Tegul n atsitiktinių dydžių x 1 , x 2 ,….,ξ n yra susieti su testu. Trumpai nurodykime, kaip šiame skyriuje pateiktos sąvokos perkeliamos į šį atvejį.

1. Atsitiktinių dydžių x 1 , x 2 ,…., ξ n jungtinio pasiskirstymo funkcija yra funkcija

Atsitiktinių dydžių x 1 , x 2 ,…., ξ n bendras tikimybės tankis yra funkcija

Yra lygybė

2. Pažymime a i, σ j atsitiktinio dydžio ξ i matematinė lūkestis ir standartinis nuokrypis, į ij – atsitiktinių dydžių ξ i, ξ j kovariacija:

paskambino dispersinė matrica atsitiktiniai dydžiai x 1, x 2,….,ξ n. Atkreipkite dėmesį į šias matricos D savybes.

1 0 . Matricos D pagrindinės įstrižainės elementai yra atsitiktinių dydžių dispersijos x 1, x 2,….,ξ n:

2 0 . Matrica D yra simetriška: k ij =k ji .

3 0 . Matricos D savosios reikšmės yra neneigiamos.

1 0, 2 0 savybės yra akivaizdžios. Kviečiame skaitytoją patikrinti ypatybę 3 0 specialiajam atvejui n=2.

(28)

čia r yra atsitiktinių dydžių koreliacijos koeficientas x 1, x 2.

3. Šio skyriaus 3 dalyje buvo pristatyta atsitiktinių dydžių x 1, x 2 jungtinio normaliojo skirstinio samprata – žr. (25) formulę. Ši sąvoka apibendrinta taip. Sakoma, kad atsitiktiniai dydžiai x 1 , x 2 ,…., ξ n turi bendrą normalųjį skirstinį, jei jungties tikimybės tankis pateikiamas pagal formulę

kur yra dispersinės matricos D determinantas,

su ij – matricos C=D -1 elementai.

Nesunku patikrinti, ar specialiuoju atveju n=2 šis apibrėžimas sutampa su apibrėžimu (25); Norėdami tai padaryti, turite naudoti formulę (28) matricai D ir inversijos formulę antros eilės matricai su determinantu, kuris nėra nulis:

(Kviečiame skaitytoją pasitikrinti patiems).

Teisingi šie teiginiai: jei x 1, x 2,….,ξ n turi bendrą normalųjį skirstinį, tai kiekvienas iš jų atskirai taip pat yra normalus; jei kiekvienas ξ i yra normalus ir x 1 , x 2 ,…., ξ n yra nepriklausomi, tada jų bendras pasiskirstymas taip pat yra normalus ir galioja formulė

čia f i (x) yra tikimybės tankis ξ i . Bendroje situacijoje kiekvieno individualaus ξ i normalumas nereiškia bendro skirstinio normalumo.

Jungtinio normaliojo skirstinio samprata vaidina svarbų vaidmenį taikant tikimybių teoriją.

5 skyrius. Didžiųjų skaičių dėsnis. Ribinės teoremos

Pagal didelių skaičių dėsnis suprasti modelius masyvi atsitiktiniai reiškiniai, kai daugelio atsitiktinių veiksnių sąveika lemia neatsitiktinį rezultatą. Šio tipo modelio pavyzdys pateiktas įžangoje: atsitiktinio įvykio pasireiškimo dalis ilgoje nepriklausomų identiškų bandymų serijoje yra praktiškai neatsitiktinė. Kitas puikus pavyzdys: pasirodo, kad daugeliu atvejų daugelio atsitiktinių narių sumos pasiskirstymo dėsnis nepriklauso nuo terminų pasiskirstymo dėsnių ir gali būti nuspėjamas! Ribinių teoremų tikimybių teorijoje tikslas – pateikti griežtas formules ir pagrindimus įvairioms didelių skaičių dėsnio formoms. Šiame skyriuje trumpai apžvelgsime šių tipų rezultatus.

Tegul atsitiktinio eksperimento elementariųjų rezultatų  erdvė yra tokia, kad kiekvienas rezultatas  i j būtų susietas su atsitiktinio dydžio  reikšme, lygia x i ir atsitiktinio dydžio  reikšmė lygi y j.

1. Įsivaizduokime didelę dalių, turinčių strypo formą, kolekciją. Eksperimentą sudaro atsitiktinai parinktas vienas strypas. Šis strypas turi ilgį, kurį žymėsime , o storį - (galite nurodyti kitus parametrus - tūris, svoris, apdaila, išreikšta standartiniais vienetais).

