Sąlyginis operatorius. Teminių uždavinių sprendimas

Parašykite programą, kuri palygintų du sveikuosius skaičius, įvestus iš klaviatūros. Programa turi nurodyti, kuris skaičius didesnis, arba, jei skaičiai lygūs, rodyti atitinkamą pranešimą.

Įveskite du sveikuosius skaičius ir paspauskite Enter.
-> 34 67
34 mažiau nei 67

su Ada.Text_IO; naudoti Ada.Text_IO; su Ada.Integer_Text_IO; naudoti Ada.Integer_Text_IO; Procedūra pagrindinė yra A, B: Sveikasis skaičius; begin Put_Line("Įveskite du sveikuosius skaičius vienoje eilutėje ir paspauskite Enter.");< B then Put(Item =>Įdėti("-> ");

Gauti(A); Gauti(B); --Įveskite 2 skaičius, jei A > B, tada Put(Prekė =>; A, plotis =>; 1);

-> 1 2 3
Įdėkite (" daugiau "); 3

Įdėti(Prekė => B, plotis => 1); elsif A A, plotis => 1); Įdėti(" mažiau nei ");Įdėti(Prekė => B, plotis => 1); else Put("Įvesti skaičiai yra lygūs!"); end if; pabaigos pagrindinis; Pateikiami trys sveikieji skaičiai. Raskite didžiausią iš jų (programa turėtų atspausdinti tiksliai vieną sveikąjį skaičių). Šioje užduotyje didžiausias yra skaičius, kuris yra ne mažesnis nei bet kuris kitas. Daugiausia trys skaičiai: su Ada.Text_IO ; naudoti Ada.Text_IO ; su Ada.Integer_Text_IO ; naudoti Ada.Integer_Text_IO ; Procedūra pagrindinė yra A, B, C: Sveikasis skaičius; maks: sveikasis skaičius; pradėti Put_Line( "Įveskite tris sveikuosius skaičius vienoje eilutėje ir paspauskite Enter.") ; Įdėkite("-> " ) ; Gauti(A); Gauti(B); Gauti(C) ; --Įveskite tris sveikuosius skaičius max:= A;

-- Pagal numatytuosius nustatymus manome, kad skaičius A yra didžiausias

Duoti trys natūralieji skaičiai A, B, C. Nustatykite, ar yra trikampis su tokiomis kraštinėmis. Jei trikampis egzistuoja, atspausdinkite pranešimą, kad trikampis su šiomis kraštinėmis egzistuoja, kitu atveju atspausdinkite, kad trikampio nėra.

Įveskite tris trikampio kraštines ir paspauskite Enter.
-> 3 4 5
Egzistuoja trikampis, kurio kraštinės yra 3, 4, 5.

Trikampis yra trys taškai, kurie nėra vienoje tiesėje. Trikampis egzistuoja tik tada, kai bet kurių dviejų jo kraštinių suma yra didesnė už trečiąją.

su Ada.Integer_Text_IO ; naudoti Ada.Integer_Text_IO ; -- Skaityti sveikuosius skaičius su Ada.Text_IO ; naudoti Ada.Text_IO ; -- Norėdami išvesti eilutes Procedūra pagrindinė yra a, b, c: Sveikasis skaičius; pradėti Put_Line( "Įveskite tris trikampio kraštines ir paspauskite Enter.Enter.") ; Įdėkite("-> " ) ; Gaukite (a) ; Gauti(b) ; Gauti(c); - Perskaitykite trikampio kraštines jei a + b > c ir tada b + c > a ir tada c + a > b tada - Išbandykite visas sąlygas vienoje eilutėjeĮdėkite ( - Išbandykite visas sąlygas vienoje eilutėje"Trikampis su šonais"

& Sveikasis skaičius"vaizdas(a) & "," & Sveikasis skaičius"vaizdas(b) & "," & Sveikasis skaičius"vaizdas(c) & " egzistuoja" ) ; else Įdėti(

& Sveikasis skaičius"vaizdas(a) & "," & Sveikasis skaičius"vaizdas(b) & "," & Sveikasis skaičius"vaizdas(c) & " neegzistuoja" ) ; end if ; end main;

su Ada.Integer_Text_IO; naudoti Ada.Integer_Text_IO; -- Skaityti sveikuosius skaičius su Ada.Text_IO; naudoti Ada.Text_IO; --Norėdami rodyti eilutes, procedūros pagrindinis yra a, b, c: Integer; begin Put_Line("Įveskite tris trikampio kraštines ir paspauskite Enter.Enter.");
-> 1 2 3
0

Įdėti("-> "); Gaukite (a); Gauti(b); Gauti(c); --Perskaitykite trikampio kraštines, jei a + b > c ir tada b + c > a ir c + a > b tada --Patikrinkite visas sąlygas vienoje eilutėje Put("Trikampis su kraštinėmis" & Sveikasis skaičius"image(a ) & "," & Sveikasis skaičius"vaizdas(b) & "," & Sveikasis skaičius"vaizdas(c) & " egzistuoja"); else Put("Trikampis su kraštinėmis" & Sveikasis skaičius"vaizdas(a) & "," & Sveikasis skaičius "image(b) & "," & Integer"vaizdas(c) & " neegzistuoja"); end if; pabaigos pagrindinis; Pateikiami trys sveikieji skaičiai. Nustatykite, kiek iš jų atitinka. Programa turi išvesti vieną iš skaičių: 3 (jei visi skaičiai vienodi), 2 (jei du vienodi) arba 0 (jei visi skaičiai skirtingi).Įveskite tris sveikuosius skaičius ir paspauskite Enter. su Ada.Text_IO ; naudoti Ada.Text_IO ; su Ada.Integer_Text_IO ; naudoti Ada.Integer_Text_IO ; procedūra Pagrindinis yra A, B, C: Sveikasis skaičius; pradėti Put_Line(Įdėti(Prekė => 2 , Plotis => 1 ) ; kitaip--Jei nėra vienodų skaičių

Įdėti(Prekė => 0 , Plotis => 1 ) ;

pabaiga jei ; pabaiga Pagrindinis;

4 4
5 5
su Ada.Text_IO; naudoti Ada.Text_IO; su Ada.Integer_Text_IO; naudoti Ada.Integer_Text_IO; procedūra Pagrindinis yra A, B, C: Sveikasis skaičius; begin Put_Line("Įveskite tris sveikuosius skaičius ir paspauskite Enter.");
Įdėti("-> ");
Gauti(A); Gauti(B); Gauti(C);

jei A = B ir tada A = C tada --Jei visi trys skaičiai sutampa su Put(Elementas => 3, plotis => 1); elsif A = B arba A = C arba B = C tada --Jei du skaičiai sutampa su Put(Elementas => 2, plotis => 1);

else --Jei nėra vienodų skaičių Įdėkite(Item => 0, Width => 1);
end if; pabaiga Pagrindinis; 4 4
Šachmatų bokštas juda horizontaliai arba vertikaliai. Atsižvelgdami į du skirtingus šachmatų lentos langelius, nustatykite, ar bokštas vienu ėjimu gali pereiti iš pirmo langelio į antrą. Programa kaip įvestį gauna keturis skaičius nuo 1 iki 8, pirmiausia nurodant stulpelio numerį ir eilutės numerį pirmam langeliui, tada antram langeliui. Programa turėtų išvesti „TAIP“, jei bokšto judėjimas iš pirmos ląstelės gali patekti į antrąjį, arba „NE“, kitaip. 5 5
NE

) ;Įdėti() ; Gauti(A); Gauti(B);Įdėti() ; "Įveskite antrojo langelio stulpelio ir eilučių numerius ir spustelėkite: ") ;<= 1 and then abs (B - D) <= 1 then Gauti(C) ; Gauti(D); jei abs (A–C)-- komanda abs() grąžina absoliučią

--skaičiaus reikšmė (modulis).<= 1 and then abs(B - D) <= 1 then -- команда abs() возвращает абсолютное --значение (модуль) числа Put("ДА"); else Put("НЕТ"); end if; end main;

Įdėti("TAIP" );

else --Jei nėra vienodų skaičių Įdėkite(Item => 0, Width => 1);
end if; pabaiga Pagrindinis; 4 4
Šachmatų bokštas juda horizontaliai arba vertikaliai. Atsižvelgdami į du skirtingus šachmatų lentos langelius, nustatykite, ar bokštas vienu ėjimu gali pereiti iš pirmo langelio į antrą. Programa kaip įvestį gauna keturis skaičius nuo 1 iki 8, pirmiausia nurodant stulpelio numerį ir eilutės numerį pirmam langeliui, tada antram langeliui. Programa turėtų išvesti „TAIP“, jei bokšto judėjimas iš pirmos ląstelės gali patekti į antrąjį, arba „NE“, kitaip. 5 5
NE
else Padėkite("NE" ); ) ;Įdėti() ; Gauti(A); Gauti(B);Įdėti() ; "Įveskite antrojo langelio stulpelio ir eilučių numerius ir spustelėkite: " pabaiga jei ; pabaigos pagrindinis;
su Ada.Integer_Text_IO; naudoti Ada.Integer_Text_IO; su Ada.Text_IO; naudoti Ada.Text_IO; Procedūra pagrindinė yra potipis checkboard yra sveikųjų skaičių diapazonas 1...8;

