\(\bullet\) Racionalioji lygtis yra lygtis, pavaizduota forma \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\], kur \(P(x), \Q(x)\ ) - daugianariai (įvairių laipsnių „X“ suma, padauginta iš įvairių skaičių).
Kairėje lygties pusėje esanti išraiška vadinama racionalia išraiška.
Racionalios lygties EA (priimtinų reikšmių diapazonas) yra visos \(x\) reikšmės, kuriose vardiklis NĖRA nulis, tai yra, \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Pavyzdžiui, lygtys \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] yra racionalios lygtys.
Pirmoje lygtyje visi ODZ yra \(x\) tokie, kad \(x\ne 3\) (rašyti \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); antroje lygtyje – tai visi \(x\) tokie, kad \(x\ne -1; x\ne 1\) (įrašykite \(x\in (-\infty;-1)\puodelis(-1;1)\puodelis(1;+\infty)\)); ir trečioje lygtyje nėra jokių ODZ apribojimų, tai yra, ODZ yra visas \(x\) (jie rašo \(x\in\mathbb(R)\)).
\(\bullet\) teoremos: 1) Dviejų veiksnių sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai vienas iš jų yra lygus nuliui, o kitas nepraranda reikšmės, todėl lygtis \(f(x)\cdot g(x)=0\ ) yra lygiavertis sistemai 1 tekstas(ODZ lygtys)\pabaiga(atvejai)\] 2) trupmena lygi nuliui tada ir tik tada, kai skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis nelygus nuliui, todėl lygtis \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) yra lygiavertis lygčių sistemai\[\begin(cases) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cases)\]
\(\bullet\) Pažvelkime į kelis pavyzdžius.
1) Išspręskite lygtį \(x+1=\dfrac 2x\) .
Raskime šios lygties ODZ - tai yra \(x\ne 0\) (nes \(x\) yra vardiklyje). Tai reiškia, kad ODZ galima parašyti taip: . Perkelkime visus terminus į vieną dalį ir sujunkime juos į bendrą vardiklį:
\[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftright arrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( atvejai) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(atvejai)\] Pirmosios sistemos lygties sprendimas bus \(x=-2, x=1\) . Matome, kad abi šaknys yra ne nulis. Todėl atsakymas yra toks: \(x\in \(-2;1\)\) .. Raskime šios lygties ODZ. Matome, kad vienintelė \(x\) reikšmė, kuriai kairioji pusė neturi prasmės, yra \(x=0\) . Taigi, ODZ gali būti parašytas taip:.
\(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\)
Taigi ši lygtis yra lygiavertė sistemai:' ' 0 \pabaiga(sulygiuota) \pabaiga(surinkta) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftright arrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(surinkta)\begin(sulyginta) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \pabaiga(sulygiuota) \pabaiga(surinkta) \dešinė.\\ x\ne 0 \pabaiga(atvesta) \quad \Leftright rodrow \quad \left[ \begin(surinkta) \begin(sulygiuotas) &x=2\\ &x=1 \end(sulygiuotas) \end(surinktas) \right.\]
Iš tiesų, nepaisant to, kad \(x=0\) yra antrojo veiksnio šaknis, jei pakeisite \(x=0\) į pradinę lygtį, tai nebus prasminga, nes išraiška \(\dfrac 40\) neapibrėžta.
Taigi šios lygties sprendimas yra \(x\in \(1;2\)\) . 3) Išspręskite lygtį\[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\]
Mūsų lygtyje \(4x^2-1\ne 0\) , iš kurios \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , tai yra \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
Perkelkime visus terminus į kairę pusę ir suveskime juos į bendrą vardiklį:
\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Rodyklė į kairę \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftright rodyklė \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftright rodyklė\)
' )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(atvejai) \quad \Leftright rodrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(surinkta) \begin( sulygiuotas) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \pabaiga (sulygiuota)\pabaiga (surinkta) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ Rodyklė į kairę į dešinę \quad x=-3\)
Atsakymas: \(x\in \(-3\)\) .
Su problemomis, reikalaujančiomis spręsti racionalias lygtis, vieningame valstybiniame matematikos egzamine susiduriama kasmet, tad ruošdamiesi išlaikyti atestacinį egzaminą abiturientai tikrai turėtų savarankiškai kartoti teoriją šia tema. Absolventai, laikantys ir pagrindinį, ir specializuotą egzaminą, turi sugebėti susidoroti su tokiomis užduotimis. Įsisavinę teoriją ir atlikę praktinius pratimus tema „Racionalios lygtys“, studentai galės išspręsti užduotis atlikdami bet kokį veiksmų skaičių ir tikėtis, kad vieningo valstybinio egzamino metu gaus konkursinius balus.
Kaip pasiruošti egzaminui naudojantis Shkolkovo edukaciniu portalu?
