Daugiakampis, apribotas apie sferą. Sakoma, kad daugiakampis yra apibrėžtas apie sferą, jei visų jo paviršių plokštumos liečia sferą. Sakoma, kad pati sfera yra įrašyta į daugiakampį. Teorema. Sfera gali būti įbrėžta į prizmę tada ir tik tada, kai į jos pagrindą galima įbrėžti apskritimą, o prizmės aukštis lygus šio apskritimo skersmeniui. Teorema. Į bet kurią trikampę piramidę galite sutalpinti sferą ir tik vieną.
1 pratimas Ištrinkite kvadratą ir nubrėžkite du lygiagrečius, vaizduojančius viršutinį ir apatinį kubo paviršius. Sujunkite jų viršūnes su segmentais. Gauti sferos, įrašytos į kubą, vaizdą. Nupieškite sferą, įrašytą į kubą, kaip ir ankstesnėje skaidrėje. Norėdami tai padaryti, nubrėžkite elipsę, įrašytą į lygiagretainį, gautą suspaudus apskritimą ir kvadratą 4 kartus. Pažymėkite sferos polius ir elipsės bei lygiagretainio liestinės taškus.
1 pratimas Į stačią keturkampę prizmę įbrėžtas rutulys, kurio pagrinde yra rombas, kurio kraštinė 1 ir smailusis 60 laipsnių kampas. Raskite rutulio spindulį ir prizmės aukštį. Sprendimas. Rutulio spindulys lygus pusei DG pagrindo aukščio, t.y. Prizmės aukštis lygus rutulio skersmeniui, t.y.
4 pratimas Į stačiąją keturkampę prizmę, kurios pagrinde yra keturkampis, perimetras 4 ir plotas 2, įbrėžiamas rutulys. Raskite įbrėžto rutulio spindulį r. Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad sferos spindulys yra lygus prizmės pagrinde įrašyto apskritimo spinduliui. Pasinaudokime tuo, kad į daugiakampį įbrėžto apskritimo spindulys lygus šio daugiakampio plotui, padalytam iš jo pusperimetro. Mes gauname,
3 pratimas Raskite rutulio, įbrėžtos į taisyklingą trikampę piramidę, spindulį, pagrindo kraštinė lygi 2, o dvikampiai kampai prie pagrindo yra 60°. Sprendimas. Pasinaudokime tuo, kad įbrėžtosios sferos centras yra dvišakių kampų pusiausvyros plokštumų susikirtimo taškas piramidės pagrindu. Sferos OE spinduliui galioja ši lygybė: Taigi,
4 pratimas Raskite rutulio, įrašytos į taisyklingą trikampę piramidę, kurios šoninės briaunos lygios 1, o plokštumos kampai viršūnėje lygūs 90°, spindulį. Atsakymas: Sprendimas. Tetraedre SABC turime: SD = DE = SE = Iš trikampių SOF ir SDE panašumo gauname lygtį, kurią išsprendę randame
1 pratimas Raskite rutulio, įbrėžto į taisyklingą keturkampę piramidę, kurios visos briaunos lygios 1, spindulį. Pasinaudokime tuo, kad į trikampį įbrėžto apskritimo spinduliui r galioja formulė: r = S/ p, kur S yra plotas, p yra trikampio pusiau perimetras. Mūsų atveju S = p = Sprendimas. Rutulio spindulys lygus apskritimo, įrašyto į trikampį SEF, spinduliui, kuriame SE = SF = EF=1, SG = Todėl,
2 pratimas Raskite rutulio, įbrėžto į taisyklingą keturkampę piramidę, kurios pagrindo kraštinė lygi 1, o šoninė kraštinė lygi 2, spindulį. Pasinaudokime tuo, kad į trikampį įbrėžto apskritimo spinduliui r formulė galioja: r = S/p, kur S – plotas, p – trikampio pusperimetras. Mūsų atveju S = p = Sprendimas. Rutulio spindulys lygus apskritimo, įrašyto į trikampį SEF, spinduliui, kuriame SE = SF = EF=1, SG = Todėl,
