Racionaliųjų lygčių sistema kaip išspręsti. Kvadratinė lygtis ir kvadratinis trinaris

I. Racionaliosios lygtys.

1) Tiesinės lygtys.

2) Tiesinių lygčių sistemos.

3) Kvadratinės lygtys ir į jas redukuojamos lygtys.

4) Atvirkštinės lygtys.

5) Vietos formulė aukštesniųjų laipsnių daugianariams.

6) Antrojo laipsnio lygčių sistemos.

7) Naujų nežinomųjų įvedimo būdas sprendžiant lygtis ir lygčių sistemas.

8) Homogeninės lygtys.

9) Simetrinių lygčių sistemų sprendimas.

10) Lygtys ir lygčių sistemos su parametrais.

11) Grafinis netiesinių lygčių sistemų sprendimo metodas.

12) Modulio ženklą turinčios lygtys.

13) Pagrindiniai racionaliųjų lygčių sprendimo metodai

II. Racionalios nelygybės.

1) Ekvivalentinių nelygybių savybės.

2) Algebrinės nelygybės.

3) Intervalinis metodas.

4) Trupmeninės racionalios nelygybės.

5) Nelygybės, kuriose yra nežinomasis po absoliučios vertės ženklu.

6) Nelygybės su parametrais.

7) Racionaliųjų nelygybių sistemos.

8) Grafinis nelygybių sprendimas.

III. Atrankos testas.

Racionalios lygtys

Formos funkcija

P(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + a 2 x n – 2 + … + a n – 1 x + a n,

kur n yra natūralusis skaičius, a 0, a 1,…, a n yra kai kurie realieji skaičiai, vadinami visa racionalia funkcija.

P(x) = 0 formos lygtis, kur P(x) yra visa racionali funkcija, vadinama visa racionalia lygtimi.

Formos lygtis

P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + … + P m (x) / Q m (x) = 0,

kur P 1 (x), P 2 (x), ..., P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), ..., Q m (x) yra visos racionalios funkcijos, vadinamos racionali lygtis.

Išsprendus racionalią lygtį P (x) / Q (x) = 0, kur P (x) ir Q (x) yra daugianariai (Q (x) ¹ 0), išsprendžiama lygtis P (x) = 0 ir patikrinama, ar šaknys atitinka sąlygą Q (x) ¹ 0.

Tiesinės lygtys.

Formos ax+b=0 lygtis, kur a ir b yra tam tikros konstantos, vadinama tiesine lygtimi.

Jei a¹0, tai tiesinė lygtis turi vieną šaknį: x = -b /a.

Jei a=0; b¹0, tada tiesinė lygtis neturi sprendinių.

Jei a=0; b=0, tada, perrašant pirminę lygtį į formą ax = -b, nesunku pastebėti, kad bet kuris x yra tiesinės lygties sprendimas.

Tiesės lygtis yra tokia: y = ax + b.

Jei tiesė eina per tašką, kurio koordinatės X 0 ir Y 0, tai šios koordinatės tenkina tiesės lygtį, ty Y 0 = aX 0 + b.

1.1 pavyzdys. Išspręskite lygtį

2x – 3 + 4 (x – 1) = 5.

Sprendimas. Paeiliui atidarykite skliaustus, pridėkite panašių terminų ir raskite x: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

1.2 pavyzdys. Išspręskite lygtį

2x – 3 + 2 (x – 1) = 4 (x – 1) – 7.

Sprendimas. 2x + 2x - 4x = 3 +2 - 4 - 7, 0x = -6.

1.3 pavyzdys. Išspręskite lygtį.

2x + 3 – 6 (x – 1) = 4 (x – 1) + 5.

Sprendimas. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 - 4x + 5,

– 4x + 9 = 9 - 4x,

4x + 4x = 9 - 9,

Atsakymas: bet koks skaičius.

Tiesinių lygčių sistemos.

Formos lygtis

a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,

kur a 1, b 1, …, a n, b yra tam tikros konstantos, vadinamos tiesine lygtimi su n nežinomųjų x 1, x 2, …, x n.

Lygčių sistema vadinama tiesine, jei visos į sistemą įtrauktos lygtys yra tiesinės. Jei sistema susideda iš n nežinomųjų, galimi šie trys atvejai:

1) sistema neturi sprendimų;

2) sistema turi lygiai vieną sprendimą;

3) sistema turi be galo daug sprendinių.

2.4 pavyzdys. išspręsti lygčių sistemą

Sprendimas. Tiesinių lygčių sistemą galite išspręsti naudodami pakeitimo metodą, kuris susideda iš vieno nežinomojo išreiškimo kitais nežinomaisiais bet kuriai sistemos lygtimi, o tada šio nežinomojo vertę pakeičiant likusiomis lygtimis.

Iš pirmosios lygties išreiškiame: x = (8 – 3y) / 2. Šią išraišką pakeičiame antrąja lygtimi ir gauname lygčių sistemą

Sprendimas. Sistema neturi sprendinių, nes negali būti tenkinamos dvi sistemos lygtys vienu metu (iš pirmosios lygties x + y = 3, o iš antrosios x + y = 3,5).

Atsakymas: sprendimų nėra.

2.6 pavyzdys. išspręsti lygčių sistemą

Sprendimas. Sistema turi be galo daug sprendinių, nes antroji lygtis gaunama iš pirmosios, padauginus iš 2 (t. y. iš tikrųjų yra tik viena lygtis su dviem nežinomaisiais).

Atsakymas: Yra be galo daug sprendimų.

2.7 pavyzdys. išspręsti lygčių sistemą

2x – y + 4z = 1,

– x + 6y + z = 5.

Sprendimas. Sprendžiant tiesinių lygčių sistemas patogu naudoti Gauso metodą, kuris susideda iš sistemos transformavimo į trikampę formą.

Pirmąją sistemos lygtį padauginame iš – 2 ir gautą rezultatą sudėjus su antrąja lygtimi gauname – 3y + 6z = – 3. Šią lygtį galima perrašyti kaip y – 2z = 1. Pridėjus pirmąją lygtį su trečia, gauname 7y = 7 arba y = 1.

Taip sistema įgavo trikampę formą

x + y – z = 2,

Pakeitę y = 1 į antrąją lygtį, randame z = 0. Pakeitę y = 1 ir z = 0 į pirmąją lygtį, randame x = 1.

Atsakymas: (1; 1; 0).

2.8 pavyzdys. kokiomis parametro a reikšmėmis yra lygčių sistema

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

turi be galo daug sprendimų?

Sprendimas. Iš pirmosios lygties išreiškiame x:

x = – (a / 2)y + a / 2 +1.

Pakeitę šią išraišką į antrąją lygtį, gauname

(a + 1) (– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

(a + 1) (a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ya(4 – a – 1) = (a + 2) (4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

Analizuodami paskutinę lygtį, pastebime, kad a = 3 ji turi formą 0y = 0, t.y. jis patenkinamas bet kokiomis y reikšmėmis.

Kvadratinės lygtys ir lygtys, kurias galima į jas redukuoti.

Formos ax 2 + bx + c = 0 lygtis, kur a, b ir c yra kai kurie skaičiai (a¹0);

x yra kintamasis, vadinamas kvadratine lygtimi.

Kvadratinės lygties sprendimo formulė.

