Iki šiol mes svarstėme plokštumos linijų lygtis, kurios tiesiogiai jungia dabartines šių linijų taškų koordinates. Tačiau dažnai naudojamas kitas linijos apibrėžimo būdas, kai dabartinės koordinatės laikomos trečiojo kintamojo funkcijomis.
Tegu pateiktos dvi kintamojo funkcijos
laikomos tomis pačiomis t reikšmėmis. Tada bet kuri iš šių t reikšmių atitinka tam tikrą reikšmę ir tam tikrą y reikšmę, taigi ir tam tikrą tašką. Kai kintamasis t eina per visas reikšmes iš funkcijų apibrėžimo srities (73), taškas plokštumoje apibūdina tam tikrą tiesę C, lygtys (73) vadinamos šios eilutės parametrinėmis lygtimis, o kintamasis vadinamas parametras.
Tarkime, kad funkcija turi atvirkštinę funkciją Pakeitę šią funkciją į antrąją (73) lygtį, gauname lygtį
išreiškiant y kaip funkciją
Sutikime, kad ši funkcija parametriškai pateikiama lygtimis (73). Perėjimas nuo šių lygčių prie (74) lygties vadinamas parametrų pašalinimu. Svarstant parametriškai apibrėžtas funkcijas, parametro neįtraukti ne tik nebūtina, bet ir ne visada praktiškai įmanoma.
Daugeliu atvejų daug patogiau, atsižvelgiant į skirtingas parametro reikšmes, tada apskaičiuoti atitinkamas argumento ir funkcijos y reikšmes naudojant formules (73).
Pažiūrėkime į pavyzdžius.
Pavyzdys 1. Tegul yra savavališkas taškas apskritime, kurio centras yra ištakoje, o spindulys R. Šio taško Dekarto koordinatės x ir y išreiškiamos per jo polinį spindulį ir poliarinį kampą, kurį čia žymime t, taip ( žr. I skyriaus 3 dalies 3 pastraipą):
Lygtys (75) vadinamos parametrinėmis apskritimo lygtimis. Juose esantis parametras yra polinis kampas, kuris kinta nuo 0 iki .
Jei lygtys (75) yra padalytos į kvadratą ir sudedamos, tada dėl tapatumo parametras pašalinamas ir gaunama apskritimo lygtis Dekarto koordinačių sistemoje, kuri apibrėžia dvi elementarias funkcijas:
Kiekviena iš šių funkcijų parametriškai nurodoma lygtimis (75), tačiau šių funkcijų parametrų diapazonai yra skirtingi. Pirmajam iš jų; Šios funkcijos grafikas yra viršutinis puslankis. Antrosios funkcijos grafikas yra apatinis puslankis.
2 pavyzdys. Kartu apsvarstykite elipsę
ir apskritimas, kurio centras yra ištakoje ir spindulys a (138 pav.).
Su kiekvienu elipsės tašku M susiejame apskritimo tašką N, kurio abscisė yra tokia pati kaip taško M ir yra su juo toje pačioje Ox ašies pusėje. Taško N, taigi ir taško M, padėtį visiškai lemia taško poliarinis kampas t Šiuo atveju jų bendrajai abscisei gauname tokią išraišką: x = a. Ordinates taške M randame iš elipsės lygties:
Ženklas pasirinktas todėl, kad taško M ir taško N ordinatės turi turėti vienodus ženklus.
Taigi elipsei gaunamos šios parametrinės lygtys:
Čia parametras t kinta nuo 0 iki .
Pavyzdys 3. Apsvarstykite apskritimą, kurio centras yra taške a) ir spindulys a, kuris akivaizdžiai liečia x ašį pradžioje (139 pav.). Tarkime, kad šis apskritimas rieda neslysdamas išilgai x ašies. Tada apskritimo taškas M, kuris pradiniu momentu sutapo su koordinačių pradžia, apibūdina tiesę, vadinamą cikloidu.