3 pratimas Raskite rutulio, įbrėžtos taisyklingoje keturkampėje piramidėje, spindulį, pagrindo kraštinė lygi 2, o dvikampiai kampai prie pagrindo yra 60°. Sprendimas. Pasinaudokime tuo, kad įbrėžtosios sferos centras yra dvišakių kampų pusiausvyros plokštumų susikirtimo taškas piramidės pagrindu. Sferos OG spinduliui galioja ši lygybė:
4 pratimas Vienetinis rutulys įbrėžtas į taisyklingą keturkampę piramidę, pagrindo kraštinė lygi 4. Raskite piramidės aukštį. Pasinaudokime tuo, kad į trikampį įbrėžto apskritimo spinduliui r galioja formulė: r = S/p, kur S – plotas, p – trikampio pusperimetras. Mūsų atveju S = 2h, p = Sprendimas. Piramidės aukštį SG pažymėkime kaip h. Rutulio spindulys lygus į trikampį SEF įrašyto apskritimo spinduliui, kuriame SE = SF = EF=4. Vadinasi, mes turime lygybę, iš kurios randame
1 pratimas Raskite rutulio, įbrėžto į taisyklingą šešiakampę piramidę, kurios pagrindo briaunos lygios 1, o šoninės – 2, spindulį. Pasinaudokime tuo, kad į trikampį įbrėžto apskritimo spindulį r formulė galioja: r = S/p, kur S – plotas, p – trikampio pusperimetras. Mūsų atveju S = p = Todėl Sprendimas. Rutulio spindulys lygus apskritimo, įrašyto į trikampį SPQ, spinduliui, kuriame SP = SQ = PQ = SH =
2 pratimas Raskite rutulio, įrašytos į taisyklingą šešiakampę piramidę, kurios pagrindo briaunos lygios 1, o dvikampiai kampai prie pagrindo, spindulį lygūs 60°. Sprendimas. Pasinaudokime tuo, kad įbrėžtosios sferos centras yra dvišakių kampų pusiausvyros plokštumų susikirtimo taškas piramidės pagrindu. Sferos OH spinduliui galioja lygybė: Todėl
Pratimas Raskite rutulio, įbrėžto į vienetinį oktaedrą, spindulį. Atsakymas: Sprendimas. Rutulio spindulys lygus į rombą SESF įrašyto apskritimo spinduliui, kuriame SE = SF = EF=1, SO = Tada rombo aukštis, nuleistas nuo viršūnės E, bus lygus Reikalingam spindulys yra lygus pusei aukščio ir lygus O
Pratimas Raskite rutulio, įrašytos į vienetinį ikosaedrą, spindulį. Sprendimas. Pasinaudokime tuo, kad apibrėžiamo rutulio spindulys OA lygus, o apskritimo spindulys AQ apie lygiakraštį trikampį, kurio kraštinė yra 1, Naudodami Pitagoro teoremą, taikomą stačiajam trikampiui OAQ, gauname pratimą Rasti. sferos spindulys, įrašytas į vienetą dodekaedras. Sprendimas. Pasinaudokime tuo, kad apibrėžiamos sferos spindulys OF lygus, o apskritimo, apibrėžto apie lygiakraštį penkiakampį, kurio kraštinė yra 1, spindulys FQ yra lygus pagal Pitagoro teoremą, pritaikytą stačiajam trikampiui OFQ
1 pratimas Ar įmanoma sutalpinti rutulį į nupjautą tetraedrą? Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad rutulio, įbrėžto į nupjautą tetraedrą, centras O turi sutapti su rutulio, įbrėžto į tetraedrą, centru, kuris sutampa su rutulio, pusiau įbrėžto nupjautame tetraedre, centru. Atstumai d 1, d 2 nuo taško O iki šešiakampių ir trikampių paviršių apskaičiuojami pagal Pitagoro teoremą: čia R yra pusiau įbrėžto rutulio spindulys, r 1, r 2 yra apskritimų, įbrėžtų į šešiakampį ir trikampį, spindulys, atitinkamai. Kadangi r 1 > r 2, tada d 1 r 2, tada d 1 
„Politikos sfera“ – Socialinių veikėjų santykiai su valstybės valdžia. Mokslinis ir teorinis. Politikos ir ekonomikos sąveikos procesas. Kartu su valstybe. Visuomeninių santykių reguliavimą sąlygoja socialiniai interesai. Politikos ir moralės sąveikos procesas. Valstybės galia, įtikinėjimas, stimuliavimas.
