3. Taip blondinės sprendžia lygtis!

Šis užrašas, kurį padariau prieš keletą metų, yra bene trumpiausias įrodymas, kad... 2 = 3. Padėkite ant jo veidrodį (arba pažiūrėkite į jį per šviesą), ir pamatysite, kaip pasisuks „du“ į "tris"

Kita neįprasta formulė:

vienuolika + du = dvylika + vienas.

Pasirodo, anglų kalboje lygybė 11 + 2 = 12 + 1 yra teisinga, net jei ji užrašoma žodžiais - kairėje ir dešinėje esančių raidžių „suma“ yra vienoda! Tai reiškia, kad dešinioji šios lygybės pusė yra kairiosios anagrama, tai yra, ji gaunama iš jos perstačius raides.

Panašias, nors ir mažiau įdomias, pažodines lygybes galima gauti rusų kalba:

penkiolika + šeši = šešiolika + penki.

1960–1970 metais pagrindinis nacionalinis gėrimas, vadinamas „Maskvos specialia degtine“, kainavo: pusė litro – 2,87, ketvirtadalis litro – 1,49. Šiuos skaičius tikriausiai žinojo beveik visi suaugusieji SSRS gyventojai. Sovietų matematikai pastebėjo, kad pusės litro kainą padidinus iki ketvirčio kainos, gaunamas skaičius „Pi“:

1,49 2,87 ??

(Pranešė B. S. Gorobetsas).

Išleidus pirmąjį knygos leidimą, Maskvos valstybinio universiteto Chemijos fakulteto docentas Leenzonas I. A. atsiuntė man tokį įdomų komentarą apie šią formulę: „...prieš daug metų, kai dar nebuvo skaičiuoklių, o val. fizikos skyriuje atlikome sunkų testą ant slydimo taisyklės (!) (kiek kartų reikia judinti liniuotę į kairę ir į dešinę?), aš, pasitelkęs tiksliausias tėvo lenteles (jis buvo matininkas, jis visą gyvenimą svajojo apie aukštosios geodezijos egzaminą), išsiaiškino, kad keturiasdešimt devynios rupijos iki dviejų aštuoniasdešimt septynių lygių 3, 1408. Tai manęs netenkino. Mūsų sovietų valstybinis planavimo komitetas negalėjo pasielgti taip grubiai. Konsultacijos su Prekybos ministerija dėl Kirovskajos parodė, kad visi kainų skaičiavimai šalies mastu buvo atlikti šimtųjų centų tikslumu. Bet jie atsisakė man pasakyti tikslius skaičius, motyvuodami slaptumu (tuomet tai nustebino – koks čia slaptumas gali būti dešimtosiose ir šimtosiose cento dalyse). Dešimtojo dešimtmečio pradžioje man pavyko iš archyvo gauti tikslius degtinės kainos duomenis, kurie iki to laiko buvo išslaptinti specialiu dekretu. Ir taip gavosi: ketvirtis: 1 rublis 49,09 kapeikos. Parduodama - 1,49 rubliai. Pusė litro: 2 rubliai 86,63 kapeikos. Parduodama - 2,87 rubliai. Naudodamasis skaičiuokle nesunkiai išsiaiškinau, kad šiuo atveju ketvirtadalis iki pusės litro galios duoda (apvalinus iki 5 reikšminių skaitmenų) lygiai 3,1416! Galima tik stebėtis sovietinio valstybinio planavimo komiteto darbuotojų matematiniais sugebėjimais, kurie (aš tuo neabejoju nė sekundės) specialiai pritaikė apskaičiuotą populiariausio gėrimo kainą prie anksčiau žinomo rezultato.

Kuris matematikas, žinomas iš mokyklos laikų, yra užšifruotas šiame rebuse?

Matematikui, fizikui ir inžinieriui buvo pateikta tokia užduotis: „Prie priešingų salės sienų stovi berniukas ir mergaitė. Tam tikru momentu jie pradeda eiti vienas prie kito ir kas dešimt sekundžių įveikia pusę atstumo tarp jų. Kyla klausimas, kiek užtruks, kol jie pasieks vienas kitą?

Matematikas nedvejodamas atsakė:

Niekada.

Fizikas, šiek tiek pagalvojęs, pasakė:

Per begalinį laiką.

Inžinierius po ilgų skaičiavimų išdavė:

Maždaug po dviejų minučių jie bus pakankamai arti visais praktiniais tikslais.

Į šią pikantišką formulę, priskiriamą Landau, didelei dailiosios lyties atstovių mylimajai, atkreipiau dėmesį į garsųjį Landauvedų profesorių Gorobetsą.

Kaip mums pasakojo MSUIE docentas A.I., jis išgirdo, kad Landau išvedė tokią moters patrauklumo rodiklio formulę:

Kur K- krūtinės apimtis; M- ant klubų; N- aplink juosmenį, T- aukštis, viskas cm; P- svoris kg.

Taigi, jei modelio (1960 m.) parametrus paimsime apytiksliai: 80-80-60-170-60 (aukščiau pateiktoje reikšmių sekoje), tada pagal formulę gausime 5. Jei paimsime " parametrus antimodelis“, pvz.: 120 -120-120-170-60, tada gauname 2. Būtent šiame mokyklos pažymių diapazone, grubiai tariant, veikia „Landau formulė“.

(Citata iš knygos: Gorobetsas B. Landau ratas. Genijaus gyvenimas. M.: Leidykla LKI/URSS, 2008.)

Kitas mokslinis argumentas apie moters patrauklumą, priskiriamas Dau.

Nustatykime moters patrauklumą kaip atstumo iki jos funkciją. Kai argumentas yra begalinis, ši funkcija tampa lygi nuliu. Kita vertus, taške nulis taip pat yra nulis (kalbame apie išorinį patrauklumą, o ne apie taktilinį patrauklumą). Pagal Lagranžo teoremą, neneigiama tolydi funkcija, kuri segmento galuose įgyja nulines reikšmes, šiame segmente turi maksimumą. Taigi:

1. Yra atstumas, nuo kurio moteris yra patraukliausia.

2. Kiekvienai moteriai šis atstumas skirtingas.

3. Turite laikytis atstumo nuo moterų.

Teorema: Visi arkliai vienodos spalvos.

Įrodymas. Įrodykime teoremos teiginį indukcija.

At n= 1, tai yra, aibėje, kurią sudaro vienas arklys, teiginys akivaizdžiai teisingas.

Tegu teorema yra teisinga n = k. Įrodykime, kad tai taip pat tinka n = k+ 1. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite savavališką rinkinį k+ 1 arklys. Jei iš jo pašalinsite vieną arklį, tada bus tik k. Remiantis indukcijos hipoteze, jie visi yra vienodos spalvos. Dabar grąžinkime nuimtą arklį į vietą ir paimkime kitą. Vėlgi, remiantis indukcine hipoteze, šie k likę arkliai tokios pat spalvos. Bet tada viskas k+ 1 arklys bus tos pačios spalvos.

Vadinasi, pagal matematinės indukcijos principą visi arkliai yra vienodos spalvos. Teorema įrodyta.

Dar viena nuostabi matematinių metodų taikymo zoologijoje iliustracija.

Teorema: Krokodilas yra ilgesnis nei platus.

Įrodymas. Paimkime savavališką krokodilą ir įrodykime dvi pagalbines lemas.

1 lema: Krokodilas ilgesnis už žaliąjį.

Įrodymas. Pažiūrėkime į krokodilą iš viršaus – jis ilgas ir žalias. Pažiūrėkime į krokodilą iš apačios – jis ilgas, bet ne toks žalias (iš tikrųjų tamsiai pilkas).

Todėl 1 lema yra įrodyta.

2 lema: Krokodilas yra žalesnis už platųjį.

Įrodymas. Dar kartą pažiūrėkime į krokodilą iš viršaus. Jis žalias ir platus. Pažiūrėkime į krokodilą iš šono: jis žalias, bet neplatus. Tai įrodo 2 lemą.

Teoremos teiginys akivaizdžiai išplaukia iš įrodytų lemų.

Panašiai galima įrodyti ir atvirkštinę teoremą („krokodilas platesnis nei ilgas“).

Iš pirmo žvilgsnio iš abiejų teoremų matyti, kad krokodilas yra kvadratas. Tačiau kadangi jų formuluotės nelygybės yra griežtos, tikras matematikas padarys vienintelę teisingą išvadą: KROKODILAI NĖRA!

Teorema: Visi natūralūs skaičiai yra lygūs vienas kitam.

Įrodymas. Būtina įrodyti, kad bet kuriems dviem natūraliems skaičiams A Ir B lygybė patenkinta A = B. Performuluokime tai taip: bet kokiam N> 0 ir bet koks A Ir B, atitinkanti lygybę max ( A, B) = N, lygybė taip pat turi būti patenkinta A = B.

Įrodykime tai indukcija. Jeigu N= 1, tada A Ir B, būdami natūralūs, abu lygūs 1. Todėl A = B.

Dabar darykime prielaidą, kad teiginys buvo įrodytas tam tikra prasme k. Paimkime A Ir B kad max ( A, B) = k+ 1. Tada max( A–1, B–1) = k. Remiantis indukcijos hipoteze, išplaukia, kad ( A–1) = (B–1). Reiškia, A = B.

Kalbinių ir matematinių galvosūkių gerbėjai tikriausiai žino apie refleksinius, arba save apibūdinančius (negalvokite nieko blogo), į save nukreipiančius žodžius, frazes ir skaičius. Pavyzdžiui, į pastarąjį įeina skaičius 2100010006, kurio pirmasis skaitmuo yra lygus vienetų skaičiui šio skaičiaus įraše, antrasis - dvejetų skaičiui, trečiasis - triukų skaičiui, ..., dešimtoji – nulių skaičius.

Save apibūdinantys žodžiai apima, tarkime, žodį dvidešimt viena raidė, sugalvojau aš prieš keletą metų. Iš tikrųjų jame yra 21 raidė!

Yra žinoma labai daug save apibūdinančių frazių. Vieną pirmųjų pavyzdžių rusų kalba prieš daugelį metų sugalvojo garsus karikatūristas ir verbalinis sąmojis Vagrichas Bakhchanyanas: Šiame sakinyje yra trisdešimt dvi raidės. Štai keletas kitų, sugalvotų daug vėliau: 1. Septyniolika raidžių. 2. Šio sakinio pabaigoje yra klaida. 3. Šis sakinys būtų septyniais žodžiais trumpesnis. 4. Jūs esate mano valdomas, nes skaitysite mane, kol baigsite skaityti. 5. ...Šis sakinys prasideda ir baigiasi trimis taškais..

Taip pat yra sudėtingesnių dizainų. Pasigrožėkite, pavyzdžiui, šia pabaisa (žr. S. Tabachnikovo užrašą „Kunigas turėjo šunį“ žurnale „Kvant“, 1989 m. 6 Nr.): Šioje frazėje žodis „į“ kartojamas du kartus, žodis „tai“ – du kartus, žodis „frazė“ – du kartus, žodis „pasireiškia“ keturiolika kartų, žodis „žodis“ – keturiolika kartų, o žodis „tai“. raz“ pasitaiko šešis kartus, žodis „raza“ – septynis kartus, žodis „keturiolika“ – tris kartus, žodis „trys“ – du kartus, žodis „devyni“. , žodis „septyni“ pasitaiko du kartus, du Žodis „šeši“ pasirodo kelis kartus.

Praėjus metams po publikacijos „Kvante“, I. Akulichas sugalvojo save apibūdinančią frazę, apibūdinančią ne tik joje esančius žodžius, bet ir skyrybos ženklus: Frazę, kurią skaitote, sudaro: du žodžiai „Frazė“, du žodžiai „kuris“, du žodžiai „Tu“, du žodžiai „skaityti“, du žodžiai „yra“, dvidešimt penki žodžiai „žodžiai“, du žodžiai „žodžiai“. , du žodžiai „dvitaškis“, du žodžiai „kableliai“, du žodžiai „pagal“, du žodžiai „kairėje“, du žodžiai „ir“, du žodžiai „dešinėje“, du žodžiai „kabutės“, du žodžiai „a“, du žodžiai „taip pat“, du žodžiai „taškas“, du žodžiai „vienas“, du žodžiai „vienas“, dvidešimt du žodžiai „du“, trys žodžiai „trys“, du žodžiai „keturi“, trys žodžiai „penki“, keturi žodžiai „dvidešimt“, du žodžiai „trisdešimt“, vienas dvitaškis, trisdešimt kablelių, dvidešimt penkios kabutės kairėje ir dešinėje ir vienas taškas.

Galiausiai po kelerių metų tame pačiame „Kvante“ pasirodė A. Khanyano raštelis, kuriame buvo pateikta frazė, skrupulingai aprašanti visas jo raides: Šioje frazėje yra dvylika V, du E, septyniolika T, trys O, du Y, du F, septyni R, keturiolika A, du 3, dvylika E, šešiolika D, septyni H, septyni C, trylika B, aštuoni C, šeši M , penki I, du H, du S, trys I, trys Sh, du P.

„Aiškiai jaučiasi, kad trūksta dar vienos frazės – tokios, kuri pasakotų apie visas jos raides ir skyrybos ženklus“, – privačiame laiške man rašė I. Akulichas, pagimdęs vieną iš anksčiau cituotų pabaisų. Galbūt vienas iš mūsų skaitytojų išspręs šią labai sudėtingą problemą.

Tęsiant ankstesnę temą, verta paminėti refleksinius paradoksus.

Anksčiau minėtoje J. Littlewood knygoje „A Mathematical Mixture“ teisingai sakoma, kad „visi refleksyvūs paradoksai, žinoma, yra puikūs pokštai“. Taip pat yra dvi iš jų, kurias leisiu pacituoti:

1. Turi būti (teigiami) sveikieji skaičiai, kurių negalima išreikšti trumpesnėmis nei šešiolikos žodžių frazėmis. Bet kurioje teigiamų sveikųjų skaičių rinkinyje yra mažiausias skaičius, todėl yra skaičius N, "mažiausias sveikasis skaičius, kurio negalima išreikšti mažiau nei šešiolikos žodžių fraze". Tačiau ši frazė susideda iš 15 žodžių ir apibrėžia N.

2. Žurnale Žiūrovas buvo paskelbtas konkursas tema „Ką jums labiausiai patiktų skaityti atsivertęs rytinį laikraštį?“ Pirmoji premija gavo atsakymą:

Pirmoji vieta antrajame šių metų konkurse atiteko ponui Arthurui Robinsonui, kurio šmaikštų atsakymą nesunkiai galima laikyti geriausiu. Jo atsakymas į klausimą: „Ką jums labiausiai patiktų skaityti atsivertęs rytinį laikraštį? buvo pavadintas „Antrasis mūsų konkursas“, tačiau dėl popieriaus apribojimų negalime jo atspausdinti viso.