Pirma, padalinkime abi lygties ax 2 + bx + c = 0 puses iš a – tai nepakeis jos šaknų. Norėdami išspręsti gautą lygtį

x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0

kairėje pusėje pasirinkite visą kvadratą

x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2 (b / 2a)x + (b / 2a) 2) – (b / 2a) 2 + (c / a) =

= (x + (b / 2a)) 2 – (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – ((b 2 – 4ac) / (4a 2) )).

Trumpumo dėlei išraišką (b 2 – 4ac) žymime D. Tada gauta tapatybė įgauna formą

Galimi trys atvejai:

1) jei skaičius D yra teigiamas (D > 0), tokiu atveju galite ištraukti kvadratinę šaknį iš D ir parašyti D forma D = (ÖD) 2. Tada

D / (4a 2) = (ÖD) 2 / (2a) 2 = (ÖD / 2a) 2, todėl tapatybė įgauna formą

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (ÖD / 2a) 2 .

Naudodami kvadratų skirtumo formulę, gauname iš čia:

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (ÖD / 2a)) (x + (b / 2a) + (ÖD / 2a)) =

= (x – ((-b + ÖD) / 2a)) (x – ((– b – ÖD) / 2a)).

Teorema : Jei tapatybė galioja

ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2),

tada kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0 X 1 ¹ X 2 turi dvi šaknis X 1 ir X 2, o X 1 = X 2 - tik vieną šaknį X 1.

Remiantis šia teorema, iš aukščiau pateiktos tapatybės išplaukia, kad lygtis

x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0,

taigi lygtis ax 2 + bx + c = 0 turi dvi šaknis:

X1 =(-b + Ö D) / 2a; X 2 = (-b - Ö D) / 2a.

Taigi x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2).

Paprastai šios šaknys rašomos viena formule:

kur b 2 – 4ac = D.

2) jei skaičius D lygus nuliui (D = 0), tai tapatybė

x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))

įgauna formą x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2.

Iš to išplaukia, kad D = 0 lygtis ax 2 + bx + c = 0 turi vieną daugybos 2 šaknį: X 1 = – b / 2a

3) Jei skaičius D yra neigiamas (D< 0), то – D >0, taigi ir išraiška

x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))

yra dviejų dėmenų, iš kurių vienas yra neneigiamas, o kitas teigiamas, suma. Tokia suma negali būti lygi nuliui, todėl lygtis

x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0

neturi tikrų šaknų. Lygtis ax 2 + bx + c = 0 jų taip pat neturi.

Taigi, norint išspręsti kvadratinę lygtį, reikia apskaičiuoti diskriminantą

D = b 2 – 4ac.

Jei D = 0, tada kvadratinė lygtis turi unikalų sprendimą:

Jei D > 0, tai kvadratinė lygtis turi dvi šaknis:

X1 =(-b + ÖD) / (2a); X 2 = (-b - ÖD) / (2a).

Jeigu D< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Jei vienas iš koeficientų b arba c yra lygus nuliui, kvadratinę lygtį galima išspręsti neskaičiuojant diskriminanto:

1) b = 0; c¹0; c/a<0; X1,2 = ±Ö(-c / a)

2) b ¹ 0; c = 0; X1 = 0, X2 = -b / a.

Bendrosios kvadratinės lygties ax 2 + bx + c = 0 šaknys randamos pagal formulę

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Jei reikia – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismo procese ir (arba) remiantis viešais prašymais arba Rusijos Federacijos valdžios institucijų prašymais – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

4 skyrius. Racionaliųjų lygčių sistemos

Ketvirtasis skyrius skirtas racionaliųjų lygčių sistemų sprendimo būdų studijoms. Čia naudojamos 7 klasėje išmoktos ir anksčiau tiesinių lygčių sistemoms pritaikytos sąvokos, kurios leidžia pakartoti tai, kas buvo išmokta, ir išmokti veikti naujoje situacijoje. Tai sąvokos: lygties su dviem (trimis) nežinomaisiais sprendiniai, lygčių sistemos su dviem (trimis) nežinomaisiais, lygčių lygiavertiškumo samprata, lygčių sistemos.

4 skyriaus studijų tikslas: įsisavinti išvardytas sąvokas, išmokti spręsti racionaliųjų lygčių sistemas ir pritaikyti jas sprendžiant tekstinius uždavinius.

§ 9. Racionaliųjų lygčių sistemos

Pagrindinis devintos pastraipos tikslas – remiantis žinomomis sąvokomis, susijusiomis su lygtimis ir tiesinių lygčių sistemomis, išmokti spręsti racionaliųjų lygčių sistemas ir išmokti jas taikyti sprendžiant tekstinius uždavinius.

9.1. Racionaliųjų lygčių sistemos samprata

Šioje pastraipoje pristatomos racionalios lygties su dviem (trimis) nežinomaisiais sąvokos ir jos sprendimas, apibrėžiama, ką reiškia spręsti lygčių sistemą, pateikiami teiginiai apie lygčių sistemų lygiavertiškumą.

Pagrindinės šios pastraipos užduotys yra užduotys nustatyti, kad tam tikra skaičių pora (trys) yra sistemos sprendimas. Papildoma užduotis įpratina mokinius spręsti parametrų uždavinius.

Revizijos užduotis. 805–807.

Sprendimai ir komentarai

500. Ar lygčių sistemos sprendimas yra skaičių pora:

a) (0; 3); b) (–3; 2).

Sprendimas. a) Nuo 0 + 5 3, tada skaičių pora (0; 3) nėra antrosios sistemos lygties sprendinys, todėl nėra lygčių sistemos sprendinys.

b) Kadangi –3 + 5 = 2, (–3) 2 + (–3)2 – 3 = 0, tai skaičių pora (–3; 2) yra lygčių sistemos sprendinys.

501. Ar lygčių sistemos sprendimas
skaičių trigubas:

a) (1; –1; 1); b) (1; 1; 1).

Sprendimas. a) Kadangi 1 – 1 + 1 3, tai skaičių trigubas (1; –1; 1) nėra pirmosios sistemos lygties sprendinys, todėl nėra ir lygčių sistemos sprendinys.

b) Kadangi 1 + 1 + 1 = 3, 1 –1 – 1 –2, tai skaičių trigubas (1; 1; 1) nėra antrosios sistemos lygties sprendimas, todėl nėra sprendinys lygčių sistema.

Papildoma užduotis

1. Kokia verte a skaičių pora (2; –1) yra lygčių sistemos sprendinys

Sprendimas. Leiskite a- tam tikras skaičius, kuriam skaičių pora (2; –1) yra lygčių sistemos sprendinys, tada yra teisingos dvi skaitinės lygybės:

1) 2a 2 + a= 21 ir 2) 10 + a = a 2 + 4,

kurias galima laikyti lygtimis a. 2) lygtis turi dvi šaknis: a 1 = 3 arba a 2 = –2. Skaičius a 1 yra 1) lygties šaknis ir skaičius a 2 = –2 – ne, vadinasi, kada a= 3 skaičių poros (2; –1) yra lygčių sistemos sprendinys. Ir kitos reikšmės A, tenkinant problemos sąlygas, nėra.

9.2. Sprendimų pakeitimo racionaliųjų lygčių sistemomis metodas

Šioje pastraipoje, naudodami tris pavyzdžius, parodome, kaip galite išspręsti racionaliąsias lygtis, kuriose yra bent viena pirmosios lygtis.

