Trigonometrinis ratas. „The Ultimate Guide“ (2019 m.)

Skaičių ratas yra vienetinis apskritimas, kurio taškai atitinka tam tikrus realiuosius skaičius.

Vienetinis apskritimas yra apskritimas, kurio spindulys yra 1.

Bendras skaičių apskritimo vaizdas.

1) Jo spindulys imamas matavimo vienetu.

2) Horizontalus ir vertikalus skersmuo padalija skaičių apskritimą į keturis ketvirčius. Jie atitinkamai vadinami pirmuoju, antruoju, trečiuoju ir ketvirtuoju ketvirčiu.

3) Horizontalus skersmuo žymimas AC, o A yra kraštutinė teisingai taškas.
Vertikalus skersmuo žymimas BD, o B yra aukščiausias taškas.
Atitinkamai:

pirmasis ketvirtis yra lankas AB

antrasis ketvirtis – lankas pr

trečiasis ketvirtis – lankinis kompaktinis diskas

ketvirtasis ketvirtis – lankas DA

4) Skaičių apskritimo pradžios taškas yra taškas A.

Skaičiavimas pagal skaičių apskritimą gali būti atliekamas pagal laikrodžio rodyklę arba prieš laikrodžio rodyklę.

Skaičiuojant nuo taško A prieš pagal laikrodžio rodyklę vadinama teigiama kryptimi.

Skaičiuojant nuo taško A Autorius vadinamas pagal laikrodžio rodyklę neigiama kryptis.

Skaičių apskritimas koordinačių plokštumoje.

Skaičių apskritimo spindulio centras atitinka pradžią (skaičius 0).

Horizontalus skersmuo atitinka ašį x, vertikali - ašis y.

Pradinis taškas Skaičių apskritimastee yra ant ašiesxir turi koordinates (1; 0).

Skaičių apskritimo pagrindinių taškų pavadinimai ir vietos:

Kaip atsiminti skaičių ratų pavadinimus.

Yra keletas paprastų modelių, kurie padės lengvai prisiminti pagrindinius skaičių apskritimo pavadinimus.

Prieš pradėdami, priminsime: skaičiavimas atliekamas teigiama kryptimi, tai yra nuo taško A (2π) prieš laikrodžio rodyklę.

1) Pradėkime nuo kraštinių taškų koordinačių ašyse.

Pradinis taškas yra 2π (dešinėje esantis ašies taškas X, lygus 1).

Kaip žinote, 2π yra apskritimo perimetras. Tai reiškia, kad pusė apskritimo yra 1π arba π. Ašis X padalija apskritimą lygiai per pusę. Atitinkamai, kairysis ašies taškas X lygus -1 vadinamas π.

Aukščiausias ašies taškas adresu, lygus 1, padalija viršutinį puslankį per pusę. Tai reiškia, kad jei puslankis yra π, tai pusė puslankio yra π/2.

Tuo pačiu metu π/2 taip pat yra ketvirtis apskritimo. Suskaičiuokime tris tokius ketvirčius nuo pirmo iki trečio – ir pateksime į žemiausią ašies tašką adresu, lygus -1. Bet jei jis apima tris ketvirčius, tada jo pavadinimas yra 3π/2.

2) Dabar pereikime prie likusių punktų. Atkreipkite dėmesį: visi priešingi taškai turi tą patį vardiklį - ir tai yra priešingi taškai ašies atžvilgiu adresu, tiek ašių centro atžvilgiu, tiek ašies atžvilgiu X. Tai padės mums sužinoti jų taškų reikšmes neįkišant.

Reikia tik atsiminti pirmojo ketvirčio taškų reikšmę: π/6, π/4 ir π/3. Ir tada mes „pamatysime“ keletą modelių:

- Ašies atžvilgiu adresu antrojo ketvirčio taškuose, priešingai nei pirmojo ketvirčio taškuose, skaitikliuose esantys skaičiai yra 1 mažesni už vardiklių dydį. Pavyzdžiui, paimkite tašką π/6. Jam priešingas taškas ašies atžvilgiu adresu taip pat turi 6 vardiklyje ir 5 skaitiklyje (1 mažiau). Tai yra, šio taško pavadinimas yra: 5π/6. Taškas, esantis priešais π/4, taip pat turi 4 vardiklyje ir 3 skaitiklyje (1 mažesnis už 4) – tai yra, tai yra taškas 3π/4.
Taškas, esantis priešais π/3, taip pat turi 3 vardiklyje ir 1 mažiau skaitiklyje: 2π/3.