Yra tokių nuostabių frazių, kurios skaitomos vienodai iš kairės į dešinę ir iš dešinės į kairę. Visi tikrai žino vieną dalyką: Ir rožė užkrito Azorui ant letenos. Būtent ją į neišmanančio Pinokio diktantą paprašė įnoringoji Malvina. Tokios abipusės frazės vadinamos palindromomis, kurios išvertus iš graikų kalbos reiškia „bėgti atgal, grįžti“. Štai dar keli pavyzdžiai: 1. Liliputinių šamų pjovimas ant tilto. 2. Lipu į vonios kambarį. 3. Jis atsigulė ant šventyklos, o arkangelas yra nuostabus ir nematomas. 4. Šernas prispaustas ant baklažano. 5. Mūza, sužeista patirties gausos, jūs melsitės dėl proto. (D. Avaliani). 6. Retai laikau ranka nuorūką... (B. Goldsteinas) 7. Kai užuodžiu pieną, aš miaukiau aplink. (G. Lukomnikovas). 8. Jis – gluosnis, o ji – rąstas. (S.F.)

Įdomu, ar matematikoje yra palindromų? Norėdami atsakyti į šį klausimą, pabandykime perkelti abipusio, simetrinio skaitymo idėją į skaičius ir formules. Pasirodo, tai nėra taip sunku. Pažvelkime tik į keletą tipiškų šios palindrominės matematikos pavyzdžių: palindromatika. Atmetus palindrominius skaičius, pavyzdžiui, 1991 , 666 ir tt - tuoj pat pereikime prie simetriškų formulių.

Pirmiausia pabandykime išspręsti šią problemą: suraskite visas tokių dviženklių skaičių poras

(x 1 - pirmasis skaitmuo, y 1 - antrasis skaitmuo) ir

kad jų sudėjimo rezultatas nepasikeistų nuskaitant sumą iš dešinės į kairę, t.y.

Pavyzdžiui, 42 + 35 = 53 + 24.

Problemą galima išspręsti trivialiai: visų tokių skaičių porų pirmųjų skaitmenų suma yra lygi jų antrųjų skaitmenų sumai. Dabar galite lengvai sukurti panašius pavyzdžius: 76 + 34 = 43 + 67, 25 + 63 = 36 + 52 ir pan.

Panašiai samprotaujant galima nesunkiai išspręsti tą patį uždavinį atliekant kitus aritmetinius veiksmus.

Esant skirtumui, t.y.

gaunami tokie pavyzdžiai: 41 – 32 = 23 –14, 46 – 28 = 82 – 64, ... - tokių skaičių skaitmenų sumos yra lygios ( x 1 + y 1 = x 2 + y 2 ).

Daugybos atveju gauname: 63 48 = 84 36, 82 14 = 41 28, ... - šiuo atveju skaičių pirmųjų skaitmenų sandauga N 1 Ir N 2 lygus jų antrųjų skaitmenų sandaugai ( x 1 x 2 = y 1 y 2 ).

Galiausiai, skirstydami gauname šiuos pavyzdžius:

Šiuo atveju pirmojo skaičiaus skaitmens sandauga N 1 iki antrojo skaičiaus skaitmens N 2 lygus kitų dviejų jų skaitmenų sandaugai, t.y. x 1 y 2 = x 2 y 1 .

Šios „teoremos“, atsiradusios „neišsivysčiusio socializmo“ laikais, įrodymas remiasi populiariomis tų metų tezėmis apie komunistų partijos vaidmenį.

Teorema. Partijos vaidmuo neigiamas.

Įrodymas. Gerai žinoma, kad:

1. Partijos vaidmuo nuolat didėja.

2. Komunizmo sąlygomis beklasėje visuomenėje partijos vaidmuo bus lygus nuliui.

Taigi, mes turime nuolat didėjančią funkciją, linkusią į 0. Todėl ji yra neigiama. Teorema įrodyta.

Nepaisant to, kad ši problema atrodo absurdiška, ji vis tiek turi visiškai griežtą sprendimą.

Užduotis. Mama už sūnų vyresnė 21 metais. Po šešerių metų ji bus penkis kartus vyresnė už jį. Klausimas toks: KUR TĖTIS?!

Sprendimas. Leiskite X- sūnaus amžius ir Y- mamos amžius. Tada uždavinio sąlyga užrašoma kaip dviejų paprastų lygčių sistema:

Pakeičiant Y = X+ 21 į antrą lygtį, gauname 5 X + 30 = X+ 21 + 6, iš kur X= –3/4. Taigi, dabar sūnui minus 3/4 metų, t.y. minus 9 mėnesiai. Tai reiškia, kad tėtis šiuo metu yra su mama!

Ironiškas posakis „Jei tu toks protingas, kodėl tu toks vargšas?“ yra gerai žinomas ir, deja, tinka daugeliui žmonių. Pasirodo, šis liūdnas reiškinys turi griežtą matematinį pagrindimą, paremtą tokiomis pat neginčijamomis tiesomis.

Būtent, pradėkime nuo dviejų gerai žinomų postulatų:

1 postulatas: Žinios = galia.

2 postulatas: Laikas = pinigai.

Be to, tai žino bet kuris moksleivis

Kelias s = greitis x laikas = darbas: jėga,

Darbas: laikas = jėga x greitis (*)

Pakeitę abiejų postulatų „laiko“ ir „jėgos“ reikšmes į (*), gauname:

Darbas: (Žinios x Greitis) = Pinigai (**)

Iš gautos lygybės (**) aišku, kad nukreipus „žinias“ ar „greitį“ į nulį, už bet kokį „darbą“ galime gauti tiek pinigų, kiek norime.

Iš čia ir daroma išvada: kuo žmogus kvailesnis ir tingesnis, tuo daugiau pinigų jis gali uždirbti.

Prieš keletą metų žurnalas „Mokslas ir gyvenimas“ (2000 m. Nr. 1) išspausdino didelį skaitytojų susidomėjimą sukėlusį profesoriaus B. Gorobetso užrašą, skirtą nuostabiam dėlionės žaidimui, kurį akademikas Landau sugalvojo, kad išvengtų nuobodulio keliaujant po miestą. automobilį. Jis dažnai kviesdavo savo palydovus žaisti šį žaidimą, kuriame atsitiktinių skaičių jutikliu tarnavo pro šalį važiuojančių automobilių valstybiniai numeriai (tuo metu šie skaičiai susidėjo iš dviejų raidžių ir dviejų skaičių porų). Žaidimo esmė buvo panaudoti aritmetinių veiksmų ženklus ir elementariųjų funkcijų simbolius (t.y. +, –, x, :, v, sin, cos, arcsin, arctg, lg ir kt.) vedant į vieną ir tą patį. reiškia šiuos du dviženklius skaičius nuo pravažiuojančio automobilio numerio. Šiuo atveju leidžiama naudoti faktorialą ( n! = 1 x 2 x ... x n), tačiau naudoti sekantą, kosekantą ir diferencijavimą neleidžiama.

Pavyzdžiui, porai 75–33 norima lygybė pasiekiama taip:

o porai 00–38 - taip:

Tačiau ne visos problemos išsprendžiamos taip paprastai. Kai kurių iš jų (pavyzdžiui, 75–65) žaidimo autorius Landau nepajėgė. Todėl kyla klausimas dėl kažkokio universalaus požiūrio, kažkokios vienos formulės, leidžiančios „išspręsti“ bet kurią skaičių porą. Tą patį klausimą uždavė Landau ir jo studentas prof. Kaganovas. Būtent taip jis rašo: „Ar visada įmanoma padaryti lygybę iš valstybinio numerio ženklo? - paklausiau Landau. - Ne, - labai tvirtai atsakė jis. - Ar įrodėte teoremą apie sprendimo nebuvimą? – nustebau. „Ne“, – įsitikinęs tarė Levas Davidovičius, – bet man pavyko ne visi skaičiai.

Tačiau tokie sprendimai buvo rasti, vienas iš jų dar pačiam Landau gyvuojant.

Charkovo matematikas Yu Palant pasiūlė skaičių porų išlyginimo formulę

leidžianti pakartotinai naudojant bet kurį skaičių išreikšti bet kuriuo mažesniu. „Atnešiau Landau įrodymą“, – apie šį sprendimą rašo Kaganovas. – „Jam labai patiko..., ir mes pusiau juokais, pusiau rimtai svarstėme, ar publikuoti jį kokiame nors mokslo žurnale“.

Tačiau Palanto formulėje naudojamas dabar „uždraustas“ sekantas (jis nebuvo įtrauktas į mokyklos programą daugiau nei 20 metų), todėl negali būti laikomas patenkinamu. Tačiau man pavyko tai lengvai išspręsti naudojant modifikuotą formulę

Gauta formulė (vėlgi, jei reikia, ją reikia taikyti kelis kartus) leidžia išreikšti bet kurį skaičių bet kokiu dideliu skaičiumi, nenaudojant kitų skaičių, o tai akivaizdžiai išsemia Landau problemą.

1. Tegul tarp skaičių nėra nulių. Iš jų padarykime du skaičius ab Ir CD, (tai, žinoma, ne darbai). Parodykime, kada n ? 6:

nuodėmė [( ab)!]° = nuodėmė[( CD)!]° = 0.

Tikrai, nuodėmė ( n!)° = 0, jei n? 6, nes sin(6!)° = sin720° = sin(2 x 360°) = 0. Tada bet koks faktorialas gaunamas padauginus iš 6! iki vėlesnių sveikųjų skaičių: 7! = 6! x 7, 8! = 6! x 7 x 8 ir tt, suteikdami sinuso argumento 360° kartotinį, todėl jis (ir liestinė) yra lygus nuliui.

2. Tegul kurioje nors skaičių poroje yra nulis. Jį padauginame iš gretimo skaitmens ir prilyginame faktorialo sinusui laipsniais, paimtais iš kitoje skaičiaus dalyje esančio skaičiaus.

3. Tegul abiejose skaičiaus pusėse būna nuliai. Padauginus iš gretimų skaitmenų, gaunama triviali lygybė 0 = 0.

Bendrojo sprendinio padalijimas į tris taškus, padauginus iš nulio 2 ir 3 taškuose, yra dėl to, kad sin( n!)°? 0 jei n < 6».

Žinoma, tokie bendri sprendimai atima iš Landau žaidimo originalų žavesį, reprezentuojantį tik abstrakčius interesus. Taigi pabandykite žaisti su atskirais sudėtingais skaičiais nenaudodami universalių formulių. Štai keletas iš jų: 59–58; 47–73; 47–97; 27–37; 00–26 val.

Daugiau apie determinantus.

Man pasakojo, kad kažkada Mechanikos ir matematikos fakulteto pirmakursių buvo populiarus žaidimas „lėmėju“ dėl pinigų. Du žaidėjai ant popieriaus tuščiais langeliais nupiešia 3 x 3 identifikatorių. Tada po vieną į tuščius langelius įterpiami skaičiai nuo 1 iki 9 Užpildžius visus langelius, apskaičiuojamas determinantas – atsakymas, atsižvelgiant į ženklą, yra pirmojo žaidėjo laimėjimas (arba pralaimėjimas). , išreikštas rubliais. Tai yra, jei, pavyzdžiui, skaičius pasirodė -23, tada pirmasis žaidėjas sumoka antrajam 23 rublius, o jei, tarkime, 34, tada, atvirkščiai, antrasis žaidėjas sumoka pirmuosius 34 rublius.

Nors žaidimo taisyklės paprastos kaip ropė, sugalvoti tinkamą laimėjimo strategiją yra labai sunku.

Šį užrašą man atsiuntė matematikas ir rašytojas A. Žukovas, nuostabios knygos „Visur esantis skaičius Pi“ autorius.

Profesorius Borisas Solomonovičius Gorobetsas, dėstantis matematiką dviejuose Maskvos universitetuose, parašė knygą apie puikų fiziką Levą Davidovičių Landau (1908–1968) „Landau ratas“. Štai įdomi istorija, kurią jis mums papasakojo apie vieną iš fizikos ir technologijų įvadinių problemų.

Taip atsitiko, kad Landau kolega ir dešimties tomų teorinės fizikos kurso bendraautoris akademikas Jevgenijus Michailovičius Lifshitzas (1915–1985) 1959 m. padėjo mokyklos absolventui Borai Gorobets pasiruošti stojimui į vieną iš pirmaujančių Maskvos fizikos universitetų.

Per matematikos egzaminą raštu Maskvos fizikos ir matematikos institute buvo pasiūlyta tokia problema: „Piramidės SABC pagrindu yra stačiašonis trikampis ABC, kurio kampas C = 90°, kraštinė AB = l. Šoniniai paviršiai sudaro dvikampius kampus ?, ?, ? su pagrindo plokštuma. Raskite į piramidę įrašyto rutulio spindulį.

Būsimasis profesorius tada nesusidorojo su užduotimi, tačiau prisiminė jos būklę ir vėliau pranešė Jevgenijui Michailovičiui. Jis, mokinuko akivaizdoje sugalvojęs problemą, iš karto nesugebėjo jos išspręsti ir parsivežė su savimi namo, o vakare paskambino ir pasakė, kad, neišsprendęs per valandą, pasiūlė šią problemą. Levui Davidovičiui.

Landau mėgo spręsti problemas, kurios keldavo sunkumų kitiems. Netrukus jis paskambino Lifshitsui ir patenkintas pasakė: „Išsprendžiau problemą. Apsispręsti prireikė lygiai vienos valandos. Paskambinau Zeldovičiui, dabar jis nusprendžia. Paaiškinkime: Jakovas Borisovičius Zeldovičius (1914–1987), garsus mokslininkas, laikęs save Landau mokiniu, tais metais buvo vyriausiasis teorinis fizikas itin slaptame sovietiniame atominiame projekte (apie kurį, žinoma, mažai kas žinojo). tada). Maždaug po valandos E.M.Lifshitsas vėl paskambino ir pasakė: Zeldovičius ką tik jam paskambino ir ne be pasididžiavimo pasakė: „Išsprendžiau jūsų problemą. Aš nusprendžiau per keturiasdešimt minučių!

Kiek laiko užtruks, kol atliksite šią užduotį?