A, B, C, D: čekių lenta; begin Put_Line("Įveskite dviejų langelių stulpelių ir eilučių numerius:");

Put("Įveskite pirmojo langelio stulpelio ir eilučių numerius ir spustelėkite: ");
Gauti(A); Gauti(B);
Put("Įveskite antrojo langelio stulpelio ir eilučių numerius ir spustelėkite: ");
Gauti(C); Gauti(D);

jei abs (A–C)
else --Jei nėra vienodų skaičių Įdėkite(Item => 0, Width => 1);
end if; pabaiga Pagrindinis; 1 1
Šachmatų bokštas juda horizontaliai arba vertikaliai. Atsižvelgdami į du skirtingus šachmatų lentos langelius, nustatykite, ar bokštas vienu ėjimu gali pereiti iš pirmo langelio į antrą. Programa kaip įvestį gauna keturis skaičius nuo 1 iki 8, pirmiausia nurodant stulpelio numerį ir eilutės numerį pirmam langeliui, tada antram langeliui. Programa turėtų išvesti „TAIP“, jei bokšto judėjimas iš pirmos ląstelės gali patekti į antrąjį, arba „NE“, kitaip. 2 2
NE

Šachmatų vyskupas juda įstrižai. Atsižvelgdami į du skirtingus šachmatų lentos langelius, nustatykite, ar vyskupas vienu ėjimu gali pereiti iš pirmojo langelio į antrą. Programa kaip įvestį gauna keturis skaičius nuo 1 iki 8, pirmiausia nurodant stulpelio numerį ir eilutės numerį pirmam langeliui, tada antram langeliui. Programa turėtų išvesti „TAIP“, jei vyskupo judėjimas iš pirmos ląstelės gali patekti į antrąjį, arba „Ne“, kitaip.
else --Jei nėra vienodų skaičių Įdėkite(Item => 0, Width => 1);
end if; pabaiga Pagrindinis; 1 1
Šachmatų bokštas juda horizontaliai arba vertikaliai. Atsižvelgdami į du skirtingus šachmatų lentos langelius, nustatykite, ar bokštas vienu ėjimu gali pereiti iš pirmo langelio į antrą. Programa kaip įvestį gauna keturis skaičius nuo 1 iki 8, pirmiausia nurodant stulpelio numerį ir eilutės numerį pirmam langeliui, tada antram langeliui. Programa turėtų išvesti „TAIP“, jei bokšto judėjimas iš pirmos ląstelės gali patekti į antrąjį, arba „NE“, kitaip. 2 3
su Ada.Text_IO; naudoti Ada.Text_IO; su Ada.Integer_Text_IO; naudoti Ada.Integer_Text_IO; procedūra Pagrindinis yra A, B, C: Sveikasis skaičius; begin Put_Line("Įveskite tris sveikuosius skaičius ir paspauskite Enter.");

su Ada.Integer_Text_IO ; naudoti Ada.Integer_Text_IO ; su Ada.Text_IO ; naudoti Ada.Text_IO ; procedūra Pagrindinis yra potipis tikrinimo lenta yra sveikųjų skaičių diapazonas 1 ..8 ; ) ;Įdėti() ; Gauti(A); Gauti(B);Įdėti() ; "Įveskite antrojo langelio stulpelio ir eilučių numerius ir spustelėkite: " A, B, C, D: čekių lenta; pradėti Put_Line(

) ;

Gauti(C) ; Gauti(D);

Šachmatų vyskupas juda įstrižai. Atsižvelgdami į du skirtingus šachmatų lentos langelius, nustatykite, ar vyskupas vienu ėjimu gali pereiti iš pirmojo langelio į antrą. Programa kaip įvestį gauna keturis skaičius nuo 1 iki 8, pirmiausia nurodant stulpelio numerį ir eilutės numerį pirmam langeliui, tada antram langeliui. Programa turėtų išvesti „TAIP“, jei vyskupo judėjimas iš pirmos ląstelės gali patekti į antrąjį, arba „Ne“, kitaip.
else --Jei nėra vienodų skaičių Įdėkite(Item => 0, Width => 1);
end if; pabaiga Pagrindinis; 1 1
Šachmatų bokštas juda horizontaliai arba vertikaliai. Atsižvelgdami į du skirtingus šachmatų lentos langelius, nustatykite, ar bokštas vienu ėjimu gali pereiti iš pirmo langelio į antrą. Programa kaip įvestį gauna keturis skaičius nuo 1 iki 8, pirmiausia nurodant stulpelio numerį ir eilutės numerį pirmam langeliui, tada antram langeliui. Programa turėtų išvesti „TAIP“, jei bokšto judėjimas iš pirmos ląstelės gali patekti į antrąjį, arba „NE“, kitaip. 8 8
su Ada.Text_IO; naudoti Ada.Text_IO; su Ada.Integer_Text_IO; naudoti Ada.Integer_Text_IO; procedūra Pagrindinis yra A, B, C: Sveikasis skaičius; begin Put_Line("Įveskite tris sveikuosius skaičius ir paspauskite Enter.");

jei abs (A - C) = abs (B - D) arba A = D arba B = C, tada Put("TAIP" ) ; ) ;Įdėti() ; Gauti(A); Gauti(B);Įdėti() ; "Įveskite antrojo langelio stulpelio ir eilučių numerius ir spustelėkite: " else Padėkite("NE" );

pabaiga jei ; pabaiga Pagrindinis;

Šokoladas yra stačiakampio formos, padalintas į N × M griežinėlius. Šokoladą galima vieną kartą tiesia linija perlaužti į dvi dalis. Nustatykite, ar tokiu būdu galima nuo šokolado plytelės atplėšti tiksliai K riekelių. Programa kaip įvestį gauna tris skaičius: N, M, K. Programa turi išvesti vieną iš dviejų žodžių: „TAIP“ arba „Ne“.

jei abs (A–C)
4
2
6
NE

su Ada.Text_IO ; naudoti Ada.Text_IO ; su Ada.Integer_Text_IO ; naudoti Ada.Integer_Text_IO ; procedūra Pagrindinis yra N, M, K: Sveikasis skaičius; pradėti Put ( "Skilčių skaičius horizontaliai:") ; Gauti(N) ;Įdėkite ( „Skaičius vertikaliai:“) ; Gauti(M);Įdėkite ( „Kiek griežinėlių reikia atskirti:“) ; Gauti(K) ; jei K > M * N tada

-Jei jūsų paprašys nulaužti nuo šokolado plytelės daugiau nei patį šokoladą

Įdėkite ("NE");

elsif K rem N = 0 ir tada K >= N tada 23
-- Nutraukite horizontaliai 52
Įdėti("TAIP" ); 8
elsif K rem M = 0 ir tada K >= M tada 43
-- Nutraukite vertikaliai 8

Įdėti("TAIP" );

a, b, tmp: sveikasis skaičius; -- Kintamųjų deklaravimas. Du pagrindiniai ir vienas pagalbinis a:= 3; --Inicijuoti kintamąjį a b:= 5; --Kintamojo b inicijavimas --Pats algoritmas: tmp:= a; --Dabar tmp = 3 ir a = 3 a:= b; --Dabar a = 5 ir b = 5; b:=tmp; – Dabar b = 3

su Ada.Text_IO ; naudoti Ada.Text_IO ; su Ada.Integer_Text_IO ; naudoti Ada.Integer_Text_IO ; procedūra Pagrindinis yra N, M, X, Y: Sveikasis skaičius; -- N - trumpoji pusė, M - ilgoji pusė: -- X - Atstumas iki vienos iš ilgųjų kraštų -- Y - Atstumas iki vienos iš trumpųjų kraštų Tmp: sveikasis skaičius; pradėti Put ( "Baseino plotis:") ; Gauti(N) ; Įdėkite ("Baseino ilgis:" ) ; Gauti(M);Įdėkite ( "Atstumas nuo Yasha iki ilgosios pusės: ") ; Gauti(X); Įdėkite ("Atstumas nuo Yasha iki trumposios pusės: " ) ; Gauti(Y); jei N > M tada --Jei įeinant sumaišytos pusės, pakeiskite jas: Tmp:= M; --Išsaugokite ilgį M į laikinąjį kintamąjį M: = N; – Priskirkite kintamajam M naują reikšmę N:= Tmp;< X then – Atkurkite ilgį M kintamajame N pabaiga jei ; Tmp:=X;-- Tarkime, kad minimalus atstumas yra X< Tmp then jei abs (N - X) --Jei atstumas iki antrosios ilgosios kraštinės yra mažesnis nei X, tada Tmp: = N - X; --minimalus atstumas lygus atstumui iki antrosios ilgosios pusės pabaiga jei ;< Tmp then jei Y--Jei atstumas iki trumposios pusės yra mažesnis nei nurodytas aukščiau - tada mažiausiai Gauti(A); Gauti(B); Gauti(C) ; Tmp:=Y;– Mažiausias atstumas yra Y

