Tikimybių teorija, pasiskirstymo dėsnis. Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis

Tikimybių pasiskirstymas yra tikimybės matas išmatuojamoje erdvėje.

Tegu W yra netuščia savavališko pobūdžio aibė ir Ƒ -s- algebra ant W, tai yra W poaibių rinkinys, kuriame yra pats W, tuščia aibė Æ ir uždaryta daugiausia pagal skaičiuojamą aibės teorinių operacijų rinkinį (tai reiškia, kad bet kuriai A Î Ƒ rinkinys = W\ A vėl priklauso Ƒ ir jeigu A 1 , A 2,…О Ƒ , Tai Ƒ Ir Ƒ ). Pora (W, Ƒ ) vadinama išmatuojama erdve. Neneigiama funkcija P( A), skirtas visiems A Î Ƒ , vadinamas tikimybės matu, tikimybe, P. tikimybėmis arba tiesiog P., jei P(W) = 1 ir P yra skaičiuojamai adityvus, tai yra bet kuriai sekai A 1 , A 2,…О Ƒ toks kad A i ∩ A j= Æ visiems i ¹ j, lygybė P() = P( A i). Trys (W, Ƒ , P) vadinama tikimybių erdve. Tikimybių erdvė yra originali aksiomatinės tikimybių teorijos koncepcija, kurią pasiūlė A. N. Kolmogorovas 1930-ųjų pradžioje.

Kiekvienoje tikimybių erdvėje galima nagrinėti (realias) išmatuojamas funkcijas X = X(w), wÎW, tai yra, veikia taip, kad (w: X(w)О B} Î Ƒ bet kuriam Borel pogrupiui B tikra linija R. Funkcijos išmatavimas X yra lygiavertis (w: X(w)< x} Î Ƒ bet kokiam tikram x. Išmatuojamos funkcijos vadinamos atsitiktiniais dydžiais. Kiekvienas atsitiktinis dydis X, apibrėžta tikimybių erdvėje (W, Ƒ , P), generuoja P. tikimybes

P X (B) = P( XÎ B) = P((w: X(w)О B}), B Î Ɓ ,
išmatuojamame plote ( R, Ɓ ), kur Ɓ R, ir paskirstymo funkcija

F X(x) = P( X < x) = P((w: X(w)< x}), -¥ < x <¥,
kurios vadinamos tikimybės tikimybe ir atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija X.

Paskirstymo funkcija F bet kuris atsitiktinis kintamasis turi savybių

1. F(x) nemažėja,

2. F(- ¥) = 0, F(¥) = 1,

3. F(x) paliekamas ištisinis kiekviename taške x.

Kartais skirstymo funkcijos apibrėžime nelygybė< заменяется неравенством £; в этом случае функция распределения является непрерывной справа. В содержательных утверждениях теории вероятностей не важно, непрерывна функция распределения слева или справа, важны лишь положения ее точек разрыва x(jei yra) ir padidinkite dydžius F(x+0) - F(x-0) šiuose taškuose; Jeigu F X, tada šis prieaugis yra P( X = x).

Bet kokia funkcija F, turintis savybių 1. - 3. vadinamas skirstymo funkcija. Atitikimas tarp paskirstymų ( R, Ɓ ) ir paskirstymo funkcijos yra vienos su viena. Už bet kurį R. Pįjungta ( R, Ɓ ) jo pasiskirstymo funkciją lemia lygybė F(x) = P((-¥, x)), -¥ < x <¥, а для любой функции распределения F tai atitinkantis R. P yra apibrėžtas aibių algebroje £, sudarytų iš baigtinio skaičiaus nevienodų intervalų funkcijos jungčių F 1 (x) tiesiškai didėja nuo 0 iki 1. Norėdami sukurti funkciją F 2 (x) segmentas yra padalintas į segmentą , intervalą (1/3, 2/3) ir segmentą . Funkcija F 2 (x) intervale (1/3, 2/3) yra lygus 1/2 ir atitinkamai didėja nuo 0 iki 1/2 ir nuo 1/2 iki 1 segmentuose ir atitinkamai. Šis procesas tęsiasi ir funkcija Fn+1 gaunamas naudojant šią funkcijos transformaciją Fn, n³ 2. Intervalais, kai funkcija Fn(x) yra pastovus, Fn +1 (x) sutampa su Fn(x). Kiekvienas segmentas, kuriame yra funkcija Fn(x) tiesiškai didėja nuo aį b, yra padalintas į segmentą , intervalą (a + (a - b)/3, a + 2(b - a)/3) ir segmentą . Nurodytu intervalu Fn +1 (x) yra lygus ( a + b)/2 ir nurodytuose segmentuose Fn +1 (x) tiesiškai didėja nuo aį ( a + b)/2ir nuo ( a + b)/2 iki b atitinkamai. Už kiekvieną 0 £ x£1 seka Fn(x), n= 1, 2,..., konverguoja į kokį nors skaičių F(x). Paskirstymo funkcijų seka Fn, n= 1, 2,..., yra lygiagreti, todėl ribinio skirstinio funkcija F(x) yra tęstinis. Ši funkcija yra pastovi skaičiuojamame intervalų rinkinyje (skirtinguose intervaluose funkcijos reikšmės yra skirtingos), kuriose nėra augimo taškų, o bendras šių intervalų ilgis yra 1. Todėl Lebesgue matas nustatyti supp F yra lygus nuliui, tai yra F vienaskaita.

Kiekviena paskirstymo funkcija gali būti pavaizduota kaip

F(x) = p ac F ac ( x) + p d F d ( x) + p s F s ( x),
Kur F ak, F d ir F s yra absoliučiai tolydžios, diskrečios ir vienaskaitos skirstinio funkcijos ir neneigiamų skaičių suma p ak, p d ir p s yra lygūs vienetui. Šis vaizdavimas vadinamas Lebesgue plėtiniu ir funkcijomis F ak, F d ir F s – skilimo komponentai.

Pasiskirstymo funkcija vadinama simetriška, jei F(-x) = 1 - F(x+ 0) už
x> 0. Jei simetrinio skirstinio funkcija yra absoliučiai tolydi, tai jos tankis yra lyginė. Jei atsitiktinis dydis X turi simetrišką pasiskirstymą, tada atsitiktiniai dydžiai X Ir - X vienodai paskirstytas. Jei simetrinio skirstinio funkcija F(x) yra tęstinis ties nuliu, tada F(0) = 1/2.

Tarp absoliučiai tęstinių taisyklių, dažnai naudojamų tikimybių teorijoje, yra vienodos taisyklės, normaliosios taisyklės (Gauso taisyklės), eksponentinės taisyklės ir Koši taisyklės.

R. vadinamas vienodu intervale ( a, b) (arba segmente [ a, b] arba intervalais [ a, b) Ir ( a, b]), jei jo tankis yra pastovus (ir lygus 1/( b - a)) iki ( a, b) ir yra lygus nuliui išorėje ( a, b). Dažniausiai naudojamas vienodas skirstinys ties (0, 1), jo pasiskirstymo funkcija F(x) yra lygus nuliui at x 0 svarų sterlingų, lygus vienam at x>1 ir F(x) = x 0 val< x£ 1. Vienodas atsitiktinis dydis (0, 1) turi atsitiktinį kintamąjį X(w) = w tikimybių erdvėje, kurią sudaro intervalas (0, 1), šio intervalo Borelio poaibių rinkinys ir Lebesgue matas. Ši tikimybių erdvė atitinka eksperimentą „atsitiktinai mesti tašką w į intervalą (0, 1)“, kur žodis „atsitiktinai“ reiškia visų taškų iš (0, 1) lygybę („lygią galimybę“). Jei tikimybių erdvėje (W, Ƒ , P) yra atsitiktinis dydis X su vienodu pasiskirstymu ant (0, 1), tada ant jo bet kuriai pasiskirstymo funkcijai F yra atsitiktinis dydis Y, kuriai paskirstymo funkcija F Y sutampa su F. Pavyzdžiui, atsitiktinio dydžio paskirstymo funkcija Y = F -1 (X) sutampa su F. Čia F -1 (y) = inf( x: F(x) > y}, 0 < y < 1; если функция F(x) yra ištisinis ir griežtai monotoniškas visoje realioje eilutėje F-1 - atvirkštinė funkcija F.

Normalus R. su parametrais ( a, s 2), -¥< a < ¥, s 2 >0, vadinamas R. su tankiu, -¥< x < ¥. Чаще всего используется нормальное Р. с параметрами a= 0 ir s 2 = 1, kuris vadinamas standartiniu normaliu R., jo pasiskirstymo funkcija F( x) nėra išreikštas elementariųjų funkcijų superpozicijomis ir turime naudoti jo integralų atvaizdavimą F( x) =, -¥ < x < ¥. Для фунции распределения F(x) buvo sudarytos išsamios lentelės, kurios buvo reikalingos prieš atsirandant šiuolaikinėms skaičiavimo technologijoms (funkcijos F( reikšmės) x) taip pat galima gauti naudojant specialias lenteles. funkcijos erf( x)), reikšmės F( x) Už x> 0 galima gauti naudojant serijų sumą

,
ir už x < 0 можно воспользоваться симметричностью F(x). Normalaus pasiskirstymo funkcijos reikšmės su parametrais a ir s 2 galima gauti naudojant faktą, kad jis sutampa su F(( x - a)/s). Jeigu X 1 ir X 2 nepriklausomi normaliai paskirstyti su parametrais a 1 , s 1 2 ir a 2 , s 2 2 atsitiktiniai dydžiai, tada jų sumos skirstinys X 1 + X 2 taip pat tinka su parametrais a= a 1 + a 2 ir s 2 = s 1 2 + s 2 2 . Teiginys taip pat yra teisingas, tam tikra prasme, priešingas: jei atsitiktinis kintamasis X paprastai paskirstytas pagal parametrus a ir s 2 ir
X = X 1 + X 2 kur X 1 ir X 2 yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, išskyrus konstantas X 1 ir X 2 turi normaliuosius skirstinius (Cramerio teorema). Parinktys a 1 , s 1 2 ir a 2 , s 2 2 normaliųjų atsitiktinių dydžių skirstiniai X 1 ir X 2 susiję su a ir s 2 aukščiau pateiktomis lygybėmis. Standartinis normalusis skirstinys yra riba centrinės ribos teoremoje.