Revizijos užduotis. Studijuodami šį elementą galite naudoti užduotį 810.

Sprendimai ir komentarai

512. Išspręskite lygčių sistemą:

G)
d)

Sprendimas. d) Išreiškiant x per y iš antrosios sistemos lygties ir pakeičiant y Vietoj to +1 x

(1)

Dabar, išsprendę pirmąją sistemos (1) lygtį, randame dvi jos šaknis y 1 = –4 ir y 2 = 3. Iš antrosios sistemos (1) lygties gauname atitinkamas reikšmes x: x 1 = –3 ir x 2 = 4.

d) Išreiškiant y per x iš antrosios sistemos lygties ir pakeičiant 3 – 3 x vietoj yį pirmąją lygtį perrašome sistemą tokia forma:

(2)

Dabar, išsprendę pirmąją sistemos (2) lygtį, randame dvi jos šaknis x 1 = ir
x 2 = . Iš antrosios sistemos (2) lygties gauname atitinkamas reikšmes y: y 1 = – ir y 2 = 2.

Atsakymas. d) (–3; –4), (4; 3); e) (; –), (; 2).

Tarpinis valdymas. S-21.

9.3. Kiti racionaliųjų lygčių sistemų sprendimo būdai

Šioje pastraipoje analizuojami racionaliųjų lygčių sistemų sprendimo pavyzdžiai - lygčių sudėjimo metodu, naujų nežinomųjų įvedimo metodu, tobulųjų kvadratų išskyrimo metodu, faktorizavimo metodu. Šiuo atveju naudojamos lygiavertės lygčių transformacijos. Kartais išspręsti sistemą padeda žinojimas, kad dviejų skaičių kvadratų suma lygi nuliui tada ir tik tada, kai tie skaičiai lygūs nuliui.

Revizijos užduotis. Studijuodami šį elementą galite naudoti užduotį 820.

Sprendimai ir komentarai

517. Išspręskite lygčių sistemą:

V)
d)

Sprendimas. c) Pirmąją lygtį sistemoje pakeisime dviejų šios sistemos lygčių suma. Gauname sistemą, lygiavertę pradinei sistemai:

(1)

Dabar pirmoje sistemos (1) lygtyje pasirinkite tobulus kvadratus:

(2)

Kadangi dviejų skaičių kvadratų suma lygi nuliui tada ir tik tada, kai šie skaičiai lygūs nuliui, tai pirmoji sistemos (2) lygtis turi unikalų sprendinį (2; –6). Ši skaičių pora yra sistemos (2) antrosios lygties sprendinys, todėl ji yra sistemos (2) ir jai ekvivalentiškos pradinės sistemos sprendinys.

e) Pakeiskime nežinomuosius: a= ir b= . Perrašykime sistemą į formą:

(3)

Sistema (3) turi unikalų sprendimą: a 1 = 1, b 1 = . Todėl e) sistema taip pat turi unikalų sprendimą: x 1 = 1, y 1 = 2.

Atsakymas. c) (2; –6); e) (1; 2).

512. g) Išspręskite lygčių sistemą

Sprendimas. Paprastai tokios sistemos sprendimas rašomas pakeičiant šią sistemą lygiavertėmis sistemomis:

(4)

Ekvivalentiškumo ženklai () nustatomi mokytojui, bet klasėje, kurioje nuodugniai mokomasi matematikos, jis gali būti naudojamas.

Paskutinės sistemos (4) antrosios lygties sprendiniai yra šios skaičių poros ( x; y), kurie yra bent vienos iš lygčių sprendiniai:

1) x + y= 1 ir 2) x + y = –1.

Todėl visi pradinės sistemos sprendimai yra dviejų sistemų visų sprendimų sąjunga:

3)
ir 4)

Išsprendę 3) ir 4) sistemas, gauname visus pradinės sistemos sprendinius: (–1; 2), (2; –1), (1; –2), (–2; 1).

Atsakymas. (–1; 2), (2; –1), (1; –2), (–2; 1).

518. Išspręskite lygčių sistemą:

A)
V)
ir)

Sprendimas. a) Įvesdami naują nežinomybę a = x 2 – 4y
. Jis turi vieną šaknį a= 1. Tai reiškia, kad ši sistema yra lygiavertė sistemai

(5)

Sudėjus sistemos (5) lygtis ir pirmąją sistemos lygtį pakeitus gauta lygtimi, gauname naują sistemą, lygiavertę sistemai (5), taigi ir pradinei sistemai:

(6)

Išskyrę pilnus kvadratus pirmoje sistemos (6) lygtyje, sistemą (6) perrašome į formą:

(7)

Dabar akivaizdu, kad pirmoji sistemos (7) lygtis turi unikalų sprendimą: x 1 = 3, y 1 = 2. Patikrinimas rodo, kad ši skaičių pora yra antrosios sistemos (7) lygties sprendinys, o tai reiškia, kad ji yra sistemos (7) ir jai ekvivalentiškos pradinės sistemos sprendinys.

Taigi originali sistema turi unikalų sprendimą (3; 2).

c) Įvesdami naują nežinomybę a =
, perrašome pirmąją sistemos lygtį į formą:
. Jis turi dvi šaknis: a 1 = 1 ir a 2 = –4. Todėl visi pradinės sistemos sprendimai yra dviejų sistemų visų sprendimų sąjunga:

1)
ir 2)

Pakeitimo naudojimas y = 9 – x, mes išsprendžiame kiekvieną iš sistemų ir nustatome, kad sistema 1) turi unikalų sprendimą (6; 3), o sistema 2) turi unikalų sprendimą (14; –5).

Taigi pradinė sistema turi du sprendinius: (6; 3), (14; –5).

g) Perrašykime sistemą į formą:

(8)

Jei skaičių pora ( x 0 ; y 0) yra sistemos (8) sprendimas, tada yra teisingos šios skaitinės lygybės: x 0 (9x 0 + 4y 0) = 1 ir y 0 (9x 0 + 4y 0) = –2. Atkreipkite dėmesį, kad abi šių skaitinių lygčių pusės nėra lygios nuliui, todėl padalijus pirmąją lygybę iš antrosios, gauname naują skaitinę lygybę:
. Iš kur tai seka y 0 = –2x 0 . Tai yra, ieškomi sistemos (8) sprendimai yra sistemos sprendiniai

(9)

Išsprendę sistemą (9), gauname du jos sprendinius: (1; –2), (–1; 2).

Patikrinę įsitikiname, kad abi šios skaičių poros iš tiesų yra pradinės sistemos sprendimai.

Atsakymas. a) (3; 2); c) (6; 3), (14; –5); g) (1; –2), (–1; 2).

komentuoti. Atkreipkite dėmesį, kad g) uždavinio sprendimo procese neįrodėme sistemos (9) lygiavertiškumo pradinei sistemai, tačiau iš aukščiau pateikto samprotavimo išplaukia, kad bet koks pradinės sistemos sprendimas yra sistemos (9) sprendimas (t.y. , sistema (9) yra pradinės sistemos pasekmė), todėl būtina patikrinti, ar kiekvienas sistemos (9) sprendimas yra pradinės sistemos sprendimas. Ir šis patikrinimas yra privaloma sistemos sprendimo dalis.

