Pirmosios eilės diferencialinės lygtys. Sprendimų pavyzdžiai.
Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais

Diferencialinės lygtys (DE). Šie du žodžiai paprastai kelia siaubą paprastam žmogui. Diferencialinės lygtys daugeliui studentų atrodo pernelyg sudėtingos ir sunkiai įvaldomos. Uuuuuu... diferencialinės lygtys, kaip man visa tai išgyventi?!

Tokia nuomonė ir toks požiūris yra iš esmės klaidingi, nes iš tikrųjų DIFERENCINĖS LYGTYBĖS – PAPRASTAS IR NET LINKSMAS. Ką reikia žinoti ir mokėti, kad išmoktum spręsti diferencialines lygtis? Norėdami sėkmingai studijuoti difuziją, turite mokėti integruotis ir diferencijuoti. Kuo geriau nagrinėjamos temos Vieno kintamojo funkcijos išvestinė Ir Neapibrėžtas integralas, tuo lengviau bus suprasti diferencialines lygtis. Pasakysiu daugiau, jei turite daugiau ar mažiau padorų integracijos įgūdžių, tada tema jau beveik įvaldyta! Kuo daugiau įvairių tipų integralų galėsite išspręsti, tuo geriau. Kodėl? Turėsite daug integruotis. Ir atskirti. Taip pat labai rekomenduoju išmokti rasti.

95% atvejų bandomuosiuose darbuose yra 3 tipų pirmos eilės diferencialinės lygtys: atskiriamas lygtis kurią apžvelgsime šioje pamokoje; vienarūšės lygtys Ir tiesinės nehomogeninės lygtys. Tiems, kurie pradeda studijuoti difuzorius, patariu perskaityti pamokas būtent tokia tvarka, o išstudijavus pirmuosius du straipsnius, nepakenks sustiprinti savo įgūdžius papildomame seminare - lygtys redukuojamos į vienarūšes.

Yra dar retesnių diferencialinių lygčių tipų: visuminės diferencialinės lygtys, Bernulio lygtys ir kai kurios kitos. Svarbiausias iš paskutinių dviejų tipų yra lygtys bendruose diferencialuose, nes be šios diferencialinės lygties svarstau apie naują medžiagą - dalinė integracija.

Jei liko tik diena ar dvi, Tai itin greitam paruošimui Yra žaibo kursas pdf formatu.

Taigi, orientyrai nustatyti – eime:

Pirmiausia prisiminkime įprastas algebrines lygtis. Juose yra kintamųjų ir skaičių. Paprasčiausias pavyzdys:. Ką reiškia išspręsti įprastą lygtį? Tai reiškia surasti skaičių rinkinys, kurios tenkina šią lygtį. Nesunku pastebėti, kad vaikų lygtis turi vieną šaknį: . Kad būtų smagu, patikrinkime ir pakeiskime rastą šaknį į mūsų lygtį:

– gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad sprendimas buvo rastas teisingai.

Difuzoriai sukurti panašiai!

Diferencialinė lygtis pirmas užsakymas bendru atveju yra:
1) nepriklausomas kintamasis;
2) priklausomasis kintamasis (funkcija);
3) pirmoji funkcijos išvestinė: .

Kai kuriose pirmosios eilės lygtyse gali nebūti „x“ ir (arba) „y“, tačiau tai nėra reikšminga - svarbu eiti į valdymo kambarį buvo pirmasis vedinys ir nebuvo aukštesnių eilių išvestiniai – , ir kt.

Ką tai reiškia? Išspręsti diferencialinę lygtį reiškia rasti visų funkcijų rinkinys, kurios tenkina šią lygtį. Toks funkcijų rinkinys dažnai turi formą (– savavališką konstantą), kuri vadinama bendras diferencialinės lygties sprendimas.

1 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį

Pilna amunicija. Nuo ko pradėti sprendimas?

Visų pirma, reikia perrašyti išvestinę šiek tiek kitokia forma. Primename sudėtingą pavadinimą, kuris tikriausiai daugeliui iš jūsų atrodė juokingas ir nereikalingas. Štai kas galioja difuzoriuose!

Antrame žingsnyje pažiūrėkime, ar tai įmanoma atskiri kintamieji? Ką reiškia atskirti kintamuosius? Grubiai tariant, kairėje pusėje mums reikia išvykti tik "graikai", A dešinėje pusėje organizuoti tik "X". Kintamieji skirstomi naudojant „mokyklines“ manipuliacijas: iškeliant juos iš skliaustų, perkeliant terminus iš dalies į dalį keičiant ženklą, perkeliant veiksnius iš dalies į dalį pagal proporcingumo taisyklę ir kt.

Diferencialai ir yra visiški karo veiksmų skleidėjai ir aktyvūs dalyviai. Nagrinėjamame pavyzdyje kintamieji lengvai atskiriami sumetant veiksnius pagal proporcingumo taisyklę:

Kintamieji yra atskirti. Kairėje pusėje yra tik „Y“, dešinėje – tik „X“.

Kitas etapas yra diferencialinės lygties integravimas. Tai paprasta, mes dedame integralus iš abiejų pusių:

Žinoma, reikia imti integralus. Šiuo atveju jie yra lentelėse:

Kaip prisimename, konstanta priskiriama bet kokiam antidariniui. Čia yra du integralai, bet konstantą užtenka parašyti vieną kartą (kadangi konstanta + konstanta vis tiek yra lygi kitai konstantai). Daugeliu atvejų jis dedamas dešinėje pusėje.

Griežtai tariant, paėmus integralus, diferencialinė lygtis laikoma išspręsta. Vienintelis dalykas yra tai, kad mūsų „y“ neišreiškiamas per „x“, tai yra, pateikiamas sprendimas numanomame forma. Diferencialinės lygties sprendimas implicitine forma vadinamas bendrasis diferencialinės lygties integralas. Tai yra, tai yra bendras integralas.

Atsakymas šia forma yra gana priimtinas, bet ar yra geresnis pasirinkimas? Pabandykime gauti bendras sprendimas.

prašau, prisiminkite pirmąją techniką, tai labai dažna ir dažnai naudojama atliekant praktines užduotis: jei po integravimo dešinėje pusėje atsiranda logaritmas, tai daugeliu atvejų (bet ne visada!) konstantą taip pat patartina rašyti po logaritmu.

tai yra VIETOJŲ dažniausiai rašomi įrašai .

Kodėl tai būtina? Ir tam, kad būtų lengviau išreikšti „žaidimą“. Naudojant logaritmų savybę . Šiuo atveju:

Dabar logaritmus ir modulius galima pašalinti:

Funkcija pateikiama aiškiai. Tai yra bendras sprendimas.

Atsakymas: bendras sprendimas: .

Atsakymus į daugelį diferencialinių lygčių gana lengva patikrinti. Mūsų atveju tai daroma gana paprastai;

Tada išvestinę pakeičiame į pradinę lygtį:

– gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad bendrasis sprendimas tenkina lygtį, kurią ir reikėjo patikrinti.

Pateikdami konstantą skirtingas vertes, galite gauti begalinį skaičių privatūs sprendimai diferencialinė lygtis. Akivaizdu, kad bet kuri iš funkcijų , ir kt. tenkina diferencialinę lygtį.

Kartais vadinamas bendrasis sprendimas funkcijų šeima. Šiame pavyzdyje bendras sprendimas yra linijinių funkcijų šeima, tiksliau, tiesioginio proporcingumo šeima.

Nuodugniai peržiūrėjus pirmąjį pavyzdį, tikslinga atsakyti į keletą naivų klausimų apie diferencialines lygtis:

1)Šiame pavyzdyje mes galėjome atskirti kintamuosius. Ar tai visada galima padaryti? Ne, ne visada. Ir dar dažniau kintamųjų negalima atskirti. Pavyzdžiui, in vienarūšės pirmos eilės lygtys, pirmiausia turite jį pakeisti. Kitų tipų lygtyse, pavyzdžiui, pirmos eilės tiesinėje nehomogeninėje lygtyje, norint rasti bendrą sprendimą, reikia naudoti įvairius metodus ir metodus. Lygtys su atskiriamais kintamaisiais, kurias svarstome pirmoje pamokoje, yra paprasčiausias diferencialinių lygčių tipas.

2) Ar visada įmanoma integruoti diferencialinę lygtį? Ne, ne visada. Labai lengva sugalvoti „įmantrią“ lygtį, kurios negalima integruoti, be to, yra integralų, kurių negalima imti. Tačiau tokius DE galima apytiksliai išspręsti naudojant specialius metodus. D'Alembertas ir Košis garantuoja... ...ugh, slepiasi daugiau.Kad tik dabar daug skaityčiau, aš beveik pridėjau „iš kito pasaulio“.

3) Šiame pavyzdyje mes gavome sprendimą bendro integralo pavidalu . Ar visada galima rasti bendrą sprendimą iš bendro integralo, tai yra, aiškiai išreikšti „y“? Ne, ne visada. Pavyzdžiui:. Na, kaip čia galima išreikšti „graikiškai“? Tokiais atvejais atsakymas turėtų būti rašomas kaip bendrasis integralas. Be to, kartais galima rasti bendrą sprendimą, tačiau jis parašytas taip gremėzdiškai ir nerangiai, kad geriau palikti atsakymą bendro integralo forma

4) ...galbūt kol kas užteks. Pirmajame pavyzdyje, su kuriuo susidūrėme dar vienas svarbus momentas, bet kad „manekenų“ neapimčiau naujos informacijos lavina, paliksiu tai kitai pamokai.

Mes neskubėsime. Kitas paprastas nuotolinio valdymo pultas ir kitas tipiškas sprendimas:

2 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą, atitinkantį pradinę sąlygą

Sprendimas: pagal būklę reikia susirasti privatus sprendimas DE, kuris tenkina nurodytą pradinę sąlygą. Tokia klausimo formuluotė dar vadinama Cauchy problema.

Pirmiausia randame bendrą sprendimą. Lygtyje nėra kintamojo „x“, tačiau tai neturėtų klaidinti, svarbiausia, kad ji turėtų pirmąją išvestinę.

Išvestinę perrašome reikiama forma:

Akivaizdu, kad kintamuosius galima atskirti, berniukus į kairę, mergaites į dešinę:

Integruokime lygtį:

Gaunamas bendrasis integralas. Čia aš nupiešiau konstantą su žvaigždute, faktas, kad labai greitai ji pavirs kita konstanta.

Dabar bandome paversti bendrąjį integralą bendruoju sprendimu (aiškiai išreikškite „y“). Prisiminkime senus gerus dalykus iš mokyklos: . Šiuo atveju:

Indikatoriaus konstanta atrodo kažkaip nekošeriškai, todėl dažniausiai nuleidžiama ant žemės. Išsamiau, tai atsitinka taip. Naudodamiesi laipsnių savybe, funkciją perrašome taip:

Jei yra konstanta, tai taip pat yra tam tikra konstanta, perskirkime ją raide:

Atminkite, kad konstanta yra „nugriauti“. antroji technika, kuris dažnai naudojamas sprendžiant diferencialines lygtis.

Taigi bendras sprendimas yra toks: . Tai puiki eksponentinių funkcijų šeima.

Paskutiniame etape turite rasti konkretų sprendimą, kuris tenkintų nurodytą pradinę sąlygą. Tai taip pat paprasta.

Kokia užduotis? Reikia pasiimti tokie konstantos reikšmę, kad sąlyga būtų įvykdyta.

Jis gali būti suformatuotas įvairiais būdais, bet tai tikriausiai bus aiškiausias būdas. Bendrajame sprendime vietoj „X“ pakeičiame nulį, o vietoj „Y“ – dviem:



tai yra

Standartinė dizaino versija:

Dabar rastą konstantos reikšmę pakeičiame bendruoju sprendimu:
– tai yra konkretus sprendimas, kurio mums reikia.

Atsakymas: privatus sprendimas:

Patikrinkim. Privataus sprendimo tikrinimas susideda iš dviejų etapų:

Pirmiausia reikia patikrinti, ar konkretus rastas sprendimas tikrai atitinka pradinę sąlygą? Vietoj „X“ pakeičiame nulį ir žiūrime, kas atsitiks:
– Taip, jūs tikrai gavote du, vadinasi, pradinė sąlyga yra įvykdyta.

Antrasis etapas jau pažįstamas. Paimame gautą konkretų sprendimą ir randame išvestinę:

Į pradinę lygtį pakeičiame:

– gaunama teisinga lygybė.

Išvada: konkretus sprendimas buvo rastas teisingai.

Pereikime prie prasmingesnių pavyzdžių.

3 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį

Sprendimas: Išvestinę perrašome mums reikalinga forma:

Vertiname, ar galima atskirti kintamuosius? Gali. Antrąjį terminą perkeliame į dešinę, pakeisdami ženklą:

Ir mes perkeliame daugiklius pagal proporcingumo taisyklę:

Kintamieji yra atskirti, integruokime abi dalis:

Turiu jus perspėti, kad teismo diena artėja. Jei gerai nesimokote neapibrėžtieji integralai, išsprendėte keletą pavyzdžių, tada nebėra kur dėtis – dabar turėsite juos įvaldyti.

Kairiosios pusės integralą nesunku rasti su kotangento integralu naudodamiesi standartine technika, kurią apžvelgėme pamokoje Trigonometrinių funkcijų integravimas praeitais metais:

Dešinėje pusėje turime logaritmą ir, pagal mano pirmąją techninę rekomendaciją, konstanta taip pat turėtų būti parašyta po logaritmu.

Dabar bandome supaprastinti bendrąjį integralą. Kadangi turime tik logaritmus, tai visiškai įmanoma (ir būtina) jų atsikratyti. Naudojant žinomos savybės Kiek įmanoma „pakuojame“ logaritmus. Aš parašysiu labai išsamiai:

Pakuotė baigta, kad būtų barbariškai suplyšusi:

Ar įmanoma išreikšti „žaidimą“? Gali. Būtina išlyginti abi dalis kvadratu.

Bet jums to daryti nereikia.

Trečias techninis patarimas: jei norint gauti bendrą sprendimą reikia pakelti į galią arba įsišaknyti, tada daugeliu atvejų turėtumėte susilaikyti nuo šių veiksmų ir palikti atsakymą bendro integralo forma. Faktas yra tas, kad bendras sprendimas atrodys tiesiog baisus - su didelėmis šaknimis, ženklais ir kitomis šiukšlėmis.

Todėl atsakymą rašome bendro integralo forma. Laikoma gera praktika pateikti jį forma , tai yra, dešinėje pusėje, jei įmanoma, palikite tik konstantą. To daryti nebūtina, bet įtikti profesoriui visada naudinga ;-)

Atsakymas: bendras integralas:

! Pastaba: Bendrasis bet kurios lygties integralas gali būti parašytas daugiau nei vienu būdu. Taigi, jei jūsų rezultatas nesutampa su anksčiau žinomu atsakymu, tai nereiškia, kad lygtį išsprendėte neteisingai.

Bendrąjį integralą taip pat gana lengva patikrinti, svarbiausia, kad būtų galima rasti netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinė. Išskirkime atsakymą:

Abu terminus padauginame iš:

Ir padalinti iš:

Pradinė diferencialinė lygtis buvo gauta tiksliai, o tai reiškia, kad bendrasis integralas buvo rastas teisingai.

4 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą, atitinkantį pradinę sąlygą. Atlikite patikrinimą.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys.

Leiskite jums priminti, kad algoritmas susideda iš dviejų etapų:
1) bendro sprendimo radimas;
2) rasti reikiamą konkretų sprendimą.

Patikra taip pat atliekama dviem etapais (žr. pavyzdį 2 pavyzdyje), jums reikia:
1) įsitikinkite, kad rastas konkretus sprendimas atitinka pradinę sąlygą;
2) patikrinkite, ar konkretus sprendimas apskritai atitinka diferencialinę lygtį.

Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

5 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą , tenkinantis pradinę sąlygą. Atlikite patikrinimą.

Sprendimas: Pirma, suraskime bendrą sprendimą. Šioje lygtyje jau yra paruošti diferencialai, todėl sprendimas yra supaprastintas. Mes atskiriame kintamuosius:

Integruokime lygtį:

Kairėje esantis integralas yra lentelės formos, o dešinėje esantis integralas imamas funkcijos įtraukimo po diferencialiniu ženklu metodas:

Gautas bendrasis integralas, ar galima sėkmingai išreikšti bendrąjį sprendimą? Gali. Iš abiejų pusių pakabiname logaritmus. Kadangi jie yra teigiami, modulio ženklai nereikalingi:

(Tikiuosi, kad visi supranta transformaciją, tokius dalykus jau reikėtų žinoti)

Taigi bendras sprendimas yra toks:

Raskime tam tikrą sprendimą, atitinkantį pateiktą pradinę sąlygą.
Bendrajame sprendime vietoj „X“ pakeičiame nulį, o vietoj „Y“ – dviejų logaritmą:

Labiau pažįstamas dizainas:

Rastą konstantos reikšmę pakeičiame bendruoju sprendiniu.

Atsakymas: privatus sprendimas:

Patikrinkite: Pirmiausia patikrinkime, ar įvykdyta pradinė sąlyga:
- viskas zuja.

Dabar patikrinkime, ar rastas konkretus sprendimas iš viso atitinka diferencialinę lygtį. Išvestinio radimas:

Pažvelkime į pradinę lygtį: – jis pateikiamas diferencialais. Yra du būdai patikrinti. Galima išreikšti skirtumą nuo rastos išvestinės:

Rastą konkretų sprendimą ir gautą diferencialą pakeisime pradine lygtimi :

Mes naudojame pagrindinę logaritminę tapatybę:

Gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad konkretus sprendimas buvo rastas teisingai.

Antrasis tikrinimo būdas yra veidrodinis ir labiau pažįstamas: iš lygties Išreikškime išvestinę, kad tai padarytume, visas dalis padaliname iš:

O į transformuotą DE pakeičiame gautą dalinį sprendinį ir rastą išvestinę. Dėl supaprastinimų taip pat turėtų būti pasiekta teisinga lygybė.

6 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį. Pateikite atsakymą bendrojo integralo forma.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys, užbaigti sprendimą ir atsakyti pamokos pabaigoje.

Kokie sunkumai laukia sprendžiant diferencialines lygtis su atskiriamais kintamaisiais?

1) Ne visada akivaizdu (ypač „arbatinukui“), kad kintamuosius galima atskirti. Panagrinėkime sąlyginį pavyzdį: . Čia reikia išimti veiksnius iš skliaustų: ir atskirti šaknis: . Aišku ką daryti toliau.

2) Sunkumai su pačia integracija. Integralai dažnai nėra patys paprasčiausi, o jei yra trūkumų rasti įgūdžių neapibrėžtas integralas, tada su daugybe difuzorių bus sunku. Be to, logika „kadangi diferencialinė lygtis paprasta, tegul integralai būna sudėtingesni“ yra populiari tarp rinkinių ir mokymo vadovų sudarytojų.

3) Transformacijos su konstanta. Kaip visi pastebėjo, konstanta diferencialinėse lygtyse gali būti tvarkoma gana laisvai, o kai kurios transformacijos ne visada aiškios pradedančiajam. Pažvelkime į kitą sąlyginį pavyzdį: . Patartina visus jame esančius terminus padauginti iš 2: . Gauta konstanta taip pat yra tam tikra konstanta, kurią galima žymėti taip: . Taip, ir kadangi dešinėje pusėje yra logaritmas, patartina konstantą perrašyti kitos konstantos forma: .

Bėda ta, kad jie dažnai nesivargina su indeksais ir naudoja tą pačią raidę. Dėl to sprendimo įrašas yra tokios formos:

Kokia erezija? Čia yra klaidų! Griežtai kalbant, taip. Tačiau, žiūrint iš esmės, klaidų nėra, nes transformuojant kintamąją konstantą vis tiek gaunama kintamoji konstanta.

Arba kitas pavyzdys, tarkime, kad sprendžiant lygtį gaunamas bendrasis integralas. Šis atsakymas atrodo negražiai, todėl patartina pakeisti kiekvieno termino ženklą: . Formaliai čia yra dar viena klaida – reikia rašyti dešinėje. Tačiau neoficialiai numanoma, kad „minus ce“ vis dar yra pastovus ( kuris taip pat lengvai gali turėti bet kokią reikšmę!), todėl dėti „minusą“ nėra prasmės ir galite naudoti tą pačią raidę.

Stengsiuosi vengti neatsargaus požiūrio, o konvertuojant konstantoms vis tiek priskirti skirtingus indeksus.

7 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį. Atlikite patikrinimą.

Sprendimas:Ši lygtis leidžia atskirti kintamuosius. Mes atskiriame kintamuosius:

Integruokime:

Nebūtina konstantos čia apibrėžti kaip logaritmą, nes iš to nieko naudingo nebus.

Atsakymas: bendras integralas:

Patikrinkite: išskirkite atsakymą (numanoma funkcija):

Atsikratome trupmenų, padaugindami abu terminus iš:

Gauta pradinė diferencialinė lygtis, o tai reiškia, kad bendrasis integralas buvo rastas teisingai.

8 pavyzdys

Raskite konkretų DE sprendimą.
,

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Vienintelė užuomina yra ta, kad čia gausite bendrąjį integralą, o teisingiau tariant, turite sugalvoti, kad rastumėte ne konkretų sprendimą, o dalinis integralas. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

6.1. PAGRINDINĖS SĄVOKOS IR APIBRĖŽIMAI

Sprendžiant įvairius matematikos ir fizikos, biologijos ir medicinos uždavinius, gana dažnai nepavyksta iš karto nustatyti funkcinio ryšio formulės, jungiančios tiriamą procesą apibūdinančius kintamuosius, forma. Paprastai reikia naudoti lygtis, kuriose, be nepriklausomo kintamojo ir nežinomos funkcijos, yra ir jo išvestinės.

Apibrėžimas. Vadinama lygtis, jungianti nepriklausomą kintamąjį, nežinomą funkciją ir įvairios eilės jos išvestinius diferencialas.

Paprastai žymima nežinoma funkcija y(x) arba tiesiog y, ir jo dariniai - y", y" ir tt

Galimi ir kiti pavadinimai, pvz.: jei y= x(t), tada x"(t), x""(t)- jo dariniai ir t- nepriklausomas kintamasis.

Apibrėžimas. Jei funkcija priklauso nuo vieno kintamojo, tai diferencialinė lygtis vadinama įprasta. Bendras vaizdas Įprasta diferencialinė lygtis:

arba

Funkcijos F Ir f gali nebūti kai kurių argumentų, bet kad lygtys būtų diferencinės, būtina turėti išvestinę.

Apibrėžimas.Diferencialinės lygties tvarka vadinama į jį įtrauktos aukščiausios išvestinės eilės tvarka.

Pavyzdžiui, x 2 m.- y= 0, y" + sin x= 0 yra pirmosios eilės lygtys ir y"+ 2 y"+ 5 y= x- antros eilės lygtis.

Sprendžiant diferencialines lygtis, naudojama integravimo operacija, kuri yra susijusi su savavališkos konstantos atsiradimu. Jei taikomas integravimo veiksmas n kartų, tada, aišku, tirpale bus n savavališkos konstantos.

6.2. PIRMOSIOS EILĖS DIFERENCINĖS LYGTYBĖS

Bendras vaizdas pirmos eilės diferencialinė lygtis yra nustatomas pagal išraišką

Lygtyje negali būti aiškiai nurodyta x Ir y, bet būtinai turi y“.

Jei lygtį galima parašyti kaip

tada gauname pirmosios eilės diferencialinę lygtį, išspręsta išvestinės atžvilgiu.

Apibrėžimas. Pirmosios eilės diferencialinės lygties (6.3) (arba (6.4)) bendrasis sprendinys yra sprendinių aibė , Kur SU- savavališka konstanta.

Diferencialinės lygties sprendinio grafikas vadinamas integralinė kreivė.

Pateikiant savavališką konstantą SU skirtingos reikšmės, galima gauti dalinius sprendimus. Lėktuve xOy bendrasis sprendimas yra integralinių kreivių šeima, atitinkanti kiekvieną konkretų sprendimą.

Jei nustatysite tašką A (x 0, y 0), per kurią turi praeiti integralinė kreivė, tada, kaip taisyklė, iš funkcijų rinkinio Galima išskirti vieną – privatų sprendimą.

Apibrėžimas.Privatus sprendimas Diferencialinės lygties sprendimas yra jos sprendimas, kuriame nėra savavališkų konstantų.

Jeigu yra bendras sprendimas, tada nuo sąlygos

galite rasti konstantą SU. Būklė vadinama pradinė būklė.

Problema rasti konkretų diferencialinės lygties (6.3) arba (6.4) sprendimą, tenkinantį pradinę sąlygą adresu paskambino Cauchy problema. Ar ši problema visada turi sprendimą? Atsakymas pateiktas sekančioje teoremoje.

Koši teorema(sprendinio egzistavimo ir unikalumo teorema). Įveskite diferencialinę lygtį y"= f(x,y) funkcija f(x,y) ir ji

dalinė išvestinė apibrėžtas ir kai kuriose nenutrūkstamas

regione D, kuriame yra taškas Tada rajone D egzistuoja

vienintelis lygties sprendimas, tenkinantis pradinę sąlygą adresu

Koši teorema teigia, kad tam tikromis sąlygomis egzistuoja unikali integralinė kreivė y= f(x), einantis per tašką Taškai, kuriuose neįvykdomos teoremos sąlygos

Cauchies vadinami ypatingas.Šiuose taškuose jis nutrūksta f(x, y) arba.

Arba kelios integralinės kreivės, arba nė viena, nekerta vienaskaitos taško.

Apibrėžimas. Jei formoje randamas sprendimas (6.3), (6.4). f(x, y, C)= 0, neleidžiama palyginti su y, tada jis vadinamas bendrasis integralas diferencialinė lygtis.

Koši teorema tik garantuoja, kad sprendimas egzistuoja. Kadangi nėra vieno sprendimo rasti metodą, nagrinėsime tik kai kuriuos pirmos eilės diferencialinių lygčių tipus, kuriuos galima integruoti į kvadratūros.

Apibrėžimas. Diferencialinė lygtis vadinama integruojamas kvadratais, jei ieškant jo sprendimo reikia integruoti funkcijas.

6.2.1. Pirmosios eilės diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais

Apibrėžimas. Pirmos eilės diferencialinė lygtis vadinama lygtimi su atskiriami kintamieji,

Dešinė lygties pusė (6.5) yra dviejų funkcijų sandauga, kurių kiekviena priklauso tik nuo vieno kintamojo.

Pavyzdžiui, lygtis yra lygtis su atskyrimu

su kintamaisiais
ir lygtis

negali būti pavaizduotas formoje (6.5).

Atsižvelgiant į tai , perrašome (6.5) formoje

Iš šios lygties gauname diferencialinę lygtį su atskirtais kintamaisiais, kurioje diferencialai yra funkcijos, kurios priklauso tik nuo atitinkamo kintamojo:

Integruodami terminą po termino turime

kur C = C 2 - C 1 - savavališka konstanta. Išraiška (6.6) yra bendrasis lygties (6.5) integralas.

Abi (6.5) lygties puses padaliję iš, galime prarasti tuos sprendinius, kuriems Tikrai, jei adresu

Tai akivaizdu, kad yra (6.5) lygties sprendimas.

1 pavyzdys. Raskite tenkinantį lygties sprendimą

sąlyga: y= 6 val x= 2 (y(2) = 6).

Sprendimas. Mes pakeisime y" tada . Padauginkite abi puses iš

dx, kadangi tolesnės integracijos metu išvykti neįmanoma dx vardiklyje:

o tada padalijus abi dalis iš gauname lygtį,

kurias galima integruoti. Integruokime:

Tada ; stiprinant gauname y = C. (x + 1) - ob-

bendras sprendimas.

Naudodami pradinius duomenis nustatome savavališką konstantą, pakeisdami jas bendruoju sprendimu

Pagaliau gauname y= 2(x + 1) yra tam tikras sprendimas. Pažvelkime į dar kelis lygčių su atskiriamais kintamaisiais sprendimo pavyzdžius.

2 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą

Sprendimas. Atsižvelgiant į tai , gauname .

Integruodami abi lygties puses, turime

kur

3 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą Sprendimas. Abi lygties puses padalijame į tuos veiksnius, kurie priklauso nuo kintamojo, kuris nesutampa su kintamuoju po diferencialiniu ženklu, t.y. ir integruoti. Tada gauname

ir galiausiai

4 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą

Sprendimas.Žinodami, ką gausime. Skyrius

lim kintamieji. Tada

Integruodami gauname

komentuoti. 1 ir 2 pavyzdžiuose reikalinga funkcija yra y išreikštas aiškiai (bendras sprendimas). 3 ir 4 pavyzdžiuose – netiesiogiai (bendrasis integralas). Ateityje sprendimo forma nebus patikslinta.

5 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą Sprendimas.

6 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą , patenkinti

sąlyga y(e)= 1.

Sprendimas. Parašykime lygtį į formą

Abi lygties puses padauginus iš dx ir toliau, gauname

Integruodami abi lygties puses (dešinės pusės integralas paimamas dalimis), gauname

Bet pagal būklę y= 1 val x= e. Tada

Pakeiskime rastas reikšmes SU prie bendro sprendimo:

Gauta išraiška vadinama daliniu diferencialinės lygties sprendiniu.

6.2.2. Pirmos eilės vienarūšės diferencialinės lygtys

Apibrėžimas. Pirmosios eilės diferencialinė lygtis vadinama vienalytis, jeigu jį galima pavaizduoti formoje

Pateiksime vienalytės lygties sprendimo algoritmą.

1. Vietoj to y pristatykime naują funkcijąTada ir todėl

2.Pagal funkciją u lygtis (6.7) įgauna formą

tai yra, pakeitimas sumažina vienalytę lygtį į lygtį su atskiriamais kintamaisiais.

3. Išspręsdami (6.8) lygtį, pirmiausia randame u, o tada y= ux.

1 pavyzdys. Išspręskite lygtį Sprendimas. Parašykime lygtį į formą

Mes atliekame pakeitimą:
Tada

Mes pakeisime

Padauginkite iš dx: Padalinti iš x ir toliau Tada

Integravę abi lygties puses per atitinkamus kintamuosius, turime

arba, grįždami prie senųjų kintamųjų, pagaliau gauname

2 pavyzdys.Išspręskite lygtį Sprendimas.Leiskite Tada

Padalinkime abi lygties puses iš x2: Atidarykime skliaustus ir pakeiskime terminus:

Pereinant prie senų kintamųjų, gauname galutinį rezultatą:

3 pavyzdys.Raskite lygties sprendimą atsižvelgiant į tai

Sprendimas.Atliekamas standartinis pakeitimas gauname

arba

arba

Tai reiškia, kad konkretus sprendimas turi formą 4 pavyzdys. Raskite lygties sprendimą

Sprendimas.

5 pavyzdys.Raskite lygties sprendimą Sprendimas.

Savarankiškas darbas

Raskite diferencialinių lygčių su atskiriamais kintamaisiais sprendimus (1-9).

Raskite homogeninių diferencialinių lygčių sprendimą (9-18).

6.2.3. Kai kurios pirmosios eilės diferencialinių lygčių taikymas

Radioaktyvaus skilimo problema

Ra (radžio) skilimo greitis kiekvienu laiko momentu yra proporcingas jo turimai masei. Raskite Ra radioaktyvaus skilimo dėsnį, jei žinoma, kad pradiniu momentu buvo Ra ir Ra pusinės eliminacijos laikas yra 1590 metų.

Sprendimas. Tegul šiuo momentu masė Ra yra x= x(t) g ir Tada skilimo greitis Ra yra lygus

Pagal problemos sąlygas

Kur k

Atskirdami paskutinės lygties kintamuosius ir integruodami, gauname

kur

Norint nustatyti C naudojame pradinę sąlygą: kada .

Tada ir todėl

Proporcingumo koeficientas k nustatoma pagal papildomą sąlygą:

Turime

Iš čia ir reikiama formulė

Bakterijų dauginimosi greičio problema

Bakterijų dauginimosi greitis yra proporcingas jų skaičiui. Iš pradžių buvo 100 bakterijų. Per 3 valandas jų skaičius padvigubėjo. Raskite bakterijų skaičiaus priklausomybę nuo laiko. Kiek kartų per 9 valandas padidės bakterijų skaičius?

Sprendimas. Leiskite x- bakterijų skaičius vienu metu t. Tada, atsižvelgiant į būklę,

Kur k- proporcingumo koeficientas.

Iš čia Iš būklės žinoma, kad . Reiškia,

Iš papildomos sąlygos . Tada

Funkcija, kurios ieškote:

Taigi, kada t= 9 x= 800, t.y. per 9 valandas bakterijų skaičius išaugo 8 kartus.

Fermento kiekio didinimo problema

Alaus mielių kultūroje aktyvaus fermento augimo greitis yra proporcingas pradiniam jo kiekiui x. Pradinis fermento kiekis a per valandą padvigubėjo. Raskite priklausomybę

x(t).

Sprendimas. Pagal sąlygą proceso diferencialinė lygtis turi formą

iš čia

Bet . Reiškia, C= a ir tada

Taip pat žinoma, kad

Vadinasi,

6.3. ANTROS EIOS DIFFERENCINĖS LYGTYBĖS

6.3.1. Pagrindinės sąvokos

Apibrėžimas.Antros eilės diferencialinė lygtis vadinamas ryšiu, jungiančiu nepriklausomą kintamąjį, norimą funkciją ir jos pirmąją bei antrąją išvestines.

Ypatingais atvejais lygtyje gali nebūti x, adresu arba y". Tačiau antros eilės lygtyje būtinai turi būti y." Bendruoju atveju antros eilės diferencialinė lygtis rašoma taip:

arba, jei įmanoma, tokia forma, kuri išspręsta atsižvelgiant į antrąjį išvestinį:

Kaip ir pirmosios eilės lygties atveju, antros eilės lygčiai gali būti bendrieji ir specialieji sprendiniai. Bendras sprendimas yra toks:

Konkretaus sprendimo radimas

pradinėmis sąlygomis – duota

numeriai) yra vadinamas Cauchy problema. Geometriškai tai reiškia, kad turime rasti integralo kreivę adresu= y(x), einantis per tam tikrą tašką ir šiame taške turintis liestinę, kuri yra

susilygina su teigiamos ašies kryptimi Jautis nurodytas kampas. e. (6.1 pav.). Koši problema turi unikalų sprendimą, jei (6.10) lygties dešinė pusė, nepaliaujamas

yra nenutrūkstamas ir turi ištisines dalines išvestines oi, ai" kurioje nors pradinio taško kaimynystėje

Norėdami rasti konstantas įtrauktas į privatų sprendimą, sistema turi būti išspręsta

Ryžiai. 6.1. Integralinė kreivė

Instrukcijos

Jei lygtis pateikiama tokia forma: dy/dx = q(x)/n(y), klasifikuokite jas kaip diferencialines lygtis su atskiriamais kintamaisiais. Jas galima išspręsti sąlygą užrašant diferencialais taip: n(y)dy = q(x)dx. Tada sujunkite abi puses. Kai kuriais atvejais sprendimas rašomas integralų, paimtų iš žinomų funkcijų, forma. Pavyzdžiui, dy/dx = x/y atveju gauname q(x) = x, n(y) = y. Parašykite jį forma ydy = xdx ir integruokite. Tai turėtų būti y^2 = x^2 + c.

Į linijinį lygtys susieti lygtis su „pirma“. Nežinoma funkcija su jos išvestinėmis į tokią lygtį patenka tik iki pirmo laipsnio. Tiesinė forma yra dy/dx + f(x) = j(x), kur f(x) ir g(x) yra funkcijos, priklausančios nuo x. Sprendimas rašomas naudojant integralus, paimtus iš žinomų funkcijų.

Atkreipkite dėmesį, kad daugelis diferencialinių lygčių yra antrosios eilės lygtys (turinčios antrosios išvestines). Pavyzdžiui, paprasto harmoninio judėjimo lygtis parašyta bendra forma: md 2x/dt 2 = –kx. Tokios lygtys turi tam tikrus sprendimus. Paprasto harmoninio judėjimo lygtis yra gana svarbaus dalyko pavyzdys: tiesinės diferencialinės lygtys, turinčios pastovų koeficientą.

Jei uždavinio sąlygose yra tik viena tiesinė lygtis, tada jums buvo pateiktos papildomos sąlygos, per kurias galite rasti sprendimą. Atidžiai perskaitykite problemą, kad sužinotumėte šias sąlygas. Jeigu kintamieji x ir y nurodo atstumą, greitį, svorį – drąsiai nustatykite ribą x≥0 ir y≥0. Visai gali būti, kad x arba y slepia obuolių skaičių ir pan. – tada reikšmės gali būti tik . Jei x yra sūnaus amžius, aišku, kad jis negali būti vyresnis už savo tėvą, todėl nurodykite tai problemos sąlygose.

Šaltiniai:

• kaip išspręsti lygtį su vienu kintamuoju

Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo problemos yra svarbūs elementai įtvirtinant universitetuose studijuojamą aukštosios matematikos šaką – matematinės analizės teoriją. Diferencialinis lygtis išspręstas integravimo metodu.

Instrukcijos

Diferencialinis skaičiavimas tiria savybes. Ir atvirkščiai, integruojant funkciją leidžiamos nurodytos savybės, t.y. funkcijos išvestinius arba diferencialus, kad surastų ją pačią. Tai yra diferencialinės lygties sprendimas.

Viskas yra ryšys tarp nežinomo kiekio ir žinomų duomenų. Diferencialinės lygties atveju nežinomojo vaidmenį atlieka funkcija, o žinomų dydžių – jos išvestinės. Be to, ryšys gali turėti nepriklausomą kintamąjį: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, kur x yra nežinomas kintamasis, y (x) yra funkcija, kurią reikia nustatyti, lygties tvarka yra didžiausia išvestinės (n) tvarka.

Tokia lygtis vadinama įprasta diferencialine lygtimi. Jei ryšį sudaro keli nepriklausomi kintamieji ir funkcijos dalinės išvestinės (diferencialinės) šių kintamųjų atžvilgiu, tai lygtis vadinama daline diferencialine lygtimi ir turi tokią formą: x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0 , kur z(x, y) yra reikalinga funkcija.

Taigi, norint išmokti spręsti diferencialines lygtis, reikia mokėti rasti antidarinius, t.y. išspręskite problemą atvirkščiai diferenciacijai. Pavyzdžiui: išspręskite pirmosios eilės lygtį y’ = -y/x.

Sprendimas Pakeiskite y' į dy/dx: dy/dx = -y/x.

Sumažinkite lygtį iki formos, patogios integravimui. Norėdami tai padaryti, padauginkite abi puses iš dx ir padalykite iš y:dy/y = -dx/x.

Integruoti: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln |x| +C.

Šis sprendimas vadinamas bendrąja diferencialine lygtimi. C yra konstanta, kurios reikšmių rinkinys nustato lygties sprendinių rinkinį. Bet kuriai konkrečiai C vertei sprendimas bus unikalus. Šis sprendimas yra dalinis diferencialinės lygties sprendimas.

Daugumos aukštesnės eilės lygčių sprendimas laipsnių neturi aiškios kvadratinių šaknų radimo formulės lygtys. Tačiau yra keletas mažinimo metodų, leidžiančių aukštesnio laipsnio lygtį paversti labiau vaizdine forma.

Instrukcijos

Dažniausias aukštesnio laipsnio lygčių sprendimo būdas yra plėtimas. Šis metodas yra sveikųjų skaičių šaknų, laisvojo termino daliklių parinkimo ir vėlesnio bendrojo daugianario padalijimo į formą (x – x0) derinys.

Pavyzdžiui, išspręskite lygtį x^4 + x³ + 2 x² – x – 3 = 0. Sprendimas: Šio daugianario laisvasis narys yra -3, todėl jo sveikieji dalikliai gali būti skaičiai ±1 ir ±3. Pakeiskite juos po vieną į lygtį ir sužinokite, ar gavote tapatybę: 1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.

Antroji šaknis x = -1. Padalinkite iš išraiškos (x + 1). Užrašykite gautą lygtį (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. Laipsnis sumažintas iki sekundės, todėl lygtis gali turėti dar dvi šaknis. Norėdami juos rasti, išspręskite kvadratinę lygtį: x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

Diskriminantas yra neigiama reikšmė, o tai reiškia, kad lygtis nebeturi realių šaknų. Raskite lygties kompleksines šaknis: x = (-2 + i·√11)/2 ir x = (-2 – i·√11)/2.

Kitas aukštesnio laipsnio lygties sprendimo būdas yra pakeisti kintamuosius, kad jie būtų kvadratiniai. Šis metodas naudojamas, kai visos lygties laipsniai yra lygūs, pavyzdžiui: x^4 – 13 x² + 36 = 0

Dabar raskite pradinės lygties šaknis: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

10 patarimas: kaip nustatyti redokso lygtis

Cheminė reakcija yra medžiagų transformacijos procesas, vykstantis pasikeitus jų sudėčiai. Tos medžiagos, kurios reaguoja, vadinamos pradinėmis medžiagomis, o tos, kurios susidaro šio proceso metu, vadinamos produktais. Taip atsitinka, kad cheminės reakcijos metu pradines medžiagas sudarantys elementai pakeičia oksidacijos būseną. Tai yra, jie gali priimti svetimus elektronus ir atiduoti savuosius. Abiem atvejais jų mokestis keičiasi. Tokios reakcijos vadinamos redokso reakcijomis.

Prisiminkime užduotį, su kuria susidūrėme ieškant apibrėžtųjų integralų:

arba dy = f(x)dx. Jos sprendimas:

ir reikia skaičiuoti neapibrėžtą integralą. Praktikoje dažniau susiduriama su sudėtingesne užduotimi: funkcijos paieška y, jei žinoma, kad jis tenkina formos santykį

Šis ryšys sieja nepriklausomą kintamąjį x, nežinoma funkcija y ir jos dariniai iki eilės n imtinai, yra vadinami .

Diferencialinė lygtis apima funkciją po vienos ar kitos eilės išvestinių (arba diferencialų) ženklu. Aukščiausia tvarka vadinama tvarka (9.1) .

Diferencialinės lygtys:

- pirmas užsakymas,

Antra tvarka

- penktoji tvarka ir kt.

Funkcija, kuri tenkina duotą diferencialinę lygtį, vadinama jos sprendimu , arba integralinis . Ją išspręsti reiškia rasti visus jos sprendimus. Jei reikiamai funkcijai y pavyko gauti formulę, kuri pateikia visus sprendimus, tada sakome, kad radome jos bendrą sprendimą , arba bendrasis integralas .

Bendras sprendimas yra n savavališkos konstantos ir atrodo

Jei gaunamas santykis, kuris susijęs x, y Ir n savavališkos konstantos, tokia forma, kuri neleidžiama y -

tada toks ryšys vadinamas (9.1) lygties bendruoju integralu.

Cauchy problema

Kiekvienas konkretus sprendimas, t. y. kiekviena specifinė funkcija, kuri tenkina duotą diferencialinę lygtį ir nepriklauso nuo savavališkų konstantų, vadinama konkrečiu sprendimu , arba dalinis integralas. Norint gauti konkrečius sprendinius (integralus) iš bendrųjų, konstantoms turi būti suteikiamos konkrečios skaitinės reikšmės.

Konkretaus sprendimo grafikas vadinamas integraliąja kreive. Bendrasis sprendimas, kuriame yra visi daliniai sprendiniai, yra integralinių kreivių šeima. Pirmos eilės lygčiai ši šeima priklauso nuo vienos savavališkos lygties konstantos n-tas užsakymas - nuo n savavališkos konstantos.

Koši problema yra rasti konkretų lygties sprendimą n- eilės, tenkina n pradinės sąlygos:

pagal kuriuos nustatoma n konstantų c 1, c 2,..., c n.

1 eilės diferencialinės lygtys

Pirmos eilės diferencialinei lygčiai, kuri yra neišspręsta išvestinės atžvilgiu, ji turi formą

arba leistinam santykinai

3.46 pavyzdys. Raskite bendrąjį lygties sprendimą

Sprendimas. Integruodami gauname

kur C yra savavališka konstanta. Jei C priskiriame konkrečias skaitines reikšmes, gauname konkrečius sprendimus, pvz.

3.47 pavyzdys. Apsvarstykite didėjančią pinigų sumą, įneštą į banką, priskaičiuojant 100 r sudėtines palūkanas per metus. Tegul Yo yra pradinė pinigų suma, o Yx - pabaigoje x metų. Jei palūkanas skaičiuoja kartą per metus, gauname

kur x = 0, 1, 2, 3,.... Kai palūkanos skaičiuojamos du kartus per metus, gauname

kur x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Skaičiuojant palūkanas n kartą per metus ir jei x paima nuoseklias reikšmes 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., tada

Nurodykite 1/n = h, tada ankstesnė lygybė atrodys taip:

Su neribotu padidinimu n(at ) riboje pasiekiame pinigų sumos didinimo procesą nuolat kaupiant palūkanas:

Taigi aišku, kad nuolat keičiantis x pinigų pasiūlos kitimo dėsnis išreiškiamas 1-osios eilės diferencine lygtimi. kur Y x yra nežinoma funkcija, x- nepriklausomas kintamasis, r- pastovus. Išspręskime šią lygtį, kad tai padarytume, ją perrašome taip:

kur , arba , kur P reiškia e C .

Iš pradinių sąlygų Y(0) = Yo randame P: Yo = Pe o, iš kur Yo = P. Todėl sprendinys turi tokią formą:

Panagrinėkime antrąją ekonominę problemą. Makroekonominiai modeliai taip pat aprašomi I eilės tiesinėmis diferencialinėmis lygtimis, apibūdinančiomis pajamų arba produkcijos Y pokyčius kaip laiko funkcijas.

3.48 pavyzdys. Tegul nacionalinės pajamos Y didėja proporcingai jų vertei:

ir tegul valdžios sektoriaus išlaidų deficitas yra tiesiogiai proporcingas pajamoms Y su proporcingumo koeficientu q. Dėl išlaidų deficito didėja valstybės skola D:

Pradinės sąlygos Y = Yo ir D = Do, kai t = 0. Iš pirmosios lygties Y = Yoe kt. Pakeitę Y gauname dD/dt = qYoe kt . Bendras sprendimas turi formą
D = (q/ k) Yoe kt +С, kur С = const, kuris nustatomas iš pradinių sąlygų. Pakeitę pradines sąlygas, gauname Do = (q/ k)Yo + C. Taigi, galiausiai,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

tai rodo, kad valstybės skola didėja tokiu pačiu santykiniu tempu k, tokios pat kaip nacionalinės pajamos.

Panagrinėkime paprasčiausias diferencialines lygtis n eilės, tai yra formos lygtys

Jo bendrą sprendimą galima gauti naudojant n kartų integracijos.

3.49 pavyzdys. Apsvarstykite pavyzdį y """ = cos x.

Sprendimas. Integruodami, randame

Bendras sprendimas turi formą

Tiesinės diferencialinės lygtys

Jie plačiai naudojami ekonomikoje, pasvarstykime, kaip išspręsti tokias lygtis. Jei (9.1) turi tokią formą:

tada ji vadinama tiesine, kur рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) pateiktos funkcijos. Jei f(x) = 0, tai (9.2) vadinamas vienarūšiu, kitu atveju nehomogeniniu. Bendrasis lygties (9.2) sprendinys yra lygus bet kurio konkrečių jos sprendinių sumai y(x) ir ją atitinkančios homogeninės lygties bendras sprendinys:

Jei koeficientai р o (x), р 1 (x),..., р n (x) yra pastovūs, tai (9.2)

(9.4) vadinama tiesine diferencialine lygtimi su pastoviais eilės koeficientais n .

(9.4) turi tokią formą:

Neprarasdami bendrumo, galime nustatyti p o = 1 ir įrašyti (9.5) į formą

Ieškosime sprendinio (9.6) formoje y = e kx, kur k yra konstanta. Turime: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Pakeisdami gautas išraiškas į (9.6), turėsime:

(9.7) yra algebrinė lygtis, jos nežinomas yra k, tai vadinama charakteristika. Būdingoji lygtis turi laipsnį n Ir nšaknys, tarp kurių gali būti tiek daug, tiek sudėtingų. Tegul k 1 , k 2 ,..., k n yra tikri ir skirtingi - konkretūs sprendimai (9.7) ir bendrieji

Apsvarstykite tiesinę homogeninę antros eilės diferencialinę lygtį su pastoviais koeficientais:

Jai būdinga lygtis turi formą

(9.9)

jo diskriminantas D = p 2 - 4q, priklausomai nuo D ženklo, galimi trys atvejai.

1. Jei D>0, tai šaknys k 1 ir k 2 (9.9) yra tikrosios ir skirtingos, o bendrasis sprendinys turi tokią formą:

Sprendimas. Charakteristinė lygtis: k 2 + 9 = 0, iš kur k = ± 3i, a = 0, b = 3, bendrasis sprendimas turi tokią formą:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

2 eilės tiesinės diferencialinės lygtys naudojamos tiriant web tipo ekonominį modelį su prekių atsargomis, kur kainos kitimo greitis P priklauso nuo atsargų dydžio (žr. 10 punktą). Jei pasiūla ir paklausa yra tiesinės kainos funkcijos, tai yra

a yra konstanta, kuri lemia reakcijos greitį, tada kainos kitimo procesas apibūdinamas diferencine lygtimi:

Tam tikram sprendimui galime paimti konstantą

prasminga pusiausvyros kaina. Nukrypimas tenkina homogeninę lygtį

(9.10)

Būdinga lygtis bus tokia:

Jei terminas teigiamas. Pažymėkime . Charakteristinės lygties k 1,2 = ± i w šaknys, todėl bendrasis sprendinys (9.10) turi tokią formą:

kur C ir yra savavališkos konstantos, jos nustatomos iš pradinių sąlygų. Gavome kainų kitimo laikui bėgant dėsnį:

Paprastoji diferencialinė lygtis yra lygtis, susiejanti nepriklausomą kintamąjį, nežinomą šio kintamojo funkciją ir įvairios eilės jo išvestinius (arba diferencialus).

Diferencialinės lygties tvarka vadinamas aukščiausios jame esančios išvestinės eilės tvarka.

Be įprastų, tiriamos ir dalinės diferencialinės lygtys. Tai lygtys, susijusios su nepriklausomais kintamaisiais, nežinoma šių kintamųjų funkcija ir jos dalinės išvestinės tų pačių kintamųjų atžvilgiu. Bet mes tik apsvarstysime įprastos diferencialinės lygtys ir todėl trumpumo dėlei praleisime žodį „įprastas“.

Diferencialinių lygčių pavyzdžiai:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

(1) lygtis yra ketvirtos eilės, (2) lygtis yra trečios eilės, (3) ir (4) lygtys yra antros eilės, (5) lygtis yra pirmos eilės.

Diferencialinė lygtis n eilėje nebūtinai turi būti aiški funkcija, visos jos išvestinės nuo pirmosios iki n-osios eilės ir nepriklausomas kintamasis. Jame negali būti aiškiai tam tikros eilės išvestinių, funkcijos ar nepriklausomo kintamojo.

Pavyzdžiui, (1) lygtyje aiškiai nėra trečios ir antros eilės išvestinių, taip pat funkcijos; (2) lygtyje - antros eilės išvestinė ir funkcija; (4) lygtyje – nepriklausomas kintamasis; (5) lygtyje – funkcijos. Tik (3) lygtyje yra aiškiai visos išvestinės, funkcija ir nepriklausomas kintamasis.

Diferencialinės lygties sprendimas kiekviena funkcija vadinama y = f(x), kai pakeičiama į lygtį, ji virsta tapatybe.

Diferencialinės lygties sprendimo paieškos procesas vadinamas jo integracija.

1 pavyzdys. Raskite diferencialinės lygties sprendimą.

Sprendimas. Parašykime šią lygtį į formą . Sprendimas yra surasti funkciją iš jos išvestinės. Pradinė funkcija, kaip žinoma iš integralinio skaičiavimo, yra antiderivatinė, t.y.

Štai viskas šios diferencialinės lygties sprendimas . Keistis joje C, gausime skirtingus sprendimus. Išsiaiškinome, kad pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendinių yra be galo daug.

Bendrasis diferencialinės lygties sprendimas n eilė yra jos sprendimas, aiškiai išreikštas nežinomos funkcijos atžvilgiu ir turintis n nepriklausomos savavališkos konstantos, t.y.

1 pavyzdyje pateiktos diferencialinės lygties sprendimas yra bendras.

Dalinis diferencialinės lygties sprendimas vadinamas sprendimas, kuriame savavališkoms konstantoms suteikiamos konkrečios skaitinės reikšmės.

2 pavyzdys. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą ir konkretų sprendimą .

Sprendimas. Integruokime abi lygties puses tiek kartų, kiek lygi diferencialinės lygties tvarkai.

,

.

Dėl to gavome bendrą sprendimą -

pateiktos trečios eilės diferencialinės lygties.

Dabar suraskime konkretų sprendimą nurodytomis sąlygomis. Norėdami tai padaryti, pakeiskite jų reikšmes vietoj savavališkų koeficientų ir gaukite

.

Jei, be diferencialinės lygties, pradinė sąlyga pateikiama forma , tai tokia problema vadinama Cauchy problema . Pakeiskite reikšmes ir į bendrą lygties sprendimą ir raskite savavališkos konstantos reikšmę C, o tada konkretus rastos reikšmės lygties sprendimas C. Tai yra Koši problemos sprendimas.

3 pavyzdys. Išspręskite Koši uždavinį diferencialinei lygčiai iš 1 pavyzdžio subjekto .

Sprendimas. Pradinės sąlygos reikšmes pakeisime bendruoju sprendimu y = 3, x= 1. Gauname

Užrašome šios pirmos eilės diferencialinės lygties Koši uždavinio sprendimą:

Norint išspręsti diferencialines lygtis, net ir pačias paprasčiausias, reikia gerų integravimo ir išvestinių įgūdžių, įskaitant sudėtingas funkcijas. Tai galima pamatyti toliau pateiktame pavyzdyje.

4 pavyzdys. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą.

Sprendimas. Lygtis parašyta tokia forma, kad galėtumėte iškart integruoti abi puses.

.

Taikome integravimo keičiant kintamąjį metodą (pakeitimą). Tebūnie tada.

Privaloma paimti dx o dabar – dėmesys – tai darome pagal kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisykles, kadangi x ir yra sudėtinga funkcija („obuolys“ yra kvadratinės šaknies ištraukimas arba, kas yra tas pats, padidinimas iki „pusės“, o „malta mėsa“ yra pati išraiška po šaknimi):

Mes randame integralą:

Grįžtant prie kintamojo x, gauname:

.

Tai yra bendras šios pirmojo laipsnio diferencialinės lygties sprendimas.

Sprendžiant diferencialines lygtis reikės ne tik ankstesnių aukštosios matematikos skyrių įgūdžių, bet ir pradinės, tai yra mokyklinės matematikos. Kaip jau minėta, bet kokios eilės diferencialinėje lygtyje gali nebūti nepriklausomo kintamojo, ty kintamojo x. Išspręsti šią problemą padės mokyklos žinios apie proporcijas, kurios nebuvo pamirštos (tačiau, priklausomai nuo to, kas). Tai yra kitas pavyzdys.