Eksponentinis skirstinys yra skirstinys su tankiu p(x) = 0 at x < 0 и p(x) = l e- l x adresu x³ 0, kur l > 0 yra parametras, jo pasiskirstymo funkcija F(x) = 0 at x 0 svarų ir F(x) = 1 - e- l x adresu x> 0 (kartais naudojami eksponentiniai parametrai, kurie nuo nurodyto skiriasi poslinkiu išilgai tikrosios ašies). Šis R. turi savybę, vadinamą pasekmės nebuvimu: jei X yra atsitiktinis kintamasis su eksponentine R., tada bet kokiam teigiamam x Ir t

P( X > x + t | X > x) = P( X > t).
Jeigu X yra kurio nors įrenginio veikimo laikas iki gedimo, tada poveikio nebuvimas reiškia, kad tikimybė, kad įrenginys, įjungtas 0 momentu, nesuges tol, kol x + t su sąlyga, kad jis neatsisakė iki šio momento x, nepriklauso nuo x. Ši savybė aiškinama kaip „senėjimo“ nebuvimas. Poveikio nebuvimas yra būdinga eksponentinio skirstinio savybė: absoliučiai nepertraukiamų skirstinių klasėje aukščiau nurodyta lygybė galioja tik eksponentiniam skirstiniui (su tam tikru parametru l > 0). Eksponentinis R. pasirodo kaip riba R. minimalioje schemoje. Leiskite X 1 , X 2 ,… - neneigiami nepriklausomi identiškai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai ir jų bendra pasiskirstymo funkcija F taškas 0 yra augimo taškas. Tada val n®¥ atsitiktinių dydžių skirstiniai Yn= min( X 1 ,…, Xn) silpnai suartėja su išsigimusiu skirstiniu su vienu augimo tašku 0 (tai yra didelių skaičių dėsnio analogas). Jei papildomai darysime prielaidą, kad kai kurioms e > 0 pasiskirstymo funkcija F(x) intervale (0, e) leidžia vaizdavimą ir p(u)®l at u¯ 0, tada atsitiktinių dydžių Z pasiskirstymo funkcijos n = n min( X 1 ,…, Xn) adresu n®¥ tolygiai skersai -¥< x < ¥ сходятся к экспоненциальной функции распределения с параметром l (это - аналог центральной предельной теоремы).

R. Koši vadinamas R. su tankiu p(x) = 1/(p(1 + x 2)), -¥< x < ¥, его функция рас-пределения F(x) = (arktg x+ p/2)/p. Šis R. atsirado S. Puasono darbe 1832 m., sprendžiant šią problemą: ar yra nepriklausomų identiškai pasiskirstytų atsitiktinių dydžių? X 1 , X 2 ,... kad aritmetinė reikšmė ( X 1 + … + Xn)/n kiekviename n turi tą patį R. kaip ir kiekvienas iš atsitiktinių dydžių X 1 , X 2,...? S. Puasonas atrado, kad atsitiktiniai dydžiai, turintys nurodytą tankį, turi šią savybę. Šiems atsitiktiniams dydžiams negalioja didelių skaičių dėsnio teiginys, kuriame aritmetinės reikšmės ( X 1 +…+ Xn)/n su augimu n išsigimęs. Tačiau tai neprieštarauja didelių skaičių dėsniui, nes nustato apribojimus pirminių atsitiktinių dydžių skirstiniams, kurie nėra tenkinami nurodytam skirstiniui (šiam skirstiniui yra absoliutūs visų teigiamų laipsnių momentai, mažesni už vienetą, tačiau matematinis lūkestis neegzistuoja) . O. Cauchy darbuose R., pasivadinęs jo vardu, pasirodė 1853 m. R. Cauchy yra susijęs X/Y nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai su standartiniu normaliu P.

Tarp diskrečiųjų kintamųjų, dažnai naudojamų tikimybių teorijoje, yra R. Bernoulli, dvinario R. ir R. Poisson.

R. Bernoulli vadina bet kokį skirstinį su dviem augimo taškais. Dažniausiai naudojamas atsitiktinis dydis yra R. X, imant reikšmes 0 ir 1 su tikimybėmis
q = 1 - p Ir p atitinkamai kur 0< p < 1 - параметр. Первые формы закона больших чисел и центральной предельной теоремы были получены для случайных величин, имею-щих Р. Бернулли. Если на вероятностном пространстве (W, Ƒ , P) yra seka X 1 , X 2,... nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, turintys reikšmes 0 ir 1, kurių kiekvieno tikimybė yra 1/2, tada šioje tikimybių erdvėje yra atsitiktinis dydis, kurio R yra vienodas (0, 1). Visų pirma, atsitiktinis dydis turi tolygų pasiskirstymą (0, 1).

Dvejetainė R. su parametrais n Ir p, n- natūralus, 0< p < 1, называется Р., с точками роста 0, 1,..., n, kuriame yra sutelktos tikimybės C n k p k q n-k, k = 0, 1,…, n,
q = 1 - p. Tai R. suma n nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, turintys R. Bernoulli su augimo taškais 0 ir 1, kuriuose koncentruotos tikimybės q Ir p. Šio skirstinio tyrimas paskatino J. Bernoulli atrasti didelių skaičių dėsnį, o A. Moivre – centrinės ribos teoremą.

Puasono formule vadinama formulė, kurios atrama yra taškų 0, 1,... seka, kurioje sukoncentruotos tikimybės l k e-l/ k!, k= 0, 1,…, kur l > 0 yra parametras. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių, turinčių R. Puasono su parametrais l ir m, suma vėl turi R. Puasoną su parametru l + m. R. Puasonas yra R. Bernoulli riba su parametrais n Ir p = p(n) adresu n®¥ jei n Ir p susijęs santykiu n.p.®l at n®¥ (Puasono teorema). Jei seka yra 0< T 1 < T 2 < T 3 <… есть последовательность моментов времени, в которые происходят некоторые события (так. наз поток событий) и величины T 1 , T 2 -T 1 , T 3 - T 2 ,... yra nepriklausomi identiškai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai ir jų bendras R. yra eksponentinis, kai parametras l > 0, tada atsitiktinis dydis Xt, lygus įvykių, įvykusių intervale (0, t), turi R. Poisson su parametru.l t(toks srautas vadinamas Puasonu).

R sąvoka turi daug apibendrinimų, ypač ji apima daugiamatį atvejį ir algebrines struktūras.

Atsitiktinis įvykis yra bet koks faktas, kuris gali atsirasti arba neįvykti dėl testo. Atsitiktinis įvykis yra testo rezultatas. Teismo procesas– tai eksperimentas, tam tikros sąlygų visumos įvykdymas, kai stebimas tas ar kitas reiškinys, fiksuojamas tas ar kitas rezultatas.

Renginiai žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis A, B, C.

Įvykio galimybės objektyvumo laipsnio skaitinis matas vadinamas atsitiktinio įvykio tikimybė.

Klasikinis apibrėžimasįvykio A tikimybė:

Įvykio A tikimybė lygi įvykiui A(m) palankių atvejų skaičiaus ir bendro atvejų skaičiaus (n) santykiui.

Statistinis apibrėžimas tikimybės

Santykinis įvykių dažnis– tai dalis faktiškai atliktų bandymų, kurių atveju A pasirodė W=P*(A)= m/n. Tai yra eksperimentinė charakteristika, kur m yra eksperimentų, kurių metu atsirado įvykis A, skaičius; n yra visų atliktų eksperimentų skaičius.

Įvykio tikimybė yra skaičius, aplink kurį tam tikro įvykio dažnio reikšmės sugrupuojamos į įvairias daugelio testų serijas P(A)=.

Renginiai vadinami nesuderinamas, jei vieno iš jų atsiradimas neleidžia atsirasti kitam. Priešingu atveju įvykiai yra jungtis.

Suma du įvykiai yra įvykis, kurio metu įvyksta bent vienas iš šių įvykių (A arba B).

Jei A ir B jungtisįvykius, tada jų suma A+B rodo įvykio A arba B įvykį, arba abu įvykius kartu.

Jei A ir B nesuderinamasįvykius, tada suma A+B reiškia įvykio A arba įvykio B įvykį.

2. Priklausomų ir nepriklausomų įvykių samprata. Sąlyginė tikimybė, tikimybių daugybos dėsnis (teorema). Bayes formulė.

Įvykis B vadinamas nepriklausomas nuo įvykio A, jei įvykio A įvykimas nekeičia įvykio B tikimybės. Kelių įvykių tikimybė nepriklausomasįvykiai yra lygūs šių tikimybių sandaugai:

P(AB) = P(A)*P(B)

Už priklausomasįvykiai:

P(AB) = P(A)*P(B/A).

Dviejų įvykių tikimybė yra lygi vieno iš jų tikimybės ir kito sąlyginės tikimybės sandaugai, nustatytai darant prielaidą, kad įvyko pirmasis įvykis.

Sąlyginė tikimybėįvykis B yra įvykio B tikimybė, atsižvelgiant į tai, kad įvyko A įvykis. Žymima P(V/A)

Darbas du įvykiai yra įvykis, susidedantis iš šių įvykių (A ir B) bendro įvykio.