Šmaikščiame fizikos ir technologijų humoro rinkinyje „Zany Scientific Humor“ (Maskva, 2000) yra nemažai matematinių juokelių. Štai tik vienas iš jų.

Vieno gaminio bandymo metu įvyko vienas gedimas. Kokia tikimybė, kad gaminys veiks be gedimų?

Teorema. Visi natūralieji skaičiai yra įdomūs.

Įrodymas. Tarkime, priešingai. Tada turi būti mažiausias neįdomus natūralusis skaičius. Ha, tai velniškai įdomu!

1 + 1 = 3, kai 1 reikšmė yra pakankamai didelė.

E = m c 2 = m(a 2 + b 2).

Šią juokingą mano studentiško gyvenimo istoriją būtų galima pasiūlyti kaip problemą tikimybių teorijos seminaruose.

Vasarą su draugais eidavome į žygius į kalnus. Buvome keturiese: Volodia, du Olegai ir aš. Turėjome palapinę ir tris miegmaišius, iš kurių vienas buvo dvivietis mums ir Volodiai. Iškilo bėda su šiais miegmaišiais, o tiksliau dėl jų vietos palapinėje. Faktas yra tas, kad lijo, palapinėje ankšta, bėgo iš šonų, o gulintiems ant krašto nebuvo labai patogu. Todėl pasiūliau šią problemą išspręsti „sąžiningai“, naudojant lotus.

Žiūrėk, sakiau Olegui, mes su Volodia galime turėti dvigulę lovą arba ant krašto, arba centre. Todėl messime monetą: jei ji iškils „galvomis“, mūsų dvigulė lova bus ant krašto, jei „uodegos“ - centre.

Olegai sutiko, tačiau po kelių naktų pakraštyje (nesunku apskaičiuoti pagal bendrosios tikimybės formulę, kad kiekvienam iš Volodos ir manęs tikimybė miegoti ne prie palapinės krašto yra 0,75), Olegai įtarė, kad kažkas ne taip ir pasiūlė persvarstyti sutartį.

Iš tiesų, sakiau, šansai buvo nevienodi. Tiesą sakant, mūsų dvigulė lova turi tris galimybes: kairiajame krašte, dešinėje ir centre. Todėl kiekvieną vakarą trauksime vieną iš trijų pagaliukų – jei trauksime trumpąją, tai mūsų dublis bus centre.

Olegai vėl sutiko, nors šį kartą mūsų šansai nakvoti ne šalia krašto (dabar tikimybė 0,66, tiksliau, du trečdaliai) buvo geresni nei kiekvieno iš jų. Po dviejų naktų užribyje (turėjome geriausius šansus ir sėkmę mūsų pusėje), Olegai vėl suprato, kad buvo apgauti. Bet tada, laimei, lietus liovėsi ir problema išnyko savaime.

Bet iš tikrųjų mūsų dvigulė lova visada turėtų būti ant krašto, o aš ir Volodia kiekvieną kartą naudojome monetą, kad nustatytų, kam pasisekė. Tą patį būtų pasielgę ir Olegai. Tokiu atveju tikimybė miegoti ant krašto būtų visiems vienoda ir lygi 0,5.

Pastabos:

Kartais panaši istorija pasakojama apie Jeaną Charlesą Francois Sturmą.

Didysis renginys

Kartą naujametiniame informaciniame biuletenyje apie tai, kaip gaminti tostus, atsainiai užsiminiau, kad XX amžiaus pabaigoje įvyko vienas puikus įvykis, kurio daugelis nepastebėjo – vadinamasis. Paskutinė Ferma teorema. Šiuo klausimu tarp gautų laiškų radau du atsakymus iš merginų (viena iš jų, kiek pamenu, buvo devintokė Vika iš Zelenogrado), kurias šis faktas nustebino.

Ir mane nustebino, kaip aktyviai merginos domėjosi šiuolaikinės matematikos problemomis. Todėl manau, kad Didžiosios teoremos istoriją susidomės ne tik merginos, bet ir įvairaus amžiaus vaikinai – nuo ​​gimnazistų iki pensininkų.

Ferma teoremos įrodymas yra puikus įvykis. Ir todėl Neįprasta juokauti su žodžiu „puiku“, bet man atrodo, kad kiekvienas save gerbiantis kalbėtojas (o mes visi esame kalbėtojai, kai kalbame) tiesiog privalo žinoti teoremos istoriją.

Jei taip atsitiks, kad jūs nemėgstate matematikos taip, kaip aš ją myliu, peržvelkite kai kurias detales. Suprasdamas, kad ne visiems mūsų naujienlaiškio skaitytojams įdomu klaidžioti į matematines džiungles, stengiausi nepateikti jokių formulių (išskyrus pačią Ferma teoremos lygtį) ir kiek įmanoma supaprastinti kai kurių konkrečių klausimų aprėptį.

Kaip Fermatas padarė netvarką

Prancūzų teisininkas ir ne visą darbo dieną dirbantis didysis XVII amžiaus matematikas Pierre'as Fermat (1601–1665) pateikė vieną įdomų teiginį iš skaičių teorijos srities, kuri vėliau tapo žinoma kaip Didžioji (arba didžioji) Ferma teorema. Tai viena žinomiausių ir fenomenaliausių matematinių teoremų. Tikriausiai jaudulys aplink jį nebūtų buvęs toks stiprus, jei Diofanto Aleksandriečio knygoje (III a.) „Aritmetika“, kurią Fermatas dažnai studijavo, plačiose paraštėse darydamas pastabas ir kurią jo sūnus Samuelis maloniai išsaugojo palikuonims, didysis matematikas neatrado maždaug šios pastabos:

„Turiu keletą labai stulbinančių įrodymų, bet jie per dideli, kad tilptų į paraštes.

Būtent šis įrašas buvo priežastis, dėl kurios kilo didžiulis šurmulys dėl teoremos.

Taigi garsus mokslininkas pareiškė, kad įrodė savo teoremą. Paklauskime savęs: ar jis tikrai tai įrodė, ar tiesiog melavo? O gal yra kitų versijų, paaiškinančių to užrašo atsiradimą paraštėse, neleidusią ramiai miegoti daugeliui vėlesnių kartų matematikų?

Didžiosios teoremos istorija žavi kaip nuotykis laiku. 1636 m. Fermatas pareiškė, kad Xn+Yn=Zn formos lygtis neturi sprendinių sveikaisiais skaičiais, kurių rodiklis n>2. Tai iš tikrųjų yra paskutinė Ferma teorema. Šioje, atrodytų, paprastoje matematinėje formulėje Visata užmaskavo neįtikėtiną sudėtingumą.

Šiek tiek keista, kad teorema kažkodėl pavėluotai atsirado, nes situacija klostėsi jau seniai, nes jos ypatingas atvejis, kai n = 2 – kita garsi matematinė formulė – Pitagoro teorema, atsirado dvidešimt du šimtmečius. anksčiau. Kitaip nei Ferma teorema, Pitagoro teorema turi begalinį sveikųjų skaičių sprendinių skaičių, pavyzdžiui, šiuos Pitagoro trikampius: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15) ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

Didžiosios teoremos sindromas

Kas nebandė įrodyti Ferma teoremos? Bet kuris ką tik gimęs studentas laikė savo pareiga taikyti Didžiąją teoremą, tačiau niekas negalėjo to įrodyti. Iš pradžių tai neveikė šimtą metų. Tada dar šimtas. Tarp matematikų pradėjo vystytis masinis sindromas: „Kaip tai gali būti Fermatas, bet ko, aš to negaliu? ir kai kurie iš jų išprotėjo šiuo pagrindu visa to žodžio prasme.

Nesvarbu, kiek kartų teorema buvo tikrinama, ji visada pasirodė teisinga. Pažinojau aistringą programuotoją, kuris buvo apsėstas paneigti Didžiąją teoremą, bandydamas rasti bent vieną sprendimą, ieškodamas sveikųjų skaičių naudodamas didelės spartos kompiuterį (tuo metu dažniau vadintą pagrindiniu kompiuteriu). Jis tikėjo savo įmonės sėkme ir mėgo sakyti: „Dar truputį – ir prasidės sensacija! Manau, kad skirtingose ​​mūsų planetos vietose buvo nemažai tokio tipo drąsių ieškotojų. Jis, žinoma, nerado vieno sprendimo. Ir jokie kompiuteriai, net ir su nuostabiu greičiu, niekada negalėtų patikrinti teoremos, nes visi šios lygties kintamieji (įskaitant eksponentus) gali padidėti iki begalybės.

Pats virtuoziškiausias ir produktyviausias XVIII amžiaus matematikas Leonardas Euleris, kurio rekordų archyvą žmonija narpė beveik šimtmetį, įrodė Ferma 3 ir 4 galių teoremą (tiksliau, pakartojo paties Pierre'o Fermato prarastus įrodymus). ; jo pasekėjas skaičių teorijoje Legendre – už 5 galias; Dirichlet – 7 laipsniui. Bet apskritai teorema liko neįrodyta.

XX amžiaus pradžioje (1907 m.) turtingas vokiečių matematikos mylėtojas, vardu Wolfskehl, paliko šimtą tūkstančių markių tam, kuris pateiks pilną Ferma teoremos įrodymą. Prasidėjo jaudulys. Matematikos skyriai buvo užpildyti tūkstančiais įrodymų, tačiau visuose juose, kaip galima spėti, buvo klaidų. Jie sako, kad kai kuriuose Vokietijos universitetuose, kurie gavo daug Ferma teoremos „įrodymų“, buvo parengtos maždaug tokio turinio formos:

Gerbiamas _______________________________!

Jūsų Fermato teoremos įrodyme ____ puslapyje ____ eilutėje viršuje
formulėje aptikta tokia klaida:______________________________:,

Kurie buvo išsiųsti nelaimingiems apdovanojimo pretendentams.

Tuo metu tarp matematikų atsirado pusiau niekinantis slapyvardis – ūkininkas. Taip buvo vadinamas kiekvienas savimi pasitikintis aukštaūgis, neturintis žinių, bet turintis daugiau nei pakankamai ambicijų paskubomis stengtis įrodyti Didžiąją teoremą, o paskui, nepastebėdamas savo klaidų, išdidžiai trenkdamas sau per krūtinę, garsiai pareiškęs : "Aš pirmasis įrodžiau Ferma teoremą!" Kiekvienas ūkininkas, net jei jis buvo dešimttūkstantinis, laikė save pirmuoju - tai buvo juokinga. Paprasta Didžiosios teoremos išvaizda ūkininkams taip priminė lengvą taikinį, kad jiems nė kiek nebuvo gėda, kad net Euleris ir Gaussas negalėjo su tuo susidoroti.

(Fermatistų, kaip bebūtų keista, tebeegzistuoja ir šiandien. Nors vienas iš jų nemanė, kad įrodė teoremą, kaip ir klasikinis fermatistas, jis bandė dar visai neseniai – atsisakė patikėti, kai pasakiau, kad Ferma teorema jau buvo įgyvendinta. įrodyta).

Galingiausi matematikai, ko gero, savo kabinetų tyloje taip pat stengėsi atsargiai priartėti prie šios neįmanomos štangos, bet garsiai apie tai nekalbėjo, kad nebūtų įvardijami ūkininkais ir taip nepakenktų savo aukštam autoritetui. .

Iki to laiko pasirodė veiksnio n teoremos įrodymas

PAGRINDINĖ ALGEBROS TEOREMA Teorema, kad kiekvienas n (n>0) laipsnio polinomas: f(z) = a0zn + a1zn-1 + … + an, kur a0 / 0, kompleksinių skaičių lauke turi bent vieną šaknį z1 , taigi f(z1)=0. Iš O.T.A. o iš Bezout teoremos seka, kad daugianario f(z) kompleksinių skaičių lauke (atsižvelgiant į jų dauginius) yra lygiai n šaknų. Iš tiesų, pagal Bezout teoremą, f(z) dalijasi iš z – z1 (be liekanos), t.y. f(z) = f1(z)(z – z1), taigi ir (n – 1) laipsnio polinomas f1(z) pagal O.T.A. taip pat turi šaknį z2 ir kt. Galiausiai padarysime išvadą, kad f(z) turi lygiai n šaknų: f(z) = a0(z – z1)(z – z2) (z – zn). O.T.A. taip vadinamas todėl, kad pagrindinis algebros turinys XVII–XVIII a. priėjo prie lygčių sprendimo.

O.T.A. pirmą kartą buvo įrodyta XVII a. prancūzų matematiko Girard'o, o griežtą įrodymą 1799 m. pateikė vokiečių matematikas Gaussas. BEZOU TEOREMA Teorema apie savavališko polinomo dalybos iš tiesiniu dvinariu liekaną Ji suformuluojama taip: savavališko polinomo f(x) dalybos iš dvinario x liekana yra lygi f(a). ). T.B. pavadintas XVIII amžiaus prancūzų matematiko, kuris pirmą kartą jį suformulavo ir įrodė, vardu. Bezu. Iš T.B. išplaukia šios pasekmės: 1) jei daugianomas f(x) dalijasi (be liekanos) iš x – a, tai skaičius a yra f(x) šaknis; 2) jei skaičius a yra daugianario f(x) šaknis, tai f(x) dalijasi (be liekanos) iš dvejetainio x – a; 3) jei daugianomas f(x) turi bent vieną šaknį, tai šis daugianomas turi lygiai tiek šaknų, kiek yra šio daugianario laipsnis (atsižvelgiama į šaknų daugumą). CHEVAS TEOREMA Jei tiesės, jungiančios trikampio ABC viršūnes su tašku O, esančiu trikampio plokštumoje, taškuose A' B' C' kerta priešingas kraštines (arba jų plėtinius), tada galioja ši lygybė: ( *) Šiuo atveju segmentų santykis laikomas teigiamu , jei šie segmentai turi tą pačią kryptį, o neigiamu - kitaip.

T.Ch. taip pat galima parašyti tokia forma: (ABC’)*(BCA’)*(CAB’) = 1, kur (ABC’) yra paprastas trijų taškų A, B ir C santykis’. Teisinga ir atvirkštinė teorema: jei taškai C', A', B' yra atitinkamai trikampio kraštinėse AB, BC ir CA arba jų plėtiniuose taip, kad galiotų lygybė (*), tai tiesės AA', BB' ir CC' susikerta tame pačiame taške arba lygiagrečiai (susikerta netinkamame taške). Tiesės AA', BB' ir CC', susikertančios viename taške ir einančios per trikampio viršūnes, vadinamos Chevy linijomis arba Chevyans.

T.Ch. yra projektinio pobūdžio. T.Ch. Metriškai yra dvigubas Menelaus teoremai.