- Koordinačių ašių centro atžvilgiu viskas yra atvirkščiai: priešingų taškų skaitikliuose esantys skaičiai (trečiajame ketvirtyje) yra 1 didesni už vardiklių reikšmę. Vėl paimkime tašką π/6. Jam priešingo taško centro atžvilgiu taip pat yra 6 vardiklyje, o skaitiklyje skaičius yra dar 1 - tai yra 7π/6.
Taškas, esantis priešais tašką π/4, taip pat turi 4 vardiklyje, o skaitiklyje skaičius yra dar 1: 5π/4.
Taškas, esantis priešais tašką π/3, taip pat turi 3 vardiklyje, o skaitiklyje skaičius yra dar 1: 4π/3.

- Ašies atžvilgiu X(ketvirtasis ketvirtis) reikalas sudėtingesnis. Čia prie vardiklio vertės reikia pridėti skaičių, kuris yra 1 mažesnis - ši suma bus lygi priešingo taško skaitiklio skaitinei daliai. Vėl pradėkime nuo π/6. Prie vardiklio reikšmės, lygios 6, pridėkime skaičių, kuris yra 1 mažesnis už šį skaičių – tai yra 5. Gauname: 6 + 5 = 11. Tai reiškia, kad jis yra priešingas ašiai X taško vardiklyje bus 6, o skaitiklyje - 11 – tai yra 11π/6.

Taškas π/4. Prie vardiklio reikšmės pridedame skaičių 1 mažesnį: 4 + 3 = 7. Tai reiškia, kad jis yra priešingas ašiai X taško vardiklyje yra 4, o skaitiklyje - 7 – tai yra 7π/4.
Taškas π/3. Vardiklis yra 3. Prie 3 pridedame mažesnį skaičių vienu – tai yra 2. Gauname 5. Tai reiškia, kad jam priešingo taško skaitiklyje yra 5 – ir tai yra taškas 5π/3.

3) Kitas ketvirčių vidurio taškų taškų modelis. Aišku, kad jų vardiklis yra 4. Atkreipkime dėmesį į skaitiklius. Pirmojo ketvirčio vidurio skaitiklis yra 1π (bet nėra įprasta rašyti 1). Antrojo ketvirčio vidurio skaitiklis yra 3π. Trečiojo ketvirčio vidurio skaitiklis yra 5π. Ketvirtojo ketvirčio vidurio skaitiklis yra 7π. Pasirodo, kad vidurinių ketvirčių skaitikliuose yra pirmieji keturi nelyginiai skaičiai didėjančia tvarka:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Tai taip pat labai paprasta. Kadangi visų ketvirčių vidurio taškai vardiklyje turi 4, mes jau žinome jų pilnus pavadinimus: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Skaičių apskritimo ypatybės. Palyginimas su skaičių eilute.

Kaip žinote, skaičių eilutėje kiekvienas taškas atitinka vieną skaičių. Pavyzdžiui, jei tiesės taškas A lygus 3, tai jis nebegali būti lygus jokiam kitam skaičiui.

Skaičių apskritimas skiriasi, nes tai apskritimas. Pavyzdžiui, norėdami patekti iš apskritimo taško A į tašką M, galite tai padaryti tarsi tiesia linija (tik eidami lanką) arba galite apeiti visą apskritimą ir tada patekti į tašką M. Išvada:

Tegul taškas M lygus kokiam nors skaičiui t. Kaip žinome, apskritimo perimetras yra 2π. Tai reiškia, kad tašką t ant apskritimo galime užrašyti dviem būdais: t arba t + 2π. Tai lygiavertės vertės.
Tai yra, t = t + 2π. Skirtumas tik tas, kad pirmuoju atveju tu iš karto atėjai į tašką M, nesudarydamas apskritimo, o antruoju atveju apsukai, bet atsidūrei tame pačiame taške M. Tokių galite padaryti du, tris ar du šimtus. apskritimai . Jei apskritimų skaičių pažymėsime raide n, tada gauname naują išraišką:
t = t + 2π n.