Bayes formulė naudojama atsitiktiniams įvykiams iš naujo įvertinti

P(H/A) = (P(H)*P(A/H))/P(A)

P(H) – išankstinė įvykio H tikimybė

P(H/A) – užpakalinė hipotezės H tikimybė, jei įvykis A jau įvyko

P(A/H) – ekspertinis vertinimas

P(A) – suminė įvykio A tikimybė

3. Diskrečiųjų ir nuolatinių atsitiktinių dydžių pasiskirstymas ir jų charakteristikos: matematinė tikėtis, sklaida, standartinis nuokrypis. Nepertraukiamų atsitiktinių dydžių normaliojo skirstinio dėsnis.

Atsitiktinis kintamasis yra dydis, kuris bandymo rezultatas, priklausomai nuo atvejo, įgyja vieną iš galimų daugelio verčių.

Diskretus atsitiktinis dydis– tai yra atsitiktinis kintamasis, kai jis įgauna vieną, izoliuotą, skaičiuojamą reikšmių rinkinį.

Nuolatinis atsitiktinis dydis yra atsitiktinis kintamasis, kuris paima bet kokias reikšmes iš tam tikro intervalo. Nuolatinio atsitiktinio dydžio samprata atsiranda atliekant matavimus.

Dėl diskretiško atsitiktinis dydis, paskirstymo dėsnį galima nurodyti formoje lenteles, analitiškai (formulės pavidalu) ir grafiškai.

Lentelė– tai paprasčiausia paskirstymo dėsnio patikslinimo forma

Reikalavimai:

diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams

Analitinė:

1)F(x)=P(X

Pasiskirstymo funkcija = kaupiamoji pasiskirstymo funkcija. Diskretiesiems ir nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams.

2) f(x) = F'(x)

Tikimybių tankio funkcija = diferencinio pasiskirstymo funkcija tik nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui.

Grafika:

Sąlygos: 1) 0≤F(x)≤1

2) nemažėjantis diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams

S-va: 1) f(x)≥0 P(x)=

2) plotas S=1

nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams

Specifikacijos:

1.matematinis lūkestis – vidutinis labiausiai tikėtinas įvykis

Diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams.

Dėl nuolatinių atsitiktinių dydžių.

2) Dispersija – sklaida aplink matematinį lūkestį

Diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams:

D(x)=x i -M(x)) 2 *p i

Ištisiniams atsitiktiniams dydžiams:

D(x)=x-M(x)) 2 *f(x)dx

3) Standartinis nuokrypis:

σ(x)=√(D(x))

σ – standartinis nuokrypis arba standartas

x yra jo dispersijos kvadratinės šaknies aritmetinė reikšmė

Normaliojo skirstymo dėsnis (NDL) – Gauso dėsnis

NZR yra ištisinio atsitiktinio dydžio tikimybių mažėjimas, kuris apibūdinamas diferencine funkcija

Pirmas, pats natūraliausias tikimybinio samprotavimo žingsnis yra toks: jei turite kokį nors kintamąjį, kuris įgauna reikšmes atsitiktinai, tuomet norėtumėte sužinoti, su kokiomis tikimybėmis tas kintamasis įgauna tam tikras reikšmes. Šių tikimybių visuma nurodo tikimybių skirstinį. Pavyzdžiui, duotas kauliukas, galite a priori darykime prielaidą, kad su lygiomis 1/6 tikimybėmis jis kris ant bet kurio krašto. Ir tai atsitinka, jei kaulas yra simetriškas. Jei kauliukas yra asimetriškas, tuomet remiantis eksperimentiniais duomenimis galima nustatyti didesnę tikimybę tiems veidams, kurie iškrenta dažniau, o mažesnes – tiems, kurie iškrenta rečiau. Jei koks nors veidas visai nepasirodo, tada jam galima priskirti tikimybę 0. Tai paprasčiausias tikimybinis dėsnis, kuriuo galima apibūdinti kauliuko metimo rezultatus. Žinoma, tai itin paprastas pavyzdys, tačiau panašių problemų kyla, pavyzdžiui, atliekant aktuarinius skaičiavimus, kai reali rizika išduodant draudimo liudijimą apskaičiuojama remiantis realiais duomenimis.

Šiame skyriuje apžvelgsime dažniausiai praktikoje atsirandančius tikimybinius dėsnius.

Šių skirstinių grafikus galima lengvai nubraižyti STATISTIKA.

Normalus pasiskirstymas

Normalusis tikimybių skirstinys ypač dažnai naudojamas statistikoje. Normalus pasiskirstymas yra geras realaus pasaulio reiškinių modelis, kuriame:

1) yra didelė tendencija, kad duomenys telkiasi aplink centrą;

2) vienodai tikėtini teigiami ir neigiami nukrypimai nuo centro;

3) nukrypimų dažnis greitai krenta, kai nukrypimai nuo centro tampa dideli.

Mechanizmas, kuriuo grindžiamas normalusis skirstinys, paaiškintas naudojant vadinamąją centrinės ribos teoremą, gali būti vaizdžiai apibūdintas taip. Įsivaizduokite, kad turite žiedadulkių dalelių, kurias atsitiktinai įmetėte į stiklinę vandens. Žvelgdami į vieną dalelę po mikroskopu, pamatysite nuostabų reiškinį – dalelė juda. Žinoma, taip nutinka todėl, kad vandens molekulės juda ir savo judėjimą perduoda suspenduotoms žiedadulkių dalelėms.

Bet kaip tiksliai vyksta judėjimas? Čia įdomesnis klausimas. Ir šis judėjimas yra labai keistas!

Yra be galo daug nepriklausomų įtakų atskiroms žiedadulkių dalelėms vandens molekulių poveikio pavidalu, dėl kurių dalelė juda labai keista trajektorija. Žiūrint į mikroskopą, šis judesys primena pakartotinai ir chaotiškai nutrūkstamą liniją. Šių kinkų neįmanoma numatyti, juose nėra modelio, kuris tiksliai atitinka chaotišką molekulių poveikį dalelei. Pakibusioji dalelė, atsitiktiniu laiko momentu patyrusi vandens molekulės smūgį, pakeičia savo judėjimo kryptį, po to kurį laiką juda pagal inerciją, tada vėl patenka į kitos molekulės poveikį ir pan. Nuostabus biliardas pasirodo vandens stiklinėje!

Kadangi molekulių judėjimas turi atsitiktinę kryptį ir greitį, trajektorijos kinkų dydis ir kryptis taip pat yra visiškai atsitiktiniai ir nenuspėjami. Šis nuostabus reiškinys, vadinamas Browno judesiu, atrastas XIX amžiuje, suteikia mums daug pamąstymų.

Jeigu įvesime tinkamą sistemą ir pažymėsime dalelės koordinates tam tikrais laiko momentais, tai gausime normalųjį dėsnį. Tiksliau, žiedadulkių dalelių poslinkiai, atsirandantys dėl molekulinio poveikio, paklus įprastam dėsniui.

Pirmą kartą tokios dalelės judėjimo dėsnį, vadinamą Brownianu, fiziniu griežtumo lygiu aprašė A. Einšteinas. Tada Lenževanas sukūrė paprastesnį ir intuityvesnį požiūrį.

XX amžiaus matematikai šiai teorijai skyrė savo geriausius puslapius, o pirmasis žingsnis buvo žengtas prieš 300 metų, kai buvo atrasta paprasčiausia centrinės ribos teoremos versija.

Tikimybių teorijoje centrinė ribos teorema, iš pradžių žinoma dar XVII amžiuje suformuluojant Moivre'ą ir Laplasą, kaip garsiojo J. Bernoulli (1654-1705) didelių skaičių dėsnio plėtrą (žr. J. Bernoulli (1713)). , Ars Conjectandi), šiuo metu yra itin išvystytas ir pasiekė savo aukštumas. šiuolaikiniame nekintamumo principu, kurio kūrime reikšmingą vaidmenį suvaidino rusų matematikos mokykla. Būtent šiuo principu Brauno dalelės judėjimas randa savo griežtą matematinį paaiškinimą.

Idėja ta, kad susumavus daug nepriklausomų dydžių (molekulių susidūrimai su žiedadulkių dalelėmis), tam tikromis pagrįstomis sąlygomis gaunami normaliai pasiskirstę dydžiai. Ir tai vyksta nepriklausomai, tai yra, nekintant, nuo pradinių reikšmių pasiskirstymo. Kitaip tariant, jei tam tikrą kintamąjį įtakoja daug veiksnių, šie poveikiai yra nepriklausomi, santykinai nedideli ir sumuojasi vienas su kitu, tada gauta reikšmė turi normalųjį pasiskirstymą.

Pavyzdžiui, beveik be galo daug veiksnių lemia žmogaus svorį (tūkstančiai genų, polinkis, ligos ir kt.). Taigi būtų galima tikėtis normalaus svorio pasiskirstymo visų asmenų populiacijoje.

Jei esate finansininkas ir žaidžiate akcijų rinkoje, tuomet, žinoma, žinote atvejų, kai akcijų kainos elgiasi kaip Brauno dalelės, patiriančios chaotišką daugelio veiksnių poveikį.

Formaliai normalaus pasiskirstymo tankis parašytas taip:

kur a ir õ 2 yra dėsnio parametrai, atitinkamai interpretuojami kaip duoto atsitiktinio dydžio vidurkis ir dispersija (dėl ypatingo normaliojo skirstinio vaidmens jo tankio funkcijai ir pasiskirstymo funkcijai žymėti naudosime specialius simbolius). Vizualiai normalaus tankio grafikas yra garsioji varpo formos kreivė.