„Prizmės geometrija“ – duota dešinė keturkampė prizmė ABCDA1B1C1D1. Euklidas tikriausiai laikė tai praktiniu geometrijos nurodymu. Tiesi prizmė – tai prizmė, kurios šoninė briauna statmena pagrindui. Prizmė geometrijoje. Pagal 2 tūrių savybę V=V1+V2, tai yra V=SABD h+SBDC h=(SABD+SBDC) h. Taigi trikampiai A1B1C1 ir ABC yra lygūs iš trijų kraštinių.
„Prizmės tūris“ - kaip rasti tiesios prizmės tūrį? Pradinės prizmės tūris lygus sandaugai S · h. Pagrindiniai tiesioginės prizmės teoremos įrodinėjimo žingsniai? Pradinės prizmės pagrindo S plotas. Trikampio ABC aukščio brėžinys. Užduotis. Tiesi prizmė. Pamokos tikslai. Prizmės samprata. Tiesios prizmės tūris. Problemos sprendimas. Prizmė gali būti padalinta į tiesias trikampes prizmes, kurių aukštis h.
"Sferos paviršius" - Marsas. Ar kamuolys yra kamuolys? Rutulys ir rutulys. Žemė. Enciklopedija. Mes palaikome savo mokyklos beisbolo komandą. Venera. Uranas. Ar nuotraukoje yra kamuolys? Šiek tiek istorijos. Atmosfera. Nusprendžiau atlikti nedidelį tyrimą…… Saturnas. Ar esate pasirengęs atsakyti į klausimus?
Tema „Įvairūs daugiakampio, cilindro, kūgio ir rutulio uždaviniai“ yra viena sunkiausių 11 klasės geometrijos kurse. Prieš spręsdami geometrinius uždavinius, jie dažniausiai išstudija atitinkamas teorijos dalis, kuriomis remiamasi sprendžiant uždavinius. S. Atanasyano ir kitų šia tema skirtame vadovėlyje (p. 138) galima rasti tik aplink sferą aprašyto daugiakampio, į sferą įbrėžto daugiabriaunio, į daugiabriaunio įbrėžto rutulio ir apie sferą, aprašytą aplink sferą, apibrėžimus. daugiakampis. Šio vadovėlio metodinėse rekomendacijose (žr. S. M. Sahakyano ir V. F. Butuzovo knygą „Geometrijos studijos 10–11 klasėse“, p. 159) rašoma, į kokias kūnų kombinacijas atsižvelgiama sprendžiant uždavinius Nr. 629–646, ir atkreipiamas dėmesys. į tai, kad „sprendžiant konkrečią problemą, pirmiausia reikia užtikrinti, kad studentai gerai suprastų sąlygoje nurodytų kūnų santykines padėtis“. Toliau pateikiamas problemų Nr.638(a) ir Nr.640 sprendimas.
Atsižvelgiant į visa tai, kas išdėstyta, ir į tai, kad sunkiausios problemos studentams yra kamuolio derinimas su kitais kūnais, būtina susisteminti atitinkamus teorinius principus ir juos perteikti studentams.
Apibrėžimai.
1. Sakoma, kad rutulys yra įbrėžtas į daugiakampį, o daugiakampis – apie rutulį, jei rutulio paviršius liečia visus daugiakampio paviršius.
2. Sakoma, kad rutulys yra apibrėžtas apie daugiakampį, o daugiakampis – į rutulį, jeigu rutulio paviršius kerta visas daugiakampio viršūnes.
3. Sakoma, kad rutulys yra įrašytas į cilindrą, nupjautą kūgį (kūgį), o cilindras, nupjautas kūgis (kūgis) yra įbrėžtas aplink rutulį, jei rutulio paviršius liečiasi su pagrindais (pagrindu) ir viskas. cilindro generatricos, nupjautas kūgis (kūgis).
(Iš šio apibrėžimo išplaukia, kad didysis rutulio apskritimas gali būti įrašytas į bet kurią ašinę šių kūnų atkarpą).
4. Sakoma, kad rutulys apibrėžiamas apie cilindrą, nupjautą kūgį (kūgį), jeigu pagrindų (pagrindo apskritimo ir viršūnės) apskritimai priklauso rutulio paviršiui.
(Iš šio apibrėžimo matyti, kad aplink bet kurią ašinę šių kūnų atkarpą galima apibūdinti didesnio rutulio apskritimo apskritimą).
Bendrosios pastabos apie rutulio centro padėtį.