pabaiga jei ;< X then --Если до второго длинного бортика расстояние меньше X, то Tmp:= N - X; --минимальное расстояние равно расстоянию до второго длинного бортика end if; if Y < Tmp then --Если до короткого бортика расстояние меньше найденного выше --минимального, то Tmp:= Y; --Минимальное расстояние равно Y end if; if abs(M - Y) < Tmp then --Если до второго короткого бортика плыть ближе, то Tmp:= abs(M - Y); --минимальное расстояние равно расстоянию до второго короткого бортика end if; Put("Нужно проплыть минимум, чтобы выбраться из бассейна: "); Put(Item =>jei abs (M - Y)

Elektroniniai laikrodžiai rodo laiką h:mm:ss formatu (nuo 0:00:00 iki 23:59:59), tai yra, pirmiausia įrašomas valandų skaičius, tada reikia dviženklio minučių skaičiaus, tada reikalingas dviženklis sekundžių skaičius. Minučių ir sekundžių skaičius, jei reikia, užpildomas dviženkliu skaičiumi su nuliais. Nuo dienos pradžios praėjo N sekundžių. Atsispausdinkite, ką parodys laikrodis. Įvestis suteikiamas natūralusis skaičius N, ne didesnis kaip 10 7 (10000000). Išspausdinkite problemos atsakymą.

1 įvesties pavyzdys:
3602
1 išvesties pavyzdys:
1:00:02

2 įvesties pavyzdys:
129700
2 išvesties pavyzdys:
12:01:40

su Ada.Long_Integer_Text_IO ; naudoti Ada.Long_Integer_Text_IO ; su Ada.Text_IO ; naudoti Ada.Text_IO ; procedūra Pagrindinis yra potipis Sub_LI yra Long_Integer diapazonas 1 ..10000000 ; N: Sub_LI; h, m, s: ilgas_sveikasis skaičius; beginGet(N) ; h:= N/3600;- Mes gauname laikrodį. Likusi padalijimo dalis atmetama N: = N - h * 3600;- Gaukite likusias sekundes (atėmus valandas) jei h > 24 tada--Kadangi laikrodis negali rodyti > 24, viską pateikiame skaitoma forma h:= h rem 24 ;– Likusi dalyba iš 24 parodys tikslų valandų skaičių elsif h = 24 tada h:= 0 ; pabaiga jei ; m: = N/60;-- Gauna minučių< 10 then s:= N rem 60 ;-- Gauna sekundes Įdėti(Prekė => h, Plotis => 1 ) ; Įdėkite(":" ) ;-- Valandų išvestis ir ":"< 10 then jei m--Jei minučių skaičius yra mažesnis nei 10, išvestis prieš 0

Įdėti(Prekė => 0 , Plotis => 1 ) ;< 10 then --Если количество минут меньше 10, выводим ведущий 0 Put(Item =>pabaiga jei ;< 10 then --Если количество секунд меньше 10, выводим ведущий 0 Put(Item =>Įdėti(Prekė => m, Plotis => 1 ) ; Įdėkite(":" ) ;

-- Išvesties minutės ir ":"
jei s
1 2 1
--Jei sekundžių skaičius yra mažesnis nei 10, išvestis prieš 0
1 1 2

su Ada.Integer_Text_IO ; naudoti Ada.Integer_Text_IO ; su Ada.Text_IO ; naudoti Ada.Text_IO ; procedūra Pagrindinis yra A, B, C: Sveikasis skaičius; min, vidurio, maks.: Sveikasis skaičius; beginGet(A) ; Gauti(B); Gauti(C);--Ieškote minimalios vertės< min then min:= B; end if ; if C < min then min:= C; end if ; min:= A; jei B --Ieškote didžiausios vertės max:= A;< max then mid:= B; end if ; if C >jei B > max tai max:= B; pabaiga jei ;< max then mid:= C; end if ; Put(Item =>jei C > max tai max:= C; pabaiga jei ;

--Ieškoma vidutinės vertės< min then min:= B; end if; if C < min then min:= C; end if; --Ищем максимальное значение max:= A; if B >vidurys:= A;< max then mid:= B; end if; if C >jei B > min ir B< max then mid:= C; end if; Put(Item =>min ir C

min, plotis => 1 );
Įdėkite (" ");
Įdėti(Prekė => vidurys, plotis => 1 ) ;
Įdėkite (" ");

jei abs (A–C)
Įdėti(Prekė => maks., plotis => 1 ) ; pabaiga Pagrindinis; 1 2 3
su Ada.Integer_Text_IO; naudoti Ada.Integer_Text_IO; su Ada.Text_IO; naudoti Ada.Text_IO; procedūra Pagrindinis yra A, B, C: Sveikasis skaičius; 3 2 1
min, vidurio, maks.: Sveikasis skaičius; beginGet(A); Gauti(B); Gauti(C);

jei B max tada max:= B; end if; jei C > max tai max:= C; end if; --Ieškoma vidutinės reikšmės mid:= A; jei B > min ir B< min then mid:= min; min:= B1; end if ; if C1 < min then max:= min; min:= C1; end if ; if mid >min ir C min, plotis => 1);Įdėkite (" ");< min then mid:= min; min:= B2; end if ; if C2 < min then max:= min; min:= C2; end if ; if mid >Įdėti(Prekė => vidurys, plotis => 1); Įdėkite (" "); jei A1 = A2 ir tada B1 = B2 ir tada C1 = C2, tada Put_Line("Dėžutės lygios" ) ; elsif A1 >= A2 ir tada B1 >= B2 ir tada C1 >= C2 tada Put_Line(„Pirmoji dėžutė didesnė už antrą“<= A2 and then B1 <= B2 and then C1 <= C2 then Put_Line() ; elsif A1

„Pirmoji dėžutė mažesnė už antrą“< min then mid:= min; min:= B1; end if; if C1 < min then max:= min; min:= C1; end if; if mid >) ;< min then mid:= min; min:= B2; end if; if C2 < min then max:= min; min:= C2; end if; if mid >pabaiga jei ; pabaigos pagrindinis;<= A2 and then B1 <= B2 and then C1 <= C2 then Put_Line("Первая коробка меньше второй"); end if; end main;

su Ada.Integer_Text_IO; naudoti Ada.Integer_Text_IO; su Ada.Text_IO; naudoti Ada.Text_IO; Procedūra pagrindinė yra A1, B1, C1, A2, B2, C2: Sveikasis skaičius;

min, maks., vidurio, tmp: sveikasis skaičius; beginGet(A1); Gauti(B1); Gauti(C1); Gauti(A2); Gauti(B2); Gauti(C2);
--Kraštines sujungiame į ilgį A1 => A2, B1 => B2, C1 => C2: --A1 ir A2 yra ilgiausi, C1 ir C2 yra trumpiausi -- "Sukite" pirmąjį langelį: min. := A1 ;
vidurys:= B1; 423
maks.:= C1; 3
jei B1
max tada tmp:= mid;
vidurys:= maks.