Atitinkama normalaus atsitiktinio dydžio (a,õ 2) pasiskirstymo funkcija žymima Ф(x; a,õ 2) ir pateikiama ryšiu:

Normalusis dėsnis, kurio parametrai a = 0 ir õ 2 = 1, vadinamas standartiniu.

Atvirkštinė standartinio normaliojo skirstinio funkcija, taikoma z reikšmei, 0

Norėdami apskaičiuoti z iš x ir atvirkščiai, naudokite STATISTICA tikimybių skaičiuoklę.

Pagrindinės įprasto įstatymo ypatybės:

Vidurkis, režimas, mediana: E=x mod =x med =a;

Sklaida: D=õ 2 ;

Asimetrija:

Perteklius:

Iš formulių aišku, kad normalusis skirstinys apibūdinamas dviem parametrais:

a - vidurkis - vidutinis;

õ - standartinis nuokrypis - standartinis nuokrypis, skaitykite: „sigma“.

Kartais su standartinis nuokrypis vadinamas standartiniu nuokrypiu, bet tai jau pasenusi terminija.

Štai keletas naudingų faktų apie normalųjį pasiskirstymą.

Vidutinė vertė nustato tankio vietos matą. Normaliojo skirstinio tankis yra simetriškas vidurkio atžvilgiu. Normaliojo skirstinio vidurkis sutampa su mediana ir moda (žr. grafikus).

Normaliojo pasiskirstymo tankis su dispersija 1 ir vidurkiu 1

Normalaus pasiskirstymo tankis, kai vidurkis 0 ir dispersija 0,01

Normaliojo pasiskirstymo tankis, kai vidurkis 0 ir dispersija 4

Didėjant dispersijai, normalaus pasiskirstymo tankis išsiskleidžia arba plinta išilgai OX ašies, kai dispersija mažėja, ji, priešingai, susitraukia, susitelkdama aplink vieną tašką – didžiausios vertės tašką, kuris sutampa su vidutine verte; . Ribiniu nulinės dispersijos atveju atsitiktinis dydis išsigimsta ir įgauna vieną reikšmę, lygią vidurkiui.

Naudinga žinoti 2 ir 3 sigmų arba 2 ir 3 standartinių nuokrypių taisykles, kurios yra susijusios su normaliuoju pasiskirstymu ir naudojamos įvairiose srityse. Šių taisyklių prasmė labai paprasta.

Jei nuo vidutinio arba, kas yra tas pats, nuo normalaus skirstinio maksimalaus tankio taško, atitinkamai į dešinę ir į kairę dedame du ir tris standartinius nuokrypius (2 ir 3 sigmas), tada plotas po normalaus tankio grafiku, apskaičiuotas pagal šį intervalą, bus atitinkamai lygus 95,45% ir 99,73% viso ploto po grafiku (patikrinkite STATISTICA tikimybių skaičiuoklėje!).

Kitaip tariant, jis gali būti išreikštas taip: 95,45% ir 99,73% visų nepriklausomų stebėjimų normalioje populiacijoje, pavyzdžiui, dalies dydis ar akcijų kaina, yra 2 ir 3 standartinių nuokrypių nuo vidurkio ribose.

Vienodas paskirstymas

Vienodas paskirstymas yra naudingas aprašant kintamuosius, kurių kiekviena reikšmė yra vienodai tikėtina, kitaip tariant, kintamojo reikšmės yra tolygiai paskirstytos tam tikram regionui.

Žemiau pateikiamos vienodo atsitiktinio dydžio tankio ir pasiskirstymo funkcijos formulės, imant reikšmes intervale [a, b].

Iš šių formulių nesunku suprasti, kad tikimybė, kad vienodas atsitiktinis kintamasis paims reikšmes iš aibės [c, d] [a, b], lygus (d – c)/(b – a).

Padėkime a=0,b=1. Žemiau pateikiamas vienodo tikimybės tankio grafikas, kurio centras yra segmentas.

Vienodo įstatymo skaitinės charakteristikos:

Eksponentinis pasiskirstymas

Atsiranda įvykių, kuriuos kasdienėje kalboje galima pavadinti retais. Jei T yra laikas tarp retų įvykių, kurių intensyvumas vidutiniškai pasireiškia X, tada reikšmė
T turi eksponentinį skirstinį su parametru (lambda). Eksponentinis pasiskirstymas dažnai naudojamas apibūdinti intervalus tarp nuoseklių atsitiktinių įvykių, pvz., intervalus tarp apsilankymų nepopuliarioje svetainėje, nes šie apsilankymai yra reti įvykiai.

Šis paskirstymas turi labai įdomią savybę, kad nėra poveikio, arba, kaip jie taip pat sako, Markovo savybę garsaus rusų matematiko A. A. Markovo garbei, kurią galima paaiškinti taip. Jei pasiskirstymas tarp tam tikrų įvykių momentų yra orientacinis, tada pasiskirstymas skaičiuojamas nuo bet kurio momento t iki kito įvykio taip pat turi eksponentinį skirstinį (su tuo pačiu parametru).

Kitaip tariant, retų įvykių sraute kito lankytojo laukimo laikas visada pasiskirsto eksponentiškai, nepaisant to, kiek laiko jau laukėte jo.

Eksponentinis skirstinys yra susijęs su Puasono skirstiniu: vienetiniame laiko intervale įvykių, tarp kurių intervalai yra nepriklausomi ir pasiskirstę eksponentiškai, skaičius turi Puasono skirstinį. Jei intervalai tarp apsilankymų svetainėje yra pasiskirstę eksponentinį, tai apsilankymų skaičius, pavyzdžiui, per valandą, paskirstomas pagal Puasono dėsnį.

Eksponentinis skirstinys yra ypatingas Weibull skirstinio atvejis.

Jei laikas yra ne tolydis, o diskretus, tai eksponentinės skirstinio analogas yra geometrinis skirstinys.

Eksponentinis pasiskirstymo tankis apibūdinamas formule:

Šis skirstinys turi tik vieną parametrą, kuris lemia jo charakteristikas.

Eksponentinio pasiskirstymo tankio grafikas atrodo taip:

Pagrindinės skaitinės eksponentinio skirstinio charakteristikos:

Erlang platinimas

Šis nuolatinis pasiskirstymas yra orientuotas į (0,1) ir jo tankis:

Lūkesčiai ir dispersija yra atitinkamai vienodi

Erlango paskirstymas pavadintas A. Erlango vardu, kuris pirmą kartą panaudojo jį eilių ir telefonijos teorijos uždaviniuose.

Erlango skirstinys su parametrais µ ir n yra n nepriklausomų, vienodai paskirstytų atsitiktinių dydžių, kurių kiekvienas turi eksponentinį skirstinį su parametru nµ, sumos skirstinys.

At n = 1 Erlang skirstinys yra toks pat kaip eksponentinis arba eksponentinis skirstinys.

Laplaso pasiskirstymas

Laplaso tankio funkcija arba dvigubas eksponentinis, kaip ji dar vadinama, naudojama, pavyzdžiui, apibūdinti klaidų pasiskirstymą regresijos modeliuose. Žvelgdami į šio skirstinio grafiką pamatysite, kad jis susideda iš dviejų eksponentinių skirstinių, simetriškų OY ašiai.

Jei padėties parametras yra 0, Laplaso pasiskirstymo tankio funkcija yra tokia:

Pagrindinės šio pasiskirstymo įstatymo skaitinės charakteristikos, darant prielaidą, kad padėties parametras yra nulis, yra šios:

Apskritai Laplaso pasiskirstymo tankis turi tokią formą:

a yra skirstinio vidurkis; b - mastelio parametras; e – Eilerio skaičius (2,71...).

Gama pasiskirstymas

Eksponentinio skirstinio tankis turi režimą taške 0, ir tai kartais yra nepatogu praktiniam pritaikymui. Daugelyje pavyzdžių iš anksto žinoma, kad nagrinėjamo atsitiktinio dydžio režimas nėra lygus 0, pavyzdžiui, intervalai tarp pirkėjo atvykimo į elektroninės prekybos parduotuvę ar apsilankymų svetainėje turi ryškų režimą. Tokiems įvykiams modeliuoti naudojamas gama skirstinys.

Gama pasiskirstymo tankis turi tokią formą:

kur Г yra Eulerio Г funkcija, a > 0 yra „formos“ parametras, o b > 0 yra mastelio parametras.

Konkrečiu atveju turime Erlango skirstinį ir eksponentinį skirstinį.

Pagrindinės gama pasiskirstymo charakteristikos:

Žemiau yra du gama tankio grafikai, kurių skalės parametras yra 1, o formos parametrai yra 3 ir 5.

Naudinga gama skirstinio savybė: bet kokio nepriklausomų gama paskirstytų atsitiktinių dydžių (su tuo pačiu skalės parametru b) suma

(a l ,b) + (a 2 ,b) + --- +(a n ,b) taip pat paklūsta gama skirstiniui, bet su parametrais a 1 + a 2 + + a n ir b.

Lognormalus pasiskirstymas

Atsitiktinis dydis h vadinamas logaritminiu normaliuoju arba lognormaliu, jei jo natūraliajam logaritmui (lnh) taikomas normalusis skirstymo dėsnis.

Lognormalus skirstinys naudojamas, pavyzdžiui, modeliuojant tokius kintamuosius kaip pajamos, jaunavedžių amžius arba leistinas nuokrypis nuo maiste esančių kenksmingų medžiagų standarto.

Taigi, jei vertė x turi normalųjį skirstinį, tada reikšmę y = e x turi lognormalųjį skirstinį.

Jei normaliąją reikšmę pakeičiate eksponento laipsniu, galite lengvai suprasti, kad lognormali reikšmė yra pakartotinio nepriklausomų kintamųjų dauginimo rezultatas, kaip ir įprastas atsitiktinis kintamasis yra pakartotinio sumavimo rezultatas.