Kartais rasti šaltinį, kuris pilnai pateiktų pagrindinę matematinių problemų sprendimo teoriją, yra gana sunku. Vadovėlio gali tiesiog nebūti po ranka. O rasti reikiamas formules kartais gali būti gana sunku net internete.
Švietimo portalas „Shkolkovo“ atleis jus nuo būtinybės ieškoti reikalingos medžiagos ir padės gerai pasiruošti išlaikyti sertifikavimo testą.
Mūsų specialistai paruošė ir pateikė visą reikalingą teoriją tema „Racionalios lygtys“ prieinamiausia forma. Išstudijavę pateiktą informaciją, studentai galės užpildyti žinių spragas.
Norint sėkmingai pasiruošti vieningam valstybiniam egzaminui, abiturientams reikia ne tik atnaujinti atmintį pagrindinės teorinės medžiagos tema „Racionalios lygtys“, bet ir praktikuotis atliekant užduotis naudojant konkrečius pavyzdžius. Didelis užduočių pasirinkimas pateikiamas skiltyje „Katalogas“.
Kiekvienam pratimui svetainėje mūsų ekspertai surašė sprendimo algoritmą ir nurodė teisingą atsakymą. Studentai gali praktikuotis spręsdami įvairaus sunkumo problemas, priklausomai nuo jų įgūdžių lygio. Atitinkamo skyriaus užduočių sąrašas nuolat pildomas ir atnaujinamas.
Internete galite studijuoti teorinę medžiagą ir patobulinti savo įgūdžius sprendžiant problemas tema „Racionalios lygtys“, panašias į tas, kurios įtrauktos į vieningo valstybinio egzamino testus. Jei reikia, bet kuri iš pateiktų užduočių gali būti įtraukta į skyrių „Mėgstamiausi“. Dar kartą pakartojęs pagrindinę teoriją tema „Racionalios lygtys“, gimnazistas ateityje galės grįžti prie problemos ir aptarti jos sprendimo eigą su mokytoju algebros pamokoje.
Šiai lygčiai supaprastinti naudojamas mažiausias bendras vardiklis.Šis metodas naudojamas, kai negalite parašyti duotosios lygties su viena racionalia išraiška kiekvienoje lygties pusėje (ir naudoti kryžminį daugybos metodą). Šis metodas naudojamas, kai pateikiama racionali lygtis su 3 ar daugiau trupmenų (jei dvi trupmenos, geriau naudoti kryžminį dauginimą).
Raskite mažiausią bendrąjį trupmenų vardiklį (arba mažiausią bendrą kartotinį). NOZ yra mažiausias skaičius, kuris tolygiai dalijasi iš kiekvieno vardiklio.
- Kartais NPD yra akivaizdus skaičius. Pavyzdžiui, jei pateikiama lygtis: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, tada akivaizdu, kad mažiausias skaičių 3, 2 ir 6 bendras kartotinis yra 6.
- Jei NCD nėra akivaizdus, užrašykite didžiausio vardiklio kartotinius ir raskite tarp jų vieną, kuris bus kitų vardiklio kartotinis. Dažnai NOD galima rasti tiesiog padauginus du vardiklius. Pavyzdžiui, jei lygtis pateikta x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, tada NOS = 8*9 = 72.
- Jei viename ar keliuose vardikliuose yra kintamasis, procesas tampa šiek tiek sudėtingesnis (bet ne neįmanomas). Šiuo atveju NOC yra išraiška (su kintamuoju), kuri yra padalinta iš kiekvieno vardiklio. Pavyzdžiui, lygtyje 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), nes ši išraiška dalijama iš kiekvieno vardiklio: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).
Kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš skaičiaus, lygaus NOC padalijus iš atitinkamo kiekvienos trupmenos vardiklio.
- Kadangi dauginate ir skaitiklį, ir vardiklį iš to paties skaičiaus, efektyviai padauginate trupmeną iš 1 (pavyzdžiui, 2/2 = 1 arba 3/3 = 1).
- Taigi mūsų pavyzdyje padauginkite x/3 iš 2/2, kad gautumėte 2x/6, o 1/2 padauginkite iš 3/3, kad gautumėte 3/6 (trupmenos 3x +1/6 nereikia dauginti, nes ji vardiklis yra 6).
Panašiai elkitės, kai kintamasis yra vardiklyje. Antrajame mūsų pavyzdyje NOZ = 3x(x-1), todėl padauginkite 5/(x-1) iš (3x)/(3x), kad gautumėte 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x padaugintas iš 3(x-1)/3(x-1) ir gausite 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) padauginus iš (x-1)/(x-1) ir gausite 2(x-1)/3x(x-1). Rasti x.