1. Į daugiakampį įbrėžto rutulio centras yra visų daugiakampio dvikampio kampų pusiausvyros plokštumų susikirtimo taške. Jis yra tik daugiakampio viduje.
2. Daugiakampį apibrėžiančio rutulio centras yra plokštumų, statmenų visoms daugiakampio briaunoms ir kertančių jų vidurio taškus, susikirtimo taške. Jis gali būti daugiakampio viduje, paviršiuje arba išorėje.
Rutulio ir prizmės derinys.
1. Tiesioje prizmėje įbrėžtas rutulys.
1 teorema. Rutulys gali būti įbrėžtas į tiesią prizmę tada ir tik tada, kai į prizmės pagrindą galima įbrėžti apskritimą, o prizmės aukštis lygus šio apskritimo skersmeniui.
1 išvada.Į stačią prizmę įbrėžtos sferos centras yra prizmės aukščio vidurio taške, kertančioje į pagrindą įbrėžto apskritimo centrą.
2 išvada. Visų pirma, rutulys gali būti įrašytas tiesiomis linijomis: trikampiu, taisyklingu, keturkampiu (kuriame pagrindo priešingų kraštinių sumos yra lygios viena kitai), esant sąlygai H = 2r, kur H yra rutulio aukštis. prizmė, r – į pagrindą įbrėžto apskritimo spindulys.
2. Apie prizmę apibrėžta sfera.
2 teorema. Sfera gali būti aprašyta aplink prizmę tada ir tik tada, kai prizmė yra tiesi, o aplink jos pagrindą galima apibūdinti apskritimą.
1 išvada. Aplink tiesią prizmę apibrėžtos sferos centras yra prizmės, nubrėžtos per aplink pagrindą apibrėžto apskritimo centrą, aukščio vidurio taške.
2 išvada. Visų pirma, rutulį galima apibūdinti: prie stačios trikampės prizmės, prie taisyklingosios prizmės, šalia stačiakampės gretasienio, šalia stačios keturkampės prizmės, kurioje pagrindo priešingų kampų suma lygi 180 laipsnių.
Iš L.S. Atanasyano vadovėlio galima pasiūlyti rutulio ir prizmės derinio uždavinius Nr.
Kamuolio ir piramidės derinys.
1. Prie piramidės aprašytas rutulys.
3 teorema. Aplink piramidę rutulys gali būti aprašytas tada ir tik tada, kai aplink jo pagrindą galima apibūdinti apskritimą.
1 išvada. Aplink piramidę apribotos sferos centras yra tiesės, statmenos piramidės pagrindui, kertančios aplink šį pagrindą apibrėžto apskritimo centrą, ir plokštumos, statmenos bet kuriam šoniniam kraštui, nubrėžtai per jo vidurį, susikirtimo taške. šis kraštas.
2 išvada. Jei piramidės šoninės briaunos yra lygios viena kitai (arba vienodai pasvirusios į pagrindo plokštumą), tada aplink tokią piramidę galima apibūdinti rutulį. Šio rutulio centras šiuo atveju yra susikirtimo taške piramidės (ar jos tęsinio) aukštis su šoninio krašto simetrijos ašimi, esančia plokštumoje šoninio krašto ir aukščio.
3 išvada. Visų pirma, rutulys gali būti apibūdintas: šalia trikampės piramidės, šalia taisyklingos piramidės, šalia keturkampės piramidės, kurioje priešingų kampų suma yra 180 laipsnių.
2. Į piramidę įrašytas rutulys.
4 teorema. Jei piramidės šoniniai paviršiai yra vienodai pasvirę į pagrindą, tada į tokią piramidę galima įrašyti rutulį.
1 išvada. Rutulio, įbrėžto į piramidę, kurios kraštinės yra vienodai pasvirusios į pagrindą, centras yra piramidės aukščio susikirtimo taške su bet kurio dvibriaunio kampo tiesinio kampo, esančio piramidės pagrinde, pusiausvyros taške. iš kurių yra šoninio paviršiaus aukštis, nubrėžtas nuo piramidės viršaus.
2 išvada. Jūs galite įdėti kamuolį į įprastą piramidę.
Iš L. S. Atanasyano vadovėlio galima pasiūlyti uždavinius Nr.
Kamuolio ir nupjautos piramidės derinys.