Lognormalaus pasiskirstymo tankis turi tokią formą:

Pagrindinės lognormaliojo skirstinio charakteristikos:

Chi kvadrato skirstinys

M nepriklausomų normaliųjų kintamųjų, kurių vidurkis 0 ir dispersija 1, kvadratų suma turi chi kvadrato skirstinį su m laisvės laipsnių. Šis skirstinys dažniausiai naudojamas duomenų analizei.

Formaliai gerai kvadratinio skirstinio tankis su m laisvės laipsniais turi tokią formą:

Už neigiamą x tankis tampa 0.

Pagrindinės skaitinės chi kvadrato skirstinio charakteristikos:

Tankio grafikas parodytas paveikslėlyje žemiau:

Binominis skirstinys

Binominis skirstinys yra svarbiausias diskretusis skirstinys, kuris sutelktas vos keliuose taškuose. Binominis skirstinys šiems taškams priskiria teigiamas tikimybes. Taigi binominis skirstinys skiriasi nuo tolydinių skirstinių (normaliojo, chi kvadrato ir kt.), kurie individualiai parinktiems taškams priskiria nulines tikimybes ir vadinami tolydžiomis.

Galite geriau suprasti dvinarį pasiskirstymą, atsižvelgdami į šį žaidimą.

Įsivaizduokite, kad metate monetą. Tegul yra tikimybė, kad herbas iškris p, o galvų nusileidimo tikimybė yra q = 1 - p (nagrinėjame patį bendriausią atvejį, kai moneta yra asimetriška, turi, pavyzdžiui, pasislinkusį svorio centrą - monetoje yra skylė).

Herbo nusileidimas laikomas sėkme, o uodega – nesėkme. Tada nubrėžtų galvų (arba uodegų) skaičius turi dvinarį pasiskirstymą.

Atkreipkite dėmesį, kad asimetriškų monetų ar netaisyklingų kauliukų svarstymas yra praktiškai naudingas. Kaip savo elegantiškoje knygoje „Tikimybių teorijos ir matematinės statistikos įvadinis kursas“ pažymėjo J. Neumannas, žmonės jau seniai spėjo, kad taškų dažnis ant kauliuko priklauso nuo paties kauliuko savybių ir gali būti dirbtinai keičiamas. Archeologai faraono kape aptiko dvi kauliukų poras: „sąžiningus“ - su vienoda tikimybe, kad visos pusės iškris, ir netikrus - su sąmoningu svorio centro poslinkiu, o tai padidino šešių iškritimo tikimybę.

Binominio skirstinio parametrai yra sėkmės tikimybė p (q = 1 - p) ir bandymų skaičius n.

Binominis skirstinys yra naudingas apibūdinant binominių įvykių pasiskirstymą, pvz., vyrų ir moterų skaičių atsitiktinai atrinktose įmonėse. Ypač svarbus yra dvinario skirstinio naudojimas žaidimo problemose.

Tiksli sėkmės tikimybės m formulė n bandymai parašyti taip:

p-sėkmės tikimybė

q lygus 1-p, q>=0, p+q==1

n- bandymų skaičius, m =0,1...m

Pagrindinės dvinario skirstinio charakteristikos:

Šio skirstinio grafikas įvairiems bandymų n skaičiams ir sėkmės tikimybei p turi tokią formą:

Binominis skirstinys yra susijęs su normaliuoju ir Puasono skirstiniais (žr. toliau); tam tikroms parametrų reikšmėms ir daugybei testų jis virsta šiais skirstiniais. Tai lengva parodyti naudojant STATISTICA.

Pavyzdžiui, atsižvelgiant į dvinario skirstinio grafiką su parametrais p = 0,7, n = 100 (žr. pav.), naudojome STATISTICA BASIC – matote, kad grafikas labai panašus į normalaus skirstinio tankį (tikrai taip!).

Dvejetainis pasiskirstymo grafikas su parametrais p=0,05, n=100 labai panašus į Puasono pasiskirstymo grafiką.

Kaip jau minėta, binominis skirstinys atsirado stebint paprasčiausią azartinį žaidimą – sąžiningos monetos metimą. Daugeliu atvejų šis modelis yra geras pirmasis apytikslis sudėtingesnių žaidimų ir atsitiktinių procesų, atsirandančių prekiaujant akcijomis, aproksimacija. Pastebėtina, kad daugelio sudėtingų procesų esmines ypatybes galima suprasti iš paprasto binominio modelio.

Pavyzdžiui, apsvarstykite šią situaciją.

Herbo praradimą pažymėkime kaip 1, o uodegos praradimą – minus 1 ir sudėsime laimėjimus bei nuostolius nuosekliais laiko momentais. Grafikai rodo tipines tokio žaidimo trajektorijas 1000 metimų, 5000 metimų ir 10 000 metimų. Atkreipkite dėmesį, kiek laiko trajektorija yra aukščiau arba žemiau nulio, kitaip tariant, laikas, per kurį vienas žaidėjas laimi visiškai sąžiningame žaidime, yra labai ilgas, o perėjimai nuo laimėjimo prie pralaimėjimo yra gana reti, ir tai sunku suderinti žaidime. nepasiruošęs protas, kuriam posakis „visiškai sąžiningas žaidimas“ skamba kaip magiškas burtas. Taigi, nors žaidimas yra sąžiningas savo sąlygomis, tipinės trajektorijos elgesys nėra teisingas ir nerodo pusiausvyros!

Žinoma, empiriškai šis faktas yra žinomas visiems žaidėjams, kai žaidėjui neleidžiama išeiti su laimėjimais, bet jis yra priverstas žaisti toliau.

Panagrinėkime metimų skaičių, per kuriuos vienas žaidėjas laimi (trajektorija virš 0), o antrasis pralaimi (trajektorija žemiau 0). Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad tokių metimų yra maždaug tiek pat. Tačiau (žr. įdomią knygą: Feller V. „Įvadas į tikimybių teoriją ir jos taikymą“. Maskva: Mir, 1984, p. 106) su 10 000 idealios monetos metimų (t. p = q = 0,5, n=10 000) tikimybė, kad viena iš šalių pirmauja daugiau nei 9930 bandymų, o antroji – mažiau nei 70, viršija 0,1.

Stebėtina, kad 10 000 sąžiningų monetų metimų žaidime tikimybė, kad vadovybė pasikeis daugiausiai 8 kartus, yra didesnė nei 0,14, o daugiau nei 78 vadovų pasikeitimų tikimybė yra maždaug 0,12.

Taigi, turime paradoksalią situaciją: simetriškame Bernulio eisenoje „bangos“ grafike tarp nuoseklių grįžimų į nulį (žr. grafikus) gali būti stebėtinai ilgos. Su tuo susijusi kita aplinkybė, būtent, kad už T n / n (laiko dalis, kai grafikas yra virš x ašies) mažiausiai tikėtinos vertės, artimos 1/2.

Matematikai atrado vadinamąjį arcsininį dėsnį, pagal kurį kiekvienam 0< а <1 вероятность неравенства , где Т n - число шагов, в течение которых первый игрок находится в выигрыше, стремится к

Arcino pasiskirstymas

Šis nuolatinis pasiskirstymas yra orientuotas į intervalą (0, 1) ir jo tankis:

Arkosinis pasiskirstymas yra susijęs su atsitiktiniu ėjimu. Tai yra laiko dalies, per kurią pirmasis žaidėjas laimi metęs simetrišką monetą, ty monetą, kurios tikimybė yra lygi, pasiskirstymas. S patenka ant herbo ir uodegos. Kitaip tokį žaidimą galima vertinti kaip atsitiktinį dalelės ėjimą, kuris, pradėdamas nuo nulio, vienodomis tikimybėmis atlieka pavienius šuolius į dešinę arba į kairę. Kadangi dalelių šuoliai – nukritusios galvos ar uodegos – yra vienodai tikėtini, toks ėjimas dažnai vadinamas simetrišku. Jei tikimybės būtų skirtingos, tada turėtume asimetrinį ėjimą.

Arkosinio pasiskirstymo tankio grafikas parodytas šiame paveikslėlyje:

Įdomiausia yra kokybinė grafiko interpretacija, iš kurios galima padaryti stebinančias išvadas apie pergalių ir pralaimėjimų seriją sąžiningame žaidime. Žvelgdami į grafiką matote, kad mažiausias tankis yra taške 1/2 "Na ir kas?!" - klausi tu. Bet jei pagalvosite apie šį pastebėjimą, jūsų nuostabai nebus ribų! Pasirodo, nors žaidimas apibrėžiamas kaip sąžiningas, jis iš tikrųjų nėra toks sąžiningas, kaip gali atrodyti iš pirmo žvilgsnio.

Simetrinės atsitiktinės trajektorijos, kuriose dalelė praleidžia vienodą laiką tiek teigiamoje, tiek neigiamoje pusašyje, ty į dešinę arba į kairę nuo nulio, yra būtent mažiausiai tikėtinos. Pereinant prie žaidėjų kalbos, galima teigti, kad metant simetrišką monetą, mažiausiai tikėtini žaidimai, kuriuose žaidėjai praleidžia vienodą laiką laimėdami ir pralaimėdami.

Priešingai, žaidimai, kuriuose vienas žaidėjas turi žymiai didesnę tikimybę laimėti, o kitas – pralaimėti, yra labiausiai tikėtini. Nuostabus paradoksas!

Apskaičiuoti tikimybę, kad laiko dalis t, per kurią pirmasis žaidėjas laimi, yra tarp t1 iki t2, reikalinga iš paskirstymo funkcijos reikšmės F(t2) atima paskirstymo funkcijos F(t1) reikšmę.