Išveskime cikloidų parametrines lygtis, laikydamos apskritimo sukimosi kampą parametru t kaip parametrą t, kai jo fiksuotasis taškas juda iš padėties O į padėtį M. Tada taško M koordinatėms ir y gauname šios išraiškos:
Dėl to, kad apskritimas rieda išilgai ašies neslysdamas, atkarpos OB ilgis lygus lanko BM ilgiui. Kadangi lanko ilgis BM lygus spindulio a ir centrinio kampo t sandaugai, tai . Štai kodėl. Bet todėl,
Šios lygtys yra cikloidų parametrinės lygtys. Kai parametras t pasikeis iš 0 į apskritimą, padarys vieną pilną apsisukimą. Taškas M apibūdins vieną cikloido lanką.
Išskyrus parametrą t čia susidaro sudėtingos išraiškos ir tai praktiškai nepraktiška.
Mechanikoje ypač dažnai naudojamas parametrinis linijų apibrėžimas, o parametro vaidmenį atlieka laikas.
4 pavyzdys. Nustatykime sviedinio, paleisto iš pabūklo pradiniu greičiu kampu a į horizontalę, trajektoriją. Mes nepaisome oro pasipriešinimo ir sviedinio matmenų, laikydami jį materialiu tašku.
Pasirinkime koordinačių sistemą. Koordinačių pradžią laikykime sviedinio išvykimo tašką nuo snukio. Nukreipkime Ox ašį horizontaliai, o Oy ašį vertikaliai, pastatydami jas vienoje plokštumoje su ginklo tūtu. Jei nebūtų gravitacijos jėgos, tada sviedinys judėtų tiesia linija, sudarydamas kampą a su Ox ašimi ir pagal laiką t būtų nuskridęs atstumą t sviedinio koordinatės būtų atitinkamai lygios: . Dėl gravitacijos sviedinys šiuo momentu turi vertikaliai nusileisti tam tikru dydžiu, todėl iš tikrųjų sviedinio koordinatės nustatomos pagal formules:
Šiose lygtyse yra pastovūs dydžiai. Pasikeitus t, pasikeis ir sviedinio trajektorijos taško koordinatės. Lygtys yra parametrinės sviedinio trajektorijos lygtys, kuriose parametras yra laikas
Išreiškiant iš pirmosios lygties ir pakeičiant ją į
antroji lygtis, gauname sviedinio trajektorijos lygtį formoje Tai parabolės lygtis.
Apsvarstykite galimybę apibrėžti tiesę plokštumoje, kurioje kintamieji x, y yra trečiojo kintamojo t (vadinamo parametru) funkcijos:
Kiekvienai vertei t nuo tam tikro intervalo tam tikros reikšmės atitinka x Ir y, a, todėl tam tikras plokštumos taškas M (x, y). Kada t eina per visas reikšmes iš tam tikro intervalo, tada tašką M (x, y) aprašo tam tikrą eilutę L. Lygtys (2.2) vadinamos parametrinėmis tiesių lygtimis L.
Jei funkcijos x = φ(t) atvirkštinė t = Ф(x), tai šią išraišką pakeitus lygtimi y = g(t), gauname y = g(Ф(x)), kuri nurodo y kaip funkcija x. Šiuo atveju sakome, kad lygtys (2.2) apibrėžia funkciją y parametriškai.
1 pavyzdys. Leiskite M(x,y)– savavališkas taškas spindulio apskritime R ir sutelktas į ištaką. Leiskite t– kampas tarp ašių Jautis ir spindulys OM(žr. 2.3 pav.). Tada x, y yra išreikšti per t:
Lygtys (2.3) yra parametrinės apskritimo lygtys. Iš (2.3) lygčių išskirsime parametrą t. Norėdami tai padaryti, kiekvieną lygtį padėkite į kvadratą ir sudėkite, gausime: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) arba x 2 + y 2 = R 2 – apskritimo lygtis Dekarto raštu. koordinačių sistema. Ji apibrėžia dvi funkcijas: Kiekviena iš šių funkcijų yra pateikta parametrinėmis lygtimis (2.3), bet pirmajai funkcijai ir antrajai funkcijai.
2 pavyzdys. Parametrinės lygtys
apibrėžkite elipsę su pusiau ašimis a, b(2.4 pav.). Parametrų neįtraukimas iš lygčių t, gauname kanoninę elipsės lygtį:
3 pavyzdys. Cikloidas – tai tiesė, kurią apibūdina taškas, esantis ant apskritimo, jeigu šis apskritimas rieda neslysdamas tiesia linija (2.5 pav.). Pateikiame cikloidų parametrines lygtis. Tegul riedėjimo apskritimo spindulys yra a, taškas M, apibūdinantis cikloidą, judėjimo pradžioje sutapo su koordinačių kilme. 