max:=tmp; end if; A1:=min; B1: = vidurys; C1:= maks. (-- "Sukite" antrą langelį: min:= A2;) vidurys:= B2; (maks.:= C2;) jei B2 (max tada tmp:= mid;) vidurys:= maks. ( max:=tmp; ) jei B2 (end if;) vidurys:= maks. ( A2:=min; ) ; B2:=vidutinis; C2:= maks. end if; --Patikrinti langelių atitikimą ir parodyti rezultatą: jei A1 = A2 ir tada B1 = B2 ir tada C1 = C2, tada Put_Line("Dėžutės lygios"); 423 elsif A1 >= A2 and then B1 >= B2 and then C1 >= C2 then Put_Line("Pirmasis langelis didesnis nei antrasis"); (elsif A1) vidurys:= B2; (Parašykite programą, kuri apskaičiuoja tolimojo telefono skambučio kainą (vienos minutės kaina nustatoma pagal atstumą iki miesto, kuriame yra abonentas). Programos įvesties duomenys yra vietovės kodas ir skambučio trukmė. Toliau pateikiami kai kurių miestų kodai ir rekomenduojamas ekrano vaizdas, kai programa veikia:) jei B2 (Pokalbio telefonu kainos apskaičiavimas.) jei B2 (Įveskite pradinius duomenis: 4 Rajono kodas -> 1 ) Trukmė (sveikasis minučių skaičius) -> (Miestas: Vladivostokas) ; --Patikrinti langelių atitikimą ir parodyti rezultatą: jei A1 = A2 ir tada B1 = B2 ir tada C1 = C2, tada Put_Line("Dėžutės lygios"); Minutės kaina: 4 rubliai. (Skambučio kaina: 12 rublių.) vidurys:= B2; (su Ada.Integer_Text_IO ; naudoti Ada.Integer_Text_IO ; su Ada.Text_IO ; naudoti Ada.Text_IO ; procedūra Pagrindinė) jei B2 (Pokalbio telefonu kainos apskaičiavimas.) jei B2 (Įveskite pradinius duomenis: 2 Rajono kodas -> 1 ) Trukmė (sveikasis minučių skaičius) -> (Miestas: Vladivostokas) ; --Patikrinti langelių atitikimą ir parodyti rezultatą: jei A1 = A2 ir tada B1 = B2 ir tada C1 = C2, tada Put_Line("Dėžutės lygios"); 815 elsif A1 >= A2 and then B1 >= B2 and then C1 >= C2 then Put_Line("Pirmasis langelis didesnis nei antrasis"); (yra) vidurys:= B2; (Kodas, Len: sveikasis skaičius;) jei B2 (Pokalbio telefonu kainos apskaičiavimas.) jei B2 (Įveskite pradinius duomenis: 3 Rajono kodas -> 1 ) Trukmė (sveikasis minučių skaičius) -> (Miestas: Vladivostokas) ; --Patikrinti langelių atitikimą ir parodyti rezultatą: jei A1 = A2 ir tada B1 = B2 ir tada C1 = C2, tada Put_Line("Dėžutės lygios"); 846 elsif A1 >= A2 and then B1 >= B2 and then C1 >= C2 then Put_Line("Pirmasis langelis didesnis nei antrasis"); (pradėti) vidurys:= B2; (Įdėti_Line) jei B2 (Pokalbio telefonu kainos apskaičiavimas.) jei B2 („Skaičiuojant pokalbio telefonu kainą“. 1 ) Trukmė (sveikasis minučių skaičius) -> (Miestas: Vladivostokas) ; --Patikrinti langelių atitikimą ir parodyti rezultatą: jei A1 = A2 ir tada B1 = B2 ir tada C1 = C2, tada Put_Line("Dėžutės lygios"); ;Įdėti_Line ("Įveskite pradinius duomenis:") ; ; B2:=vidutinis;; ;Įdėkite

su Ada.Integer_Text_IO; naudoti Ada.Integer_Text_IO; su Ada.Text_IO; naudoti Ada.Text_IO; procedūra Pagrindinis yra kodas, Len: Integer; begin Put_Line("Telefoninio pokalbio kainos apskaičiavimas.");

Put_Line("Įveskite pradinius duomenis:"); Put("Vietos kodas -> "); Gauti(Kodas); Put("Trukmė (sveikasis minučių skaičius) -> "); Get(len); B2:=vidutinis; atvejis Kodas yra kai 423 => Put_Line("Miestas: Vladivostokas"); Put_Line("Kaina už minutę: 4 rubliai."); Put("Skambučio kaina: ");

Įdėti(Prekė => len * 4, plotis => 1); Put_Line(" patrinti."); kai 095 => Put_Line("Miestas: Maskva");

Put_Line("Kaina už minutę: 2 rub.");

Put("Skambučio kaina: ");

Įdėti(Prekė => len * 2, plotis => 1); Put_Line(" patrinti.");

kai 815 => Put_Line("Miestas: Murmanskas");

Put_Line("Kaina už minutę: 3 rub."); Put("Skambučio kaina: ");

Įdėti(Prekė => len * 3, plotis => 1); Put_Line(" patrinti."); Vienoje specialybėje įmonė gali įdarbinti 4 moteris, kitą – 6 vyrus, trečią – 3 darbuotojus, nepriklausomai nuo lyties. Kokiais būdais galima užimti laisvas darbo vietas, jei yra 14 pretendentų: 6 moterys ir 8 vyrai?

3 užduotis. Keleiviniame traukinyje yra 9 vagonai. Kiek būdų traukinyje gali sėdėti 4 žmonės, jei jie visi važiuoja skirtinguose vagonuose?

4 užduotis. Grupėje yra 9 žmonės. Kiek skirtingų pogrupių galite sudaryti, jei pogrupyje yra bent 2 žmonės?

5 užduotis. 20 mokinių grupę reikia suskirstyti į 3 komandas, o pirmoje komandoje turi būti 3 žmonės, antroje – 5, trečioje – 12. Kiek būdų tai galima padaryti?

6 užduotis. Treneris iš 10 atrenka 5 vaikinus, kurie gali būti komandoje.

7 užduotis.Šachmatų turnyre dalyvavo 15 šachmatininkų, o kiekvienas su kitais žaidė tik po vieną partiją. Kiek rungtynių buvo sužaista šiame turnyre?

Pažymėtina, kad kombinatorika yra savarankiška aukštosios matematikos šaka (o ne Terver dalis) ir apie šią discipliną buvo parašyti svarūs vadovėliai, kurių turinys kartais nėra lengvesnis už abstrakčiąją algebrą. Tačiau mums užteks nedidelės teorinių žinių dalies, todėl šiame straipsnyje pabandysiu prieinama forma išanalizuoti temos pagrindus su tipiškomis kombinatorinėmis problemomis. Ir daugelis iš jūsų man padės ;-)

Ką darysime? Siaurąja prasme kombinatorika yra įvairių kombinacijų, kurias galima sudaryti iš tam tikros aibės, skaičiavimas diskretiškas objektų. Daiktai suprantami kaip bet kokie izoliuoti objektai ar gyvos būtybės – žmonės, gyvūnai, grybai, augalai, vabzdžiai ir kt. Tuo pačiu kombinatorikai visiškai nerūpi, kad rinkinį sudaro manų kruopų košės lėkštė, lituoklis ir pelkinė varlė. Iš esmės svarbu, kad šiuos objektus būtų galima išvardinti – jų yra trys (diskretiškumas) ir svarbiausia, kad nė vienas iš jų nėra identiškas.

Daug sprendėme, dabar apie derinius. Labiausiai paplitę derinių tipai yra objektų permutacijos, jų parinkimas iš aibės (derinys) ir paskirstymas (dėstymas). Pažiūrėkime, kaip tai vyksta dabar:

Permutacijos, deriniai ir vietos be pasikartojimo

Nebijokite neaiškių terminų, juolab, kad kai kurie iš jų tikrai nėra labai geri. Pradėkime nuo pavadinimo uodegos – ką reiškia “ jokių pakartojimų"? Tai reiškia, kad šiame skyriuje mes apsvarstysime rinkinius, kuriuos sudaro įvairių objektų. Pavyzdžiui, ... ne, košės su lituokliu ir varlyte nesiūlysiu, geriau ką nors skanesnio =) Įsivaizduokite, kad ant stalo priešais jus materializavosi obuolys, kriaušė ir bananas ( jei juos turite, situacija gali būti imituojama tikrovėje). Vaisius išdėstome iš kairės į dešinę tokia tvarka:

obuolys / kriaušė / bananas

Klausimas vienas: Kiek būdų juos galima pertvarkyti?

Vienas derinys jau buvo parašytas aukščiau, o su kitais nėra jokių problemų:

obuolys / bananas / kriaušė
kriaušė / obuolys / bananas
kriaušė / bananas / obuolys
bananas / obuolys / kriaušė
bananas / kriaušė / obuolys

Iš viso: 6 deriniai arba 6 permutacijas.

Gerai, nebuvo sunku išvardyti visus galimus atvejus, bet kas, jei objektų yra daugiau? Turint tik keturis skirtingus vaisius, derinių skaičius gerokai padidės!

Atidarykite informacinę medžiagą (patogu atsispausdinti vadovą) o punkte Nr.2 raskite permutacijų skaičiaus formulę.

Jokio vargo – 3 objektus galima pertvarkyti skirtingais būdais.

Antras klausimas: Keliais būdais galite pasirinkti a) vieną vaisių, b) du vaisius, c) tris vaisius, d) bent vieną vaisių?