Iš tikrųjų sistema (9) yra lygiavertė pradinei sistemai, kaip matyti iš toliau pateikto teiginio.

Papildomos užduotys

1. Išspręskite lygčių sistemą

A)
b)

V)
G)

Sprendimas. a) Išskyrę tobulus kvadratus pirmoje lygtyje, perrašome į formą:

(x – 3) 2 + (y – 1) 2 = 0. (1)

Dabar akivaizdu, kad pirmoji sistemos lygtis turi unikalų sprendimą: x 1 = 3, y 1 = 1. Patikrinę įsitikiname, kad ši pora yra antrosios lygties sprendinys, taigi ir lygčių sistemos sprendinys.

b) Argumentuodami panašiai, gauname unikalų sistemos sprendimą (–2, 0,5).

c) Išskaidykime pirmosios sistemos lygties kairiąją pusę:

x 2 – 7xy + 12y 2 = x 2 – 3xy – 4xy + 12y 2 = x(x – 3y) – 4y(x– 3y) = (x – 3y)(x – 4y).

Perrašykime šią sistemą į formą

(2)

Dabar akivaizdu, kad visi sistemos (2) sprendiniai yra dviejų sistemų visų sprendinių sąjunga:

1)
ir 2)

1) sistema turi du sprendinius: (3; 1), (–3; –1). 2) sistema taip pat turi du sprendinius: (12; 3), (–12; –3). Vadinasi, pirminė sistema turi keturis sprendinius: (3; 1), (–3; –1), (12; 3), (–12; –3).

d) Perrašykime pradinę sistemą į formą:

(3)

Akivaizdu, kad pirmoji sistemos (3) lygtis turi unikalų sprendimą:
(3; –2). Patikrinus matyti, kad tai yra ir antrosios sistemos (3) lygties sprendimas, todėl sistema (3), taigi ir pradinė sistema, turi unikalų sprendinį (3; –2).

Atsakymas. a) (3; 1); b) (–2, 0,5); c) (3; 1), (–3; –1), (12; 3), (–12; –3); d) (3; –2).

2. Įrodykite teiginį: jei f (x, y) Ir g (x, y) – daugianario atžvilgiu x Ir y, a Ir b- skaičiai, b 0, tada sistemos 1 yra lygiavertės)
ir 2)

Įrodymas. 1. Tegu skaičių pora ( x 0 ; y 0) yra 1 sistemos sprendimas), tada yra teisingos šios skaitinės lygybės: f(x 0 , y 0) = a Ir g(x 0 , y 0) = b. Nes b 0, tada g(x 0 , y 0) 0, taigi skaitinė lygybė yra teisinga:
. Tai reiškia, kad bet koks 1) sistemos sprendimas yra 2) sistemos sprendimas.

2. Dabar palikime skaičių porą ( x 0 ; y 0) yra 2 sistemos sprendimas), tada skaitinės lygybės yra teisingos: ir g(x 0 , y 0) = b. Nes b 0, tada g(x 0 , y 0) 0, todėl padauginus abi pirmosios skaitinės lygybės puses iš lygių skaičių, kurie skiriasi nuo nulio g(x 0 , y 0) ir b, gauname naują teisingą skaitinę lygybę: f(x 0 , y 0) = a. Tai reiškia, kad bet koks 2) sistemos sprendimas yra 1) sistemos sprendimas.

3. Tarkime, kad sistema 1) neturi sprendimo, o sistema 2) turi sprendimą. Tada iš aukščiau pateikto įrodymo 2 punkto išplaukia, kad 1) sistema turi sprendimą. Gautas prieštaravimas rodo, kad padaryta prielaida yra neteisinga. Tai reiškia, kad jei 1) sistema neturi sprendimo, tai 2) sistema neturi sprendimo.

Panašiai įrodyta, kad jei sistema 2) neturi sprendimo, tai sistema 1) neturi sprendimo.

Iš aukščiau pateikto įrodymo matyti, kad 1) ir 2) sistemos yra lygiavertės, o tai ir reikėjo įrodyti.

Pateiksime sistemos sprendimo pavyzdį 518, ir su šiuo pareiškimu.

Išsprendę paskutinę sistemą, gauname du jos sprendinius: (1; –2), (–1; 2), todėl pradinė sistema turi du sprendinius: (1; –2), (–1; 2).

3. Išspręskite lygčių sistemą:

A)
b) c)

Sprendimas. a) Pradinė sistema yra lygiavertė sistemai

kurią perrašome taip:

(4)

Sistema (4) turi unikalų sprendimą (1; 2). Vadinasi, originali sistema taip pat turi unikalų sprendimą (1; 2).

b) Perrašome pirminę sistemą į formą

Ši sistema yra lygiavertė sistemai:

(5)

Sistema (5) turi unikalų sprendimą (–1; –5). Vadinasi, originali sistema taip pat turi unikalų sprendimą (–1; –5).

c) Pradinė sistema yra lygiavertė sistemai

arba sistema

(6)

Sistema (6) turi du sprendinius (1; 2; –2), (–1; –2; 2). Vadinasi, pirminė sistema taip pat turi du sprendinius (1; 2; –2), (–1; –2; –2).

Atsakymas. a) (1; 2); b) (–1; –5); c) du sprendiniai (1; 2; –2), (–1; –2; –2).

Tarpinis valdymas. S-22, S-23, S-24*.

9.4. Problemų sprendimas naudojant racionaliųjų lygčių sistemas

Šioje pastraipoje analizuojami tekstinių uždavinių sprendimai, vedantys į racionaliųjų lygčių sistemas. Galite pradėti aiškinti naują medžiagą nuo paprastesnių užduočių 513, 514, 519, 520 .

Revizijos užduotis. Studijuodami šį elementą galite naudoti užduotį 820, 952.

Sprendimai ir komentarai

513. a) Padalinkite skaičių 171 į du koeficientus, kurių suma būtų lygi 28.

Sprendimas. Leiskite x- pirmasis veiksnys, y - antrasis daugiklis. Sukurkime lygčių sistemą:

Išsprendę sistemą, gauname du sprendimus: x 1 = 9, y 1 = 19 ir x 2 = 19, y 2 = 9. Veiksnių eilė čia nėra svarbi, todėl reikalingi koeficientai yra 9 ir 19.

Atsakymas. 9 ir 19.

519. a) Jei prie pirmojo skaičiaus kvadrato pridėsite du kartus antrąjį skaičių, gausite (–7), o iš pirmojo skaičiaus atėmę antrąjį – 11. Raskite šiuos skaičius.

Sprendimas. Leiskite x- pirmasis numeris y- antrasis numeris. Atsižvelgdami į problemos sąlygas, sukurkime dvi lygtis: x 2 + 2y= –7 ir x – y= 11. Išsprendę šių lygčių sistemą, gauname du jos sprendinius: (–5; –16), (3; –8).x = 6 ir y= 4, tai yra, reikalingas skaičius yra 64.

Atsakymas. 64.

522. b) Du darbininkai, dirbdami kartu, visus darbus atliko per 5 dienas. Jei pirmasis darbininkas dirbtų dvigubai greičiau, o antrasis – dvigubai lėčiau, tai jie visus darbus atliktų per 4 dienas. Per kiek dienų pirmasis darbuotojas atliktų šį darbą?