- Mūsų pavyzdyje: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Galite pridėti 2 trupmenas su tuo pačiu vardikliu, todėl parašykite lygtį taip: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Abi lygties puses padauginkite iš 6 ir atmeskite vardiklius: 2x+3 = 3x +1. Išspręskite ir gaukite x = 2.
- Antrajame pavyzdyje (vardiklyje yra kintamasis) lygtis atrodo taip (sumažinus iki bendro vardiklio): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (x-1) / 3x (x-1). Abi lygties puses padauginę iš N3, atsikratysite vardiklio ir gausite: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), arba 15x = 3x - 3 + 2x -2, arba 15x = x - 5 Išspręskite ir gaukite: x = -5/14.
Sveikojo skaičiaus išraiška yra matematinė išraiška, sudaryta iš skaičių ir pažodinių kintamųjų, naudojant sudėties, atimties ir daugybos operacijas. Sveikieji skaičiai taip pat apima išraiškas, kurios apima padalijimą iš bet kurio skaičiaus, išskyrus nulį.
Trupmeninės racionalios išraiškos samprata
Trupmeninė išraiška – matematinė išraiška, kuri, be sudėjimo, atimties ir daugybos operacijų, atliekamų su skaičiais ir raidžių kintamaisiais, taip pat dalijimo iš skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui, apima ir padalijimą į išraiškas su raidžių kintamaisiais.
Racionalios išraiškos yra visos ir trupmeninės išraiškos. Racionaliosios lygtys yra lygtys, kurių kairė ir dešinė pusės yra racionalios išraiškos. Jei racionaliojoje lygtyje kairioji ir dešinė pusės yra sveikųjų skaičių išraiškos, tai tokia racionali lygtis vadinama sveikuoju skaičiumi.
Jei racionaliojoje lygtyje kairioji arba dešinioji pusė yra trupmeninės išraiškos, tai tokia racionali lygtis vadinama trupmenine.
Trupmeninių racionalių reiškinių pavyzdžiai
1. x-3/x = -6*x+19
2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)
3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))
Trupmeninės racionalios lygties sprendimo schema
1. Raskite visų į lygtį įtrauktų trupmenų bendrą vardiklį.
2. Abi lygties puses padauginkite iš bendro vardiklio.
3. Išspręskite gautą visą lygtį.
4. Patikrinkite šaknis ir pašalinkite tas, dėl kurių bendras vardiklis išnyksta.
Kadangi mes sprendžiame trupmenines racionaliąsias lygtis, trupmenų vardikliuose bus kintamieji. Tai reiškia, kad jie bus bendras vardiklis. O antrame algoritmo taške dauginame iš bendro vardiklio, tada gali atsirasti pašalinių šaknų. Kai bendras vardiklis bus lygus nuliui, vadinasi, dauginimas iš jo bus beprasmis. Todėl pabaigoje būtina patikrinti gautas šaknis.
Pažiūrėkime į pavyzdį:
Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).
Laikysimės bendros schemos: pirmiausia raskite bendrą visų trupmenų vardiklį. Gauname x*(x-5).
Padauginkite kiekvieną trupmeną iš bendro vardiklio ir parašykite gautą visą lygtį.
(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
Supaprastinkime gautą lygtį. Mes gauname:
x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;
Gauname paprastą sumažintą kvadratinę lygtį. Jį išsprendžiame bet kuriuo iš žinomų metodų, gauname šaknis x=-2 ir x=5.
Dabar patikriname gautus sprendimus:
Pakeiskite skaičius -2 ir 5 į bendrą vardiklį. Esant x=-2, bendras vardiklis x*(x-5) neišnyksta, -2*(-2-5)=14. Tai reiškia, kad skaičius -2 bus pradinės trupmeninės racionalios lygties šaknis.
Esant x=5 bendras vardiklis x*(x-5) tampa nuliu. Todėl šis skaičius nėra pradinės trupmeninės racionalios lygties šaknis, nes bus dalijimas iš nulio.
Paprasčiau tariant, tai lygtys, kurių vardiklyje yra bent vienas kintamasis.
Pavyzdžiui:
\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)
Pavyzdys Ne trupmeninės racionalios lygtys:
\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)
Kaip sprendžiamos trupmeninės racionalios lygtys?
Svarbiausia atsiminti trupmenines racionaliąsias lygtis – jose reikia įrašyti. Ir suradę šaknis, būtinai patikrinkite jų leistinumą. Priešingu atveju gali atsirasti pašalinių šaknų, o visas sprendimas bus laikomas neteisingu.
Trupmeninės racionalios lygties sprendimo algoritmas:
Užsirašykite ir „išspręskite“ ODZ.
Padauginkite kiekvieną lygties narį iš bendro vardiklio ir atšaukite gautas trupmenas. Vardikliai išnyks.
Parašykite lygtį neatplėšdami skliaustų.
Išspręskite gautą lygtį.
Patikrinkite rastas šaknis su ODZ.