1. Rutulys, apibrėžtas apie taisyklingą nupjautą piramidę.
5 teorema. Sferą galima apibūdinti aplink bet kurią taisyklingą nupjautą piramidę. (Šios sąlygos pakanka, bet nebūtina)
2. Į taisyklingą nupjautinę piramidę įbrėžtas rutulys.
6 teorema. Kamuolys gali būti įrašytas į taisyklingą nupjautą piramidę tada ir tik tada, kai piramidės apotemas yra lygus pagrindų apotemų sumai.
L. S. Atanasyano vadovėlyje (Nr. 636) yra tik viena rutulio ir nupjautos piramidės derinio problema.
Kamuolio ir apvalių korpusų derinys.
7 teorema. Sferą galima apibūdinti aplink cilindrą, nupjautą kūgį (tiesų apskritimą) arba kūgį.
8 teorema. Rutulys gali būti įrašytas į (tiesų apskritą) cilindrą tada ir tik tada, kai cilindras yra lygiakraštis.
9 teorema. Rutulį galite įdėti į bet kurį kūgį (tiesus apskritas).
10 teorema. Į nupjautą kūgį (tiesų apskritimą) rutuliuką galima įrašyti tada ir tik tada, kai jo generatorius yra lygus pagrindų spindulių sumai.
Iš L.S. Atanasyano vadovėlio galima pasiūlyti uždavinius Nr.
Norint sėkmingiau studijuoti medžiagą šia tema, į pamokas būtina įtraukti žodines užduotis:
1. Kubo briauna lygi a. Raskite rutuliukų spindulius: įrašytus į kubą ir apibrėžtus aplink jį. (r = a/2, R = a3).
2. Ar galima apibūdinti sferą (rutulį) aplink: a) kubą; b) stačiakampis gretasienis; c) pasviręs gretasienis, kurio pagrinde yra stačiakampis; d) tiesus gretasienis; e) pasviręs gretasienis? a) taip; b) taip; c) ne; d) ne; d) ne)
3. Ar tiesa, kad sferą galima apibūdinti aplink bet kurią trikampę piramidę? (Taip)
4. Ar galima apibūdinti sferą aplink bet kurią keturkampę piramidę? (Ne, ne šalia jokios keturkampės piramidės)
5. Kokias savybes turi turėti piramidė, kad galėtų apibūdinti aplink ją esančią sferą? (Jo pagrinde turėtų būti daugiakampis, aplink kurį būtų galima apibūdinti apskritimą)
6. Piramidė įbrėžta į sferą, kurios šoninė briauna statmena pagrindui. Kaip rasti sferos centrą? (Sferos centras yra dviejų geometrinių taškų erdvėje susikirtimo taškas. Pirmasis yra statmuo, nubrėžtas piramidės pagrindo plokštumai, per jį apibrėžiamo apskritimo centrą. Antrasis yra plokštuma statmenai nurodytam šoniniam kraštui ir nubrėžtas per jo vidurį)
7. Kokiomis sąlygomis galite apibūdinti sferą aplink prizmę, kurios pagrinde yra trapecija? (Pirma, prizmė turi būti tiesi, antra, trapecija turi būti lygiašonė, kad aplink ją būtų galima apibūdinti apskritimą)
8. Kokias sąlygas turi tenkinti prizmė, kad aplink ją būtų apibūdinta sfera? (Prizmė turi būti tiesi, o jos pagrindas turi būti daugiakampis, aplink kurį būtų galima apibūdinti apskritimą)
9. Aplink trikampę prizmę aprašoma sfera, kurios centras yra už prizmės ribų. Kuris trikampis yra prizmės pagrindas? (Bukas trikampis)
10. Ar galima apibūdinti sferą aplink pasvirusią prizmę? (Ne, tu negali)
11. Kokiomis sąlygomis apie stačią trikampę prizmę apribotos sferos centras bus viename iš prizmės šoninių paviršių? (Pagrindas yra stačiakampis trikampis)
12. Piramidės pagrindas yra lygiašonė trapecija Piramidės viršūnės stačiakampė projekcija į pagrindo plokštumą yra taškas, esantis už trapecijos. Ar galima apibūdinti sferą aplink tokią trapeciją? (Taip, galite. Tai, kad piramidės viršūnės stačiakampė projekcija yra už jos pagrindo ribų, neturi reikšmės. Svarbu, kad piramidės pagrinde gulėtų lygiašonė trapecija – daugiakampis, aplink kurį gali būti apskritimas aprašyta)