T.Ch. pavadintas tai įrodusio italų geometro Džovanio Čevos vardu (1678). KOSINUSO TEOREMA 1. T.K. plokštumos trigonometrija – teiginys, kad bet kurio trikampio bet kurios jo kraštinės kvadratas yra lygus kitų dviejų jo kraštinių kvadratų sumai, nepadvigubinant šių kraštinių sandaugos iš kampo tarp jų kosinuso: c2 = a2 + b2 – 2abcosC, kur a, b, c – kraštinių trikampio ilgiai, o C – kampas tarp kraštinių a ir b. T.K. dažnai naudojamas sprendžiant elementariosios geometrijos ir trigonometrijos uždavinius 2. T.K. sferinio trikampio kraštinei: sferinio trikampio vienos kraštinės kosinusas yra lygus dviejų kitų jo kraštinių kosinusų sandaugai ir tų pačių kraštinių sinusų sandaugai iš kampo tarp jų kosinuso: cosa = cosb*cosc + sinb*sinc*cosA 3. T.K. sferinio trikampio kampui: sferinio trikampio kampo kosinusas yra lygus kitų dviejų kampų kosinusų sandaugai, paimtam su priešingu ženklu, pridėjus kitų dviejų kampų sinusų sandaugai pirmajam kampui priešingos pusės kosinusas: cosA = -cosBcosC + sinBsinCcosa. EULERO TEOREMA 1. T.E. palyginimų teorijoje teigia, kad jei (a, m)=1, tai kur f(m) yra Eulerio funkcija (teigiamų sveikųjų skaičių koprime į m, neviršijantį m). 2. T.E. apie daugiakampį teigia, kad bet kuriam nulinės genties daugiakampiui galioja formulė: B + G – P = 2, kur B – viršūnių skaičius, G – paviršių skaičius, P – daugiakampio briaunų skaičius.

Tačiau Dekartas pirmasis pastebėjo tokią priklausomybę.

Todėl T.E. Daugiakampiuose istoriškai teisingiau vadinti Dekarto-Eulerio teoremą.

Skaičius B + G – P vadinamas daugiabriaunio Eulerio charakteristika.

T.E. taip pat taikoma uždariems grafikams. Thaleso teorema Viena iš elementariosios geometrijos teoremų apie proporcingus segmentus T.F. numato, kad jei vienoje iš kampo kraštinių nuo jo viršūnės iš eilės yra išdėstytos lygios atkarpos ir per šių atkarpų galus nubrėžiamos lygiagrečios linijos, kertančios antrąją kampo kraštinę, tada antroje taip pat bus nustatytos lygios atkarpos. kampo pusė.

Ypatingas atvejis T. F. išreiškia kai kurias trikampio vidurio linijos savybes. Paskutinė Ferma teorema, kurią pateikė P. Fermat, kad lygtis xn + yn = zn (kur n yra didesnis už du) neturi teigiamų sveikųjų skaičių sprendinių, nepaisant P. Fermat teiginio, kad jam pavyko rasti nuostabų įrodymą B .F.T jis necituoja dėl vietos stokos (šią pastabą P. Fermatas parašė Diofanto knygos paraštėse), dar visai neseniai (90-ųjų viduryje) W.T.F. apskritai neįrodyta. FERMO MAŽOJI TEOREMA Ypatingas Eilerio teoremos atvejis, kai modulis m=p yra pirminis skaičius.

M.T.F. suformuluotas taip: jei p yra pirminis skaičius, tai ap=a(mod p). Tuo atveju, kai a nesidalija iš p, iš M.T.F. taip: ap-1=1(mod p). M.T.F. atrado prancūzų mokslininkas Pierre'as Fermatas. HÖLDERIO NELYGYBĖ Baigtinėms sumoms ji turi formą: , arba integraliąja forma: , kur p > 1 ir. N.G. dažnai naudojamas matematinėje analizėje.

N.G. yra Cauchy nelygybės algebrine forma ir Bunyakovskio nelygybės integralia forma apibendrinimas, į kurį N.G. apsiverčia, kai p = 2. KARDANO FORMULĖ Formulė, išreiškianti kubinės lygties šaknis: x3+px+q=0 (*) per jos koeficientus. Kiekviena kubinė lygtis redukuojama į formą (*). parašyta taip: . Savavališkai pasirenkant pirmojo kubinio radikalo reikšmę, reikia pasirinkti antrojo radikalo reikšmę (iš trijų galimų), kuri sandaugoje su pasirinkta pirmojo radikalo reikšme duoda (-p/3). Tokiu būdu gauname visas tris lygties šaknis (*). Vis dar neaišku, kam priklauso F.K.: G.Cardano, N.Tartaglie ar S.Ferro. F.K. datuojamas XVI a. CAUCHY NELYGYBĖ Nelygybė, kuri galioja baigtinėms sumoms; labai svarbi ir dažniausiai naudojama nelygybė įvairiose matematikos ir matematinės fizikos srityse.

Pirmą kartą jį sukūrė Koši 1821 m. Neatsiejamas N.K. analogas: sukūrė rusų matematikas V.Ya. Buniakovskis. MENELUS TEOREMA Jei tiesė kerta trikampio ABC kraštines arba jų plėtinius taškuose C', A' ir B', tai galioja toks ryšys: (*) Atkarpų santykis laikomas teigiamas, jei tiesė kerta kraštinę trikampio, o neigiamas, jei tiesė kerta kraštinės tęsinį.

Taip pat teisinga ir atvirkštinė išraiška: jei tenkinama lygybė (*), kur A, B, C yra trikampio viršūnės, o A’, B’, C’ yra toje pačioje tiesėje.

T.M. galima suformuluoti trijų taškų A', B' ir C' išsidėstymo vienoje tiesėje kriterijų: kad 3 taškai A', B' ir C' būtų toje pačioje tiesėje, būtina ir pakanka, kad santykis būtų įvykdytas (*), kur A, B, C yra trikampio viršūnės, o A', B', C' priklauso atitinkamai tiesėms BC, AC ir AB. T.M. įrodė senovės graikų mokslininkas Menelaus (I a.) sferinį trikampį ir, matyt, buvo žinomas Euklidui (III a. pr. Kr.). T.M. yra ypatingas bendresnės Karno teoremos atvejis. MINKOWSKI NELYGYBĖ Skaičių p-ųjų laipsnių nelygybė, turinti formą: , kur sveikasis skaičius p>1, o ak ir bk yra neneigiami skaičiai.

N.M. yra gerai žinomos „trikampio nelygybės“ apibendrinimas, teigiantis, kad vienos trikampio kraštinės ilgis nėra didesnis už kitų dviejų jo kraštinių ilgių sumą; n matmenų erdvėje atstumas tarp taškų x=(x1, x2, …, xn) ir y=(y1, y2, …, yn) nustatomas pagal skaičių N.M. įsteigė vokiečių matematikas G. Minkowskis 1896. MOHLVEIDO FORMULĖS Plokštumos trigonometrijos formulės, išreiškiančios tokį trikampio kraštinių (jų ilgių) ir kampų ryšį: ; , kur a, b, c yra trikampio kraštinės, o A, B, C yra trikampio kampai.

F.M. pavadintas jas vartojusio vokiečių matematiko K. Molweide vardu, nors šios formulės buvo žinomos ir kitiems matematikams NIUTONO BINOMILIS Formulės, išreiškiančios dvinario a+b neneigiamą sveikąjį laipsnį kaip laipsnių sumą, pavadinimas. jos sąlygos.

B.N. turi formą: , kur Cnk yra dvinariai koeficientai, lygūs n elementų derinių skaičiui k, t.y. arba. Jei skirtingų n=0, 1, 2, ... dvejetainiai koeficientai rašomi nuosekliomis eilutėmis, tada gauname Paskalio trikampį. Savavališko realiojo skaičiaus (o ne tik neneigiamo sveikojo skaičiaus) atveju B.N. apibendrinta į dvinarę eilutę, o jei narių skaičius padidinamas nuo dviejų iki didesnio skaičiaus - į polinominę teoremą Niutono dvinario formulės apibendrinimas į k narių sumos didinimo atvejį (k>2). iki neneigiamo sveikojo skaičiaus laipsnio n: , kur dešinėje pusėje esanti suma apima visas galimas neneigiamų sveikųjų skaičių a1, a2, …, ak aibes, sudedant iki n. Koeficientai A(n)a1, a2, … ,ak vadinami daugianariais ir išreiškiami taip: Kai k=2, daugianario koeficientai tampa binominiais koeficientais.

POLKE TEOREMA Jis suformuluotas taip: trys savavališko ilgio atkarpos, esančios toje pačioje plokštumoje ir iš bendro taško vienas kito atžvilgiu, gali būti laikomos lygiagrečia erdvinio stačiakampio rėmo i, j, k projekcija ( |i|. = |j|. Teoremą be įrodymų suformulavo vokiečių geometras K. Polke (1860), o vėliau ją apibendrino vokiečių matematikas G. Švarcas, pateikęs elementarų jos įrodymą.

Polke-Schwartz teorema gali būti suformuluota taip: bet kuris neišsigimęs keturkampis su jo įstrižainėmis gali būti laikomas lygiagrečia tetraedro projekcija, panašia į bet kurią duotąją.

T.P. turi didelę praktinę reikšmę (bet kurį keturkampį su jo įstrižainėmis galima paimti, pavyzdžiui, kaip taisyklingo tetraedro atvaizdą) ir yra viena iš pagrindinių aksonometrijos teoremų PTOLEMAJOS TEOREMA Elementariosios geometrijos teorema, nustatanti kraštinių ir kraštinių ryšį. į apskritimą įbrėžto keturkampio įstrižainės: bet kuriame išgaubtame keturkampyje , įbrėžtame į apskritimą, įstrižainių sandauga lygi jo priešingų kraštinių sandaugų sumai, t.y. galioja lygybė: AC*BD = AB*CD + BC*AD ir kt. pavadintas senovės graikų mokslininko Klaudijaus Ptolemėjaus vardu, kuris įrodė šią teoremą.

T.P. naudojama sprendžiant elementariosios geometrijos uždavinius, įrodant specialų sinusų sudėjimo teoremos atvejį SIMPSON FORMULIA Formulė kūnų tūriams su dviem lygiagrečiais skaičiuoti: , kur Qн yra apatinio pagrindo plotas, Qв yra. viršutinio pagrindo plotas, Qс yra vidurinės kūno dalies plotas. Vidutinė kūno pjūvis čia suprantamas kaip figūra, gauta iš kūno susikirtimo su plokštuma, lygiagrečia pagrindų plokštumoms ir esančia vienodu atstumu nuo šių plokštumų.

h reiškia kūno aukštį. Iš F.S., kaip ypatingas atvejis, gaunama daug gerai žinomų mokykloje tirtų kūnų tūrių formulių (nupjautinė piramidė, cilindras, rutulys ir kt.). SINUSŲ TEOREMA Plokštumos trigonometrijos teorema, nustatanti santykį tarp savavališko trikampio kraštinių a, b, c ir kampų, priešingų šioms kraštinėms, sinusų: , kur R yra apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulys.

Sferinei trigonometrijai T.S. analitiškai išreikštas taip: . STEWART'O TEOREMA yra tokia: jei A, B, C yra trys trikampio viršūnės, o D yra bet kuris taškas kraštinėje BC, galioja toks ryšys: AD2*BC = AB2*CD + AC2*BD – BC*BD* CD, T .SU. pavadintas anglų matematiko M. Stewarto vardu, kuris tai įrodė ir paskelbė veikale „Some General Theorems“ (1746, Edinburgas). Teoremą Stewartui pasakė jo mokytojas R. Simsonas, kuris šią teoremą paskelbė tik 1749 m. T.S. naudojami trikampių vidurinėms ir pusiausvyroms rasti.

LIETIMO TEOREMA (REGIOMONTANO FORMULĖ) Plokštumos trigonometrijos formulė, kuri nustato ryšį tarp dviejų trikampio kraštinių ilgių ir priešingų kampų T.T. pusinės sumos ir skirtumo. turi formą: , kur a, b yra trikampio kraštinės, A, B yra atitinkamai kampai, priešingi šioms kraštinėms. T.T. dar vadinama Regiomontanus formule vokiečių astronomo ir matematiko Johanneso Mullerio (lot. Regiomontanus) vardu, kuris nustatė šią formulę. J. Mülleris buvo vadinamas „Königsberger“: vokiškai Königas yra karalius, Bergas – kalnas, o lotyniškai „karalius“ ir „kalnas“ kilmininko linksnyje yra regis ir montis.

Taigi „Regiomontan“ yra lotyniška I. Muller pavardė. „Aiškinamasis matematikos terminų žodynas“, O.V. Manturovo FORMULĖS IR TEOROS APIE VADIMSOFT-BEST. NAROD.RU.

Ką darysime su gauta medžiaga:

Jei ši medžiaga jums buvo naudinga, galite ją išsaugoti savo puslapyje socialiniuose tinkluose:

Kitą vakarą registratorė Gilbert susidūrė su daug sunkesnė problema. Kaip ir prieš dieną, viešbutis buvo sausakimšas, kai atvažiavo be galo ilgas limuzinas, išlaipinęs begalę naujų svečių. Tačiau Gilbertas dėl to nė kiek nesugėdino ir jis tik džiaugsmingai trynė rankomis, galvodamas apie begalinį skaičių sąskaitų, kurias sumokės nauji atvykėliai. Gilbertas paprašė visų, kurie jau apsigyveno viešbutyje, persikelti, laikydamiesi tokios taisyklės: pirmojo kambario gyventojas - į antrą kambarį, antrojo kambario gyventojas - į ketvirtą kambarį ir pan., tai yra, Gilbertas paprašė. kiekvienas svečias persikelti į naują kambarį su dvigubu dideliu "adresu". Viešbutyje liko visi, kurie gyveno viešbutyje iki atvykstant naujiems svečiams, tačiau tuo pačiu buvo atlaisvinta begalė kambarių (visi tie, kurių „adresai“ buvo nelyginiai), kuriuose išradinga registratorė apgyvendino naujus svečius. Šis pavyzdys rodo, kad du kartus begalybė taip pat yra lygi begalybei.