Savo atsakyme užrašykite šaknis, kurios išlaikė testą 7 veiksme.
Neįsimink algoritmo, 3-5 išspręstas lygtis ir ji įsimins savaime.
Pavyzdys . Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)
Sprendimas:
Atsakymas: \(3\).
Pavyzdys . Raskite trupmeninės racionalios lygties šaknis \(=0\)
Sprendimas:
|
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) |
Užrašome ir „išsprendžiame“ ODZ. Išplečiame \(x^2+7x+10\) į pagal formulę: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). |
|
|
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\) |
Akivaizdu, kad bendrasis trupmenų vardiklis yra \((x+2)(x+5)\). Iš jo padauginame visą lygtį. |
|
|
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) |
Mažinančios frakcijos |
|
|
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\) |
Skliaustų atidarymas |
|
|
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\) |
|
Pateikiame panašias sąlygas |
|
\(2x^2+9x-5=0\) |
|
Lygties šaknų radimas |
|
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\) |
|
Viena iš šaknų netinka ODZ, todėl atsakyme rašome tik antrąją šaknį. |
Atsakymas: \(\frac(1)(2)\).
Trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimas
Nuorodų vadovas
Racionaliosios lygtys yra lygtys, kurių kairėje ir dešinėje pusėse yra racionalios išraiškos.
(Atminkite: racionalios išraiškos yra sveikosios ir trupmeninės išraiškos be radikalų, įskaitant sudėties, atimties, daugybos ar padalijimo operacijas, pvz.: 6x; (m – n)2; x/3y ir tt)
Trupmeninės racionalios lygtys paprastai redukuojamos į formą:
Kur P(x) Ir K(x) yra daugianariai.
Norėdami išspręsti tokias lygtis, padauginkite abi lygties puses iš Q(x), todėl gali atsirasti pašalinių šaknų. Todėl sprendžiant trupmenines racionaliąsias lygtis, būtina patikrinti rastas šaknis.
Racionalioji lygtis vadinama visuma arba algebrine, jei ji nesidalija iš išraiškos, kurioje yra kintamasis.
Visos racionalios lygties pavyzdžiai:
5x – 10 = 3 (10 – x)
3x
- = 2x - 10
4
Jei racionaliojoje lygtyje yra dalijimasis iš išraiškos, kurioje yra kintamasis (x), tada lygtis vadinama trupmenine racionalia.
Trupmeninės racionalios lygties pavyzdys:
15
x + - = 5x - 17
x
Trupmeninės racionalios lygtys paprastai sprendžiamos taip:
1) raskite bendrąjį trupmenų vardiklį ir padauginkite iš jo abi lygties puses;
2) išspręskite gautą visą lygtį;
3) iš savo šaknų išbraukti tuos, kurie bendrąjį trupmenų vardiklį sumažina iki nulio.
Sveikųjų skaičių ir trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo pavyzdžiai.
1 pavyzdys. Išspręskime visą lygtį
x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6
Sprendimas:
Mažiausio bendro vardiklio radimas. Tai yra 6. Padalinkite 6 iš vardiklio ir gautą rezultatą padauginkite iš kiekvienos trupmenos skaitiklio. Gauname lygtį, lygiavertę tai:
3 (x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6
Kadangi kairė ir dešinė pusės turi tą patį vardiklį, jo galima praleisti. Tada gauname paprastesnę lygtį:
3 (x – 1) + 4x = 5x.
Mes tai išsprendžiame atidarydami skliaustus ir derindami panašius terminus:
3x – 3 + 4x = 5x
3x + 4x - 5x = 3
Pavyzdys išspręstas.
2 pavyzdys. Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį
x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x (x – 5)
Bendro vardiklio radimas. Tai x(x – 5). Taigi:
x 2 – 3 x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)
Dabar vėl atsikratome vardiklio, nes jis yra vienodas visoms išraiškoms. Sumažiname panašius terminus, lygtį prilyginame nuliui ir gauname kvadratinę lygtį:
x 2 – 3x + x – 5 = x + 5
x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0
x 2 – 3x – 10 = 0.
Išsprendę kvadratinę lygtį, randame jos šaknis: –2 ir 5.
Patikrinkime, ar šie skaičiai yra pradinės lygties šaknys.
Esant x = –2, bendras vardiklis x(x – 5) neišnyksta. Tai reiškia, kad –2 yra pradinės lygties šaknis.
Kai x = 5, bendras vardiklis tampa nuliu, o dvi iš trijų išraiškų netenka prasmės. Tai reiškia, kad skaičius 5 nėra pradinės lygties šaknis.
Atsakymas: x = –2
Daugiau pavyzdžių
1 pavyzdys.
x 1 = 6, x 2 = - 2,2.
Atsakymas: -2,2;6.
2 pavyzdys.