Taigi formulė:

savivaldybės švietimo įstaiga 1 vidurinė mokykla

KHMAO-Jugra

Pamokos rengimas

10 klasėje

apie algebrą ir analizės principus

Nadežda Michailovna

matematikos mokytojas

Sovetskis

Tema: TRIGONOMETRIJOS

Trigonometrinės funkcijos

Trigonometrinės lygtys

Trigonometrinės transformacijos

Skaičių apskritimas įjungtas

koordinačių plokštuma

Dalykas dėstomas naudojant blokinę-modulinę technologiją.

Ši pamoka yra viena iš naujos medžiagos mokymosi pamokų. Todėl pagrindinis pamokos laikas skiriamas naujos medžiagos mokymuisi, o didžiąją dalį šio darbo mokiniai atlieka savarankiškai.

Mokinių veiklos rūšys pamokoje: frontalus, savarankiškas ir individualus darbas.

Kadangi pamokoje reikia atlikti daug darbo ir stebėti mokinių veiklos rezultatus, žinių atnaujinimo ir naujos medžiagos mokymosi etapuose naudojama interaktyvi lenta. Norint vizualiau pavaizduoti skaičių apskritimo perdangą koordinačių plokštumoje ir apmąstyti mokomosios medžiagos turinį mokymo sesijos pabaigoje, taip pat naudojami Power Point pristatymai.

edukacinis

Išmokite savarankiškai įgyti žinių

auklėjimas

Ugdykite santūrumą, atsakingumą, darbštumą

besivystantis

Išmokite analizuoti, lyginti, kurti analogijas

Pamokos planas:

1) Organizacinis momentas, tema, 2 pamokos tikslas min.

2) Žinių atnaujinimas 4 min.

3) Naujos medžiagos mokymasis 30 min.

4) 3 atspindys min.

5) 1 pamokos santrauka min.

Organizacinis momentas

Skaičių ratas

koordinačių plokštuma

apsvarstykite skaičių apskritimą koordinačių plokštumoje; kartu raskite dviejų taškų koordinates; tada savarankiškai sudaryti kitų pagrindinių apskritimo taškų koordinačių verčių lenteles;

patikrinkite savo gebėjimą rasti skaičių apskritimo taškų koordinates.

Žinių atnaujinimas

9 klasės geometrijos kurse mokėmės taip

medžiaga:

Vienetiniame puslankiu (R = 1) laikėme tašką M su koordinatėmis X Ir adresu

Ištraukos iš geometrijos vadovėlio

Išmokęs rasti vienetinio apskritimo taško koordinates,

Lengvai pereikime prie kitų jų pavadinimų: sinusų ir kosinusų, t.y.

prie pagrindinės temos – TRIGONOMETRIJOS

Pirmoji užduotis pateikiama interaktyvioje lentoje, kur mokiniai turi padėti taškus ir juos atitinkančius skaičius skaičių apskritimo vietose, vilkdami juos pirštu ant lentos.

1 užduotis

Gavome rezultatą:

Antroji užduotis pateikiama interaktyvioje lentoje. Atsakymai uždaromi „užuolaida“ ir atskleidžiami juos sprendžiant.

2 užduotis

Užduoties rezultatas:

Naujos medžiagos mokymasis

Paimkime koordinačių sistemą ir padėkite ant jos skaičių apskritimą, kad jų centrai sutaptų, o apskritimo horizontalus spindulys sutaptų su teigiama OX ašies kryptimi (Power Point pristatymas)

Dėl to turime taškus, kurie priklauso ir skaičių apskritimui, ir koordinačių plokštumai. Panagrinėkime vieną iš šių punktų, pavyzdžiui, tašką M (Power Point pristatymas)

M(t)

Nubraižykime šio taško koordinates

Vienetiniame apskritime raskime mus dominančių taškų koordinates, kurias anksčiau nagrinėjome vardikliais 4, 3, 6 ir skaitikliu π.