Formaliai gauname:

P(t1

Remiantis šiuo faktu, naudojant STATISTIKĄ galima apskaičiuoti, kad 10 000 žingsnių dalelė išlieka teigiamoje pusėje daugiau nei 9930 kartų su tikimybe 0,1, tai yra, grubiai tariant, tokia padėtis bus pastebėta bent vienu atveju. iš dešimties (nors iš pirmo žvilgsnio atrodo absurdiška; žr. nepaprastą Yu. V. Prokhorovo pastabą „Bernoulli's Rambler“ enciklopedijoje „Tikimybių ir matematinė statistika“, p. 42-43, M.: Didžioji rusų enciklopedija, 1999 m. ).

Neigiamas binominis skirstinys

Tai yra atskiras skirstinys, priskiriamas sveikiesiems skaičiams k = 0,1,2,... tikimybės:

p k =P(X=k)=C k r+k-1 p r (l-p) k ", kur 0<р<1,r>0.

Neigiamas binominis skirstinys randamas daugelyje programų.

Apskritai r > 0, neigiamas binominis skirstinys interpretuojamas kaip r-osios „sėkmės“ laukimo laiko pasiskirstymas Bernulio testo schemoje su „sėkmės“ tikimybe. p, pavyzdžiui, metimų skaičius, kurį reikia padaryti prieš nubrėžiant antrąją emblemą, tokiu atveju jis kartais vadinamas Paskalio skirstiniu ir yra atskiras gama skirstinio analogas.

At r = 1 neigiamas dvinario skirstinys sutampa su geometriniu skirstiniu.

Jei Y yra atsitiktinis kintamasis, turintis Puasono skirstinį su atsitiktiniu parametru, kuris savo ruožtu turi gama skirstinį su tankiu

Tada U turės neigiamą dvinarį skirstinį su parametrais;

Puasono pasiskirstymas

Puasono skirstinys kartais vadinamas retų įvykių pasiskirstymu. Kintamųjų, paskirstytų pagal Puasono dėsnį, pavyzdžiai: nelaimingų atsitikimų skaičius, gamybos proceso defektų skaičius ir kt. Puasono skirstinys apibrėžiamas formule:

Pagrindinės Puasono atsitiktinio dydžio charakteristikos:

Puasono skirstinys yra susijęs su eksponentiniu ir Bernulio skirstiniu.

Jei įvykių skaičius turi Puasono skirstinį, tada intervalai tarp įvykių turi eksponentinį arba eksponentinį pasiskirstymą.

Puasono pasiskirstymo grafikas:

Palyginkite Puasono skirstinio su 5 parametru grafiką su Bernulio skirstinio grafiku, kai p=q=0,5,n=100.

Pamatysite, kad grafikai yra labai panašūs. Bendru atveju yra toks modelis (žr., pavyzdžiui, puikią knygą: Shiryaev A.N. „Tikimybė“. Maskva: Nauka, p. 76): jei Bernoulli testuose n ima dideles reikšmes, o sėkmės tikimybė / ? yra santykinai mažas, todėl vidutinis pasisekimų skaičius (produktas ir nar) nėra nei mažas, nei didelis, tuomet Bernulio skirstinys su parametrais n, p gali būti pakeistas Puasono skirstiniu, kurio parametras = np.

Puasono skirstinys plačiai naudojamas praktikoje, pavyzdžiui, kokybės kontrolės lentelėse kaip retų įvykių pasiskirstymas.

Kaip kitą pavyzdį apsvarstykite šią problemą, susijusią su telefono linijomis ir paimtą iš praktikos (žr.: Feller V. Įvadas į tikimybių teoriją ir jos taikymą. Moscow: Mir, 1984, p. 205, taip pat Molina E. S. (1935)) Tikimybė inžinerijoje, Elektros inžinerija, 54, p. 423-427 „Bell Telefono sistemos techniniai leidiniai B-854“ Šią užduotį galima nesunkiai išversti į šiuolaikinę kalbą, pavyzdžiui, į mobiliojo ryšio kalbą – būtent tai ir kviečiami besidomintys skaitytojai.

Problema suformuluota taip. Tebūnie dvi telefono stotys – A ir B.

Telefono stotis A turi užtikrinti ryšį tarp 2000 abonentų ir stotis B. Ryšio kokybė turi būti tokia, kad tik 1 skambutis iš 100 lauktų, kol linija atsilaisvins.

Kyla klausimas: kiek telefono linijų reikia įrengti norint užtikrinti reikiamą ryšio kokybę? Akivaizdu, kad kvaila sukurti 2000 eilučių, nes daugelis jų ilgą laiką bus nemokamos. Iš intuityvių svarstymų aišku, kad, matyt, yra koks nors optimalus eilučių skaičius N. Kaip apskaičiuoti šį skaičių?

Pradėkime nuo tikroviško modelio, kuriame aprašomas abonento prieigos prie tinklo intensyvumas, atkreipiant dėmesį, kad modelio tikslumą, žinoma, galima patikrinti naudojant standartinius statistinius kriterijus.

Taigi, tarkime, kad kiekvienas abonentas linija naudojasi vidutiniškai 2 minutes per valandą, o abonentų ryšiai yra nepriklausomi (tačiau, kaip teisingai pažymi Felleris, pastarasis įvyksta nebent įvyksta koks nors įvykis, paliečiantis visus abonentus, pavyzdžiui, karas ar uraganas).

Tada turime 2000 Bernoulli bandymų (monetų metimų) arba tinklo jungčių su sėkmės tikimybe p=2/60=1/30.

Turime rasti tokį N, kad tikimybė, kad daugiau nei N vartotojų prisijungs prie tinklo vienu metu, neviršytų 0,01. Šiuos skaičiavimus nesunkiai galima išspręsti STATISTICA sistemoje.

Problemos sprendimas naudojant STATISTICA.

1 veiksmas. Atidarykite modulį Pagrindinė statistika. Sukurkite binoml.sta failą, kuriame yra 110 stebėjimų. Pavadinkite pirmąjį kintamąjį DVINOMINIS, antrasis kintamasis - NUODAI.

2 veiksmas. DVINOMINIS, atidarykite langą 1 kintamasis(žr. paveikslėlį). Lange įveskite formulę, kaip parodyta paveikslėlyje. Spustelėkite mygtuką Gerai.

3 veiksmas. Dukart spustelėkite pavadinimą NUODAI, atidarykite langą 2 kintamasis(žr. paveikslėlį)

Lange įveskite formulę, kaip parodyta paveikslėlyje. Atkreipkite dėmesį, kad Puasono pasiskirstymo parametrą apskaičiuojame naudodami formulę =n×p. Gerai.

Todėl = 2000 × 1/30. Spustelėkite mygtuką

STATISTIKA apskaičiuos tikimybes ir įrašys jas į sugeneruotą failą. 4 veiksmas.

Slinkite žemyn iki stebėjimo numerio 86. Pamatysite, kad 86 ar daugiau vienu metu esančių vartotojų iš 2000 tinklo vartotojų tikimybė per valandą yra 0,01347, jei naudojamas dvinario skirstinys.

Tikimybė, kad per valandą vienu metu dirba 86 ar daugiau žmonių iš 2000 tinklo vartotojų, yra 0,01293, naudojant Binominio skirstinio Puasono aproksimaciją.

Kadangi mums reikia ne didesnės nei 0,01 tikimybės, norint užtikrinti reikiamą ryšio kokybę, pakaks 87 eilučių.

Panašius rezultatus galima gauti naudojant įprastą binominio skirstinio aproksimaciją (žr. tai!).

Atkreipkite dėmesį, kad V. Felleris neturėjo STATISTICA sistemos ir naudojo lenteles dvinariams ir normaliajam skirstiniams.

Pasirodo, kad vartotojus suskirstant į grupes, norint pasiekti tą patį kokybės lygį, reikės papildomų 10 eilučių.

Taip pat galite atsižvelgti į tinklo ryšio intensyvumo pokyčius per dieną.

Geometrinis pasiskirstymas

Jei atliekami nepriklausomi Bernoulli testai ir skaičiuojamas bandymų skaičius iki kitos „sėkmės“, šis skaičius turi geometrinį pasiskirstymą. Taigi, jei metate monetą, metimų skaičius, kurį turite atlikti prieš pasirodant kitam herbui, atitinka geometrinį dėsnį.

Geometrinis pasiskirstymas nustatomas pagal formulę:

F(x) = p(1-p) x-1

p - sėkmės tikimybė, x = 1, 2,3...

Paskirstymo pavadinimas yra susijęs su geometrine progresija.

Taigi, geometrinis skirstinys nurodo tikimybę, kad sėkmė įvyko tam tikrame žingsnyje.

Geometrinis skirstinys yra diskretusis eksponentinės skirstinio analogas. Jei laikas kinta kvantais, tada sėkmės tikimybė kiekvienu laiko momentu apibūdinama geometriniu dėsniu. Jei laikas yra nenutrūkstamas, tada tikimybė apibūdinama eksponentiniu arba eksponentiniu dėsniu.

Hipergeometrinis pasiskirstymas

Tai yra diskretus atsitiktinio dydžio X tikimybių skirstinys, imant sveikąsias reikšmes m = 0, 1,2,...,n su tikimybėmis:

kur N, M ir n yra neneigiami sveikieji skaičiai, o M< N, n < N.

Hipergeometrinis pasiskirstymas paprastai siejamas su pasirinkimu be pakeitimo ir nustato, pavyzdžiui, tikimybę rasti tiksliai m juodų rutuliukų atsitiktinėje n dydžio imtyje iš populiacijos, kurioje yra N rutuliukų, įskaitant M juodą ir N - M baltą (žr. Pavyzdžiui, enciklopedija „Tikimybė“ ir matematinė statistika“, M.: Didžioji rusų enciklopedija, p. 144).