Kodėl rinktis? Taigi apetitą padidinome ankstesniame punkte – tam, kad pavalgytume! =)

a) Vienas vaisius gali būti pasirinktas, žinoma, trimis būdais – paimkite arba obuolį, kriaušę arba bananą. Formalus skaičiavimas atliekamas pagal kombinacijų skaičiaus formulė:

Įrašas šiuo atveju turėtų būti suprantamas taip: „kiek būdų galite pasirinkti 1 vaisių iš trijų?

b) Išvardinkime visus galimus dviejų vaisių derinius:

obuolys ir kriaušės;
obuolys ir bananas;
kriaušė ir bananas.

Derinių skaičių galima lengvai patikrinti naudojant tą pačią formulę:

Įrašas suprantamas panašiai: „kiek būdų galite pasirinkti 2 vaisius iš trijų?

c) Ir galiausiai, yra tik vienas būdas pasirinkti tris vaisius:

Beje, tuščiam pavyzdžiui lieka prasminga kombinacijų skaičiaus formulė:
Tokiu būdu galite pasirinkti ne vieną vaisių – iš tikrųjų nieko neimkite ir viskas.

d) Kiek būdų galite imtis bent vienas vaisius? Sąlyga „bent vienas“ reiškia, kad mus tenkina 1 vaisius (bet kuris) arba 2 vaisiai arba visi 3 vaisiai:
naudodamiesi šiais metodais galite pasirinkti bent vieną vaisių.

Skaitytojai, kurie atidžiai išstudijavo įvadinę pamoką tikimybių teorija, mes jau kažką atspėjome. Bet daugiau apie pliuso ženklo reikšmę vėliau.

Kad atsakyčiau į kitą klausimą, man reikia dviejų savanorių... ...Kadangi niekas nenori, tai pakviesiu į lentą =)

Trečias klausimas: Kiek būdų galite paskirstyti po vieną vaisių Dašai ir Natašai?

Norėdami paskirstyti du vaisius, pirmiausia turite juos pasirinkti. Pagal ankstesnio klausimo pastraipą „būti“, tai galima padaryti įvairiais būdais, aš juos perrašysiu:

obuolys ir kriaušės;
obuolys ir bananas;
kriaušė ir bananas.

Tačiau dabar derinių bus dvigubai daugiau. Apsvarstykite, pavyzdžiui, pirmąją vaisių porą:
Dašą galite gydyti obuoliu, o Natašą - kriauše;
arba atvirkščiai – Daša gaus kriaušę, o Nataša – obuolį.

Ir tokia permutacija galima kiekvienai vaisių porai.

Apsvarstykite tą pačią studentų grupę, kuri ėjo į šokį. Kiek būdų berniuką ir mergaitę galima suporuoti?

Tam tikrais būdais galite pasirinkti 1 jaunuolį;
būdai, kaip galite pasirinkti 1 merginą.

Taigi vienas jaunuolis Ir Galite pasirinkti vieną merginą: būdais.

Kai iš kiekvieno rinkinio pasirenkamas 1 objektas, galioja toks kombinacijų skaičiavimo principas: “ kas objektas iš vieno rinkinio gali sudaryti porą su visais kito rinkinio objektas“.

Tai yra, Olegas gali pakviesti bet kurią iš 13 merginų šokti, Jevgenijus taip pat gali pakviesti bet kurią iš trylikos, o likę jaunuoliai turi panašų pasirinkimą. Iš viso: galimos poros.

Pažymėtina, kad šiame pavyzdyje poros susidarymo „istorija“ neturi reikšmės; Tačiau jei atsižvelgsime į iniciatyvą, derinių skaičius turi būti padvigubintas, nes kiekviena iš 13 merginų taip pat gali pakviesti bet kurį berniuką šokti. Viskas priklauso nuo konkrečios užduoties sąlygų!

Panašus principas galioja ir sudėtingesniems deriniams, pavyzdžiui: kiek būdų galima pasirinkti du jaunuolius? Ir dvi merginos dalyvauti KVN seriale?

sąjunga IR aiškiai rodo, kad derinius reikia padauginti:

Galimos menininkų grupės.

Kitaip tariant, kiekviena gali pasirodyti berniukų pora (45 unikalios poros). bet koks merginų pora (78 unikalios poros). O jei svarstysime vaidmenų pasiskirstymą tarp dalyvių, derinių bus dar daugiau. ...labai noriu, bet vis tiek susilaikysiu nuo tęsinio, kad neįskiepytų jums pasibjaurėjimo studentiškam gyvenimui =).

Derinių dauginimo taisyklė taikoma ir didesniam daugiklių skaičiui:

8 problema

Kiek yra triženklių skaičių, kurie dalijasi iš 5?

Sprendimas: aiškumo dėlei pažymėkime šį skaičių trimis žvaigždutėmis: ***

IN šimtų vieta Galite parašyti bet kurį skaičių (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 arba 9). Nulis netinka, nes šiuo atveju skaičius nustoja būti triženklis.

Bet į dešimčių vieta("viduryje") galite pasirinkti bet kurį iš 10 skaitmenų: .

Pagal sąlygą skaičius turi dalytis iš 5. Skaičius dalijasi iš 5, jeigu baigiasi skaičiumi 5 arba 0. Taigi tenkinami 2 skaitmenys mažiausiai reikšmingame skaitmenyje.

Iš viso yra: triženkliai skaičiai, kurie dalijasi iš 5.

Šiuo atveju kūrinys iššifruojamas taip: „9 būdai, kuriais galite pasirinkti skaičių šimtų vieta Ir 10 būdų, kaip pasirinkti skaičių dešimčių vieta Ir 2 būdai vienetų skaitmuo»

Arba dar paprasčiau: “ kiekviena nuo 9 skaitmenų iki šimtų vieta derina su kiekvienu iš 10 skaitmenų dešimčių vieta ir su kiekvienu nuo dviejų skaitmenų iki vienetų skaitmuo».

Atsakymas: 180

O dabar...

Taip, aš beveik pamiršau apie žadėtą komentarą prie problemos Nr.5, kuriame Borui, Dimai ir Volodiai gali būti išdalinta po vieną kortą skirtingais būdais. Dauginimas čia turi tą pačią reikšmę: būdai, kaip išimti 3 kortas iš kaladės IR kiekviename mėginys pertvarkyti juos įvairiais būdais.

O dabar problema, kurią reikia išspręsti patiems... dabar sugalvosiu ką nors įdomesnio... tegul apie tą pačią rusišką blackjack versiją:

9 problema

Kiek laiminčių 2 kortų kombinacijų yra žaidžiant „tašką“?

Tiems, kurie nežino: laimėjimo derinys yra 10 + ACE (11 taškų) = 21 taškas ir, pažiūrėkime į laimintį dviejų tūzų derinį.

(kortelių tvarka bet kurioje poroje neturi reikšmės)

Trumpas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Beje, nelaikykite pavyzdžio primityviu. Blackjack yra beveik vienintelis žaidimas, kuriam yra matematiškai pagrįstas algoritmas, leidžiantis įveikti kazino. Besidomintieji gali nesunkiai rasti daug informacijos apie optimalią strategiją ir taktiką. Tiesa, tokie meistrai gana greitai patenka į visų įstaigų juodąjį sąrašą =)

Atėjo laikas sutvirtinti medžiagą, kuri apima keletą tvirtų užduočių:

10 problema

Vasya namuose turi 4 kates.

a) kiek būdų kates galima sodinti kambario kampuose?
b) kiek būdų galite leisti kates pasivaikščioti?
c) kiek būdų Vasja gali paimti dvi kates (vieną iš kairės, kitą iš dešinės)?

Nuspręskime: pirma, vėl turėtumėte atkreipti dėmesį į tai, kad problema išspręsta skirtinga daiktai (net jei katės yra identiškos dvynės). Tai labai svarbi sąlyga!

a) Kačių tyla. Atsižvelgiant į šį vykdymą visos katės vienu metu
+ jų vieta yra svarbi, todėl čia yra permutacijų:
naudodamiesi šiais metodais galite pastatyti kates kambario kampuose.

Kartoju, kad permutuojant svarbu tik skirtingų objektų skaičius ir jų santykinė padėtis. Priklausomai nuo Vasjos nuotaikos, ji gali pasodinti gyvūnus puslankiu ant sofos, eilėje ant palangės ir pan. – visais atvejais bus 24 permutacijos, norintieji patogumo gali įsivaizduoti, kad katės yra įvairiaspalvės (pavyzdžiui, baltos, juodos, raudonos ir tabby) ir išvardinti visus galimus derinius.

b) Kiek būdų galite leisti kates pasivaikščioti?