Nustatykime koordinates x, y taškai M apskritimui pasisukus kampu t
(2.5 pav.), t = ÐMCB. Lanko ilgis M.B. lygus atkarpos ilgiui O.B. kadangi apskritimas rieda neslysdamas, todėl
OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),
y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – kaina).
Taigi gaunamos cikloidų parametrinės lygtys:
Keičiant parametrą t nuo 0 iki 2π apskritimas sukasi vieną apsisukimą, o taškas M apibūdina vieną cikloido lanką. (2.5) lygtys pateikia y kaip funkcija x. Nors funkcija x = a(t – sint) turi atvirkštinę funkciją, tačiau ji nėra išreikšta elementariomis funkcijomis, todėl funkcija y = f(x) nėra išreikštas elementariomis funkcijomis.
Panagrinėkime funkcijos, parametriškai apibrėžtos lygtimis (2.2), diferenciaciją. Funkcija x = φ(t) tam tikrame pokyčio intervale t turi atvirkštinę funkciją t = Ф(x), Tada y = g(Ф(x)). Leiskite x = φ(t), y = g(t) turi darinius ir x"t≠0. Pagal sudėtingų funkcijų diferencijavimo taisyklę y"x=y"t × t"x. Remiantis atvirkštinės funkcijos diferencijavimo taisykle, todėl:
Gauta formulė (2.6) leidžia rasti parametriškai nurodytos funkcijos išvestinę.
4 pavyzdys. Tegu funkcija y, priklausomai nuo x, nurodomas parametriškai:
Sprendimas. 
.
5 pavyzdys. Raskite nuolydį k cikloido liestinė taške M 0, atitinkančiame parametro reikšmę.
Sprendimas. Iš cikloidinių lygčių: y" t = asint, x" t = a(1 – kaina),Štai kodėl 
Tangentinis nuolydis taške M0 lygi vertei ties t 0 = π/4:
DIFERENCINĖ FUNKCIJA
Tegul funkcija yra taške x 0 turi išvestinę. Pagal apibrėžimą: 
todėl pagal ribos savybes (1.8 p.), kur a– be galo mažas at Δx → 0. Iš čia
Δy = f "(x0)Δx + α × Δx. (2.7)
Kadangi Δx → 0, antrasis lygybės narys (2.7) yra aukštesnės eilės begalinis dydis, palyginti su 
, todėl Δy ir f " (x 0) × Δx yra lygiaverčiai, be galo maži (jei f "(x 0) ≠ 0).
Taigi funkcijos Δy prieaugis susideda iš dviejų narių, iš kurių pirmasis f "(x 0) × Δx yra pagrindinė dalis prieaugis Δy, tiesinis Δx atžvilgiu (f "(x 0)≠ 0).
Diferencialinis funkcija f(x) taške x 0 vadinama pagrindine funkcijos prieaugio dalimi ir žymima: dy arba df(x0). Vadinasi,
df (x0) =f "(x0) × Δx. (2.8)
1 pavyzdys. Raskite funkcijos skirtumą dy ir funkcijos Δy prieaugis funkcijai y = x 2, kai:
1) savavališkas x ir Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.
Sprendimas
1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.
2) Jei x 0 = 20, Δx = 0,1, tai Δy = 40 × 0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40 × 0,1 = 4.
Lygybę (2.7) parašykime tokia forma:
Δy = dy + a × Δx. (2.9)
Prieaugis Δy skiriasi nuo diferencialo dy iki begalinio aukštesnio laipsnio, palyginti su Δx, todėl apytiksliuose skaičiavimuose naudojama apytikslė lygybė Δy ≈ dy, jei Δx yra pakankamai mažas.
Atsižvelgiant į tai, kad Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), gauname apytikslę formulę:
f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)
2 pavyzdys. Apskaičiuokite apytiksliai.
Sprendimas. Apsvarstykite:
Naudodami formulę (2.10) gauname:
Taigi, ≈ 2,025.
Panagrinėkime geometrinę diferencialo reikšmę df(x 0)(2.6 pav.). 
