencijos spindulį;

c) įrodyti, kad gauta eilutė konverguoja į funkciją
.

3 pavyzdys. Apsvarstykite funkciją
.

Sprendimas.

Apskaičiuokime funkcijos ir jos išvestinių reikšmę ties
.

Tada serijos skaitiniai koeficientai yra tokios formos:

bet kam n. Pakeiskime rastus koeficientus į Maclaurin seriją ir gaukime:

Raskime gautų eilučių konvergencijos spindulį, būtent:

Todėl serija susilieja į intervalą
.

Ši serija susilieja su funkcija bet kokioms vertybėms , nes bet kuriuo intervalu
funkcija o jo absoliučios vertės išvestinių priemonių skaičius yra ribotas .

4 pavyzdys. Apsvarstykite funkciją
.

Sprendimas.

Nesunku pastebėti, kad tolygios eilės dariniai
, o išvestinės yra nelyginės eilės. Pakeiskime rastus koeficientus į Maclaurin eilutę ir gaukime išplėtimą:

Raskime šios eilutės konvergencijos intervalą. Pagal d'Alemberto ženklą:

bet kam . Todėl serija susilieja į intervalą
.

Ši serija susilieja su funkcija
, nes visi jo vediniai apsiriboja vienybe.

5 pavyzdys.
.

Sprendimas.

Raskime funkcijos ir jos išvestinių reikšmę ties
:

Taigi šios serijos koeficientai:
Ir
, taigi:

Panašiai kaip ir ankstesnėje eilutėje, konvergencijos sritis
. Serija susilieja su funkcija
, nes visi jo vediniai apsiriboja vienybe.

Atkreipkite dėmesį, kad funkcija
nelyginis ir serijos plėtimas nelyginėmis galiomis, funkcija
– tolygus ir išsiplėtimas į seriją lygiomis galiomis.

6 pavyzdys. Dvejetainė serija:
.

Sprendimas.

Raskime funkcijos ir jos išvestinių reikšmę ties
:

Iš to matyti, kad:

Pakeiskime šias koeficientų reikšmes į Maclaurin seriją ir gaukime šios funkcijos išplėtimą į galios eilutę:

Raskime šios serijos konvergencijos spindulį:

Todėl serija susilieja į intervalą
. Ribiniuose taškuose ties
Ir
eilutė gali suartėti arba nekonverguoti priklausomai nuo eksponento
.

Ištirtos eilutės susilieja į intervalą
funkcionuoti
, tai yra serijos suma
adresu
.

7 pavyzdys. Išplėskime funkciją Maclaurin serijoje
.

Sprendimas.

Norėdami išplėsti šią funkciją į seriją, naudojame dvinarę eilutę at
. Mes gauname:

Remdamiesi laipsnių eilučių savybe (laipsnių eilutę galima integruoti jos konvergencijos srityje), randame šios eilutės kairiosios ir dešinės pusės integralą:

Raskime šios serijos konvergencijos sritį:
,

tai yra, šios serijos konvergencijos sritis yra intervalas
.

Nustatykime eilučių konvergenciją intervalo galuose. At
. Ši serija yra harmoninga serija, tai yra, ji skiriasi. At
.

gauname skaičių eilutę su bendru terminu
.

Serija konverguoja pagal Leibnizo testą. Taigi šios eilutės konvergencijos sritis yra intervalas

16.2. Galios eilučių taikymas apytiksliuose skaičiavimuose n Apytiksliuose skaičiavimuose galios eilutės vaidina labai svarbų vaidmenį. Jų pagalba buvo sudarytos trigonometrinių funkcijų lentelės, logaritmų lentelės, kitų funkcijų reikšmių lentelės, kurios naudojamos įvairiose žinių srityse, pavyzdžiui, tikimybių teorijoje ir matematinėje statistikoje. Be to, funkcijų išplėtimas į laipsnių eilutes yra naudingas jų teoriniam tyrimui. Apytiksliuose skaičiavimuose naudojant laipsnio eilutes pagrindinė problema yra klaidos įvertinimas, kai serijos suma pakeičiama jos pirmosios suma.

narių.

Panagrinėkime du atvejus:

funkcija išplečiama į signalų kaitaliojimą;

funkcija išplečiama į pastovaus ženklo seką.

Skaičiavimas naudojant kintamąsias eilutes
Tegul funkcija išplėsta į kintamos galios eilutę. Tada apskaičiuojant šią funkciją konkrečiai vertei n gauname skaičių eilutę, kuriai galime pritaikyti Leibnizo kriterijų. Pagal šį kriterijų, jei serijos suma pakeičiama jos pirmosios suma
.