Spėjama, kad katės eina pasivaikščioti tik pro duris, o klausimas reiškia abejingumą gyvūnų skaičiui – pasivaikščioti gali 1, 2, 3 ar visos 4 katės.

Skaičiuojame visus galimus derinius:

Šiais būdais galite leisti vieną katę (bet kurią iš keturių) pasivaikščioti;
būdai, kuriais galite leisti dvi kates pasivaikščioti (variantus išvardykite patys);
būdais galite išleisti tris kates pasivaikščioti (viena iš keturių sėdi namuose);
Tokiu būdu galite paleisti visas kates.

Tikriausiai atspėjote, kad gautas vertes reikia susumuoti:
būdai, kaip galite leisti katėms pasivaikščioti.

Entuziastams siūlau sudėtingą problemos variantą – kai bet kuri katė iš bet kurio mėginio gali atsitiktinai išeiti į lauką tiek pro duris, tiek pro langą 10 aukšte. Pastebimai padaugės derinių!

c) Kiek būdų Vasja gali pasiimti dvi kates?

Situacija apima ne tik 2 gyvūnų pasirinkimą, bet ir jų įdėjimą į kiekvieną ranką:
Šiais būdais galite pasiimti 2 kates.

Antras sprendimas: naudodami metodus galite pasirinkti dvi kates Ir sodinimo būdai kas pora po ranka:

Atsakymas: a) 24, b) 15, c) 12

Na, kad nuvalytų sąžinę, kažkas konkretesnio apie derinių dauginimą... Leiskite Vasjai turėti 5 papildomas kates =) Kiek būdų galite leisti 2 kates pasivaikščioti? Ir 1 katė?

Tai yra, su kiekviena galima paleisti porą kačių kas katė.

Kitas mygtukų akordeonas nepriklausomam sprendimui:

11 problema

Trys keleiviai įlipo į 12 aukštų pastato liftą. Visi, nepriklausomai nuo kitų, vienoda tikimybe gali išeiti iš bet kurio (pradedant nuo 2 aukšto). Kiek būdų:

1) keleiviai gali išlipti tame pačiame aukšte (išėjimo tvarka nesvarbu);
2) viename aukšte gali išlipti du žmonės, kitame – trečias;
3) žmonės gali išeiti iš skirtingų aukštų;
4) ar keleiviai gali išlipti iš lifto?

Ir čia dažnai vėl klausia, patikslinu: jei tame pačiame aukšte išeina 2 ar 3 žmonės, tai išėjimo tvarka nesvarbu. GALVOKITE, naudokite formules ir taisykles derinių sudėjimui/dauginimui. Iškilus sunkumams, keleiviams pravartu nurodyti vardus ir spėlioti, kokiais deriniais jie gali išlipti iš lifto. Nereikia nusiminti, jei kažkas nepavyksta, pavyzdžiui, punktas Nr.2 yra gana klastingas.

Visas sprendimas su išsamiais komentarais pamokos pabaigoje.

Paskutinė pastraipa skirta deriniams, kurie taip pat pasitaiko gana dažnai - mano subjektyviu vertinimu, maždaug 20-30% kombinacinių problemų:

Permutacijos, deriniai ir vietos su pasikartojimais

Išvardyti derinių tipai nurodyti pamatinės medžiagos 5 punkte Pagrindinės kombinatorikos formulės tačiau kai kurie iš jų gali būti nelabai aiškūs per pirmąjį svarstymą. Tokiu atveju patartina pirmiausia susipažinti su praktiniais pavyzdžiais ir tik tada suprasti bendrą formuluotę. Eime:

Permutacijos su pasikartojimais

Permutacijose su pasikartojimais, kaip ir „įprastose“ permutacijose, visus objektus vienu metu, tačiau yra vienas dalykas: šioje rinkinyje kartojasi vienas ar keli elementai (objektai). Atitikti kitą standartą:

12 problema

Kiek skirtingų raidžių kombinacijų galima gauti perdėliojus korteles su tokiomis raidėmis: K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K?

Sprendimas: tuo atveju, jei visos raidės būtų skirtingos, reikėtų taikyti trivialią formulę, tačiau visiškai aišku, kad siūlomam kortelių rinkiniui kai kurios manipuliacijos veiks „neaktyviai“, pavyzdžiui, jei sukeisite bet kurias dvi korteles su raidėmis „K“ bet kuriame žodyje gausite tą patį žodį. Be to, fiziškai kortelės gali būti labai skirtingos: viena gali būti apvali su atspausdinta raide „K“, kita – kvadratinė su nupiešta raide „K“. Bet pagal užduoties prasmę net ir tokios kortelės laikomi vienodais, nes sąlyga klausia apie raidžių derinius.

Viskas labai paprasta – tik 11 kortelių, įskaitant laišką:

K – kartojama 3 kartus;
O – kartojama 3 kartus;
L – kartojama 2 kartus;
b – kartojama 1 kartą;
H – kartojama 1 kartą;
Ir - pakartojo 1 kartą.

Patikrinkite: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, tai ir reikėjo patikrinti.

Pagal formulę permutacijų su pasikartojimais skaičius:
galima gauti įvairių raidžių derinių. Daugiau nei pusė milijono!

Norėdami greitai apskaičiuoti didelę faktorinę reikšmę, patogu naudoti standartinę „Excel“ funkciją: įveskite į bet kurį langelį =FAKTAS(11) ir paspauskite Įeikite.

Praktiškai visiškai priimtina nerašyti bendrosios formulės ir, be to, praleisti vienetinius faktorius:

Tačiau išankstinės pastabos dėl pasikartojančių laiškų būtinos!

Atsakymas: 554400

Kitas tipiškas permutacijų su pasikartojimu pavyzdys yra šachmatų figūrėlių išdėstymo užduotyje, kurią galima rasti sandėlyje paruoštus sprendimus atitinkamame pdf faile. O savarankiškam sprendimui sugalvojau ne tokią formulę:

13 problema

Aleksejus sportuoja, 4 dienas per savaitę - lengvąją atletiką, 2 dienas - jėgos pratimus ir 1 dieną ilsisi. Kiek būdų jis gali susikurti savaitės tvarkaraštį?

Formulė čia neveikia, nes atsižvelgiama į atsitiktinius apsikeitimus (pavyzdžiui, trečiadienio jėgos pratimų pakeitimas ketvirtadienio jėgos pratimais). Ir dar kartą – iš tikrųjų tos pačios 2 jėgos treniruotės gali labai skirtis viena nuo kitos, tačiau užduoties kontekste (grafiko požiūriu) jos laikomos tais pačiais elementais.

Dviejų eilučių sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Deriniai su pakartojimais

Būdingas šio tipo derinių bruožas yra tai, kad pavyzdys yra sudarytas iš kelių grupių, kurių kiekviena susideda iš identiškų objektų.

Šiandien visi sunkiai dirbo, todėl laikas atsigaivinti:

14 problema

Studentų valgykloje prekiaujama dešrelėmis tešloje, sūrio pyragais ir spurgomis. Keliais būdais galite nusipirkti penkis pyragus?

Sprendimas: iš karto atkreipkite dėmesį į tipinį derinių su pasikartojimais kriterijų – pagal būklę siūloma rinktis ne objektų rinkinį, o įvairių tipų objektai; daroma prielaida, kad parduodami mažiausiai penki dešrainiai, 5 sūrio pyragaičiai ir 5 spurgos. Pyragai kiekvienoje grupėje, žinoma, skirtingi – nes absoliučiai identiškas spurgas galima imituoti tik kompiuteriu =) Tačiau fizinės pyragų savybės nėra reikšmingos problemos tikslui, o dešrainiai / sūrio pyragaičiai / spurgos jų grupėse laikomos vienodais.

Kas gali būti pavyzdyje? Visų pirma reikia pastebėti, kad pavyzdyje tikrai bus identiškų pyragėlių (kadangi renkamės 5 vnt., o galima rinktis iš 3 rūšių). Čia rasite variantų kiekvienam skoniui: 5 dešrainiai, 5 sūrio pyragaičiai, 5 spurgos, 3 dešrainiai + 2 sūrio pyragaičiai, 1 dešrainiai + 2 sūrio pyragaičiai + 2 spurgos ir kt.

Kaip ir „įprastų“ derinių atveju, pyragų atrankos ir išdėstymo atrankoje tvarka neturi reikšmės - jūs tiesiog išsirinkote 5 gabalus ir viskas.

Mes naudojame formulę derinių su pakartojimais skaičius:
Naudodami šį metodą galite įsigyti 5 pyragus.

Gero apetito!

Atsakymas: 21

Kokią išvadą galima padaryti iš daugelio kombinatorinių problemų?

Kartais sunkiausia yra suprasti situaciją.