Raskite vienetinio apskritimo taško koordinates, atitinkančias skaičių ir atitinkamai kampą

3 užduotis

(Power Point pristatymas)

Pavaizduokime taško spindulį ir koordinates

Pagal Pitagoro teoremą turime X 2+ x 2 = 12

Tačiau trikampio kampai yra π/4 = 45° , Tai reiškia, kad trikampis yra lygiašonis ir x = y

Raskite vienetinio apskritimo taško koordinates, atitinkančias skaičius (kampus)

4 užduotis

(Power Point pristatymas)

Reiškia adresu= 1/2

Pagal Pitagoro teoremą

Trikampiai yra lygūs hipotenuzėje

ir smailus kampas, o tai reiškia, kad jų kojos yra lygios

Ankstesnėje pamokoje mokiniai gavo lapus su skaičių apskritimų ruošiniais ir įvairiomis lentelėmis.

Užpildykite pirmąją lentelę.

5 užduotis

(interaktyvi lenta)

Pirmiausia į lentelę įveskite apskritimo taškus, kurie yra 2 ir 4 kartotiniai

Rezultato tikrinimas:

(interaktyvi lenta)

Šių taškų ordinates ir abscises užpildykite lentelėje patys, atsižvelgdami į koordinačių ženklus, priklausomai nuo to, kuriame ketvirtyje yra taškas, naudodamiesi aukščiau gautais atkarpų ilgiais taškų koordinatėms.

6 užduotis

Vienas iš mokinių įvardija gautus rezultatus, likusieji pasitikrina savo atsakymais, tada sėkmingai patikslinus rezultatus (kadangi šios lentelės vėliau bus naudojamos darbe ugdant įgūdžius ir gilinant žinias ta tema), rodoma teisingai užpildyta lentelė. interaktyvioje lentoje.

Rezultato tikrinimas:

(interaktyvi lenta)

Užpildykite antrą lentelę.

7 užduotis

(interaktyvi lenta)

Pirmiausia į lentelę įveskite apskritimo taškus, kurie yra 3 ir 6 kartotiniai

Rezultato tikrinimas:

(interaktyvi lenta)

Lentelėje patys užpildykite šių taškų ordinates ir abscises

8 užduotis

Rezultato tikrinimas:

(interaktyvi lenta)

(Power Point pristatymas)

Atlikime trumpą matematinį diktantą, o po to – savikontrolę.

1) Raskite vienetinio apskritimo taškų koordinates:

2 variantas

1 variantas

2) Raskite vienetinio apskritimo taškų abscises:

1) Raskite vienetinio apskritimo taškų koordinates

2 variantas

1 variantas

2) Raskite vienetinio apskritimo taškų abscises

Išbandykite save

3) Raskite vienetinio apskritimo taškų ordinates:

Jūs galite pažymėti „5“ už 4 užbaigtus pavyzdžius,

„4“ 3 pavyzdžiams ir pažymėkite „3“ 2 pavyzdžiams

Apibendrinant pamoką

1) Ateityje, norint rasti taškų ir kampų sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmes, iš užpildytų lentelių reikia sužinoti pirmajam ketvirčiui priklausančių taškų koordinačių reikšmes, nes toliau išmoksime išreikšti visų kitų taškų koordinates per pirmojo ketvirčio taškų reikšmes;

2) Paruoškite teorinius klausimus testavimui.

Namų darbai:

Pamokos santrauka

Įvertinimas suteikiamas aktyviausiai pamokoje dirbusiems mokiniams. Visų mokinių darbai nėra vertinami, nes klaidos ištaisomos iš karto pamokos metu. Diktantas buvo atliktas savikontrolei, vertinimui nepakanka.

Analitinė geometrija suteikia vienodus geometrinių uždavinių sprendimo būdus. Tam visi duoti ir ieškomi taškai bei linijos priskiriami vienai koordinačių sistemai.

Koordinačių sistemoje kiekvieną tašką galima apibūdinti jo koordinatėmis, o kiekvieną tiesę – lygtimi su dviem nežinomaisiais, kurių grafikas yra ši tiesė. Taigi geometrinė problema redukuojama iki algebrinės, kur visi skaičiavimo metodai yra gerai išvystyti.

Apskritimas yra geometrinis taškų lokusas, turintis vieną specifinę savybę (kiekvienas apskritimo taškas yra vienodu atstumu nuo vieno taško, vadinamo centru). Apskritimo lygtis turi atspindėti šią savybę ir tenkinti šią sąlygą.