Galbūt Hilberto viešbutis kam nors suteiks idėją, kad visos begalybės yra vienodai didelės, lygios viena kitai ir bet kokios skirtingos begalybės gali būti įspraustos į to paties begalinio viešbučio kambarius, kaip tai padarė išradingas nešikas. Tačiau iš tikrųjų kai kurios begalybės yra didesnės už kitas. Pavyzdžiui, bet koks bandymas kiekvienam racionaliajam skaičiui rasti porą su neracionaliuoju skaičiumi, kad nė vienas neracionalusis skaičius neliktų be jo racionalios poros, tikrai baigiasi nesėkme. Iš tiesų, galima įrodyti, kad begalinė iracionaliųjų skaičių aibė yra didesnė už begalinę racionaliųjų skaičių aibę. Matematikai turėjo sukurti ištisą žymenų ir pavadinimų sistemą su begaline begalybės skale, o manipuliavimas šiomis sąvokomis yra viena opiausių mūsų laikų problemų.

Nors pirminių skaičių begalybė amžiams sugriovė viltis greitai įrodyti Paskutinę Ferma teoremą, tokia didelė pirminių skaičių atsarga buvo naudinga, pavyzdžiui, tokiose srityse kaip šnipinėjimas ir vabzdžių tyrimai. Prieš grįžtant prie pasakojimo apie paskutinės Ferma teoremos įrodymo paiešką, derėtų šiek tiek nukrypti ir susipažinti su teisingu ir neteisingu pirminių skaičių vartojimu.

Pirminių skaičių teorija yra viena iš nedaugelio grynosios matematikos sričių, kuri tiesiogiai taikoma realiame pasaulyje, būtent kriptografija. Kriptografija užsiima slaptų pranešimų kodavimu taip, kad tik gavėjas galėtų juos iššifruoti, o perėmėjas negali jų iššifruoti. Kodavimo procesui reikia naudoti šifro raktą, o iššifruojant tradiciškai reikia suteikti gavėjui tą raktą. Šioje procedūroje raktas yra silpniausia saugumo grandinės grandis. Pirma, gavėjas ir siuntėjas turi susitarti dėl rakto detalių, o keitimasis informacija šiame etape yra susijęs su tam tikra rizika. Jei keičiantis informacija priešui pavyks perimti raktą, jis galės iššifruoti visus vėlesnius pranešimus. Antra, norint išlaikyti saugumą, raktai turi būti reguliariai keičiami, o kiekvieną kartą pakeitus raktą kyla pavojus, kad priešas perims naująjį raktą.

Pagrindinė problema sukasi apie tai, kad pritaikius raktą viena kryptimi pranešimas užšifruojamas, tačiau pritaikius tą patį raktą priešinga kryptimi pranešimas iššifruojamas – iššifruoti taip pat paprasta, kaip ir šifruoti. Tačiau iš patirties žinome, kad dabar yra daug situacijų, kai iššifruoti yra daug sunkiau nei šifruoti: kiaušinienę paruošti yra nepalyginamai lengviau nei kiaušinienę grąžinti į pradinę būseną, atskiriant baltymus ir trynius.

XX amžiaus aštuntajame dešimtmetyje Whitfieldas Diffie ir Martinas Hellmanas pradėjo ieškoti matematinio proceso, kurį būtų lengva atlikti viena kryptimi, bet neįtikėtinai sudėtinga priešinga kryptimi. Toks procesas suteiktų tobulą raktą. Pavyzdžiui, galėčiau turėti savo dviejų dalių raktą ir viešai paskelbti jo šifravimo dalį. Po to šifruotas žinutes man galėjo siųsti bet kas, bet rakto iššifravimo dalis būtų žinoma tik man. Ir nors šifravimo rakto dalis būtų prieinama visiems, ji neturėtų nieko bendra su iššifravimo dalimi.

1977 m. Ronaldas Rivestas, Adi Shamiras ir Leonardas Adlemanas, MIT matematikų ir kompiuterių mokslininkų komanda, atrado, kad pirminiai skaičiai yra idealus pagrindas lengvo šifravimo ir sudėtingo iššifravimo procesui. Norėdamas sukurti savo asmeninį raktą, galėčiau paimti du didžiulius pirminius skaičius, kurių kiekviename yra iki 80 skaitmenų, ir padauginti vieną skaičių iš kito, kad gaučiau dar didesnį sudėtinį skaičių. Viskas, ko reikia norint užkoduoti pranešimus, yra žinoti didelį sudėtinį skaičių, o norint iššifruoti pranešimą, reikia žinoti du pradinius pirminius skaičius, kuriuos padauginome, t. y. pirminius sudėtinio skaičiaus veiksnius. Galiu sau leisti paskelbti didelį sudėtinį skaičių – šifravimo pusę rakto ir laikyti paslaptyje du pagrindinius veiksnius – iššifravimo pusę rakto. Labai svarbu, kad nors visi žino didelį sudėtinį skaičių, jį labai sunku padalyti į du pirminius veiksnius.

Pažvelkime į paprastesnį pavyzdį. Tarkime, aš pasirinkau ir visiems pranešiau sudėtinį numerį 589, kuris leidžia visiems siųsti man šifruotus pranešimus. Du pirminius skaičiaus 589 veiksnius laikysiu paslaptyje, kad niekas, išskyrus mane, negalėtų iššifruoti pranešimų. Jei kas nors rastų du pirminius skaičiaus 589 veiksnius, toks žmogus taip pat galėtų iššifruoti man adresuotas žinutes. Bet kad ir koks mažas būtų skaičius 589, jo pirminius veiksnius rasti nėra taip paprasta. Tokiu atveju stacionariame kompiuteryje per kelias minutes būtų galima atrasti, kad skaičiaus 589 pirminiai koeficientai yra 31 ir 19 (31 19 = 589), todėl mano raktas negalėjo garantuoti korespondencijos saugumo ypač ilgai. .

Tačiau jei mano paskelbtame sudėtiniame skaičiuje būtų daugiau nei šimtas skaitmenų, pirminių faktorių paieška taptų beveik neįmanoma užduotimi. Net jei galingiausi kompiuteriai pasaulyje būtų naudojami didžiuliam sudėtiniam skaičiui (šifravimo raktui) išskaidyti į du pagrindinius veiksnius (iššifravimo raktą), vis tiek prireiktų kelerių metų, kad būtų galima rasti šiuos veiksnius. Todėl, norint sužlugdyti klastingus užsienio šnipų planus, man tereikia kasmet keisti raktą. Kartą per metus paviešinu savo naują milžinišką sudėtinį skaičių, o tada visi, norintys išbandyti laimę ir iššifruoti mano žinutes, bus priversti pradėti iš naujo, išskaidydami paskelbtą skaičių į du pirminius veiksnius.

Pirminiai skaičiai randami ir gamtos pasaulyje. Periodinės cikados, žinomos kaip Magicicada septendecim, turi ilgiausią visų vabzdžių gyvavimo ciklą. Jų gyvenimas prasideda po žeme, kur lervos kantriai siurbia sultis iš medžių šaknų. Ir tik po 17 metų laukimo suaugusios cikados išnyra iš žemės, susirenka į didžiulius būrius ir kurį laiką užpildo viską aplinkui. Per kelias savaites jie poruojasi, deda kiaušinėlius ir miršta.

Biologus persekiojo klausimas, kodėl cikadų gyvenimo ciklas toks ilgas? Ar gyvavimo ciklui koks nors skirtumas, kad jo trukmė išreiškiama paprastu metų skaičiumi? Kita rūšis – Magicicada tredecim – būriuojasi kas 13 metų. Tai rodo, kad gyvavimo ciklo trukmė, išreikšta paprastu metų skaičiumi, suteikia rūšiai tam tikrų evoliucinių pranašumų.

Iki XIX amžiaus pradžios paskutinė Ferma teorema įgijo tvirtą reputaciją kaip sunkiausia skaičių teorijos problema. Po Eulerio proveržio nebuvo nė menkiausios pažangos, kol sensacingas jaunos prancūzės pareiškimas įkvėpė naujų vilčių. Paskutinės Ferma teoremos įrodymo paieškos buvo atnaujintos su nauja jėga. Sophie Germain gyveno šovinizmo ir išankstinių nusistatymų epochoje ir, kad galėtų praktikuoti matematiką, ji turėjo turėti pseudonimą, dirbti siaubingomis sąlygomis ir kurti intelektualiai izoliuotai.

Šimtmečius matematika buvo laikoma nemoteriška veikla, tačiau nepaisant diskriminacijos, buvo keletas moterų matematikių, kurios priešinosi nusistovėjusiems papročiams ir praktikai ir įrašė savo vardus į matematikos metraščius. Pirmoji moteris, palikusi pėdsaką matematikos istorijoje, buvo Theano (VI a. pr. Kr.), kuri mokėsi pas Pitagorą, tapo viena artimiausių jo pasekėjų ir už jo ištekėjo. Pitagoras kartais vadinamas „feministine filosofe“, nes jis skatino mokslininkes. Theano buvo tik viena iš dvidešimt aštuonių pitagoriečių brolijos seserų.

Vėlesniais laikais Sokrato ir Platono šalininkai ir pasekėjai ir toliau kvietė moteris į savo mokyklas, tačiau tik IV a. e. moteris matematikė įkūrė savo įtakingą mokyklą. Hipatija, Aleksandrijos akademijos matematikos profesoriaus dukra, visame tuomet žinomame pasaulyje išgarsėjo savo debatais ir gebėjimu spręsti įvairias problemas. Matematikai, kurie daug mėnesių galvos dėl kokios nors problemos sprendimo, kreipėsi pagalbos prašydami į Hipatiją, kuri savo gerbėjus nuvildavo retai. Matematika ir loginio įrodinėjimo procesas ją visiškai sužavėjo, o paklausta, kodėl neištekėjo, Hypatia atsakė, kad yra susižadėjusi su Tiesa. Būtent beribis Hipatijos tikėjimas žmogiškuoju protu nulėmė jos mirtį, kai Aleksandrijos patriarchas Kirilas pradėjo persekioti filosofus, gamtininkus ir matematikus, kuriuos pavadino eretikais. Istorikas Edvardas Gibonas ryškiai papasakojo apie įvykius, įvykusius po to, kai Kirilas surengė sąmokslą prieš Hipatiją ir sukėlė prieš ją minią.

„Tą lemtingą dieną, šventuoju Lentus laiku, Hipatija buvo ištraukta iš vežimo, kuriuo ji važiavo, nusirengusi nuoga, nutempta į bažnyčią ir nežmoniškai supjaustyta į gabalus Petro Skaitytojo bei minios laukinių ir negailestingų žmonių rankomis. fanatikai; jos mėsa buvo nuplėšta nuo kaulų aštriais austrių kiautais, o jos drebančios galūnės buvo sudegintos ant laužo“.

Po Hipatijos mirties matematikoje prasidėjo sąstingio laikotarpis. Antroji moteris, privertusi kalbėti apie save kaip apie matematiką, atsirado tik po Renesanso. Maria Agnesi gimė Milane 1718 m. Kaip ir Hipatija, ji buvo matematiko dukra. Agnesi buvo pripažinta viena geriausių matematikų Europoje. Ji ypač išgarsėjo savo darbais apie kreivių liestinę. Italijoje kreivės buvo vadinamos „versiera“ (iš lotynų kalbos „pasukti“), tačiau tas pats žodis buvo laikomas žodžio „avversiera“ – „velnio žmona“ – susitraukimu. Agnesi tyrinėtos kreivės (versiera Agnesi) buvo neteisingai išverstos į anglų kalbą kaip „Agnesi ragana“, o laikui bėgant Marija Agnesi buvo pradėta vadinti taip pat.

Nors matematikai visoje Europoje pripažino Agnesi matematinius talentus, daugelis akademinių institucijų, ypač Prancūzijos akademija, atsisakė jai skirti mokslinį darbą. Moterų pašalinimo iš akademinių pareigų politika tęsėsi ir XX amžiuje, kai Emmy Noether, kurią Einšteinas apibūdino kaip „svarbiausią kūrybinį matematikos genijų, atsiradusį nuo aukštojo mokslo pradžios moterims“, buvo atimta teisė skaityti paskaitas Getingeno universitete. Dauguma profesorių samprotavo taip: „Kaip galima leisti moteriai tapti privačia docente? Juk jei ji taps privatdozente, tai su laiku gali tapti profesore ir universiteto senato nare... Ką pagalvos mūsų kariai, grįžę į universitetą ir sužinoję, kad teks mokytis po kojomis iš moters? Davidas Gilbertas, Emmy Noether draugas ir mentorius, į tai atsakė: „Džentelmenai! Nesuprantu, kodėl kandidatės lytis trukdo priimti ją kaip privatininkę. Juk universiteto senatas nėra vyrų pirtis“.

Vėliau Edmundo Landau, Noeterio kolegos, paklaustas, ar Noether tikrai buvo puiki moteris matematikė, jis atsakė: „Galiu prisiekti, kad ji puiki matematikė, bet negaliu prisiekti, kad ji yra moteris“.

Be to, kad Emmy Noether, kaip ir praėjusių amžių matematikės moterys, kentėjo nuo diskriminacijos, ji turėjo daug daugiau bendro su jais: pavyzdžiui, ji buvo matematikės dukra. Apskritai daugelis matematikų buvo kilę iš matematinių šeimų, ir tai sukėlė nepagrįstų gandų apie specialų matematinį geną, tačiau tarp moterų matematikių procentas yra ypač didelis žmonių iš matematinių šeimų. Panašu, kad paaiškinimas yra toks, kad net gabiausios moterys nesiryžtų studijuoti matematikos ar sulaukti paramos savo ketinimams, jei jų šeima nebūtų susijusi su mokslu. Kaip ir Hypatia, Agnesi ir dauguma kitų moterų matematikų, Noether buvo nevedęs. Toks plačiai paplitęs celibatas tarp moterų matematikių paaiškinamas tuo, kad moters matematikos profesijos pasirinkimas buvo sutiktas visuomenės nepritarimo, ir tik keli vyrai išdrįso siūlyti vesti tokią „abejotiną“ reputaciją turinčioms moterims. Išimtis iš bendrosios taisyklės buvo puiki matematikė iš Rusijos Sofija Vasiljevna Kovalevskaja. Ji sudarė fiktyvią santuoką su paleontologu Vladimiru Onufrievičiumi Kovalevskiu. Abiem santuoka buvo išsigelbėjimas, leidęs pabėgti nuo šeimų globos ir susitelkti į mokslinius tyrimus. Kalbant apie Kovalevskają, jai buvo daug patogiau keliauti vienai prisidengus garbinga ištekėjusia ponia.