Panašus nepriklausomo sprendimo pavyzdys:

15 problema

Piniginėje yra gana daug 1, 2, 5 ir 10 rublių monetų. Keliais būdais iš piniginės galima išimti tris monetas?

Savikontrolės tikslais atsakykite į keletą paprastų klausimų:

1) Ar visos pavyzdyje esančios monetos gali skirtis?
2) Įvardykite „pigiausią“ ir „brangiausią“ monetų derinį.

Sprendimas ir atsakymai pamokos pabaigoje.

Iš savo asmeninės patirties galiu pasakyti, kad deriniai su pakartojimais yra rečiausias svečias praktikoje, ko negalima pasakyti apie šių tipų derinius:

Vietos su pasikartojimais

Iš rinkinio, susidedančio iš elementų, atrenkami elementai, o elementų tvarka kiekviename pasirinkime yra svarbi. Ir viskas būtų gerai, bet gana netikėtas pokštas, kad bet kurį originalaus komplekto objektą galime pasirinkti tiek kartų, kiek norime. Vaizdžiai tariant, „daugybė nesumažės“.

Kada tai įvyksta? Tipiškas pavyzdys yra kombinuotas užraktas su keliais diskais, tačiau dėl technologinės plėtros aktualiau atsižvelgti į jo skaitmeninį palikuonį:

16 problema

Kiek yra keturių skaitmenų PIN kodų?

Sprendimas: iš tikrųjų, norint išspręsti problemą, pakanka žinoti kombinatorikos taisykles: tam tikrais būdais galite pasirinkti pirmąjį PIN kodo skaitmenį Ir būdai – antrasis PIN kodo skaitmuo Ir tiek daug būdų – trečia Ir toks pat skaičius – ketvirtas. Taigi, pagal derinių dauginimo taisyklę, keturženklį PIN kodą galima sudaryti: būdais.

O dabar naudojant formulę. Pagal sąlygą mums siūlomas skaičių rinkinys, iš kurio atrenkami ir išdėstomi numeriai tam tikra tvarka, o imtyje esantys skaičiai gali kartotis (t. y. bet kuris pradinio rinkinio skaitmuo gali būti naudojamas neribotą skaičių kartų). Pagal vietų skaičiaus su pasikartojimais formulę:

Atsakymas: 10000

Kas čia ateina į galvą... ...jei bankomatas „suvalgo“ kortelę po trečio nesėkmingo bandymo įvesti PIN kodą, tai tikimybė ją pasiimti atsitiktinai yra labai menka.

O kas sakė, kad kombinatorika neturi praktinės prasmės? Pažintinė užduotis visiems svetainės skaitytojams:

17 problema

Pagal valstybinį standartą automobilio valstybinis numeris susideda iš 3 skaičių ir 3 raidžių. Šiuo atveju skaičius su trimis nuliais yra nepriimtinas, o raidės pasirenkamos iš rinkinio A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X (naudojamos tik tos kirilicos raidės, kurių rašyba sutampa su lotyniškomis raidėmis).

Kiek skirtingų valstybinių numerių galima sukurti regionui?

Beje, jų nėra tiek daug. Dideliuose regionuose tokio kiekio nepakanka, todėl jiems yra keli užrašo RUS kodai.

Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje. Nepamirškite pasinaudoti kombinatorikos taisyklėmis ;-) ...norėjau pademonstruoti, kas išskirtinė, bet pasirodė ne išskirtinė =) Pažiūrėjau į Vikipediją - ten yra skaičiavimai, nors be komentarų. Nors edukaciniais tikslais, ko gero, mažai kas tai sprendė.

Mūsų įdomi pamoka baigėsi ir galiausiai noriu pasakyti, kad jūs nešvaistėte savo laiko – dėl to, kad kombinatorikos formulės randa kitą gyvybiškai svarbų praktinį pritaikymą: jos randamos įvairiose problemose tikimybių teorija,
ir viduje problemos, susijusios su klasikiniu tikimybės nustatymu– ypač dažnai =)

Dėkojame visiems už aktyvų dalyvavimą ir iki greito pasimatymo!

Sprendimai ir atsakymai:

2 užduotis: Sprendimas: suraskite visų galimų 4 kortelių permutacijų skaičių:

Kai kortelė su nuliu dedama į 1 vietą, skaičius tampa triženklis, todėl šios kombinacijos turėtų būti neįtrauktos. Tegul nulis yra 1-oje vietoje, tada likusius 3 skaitmenis apatiniuose skaitmenyse galima pertvarkyti įvairiais būdais.

Pastaba : nes Kadangi yra tik kelios kortelės, čia lengva išvardyti visas parinktis:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Taigi iš siūlomo rinkinio galime padaryti:
24 – 6 = 18 keturženklių skaičių
Atsakymas : 18

4 užduotis: Sprendimas: tam tikrais būdais galite pasirinkti 3 korteles iš 36.
Atsakymas : 7140

6 užduotis: Sprendimas: būdais.
Kitas sprendimas : būdai, kaip galite pasirinkti du žmones iš grupės ir ir
2) „Pigiausiame“ rinkinyje yra 3 rublių monetos, o „brangiausiame“ – 3 dešimties rublių monetos.

17 problema: Sprendimas: naudodamiesi šiais metodais galite sukurti skaitmeninį automobilio numerio derinį, o vieną iš jų (000) reikėtų neįtraukti: .
naudodamiesi šiais metodais galite sukurti valstybinio numerio raidžių derinį.
Pagal derinių dauginimo taisyklę, suma gali būti sudaryta:
valstybiniai numeriai
(kiekviena skaitmeninis derinys derinamas su kiekvienu raidžių derinys).
Atsakymas : 1726272

Apibrėžimas.

Tai yra šešiakampis, kurio pagrindai yra du lygūs kvadratai, o šoniniai paviršiai yra lygūs stačiakampiai

Šoninis šonkaulis- yra dviejų gretimų šoninių paviršių bendroji pusė

Prizmės aukštis- tai atkarpa, statmena prizmės pagrindams

Prizmės įstrižainė- segmentas, jungiantis dvi pagrindų viršūnes, kurios nepriklauso tam pačiam veidui

Įstrižainė plokštuma- plokštuma, einanti per prizmės įstrižainę ir jos šonines briaunas

Įstrižainė pjūvis- prizmės ir įstrižainės plokštumos susikirtimo ribos. Taisyklingos keturkampės prizmės įstrižainė yra stačiakampis

Statmena pjūvis (stačiakampė pjūvis)- tai prizmės ir plokštumos, nubrėžtos statmenai jos šoninėms briaunoms, sankirta

Taisyklingosios keturkampės prizmės elementai

Paveiksle pavaizduotos dvi taisyklingos keturkampės prizmės, kurios pažymėtos atitinkamomis raidėmis:

Pagrindai ABCD ir A 1 B 1 C 1 D 1 yra lygūs ir lygiagrečiai vienas kitam
Šoniniai paviršiai AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C ir CC 1 D 1 D, kurių kiekvienas yra stačiakampis
Šoninis paviršius – visų prizmės šoninių paviršių plotų suma
Bendras paviršius - visų pagrindų ir šoninių paviršių plotų suma (šoninio paviršiaus ir pagrindų plotų suma)
Šoniniai šonkauliai AA 1, BB 1, CC 1 ir DD 1.
Įstrižainė B 1 D
Pagrindo įstrižainė BD
Įstrižainė pjūvis BB 1 D 1 D
Statmena pjūvis A 2 B 2 C 2 D 2.

Taisyklingosios keturkampės prizmės savybės

Pagrindai yra du vienodi kvadratai
Pagrindai yra lygiagrečiai vienas kitam
Šoniniai paviršiai yra stačiakampiai
Šoniniai kraštai yra lygūs vienas kitam
Šoniniai paviršiai yra statmeni pagrindams
Šoniniai šonkauliai yra lygiagrečiai vienas kitam ir lygūs
Statmena pjūvis, statmena visoms šoninėms briaunoms ir lygiagreti pagrindams
Statmens pjūvio kampai – tiesūs
Taisyklingos keturkampės prizmės įstrižainė yra stačiakampis
Statmenas (stačiakampis pjūvis), lygiagretus pagrindams

Taisyklingos keturkampės prizmės formulės

Problemų sprendimo instrukcijos

Sprendžiant problemas tema " taisyklingoji keturkampė prizmė“ reiškia, kad:

Teisinga prizmė- prizmė, kurios pagrinde yra taisyklingas daugiakampis, o šoninės briaunos yra statmenos pagrindo plokštumoms. Tai reiškia, kad įprastos keturkampės prizmės pagrindas yra kvadratas. (žr. taisyklingos keturkampės prizmės savybes aukščiau) Pastaba. Tai dalis pamokos su geometrijos problemomis (atkarpos stereometrija – prizmė). Čia yra problemų, kurias sunku išspręsti. Jei reikia išspręsti geometrijos problemą, kurios čia nėra, parašykite apie tai forume. Kvadratinės šaknies ištraukimo veiksmui sprendžiant uždavinius pažymėti naudojamas simbolis√ .