Nubrėžkime funkcijos y = f(x) grafiko liestinę taške M 0 (x0, f(x 0)), tegul φ yra kampas tarp liestinės KM0 ir Ox ašies, tada f"( x 0) = tanφ Iš ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0) × Δx = df(x 0). Bet PN yra liestinės ordinatės prieaugis, kai x keičiasi iš x 0 į x 0 + Δx.
Vadinasi, funkcijos f(x) diferencialas taške x 0 yra lygus liestinės ordinatės prieaugiui.
Raskime funkcijos skirtumą
y = x. Kadangi (x)" = 1, tai dx = 1×Δx = Δx. Laikysime, kad nepriklausomo kintamojo x diferencialas yra lygus jo prieaugiui, ty dx = Δx.
Jei x yra savavališkas skaičius, tai iš lygybės (2.8) gauname df(x) = f "(x)dx, iš kur 
.
Taigi funkcijos y = f(x) išvestinė yra lygi jos diferencialo ir argumento diferencialo santykiui.
Panagrinėkime funkcijos diferencialo savybes.
Jei u(x), v(x) yra diferencijuojamos funkcijos, galioja šios formulės:
Šioms formulėms įrodyti naudojamos išvestinės funkcijos sumos, sandaugos ir koeficiento formulės. Įrodykime, pavyzdžiui, formulę (2.12):
d(u×v) = (u×v)"Δx = (u × v" + u"×v)Δx = u × v"Δx + u"Δx×v = u × dv + v × du.
Panagrinėkime kompleksinės funkcijos diferencialą: y = f(x), x = φ(t), t.y. y = f(φ(t)).
Tada dy = y" t dt, bet y" t = y" x × x" t, taigi dy = y" x x" t dt. Atsižvelgiant į
kad x" t = dx, gauname dy = y" x dx =f "(x)dx.
Taigi, kompleksinės funkcijos diferencialas y = f(x), kur x =φ(t), turi formą dy = f "(x)dx, kaip ir tuo atveju, kai x yra nepriklausomas kintamasis. Ši savybė yra vadinamas diferencialo formos nekintamumas A.
Tegul funkcija nurodoma parametriniu būdu:
(1)
kur yra koks nors kintamasis, vadinamas parametru. Ir tegul funkcijos turi išvestines tam tikra kintamojo verte.
(2)
Be to, funkcija taip pat turi atvirkštinę funkciją tam tikroje taško kaimynystėje.
;
.
Tada funkcija (1) taške turi išvestinę, kuri parametrine forma nustatoma pagal formules:
Čia ir yra funkcijų išvestiniai ir kintamojo (parametro) atžvilgiu.
Jie dažnai rašomi taip:
.
Tada sistemą (2) galima parašyti taip:
.
Įrodymas
.
Pagal sąlygą funkcija turi atvirkštinę funkciją. Pažymėkime kaip
Tada pradinė funkcija gali būti pavaizduota kaip sudėtinga funkcija:
Raskime jo išvestinę naudodamiesi sudėtingų ir atvirkštinių funkcijų diferencijavimo taisyklėmis:
.
Taisyklė pasitvirtino.
.
Įrodymas antruoju būdu
.
Raskime išvestinę antruoju būdu, remdamiesi funkcijos išvestinės apibrėžimu taške:
Supažindinkime su užrašu:
;
;
;
.
Tada ankstesnė formulė įgauna tokią formą:
.
Pasinaudokime tuo, kad funkcija taško kaimynystėje turi atvirkštinę funkciją.
.
Pagal sąlygą funkcija turi atvirkštinę funkciją. Pažymėkime kaip
Pateikiame tokį užrašą:
Padalinkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš:
(1)
adresu , . Tada
(2)
Aukštesnės eilės išvestinės priemonės
.
Norint rasti aukštesnio laipsnio išvestinius, diferencijavimą reikia atlikti kelis kartus. Tarkime, kad reikia rasti parametriškai apibrėžtos funkcijos antros eilės išvestinę, kurios forma:
(3)
Naudodami (2) formulę randame pirmąją išvestinę, kuri taip pat nustatoma parametriškai:
Pirmąją išvestinę pažymėkime kintamuoju:
.
Tada, norėdami rasti antrąją funkcijos išvestinę kintamojo atžvilgiu, turite rasti pirmąją funkcijos išvestinę kintamojo atžvilgiu.