13. Sfera aprašoma šalia taisyklingos piramidės. Kaip jo centras yra piramidės elementų atžvilgiu? (Sferos centras yra statmenai, nubrėžtame pagrindo plokštumai per jo centrą)
14. Kokiomis sąlygomis sferos, aprašytos aplink stačiąją trikampę prizmę, centras yra: a) prizmės viduje; b) už prizmės ribų? (Prizmės pagrindu: a) smailusis trikampis; b) bukas trikampis)
15. Aplink stačiakampį gretasienį, kurio briaunos yra 1 dm, 2 dm ir 2 dm, aprašyta sfera. Apskaičiuokite sferos spindulį. (1,5 dm)
16. Į kokį nupjautą kūgį gali tilpti rutulys? (Nupjautame kūgiame, į kurio ašinę pjūvį galima įbrėžti apskritimą. Kūgio ašinė pjūvis yra lygiašonė trapecija, jos pagrindų suma turi būti lygi jo šoninių kraštinių sumai. Kitaip tariant, kūgio pagrindų spindulių suma turi būti lygi generatoriaus)
17. Į nupjautą kūgį įrašytas rutulys. Kokiu kampu kūgio generatorius matomas iš sferos centro? (90 laipsnių)
18. Kokią savybę turi turėti tiesi prizmė, kad į ją tilptų rutulys? (Pirma, tiesios prizmės pagrindu turi būti daugiakampis, į kurį būtų galima įrašyti apskritimą, ir, antra, prizmės aukštis turi būti lygus pagrinde įrašyto apskritimo skersmeniui)
19. Pateikite piramidės, kuri netelpa į sferą, pavyzdį? (Pavyzdžiui, keturkampė piramidė, kurios pagrinde yra stačiakampis arba lygiagretainis)
20. Tiesios prizmės pagrinde yra rombas. Ar įmanoma į šią prizmę sutalpinti sferą? (Ne, tai neįmanoma, nes apskritai neįmanoma apibūdinti apskritimo aplink rombą)
21. Kokiomis sąlygomis rutulys gali būti įrašytas į stačiąją trikampę prizmę? (Jei prizmės aukštis yra du kartus didesnis už apskritimo, įrašyto į pagrindą, spindulį)
22. Kokiomis sąlygomis rutulys gali būti įrašytas į taisyklingą keturkampę nupjautinę piramidę? (Jei tam tikros piramidės skerspjūvis yra plokštuma, einanti per jai statmenos pagrindo kraštinės vidurį, tai lygiašonė trapecija, į kurią galima įbrėžti apskritimą)
23. Į trikampę nupjautinę piramidę įbrėžtas rutulys. Kuris piramidės taškas yra sferos centras? (Šioje piramidėje įrašytos sferos centras yra trijų pusių kampų plokštumų, suformuotų piramidės šoninių paviršių su pagrindu, sankirtoje)
24. Ar galima apibūdinti sferą aplink cilindrą (dešinysis apskritimas)? (Taip, galite)
25. Ar galima apibūdinti sferą aplink kūgį, nupjautą kūgį (tiesus apskritimas)? (Taip, galite abiem atvejais)
26. Ar į bet kurį cilindrą galima įrašyti sferą? Kokias savybes turi turėti cilindras, kad į jį tilptų rutulys? (Ne, ne kiekvieną kartą: ašinė cilindro dalis turi būti kvadratinė)
27. Ar į bet kurį kūgį galima įrašyti sferą? Kaip nustatyti kūgio įbrėžto rutulio centro padėtį? (Taip, absoliučiai. Įbrėžto rutulio centras yra kūgio aukščio sankirtoje su generatrix pasvirimo kampu į pagrindo plokštumą)
Autorius mano, kad iš trijų planavimo pamokų tema „Įvairios daugiakampio, cilindro, kūgio ir rutulio problemos“ patartina dvi pamokas skirti kamuoliuko sujungimo su kitais kūnais uždaviniams spręsti. Aukščiau pateiktų teoremų įrodinėti nerekomenduojama dėl nepakankamo laiko pamokoje. Galite pakviesti studentus, turinčius pakankamai įgūdžių, kad jie juos įrodytų, nurodydami (mokytojo nuožiūra) įrodinėjimo kursą ar planą.