Sprendimas. ašbūdu. Leisk už x Ir y dienų, pirmasis ir antrasis darbininkai atitinkamai atliks visus darbus. Jei jie dirbs kartu, jie atliks darbą per 5 dienas. Padarykime pirmąją lygtį:
.

Jei pirmasis veiktų 2 kartus greičiau, o antrasis 2 kartus lėčiau, tai per dieną jie būtų baigti visų darbų atitinkamai ir visi darbai būtų atlikti per 4 dienas. Sukurkime antrą lygtį:

.

952. Jei parduodi 20 karvių, tai saugomo šieno užteks dešimčia dienų ilgiau, o jei perki 30 karvių, tai šieno atsargos išeikvotos dešimčia dienų anksčiau. Kiek buvo karvių ir kiek dienų buvo saugomas šienas?

Sprendimas. Leisk už x karvės paruošė šieną y dienų. Trumpai apibūdinkime problemos būklę:

karvių skaičius dienų skaičius

Kadangi esant pastoviam šieno tiekimui, dienų skaičius yra atvirkščiai proporcingas karvių skaičiui, sudarysime pirmąją lygtį:
.

Antrąją lygtį sukurkime tokiu pačiu būdu:
.

Šių lygčių sistema turi unikalų sprendimą: x = 120, y= 50. Tai yra, 120 karvių šienas buvo laikomas 50 dienų.

Atsakymas. 120 karvių, 50 dienų.

Matematikos mokytojas

savivaldybės švietimo įstaiga "Belgorodo gimnazija Nr. 5"

Pamokos tema: Racionalios lygtys.

Klasė: 10 klasė.

UMK : Algebra ir analizės pradžia: vadovėlis. Už 10 kl. bendrojo išsilavinimo institucijos/[S.M. Nikolsky, M.K. Potapovas].-5 leid., papildomas-M.: Išsilavinimas, 2006.-432 p. p.65-74., 45-47.

Pamokos tikslai:

Ugdomasis: sisteminti ir apibendrinti informaciją apie racionalius posakius, žinomus iš pagrindinės mokyklos; parodyti racionaliųjų lygčių sprendimo būdus;

Vystymas: išplėsti ir pagilinti įvairių tipų racionalių lygčių tyrimą įvairiais metodais.

Edukacinis: parodykite studijuojamos temos reikšmę matematikos skyriuje.

Pamokos tipas: pamoka-paskaita.

Pamokos struktūra:

1. Pamokos tikslo nustatymas (1 min.).
2. Pasiruošimas studijuoti naują medžiagą (2 min.).
3. 3.Supažindinimas su nauja medžiaga (38 min.).
4. 4. Pamokos santrauka (2 min.)
5. 5. Namų darbai (2 min.)

Pamokos įranga: interaktyvi lenta, projektorius, kompiuteris.

Pamokos eiga:

Planuoti.

1. Racionalios išraiškos.

2. Racionaliosios lygtys.

3. Racionaliųjų lygčių sistemos.

aš. Kartojimas.

Algebra atsirado sprendžiant praktines problemas naudojant lygtis. Algebros tikslai išliko nepakitę tūkstančius metų – buvo sprendžiamos lygtys: iš pradžių tiesinės, paskui kvadratinės, o vėliau – dar aukštesnių laipsnių lygtys. Tačiau forma, kuria buvo pateikti algebriniai rezultatai, pasikeitė neatpažįstamai.

Lygtis yra labiausiai paplitusi matematinių problemų forma. Lygčių tyrimas yra pagrindinis mokyklinio algebros kurso turinys. Norėdami išspręsti lygtis, turite mokėti atlikti operacijas su vienanariais, daugianariais, algebrinėmis trupmenomis, mokėti koeficientus, skliaustus ir tt Turite sutvarkyti savo žinias. Apžvalgą pradėsime nuo „racionalių išraiškų“ sąvokos. Mokinio pranešimas apie racionalius posakius, žinomus iš pagrindinės mokyklos. Taigi lygčių tyrimas neįmanomas be veikimo dėsnių tyrimo.

II. Pagrindinė dalis.

Pagrindinis dalykas lygties sampratoje yra jos sprendimo klausimo formulavimas. Lygtis, kurios kairės ir dešinės pusės yra racionalios x išraiškos, vadinama racionalia lygtimi su nežinomu x.

Pavyzdžiui, lygtys 5x 6 - 9x 5 + 4x - 3x + 1 = 0, yra racionalūs.

Lygties su nežinomu x šaknis (arba sprendimas) yra skaičius, kurį pakeitus į lygtį vietoj x, gaunama tikroji skaitinė lygybė.

Išspręsti lygtį reiškia surasti visas jos šaknis arba parodyti, kad jų nėra. Sprendžiant racionaliąsias lygtis reikia padauginti ir padalyti abi lygties puses iš ne nulio skaičiaus, lygties narius perkelti iš vienos dalies į kitą, taikyti algebrinių trupmenų sudėjimo ir atėmimo taisykles. Rezultatas bus lygtis, lygiavertė ankstesnei, tai yra lygtis, kurios šaknys yra tos pačios, ir tik jos.

Išvardinkime standartines lygtis, kurias ištyrėme. Mokinio atsakymai (tiesinė lygtis, kvadratinė lygtis, paprasčiausia galios lygtis x n =a). Lygčių konvertavimas į vieną iš standartinių yra pagrindinis žingsnis sprendžiant lygtį. Neįmanoma visiškai algoritmizuoti konvertavimo proceso, tačiau naudinga prisiminti kai kuriuos metodus, bendrus visų tipų lygtims.

1).Pavadinama A(x) B(x) = O formos lygtis, kur A(x) ir B(x) yra daugianariai x atžvilgiu.irimo lygtis.

Visų nykstančios lygties šaknų aibė yra dviejų lygčių A(x)=0 ir B(x)=0 visų šaknų aibių sąjunga. A(x) = 0 formos lygtims taikomas faktorizavimo metodas. Šio metodo esmė: reikia išspręsti lygtį A(x)=0, kur A(x)=A 1 (x) A 2 (x) A 3 (X). Lygtis A(x) = 0 pakeičiama paprastų lygčių rinkiniu: A 1 (x) = 0, A 2 (x) = 0, A 3 (x) = 0. Raskite šios aibės lygčių šaknis ir patikrinkite. Faktorizacijos metodas daugiausia naudojamas racionaliosioms ir trigonometrinėms lygtims.

1 PAVYZDYS.

Išspręskime lygtį (x 2 - 5x + 6) (x 2 + x - 2) = 0.

Lygtis suskaidoma į dvi lygtis.

x 2 – 5x + 6 = 0 x 1 = 2 ir x 2 = 3

x 2 + x - 2 = 0. x 3 = -2 ir x 4 = 1

Tai reiškia, kad pradinė lygtis turi šaknis x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = -2, x 4 = 1.

Atsakymas. -2; 1; 2; 3.

PAVYZDYS. Išspręskime lygtį x 3 -7x+6=0.

x 3 -x-6x+6=0

x(x2-1)-6(x-1)=0

x(x-1)(x+1)-6(x-1)=0

(x-1)(x(x+1)-6)=0

(x-1)(x 2 +x-6)=0

x-1 = 0, x 1 = 1; x 2 + x-6 = 0, x 2 = 2, x 3 = -3.