Hipergeometrinio skirstinio matematinė lūkestis nepriklauso nuo N ir sutampa su atitinkamo dvinario skirstinio matematine tikėtimi µ=np.

Hipergeometrinio skirstinio dispersija neviršija dvinario skirstinio dispersijos npq. Bet kokios eilės hipergeometrinio skirstinio momentais linkstama į atitinkamas dvinario skirstinio momentų vertes.

Šis pasiskirstymas labai dažnai pasitaiko kokybės kontrolės programose.

Polinominis skirstinys

Dauginaminis arba daugianario skirstinys natūraliai apibendrina skirstinį. Nors dvinario pasiskirstymas įvyksta, kai moneta metama su dviem rezultatais (galvomis arba ketera), o daugianario pasiskirstymas įvyksta, kai metamas kauliukas ir galimi daugiau nei du rezultatai. Formaliai tai yra bendras atsitiktinių dydžių X 1,...,X k tikimybių skirstinys, imant neneigiamas sveikųjų skaičių reikšmes n 1,...,n k, tenkinantis sąlygą n 1 + ... + n k = n, su tikimybėmis:

Pavadinimas „daugianominis skirstinys“ paaiškinamas tuo, kad daugianario tikimybės atsiranda plečiant daugianarį (p 1 + ... + p k) n

Beta platinimas

Beta paskirstymo tankis yra toks:

Standartinis beta pasiskirstymas yra orientuotas į intervalą nuo 0 iki 1. Naudojant tiesines transformacijas, beta vertė gali būti transformuojama taip, kad ji gautų reikšmes bet kuriame intervale.

Pagrindinės beta pasiskirstymo dydžio skaitinės charakteristikos:

Kraštutinių vertybių pasiskirstymas

Kraštutinių verčių pasiskirstymas (I tipas) turi tokios formos tankį:

Šis skirstinys kartais dar vadinamas kraštutinės vertės skirstiniu.

Ekstremalių verčių pasiskirstymas naudojamas modeliuojant ekstremalius įvykius, pavyzdžiui, potvynių lygius, sūkurių greitį, tam tikrų metų akcijų rinkos indeksų maksimumą ir kt.

Šis skirstinys naudojamas patikimumo teorijoje, pavyzdžiui, apibūdinant elektros grandinių gedimo laiką, taip pat atliekant aktuarinius skaičiavimus.

Rayleigh skirstiniai

Rayleigh skirstinio tankis yra toks:

kur b yra skalės parametras.

Rayleigh skirstinys sutelktas diapazone nuo 0 iki begalybės. Vietoj reikšmės 0, STATISTICA leidžia įvesti kitą slenksčio parametro reikšmę, kuri bus atimta iš pradinių duomenų prieš pritaikant Rayleigh skirstinį. Todėl slenksčio parametro reikšmė turi būti mažesnė už visas stebimas reikšmes.

Jei du kintamieji 1 ir 2 yra nepriklausomi vienas nuo kito ir paprastai yra pasiskirstę ta pačia dispersija, tada kintamasis turės Rayleigh paskirstymą.

Rayleigh skirstinys naudojamas, pavyzdžiui, šaudymo teorijoje.

Weibull paskirstymas

Weibull skirstinys pavadintas švedų mokslininko Waloddi Weibull vardu, kuris naudojo šį skirstinį apibūdindamas įvairių tipų gedimų laikus patikimumo teorijoje.

Formaliai Weibull pasiskirstymo tankis parašytas taip:

Kartais Weibull pasiskirstymo tankis taip pat rašomas taip:

B - skalės parametras;

C - formos parametras;

E yra Eilerio konstanta (2,718...).

Padėties parametras. Paprastai Weibull skirstinys yra sutelktas į pusiau ašį nuo 0 iki begalybės. Jei vietoj ribos 0 įvedame dažnai praktikoje reikalingą parametrą a, tai atsiranda vadinamasis trijų parametrų Veibulo skirstinys.

Weibull paskirstymas plačiai naudojamas patikimumo teorijoje ir draudime.

Kaip aprašyta aukščiau, eksponentinis pasiskirstymas dažnai naudojamas kaip laiko iki gedimo įvertinimo modelis, darant prielaidą, kad objekto gedimo tikimybė yra pastovi. Jei laikui bėgant gedimo tikimybė kinta, taikomas Weibull skirstinys.

At su =1 arba, kitoje parametrizacijoje, su Weibull skirstiniu, kaip galima nesunkiai matyti iš formulių, virsta eksponentiniu skirstiniu, o su - į Rayleigh skirstinį.

Weibull pasiskirstymo parametrams įvertinti buvo sukurti specialūs metodai (žr., pavyzdžiui, knygą: Lawless (1982) Statistical models and method for lifetime data, Belmont, CA: Lifetime Learning, kurioje aprašomi įvertinimo metodai, taip pat problemos, kylančios vertinant. padėties parametras trijų parametrų paskirstymui Weibull).

Dažnai atliekant patikimumo analizę reikia atsižvelgti į gedimo tikimybę per trumpą laiko tarpą po laiko momento t su sąlyga, kad iki šio momento t gedimas nepasitaikė.

Ši funkcija vadinama rizikos funkcija arba gedimų dažnio funkcija ir formaliai apibrėžiama taip:

H(t) – gedimo koeficiento funkcija arba rizikos funkcija momentu t;

f(t) - gedimo laikų pasiskirstymo tankis;

F(t) – gedimo laiko pasiskirstymo funkcija (tankio integralas per intervalą).

Apskritai gedimo koeficiento funkcija parašyta taip:

Kai rizikos funkcija lygi konstantai, kuri atitinka įprastą įrenginio veikimą (žr. formules).

Kai rizikos funkcija sumažėja, o tai atitinka įrenginio įjungimą.

Kai rizikos funkcija sumažėja, o tai atitinka įrenginio senėjimą. Tipinės rizikos funkcijos parodytos diagramoje.

Toliau pateikiami Veibulo tankio grafikai su įvairiais parametrais. Būtina atkreipti dėmesį į tris parametro a verčių diapazonus:

Pirmajame regione rizikos funkcija mažėja (koregavimo periodas), antrame regione rizikos funkcija lygi konstantai, trečiame – didėja.

Tai, kas buvo pasakyta, nesunkiai suprasite pasitelkę naujo automobilio pirkimo pavyzdį: pirmiausia yra automobilio adaptacijos laikotarpis, po to ilgas normalaus eksploatavimo laikotarpis, tada susidėvi automobilio dalys ir kyla jo gedimo pavojus. smarkiai padidėja.

Svarbu, kad visus veikimo laikotarpius būtų galima apibūdinti ta pačia paskirstymo šeima. Tai yra Weibull paskirstymo idėja.

Pateiksime pagrindines Weibull skirstinio skaitines charakteristikas.

Pareto paskirstymas

Įvairiose taikomosios statistikos problemose gana dažni yra vadinamieji sutrumpinti skirstiniai.

Pavyzdžiui, šis paskirstymas naudojamas draudime arba apmokestinant, kai palūkanos yra pajamos, kurios viršija tam tikrą vertę c 0

Pagrindinės Pareto skirstinio skaitinės charakteristikos:

Logistinis paskirstymas

Logistinis paskirstymas turi tankio funkciją:

A - padėties parametras;

B - skalės parametras;

E – Eulerio skaičius (2,71...).

Viešbučių T 2 paskirstymas

Šis nuolatinis pasiskirstymas, kurio centre yra intervalas (0, Г), turi tokį tankį:

kur parametrai n ir k, n >_k >_1, vadinami laisvės laipsniais.

At k = 1 Viešbutyje, P skirstinys sumažinamas iki Studento pasiskirstymo ir bet kuriam k >1 galima laikyti Stjudento skirstinio apibendrinimu į daugiamatį atvejį.

Viešbučių pasiskirstymas yra pagrįstas normaliuoju pasiskirstymu.

Tegul k-matmens atsitiktinis vektorius Y turi normalųjį skirstinį su nuliniu vidurkių vektoriumi ir kovariacijos matrica.

Apsvarstykime kiekį

kur atsitiktiniai vektoriai Z i yra nepriklausomi vienas nuo kito ir Y ir yra pasiskirstę taip pat kaip Y.

Tada atsitiktinis dydis T 2 =Y T S -1 Y turi T 2 -Hotelling skirstinį su n laisvės laipsnių (Y yra stulpelio vektorius, T yra transpozicijos operatorius).

kur yra atsitiktinis dydis t n turi Stjudento skirstinį su n laisvės laipsnių (žr. „Tikimybių ir matematinė statistika“, enciklopedija, p. 792).

Jei Y turi normalųjį skirstinį, kurio vidurkis skiriasi nuo nulio, tada vadinamas atitinkamas skirstinys ne centrinis Viešbučių T 2 pasiskirstymas su n laisvės laipsnių ir necentralumo parametru v.

Hotellingo T 2 skirstinys naudojamas matematinėje statistikoje toje pačioje situacijoje kaip ir Stjudento ^ skirstinys, bet tik daugiamačiu atveju. Jei stebėjimų X 1,..., X n rezultatai yra nepriklausomi, normaliai pasiskirstę atsitiktiniai vektoriai su vidurkių µ vektoriumi ir nevienetine kovariacijos matrica, tada statistika

turi Hotelling T 2 -paskirstymą su n – 1 laisvės laipsniai. Šis faktas yra viešbučių kriterijaus pagrindas.

STATISTICA, viešbučių testas pasiekiamas, pavyzdžiui, pagrindinės statistikos ir lentelių modulyje (žr. dialogo langą žemiau).

Maksvelo paskirstymas

Maksvelo skirstinys atsirado fizikoje aprašant idealių dujų molekulių greičių pasiskirstymą.

Šis nuolatinis pasiskirstymas yra orientuotas į (0, ) ir jo tankis:

Paskirstymo funkcija yra tokia:

čia Ф(x) yra standartinė normaliojo pasiskirstymo funkcija. Maksvelo skirstinys turi teigiamą iškrypimo koeficientą ir vieną modą taške (ty pasiskirstymas yra unimodalinis).

Maxwell paskirstymas turi bet kokios eilės pabaigos momentus; matematinis lūkestis ir dispersija yra atitinkamai lygūs ir

Maksvelo skirstinys natūraliai yra susijęs su normaliuoju pasiskirstymu.

Jei X 1, X 2, X 3 yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, kurių normalusis skirstinys su parametrais 0 ir õ 2, tai atsitiktinis dydis turi Maxwell paskirstymą. Taigi Maksvelo skirstinys gali būti laikomas atsitiktinio vektoriaus, kurio koordinatės Dekarto koordinačių sistemoje trimatėje erdvėje yra nepriklausomos ir normaliai pasiskirsčiusios su vidurkiu 0 ir dispersija õ 2, ilgio skirstiniu.

Cauchy pasiskirstymas

Šis nuostabus pasiskirstymas kartais neturi vidutinės vertės, nes jo tankis labai lėtai linkęs į nulį, kai x didėja absoliučia verte. Tokie skirstiniai vadinami sunkiaisiais skirstiniais. Jei jums reikia sugalvoti paskirstymą, kuris neturi vidurkio, nedelsdami pavadinkite jį Koši skirstiniu.

Koši skirstinys yra vienarūšis ir simetriškas režimo atžvilgiu, kuris yra ir mediana, ir turi formos tankio funkciją:

Kur c > 0 – skalės parametras ir a yra centrinis parametras, kuris vienu metu nustato režimo ir medianos reikšmes.

Tankio integralas, tai yra, pasiskirstymo funkcija, pateikiama santykiu:

Studentų paskirstymas

Anglų statistikas W. Gossetas, žinomas slapyvardžiu „Student“ ir savo karjerą pradėjęs nuo statistinio angliško alaus kokybės tyrimo, 1908 m. gavo tokį rezultatą. Leiskite x 0 , x 1 ,.., x m - nepriklausomi, (0, s 2) - normaliai paskirstyti atsitiktiniai dydžiai:

Šis paskirstymas, dabar žinomas kaip Studentų skirstymas (sutrumpintai kaip T(m) skirstinys, kur m yra laisvės laipsnių skaičius), yra garsiojo t testo, skirto palyginti dviejų populiacijų vidurkius, pagrindas.

Tankio funkcija f t (x) nepriklauso nuo atsitiktinių dydžių dispersijos õ 2 ir, be to, yra unimodalinis ir simetriškas taško x = 0 atžvilgiu.

Pagrindinės skaitinės Studentų pasiskirstymo charakteristikos:

T pasiskirstymas yra svarbus tais atvejais, kai svarstomi vidurkio įverčiai, o imties dispersija nežinoma. Šiuo atveju naudojama imties dispersija ir t skirstinys.

Esant dideliems laisvės laipsniams (didesniems nei 30), t skirstinys praktiškai sutampa su standartiniu normaliuoju skirstiniu.

T pasiskirstymo tankio funkcijos grafikas, didėjant laisvės laipsnių skaičiui, deformuojasi taip: smailė didėja, uodegos eina stačiau iki 0, o t pasiskirstymo tankio funkcijos grafikas atrodo suspaustas į šoną.

F-paskirstymas

Pasvarstykime m 1 + m 2 nepriklausomi ir (0, s 2) normaliai pasiskirstę dydžiai

ir įdėti

Akivaizdu, kad tas pats atsitiktinis kintamasis taip pat gali būti apibrėžtas kaip dviejų nepriklausomų ir tinkamai normalizuotų chi kvadrato paskirstytų kintamųjų santykis ir , tai yra

Žymus anglų statistikas R. Fišeris 1924 metais parodė, kad atsitiktinio dydžio F(m 1, m 2) tikimybės tankis pateikiamas funkcija:

kur Г(у) yra Eilerio gama funkcijos reikšmė. tašką y, o pats dėsnis vadinamas F skirstiniu, kai skaitiklio ir vardiklio laisvės laipsnių skaičiai yra lygūs atitinkamai m,1l m7

Pagrindinės skaitinės F skirstinio charakteristikos:

F skirstinys atsiranda atliekant diskriminacinę analizę, regresinę analizę, dispersinę analizę ir kitų tipų daugiamatę duomenų analizę.

Kaip žinoma, atsitiktinis kintamasis vadinamas kintamu dydžiu, kuris, priklausomai nuo atvejo, gali įgyti tam tikras reikšmes. Atsitiktiniai kintamieji žymimi lotyniškos abėcėlės didžiosiomis raidėmis (X, Y, Z), o jų reikšmės – atitinkamomis mažosiomis raidėmis (x, y, z). Atsitiktiniai kintamieji skirstomi į nenutrūkstamus (diskretuosius) ir tęstinius.

Diskretus atsitiktinis dydis yra atsitiktinis dydis, kuris ima tik baigtinę arba begalinę (skaičiuojamą) reikšmių rinkinį su tam tikromis nulinėmis tikimybėmis.

Diskretinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis yra funkcija, jungianti atsitiktinio dydžio reikšmes su atitinkamomis tikimybėmis. Paskirstymo dėsnį galima nurodyti vienu iš šių būdų.

1 . Paskirstymo dėsnį galima pateikti pagal lentelę:

kur λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) naudojant paskirstymo funkcijos F(x) , kuri kiekvienai reikšmei x nustato tikimybę, kad atsitiktinis dydis X įgis mažesnę nei x reikšmę, t.y. F(x) = P(X< x).

Funkcijos F(x) savybės

3 . Paskirstymo dėsnį galima nurodyti grafiškai – pasiskirstymo daugiakampis (daugiakampis) (žr. 3 uždavinį).

Atkreipkite dėmesį, kad norint išspręsti kai kurias problemas, nebūtina žinoti paskirstymo dėsnio. Kai kuriais atvejais pakanka žinoti vieną ar kelis skaičius, atspindinčius svarbiausias skirstymo dėsnio ypatybes. Tai gali būti skaičius, turintis atsitiktinio dydžio „vidutinę reikšmę“, arba skaičius, rodantis vidutinį atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo jo vidutinės vertės dydį.

Tokio tipo skaičiai vadinami atsitiktinio dydžio skaitinėmis charakteristikomis. :

• Pagrindinės diskretinio atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos Matematinis lūkestis (vidutinė reikšmė) diskretinio atsitiktinio dydžio.
  M(X)=Σ x i p i
• Binominiam skirstiniui M(X)=np, Puasono skirstiniui M(X)=λ Sklaida diskrečiųjų atsitiktinių dydžių D(X)=M2 arba D(X) = M(X 2)− 2
  . Skirtumas X–M(X) vadinamas atsitiktinio dydžio nuokrypiu nuo jo matematinio lūkesčio.
• Dvinominiam skirstiniui D(X)=npq, Puasono skirstiniui D(X)=λ Standartinis nuokrypis (standartinis nuokrypis).

σ(X)=√D(X)

Problemų sprendimo pavyzdžiai tema „Diskrečiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis“

1 užduotis.

Buvo išleista 1000 loterijos bilietų: 5 iš jų laimės 500 rublių, 10 laimės 100 rublių, 20 laimės 50 rublių, 50 laimės 10 rublių. Nustatykite atsitiktinio dydžio X – laimėjimai už bilietą – tikimybių pasiskirstymo dėsnį. Sprendimas.

Atsižvelgiant į problemos sąlygas, galimos šios atsitiktinio dydžio X reikšmės: 0, 10, 50, 100 ir 500.

Bilietų skaičius be laimėjimo yra 1000 – (5+10+20+50) = 915, tada P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Panašiai randame ir visas kitas tikimybes: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X) =500) = 5/1000=0,005. Pateikiame gautą dėsnį lentelės pavidalu:

Raskime matematinę reikšmės X lūkesčius: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

3 užduotis.

Buvo išleista 1000 loterijos bilietų: 5 iš jų laimės 500 rublių, 10 laimės 100 rublių, 20 laimės 50 rublių, 50 laimės 10 rublių. Nustatykite atsitiktinio dydžio X – laimėjimai už bilietą – tikimybių pasiskirstymo dėsnį. 1. Diskretus atsitiktinis kintamasis X = (nepavykusių elementų skaičius viename eksperimente) turi tokias galimas reikšmes: x 1 =0 (nė vienas įrenginio elementas nepavyko), x 2 =1 (vienas elementas nepavyko), x 3 =2 ( du elementai nepavyko ) ir x 4 =3 (trijų elementų nepavyko).

Elementų gedimai nepriklauso vienas nuo kito, kiekvieno elemento gedimo tikimybė yra vienoda, todėl taikytina Bernulio formulė . Atsižvelgiant į tai, kad pagal sąlygą n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, nustatome reikšmių tikimybes:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Patikrinkite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Taigi norimas X dvinario skirstinio dėsnis turi tokią formą:

Galimas x i reikšmes nubraižome išilgai abscisių ašies, o atitinkamas tikimybes p i išilgai ordinačių ašies. Sukonstruokime taškus M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Šiuos taškus sujungę tiesių linijų atkarpomis, gauname norimą skirstymo daugiakampį.

3. Raskime skirstinio funkciją F(x) = Р(Х

Funkcijos F(x) grafikas

4. Binominiam skirstiniui X:
- matematinė lūkestis M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersija D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standartinis nuokrypis σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.