Iš visų Europos šalių Prancūzija užėmė bekompromisę poziciją išsilavinusių moterų atžvilgiu, skelbdama, kad matematika yra netinkamas užsiėmimas moterims ir viršija jų protinius gebėjimus! Ir nors Paryžiaus salonai dominavo 18–19 amžių matematikos pasaulyje, tik vienai moteriai pavyko išsivaduoti iš Prancūzijos viešosios nuomonės pančių ir įtvirtinti savo, kaip pagrindinės skaičių teorijos specialistės, reputaciją. Sophie Germain sukėlė revoliuciją siekyje įrodyti Paskutinę Ferma teoremą ir prisidėjo daug daugiau, nei buvo padarę jos pirmtakai vyrai.

Sophie Germain gimė 1776 m. balandžio 1 d. pirklio Ambroise'o Francois Germain šeimoje. Be aistros matematikai, jos gyvenimui didelę įtaką padarė Prancūzijos revoliucijos audros ir negandos. Tais pačiais metais, kai ji atrado savo meilę skaičiams, žmonės šturmavo Bastiliją, o kol ji studijavo skaičiavimą, krito siaubo karalystės šešėlis. Nors Sophie tėvas buvo gana turtingas žmogus, Žermenai nepriklausė aristokratijai.

Merginos, esančios toje pačioje socialinio laiptelio laiptelyje, kaip ir Sophie, nebuvo ypač skatinamos studijuoti matematiką, tačiau buvo tikimasi, kad jos turės pakankamai žinių apie šį dalyką, kad galėtų kalbėti, jei jis liečia kokį nors matematikos klausimą. Tuo tikslu buvo parašyta vadovėlių serija, skirta supažindinti juos su naujausiais matematikos ir gamtos mokslų pasiekimais. Taigi Francesco Algarotti parašė vadovėlį „Sero Izaoko Niutono filosofija, paaiškinta moterų naudai“. Kadangi Algarotti buvo įsitikinęs, kad damos gali domėtis tik romanais, Niutono atradimus jis bandė pateikti su pašnekovu flirtuojančios markizės dialogo forma. Pavyzdžiui, pašnekovas markizei išaiškina visuotinės traukos dėsnį, į kurį atsakydama markizė išsako savąją šio pamatinio fizikos dėsnio interpretaciją: „Negaliu negalvoti, kad... tas pats santykis, atvirkštinis proporcingumas kvadratui. atstumo... stebimas meilėje. Pavyzdžiui, jei įsimylėjėliai nesimato aštuonias dienas, tada meilė tampa šešiasdešimt keturis kartus silpnesnė nei išsiskyrimo dieną.

Nenuostabu, kad Sophie Germain susidomėjimas mokslu neatsirado tokio galantiško žanro knygų įtakoje. Įvykis, pakeitęs visą jos gyvenimą, įvyko tą dieną, kai, vartydama knygas savo tėvo bibliotekoje, ji atsitiktinai aptiko Jeano Etienne'o Montuclos „Matematikos istoriją“. Jos dėmesį patraukė skyrius, kuriame Montucla pasakoja apie Archimedo gyvenimą. Montuklos pateiktas Archimedo atradimų sąrašas neabejotinai sukėlė susidomėjimą, tačiau Sofijos vaizduotę ypač patraukė epizodas, kuriame buvo aptarta Archimedo mirtis.

Pasak legendos, Archimedas visą savo gyvenimą praleido Sirakūzuose, kur gana ramioje aplinkoje studijavo matematiką. Tačiau kai jam buvo gerokai daugiau nei septyniasdešimt, ramybę sutrikdė Romos kariuomenės įsiveržimas. Pasak legendos, būtent šios invazijos metu Archimedas, giliai pasinėręs į smėlyje nupieštos geometrinės figūros apmąstymą, neišgirdo jam skirto klausimo apie romėnų kareivį ir, persmeigtas ieties, mirė.

Germaine'as samprotavo, kad jei geometrijos problema ką nors galėjo taip sužavėti, kad dėl to jis mirė, tada matematika turi būti nuostabiausias dalykas pasaulyje. Sophie iškart pradėjo savarankiškai studijuoti skaičių teorijos ir skaičiavimo pagrindus ir netrukus nemiegojo skaitydama Eulerio ir Niutono veikalus. Staigus susidomėjimas tokiu „nemoterišku“ dalyku kaip matematika, Sophie tėvams sunerimo. Šeimos draugas grafas Guglielmo Libri-Carucci dalla Sommaya pasakojo, kad Sophie tėvas, siekdamas neleisti jai mokytis matematikos, atėmė jos dukters žvakes, drabužius ir atėmė jos kambarį šildančią krosnelę. Po kelerių metų Didžiojoje Britanijoje jaunos matematikės Mary Somerville tėvas taip pat atėmė savo dukters žvakes ir pareiškė: „Tai turi baigtis, jei nenorime matyti Marijos su tramdomaisiais marškinėliais“.

Tačiau atsakydama į tai, Sophie Germaine įkūrė slaptą žvakių saugyklą ir apsisaugodama nuo šalčio susivyniojo į paklodes. Anot Libri-Carucci, žiemos naktys buvo tokios šaltos, kad rašalas užšaldavo rašalinėje, tačiau Sophie toliau mokėsi matematikos, kad ir kaip būtų. Kai kurie ją pažinoję jaunystėje tvirtino, kad ji buvo drovi ir nepatogi, tačiau ji buvo ryžtinga, o galiausiai tėvai nusileido ir palaimino Sophie mokytis matematikos. Germaine niekada nesusituokė, o Sophie tyrimus finansavo jos tėvas per visą jos karjerą. Daug metų Germaine savo tyrimus atliko visiškai viena, nes šeimoje nebuvo matematikų, galinčių ją supažindinti su naujausiomis idėjomis, o Sophie mokytojai atsisakė į ją žiūrėti rimtai.

Germaine vis labiau pasitikėjo savo sugebėjimais ir perėjo nuo uždavinių sprendimo pamokose prie anksčiau neištirtų matematikos sričių. Tačiau mūsų istorijai svarbiausia yra tai, kad Sofi susidomėjo skaičių teorija ir, žinoma, negalėjo neišgirsti apie Paskutinę Ferma teoremą. Germaine kelerius metus dirbo ties savo įrodymu ir galiausiai pasiekė stadiją, kai jai atrodė, kad ji sugebėjo judėti trokštamo tikslo link. Gautus rezultatus skubiai reikėjo aptarti su kolega, skaičių teorijos specialistu, ir Germaine'as nusprendė kreiptis į didžiausią skaičių teorijos specialistą – vokiečių matematiką Carlą Friedrichą Gaussą.

Gaussas yra visuotinai pripažintas ryškiausiu kada nors gyvenusiu matematiku. TAI. Bellas pavadino Fermat „mėgėjų princu“, o Gaussą – „matematikų princu“. Pirmą kartą Germaine tikrai įvertino Gauso talentą, kai susidūrė su jo šedevru „Aritmetiniai tyrimai“ – svarbiausiu ir neįprastai plačiajuosčiu traktatu, parašytu nuo Euklido elementų. Gauso darbai turėjo įtakos visoms matematikos sritims, tačiau, kaip bebūtų keista, jis niekada nieko nepaskelbė apie Paskutinę Ferma teoremą. Viename laiške Gaussas netgi išreiškė panieką Ferma problemai. Gauso draugas vokiečių astronomas Heinrichas Olbersas parašė jam laišką, kuriame primygtinai patarė dalyvauti konkurse Paryžiaus akademijos premijai gauti už Ferma problemos sprendimą: „Man atrodo, gerbiamas Gaussai, kad tu turėtum tuo susirūpinti. “ Po dviejų savaičių Gaussas atsakė: „Labai privalau išgirsti naujienas apie Paryžiaus premiją. Bet aš prisipažįstu, kad paskutinė Ferma teorema kaip atskiras teiginys mane labai mažai domina, nes galėčiau pateikti daug tokių teiginių, kurių negalima nei įrodyti, nei paneigti. Gaussas turėjo teisę į savo nuomonę, tačiau Fermatas aiškiai pareiškė, kad įrodymas egzistuoja, ir net vėlesni nesėkmingi bandymai rasti įrodymą davė pradžią naujiems ir originaliems metodams, tokiems kaip įrodymas begalinės kilmės ir įsivaizduojamų skaičių naudojimas. Galbūt Gaussas taip pat bandė rasti įrodymą ir jam nepavyko, o jo atsakymas Olbersui yra tik teiginio „vynuogės žalios“ variantas. Tačiau Germaine'o pasiekta sėkmė, apie kurią Gaussas sužinojo iš jos laiškų, padarė jam tokį stiprų įspūdį, kad Gaussas laikinai pamiršo savo panieką paskutinei Ferma teoremai.

Septyniasdešimt penkerius metus anksčiau Euleris paskelbė įrodymą, kurį rado n=3, ir nuo to laiko visi matematikai bergždžiai bandė įrodyti Paskutinę Ferma teoremą kitais ypatingais atvejais. Tačiau Germaine'as pasirinko naują strategiją ir laiškuose Gaussui išdėstė vadinamąjį bendrą požiūrį į Ferma problemą. Kitaip tariant, jos tiesioginis tikslas nebuvo įrodyti nė vieno atvejo – Germaine nusprendė pasakyti ką nors apie daugelį konkrečių atvejų vienu metu. Laiškuose Gausui ji apibūdino bendrą skaičiavimo eigą, orientuotą į pirminius skaičius p privatus tipas: toks, kad skaičiai būtų 2 p+1 – taip pat paprasta. Germaine'o sudarytame tokių pirminių skaičių sąraše yra skaičius 5, nes 11 = 2 · 5 + 1 taip pat yra pirminis, tačiau skaičius 13 jame nėra įtrauktas, nes 27 = 2 · 13 + 1 nėra pirminis.

Visų pirma, Germaine'as, naudodamas elegantiškus samprotavimus, įrodė, kad jei lygtis x n + y n = z n turi tokių paprastų sprendimų n kad 2 n+1 taip pat yra pirminis skaičius, tada arba x, y, arba z akcijų n.

1825 metais Sophie Germain metodą sėkmingai pritaikė Gustavas Lejeune'as Dirichlet ir Adrien Marie Legendre. Šiuos mokslininkus skyrė visa karta. Legendre buvo septyniasdešimties metų vyras, išgyvenęs Didžiosios Prancūzijos revoliucijos politines audras. Už tai, kad atsisakė remti vyriausybės kandidatą į Nacionalinį institutą, iš jo buvo atimta pensija, o tuo metu, kai jis prisidėjo prie Ferma paskutinės teoremos įrodinėjimo, Legendrei to labai reikėjo. Dirichlet buvo jaunas ir ambicingas skaičių teoretikas, vos dvidešimties metų. Ir Legendre, ir Dirichlet savarankiškai pavyko įrodyti Paskutinę Ferma teoremą n=5, ir abu savo įrodymus grindė Sophie Germain samprotavimais, ir būtent jai jie buvo skolingi už savo sėkmę.

Dar vieną proveržį po keturiolikos metų padarė prancūzas Gabrielis Lamé. Jis išradingai patobulino Germain metodą ir įrodė, kad paskutinė Ferma teorema turi pagrindinę vertę. n=7. Germaine'as parodė skaičių teoretikams, kaip pašalinti visą grupę pirminės vertės atvejų. n, o dabar, bendromis jos kolegų pastangomis, jie ir toliau įrodinėjo teoremą dėl vienos paprastos reikšmės n po kito. Germaine darbas apie paskutinę Ferma teoremą buvo didžiausias jos pasiekimas matematikoje, nors jis nebuvo iš karto įvertintas. Kai Germaine pirmą kartą parašė Gaussui, jai dar nebuvo trisdešimties metų ir, nors jos vardas išgarsėjo Paryžiuje, ji bijojo, kad didysis matematikas rimtai nepriims moters laiško. Norėdama apsisaugoti, Germaine vėl prisiglaudė prie pseudonimo, pasirašydama laišką pono Leblanc vardu.

Sophie neslėpė pagarbos Gausui. Štai frazė iš jos laiško: „Deja, mano intelekto gylis yra mažesnis už mano apetito nepasotinimą, ir aš suvokiu savo veiksmų kvailumą, kai prisiimu drąsos sutrikdyti genialų vyrą. turėdamas bent menkiausią teisę į jo dėmesį, išskyrus susižavėjimą, kuris neišvengiamai apima visus jo skaitytojus“. Gaussas, nežinodamas, kas iš tikrųjų yra jo korespondentas, bandė nuraminti „ponsieur Leblanc“. Gauso atsakymo laiške buvo sakoma: „Džiaugiuosi, kad aritmetika surado tavyje tokį gabų draugą“.

Germaine'o pasiekti rezultatai galėjo amžinai likti klaidingai priskiriami ponui Leblanc, jei ne imperatorius Napoleonas. 1806 metais Napoleonas užėmė Prūsiją, o prancūzų kariuomenė šturmavo vieną Vokietijos sostinę po kitos. Germaine pradėjo baimintis, kad jos antrasis didysis herojus Gausas gali išgyventi Archimedo likimą. Sophie parašė savo draugui generolui Josephui Marie Pernety, kuris vadovavo besiveržiančiai kariuomenei. Laiške ji paprašė generolo užtikrinti Gauso saugumą. Generolas ėmėsi atitinkamų priemonių, pasirūpino vokiečių matematiku ir paaiškino jam, kad jis savo gyvybę skolingas Mademoiselle Germaine. Gaussas išreiškė dėkingumą, bet buvo nustebęs, nes niekada nebuvo girdėjęs apie Sophie Germaine.

Žaidimas buvo pralaimėtas. Kitame laiške Gausui Germaine nenoriai atskleidė savo tikrąjį vardą. Visiškai nesupykęs dėl apgaulės, Gaussas jai atsakė su džiaugsmu: „Kaip galiu apibūdinti tą džiaugsmą ir nuostabą, kuris mane apėmė pamačius, kaip mano labai gerbiamas korespondentas ponas Leblancas išgyveno metamorfozę, virsdamas nuostabiu žmogumi. toks puikus pavyzdys, kad aš Sunku patikėti. Abstrakčių mokslų apskritai, o visų pirma skaičių paslapčių, skonis yra labai retas, ir tai nenuostabu: šio subtilaus mokslo gundantys žavesiai atsiskleidžia tik tiems, kurie turi drąsos giliai į jį įsiskverbti. Bet kai tos lyties atstovas, kuris, pagal mūsų papročius ir išankstinius nusistatymus, turi susidurti su be galo didesniais sunkumais nei vyrai, susipažįstant su dygliuotais tyrimais, sėkmingai įveikia visas šias kliūtis ir prasiskverbia į tamsiausias jų vietas, tada, be jokios abejonės, ji turi kilnią drąsą, absoliučiai nepaprastus gabumus ir aukščiausią talentą. Niekas negalėtų manęs taip glostingai ir neabejotinai įtikinti, kad šio mokslo, praturtinusio mano gyvenimą tiek daug džiaugsmų, patrauklūs aspektai yra ne fantazijos vaisius, kaip atsidavimas, kuriuo jūs jį pagerbėte.