Atsakymas:1;2;-3.

2).Formos lygtis, kur A(x) ir B(x) yra daugianariai palyginti su x.

2 PAVYZDYS.

Išspręskime lygtį

Pirmiausia išspręskime lygtį

x 2 + 4x - 21 = 0. x 1 = 3 ir x 2 = -7

Pakeitę šiuos skaičius į kairiosios pradinės lygties pusės vardiklį, gauname

x 1 2 - x 1 -6 = 9-3-6 = 0,

x 2 2 - x 2 - 6 = 49 + 7 - 6 = 50 ≠0.

Tai rodo, kad skaičius x 1 = 3 yra ne pradinės lygties šaknis, o skaičius x 2 =- 7 yra šios lygties šaknis.

Atsakymas. -7.

3).Formos lygtis

čia A(x), B(x), C(x) ir D(x) yra daugianariai x atžvilgiu, paprastai išsprendžiami pagal šią taisyklę.

Išspręsta lygtis A(x) D(x) - C(x)·B(x) = 0 ir iš jos šaknų atrenkamos tos, dėl kurių lygties vardiklis neišnyksta.

3 PAVYZDYS.

Išspręskime lygtį

Išspręskime lygtį

x 2 - 5x + 6 - (2x + 3) (x - 3) = 0.

x 2 + 2x - 15 = 0

x 1 = -5 ir x 2 = 3.

Skaičius x 1 išnyksta ne vardiklis x - 3, o skaičius x 2 konvertuoja. Todėl lygtis turi vieną šaknį = -5.

Atsakymas. -5.

Rasti racionalios lygties šaknis dažnai padeda pakeičiant nežinomybę. Gebėjimas sėkmingai įvesti naują kintamąjį yra svarbus matematinės kultūros elementas. Sėkmingai pasirinkus naują kintamąjį, lygties struktūra tampa skaidresnė.

4 PAVYZDYS.

Išspręskime lygtį x 8 + 4x 6 -10x 4 + 4x 2 + 1 = 0.

Skaičius x 0 = 0 nėra lygties šaknis, todėl lygtis yra lygiavertė lygčiai

x 4 + 4x 2 - 10 + + =0

Pažymėkime t =, tada x 4 + =t 2 -2,

gauname t 2 + 4t - 12 = 0, x 1 = 2 ir x 2 = -6.

Todėl lygties šaknis randame sujungę visas dviejų lygčių šaknis:=2 ir =-6,

Pirmoji lygtis turi dvi šaknis -1 ir 1, o antroji lygtis neturi realių šaknų, todėl lygtis turi tik dvi šaknis: -1 ir 1. Atsakymas. -1; 1.

4). Simetrinės lygtys.

Kelių kintamųjų daugianomas vadinamas simetriniu polinomu, jei jo forma nesikeičia keičiant šiuos kintamuosius.

Pavyzdžiui, daugianariai x + y, a 2 + b 2 - 1, zt ir 5a 3 + 6ab + 5b 3 - simetriniai daugianariai dviejuose kintamuosiuose, a daugianariai x + y + z, a 3 + b 3 + c 3 , - simetriniai polinomai trijuose kintamuosiuose.

Tuo pat metu daugianariai x - y, a 2 –b 2 ir a 3 + ab – b 3 - nesimetriniai daugianariai.

Lygtis ax 4 +bx 3 +cx 2 +bx+a=0, kur a R/ ,b R, c R vadinama simetriška ketvirtojo laipsnio lygtimi. Norėdami išspręsti šią lygtį, jums reikia:

1).Padalinkite abi lygties puses iš x 2 ir sugrupuokite gautas išraiškas:.

2).Kintamojo įvedimaslygtis redukuojama į kvadratinę.

Pavyzdys.

Išspręskite x lygtį 4 +5x 3 +4x 2 -5x+1=0.

Skaičius 0 nėra lygties šaknis. Abi lygties puses padalinkite iš x 2 ≠0.

Atsakymas. .

Racionaliųjų lygčių sistemos.

Lygčių sistemos atsiranda sprendžiant uždavinius, kuriuose keli dydžiai nežinomi. Šie dydžiai yra susieti tam tikru ryšiu, kuris užrašomas lygčių forma.

Lygtis, kurios kairės ir dešinės pusės yra racionalios x ir y išraiškos, vadinama racionalia lygtimi su dviem nežinomaisiais x ir y.

Jei reikia rasti visas skaičių x ir y poras, kurių kiekviena yra kiekvienos iš pateiktų lygčių su dviem nežinomaisiais x ir y sprendinys, tai sakome, kad turime išspręsti lygčių sistemą su dviem nežinomaisiais x ir y. , ir kiekviena tokia pora vadinama šios sistemos sprendimu.

Nežinomus galima žymėti ir kitomis raidėmis. Lygčių sistema, kurioje nežinomųjų skaičius didesnis už du, nustatoma panašiai.

Jei kiekvienas pirmosios lygčių sistemos sprendinys yra antrosios sistemos sprendinys, o kiekvienas antrosios lygčių sistemos sprendimas yra pirmosios sistemos sprendinys, tai tokios sistemos vadinamos ekvivalentiškomis. Visų pirma, dvi sistemos, kuriose nėra sprendimų, laikomos lygiavertėmis.

Pavyzdžiui, sistemos yra lygiavertės

1). Pakeitimo metodas.

PAVYZDYS 1. Išspręskime lygčių sistemą

Išreiškę y per x iš pirmosios sistemos lygties, gauname lygtį:

y = 3x - 1.

5x lygties sprendimas 2 -4 (3x-1) + 3 (3x-1) 2 =9, suraskite jo šaknis x 1 = 1 ir x 2 = . Pakeičiant rastus skaičius x 1 ir x 2 į lygtį y = 3x - 1, gauname y 1 = 2

ir y = Todėl sistema turi du sprendimus: (1; 2) ir (; )

Atsakymas. (1; 2), (; )

2). Algebrinis sudėjimo metodas.

PAVYZDYS 2. Išspręskime lygčių sistemą

Pirmąją sistemos lygtį palikę nepakeistą ir sudėję pirmąją lygtį su antrąja, gauname sistemai lygiavertę sistemą.

Visi sistemos sprendimai yra dviejų sistemų visų sprendimų sąjunga:

(2; 1), (-2; -1),

Atsakymas. (2; 1), (-2; -1), .

3). Naujų nežinomųjų įvedimo būdas.

PAVYZDYS 3. Išspręskime lygčių sistemą

Pažymėdami u = xy, v = x - y, sistemą perrašome forma

Raskime jos sprendimus: u 1 = 1, v 1 = 0 ir u 2 = 5, v 2 = 4. Vadinasi, visi sistemos sprendiniai yra dviejų sistemų visų sprendinių sąjunga:

Išsprendę kiekvieną iš šių sistemų keitimo metodu, randame jos sprendimus sistemai: (1; 1), (-1; -1), (5; 1), (-1; -5).

Atsakymas. (1; 1), (-1; -1), (5; 1), (-1; -5).

4). Formos ah lygtis 2 + bxy + su 2 = 0, kur a, b, c pateikti skaičiai, kurie skiriasi nuo nulio, vadinama homogenine lygtimi nežinomųjų x ir y atžvilgiu.

Apsvarstykite lygčių sistemą, kurioje yra vienalytė lygtis.