Geometrinis apskritimo lygties aiškinimas yra apskritimo linija.

Jei įdėsite apskritimą į koordinačių sistemą, tai visi apskritimo taškai tenkina vieną sąlygą – atstumas nuo jų iki apskritimo centro turi būti vienodas ir lygus apskritimui.

Apskritimas su centru taške A ir spindulys R įdėkite jį į koordinačių plokštumą.

Jei centro koordinatės (a;b) , ir bet kurio apskritimo taško koordinates (x;y) , tada apskritimo lygtis turi tokią formą:

Jei apskritimo spindulio kvadratas yra lygus skirtumų tarp bet kurio apskritimo taško ir jo centro atitinkamų koordinačių kvadratų sumai, tai ši lygtis yra apskritimo lygtis plokštuminėje koordinačių sistemoje.

Jei apskritimo centras sutampa su pradžia, tada apskritimo spindulio kvadratas yra lygus bet kurio apskritimo taško koordinačių kvadratų sumai. Šiuo atveju apskritimo lygtis yra tokia:

Apskritimo lygties uždavinių sprendimo pavyzdžiai

Užduotis. Parašykite lygtį duotam apskritimui

Sprendimas.
Pereikime prie apskritimo lygties formulės:
R2 = (x-a) 2 + (y-b) 2

Pakeiskime reikšmes į formulę.
Apskritimo spindulys R = 4
Apskritimo centro koordinatės (pagal sąlygą)
a = 2
b = -3

Mes gauname:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
arba
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Užduotis. Ar taškas priklauso apskritimo lygčiai?

Sprendimas.
Jei taškas priklauso apskritimui, tai jo koordinatės tenkina apskritimo lygtį.
Norėdami patikrinti, ar taškas su nurodytomis koordinatėmis priklauso apskritimui, taško koordinates pakeičiame duoto apskritimo lygtimi.

Lygtyje ( x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
Pagal sąlygą pakeisime taško A(2;3) koordinates, tai yra
x = 2
y = 3

Patikrinkime gautos lygybės teisingumą
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 lygybė yra klaidinga

Taigi duotas taškas nepriklauso duota apskritimo lygtis.

Norėdami naudoti pristatymų peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Skaičių apskritimas koordinačių plokštumoje

Pakartokime: vienetinis apskritimas yra skaičių apskritimas, kurio spindulys yra 1. R=1 C=2 π + - y x

Jeigu skaičių apskritimo taškas M atitinka skaičių t, tai jis atitinka ir skaičių t+2 π k formos, kur k yra bet koks sveikasis skaičius (k ϵ Z). M(t) = M(t+2 π k), kur k ϵ Z

Pagrindiniai maketai Pirmasis išdėstymas 0 π y x Antrasis išdėstymas y x

x y 1 A(1, 0) B (0, 1) C (- 1, 0) D (0, -1) 0 x>0 y>0 x 0 x 0 y

Raskime taško M koordinates, atitinkančias tašką. 1) 2) x y M P 45° O A

Pirmojo maketo pagrindinių taškų koordinatės 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D y x

M P x y O A Raskime taško M, atitinkančio tašką, koordinates. 1) 2) 30°

M P Raskite taško M koordinates, atitinkančias tašką. 1) 2) 30° x y O A B

Naudodamiesi simetrijos savybe, randame taškų, kurie yra y x kartotiniai, koordinates

Antrojo maketo pagrindinių taškų koordinatės x y x y y x

Pavyzdys Raskite skaičių apskritimo taško koordinates. Sprendimas: P y x

Pavyzdys Skaičių apskritime raskite taškus su ordinatėmis Sprendimas: y x ​​x y x y

Pratimai: Raskite skaičių apskritimo taškų koordinates: a) , b) . Suraskite skaičių apskritimo taškus su abscisėmis.

Pagrindinių taškų koordinatės 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 Pirmojo maketo pagrindinių taškų koordinatės x y x y Pagrindinio koordinatės antrojo išdėstymo taškai

Tema: metodiniai tobulinimai, pristatymai ir pastabos

Didaktinė medžiaga apie algebrą ir analizės pradžią 10 klasėje (profilio lygis) „Skaičių apskritimas koordinačių plokštumoje“

1.1 variantas Raskite skaičių apskritimo tašką: A) -2∏/3B) 72. Kuris skaičių apskritimo ketvirtis turi tašką 16.3.

Jei į koordinačių plokštumą įdėsite vieneto numerio apskritimą, galėsite rasti jo taškų koordinates. Skaičių apskritimas išdėstytas taip, kad jo centras sutaptų su plokštumos pradžia, ty tašku O (0; 0).

Paprastai ant vieneto skaičiaus apskritimo yra pažymėti taškai, atitinkantys apskritimo pradžią

• ketvirčiai – 0 arba 2π, π/2, π, (2π)/3,
• viduriniai ketvirčiai – π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• trečdaliai ketvirčių – π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Koordinačių plokštumoje, ant kurios yra aukščiau nurodyta vieneto apskritimo vieta, galite rasti koordinates, atitinkančias šiuos apskritimo taškus.

Kvartalų galų koordinates labai lengva rasti. Apskritimo taške 0 x koordinatė lygi 1, o y koordinatė lygi 0. Galime pažymėti kaip A (0) = A (1; 0).

Pirmojo ketvirčio pabaiga bus teigiama y ašyje. Todėl B (π/2) = B (0; 1).

Antrojo ketvirčio pabaiga yra neigiamoje pusašyje: C (π) = C (-1; 0).

Trečiojo ketvirčio pabaiga: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Bet kaip rasti ketvirčių vidurio taškų koordinates? Norėdami tai padaryti, sukurkite stačiakampį trikampį. Jo hipotenuzė yra atkarpa nuo apskritimo centro (arba pradžios) iki ketvirčio apskritimo vidurio. Tai yra apskritimo spindulys. Kadangi yra vienetinis apskritimas, hipotenuzė lygi 1. Tada nubrėžkite statmeną iš apskritimo taško į bet kurią ašį. Tegul jis yra link x ašies. Rezultatas yra stačiakampis trikampis, kurio kojų ilgiai yra apskritimo taško x ir y koordinatės.

Ketvirtadalis apskritimo yra 90º. Ir pusė ketvirtadalio yra 45º. Kadangi hipotenuzė nubrėžta iki kvadranto vidurio, kampas tarp hipotenuzės ir kojos, besitęsiančios nuo pradžios, yra 45º. Bet bet kurio trikampio kampų suma yra 180º. Todėl kampas tarp hipotenuzės ir kitos kojos taip pat išlieka 45º. Dėl to susidaro lygiašonis stačiakampis trikampis.

Iš Pitagoro teoremos gauname lygtį x 2 + y 2 = 1 2. Kadangi x = y ir 1 2 = 1, lygtis supaprastėja iki x 2 + x 2 = 1. Ją išsprendę gauname x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Taigi taško koordinatės M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

Kitų ketvirčių vidurio taškų koordinatėse pasikeis tik ženklai, o reikšmių moduliai išliks tokie patys, nes stačiakampis trikampis bus tik apverstas. Mes gauname:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

Nustatant apskritimo ketvirčių trečiųjų dalių koordinates, statomas ir stačiakampis trikampis. Jei paimsime tašką π/6 ir nubrėžsime statmeną x ašiai, kampas tarp hipotenuzės ir kojos, esančios ant x ašies, bus 30º. Yra žinoma, kad koja, esanti priešais 30º kampą, yra lygi pusei hipotenuzės. Tai reiškia, kad radome y koordinatę, ji lygi ½.

Žinodami hipotenuzės ir vienos kojos ilgius, naudodamiesi Pitagoro teorema, randame kitą koją:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 – ¼ = ¾
x = √3/2

Taigi T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Pirmojo ketvirčio antrojo trečdalio taškui (π/3) y ašiai geriau nubrėžti statmeną ašiai. Tada kampas ištakoje taip pat bus 30º. Čia x koordinatė bus lygi ½, o y atitinkamai √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Kituose trečiojo ketvirčio taškuose pasikeis koordinačių reikšmių ženklai ir tvarka. Visi taškai, esantys arčiau x ašies, turės modulio x koordinatės reikšmę, lygią √3/2. Tie taškai, kurie yra arčiau y ašies, turės modulio y reikšmę, lygią √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)