Susirašinėjimas su Carlu Gaussu, tapęs Sophie Germaine kūrybos įkvėpimo šaltiniu, staiga nutrūko 1808 m. Gaussas buvo paskirtas Getingeno universiteto astronomijos profesoriumi, jo interesai perėjo nuo skaičių teorijos prie labiau taikomosios matematikos, ir jis nustojo atsakyti į Germaine'o laiškus. Netekusi tokio mentoriaus palaikymo, Germaine prarado pasitikėjimą savo jėgomis ir po metų paliko grynosios matematikos studijas. Nors jai nepavyko padaryti tolesnės pažangos įrodinėjant paskutinę Ferma teoremą, ji tapo labai vaisinga fizikos srityje – mokslinėje disciplinoje, kurioje ji vėl būtų pasiekusi svarbią vietą, jei ne išankstiniai nusistatymai. Didžiausias Sophie Germain pasiekimas fizikoje buvo „Memuarai apie elastinių plokščių virpesius“ – puikus darbas, kupinas naujų idėjų, padėjusių šiuolaikinės elastingumo teorijos pamatus. Už šį darbą ir darbą prie paskutinės Ferma teoremos ji buvo apdovanota Institut de France medaliu ir tapo pirmąja moterimi, kuri lankė paskaitas Mokslų akademijoje, nebūdama Akademijos nario žmona. Savo gyvenimo pabaigoje Sophie Germain atkūrė santykius su Carlu Gaussu, kuris įtikino Getingeno universitetą suteikti jai garbės laipsnį. Deja, Sophie Germaine mirė nuo krūties vėžio universitetui nespėjus pagerbti jos taip, kaip ji nusipelnė.

„Atsižvelgiant į visa tai, galima sakyti, kad Sophie Germain, atrodo, turėjo giliausią intelektą iš visų moterų, kurias kada nors sukūrė Prancūzija. Atrodytų keista, bet pareigūnui atvykus išduoti šio garsaus kolegos ir garsiausių Prancūzijos mokslų akademijos narių darbuotojo mirties liudijimo, skiltyje „užsiėmimas“ jis ją įvardijo kaip „vienišą moterį be profesijos“. “, o ne „matematikas“. Bet tai dar ne viskas. Eifelio bokšto statybos metu inžinieriai ypatingą dėmesį skyrė naudojamų medžiagų elastingumui, ant šios gigantiškos konstrukcijos buvo įrašytos septyniasdešimt dviejų mokslininkų, kurie ypač reikšmingai prisidėjo kuriant elastingumo teoriją, pavardės. Tačiau veltui šiame sąraše ieškotume puikios Prancūzijos dukters, kurios tyrimai labai prisidėjo prie metalų elastingumo teorijos kūrimo, – Sophie Germain – vardo. Ar ji buvo išbraukta iš šio sąrašo dėl tos pačios priežasties, dėl kurios Maria Agnesi nebuvo suteikta narystė Prancūzų akademijoje – nes ji buvo moteris? Matyt, taip ir buvo. Bet jei taip yra iš tikrųjų, tuo didesnė gėda tiems, kurie yra atsakingi už tokį akivaizdų nedėkingumą žmogui, kuris padarė tokias dideles paslaugas mokslui – žmogui, kuris užsitikrino deramą vietą šlovės muziejuje. (A.J. Mozans, 1913 m.)

Po pažangos, padarytos Sophie Germain darbuose, Prancūzijos mokslų akademija įsteigė daugybę prizų, įskaitant aukso medalį ir 3000 frankų, matematikui, kuris pagaliau galėjo išspręsti Ferma paskutinės teoremos paslaptį. Tas, kuris sugebės įrodyti teoremą, gaus ne tik pelnytą šlovę, bet ir reikšmingą materialinį atlygį. Paryžiaus salonus sklandė gandai, kokią strategiją pasirinko tas ar kitas kandidatas ir kaip greitai bus paskelbti konkurso rezultatai. Pagaliau 1847 m. kovo 1 d. Akademija susirinko į dramatiškiausius savo posėdžius.

Susitikimo protokole išsamiai aprašoma, kaip Gabrielis Lamé, prieš septynerius metus įrodęs Paskutinę Ferma teoremą n=7, užėmė podiumą prieš garsiausius XIX amžiaus matematikus ir pareiškė, kad yra ant slenksčio įrodyti Paskutinę Ferma teoremą bendram atvejui. Lame'as pripažino, kad jo įrodymas dar nebuvo baigtas, tačiau jis apibūdino savo metodą ir su malonumu paskelbė, kad po kelių savaičių paskelbs visą įrodymą Akademijos leidžiamame žurnale.

Publika sustingo iš džiaugsmo, tačiau vos Lame'ui palikus pakylą, žodžių paprašė kitas vienas geriausių Paryžiaus matematikų Augustinas Louisas Cauchy. Kreipdamasis į Akademijos narius, Cauchy sakė, kad jis ilgą laiką dirbo su Ferma paskutinės teoremos įrodymu, paremtu maždaug tomis pačiomis idėjomis kaip ir Lamé, ir netrukus ketina paskelbti išsamų įrodymą.

Tiek Cauchy, tiek Lamé pripažino, kad laikas yra esminis dalykas. Tas, kuris pirmasis pateiks pilną įrodymą, laimės prestižiškiausią ir vertingiausią matematikos prizą. Nors nei Lamé, nei Cauchy neturėjo visų įrodymų, abu varžovai nekantravo pagrįsti savo teiginių, o po trijų savaičių abu Akademijai pateikė užantspauduotus vokus. Tuo metu toks buvo paprotys. Tai leido matematikams tvirtinti savo prioritetą neatskleidžiant savo darbo detalių. Jei vėliau kiltų ginčas dėl idėjų originalumo, užklijuotame voke buvo įtikinami įrodymai, būtini prioritetui nustatyti.

Balandį, kai Cauchy ir Lamé pagaliau paskelbė kai kurias savo įrodymų detales žurnale Proceedings of the Academy, įtampa išaugo. Visa matematikų bendruomenė labai norėjo pamatyti visą įrodymą, o daugelis matematikų slapta tikėjosi, kad konkursą laimės Lamé, o ne Koši. Apskritai Koši buvo teisus padaras ir religinis fanatikas. Be to, jis buvo labai nepopuliarus tarp savo kolegų. Akademijoje jis buvo toleruojamas tik dėl puikaus proto.

Galiausiai, gegužės 24 d., buvo paskelbtas pareiškimas, kuris nutraukė visas spėliones. Į akademiją kreipėsi ne Cauchy ar Lamé, o Josephas Liouville'is. Jis sukrėtė garbingą publiką skaitydamas vokiečių matematiko Ernsto Kummero laišką. Kummeris buvo pripažintas skaičių teorijos žinovas, tačiau jo karštas patriotizmas, kurstomas nuoširdžios neapykantos Napoleonui, daugelį metų neleido jam atsiduoti savo tikrajam pašaukimui. Kai Kummeris dar buvo vaikas, prancūzų kariuomenė įsiveržė į jo gimtąjį Sorau miestą ir atnešė šiltinės epidemiją. Kummerio tėvas buvo miesto gydytojas, o po kelių savaičių liga jį nusinešė. Sukrėstas to, kas nutiko, Kummeris pažadėjo padaryti viską, ką gali, kad išlaisvintų savo tėvynę nuo naujos priešo invazijos – o baigęs universitetą savo intelektą nukreipė į patrankų sviedinių trajektorijų konstravimo problemos sprendimą. Vėliau Berlyno karo mokykloje dėstė balistikos dėsnius.

Lygiagrečiai su savo karine karjera Kummeris aktyviai užsiėmė grynosios matematikos moksliniais tyrimais ir puikiai žinojo, kas vyksta Prancūzijos akademijoje. Kummeris atidžiai perskaitė „Proceedings of the Academy“ publikacijas ir išanalizavo kelias detales, kurias Koši ir Lama rizikavo atskleisti. Jam tapo aišku, kad abu prancūzai juda tos pačios logiškos aklavietės link – ir savo mintis išdėstė laiške Liouville’iui.

Pasak Kummero, pagrindinė problema buvo ta, kad Cauchy ir Lamé įrodymai rėmėsi sveikųjų skaičių savybe, vadinama unikalia faktorizacija. Ši savybė reiškia, kad yra tik vienas galimas pirminių skaičių derinys, kurio sandauga sukuria duotą sveikąjį skaičių. Pavyzdžiui, vienintelis pirminių skaičių derinys, kurio sandauga lygi 18, yra

18 = 2 3 3.

Panašiai skaičiai 35, 180 ir 106260 gali būti vienareikšmiškai suskirstyti į pirminius skaičius, o jų faktorizavimas yra tokios formos

35 = 5 7, 180 = 2 2 3 3 5, 106260 = 2 2 3 5 7 11 23.

Faktorizacijos išskirtinumas buvo atrastas IV amžiuje prieš Kristų. e. Euklidas, kuris IX savo elementų knygoje įrodė, kad tai pasakytina apie visus natūraliuosius skaičius. Visų natūraliųjų skaičių pirminio faktoriaus unikalumas yra gyvybiškai svarbus daugelio skirtingų teoremų įrodymų elementas ir dabar vadinamas pagrindine aritmetikos teorema.

Iš pirmo žvilgsnio neturėtų būti jokios priežasties, kodėl Cauchy ir Lamé savo samprotavimuose negalėjo panaudoti faktorizavimo unikalumo, kaip tai darė šimtai matematikų prieš juos. Tačiau abiejuose Akademijai pateiktuose įrodymuose buvo naudojami menami skaičiai. Kummeris atkreipė Liouville'io dėmesį, kad nors unikali faktorizavimo teorema galioja sveikiesiems skaičiams, ji nebūtinai galioja, jei naudojami įsivaizduojami skaičiai. Anot Kummero, tai buvo lemtinga klaida.

Pavyzdžiui, jei apsiribosime sveikaisiais skaičiais, tada skaičius 12 leidžia unikalų 2·2·3 skaidymą. Bet kai tik įrodyme leidžiame įsivaizduojamus skaičius, skaičių 12 galima koeficientuoti taip:

12 = (1 + v–11) · (1 + v–11).

Čia 1 + v–11 yra kompleksinis skaičius, kuris yra tikrojo ir įsivaizduojamo skaičiaus derinys. Nors sudėtingų skaičių dauginimas vadovaujasi sudėtingesnėmis taisyklėmis nei realiųjų skaičių dauginimas, kompleksinių skaičių buvimas suteikia papildomų būdų, kaip koeficientą 12. Štai dar vienas būdas išskaidyti skaičių 12:

12 = (2 + v–8) · (2 ​​+ v–8).

Vadinasi, įrodyme naudojant įsivaizduojamus skaičius, kalbama ne apie dekompozicijos unikalumą, o apie vieno iš faktorizavimo variantų pasirinkimą.

Taigi faktorizavimo unikalumo praradimas padarė didelę žalą Cauchy ir Lamé įrodymams, tačiau jų visiškai nesunaikino. Įrodymas turėjo parodyti, kad lygtyje nėra sveikųjų skaičių sprendinių x n + y n = z n, Kur n- bet koks sveikasis skaičius, didesnis nei 2. Kaip jau minėjome šiame skyriuje, iš tikrųjų paskutinę Ferma teoremą reikia įrodyti tik pirminėms reikšmėms n. Kummeris parodė, kad naudojant papildomus triukus galima atkurti tam tikrų verčių faktorizavimo unikalumą n. Pavyzdžiui, skilimo unikalumo problemą galima apeiti visiems pirminiams skaičiams, neviršijantiems n= 31 (įskaitant pačią vertę n= 31). Bet kada n= 37 atsikratyti sunkumų nėra taip paprasta. Be kitų skaičių, mažesnių nei 100, ypač sunku įrodyti Paskutinę Ferma teoremą n= 59 ir n= 67. Šie vadinamieji netaisyklingi pirminiai skaičiai, išsibarstę tarp likusių skaičių, tapo kliūtimi kelyje į visišką įrodymą.

Kummeris pažymėjo, kad nėra žinomų matematinių metodų, kurie leistų vienu ypu apsvarstyti visus netaisyklingus pirminius skaičius. Tačiau jis tikėjo, kad kruopščiai pritaikydamas esamus metodus kiekvienam netaisyklingam pirminiam skaičiui atskirai, jis galės su jais susidoroti „po vieną“. Tokių pagal užsakymą sukurtų metodų kūrimas būtų lėtas ir nepaprastai sunkus, o, dar blogiau, netaisyklingų pirmųjų skaitmenų skaičius būtų begalinis. Netaisyklingų pirminių skaičių po vieną svarstymas visoje pasaulio matematikų bendruomenėje tęstųsi iki amžių pabaigos.

Kummero laiškas padarė stulbinantį poveikį Lame'ui. Nepamirškite unikalios faktorizavimo prielaidos! Geriausiu atveju tai būtų galima pavadinti perdėtu optimizmu, blogiausiu – nedovanotina kvailumu. Lame'as suprato, kad jei nebūtų siekęs savo darbo detalių laikyti paslaptyje, spragą būtų galėjęs atrasti daug anksčiau. Laiške kolegai Dirichlet Berlyne jis prisipažino: „Jei tu būtum buvęs Paryžiuje arba aš būčiau buvęs Berlyne, visa tai niekada nebūtų įvykę“. Jei Lamé jautėsi pažemintas, Koši atsisakė pripažinti pralaimėjimą. Jo nuomone, palyginti su Lamé įrodymu, jo paties įrodymas mažiau rėmėsi faktorizavimo unikalumu, ir kol Kummero analizė nebus visiškai patikrinta, yra tikimybė, kad vokiečių matematiko samprotavimuose kažkur įsivėlė klaida. Kelias savaites Koši ir toliau skelbė straipsnį po straipsnio apie paskutinės Ferma teoremos įrodymą, tačiau vasaros pabaigoje jis taip pat nutilo.

Kummeris parodė, kad visiškas paskutinės Ferma teoremos įrodymas viršija esamų matematinių metodų galimybes. Tai buvo puikus logikos pavyzdys ir kartu siaubingas smūgis visai matematikų kartai, kuri tikėjosi, kad jiems pavyks išspręsti sunkiausią pasaulio matematikos problemą.