PAVYZDYS 4. Išspręskime lygčių sistemą

Nurodant t = , pirmąją sistemos lygtį perrašome į formą t 2 +4t+3=0.

Lygtis turi dvi šaknis t 1 = -1 ir t 2 = -3, todėl visi sistemos sprendiniai yra dviejų sistemų visų sprendinių sąjunga:

Išsprendę kiekvieną iš šių sistemų, randame visus sistemos sprendimus:

(2,5; -2,5), (0,5; -0,5), ,(1,5;-0,5).

Atsakymas. (2,5; -2,5), (0,5; -0,5),,(1,5;-0,5).

Sprendžiant kai kurias sistemas, padeda simetrinių daugianario savybių žinojimas.

Pavyzdys.

Įveskime naujus nežinomuosius α = x + y ir β = xy, tada x 4 +у 4 = α 4 -4 α 2 β+2 β 2

Todėl sistemą galima perrašyti į formą

Išspręskime kvadratinę β lygtį: β 1 = 6, β 2 = 44.

Todėl visi sistemos sprendimai yra sąjunga

visi dviejų sistemų sprendimai:

Pirmoji sistema turi du sprendimus x 1 = 2, y 1 = 3 ir x 2 = 3, y 2 =2, o antroji sistema neturi realių sprendimų. Todėl sistema turi du sprendimus: (x: 1 ; y 1) ir (x 2; y 2)

Atsakymas. (2; 3), (3; 2).

Šiandien apibendrinome racionaliųjų lygčių temos tyrimo rezultatus. Kalbėjomės apie bendras idėjas, bendruosius metodus, kuriais remiasi visa mokyklos lygčių linija.

Nustatyti lygčių sprendimo būdai:

1) faktorizavimo metodas;

2) naujų kintamųjų įvedimo būdas.

Išplėtėme savo supratimą apie lygčių sistemų sprendimo būdus.

Per kitas 4 pamokas atliksime praktinius užsiėmimus. Norėdami tai padaryti, turite išmokti teorinę medžiagą ir iš vadovėlio pasirinkti 2 pavyzdžius, kuriuose nagrinėjami lygčių ir lygčių sistemų sprendimo būdai, 6 pamokoje šia tema bus surengtas seminaras, tam reikia paruošti klausimus : Niutono dvinarė formulė, sprendžianti 3,5 laipsnio simetrines lygtis. Paskutinė pamoka šia tema yra testas.

Literatūra.

1. Algebra ir analizės pradžia: vadovėlis. Už 10 kl. bendrojo išsilavinimo institucijos/[S.M. Nikolsky, M.K. Potapovas].-5 leid., papildomas-M.: Išsilavinimas, 2006.-432 p. p.65-74., 45-47.
2. Matematika: padidinto sudėtingumo mokomosios teminės užduotys su atsakymais ruošiantis vieningam valstybiniam egzaminui ir kitų formų baigiamųjų ir stojamųjų egzaminų/komp. G.I. Kovaleva, T.I. Buzulina - Volgogradas: Mokytojas, 2009.-494 p. – 62-72,194-199 p.
3. Titarenko A.M. Matematika: 9-11 klasė: 6000 uždavinių ir pavyzdžių/A.M. Titarenko.-M.: Eksmo, 2007.-336 p.

Yra daug ką pasakyti apie lygtis. Šioje matematikos srityje yra klausimų, į kuriuos matematikai dar neatsakė. Galbūt kai kurie iš jūsų ras atsakymus į šiuos klausimus.

Albertas Einšteinas sakė: „Turiu paskirstyti savo laiką tarp politikos ir lygčių. Tačiau lygtys, mano nuomone, yra daug svarbesnės. Politika egzistuoja tik šiam momentui. Ir lygtys egzistuos amžinai.

2-5 pamokos skirtos praktiniams pratimams. Pagrindinė veiklos rūšis šiose pamokose – savarankiškas studentų darbas, siekiant įtvirtinti ir pagilinti paskaitoje pateiktą teorinę medžiagą. Prie kiekvieno iš jų kartojami teorijos klausimai, apklausiami studentai. Savarankiško darbo klasėje ir namuose pagrindu užtikrinamas teorinių klausimų kartojimas ir įsisavinimas, vykdomas kryptingas darbas ugdant įvairaus sudėtingumo problemų sprendimo įgūdžius, apklausiami studentai. Tikslas: įtvirtinti ir pagilinti paskaitoje pateiktą teorinę medžiagą, išmokti ją taikyti praktikoje, įsisavinti tipinių pavyzdžių ir problemų sprendimo algoritmus bei užtikrinti, kad visi studentai suprastų pagrindinį studijuojamo skyriaus turinį programos reikalavimų lygiu. .

Seminarui skiriamos 6 ir 7 pamokos, o 6 pamokoje patartina vesti seminarą, 7 pamokoje – testą.

Pamokos-seminaro planas.

Tikslas: nagrinėtos medžiagos kartojimas, gilinimas ir apibendrinimas, pagrindinių matematinių uždavinių sprendimo metodų, metodų ir technikų praktikavimas, naujų žinių įgijimas, mokymasis savarankiškai taikyti žinias nestandartinėse situacijose.

1. Pamokos pradžioje organizuojamas programos valdymas. Darbo tikslas – išbandyti nesudėtingų pratimų atlikimo įgūdžių ir gebėjimų ugdymą. Mokinių, kurie neteisingai nurodė atsakymo numerį, priekinės apklausos metu mokytojas išsiaiškina, kuri iš užduočių sukėlė sunkumų. Toliau atliekamas darbas žodžiu arba raštu, siekiant pašalinti klaidas. Užprogramuotam valdymui atlikti skiriama ne daugiau kaip 10 minučių.

2. Diferencijuota kelių studentų apklausa teorijos klausimais.

3. Istorinė informacija apie lygties sampratos atsiradimą ir raidą (mokinio žinutė). Niutono binominė formulė. Trečiojo, ketvirtojo, penktojo laipsnio simetrinių lygčių sprendimas.

x 4 -2x 3 -x 2 -2x+1=0

2x 4 +x 3 -11x 2 +x+2=0

x 5 -x 4 -3x 3 -3x 2 -x+1 = 0

2x 5 +3x 4 -5x 3 -5x 2 +3x+2=0

4. Pavyzdžių sprendimas ir studentų pasirengimo laikyti testą tikrinimas yra viena iš pagrindinių seminaro užduočių.

Testo atlikimas.

Testo atlikimas nereiškia nuolatinio mokinių žinių stebėjimo atsisakymo. Įvertinimai suteikiami praktiniuose ir seminariniuose užsiėmimuose. Kai kurie tipiniai pratimai bus išbandyti. Studentai iš anksto informuojami, kokia teorinė medžiaga ir pratimai bus pateikiami testo metu. Pateiksime vienos iš kortelių turinį testavimui nagrinėjama tema.

1 lygis.

Išspręskite lygtis: (x+3) 4 +(x 2 +x-6) 2 =2(x-2) 4

X 2 +25 =24

(2x 2 -3x+1) (2x 2 -5x+1) = 8x 2

2 lygis.