.
Kintamojo priklausomybė nuo kintamojo taip pat nurodoma parametriniu būdu:
Palyginę (3) su (1) ir (2) formulėmis, randame:
.
Dabar išreikškime rezultatą per funkcijas ir .
Norėdami tai padaryti, pakeiskime ir pritaikykime išvestinės trupmenos formulę:
;
.
Tada
Iš čia gauname antrąją funkcijos išvestinę kintamojo atžvilgiu:
Jis taip pat pateikiamas parametrine forma. Atkreipkite dėmesį, kad pirmoji eilutė taip pat gali būti parašyta taip:
Tęsdami procesą, galite gauti funkcijų išvestinius iš trečiosios ir aukštesnės eilės kintamojo.
Atkreipkite dėmesį, kad mums nereikia įvesti išvestinės žymos.
;
.
Galite parašyti taip:
.
1 pavyzdys
.
1 pavyzdys
Raskite parametriškai apibrėžtos funkcijos išvestinę:
.
Sprendimas
Mes randame išvestines .
Iš darinių lentelės randame:
Jis taip pat pateikiamas parametrine forma. Atkreipkite dėmesį, kad pirmoji eilutė taip pat gali būti parašyta taip:
Mes taikome:
.
čia .
.
Išvestinės radimas.
.
Norėdami tai padaryti, įvedame kintamąjį ir taikome sudėtingos funkcijos išvestinės formulę.
.
Sprendimas
Randame norimą išvestinę:
3 pavyzdys
Jis taip pat pateikiamas parametrine forma. Atkreipkite dėmesį, kad pirmoji eilutė taip pat gali būti parašyta taip:
Raskite 1 pavyzdyje parametriškai apibrėžtos funkcijos antros ir trečios eilės išvestines:
1 pavyzdyje radome pirmos eilės išvestinę:
Leiskite mums pristatyti pavadinimą.
Tada funkcija yra išvestinė .
.
Jis nurodomas parametriškai:
.
Norėdami rasti antrąją išvestinę , turime rasti pirmąją išvestinę .
.
Atskirkime pagal.
1 pavyzdyje radome išvestinę:
Antros eilės išvestinė yra lygi pirmos eilės išvestinei, atsižvelgiant į:
.
Taigi, mes radome antros eilės išvestinę parametrinės formos atžvilgiu:
.
Dabar randame trečiosios eilės išvestinę. Leiskite mums pristatyti pavadinimą.
.
Tada turime rasti pirmosios eilės funkcijos išvestinę, kuri nurodoma parametriniu būdu:
Raskite išvestinę .
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Sprendimas
Norėdami tai padaryti, perrašome jį lygiaverte forma:
Nuo
Trečiosios eilės išvestinė pagal yra lygi pirmosios eilės išvestinei, atsižvelgiant į:
komentuoti
Nereikia įvesti kintamųjų ir , kurie yra atitinkamai ir išvestiniai. Tada galite parašyti taip:
Parametriniame vaizde antros eilės išvestinė turi tokią formą:
Trečios eilės išvestinė. Logaritminė diferenciacija Elementariųjų funkcijų dariniai x Pagrindinės diferenciacijos taisyklės
Elementariųjų funkcijų dariniai Funkcinis diferencialas(x)Pagrindinė tiesinė funkcijos prieaugio dalis(x 0)A(D 0)nustatant funkcijos diferencialumą(f=f 0)-f 0
=A x - x(x) +o x x – x
, x®x(x 0)vadinamas funkcijos diferencialu(x f taške Elementariųjų funkcijų dariniai 0 ir žymimas
df x 0 =f¢ 0 ir žymimas 0) D x x=A x. 0 ir žymimas
Skirtumas priklauso nuo taško x - x(x)ir nuo prieaugio D Ant D tuo pat metu jie žiūri į jį kaip į nepriklausomą kintamąjį, taigi Elementariųjų funkcijų dariniai kiekviename taške diferencialas yra tiesinė prieaugio D funkcija Jei laikysime funkcija
=x
, tada gauname
1) dx= x,dy=Adx . Tai atitinka Leibnizo užrašus 0Geometrinis diferencialo kaip liestinės ordinatės prieaugio aiškinimas. Ryžiai. 4.3 f= 0.
2) konst
3) , f¢=
,df= (0D(x))x=(x), (f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv. 1 x - x 1 (x)f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.(x))Pasekmė. 1 plg 1 (x)¢=cf¢(x)
4) c(x+…+c n f n ¢=c(f¢¢ +…+ c n f¢ n)/f=u/v, v 2 .
0)¹0 ir išvestinė egzistuoja, tada f¢=(x)u¢v-v 0 u(x v
Trumpumui pažymėsime u=u 0 , u
=u
0), tada(x 0)Perėjimas prie ribos ties D(x 0)x® 0 gauname reikiamą lygybę.(t 0)5) Sudėtingos funkcijos išvestinė. 0 Teorema. Jei yra f¢(, g¢(t))ir x 0 =g
, paskui kažkokioje kaimynystėje t.
x - x(x)Pagrindinė tiesinė funkcijos prieaugio dalis(x 0)vadinamas funkcijos diferencialu(x 0)(yra apibrėžta kompleksinė funkcija f 0)+ g x)(yra apibrėžta kompleksinė funkcija f 0), jis skiriasi taške tÎ Ir(x 0).
x - x(, g¢(t))Įrodymas(, g¢(t 0))x-x(x 0)(a((t), x(t 0))+ g a((t))(a((t), x(t 0)).
U -f 0) ir eikime prie ribos ties t®t 0 .
6) Atvirkštinės funkcijos išvestinės apskaičiavimas.
Teorema. Tegul f yra nuolatinis ir griežtai monotoniškas[a, b]. Leiskite taške x 0 Î( a, b)yra f¢(x 0)¹ 0 , tada atvirkštinė funkcija x=f -1 (y)turi taške y 0 išvestinė lygi
, paskui kažkokioje kaimynystėje t. Mes skaičiuojame x - x tada griežtai monotoniškai didėja x - x -1 (y) yra nuolatinis, monotoniškai didėja [ x - x(a),f(b)]. Padėkime y 0 =f(x 0), y=f(x), x - x 0 =D x,
y - y 0 =D y. Dėl atvirkštinės funkcijos tęstinumo D y®0 Þ D x®0, turime
Perėję prie ribos, gauname reikiamą lygybę.
7) Lyginės funkcijos išvestinė nelyginė, nelyginės – lyginė.
Tikrai, jei x® - x 0 , Tai - x® x 0 , Štai kodėl
Lyginei funkcijai nelyginei funkcijai
1) dx= const, f¢(x)=0.
2) x - x(x)=x, f¢(x)=1.
3) x - x(x)=e x, plg(x)= e x ,
4) x - x(x)=a x ,(a x)¢ = kirvis ln a.
5) ln a.
6) x - x(x)=ln x,
Pasekmė. (lyginės funkcijos išvestinė yra nelyginė)
7) (x m )¢= m x m -1 , jis skiriasi taške t>0, jis skiriasi taške t m =e m ln x .
8) (nuodėmė x)¢= cos x,
9) (cos x)¢=- nuodėmė x,(cos x)¢= (nuodėmė ( x+ p/2)) ¢= cos ( x+ p/2)=-nuodėmė x.
10) (tg x)¢= 1/cos 2 0 ir žymimas
11) (ctg x)¢= -1 / nuodėmė 2 0 ir žymimas
16) š x, sk x.
f(x),, iš kurio išplaukia, kad plg(x)=f(x)(ln f(x))¢ .
Tą pačią formulę galima gauti skirtingai x - x(x)=e ln f(x) , f¢=e ln f(x) (ln f(x))¢.
Pavyzdys. Apskaičiuokite funkcijos išvestinę f=x x .
=x x = x x = x x = x x(ln x+ 1).
Geometrinė taškų vieta plokštumoje
vadinsime tai funkcijos grafiku, pateikta parametriškai. Jie taip pat kalba apie parametrinį funkcijos specifikaciją.
1 pastaba. Jeigu x, y tęstinis už [a, b] Ir x(t) griežtai monotoniškas segmente (pavyzdžiui, griežtai monotoniškai didėja), tada [ a, b], a=x a) , b=x b) apibrėžta funkcija f(x)=y(t(x)), kur t(x) – funkcija atvirkštinė x(t). Šios funkcijos grafikas sutampa su funkcijos grafiku
Jei apibrėžimo sritis parametriškai duota funkcija gali būti suskirstyta į baigtinį skaičių atkarpų ,k= 1,2,...,n, ant kiekvieno iš jų yra funkcija x(t) yra griežtai monotoniška, tada parametriškai apibrėžta funkcija suskaidoma į baigtinį įprastų funkcijų skaičių fk(x)=y(t -1 (x)) su domenais [ x(a k), jis skiriasi taške t(b k)] sekcijų didinimui x(t) ir su domenais [ x(b k), jis skiriasi taške t(a k)] mažėjančių funkcijų sritims x(t). Taip gautos funkcijos vadinamos parametriškai apibrėžtos funkcijos vienareikšmėmis šakomis.
Paveiksle parodytas parametriškai apibrėžtos funkcijos grafikas
Su pasirinkta parametrizacija apibrėžimo sritis yra padalintas į penkias griežto monotoniškumo funkcijas sin(2 t), tiksliai: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , ir, atitinkamai, grafikas bus padalintas į penkias vienareikšmiškas šakas, atitinkančias šias dalis.
Ryžiai. 4.4
Ryžiai. 4.5
Galite pasirinkti skirtingą tos pačios geometrinės taškų vietos parametravimą
Tokiu atveju bus tik keturios tokios šakos. Jie atitiks griežtos monotonijos sritis tÎ ,tÎ ,tÎ ,tÎ funkcijas nuodėmė (2 t).
Ryžiai. 4.6
Keturios funkcijos sin monotoniškumo sekcijos (2 t) ilgoje atkarpoje.
Ryžiai. 4.7
Abiejų grafikų pavaizdavimas viename paveiksle leidžia apytiksliai pavaizduoti parametriškai nurodytos funkcijos grafiką, naudojant abiejų funkcijų monotoniškumo sritis.
Kaip pavyzdį apsvarstykite pirmąją atkarpą atitinkančią šaką tÎ . Šio skyriaus pabaigoje funkcija f= nuodėmė (2 t) ima vertes -1 ir 1 , todėl ši šaka bus apibrėžta [-1,1] . Po to reikia pažvelgti į antrosios funkcijos monotonijos sritis y= cos ( t), ji turi dvi monotonijos dalys . Tai leidžia teigti, kad pirmoji šaka turi dvi monotoniškumo dalis. Suradę grafiko galinius taškus, galite juos sujungti tiesiomis linijomis, kad parodytumėte grafiko monotoniškumo pobūdį. Tai padarę su kiekviena šaka, gauname vienareikšmių grafiko šakų monotoniškumo sritis (paveiksle jos paryškintos raudonai)
Ryžiai. 4.8
Pirmoji vienvertė šaka x - x 1 (x)=y(t(x)) , atitinkantis svetainę bus nustatyta xО[-1,1] . Pirmoji vienvertė šaka tÎ , xО[-1,1].
Visos kitos trys šakos taip pat turės apibrėžimo sritį [-1,1] .
Ryžiai. 4.9
Antroji šaka tÎ xО[-1,1].
Ryžiai. 4.10
Trečia šaka tÎ xО[-1,1]
Ryžiai. 4.11
Ketvirta šaka tÎ xО[-1,1]
Ryžiai. 4.12
komentuoti 2. Ta pati funkcija gali turėti skirtingus parametrinius nustatymus. Skirtumai gali būti susiję su abiem funkcijomis x(t), y(t) , ir apibrėžimo sritis šias funkcijas.
Skirtingų tos pačios funkcijos parametrinių priskyrimų pavyzdys
Ir tО[-1, 1] .
3 pastaba. Jei x,y yra ištisiniai , x(t)- griežtai monotoniškas segmente ir yra dariniai y¢(t 0),x¢(t 0)¹0, tada yra plg(x 0)= .
Tikrai,.
Paskutinis teiginys taip pat taikomas vienareikšmėms parametriškai apibrėžtos funkcijos šakoms.
4.2 Aukštesnių pavedimų išvestinės finansinės priemonės ir skirtumai
Aukštesni išvestiniai ir diferencialai. Parametriškai nurodytų funkcijų diferencijavimas. Leibnizo formulė.