Santrauką apibendrino Koši, kuris 1857 m. baigiamojoje Akademijai pateiktoje ataskaitoje dėl premijos, skirtos už paskutinės Ferma teoremos įrodymą, rašė: „Ataskaita apie konkursą matematikos mokslų premijai gauti. Varžybos buvo suplanuotos 1853 m., o vėliau pratęstos iki 1856 m. Sekretoriui įteikta vienuolika atsiminimų. Nė vienoje iš jų užduotas klausimas nebuvo išspręstas. Taigi, nepaisant daug kartų keliamo, klausimas lieka, kur jį paliko J. Kummeris. Tačiau matematiniai mokslai buvo apdovanoti geometrų, ypač pono Kummero, darbu, stengdamiesi išspręsti šį klausimą, ir komisijos nariai mano, kad Akademija būtų priėmusi pakankamą ir naudingą sprendimą, jei pasitraukusi. Klausimas iš konkurso, jis buvo apdovanotas medaliu ponui Kummeriui už puikius kompleksinių skaičių, susidedančių iš vienybės šaknų ir sveikųjų skaičių, studijas.

Daugiau nei du šimtmečius bet koks bandymas iš naujo atrasti paskutinės Ferma teoremos įrodymą baigėsi nesėkme. Jaunystėje Andrew Wiles studijavo Eulerio, Germaine'o, Cauchy, Lamé ir galiausiai Kummero kūrinius. Wilesas tikėjosi, kad galės pasimokyti iš savo didžiųjų pirmtakų padarytų klaidų, tačiau jam baigus Oksfordo universiteto bakalauro studijas, jam kelią stojo ta pati akmeninė siena, kuriai Kummeris stojo.

Kai kurie Wileso amžininkai pradėjo įtarti, kad Ferma problema gali būti neišsprendžiama. Gali būti, kad Fermatas klydo, todėl priežastis, kodėl niekam nepavyko atkurti Ferma įrodymo, yra ta, kad tokio įrodymo niekada nebuvo. Wilesą įkvėpė tai, kad praeityje po atkaklių šimtmečių pastangų kai kurioms reikšmėms n Pagaliau buvo atrastas paskutinės Ferma teoremos įrodymas. Ir kai kuriais iš šių atvejų sėkmingos idėjos, išsprendusios problemą, nepasikliovė nauja matematikos pažanga; priešingai, tai buvo įrodymas, kuris galėjo būti atrastas seniai.

Vienas iš problemų, kurios dešimtmečius atkakliai priešinosi sprendimui, pavyzdys yra taško hipotezė. Tai susiję su keliais taškais, kurių kiekvienas yra sujungtas su kitais taškais tiesiomis linijomis, kaip parodyta Fig. 13. Hipotezė teigia, kad neįmanoma nubraižyti tokio tipo diagramos, kad kiekvienoje tiesėje būtų bent trys taškai (iš svarstymo neįtraukiame diagramos, kurioje visi taškai yra vienoje tiesėje). Eksperimentuodami su keliomis diagramomis, galime patikrinti, ar taško hipotezė yra teisinga. Fig. 13 A penki taškai yra sujungti šešiomis tiesiomis linijomis. Keturiose iš šių linijų nėra trijų taškų, todėl akivaizdu, kad toks taškų išdėstymas neatitinka uždavinio reikalavimo, kad kiekviena linija turi tris taškus.

Ryžiai. 13. Šiose diagramose kiekvienas taškas yra sujungtas su kiekvienu kitu tašku tiesiomis linijomis. Ar galima sudaryti diagramą, kurioje kiekviena linija kerta bent tris taškus?

Pridėjus vieną tašką ir vieną per jį einantį liniją, eilučių, kuriose nėra trijų taškų, skaičių sumažinome iki trijų. Bet toliau diagramą redukuoti iki hipotezės sąlygų (toks diagramos pertvarkymas, dėl kurio kiekvienoje tiesėje būtų trys taškai), matyt, neįmanoma. Žinoma, tai neįrodo, kad tokios diagramos nėra.

Matematikos kartos bandė rasti iš pažiūros paprastos hipotezės apie taškus įrodymą – ir nepavyko. Ši hipotezė dar labiau erzina, nes kai galiausiai buvo rastas sprendimas, paaiškėjo, kad tam reikia tik minimalių matematikos žinių ir vieno nepaprasto samprotavimo posūkio. Įrodinėjimo eiga aprašyta 6 priede.

Visai gali būti, kad visi metodai, reikalingi paskutinei Ferma teoremai įrodyti, jau buvo matematikų žinioje, o vienintelis trūkstamas ingredientas buvo koks nors išradingas triukas. Wilesas neketino pasiduoti: jo vaikystės svajonė įrodyti Paskutinę Ferma teoremą virto gilia ir rimta aistra. Išmokęs viską, ką reikėjo žinoti apie XIX amžiaus matematiką, Wilesas nusprendė pritaikyti XX amžiaus metodus.

Pastabos:

Prisiminiau Titchmarsho frazę: „Neseniai sutikau vyrą, kuris man pasakė, kad net netiki minuso vieno egzistavimu, nes tai reiškia, kad egzistuoja jo kvadratinė šaknis :) - E.G.A.

Pateiksiu iliustraciją, kaip naujas klientas persikelia į Gilberto viešbutį. Jis paimtas iš knygos „Proofs from THE BOOK“, kurią Springer išleido 1998 m., o iš naujo išleido 2001 m. Autoriai: Martin Aigner ir Gunter M. Ziegler. Maža citata iš šios knygos autorių pratarmės: „Paul Erdos mėgo kalbėti apie knygą, kurioje Dievas palaiko tobulus matematinių teoremų įrodymus, vadovaudamasis G. H. Hardy posakiu, kad bjauriai matematikai nėra nuolatinės vietos. Erdosas taip pat sakė, kad nereikia tikėti Dievu, bet, kaip matematikas, turėtumėte tikėti knyga. Mes neturime apibrėžimo ar apibūdinimo, kas yra knygos įrodymas: čia siūlome tik pavyzdžius, kuriuos atrinkome, tikėdamiesi, kad mūsų skaitytojai pasidalins mūsų entuziazmu apie puikias idėjas, gudrias įžvalgas ir nuostabius pastebėjimus. Taip pat tikimės, kad mūsų skaitytojams tai patiks, nepaisant mūsų ekspozicijos netobulumo. Ši iliustracija atveria skyrių „Aibės, funkcijos ir kontinuumo hipotezė“. - E.G.A.

Hmm... Kažkur skaičiau, kad jis sumokėjo gyvybe, kai šaukė: „Atsargiai! Nelipk ant mano piešinių!“, tačiau romėnų kareivis, kuriam buvo skirtas šis šauksmas, nekreipė dėmesio į tai, kad priešais jį stovėjo neginkluotas senis. :(O mano anksčiau minėtoje knygoje "Įrodymai iš KNYGOS" prieš skyrių "Skaičių teorija" yra piešinys, kuriame nėra ieties. Matyt, menininkas taip pat nežinojo Archimedo mirties detalių. - E.G.A.

Aplink ir aplink

Visų pirma, dėl išsamumo, norėčiau čia pateikti Pitagoro teoremos įrodymą, kuris, mano nuomone, yra elegantiškiausias ir akivaizdžiausias. Viršuje esančiame paveikslėlyje pavaizduoti du identiški kvadratai: kairėje ir dešinėje. Iš paveikslo matyti, kad kairėje ir dešinėje nuspalvintų figūrų plotai yra lygūs, nes kiekviename dideliame kvadrate yra 4 vienodi stačiakampiai, nuspalvinti. Tai reiškia, kad neužtemdytos (baltos) sritys kairėje ir dešinėje taip pat yra lygios. Atkreipiame dėmesį, kad pirmuoju atveju neužtamsintos figūros plotas yra lygus , o antruoju atveju neužtamsintos srities plotas yra lygus . Taigi,. Teorema įrodyta!

Kaip paskambinti šiais numeriais? Negalite jų vadinti trikampiais, nes keturi skaičiai negali sudaryti trikampio. Ir čia! Kaip žaibas iš giedro dangaus

Kadangi yra tokie skaičių keturgubai, tai reiškia, kad turi būti geometrinis objektas, turintis tas pačias savybes, atsispindinčius šiuose skaičiuose!

Dabar belieka šiai nuosavybei pasirinkti kokį nors geometrinį objektą ir viskas atsistos į savo vietas! Žinoma, ši prielaida buvo grynai hipotetinė ir neturėjo jokio pagrindo. Bet kas, jei taip yra!

Prasidėjo objektų atranka. Žvaigždės, daugiakampiai, taisyklingi, netaisyklingi, stačiu kampu ir t. t. ir pan. Vėlgi niekas netinka. Ką daryti? Ir šiuo metu Šerlokas gauna antrąjį pranašumą.

Turime padidinti dydį! Kadangi trys atitinka trikampį plokštumoje, tai keturi atitinka kažką trimačio!

O ne! Vėl per daug variantų! Ir trijose dimensijose yra daug, daug daugiau skirtingų geometrinių kūnų. Pabandykite juos visus pereiti! Bet ne viskas blogai. Taip pat yra stačiu kampu ir kitų įkalčių! Ką mes turime? Egiptietiški skaičių ketvertukai (tebūnie jie egiptiški, juos reikia kažkaip vadinti), stačiu kampu (ar kampais) ir kažkokiu trimačiu objektu. Išskaitymas suveikė! Ir... Tikiu, kad greito proto skaitytojai jau suprato, kad kalbame apie piramides, kurių vienoje iš viršūnių visi trys kampai yra teisingi. Jūs netgi galite jiems paskambinti stačiakampės piramidės panašus į stačiakampį trikampį.

Nauja teorema

Paveikslėlyje pavaizduota piramidė, kurios viršūnė yra stačiakampių koordinačių pradžioje (atrodo, kad piramidė guli ant šono). Piramidė sudaryta iš trijų vienas kitą statmenų vektorių, nubrėžtų nuo pradžios išilgai koordinačių ašių. Tai reiškia, kad kiekvienas piramidės šoninis paviršius yra stačiakampis trikampis, kurio pradžioje yra stačiu kampu. Vektorių galai apibrėžia pjovimo plokštumą ir sudaro piramidės pagrindą.

Teorema

Tegul yra stačiakampė piramidė, sudaryta iš trijų viena kitai statmenų vektorių, kurių plotai lygūs - , o hipotenuzės veido plotas - . Tada

Alternatyvi formuluotė: Tetraedrinei piramidei, kurios vienoje iš viršūnių visi plokštumos kampai yra tiesūs, šoninių paviršių plotų kvadratų suma yra lygi pagrindo ploto kvadratui.

Žinoma, jei įprasta Pitagoro teorema suformuluota trikampių kraštinių ilgiams, tai mūsų teorema formuluojama piramidės kraštinių plotams. Įrodyti šią teoremą trimis matmenimis labai lengva, jei žinai šiek tiek vektorinės algebros.

Įrodymas

Išreikškime plotus vektorių ilgiais.

Kur.

Įsivaizduokime plotą kaip pusę lygiagretainio ploto, pastatyto ant vektorių ir

Kaip žinoma, dviejų vektorių vektorinė sandauga yra vektorius, kurio ilgis yra skaitiniu būdu lygus lygiagretainio, sudaryto iš šių vektorių, plotui.
Štai kodėl

Taigi,

Q.E.D!

Žinoma, kaip profesionaliai moksliniais tyrimais užsiimančiam žmogui, mano gyvenime taip jau yra nutikę, ne kartą. Tačiau ši akimirka buvo pati ryškiausia ir įsimintiniausia. Patyriau visą spektrą atradėjo jausmų, emocijų ir išgyvenimų. Nuo minties gimimo, idėjos išsikristalizavimo, įrodymų atradimo – iki visiško nesusipratimo ir net atmetimo, su kuriuo mano idėjos susitiko tarp mano draugų, pažįstamų ir, kaip man tada atrodė, visame pasaulyje. Tai buvo unikalu! Jaučiausi kaip Galilėjaus, Koperniko, Niutono, Šriodingerio, Boro, Einšteino ir daugelio kitų atradėjų kailyje.

Pokalbis

Gyvenime viskas pasirodė daug paprasčiau ir proziškiau. Pavėlavau... Bet kiek! Tik 18 metų! „Google“ man pripažino, kad ši teorema buvo paskelbta 1996 m., siaubingai ilgai kankindama ir ne pirmą kartą!

Šį straipsnį paskelbė Texas Tech University Press. Autoriai, profesionalūs matematikai, įvedė terminologiją (kuri, beje, didžiąja dalimi sutapo su mano), taip pat įrodė apibendrintą teoremą, kuri galioja bet kokio dydžio erdvei, didesnei už vieną. Kas nutinka didesniems nei 3 matmenims? Viskas labai paprasta: vietoj veidų ir sričių bus hiperpaviršiai ir daugiamačiai tūriai. Ir teiginys, žinoma, išliks tas pats: šoninių paviršių tūrių kvadratų suma yra lygi pagrindo tūrio kvadratui - tiesiog veidų skaičius bus didesnis, o kiekvieno tūris iš jų bus lygus pusei generuojančių vektorių sandaugos. Tai beveik neįmanoma įsivaizduoti! Galima tik mąstyti, kaip sako filosofai!

Keista, bet kai sužinojau, kad tokia teorema jau žinoma, nė kiek nenusiminiau. Kažkur sielos gelmėse įtariau, kad visai gali būti, kad nesu pirmas, ir supratau, kad reikia visada tam būti pasiruošusiam. Bet emocinė patirtis, kurią gavau, įžiebė manyje tyrinėtojo kibirkštį, kuri, esu tikras, dabar niekada neišblės!

P.S.

Eruduotas skaitytojas komentaruose atsiuntė nuorodą
De Gois teorema

Ištrauka iš Vikipedijos

1783 metais teoremą Paryžiaus mokslų akademijai pristatė prancūzų matematikas J.-P. de Goisas, bet anksčiau jį žinojo René Descartesas ir prieš jį Johanas Fulgaberis, kuris bene pirmasis jį atrado 1622 m. Bendresne forma teoremą suformulavo Charlesas Tinsault (prancūzas) pranešime Paryžiaus mokslų akademijai 1774 m.

Taigi pavėlavau ne 18 metų, o bent porą šimtmečių!

Šaltiniai

Skaitytojai komentaruose pateikė keletą naudingų nuorodų. Štai šios ir kai kurios kitos nuorodos: