Funkcijos grafiko liestinės lygtis. Funkcinės lygtys

Liestinė yra tiesi linija , kuris paliečia funkcijos grafiką viename taške ir kurio visi taškai yra trumpiausiu atstumu nuo funkcijos grafiko. Todėl liestinė eina funkcijos grafiko liestine tam tikru kampu, o kelios liestinės skirtingais kampais negali praeiti per liesties tašką. Funkcijos grafiko liestinės ir normaliosios lygtys sudaromos naudojant išvestinę.

Tangentinė lygtis gaunama iš tiesės lygties .

Išveskime funkcijos grafiko liestinės lygtį, o tada normaliosios lygtį.

y = kx + b .

Jame k- kampo koeficientas.

Iš čia gauname tokį įrašą:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Išvestinė vertė f "(x 0 ) funkcijas y = f(x) taške x0 lygus nuolydžiui k= tg φ per tašką nubrėžtos funkcijos grafiko liestinė M0 (x 0 , y 0 ) , Kur y0 = f(x 0 ) . Tai yra geometrinė vedinio reikšmė .

Taigi galime pakeisti kįjungta f "(x 0 ) ir gaukite šiuos dalykus funkcijos grafiko liestinės lygtis :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

Esant uždaviniams, susijusiems su funkcijos grafiko liestinės lygties sudarymu (ir netrukus prie jų pereisime), reikia iš aukščiau pateiktos formulės gautą lygtį sumažinti iki bendrosios formos tiesės lygtis. Norėdami tai padaryti, visas raides ir skaičius turite perkelti į kairę lygties pusę, o dešinėje - palikti nulį.

Dabar apie normalią lygtį. Normalus - tai tiesi linija, einanti per funkcijos, statmenos liestinei, grafiko liesties tašką. Normali lygtis :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Norėdami sušilti, jūsų prašoma pačiam išspręsti pirmąjį pavyzdį, o tada pažvelgti į sprendimą. Yra pagrindo tikėtis, kad ši užduotis mūsų skaitytojams nebus „šaltas dušas“.

0 pavyzdys. Sukurkite funkcijos taške grafikui liestinės lygtį ir normaliąją lygtį M (1, 1) .

1 pavyzdys. Parašykite funkcijos grafiko liestinės lygtį ir normaliąją lygtį , jei abscisė liestinė .

Raskime funkcijos išvestinę:

Dabar turime viską, ką reikia pakeisti į teorinės pagalbos įrašą, kad gautume liestinės lygtį. Mes gauname

Šiame pavyzdyje mums pasisekė: nuolydis buvo lygus nuliui, todėl nereikėjo atskirai redukuoti lygties į bendrą formą. Dabar galime sukurti normalią lygtį:

Žemiau esančiame paveikslėlyje: funkcijos grafikas yra bordo, liestinė yra žalia, normalioji yra oranžinė.

Kitas pavyzdys taip pat nesudėtingas: funkcija, kaip ir ankstesniame, taip pat yra daugianario, tačiau nuolydis nebus lygus nuliui, todėl bus pridėtas dar vienas žingsnis - lygties išvedimas į bendrą formą.

2 pavyzdys.

Sprendimas. Raskime liestinės taško ordinatę:

Raskime funkcijos išvestinę:

.

Raskime išvestinės reikšmę liestinės taške, tai yra liestinės nuolydį:

Visus gautus duomenis pakeičiame į „tuščią formulę“ ir gauname liestinės lygtį:

Pateikiame lygtį į bendrą formą (kairėje pusėje renkame visas raides ir skaičius, išskyrus nulį, o dešinėje paliekame nulį):

Sudarome normalią lygtį:

3 pavyzdys. Funkcijos grafike parašykite liestinės lygtį ir normaliąją lygtį, jei abscisė yra liestinės taškas.

Sprendimas. Raskime liestinės taško ordinatę:

Raskime funkcijos išvestinę:

.

Raskime išvestinės reikšmę liestinės taške, tai yra liestinės nuolydį:

.

Randame liestinės lygtį:

Prieš pateikdami lygtį į bendrą formą, turite ją šiek tiek „šukuoti“: terminą iš termino padauginkite iš 4. Mes tai darome ir pateikiame lygtį į bendrą formą:

Sudarome normalią lygtį:

4 pavyzdys. Funkcijos grafike parašykite liestinės lygtį ir normaliąją lygtį, jei abscisė yra liestinės taškas.

Sprendimas. Raskime liestinės taško ordinatę:

.

Raskime funkcijos išvestinę:

Raskime išvestinės reikšmę liestinės taške, tai yra liestinės nuolydį:

.

Gauname liestinės lygtį:

Pateikiame lygtį į bendrą formą:

Sudarome normalią lygtį:

Dažna klaida rašant tangentines ir normaliąsias lygtis yra nepastebėti, kad pavyzdyje pateikta funkcija yra sudėtinga, ir apskaičiuoti jos išvestinę kaip paprastos funkcijos išvestinę. Šie pavyzdžiai jau yra iš sudėtingos funkcijos(atitinkama pamoka atsidarys naujame lange).

5 pavyzdys. Funkcijos grafike parašykite liestinės lygtį ir normaliąją lygtį, jei abscisė yra liestinės taškas.

Sprendimas. Raskime liestinės taško ordinatę:

Dėmesio! Ši funkcija yra sudėtinga, nes liestinės argumentas (2 x) pati yra funkcija. Todėl funkcijos išvestinę randame kaip kompleksinės funkcijos išvestinę.

Todėl kyla natūralus noras aukštesnės nei pirmosios eilės lygtį redukuoti į žemesnės eilės lygtį. Kai kuriais atvejais tai galima padaryti. Pažiūrėkime į juos.

1. Formos y (n) =f(x) lygtys išsprendžiamos nuoseklia integracija n kartų
, ,… .
Pavyzdys. Išspręskite lygtį xy""=1. Todėl galime parašyti y"=ln|x| + C 1 ir vėl integruodami pagaliau gauname y=∫ln|x| + C 1 x + C 2

2. Formos F(x,y (k) ,y (k +1) ,..,y (n)) lygtyse = 0 (tai yra, kuriose nėra aiškiai nežinomos funkcijos ir kai kurių jos išvestinių), tvarka sumažinama keičiant kintamąjį y (k) = z(x). Tada y (k +1) =z"(x),...,y (n) = z (n - k) (x) ir gauname lygtį F(x,z,z",..,z (n - k)) n-k eilės. Jo sprendimas yra funkcija z = φ(x,C 1 ,C 2 ,…,C n) arba, prisimindami, kas yra z, gauname lygtį y (n- k) = φ(x,C 1 ,C 2 , …, C n - k) 1 tipo atveju.
1 pavyzdys. Išspręskite lygtį x 2 y"" = (y") 2. Pakeiskite y"=z(x) . Tada y""=z"(x). Pakeitę pradinę lygtį, gauname x 2 z"=z 2. Atskirdami kintamuosius, gauname . Integruojame, turime , arba, kuris yra tas pats, . Paskutinis santykis rašomas forma , iš kur . Integruodami pagaliau gauname
2 pavyzdys. Išspręskite lygtį x 3 y"" +x 2 y"=1. Atliekame kintamųjų keitimą: y"=z; y""=z"
x 3 z"+x 2 z=1. Keičiame kintamuosius: z=u/x; z"=(u"x-u)/x 2
x 3 (u"x-u)/x 2 +x 2 u/x=1 arba u"x 2 -xu+xu=1 arba u"x^2=1. Iš: u"=1/x 2 arba du/ dx = 1 / x 2 arba u = int (dx / x 2) = -1 / x + c 1
Kadangi z=u/x, tai z = -1/x 2 +c 1 /x. Kadangi y"=z, tada dy/dx=-1/x 2 +c 1 /x
y = int(c 1 dx/x-dx/x 2) =c 1 ln(x) + 1/x + c 2. Atsakymas: y = c 1 ln(x) + 1/x + c 2

3. Kita lygtis, kurią galima redukuoti eilės tvarka, yra F(y,y,y"",…,y (n))=0 formos lygtis, kurioje nėra tiesiogiai nepriklausomo kintamojo. lygtis sumažinama pakeičiant kintamąjį y" =p(y) , kur p yra nauja norima funkcija, priklausanti nuo y. Tada
= ir taip toliau. Indukcija gauname y (n) =φ(p,p",...,p (n-1)) Pakeitę pirminę lygtį, sumažiname jos eilę vienu.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį (y") 2 +2yy""=0. Padarome standartinį pakeitimą y"=p(y), tada y″=p′·p. Pakeitę į lygtį, gauname Atskirdami kintamuosius, kai p≠0, gauname integravimą arba, kas yra tas pats dalykas, . Tada arba. Integruodami paskutinę lygybę, pagaliau gauname Atskirdami kintamuosius galime prarasti sprendinį y=C, kuris gaunamas esant p=0, arba, kas yra tas pats, kai y"=0, bet jis yra gautame aukščiau.

4. Kartais galima pastebėti ypatybę, leidžiančią sumažinti lygties tvarką skirtingais būdais nei aptarti aukščiau. Parodykime tai pavyzdžiais.

Pavyzdžiai.
1. Jei abi lygties yy"""=y′y″ pusės yra padalintos iš yy″, gauname lygtį, kurią galima perrašyti kaip (lny″)′=(lny)′. Iš paskutinio santykio matyti, kad lny″=lny +lnC, arba, kas yra tas pats, y″=Cy.
2. Panašiai lygties yy″=y′(y′+1) turime arba (ln(y"+1)" = (lny)". Iš paskutinio ryšio išplaukia, kad ln(y"+ 1) = lny + lnC 1, arba y"=C 1 y-1. Atskirdami kintamuosius ir integruodami, gauname ln(C 1 y-1) = C 1 x+C 2
Nuspręskite lygtys, kurios gali būti sumažintos eilės tvarka galima pasinaudoti specialia paslauga

Tegu duota funkcija f, kuri tam tikru momentu x 0 turi baigtinę išvestinę f (x 0). Tada tiesė, einanti per tašką (x 0 ; f (x 0)), turinti kampinį koeficientą f ’(x 0), vadinama liestine.

Kas atsitiks, jei išvestinė taške x 0 neegzistuoja? Yra dvi parinktys:

1. Grafo liestinės taip pat nėra. Klasikinis pavyzdys yra funkcija y = |x | taške (0; 0).
2. Liestinė tampa vertikali. Tai galioja, pavyzdžiui, funkcijai y = arcsin x taške (1; π /2).

Tangento lygtis

Bet kuri nevertikali tiesė nurodoma y = kx + b formos lygtimi, kur k yra nuolydis. Liestinė nėra išimtis, ir norint sudaryti jos lygtį tam tikru tašku x 0, pakanka žinoti funkcijos reikšmę ir išvestinę šiame taške.

Taigi, duokime funkciją y = f (x), kurios atkarpoje yra išvestinė y = f ’(x). Tada bet kuriame taške x 0 ∈ (a; b) galima nubrėžti šios funkcijos grafiko liestinę, kurią pateikia lygtis:

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Čia f ’(x 0) yra išvestinės reikšmė taške x 0, o f (x 0) yra pačios funkcijos reikšmė.

Užduotis. Duota funkcija y = x 3 . Parašykite šios funkcijos grafiko liestinės taške x 0 = 2 lygtį.

Liestinės lygtis: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Mums duotas taškas x 0 = 2, tačiau reikės apskaičiuoti reikšmes f (x 0) ir f '(x 0).

Pirmiausia suraskime funkcijos reikšmę. Čia viskas paprasta: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Dabar suraskime išvestinę: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
Išvestinėje pakeičiame x 0 = 2: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Iš viso gauname: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Tai yra liestinės lygtis.

Užduotis. Parašykite funkcijos f (x) = 2sin x + 5 grafiko liestinės taške x 0 = π /2 lygtį.

Šį kartą kiekvieno veiksmo detaliai neaprašysime – nurodysime tik pagrindinius žingsnius. Turime:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Tangento lygtis:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

Pastaruoju atveju tiesi linija pasirodė esanti horizontali, nes jo kampinis koeficientas k = 0. Čia nėra nieko blogo – mes tiesiog suklupome ant ekstremumo taško.

Tegu lygtis duota f(x) = 0 . Skaičius x vadinama duotosios lygties šaknimi, jei ją pakeitus į lygtį ji paverčia lygybe, t. f(x) = 0 . Skaičius x vadinamas funkcijos nuliu f(x) .Lygties šaknų radimas tam tikru tikslumu gali būti suskirstytas į du etapus:

1) šaknų atskyrimas, tai yra intervalų, kuriuose yra viena lygties šaknis, nustatymas;

2) pasirinktam intervalui priklausančios šaknies apskaičiavimas duotu tikslumu.

Yra žinoma, kad jei funkcija f(x) yra ištisinis ir užima segmento galus [a, b] skirtingų ženklų reikšmės, tai yra f(a)× f(b)< 0 , tada šiame segmente yra funkcijos nulis.

Atskirti (arba lokalizuoti) lygties šaknį f(x) = 0 funkcijai, kuri tęsiasi apibrėžimo srityje f(x) galite sukurti funkcijų reikšmių lentelę y = f(x) tam tikru argumentų kaitos intervalu X . Jei kai kurių gretimų argumento verčių funkcijos reikšmės turi skirtingus ženklus, tada funkcijos nulis yra tarp jų.

Tegu lygtis duota f(x) = 0 , kur funkcija f(x) ištisinis segmente [a, b] Ir f(a)× f(b)< 0 .Norėdami apskaičiuoti šios lygties šaknį
x О[a, b] yra šio segmento vidurys x 1 = 0,5 (a+b) . Jeigu f(x 1) ¹ 0 , tada norėdami tęsti skaičiavimus, pasirinkite vieną iš šio segmento dalių
[a, x 1] arba [x 1, b] , kurio galuose funkcija f(x) turi priešingus požymius. Nurodomi naujo segmento galai a 1 Ir b 1 . Naujas segmentas [a 1, b 1] vėl padalijama per pusę ir atliekami skaičiavimai pagal nubrėžtą schemą ir pan. Rezultatas yra arba tiksli tam tikros lygties šaknis tam tikrame etape, arba įdėtų segmentų seka [a, b] ,
[a 1, b 1] , … , [a n, b n] , ..., tokia, kad:

f(a n) × f(b n)< 0 , n =1, 2, …

Skaičius x - bendroji sekų riba (a n) Ir (mln.) – yra lygties šaknis f(x) = 0 .

Įjungta sprendimo klaidos įvertinimas n -tas skaičiavimo žingsnis turi formą.

2.2 Lygčių ir nelygybių sprendimo metodika

Lygtys ir nelygybės – tradicinė mokyklinio matematikos kurso tema, užimanti didelę vietą, nuo žemesnių klasių, kur su paprasčiausiomis lygtimis ir nelygybėmis supažindinama iki teorijos, paremtos aritmetinių veiksmų savybėmis, įvedimu, baigiant vyr. klasėse, kur sprendžiamos transcendentinės lygtys.

Lygtys ir nelygybės atspindi algebrinį aparatą, kalbą, į kurią verčiamos įvairios problemos, įskaitant taikomąsias, ir kuriami jų matematiniai modeliai.

Funkcijų monotoniškumo naudojimas sprendžiant lygtis ir nelygybes. Vieną iš dažniausiai pasitaikančių idėjų gerai iliustruoja šios paprastos nelygybės sprendimas:

1. Išspręskite nelygybę:.

Sprendimas. Yra du standartiniai sprendimai: kvadratūra (pateikiama
; jeigu
, galioja nelygybė) ir nežinomybės pakeitimas
.

Apsvarstykime kitą metodą - nestandartinį. Kairėje pusėje esanti funkcija monotoniškai didėja, o pirmoje dalyje esanti funkcija mažėja. Iš akivaizdžių grafinių svarstymų išplaukia, kad lygtis
x 0 yra šios lygties sprendimas, tada kada
bus, ir šios nelygybės sprendimas bus
. Reikšmė x 0 lengva pasirinkti: x 0 = 1.

Atsakymas.
.

2. Išspręskite lygtį:
.

Sprendimas. Ši lygtis turi aiškų sprendimą x= 1. Įrodykime, kad kitų sprendinių nėra. Abi dalis padalinkime iš , gauname
. Kairė pusė yra monotoniškai mažėjanti funkcija. Vadinasi, kiekvieną savo vertę ji paima vieną kartą, t.y. ši lygtis turi unikalų sprendimą.

Atsakymas. x = 1.

Taigi pagrindinė idėja, kuria buvo grindžiami šių dviejų pavyzdžių sprendimai, yra gana paprasta: jei f(x) didėja monotoniškai, ir φ (x) mažėja monotoniškai, tada lygtis f(x) = φ (x) turi daugiausia vieną sprendimą ir jei x = x 0 yra šios lygties sprendimas, tada kada x > x 0 (x yra abiejų funkcijų sferoje f(x) Ir φ (x) ) valia f(x) > φ (x) , ir kada x x 0 bus

f(x) φ (x) .

Verta atkreipti dėmesį į vieną šios idėjos modifikaciją, būtent: jei f(x) yra monotoninė funkcija, tada iš lygybės f(x) = f(y) iš to išplaukia x = y .

3.Išspręskite lygtį:.

Sprendimas . Transformuokime lygtį:

.

Apsvarstykite funkciją
.

Įrodykime, kad kada t > 1 ši funkcija monotoniškai mažėja. Tai galima padaryti, pavyzdžiui, standartiniu būdu: suraskite išvestinę

ir įrodyti, kad kada t > 1
. Parodykime kitą būdą:

.

Gauta funkcija akivaizdžiai mažėja (bazė didėja, po logaritmo ženklu funkcija mažėja).

Mūsų lygtis yra tokia: , o tai reiškia . Kairėje yra didėjanti funkcija, todėl sprendimas yra unikalus, lengvai randamas pasirinkus: x = 4.

Atsakymas. x = 4 .

Formos lygtysf ( f ( x )) = x . Sprendžiant tokio tipo lygtis, naudinga ši teorema:

Jei y = f(x) yra monotoniškai didėjanti funkcija, tai lygtys

f(x) = x(A)

f (f (x)) = x (B)

lygiavertis.

Įrodymas. Tai, kad (B) lygtis yra (A) lygties pasekmė, akivaizdu: bet kuri šaknis (A) tenkina (B). (Jei

f (x 0 ) = x 0 , Tai f (f (x 0 )) = f (x 0 ) = x 0.). Įrodykime, kad bet kuri (B) lygties šaknis tenkina (A) lygtį. Leiskite x 0 toks f (f (x 0 )) = x 0 .Tarkime, kad f (x 0 ) ≠ x 0 ir apibrėžtumui f (x 0 ) > x 0 . Tada f (f (x 0 )) > f (x 0 ) > x 0, o tai prieštarauja prielaidai ( f (f (x 0 )) = x 0). Teorema įrodyta.

Ar teorema teisinga monotoniškai mažėjančiai funkcijai?

komentuoti. Jeigu y = f (x) didėja monotoniškai, tada bet kokiam k lygtys
Ir f (x) = x yra lygiaverčiai.

Pateiksime keletą šios teoremos panaudojimo pavyzdžių.

1. Išspręskite lygtį:
.

Sprendimas Perrašykime lygtį
. Apsvarstykite funkciją
. Ši funkcija didėja monotoniškai. Mes turime lygtį

f (f (x)) = x. Pagal teoremą mes ją pakeičiame lygiaverte lygtimi f (x) = x arba .

Atsakymas.

2. Išspręskite lygtį:

.

Sprendimas. Transformuokime lygtį:
.

Ši lygtis atrodo taip: f (f (x)) = x, Kur
.

Pagal teoremą turime lygiavertę lygtį:
,

Atsakymas.
.

3. Išspręskite lygčių sistemą:
.

Sprendimas. Panagrinėkime funkciją. Kadangi

Visų akivaizdoje t, Tai f (t) didėja.

Sistema turi formą y = f (x), z = f (y), x = f (z), tie. x = f (f (f (x))).

Pagal teoremą x tenkina lygtį f (x) = x arba

Atsakymas.(0, 0, 0), (-1, -1, -1).

Naudojant ekstremalias nagrinėjamų funkcijų savybes. Įvertinimai. Pagrindinės šio punkto idėjos gana aiškiai matomos iš pavyzdžių:

1. Išspręskite lygtį:
.

Sprendimas. Kairė šios lygties pusė neviršija 2, o dešinė neviršija 2. Todėl lygybė gali atsirasti tik tada, kai kairioji ir dešinė pusės yra lygios 2, t.y. x = 0.

komentuoti.Šią situaciją, kai vienoje lygties dalyje esančios funkcijos mažiausia reikšmė yra lygi didžiausiai funkcijos, esančios kitoje dalyje, reikšmei, galima apibendrinti. Bendresnis atvejis yra formos lygtys f (x) = φ (x) , kuriam
visiems priimtina x(formaliai šią lygtį galime perrašyti kaip

f (x) = φ (x) = 0, todėl pasiekiame jau svarstytą situaciją, nes didžiausia dešiniosios pusės reikšmė yra nulis).

2. Išspręskite lygtį:.

Įrodykime, kad ši lygtis neturi sprendinių. Pereikime prie pasekmių (sustiprinkime):
.

Įvertinkime kairę pusę pagal geometrinio vidurkio ir aritmetinio vidurkio nelygybę

:

tie. kairė pusė mažesnė už dešinę. Lygtis neturi sprendinių.

Atsakymas. Sprendimo nėra.

3. Išspręskite lygčių sistemą:

Sprendimas. Įrodykime tai.

Leisk dėl tikrumo x 5 > x 4, tada iš pirmųjų dviejų lygčių gauname, iš kurių
ir juo labiau. Toliau iš trečio ir ketvirto gauname
ir juo labiau
. Iš paskutinės poros randame . Rezultatas yra prieštaravimas (ir
, t.y. , bet buvo manoma, kad
).

Reiškia,
, iš čia
ir pan., visi nežinomieji yra lygūs vienas kitam.

Atsakymas.(0, 0, 0, 0,0);
.

Problemos, kurių formulavimas yra nestandartinis ir apima lygtis arba nelygybes.Ši kategorija visų pirma apima uždavinius, kuriuose reikia nustatyti tam tikros lygties šaknų skaičių, įrodyti šaknies egzistavimą tam tikrame intervale ir išspręsti lygtį ar nelygybę tam tikrame intervale. Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

1. Įrodykite, kad lygtis
turi vieną teigiamą sprendimą ir vieną neigiamą sprendimą. matematikos mokymo metodai vidutinis mokykla: Vadovėlis. mokinio vadovas...