2. Jeigu svarstysime dviejų skirtingų korporacijų akcijas, tai tam tikrą biržos prekybos dieną kiekvienai iš jų būdingas tam tikras pelningumas. Atsitiktiniai dydžiai  ir  yra šių korporacijų akcijų grąža.

Tokiais atvejais galime kalbėti apie bendrą atsitiktinių dydžių  ir  pasiskirstymą arba apie „dvimatį“ atsitiktinį dydį.

Jei  ir  yra diskretūs ir imamas baigtinis reikšmių skaičius ( – n reikšmės ir  – k reikšmes), tada atsitiktinių dydžių  ir  bendro pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti, jei kiekviena skaičių pora x i , y j (Kur x i priklauso reikšmių rinkiniui, ir y j-reikšmių rinkinys) susieti tikimybę p i j, lygi įvykio, sujungiančio visus rezultatus, tikimybei  i j(ir susideda tik iš šių rezultatų), kurie lemia reikšmes = xi;  = y j.

Šį paskirstymo dėsnį galima nurodyti lentelės pavidalu:

Akivaizdu

Jei viską apibendrinsime r i j V i-toji eilutė, tada gauname tikimybę, kad atsitiktinis dydis  įgis x i reikšmę. r i j V j Lygiai taip pat, jei viską apibendrinsime

- gauname stulpelį y tikimybė, kad  įgauna reikšmę .

j x i  P i (i Susirašinėjimas n= 1,2,, y j  P j (j Susirašinėjimas k) nustato atsitiktinio dydžio  pasiskirstymo dėsnį.

Aišku,.

Anksčiau sakėme, kad atsitiktiniai dydžiai  ir  yra nepriklausomi, jei

pij=PiP j (i= 1,2, ,n;j= 1,2,, k).

Jei tai netiesa, tada  ir  yra priklausomi.

Kokia yra atsitiktinių dydžių  ir  priklausomybė ir kaip ją atpažinti iš lentelės?

Apsvarstykite stulpelį y 1. x i Kiekvienas skaičius

p i / 1 = (1)

suderinkime skaičių kurią vadinsime sąlygine tikimybe = i x y su = P i 1. kurią vadinsime sąlygine tikimybe = i Atkreipkite dėmesį, kad tai nėra tikimybė.

įvykiai =

x, ir palyginkite (1) formulę su jau žinoma sąlyginės tikimybės formule.r, ir palyginkite (1) formulę su jau žinoma sąlyginės tikimybės formule./ 1 , (i Susirašinėjimas n)

i y=1,2,,

atsitiktinio dydžio  sąlyginį skirstinį vadinsime su = y 2 ; y 1. y n Aišku . x i Panašūs sąlyginiai atsitiktinio kintamojo  pasiskirstymo dėsniai gali būti sudaryti visoms kitoms  reikšmėms, lygioms p i / j =().

3,, y j

, atitinkantį skaičių y j

sąlyginė tikimybė x i Lentelėje parodytas sąlyginis atsitiktinio dydžio  pasiskirstymo dėsnis ties =

(j Susirašinėjimas k)

Galite įvesti sąlyginio matematinio lūkesčio  sąvoką, kai  = x i :

Atkreipkite dėmesį, kad  ir  yra lygiaverčiai. Galite įvesti sąlyginį skirstinį  su = atitikties(/ = y j Taip pat galite pristatyti sąlyginio matematinio atsitiktinio kintamojo  tikėtino sąvoką = j Susirašinėjimas k Iš apibrėžimo išplaukia, kad jei  ir  yra nepriklausomi, tai visi sąlyginiai skirstymo dėsniai yra vienodi ir sutampa su skirstymo dėsniu  (primename, kad skirstymo dėsnis  lentelėje (*) apibrėžiamas pirmuoju ir paskutiniu stulpelyje). Šiuo atveju akivaizdu, kad visi sąlyginiai matematiniai lūkesčiai sutampa

M

) adresu

, kurios yra lygios M.

I pavyzdys. Dviejų atsitiktinių dydžių  ir  bendro pasiskirstymo dėsnį pateiks tokia lentelė. Čia, kaip minėta anksčiau, pirmasis ir paskutinis stulpeliai nustato atsitiktinio dydžio  pasiskirstymo dėsnį, o pirmoji ir paskutinė eilutės – atsitiktinio dydžio  pasiskirstymo dėsnį.

Sąlyginių skirstinių daugiakampiai gali būti pavaizduoti trimačiame grafike (1 pav.).

Čia aiškiai matoma sąlyginio skirstymo dėsnio  priklausomybė nuo reikšmės .

II pavyzdys.

Р(=2; =0)= Р(=0; =2)=Р(=0)Р(=2)=1/12.

Akivaizdu, kad ir Р(=3; =0)=0.

III pavyzdys.

Panagrinėkime lentelės pateiktą  ir  bendro pasiskirstymo dėsnį

Šiuo atveju sąlyga P(= x i ; =y j)=P(= x i)P(= y j), i, j =1,2,3

Sukurkime sąlyginių skirstinių dėsnius

Sąlyginių skirstinių dėsniai  nesiskiria vienas nuo kito, kai =1,2,3 ir sutampa su atsitiktinio dydžio  pasiskirstymo dėsniu.

Šiuo atveju  ir  yra nepriklausomi.

Atsitiktinių dydžių  ir  priklausomybė apibūdinama matematiniu nukrypimų  ir  sandaugos nuo jų pasiskirstymo centrų lūkesčiu (taip kartais vadinamas matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis), kuris vadinamas kovariacijos koeficientu arba tiesiog kovariacija. cov(; ) =((– cov(; ) =)(– cov(; ) =))

M x 1 , x 2 , x 1. x n ,  =  y 1 , y 2 , y Tegul  =  y k 3,,

.

Tada

cov(; )=(2) x i – cov(; ) =)( y j – cov(; ) =Šią formulę galima interpretuoti taip.

Jei didelėms  reikšmėms didesnės tikimybės, o mažoms  reikšmėms yra didesnės mažos  reikšmės, tada dešinėje (2) formulės pusėje dominuoja teigiami terminai. , o kovariacija įgyja teigiamas reikšmes.

Jei produktai ( : ), susidedantis iš skirtingų ženklų veiksnių, tai yra, atsitiktinio eksperimento rezultatai, vedantys į dideles  reikšmes, paprastai lemia mažas  reikšmes ir atvirkščiai, tada kovariacija įgauna dideles neigiamas reikšmes.

Pirmuoju atveju įprasta kalbėti apie tiesioginį ryšį: padidėjus , atsitiktinis dydis  linkęs didėti. x i – cov(; ) =)( y j – cov(; ) =)p i j Antruoju atveju kalbame apie grįžtamąjį ryšį

 didėjant, atsitiktinis dydis  linkęs mažėti arba kristi. P(( = x i)∩( = y j)) = P( = x i)P( = y j) (i Susirašinėjimas n; j Susirašinėjimas k Jei maždaug tokį patį indėlį į sumą įneša ir teigiami, ir neigiami produktai (

, tada galime sakyti, kad iš viso jie vienas kitą „atšauks“ ir kovariacija bus artima nuliui. Šiuo atveju vieno atsitiktinio dydžio priklausomybė nuo kito nematoma.

Nesunku parodyti, kad jei ), tada cov(; )= 0..

Įrodymas (diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams su baigtiniu reikšmių skaičiumi).

Formoje patogu pavaizduoti kovariaciją

cov(; )= cov(; ) =(– cov(; ) =–cov(; ) =+ cov(; ) = cov(; ) =)=cov(; ) =()– cov(; ) =( cov(; ) =)–cov(; ) =(cov(; ) =)+ cov(; ) =(cov(; ) = cov(; ) =)=

=cov(; ) =()– cov(; ) =cov(; ) =– cov(; ) = cov(; ) =+cov(; ) = cov(; ) ==cov(; ) =()– cov(; ) = cov(; ) =

Dviejų atsitiktinių dydžių kovariacija yra lygi matematiniam jų produkto lūkesčiui, atėmus jų matematinių lūkesčių sandaugą.

Nesunkiai įrodoma tokia matematinio lūkesčio savybė: jei  ir  yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, tai atitikties()= atitikties atitikties. cov(; ) =() = )

(Įrodykite tai patys naudodami formulę Taigi nepriklausomiems atsitiktiniams dydžiams  ir  cov(;)=0. Užduotys

.

1. Moneta metama 5 kartus. Atsitiktinis dydis  – numestų herbų skaičius, atsitiktinis dydis  – per paskutinius du metimus numestų herbų skaičius. Sukurkite bendrą atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnį, sukurkite sąlyginius pasiskirstymo dėsnius  skirtingoms  reikšmėms.

Raskite  ir  sąlyginius lūkesčius ir kovariaciją.

2. Iš 32 lapų kaladės atsitiktinai ištraukiamos dvi kortos.

Atsitiktinis dydis  yra tūzų skaičius imtyje, atsitiktinis dydis  yra karalių skaičius imtyje. Sukurkite bendrą paskirstymo dėsnį  ir , sudarykite sąlyginius paskirstymo dėsnius  skirtingoms  reikšmėms.

Raskite  ir  sąlyginius lūkesčius ir kovariaciją.

Paskirstymo daugiakampis CBX – taškų, gautų metant kauliuką, skaičius.

3Paskirstymo eilutė, paskirstymo daugiakampis

SW skirstinio dėsnio pateikimo būdai ar formos gali būti įvairūs. Paprasčiausia DSV X pasiskirstymo dėsnio nurodymo forma yra paskirstymo serija. Tikimybių pasiskirstymo serija DSV X yra lentelė, kurioje išvardytos visos galimos SV reikšmės ir tikimybė, kad CB paims šias reikšmes. Kadangi įvykiai yra nesuderinami, nes dėl patirties gali turėti tik vieną prasmę ir sudaryti ištisą įvykių grupę, tada. Todėl norint patikrinti lentelės teisingumą, būtina susumuoti visas tikimybes.

Aiškumo dėlei platinimo serija pateikiama grafiškai. Norėdami tai padaryti, visos galimos SV reikšmės brėžiamos išilgai ašies

0x , ir išilgai ašies

0у

Paskirstymo daugiakampiai gali būti įvairių formų.

Pavyzdys- Tikimybė, kad kariūnas išlaikys semestro egzaminą sesijoje iš A ir B disciplinų atitinkamai yra 0,7 ir 0,8. Sudarykite paskirstymo eilutę ir sukurkite daugiakampį semestro egzaminų, kuriuos laiko kursantas, paskirstymui.

Sprendimas Galimos reikšmės C B X - išlaikytų egzaminų skaičius - 0, I, 2.

Tebūnie įvykis, kad kariūnas praeina i egzaminas ( i=1, 2).

Darant prielaidą ir esant nepriklausomiems, turėsime tikimybę, kad

kad kariūnas neišlaikys egzaminų

kad išlaikys vieną egzaminą

kad jis išlaikys du egzaminus

Paskirstymo serija ir paskirstymo daugiakampis atrodys taip

TCO paskirstymo įstatymas gali būti nurodytas įvairiomis formomis. Viena iš priskyrimo formų yra SRES paskirstymo lentelė.

Tegul X ir Y yra DSV, kurių galimos reikšmės yra , kur,. Tada tokių SV sistemos pasiskirstymą galima apibūdinti nurodant tikimybę, kad SV X įgis reikšmę ir tuo pačiu metu SV Y įgis reikšmę. Tikimybės apibendrinamos formos lentelėje

Tokia lentelė vadinama SRES paskirstymo lentele (matrica) su baigtiniu galimų reikšmių skaičiumi. Visi galimi įvykiai sudaro visą nesuderinamų įvykių grupę, todėl

Gautas paskirstymo lentelės stulpelis arba eilutė atitinkamai parodo vienanarių komponentų pasiskirstymą.

Iš tiesų, vienmačio SCV pasiskirstymą galima gauti apskaičiuojant įvykio tikimybę kaip nesuderinamų įvykių tikimybių sumą

Taip pat

Taigi Norint iš skirstymo lentelės rasti tikimybę, kad vienmatis SV įgavo tam tikrą reikšmę, reikia susumuoti tikimybes iš šios lentelės eilutės (stulpelio), atitinkančios šią reikšmę.

Jei fiksuojame vieno argumento reikšmę, pavyzdžiui, set , tai gautas SVX skirstinys vadinamas sąlyginiu X skirstiniu pagal sąlygą.

Šio skirstinio tikimybės bus sąlyginės įvykio tikimybės, nustatytos atsižvelgiant į tai, kad įvykis įvyko.

Iš sąlyginės tikimybės apibrėžimo

Panašiai sąlygiškesnis VCA paskirstymas pagal sąlygą yra lygus

Standartiniai atsitiktinių dydžių skirstiniai.

Vienodas paskirstymas ir jo ypatybės.

Atsitiktinio dydžio ir atsitiktinio vektoriaus pasiskirstymo dėsnis

Taip pat būtina žinoti, su kokiomis tikimybėmis SV paima šias reikšmes, o apskritai, kokios yra tikimybės, kad SV pataikys į tam tikrus ašies taškų aibės intervalus. Paprasčiausia DSV X pasiskirstymo dėsnio nurodymo forma yra paskirstymo serija..

Paprastai atsižvelgiama į intervalus

Jei žinomos visos galimos SV reikšmės ir galima rasti įvairių su SV susijusių įvykių tikimybes, t.y. rasti tikimybes patekti į tam tikrą intervalą, tada tikimybiniu požiūriu viskas žinoma apie šį SV.

SV pasiskirstymo dėsnis yra bet koks ryšys, nustatantis ryšį tarp galimų SV reikšmių ir atitinkamų tikimybių.

Jie sako apie SV, kad jai galioja šis platinimo įstatymas. Jis gali būti nurodytas analitiškai, lentelėse, grafiškai.

Atsitiktinio vektoriaus charakteristika taip pat yra jo pasiskirstymo dėsnis.

TCO paskirstymo įstatymas yra ryšys, nustatantis ryšį tarp galimų TCO verčių sričių ir sistemos atsiradimo šiose srityse tikimybių.

Kaip ir vieno SV, taip ir SV paskirstymo dėsnį galima nurodyti įvairiomis formomis.

Bendra atsitiktinių dydžių pasiskirstymo funkcija yra funkcija, priklausanti nuo n realių kintamųjų, todėl 4.1 teiginys (nėra įrodymų) . Išvardykime kai kurias kelių atsitiktinių dydžių pasiskirstymo funkcijų savybes: Pavyzdžiui, kiekvieno kintamojo monotoniškumas,

Ribos ties „minus begalybė“: jei jungtinėje paskirstymo funkcijoje pataisome visus kintamuosius, išskyrus vieną, o likusį kintamąjį nukreipiame į, tada riba lygi nuliui. Pavyzdžiui, fiksuotoms riboms ties „plius begalybė“. Pavyzdžiui, Regresijos tiesės, koreliacijos Jei du atsitiktiniai dydžiai X ir Y turi tiesinės regresijos funkcijas vienas kito atžvilgiu, tada X ir Y reikšmės yra susijusios.

tiesinės koreliacijos priklausomybė. Teorema. Jei dvimatis atsitiktinis kintamasis (X, Y) yra normaliai pasiskirstęs, tai X ir Y yra susiję tiesine koreliacija.

Pirmieji trys sumos c2 momentai (laukimo dispersija ir trečiasis centrinis momentas) yra lygūs atitinkamai f, 2f, 8f. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių c1^2 ir c2^2 suma su f^1 ir f^2 laisvės laipsniais paklūsta „H.-k“. r. su f^1 + f^2 laisvės laipsniais. "H.-k." pavyzdžiai r. gali tarnauti kaip atsitiktinių dydžių kvadratų skirstiniai, kurie paklūsta Rayleigh ir Maxwell skirstiniams. Kalbant apie "H.-K." r. su lyginiu laisvės laipsnių skaičiumi Puasono skirstinys išreiškiamas: Jei sumos c2 narių skaičius f didėja be ribos, tai pagal centrinę ribinę teoremą normalizuoto santykio skirstinys konverguoja į standartinį normalųjį skirstinį. : kur

Šio fakto pasekmė yra kitas ribinis ryšys, patogus apskaičiuoti Ff (x) didelėms f reikšmėms:

Studentų paskirstymas

Šis platinimas gavo savo pavadinimą iš pseudonimo Studentas, kuriuo anglų mokslininkas Gossetas pasirašė savo statistikos darbus. Leisti būti nepriklausomi standartiniai normalūs atsitiktiniai dydžiai. Stjudento skirstinys su laisvės laipsniais yra tokio atsitiktinio dydžio skirstinys: (46) Jei prisiminsime atsitiktinį kintamąjį, įvestą pagal (44) formulę, galime pasakyti, kad ryšys turi Stjudento skirstinį. Šio skirstinio tankis yra simetriška funkcija, nurodyta pagal formulę. Kai funkcijų seka susilieja į funkciją, kuri yra pasiskirstymo tankis. Norėdami suprasti, kodėl taip nutinka, turėtumėte atkreipti dėmesį į tai, kad pagal didelių skaičių dėsnį išraiškos vardiklis (46) yra linkęs

Tegul atsitiktinio eksperimento elementariųjų rezultatų W erdvė yra tokia, kad kiekvienas rezultatas w i j būtų susietas su atsitiktinio dydžio X reikšme, lygia x i ir atsitiktinio dydžio Y reikšmė lygi y j.

1. Įsivaizduokime dalių paketą, kuriam būdingi 2 bendri matmenys. Atsitiktinis eksperimentas susideda iš atsitiktinio vienos dalies parinkimo. Šios dalies ilgis, kurį žymėsime X, ir storis Y

2. Jei eksperimento rezultatas yra studento, kuris bus nominuotas padidintai stipendijai, atranka. Tada X ir Y yra paskutinių dviejų seansų balų vidurkis

Šiuo atveju galime kalbėti apie bendrą atsitiktinių dydžių X ir Y pasiskirstymą arba apie „dvimatį“ atsitiktinį dydį.

Jei X ir Y yra diskretūs ir įgyja baigtinį skaičių reikšmių (X – n reikšmės, o Y – m reikšmės), tada atsitiktinių dydžių X ir Y bendro pasiskirstymo dėsnį galima nurodyti, jei kiekviena skaičių pora x i, y j(Kur x i priklauso reikšmių rinkiniui X ir y j-reikšmių rinkinys Y), kad atitiktų tikimybę p ij, lygi įvykio, sujungiančio visus rezultatus w, tikimybei ij(ir susideda tik iš šių rezultatų), dėl kurių gaunamos reikšmės X = x i; Y= y j.

Šį paskirstymo dėsnį galima nurodyti lentelės pavidalu:

o pirmoji ir paskutinė eilutės pateikia atsitiktinio dydžio Y pasiskirstymo eilutes. Lentelė yra dvimačio diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis, jei paskutinės eilutės arba paskutinio stulpelio tikimybių suma (ir, atitinkamai, tikimybių suma lentelėje) = 1.

Naudojant šią lentelę, pagal analogiją su vienmačiu atveju, galima nustatyti jungties pasiskirstymo funkciją. Tam reikia susumuoti p ij per visus i, kuriems j x i< x, y j < y

Pasvarstykime pavyzdys(„TV“ MSTU pavadintas Baumano vardu)

Pagal Bernulio schemą, su sėkmės tikimybe p ir nesėkmės tikimybe q =1-p, atliekami 2 bandymai.

Apsvarstykite dvimačio vektoriaus (X 1, X 2) pasiskirstymą, kurių kiekviena gali turėti 2 reikšmes: 0 arba 1 (atitinkamo eksperimento sėkmės skaičius). Sėkmių skaičius abiejuose bandymuose yra 0, kai įvyksta 2 nesėkmės, ir tai dėl nepriklausomybės yra lygus qq. Štai kodėl

o stulpelių „0“ sankirtoje rašome q 2.

Jungtinio paskirstymo funkcija F (x 1, x 2) apibrėžia paviršių trimatėje erdvėje.

Apibrėžimas. Sąlyginio platinimo dėsnis(X |Y=y j)(j išlaiko tą pačią reikšmę visoms X reikšmėms) yra sąlyginių tikimybių rinkinys p(x 1 |y j), p(x 2 |y j),… p(x n |y j) , o sąlyginės tikimybės apskaičiuojamos naudojant formules:

р(X=x i |Y=y j) = р(X=x i ,Y=y j) / р(Y=y j)

Pavyzdys. Nurodomas atskiras dvimatis dydis

р(X=x 1 |Y=y 1) = р(X=x 1,Y=y 1) / р(Y=y 1) = 0,15/0,8 = 3/16

р(X=x 2 |Y=y 1) = р(X=x 2,Y=y 1) / р(Y=y 1) = 0,3/0,8 = 3/8

р(X=x 3 |Y=y 1) = р(X=x 3,Y=y 1) / р(Y=y 1) = 0,35/0,8 = 7/16

Patikrinkite: tikimybių suma yra 1.

komentuoti. Tokiu būdu galima patikrinti atsitiktinių dydžių nepriklausomumą. Panašiai kaip ir įvykių nepriklausomumo atveju, atsitiktinių dydžių nepriklausomumą galima nustatyti naudojant sąlygines tikimybes. Belieka palyginti sąlyginius ir besąlyginius skirstymo dėsnius.

Pavyzdys.

Apsvarstykite dėžutę, kurioje yra dvi kortelės su skaičiumi 1 ir trys kortelės su skaičiumi 2. Dvi kortelės išimamos viena po kitos. X yra skaičius ant pirmosios kortelės. Y – į antrą. Raskite bendro paskirstymo įstatymą (X, Y)

Mes naudojame formulę tikimybių sandaugai P((X,Y)=(1,1)) = P(X=1)P(Y=1|X=1)=2/5× ¼ = 1/10

Tikimybių suma = 1.

Tegul n atsitiktinių dydžių  1,  2,….,ξ n yra susieti su testu. Trumpai nurodykime, kaip šiame skyriuje pateiktos sąvokos perkeliamos į šį atvejį.

1. Atsitiktinių dydžių jungtinė pasiskirstymo funkcija  1,  2,….,ξ n yra funkcija

Atsitiktinių dydžių jungtinis tikimybių tankis  1,  2,….,ξ n yra funkcija

Yra lygybė

2. Pažymime A i , σ j atsitiktinio dydžio ξ i matematinė lūkestis ir standartinis nuokrypis, į ij – atsitiktinių dydžių ξ i, ξ j kovariacija:

paskambino dispersinė matrica atsitiktiniai dydžiai  1,  2,….,ξ n. Atkreipkite dėmesį į šias matricos D savybes.

1 0 . Matricos D pagrindinės įstrižainės elementai yra atsitiktinių dydžių dispersijos  1,  2,….,ξ n:

2 0 . Matrica D yra simetriška: k ij =k ji .

3 0 . Matricos D savosios reikšmės yra neneigiamos.

1 0, 2 0 savybės yra akivaizdžios. Kviečiame skaitytoją patikrinti ypatybę 3 0 specialiajam atvejui n=2.

(28)

Šiuo atveju matrica D turi formą

čia r yra atsitiktinių dydžių koreliacijos koeficientas  1,  2.

3. Šio skyriaus 3 dalyje buvo pristatyta atsitiktinių dydžių  1,  2 bendro normaliojo skirstinio samprata – žr. (25) formulę. Ši sąvoka apibendrinta taip. Sakoma, kad atsitiktiniai dydžiai  1,  2,…., ξ n turi bendrą normalųjį pasiskirstymą, jei jungties tikimybės tankis pateikiamas pagal formulę Kur

- dispersinės matricos D determinantas,

su ij – matricos C=D -1 elementai.

Nesunku patikrinti, ar specialiuoju atveju n=2 šis apibrėžimas sutampa su apibrėžimu (25); Norėdami tai padaryti, turite naudoti formulę (28) matricai D ir inversijos formulę antros eilės matricai su determinantu, kuris nėra nulis:

(Raginame skaitytoją pasitikrinti patiems).

Teisingi šie teiginiai: jei  1,  2,….,ξ n turi bendrą normalųjį skirstinį, tai kiekvienas iš jų atskirai taip pat yra normalus; jei kiekvienas ξ i yra normalus ir tuo pačiu metu  1,  2,...., ξ n yra nepriklausomi, tai jų bendras skirstinys taip pat yra normalus, o formulė galioja

čia f i (x) yra tikimybės tankis ξ i . Bendroje situacijoje kiekvieno atskiro ξ i normalumas nereiškia bendro skirstinio normalumo.

5 skyrius. Didžiųjų skaičių dėsnis. Ribinės teoremos

Jungtinio normaliojo skirstinio samprata vaidina svarbų vaidmenį taikant tikimybių teoriją. didelių skaičių dėsnis Pagal masyvi atsitiktiniai reiškiniai, kai daugelio atsitiktinių veiksnių sąveika lemia neatsitiktinį rezultatą. Šio tipo modelio pavyzdys pateiktas įžangoje: atsitiktinio įvykio pasireiškimo dalis ilgoje nepriklausomų identiškų bandymų serijoje yra praktiškai neatsitiktinė. Kitas puikus pavyzdys: pasirodo, kad daugeliu atvejų daugelio atsitiktinių narių sumos pasiskirstymo dėsnis nepriklauso nuo terminų pasiskirstymo dėsnių ir gali būti nuspėjamas! Ribinių teoremų tikimybių teorijoje tikslas – pateikti griežtas formules ir pagrindimus įvairioms didelių skaičių dėsnio formoms. Šiame skyriuje trumpai apžvelgsime šių tipų rezultatus.

§1. Didelių skaičių dėsnis Čebyševo forma

Praktikoje gerai žinomas toks modelis, kurį galima suformuluoti taip: didelio skaičiaus aritmetinis vidurkis nepriklausomasto paties tipo atsitiktiniai veiksniai praktiškai nėra atsitiktinumas. Pavyzdžiui, didelio skaičiaus to paties dydžio matavimų aritmetinis vidurkis praktiškai nesiskiria nuo tikrosios šio dydžio vertės; didelio skaičiaus chaotiškai judančių molekulių vidutinė kinetinė energija yra praktiškai neatsitiktinė ir apibūdina kūno temperatūrą.

Tikimybių teorijos metodai leidžia pateikti griežtą matematinę šio dėsnio formuluotę.

Tegul būna begalinė atsitiktinių dydžių seka

 1 , 2 , … , n , … (29)

Trumpai pavadinkime atsitiktinius dydžius (29) to paties tipo jei jie turi vienodus matematinius lūkesčius A ir ta pati dispersija D.

Teorema. Tegul atsitiktiniai dydžiai (29) yra to paties tipo ir nepriklausomi, tada ryšys galioja

adresu n, (30)

Kur A=atitikties[ k ],k= 1, 2, …, – bet koks savavališkai mažas teigiamas skaičius.

Tai reiškia: su pakankamai dideliu n su praktiniu tikrumu (su tikimybe100%) lygybė

.

Šią teoremą pirmasis įrodė rusų matematikas P.L. Čebyševas. Teoremos įrodymas remiasi trimis lemomis.

1 lema. Tegu atsitiktinis dydis≥ 0. Tada nelygybė teisinga

R(≥) ≤, (31)

kur  yra bet koks teigiamas skaičius.

Įrodymas Padarykime tai nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui. Atsitiktinio dydžio tikimybės tankis f(X) = 0 at X< 0, так как≥ 0.

Pagal matematinio lūkesčio apibrėžimą turime:

≥
≥

(≥),

iš kur išplaukia nelygybė (31).

2 lema. Tegul yra atsitiktinis dydis su skaitinėmis charakteristikomis ( A,D), tada yra teisinga ši nelygybė:

R(|– a| < ) ≥ 1 – .

Įrodymas. Turime

R(|– a| ≥ ) =P ((– a) 2 ≥ 2) ≤
.

Čia naudojame nelygybę (31) su  = ( – a) 2 ,  =  2 .

Iš susidariusios nelygybės išplaukia

R(|– a| < ) = 1 –R(|– a| ≥ ) ≥ 1 – .

3 lema. Tegu 1 , 2 , …, n- nepriklausomi to paties tipo atsitiktiniai dydžiai su skaitinėmis charakteristikomis ( A,D). Tada bet kokiam>0 nelygybė yra tiesa

≥ 1 – . (32)

Kur  – bet koks teigiamas skaičius, a = cov(; ) =[ i ],D = D[ i ],i= 1, 2, …,n..

Nelygybė (32) vadinama Čebyševo nelygybė.

Įrodymas. Pažymėkime

.

Iš nepriklausomų atsitiktinių dydžių matematinių lūkesčių ir sklaidos savybių išplaukia:

Taigi atsitiktinis dydis turi skaitines charakteristikas
; Jai pritaikę Lemą 2, gauname reikiamą nelygybę (32).

Čebyševo teoremos įrodymas.

Dėl Čebyševo nelygybės (32) turime bet kurią n dviguba nelygybė

1 ≥
≥ 1 – .

Einama iki ribos ties nir atsižvelgiant į palyginimo teoremą iš ribų teorijos gauname reikiamą ryšį (30).

komentuoti.Įveskime patogų terminą. Tegul būna atsitiktinių dydžių seka

 1 , 2 , …, n , … . (33)

Jie sako, kad seka (33) suartėja tikimybe iki neatsitiktinės vertės A ir parašyk

adresu n,

jei bet kuriam > 0 santykis tenkinamas

R(| n –a| < )1 val n.

Akivaizdu, kad Čebyševo teoremą galima suformuluoti taip: to paties tipo nepriklausomų atsitiktinių dydžių aritmetinis vidurkis, neribotai didėjant terminų skaičiui, tikimybe suartėja su jų bendru matematiniu lūkesčiu.

Pavyzdys. Kiek nepriklausomų vienodo tikslumo tam tikro dydžio matavimų turi būti atlikta, kad su ne mažesne kaip 0,95 tikimybe būtų užtikrinta, jog šių matavimų aritmetinis vidurkis nuo tikrosios dydžio vertės nukryptų ne daugiau kaip 1 (in) absoliuti vertė), jei kiekvieno matavimo standartinis nuokrypis neviršija 5?

Sprendimas. Tegu i- rezultatas i matmuo ( i= 1,2,…,n),a– tikroji išmatuoto dydžio vertė, t cov(; ) =[ i ] =a bet kuriuo i; atsižvelgiant į vienodą matavimų tikslumą i turėti vienodą dispersiją D≤ 25. Dėl matavimų nepriklausomumo i yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai.

Reikia surasti n, kuriame

≥ 0,95.

Pagal Čebyševo nelygybę (32), ši nelygybė bus patenkinta, jei

1 – ≥ 1– ≥ 0,95, lengva rasti

n≥500 matavimų.