Išspręskite lygtis: x 4 +8x 3 +8x 2 -32x-9=0

8x 3 -12x 2 +x-7=0

Peržiūra:

Norėdami naudoti pristatymo peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite:

Pirmiau pateiktą lygtį pristatėme § 7. Pirmiausia prisiminkime, kas yra racionali išraiška. Tai algebrinė išraiška, sudaryta iš skaičių ir kintamojo x, naudojant sudėjimo, atimties, daugybos, dalybos ir eksponencijos su natūraliuoju rodikliu operacijas.

Jei r(x) yra racionalioji išraiška, tai lygtis r(x) = 0 vadinama racionalia lygtimi.

Tačiau praktikoje patogiau naudoti kiek platesnį sąvokos „racionalioji lygtis“ aiškinimą: tai lygtis, kurios formos h(x) = q(x), kur h(x) ir q(x) yra racionalios išraiškos.

Iki šiol negalėjome išspręsti jokios racionalios lygties, o tik tokią, kuri dėl įvairių transformacijų ir samprotavimų buvo sumažinta iki tiesinė lygtis. Dabar mūsų galimybės yra daug didesnės: galėsime išspręsti racionalią lygtį, kuri redukuojasi ne tik iki tiesinės
mu, bet ir į kvadratinę lygtį.

Prisiminkime, kaip anksčiau sprendėme racionaliąsias lygtis, ir pabandykime suformuluoti sprendimo algoritmą.

1 pavyzdys. Išspręskite lygtį

Sprendimas. Perrašykime lygtį į formą

Šiuo atveju, kaip įprasta, pasinaudojame tuo, kad lygybės A = B ir A - B = 0 išreiškia tą patį ryšį tarp A ir B. Tai leido perkelti terminą į kairę lygties pusę su priešingas ženklas.

Transformuokime kairę lygties pusę. Turime

Prisiminkime lygybės sąlygas trupmenomis nulis: tada ir tik tada, kai vienu metu tenkinami du santykiai:

1) trupmenos skaitiklis lygus nuliui (a = 0); 2) trupmenos vardiklis skiriasi nuo nulio).
Kairėje lygties (1) pusėje esančios trupmenos skaitiklį prilyginę nuliui, gauname

Belieka patikrinti, ar įvykdyta antroji aukščiau nurodyta sąlyga. Ryšys reiškia (1) lygčiai, kad . Reikšmės x 1 = 2 ir x 2 = 0,6 atitinka nurodytus ryšius ir todėl yra (1) lygties šaknys, o kartu ir pateiktos lygties šaknys.

1) Transformuokime lygtį į formą

2) Transformuokime kairę šios lygties pusę:

(tuo pačiu metu pasikeitė ženklai skaitiklyje ir
trupmenomis).
Taigi duota lygtis įgauna formą

3) Išspręskite lygtį x 2 - 6x + 8 = 0. Raskite

4) Dėl rastų verčių patikrinkite sąlygos įvykdymą . Skaičius 4 tenkina šią sąlygą, bet skaičius 2 – ne. Tai reiškia, kad 4 yra pateiktos lygties šaknis, o 2 yra pašalinė šaknis.
ATSAKYMAS: 4.

2. Racionaliųjų lygčių sprendimas įvedant naują kintamąjį

Naujo kintamojo įvedimo metodas yra jums pažįstamas, mes jį naudojome ne kartą. Pavyzdžiais parodykime, kaip jis naudojamas sprendžiant racionaliąsias lygtis.

3 pavyzdys. Išspręskite lygtį x 4 + x 2 - 20 = 0.

Sprendimas. Įveskime naują kintamąjį y = x 2 . Kadangi x 4 = (x 2) 2 = y 2, tai duotą lygtį galima perrašyti kaip

y 2 + y - 20 = 0.

Tai kvadratinė lygtis, kurios šaknis galima rasti naudojant žinomus formules; gauname y 1 = 4, y 2 = - 5.
Bet y = x 2, o tai reiškia, kad problema buvo sumažinta iki dviejų lygčių sprendimo:
x 2 = 4; x 2 = -5.

Iš pirmosios lygties matome, kad antroji lygtis neturi šaknų.
Atsakymas:.
Formos ax 4 + bx 2 +c = 0 lygtis vadinama bikvadratine lygtimi ("bi" yra du, t. y. savotiška "dviguba kvadratinė" lygtis). Ką tik išspręsta lygtis buvo tiksliai bikvadratinė. Bet kuri bikvadratinė lygtis sprendžiama taip pat, kaip lygtis iš 3 pavyzdžio: įveskite naują kintamąjį y = x 2, išspręskite gautą kvadratinę lygtį kintamojo y atžvilgiu ir grįžkite prie kintamojo x.

4 pavyzdys. Išspręskite lygtį

Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad ta pati išraiška x 2 + 3x čia pasirodo du kartus. Tai reiškia, kad prasminga įvesti naują kintamąjį y = x 2 + 3x. Tai leis mums perrašyti lygtį paprastesne ir malonesne forma (tai iš tikrųjų yra naujos įvedimo tikslas kintamasis- ir supaprastinti įrašymą
tampa aiškesnė, o lygties struktūra tampa aiškesnė):

Dabar naudokite algoritmą racionaliajai lygčiai išspręsti.

1) Perkelkime visus lygties narius į vieną dalį:

= 0
2) Transformuokite kairę lygties pusę

Taigi, mes transformavome pateiktą lygtį į formą

3) Iš lygties - 7y 2 + 29y -4 = 0 randame (jūs ir aš jau išsprendėme gana daug kvadratinių lygčių, todėl tikriausiai neverta visada vadovėlyje pateikti išsamių skaičiavimų).

4) Patikrinkime rastas šaknis naudodami 5 sąlygą (y - 3) (y + 1). Abi šaknys atitinka šią sąlygą.
Taigi naujojo kintamojo y kvadratinė lygtis išspręsta:
Kadangi y = x 2 + 3x, o y, kaip nustatėme, įgyja dvi reikšmes: 4 ir , vis tiek turime išspręsti dvi lygtis: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Pirmosios lygties šaknys yra skaičiai 1 ir - 4, antrosios lygties šaknys yra skaičiai

Nagrinėjamuose pavyzdžiuose naujo kintamojo įvedimo būdas, kaip mėgsta sakyti matematikai, buvo adekvatus situacijai, tai yra, gerai ją atitiko. Kodėl? Taip, nes ta pati išraiška aiškiai pasirodė lygtyje kelis kartus ir buvo priežastis šią išraišką pažymėti nauja raide. Bet taip nutinka ne visada, kai kada naujas kintamasis „atsiranda“ tik transformacijos proceso metu. Kaip tik tai atsitiks kitame pavyzdyje.

5 pavyzdys. Išspręskite lygtį
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Sprendimas. Turime
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) = x 2 -Зx+2.

Tai reiškia, kad pateiktą lygtį galima perrašyti į formą

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Dabar „pasirodė“ naujas kintamasis: y = x 2 - 3x.

Jos pagalba lygtį galima perrašyti į formą y (y + 2) = 24 ir tada y 2 + 2y - 24 = 0. Šios lygties šaknys yra skaičiai 4 ir -6.

Grįžtant prie pradinio kintamojo x gauname dvi lygtis x 2 - 3x = 4 ir x 2 - 3x = - 6. Iš pirmosios lygties randame x 1 = 4, x 2 = - 1; antroji lygtis neturi šaknų.

ATSAKYMAS: 4, - 1.