Užduotis.

Taisyklingoje keturkampėje prizmėje pagrindo plotas yra 144 cm 2, o aukštis – 14 cm. Raskite prizmės įstrižainę ir viso paviršiaus plotą.

Sprendimas.
Taisyklingas keturkampis yra kvadratas.
Atitinkamai, pagrindo pusė bus lygi

√144 = 12 cm.
Iš kur taisyklingos stačiakampės prizmės pagrindo įstrižainė bus lygi
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Taisyklingosios prizmės įstrižainė sudaro statųjį trikampį su pagrindo įstriža ir prizmės aukščiu. Atitinkamai, pagal Pitagoro teoremą tam tikros taisyklingosios keturkampės prizmės įstrižainė bus lygi:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Atsakymas: 22 cm

Užduotis

Nustatykite bendrą taisyklingos keturkampės prizmės paviršių, jei jos įstrižainė yra 5 cm, o šoninės pusės įstrižainė yra 4 cm.

Sprendimas.
Kadangi taisyklingos keturkampės prizmės pagrindas yra kvadratas, pagrindo kraštinę (žymima a) randame naudodami Pitagoro teoremą:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Tada šoninio paviršiaus aukštis (žymimas h) bus lygus:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Bendras paviršiaus plotas bus lygus šoninio paviršiaus ploto ir dvigubo pagrindinio ploto sumai

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4 √ (7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Atsakymas: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Sudėjimo taisyklė naudojama, jei turime du ar daugiau aibių, kurios yra poromis nejungtos, tai yra, jie neturi bendrų elementų. Ir mes turime sužinoti, kiek elementų yra šių rinkinių sąjungoje. Tokiu atveju susumuojame kiekvieno rinkinio elementų skaičių. Paprasčiausias pavyzdys: jei turime du krepšelius vaisių: viename yra 5 obuoliai, o kitame - 7 kriaušės. Jei šiuos vaisius supilstysime į vieną krepšelį (sujungsime rinkinius), tai naujame krepšelyje bus 5+7=12 vaisių.

Daugybos taisyklė

Daugybos taisyklė naudojama tada, kai turime dvi aibes, o visas įmanomas poras sudarome iš šių aibių elementų. Pavyzdžiui, jei paimsime rinkinį iš 5 obuolių ir rinkinį iš 7 kriaušių ir iš šių vaisių padarysime visas įmanomas poras, tai gausime visas įmanomas poras.

Tikrai. Paimkime pirmąjį obuolį. Ant jo galime uždėti bet kurią iš septynių kriaušių, tai yra, gauname 7 poras. Imkime antrą obuolį, taip pat į jį galime pridėti bet kurią iš 7 kriaušių, gauname dar 7 poras. Ir taip toliau. Iš viso yra garas.

Daugybos taisyklę lengva suprasti, jei bandysite atsakyti, pavyzdžiui, į šį klausimą: " Kiek yra dviženklių skaičių?"

Tegul dviženklis skaičius turi formą , kur yra dešimčių skaičius ir vienetų skaičius. Šiuo atveju skaitmuo gali turėti reikšmes nuo 1 iki 9 (skaitmuo 0 negali būti pirmoje vietoje, nes tokiu atveju gausime vienaženklį skaičių), skaitmuo gali būti nuo 0 iki 9.

Leiskite , ir mes turime 10 skaičių variantų, kurie gali būti antroje vietoje. Tada turime 10 dviženklių skaičių, kurių 1 yra dešimt.

Tada imame ir taip pat gauname 10 dviženklių skaičių, kurie dabar turi 2 dešimtis.

Kadangi skaičius gali turėti 9 skirtingas reikšmes, gauname dviženklius skaičius.

Žinodami, kad pirmoje vietoje gali būti 9 skirtingi skaitmenys, o antroje – 10, gauname šių skaitmenų derinius, tai yra visus įmanomus dviženklius skaičius. Čia svarbu suprasti, kad bet koks skaičius pirmoje vietoje gali būti derinamas su bet kokiu antroje vietoje esančiu skaičiumi.

Apskritai daugybos taisyklė skamba taip:

Jei elementą A galima pasirinkti n būdų, o bet kokiam A pasirinkimui elementą B galima pasirinkti m, tai porą (A, B) galima pasirinkti n m būdų. Ši taisyklė taikoma bet kuriam nepriklausomai pasirenkamų elementų skaičiui.

Jei norime atsakyti į klausimą, kiek yra triženklių skaičių, pastebėsime, kad triženkliame skaičiuje pirmasis skaitmuo gali turėti 9 reikšmes, antrasis – 10, o trečiasis – 10 reikšmių. Ir gauname triženklius skaičius.

Įtraukimo-išskyrimo formulė

naudojamas, jei reikia rasti elementų skaičių dviejų aibių sąjungoje, jei šios aibės susikerta.

Tegul aibėje A yra n elementų, aibėje B yra m elementų, o šių aibių sankirtoje yra k elementų. Tai yra, k elementų yra ir aibėje A, ir aibėje B. Tada aibių sąjungoje yra m+n-k elementų.

Iš tiesų, sujungdami dvi aibes, k elementus suskaičiavome du kartus, o dabar turime juos atimti vieną kartą.

Elementų skaičius rinkinyje nurodomas bendru simboliu #. Tada elementų skaičiaus trijų rinkinių sąjungoje skaičiavimo formulė yra tokia:

## # # # # # #

Pažvelkime į problemų pavyzdžius.

1. Kiek triženklių skaičių turi bent vieną skaitmenį 3?

Jei probleminiame klausime yra žodžiai „bent“, tada daugeliu atvejų pirmiausia turite atsakyti į priešingą teiginį.

Raskime, kiek triženklių skaičių NĖRA skaitmens 3. Tokiu atveju pirmoje, antroje ir trečioje skaičiaus vietose gali būti bet koks skaitmuo, išskyrus 3. Tai yra, pirmas skaitmuo gali turėti 8 reikšmes, antrasis - 9, o trečioji – 9 reikšmės. Tada gauname triženklius skaičius, kuriuose NĖRA skaitmens 3. Todėl likusiuose skaičiuose yra bent vienas skaitmuo 3.

2. Kiek keturženklių skaičių yra 5 kartotiniai?

Žinome, kad skaičius dalijasi iš 5, jei baigiasi 0 arba 5. Todėl keturženkliame skaičiuje paskutinis skaitmuo gali turėti tik dvi reikšmes: 0 ir 5.
Pirmasis skaitmuo gali turėti 9 reikšmes, antrasis - 10, o trečias - 10 reikšmių, ketvirtas - 2 reikšmes.

Tada gauname keturženklius skaičius, kurie dalijasi iš 5.

Pertvarkymai

Naudokime daugybos taisyklę atsakydami į klausimą " Kiek būdų gali išsirikiuoti 7 žmonės?.

Pirmą eilėje stovintį asmenį galima pasirinkti septyniais būdais, antrąjį – iš likusių šešių žmonių, tai yra šešiais būdais. Trečias, atitinkamai, yra penki. Ir taip toliau. Pastarąjį galima pasirinkti tik vienu būdu. Iš viso gauname būdus, kaip suformuoti 7 žmones į eilę.

Apskritai, jei turime objektus, kuriuos norime išdėstyti tam tikra tvarka (juos sunumeruoti), tada ir gausime

šių objektų išdėstymo būdai.

Faktorinis Natūralusis skaičius yra visų natūraliųjų skaičių sandauga nuo 1 iki:

Pagal apibrėžimą 0!=1; 1!=1.

Pertvarkymas objektų yra bet koks šių objektų numeravimo metodas (jų išdėstymo iš eilės metodas).

Permutacijų skaičius elementai yra lygūs .

3. Yra 10 kompiuterių diskų ir 10 jų dėžučių. Raskite tikimybę, kad atsitiktinai sudėjus diskus į dėžutes, tai rasime

1. Kiekvienas diskas yra savo dėžutėje.

2. Dėžutėje nėra bent vieno disko.

3. Du konkretūs diskai yra sukeisti, o likusieji yra savo dėžutėse.

4. Tiksliai vieno nėra jo dėžutėje, o likusios yra jų dėžėse.

1. Sunumeruokime diskus ir dėžutes. Išdėliokime dėžutes tam tikra seka. Mums reikia, kad jei diskai yra atsitiktinai išdėstyti iš eilės, jų numeriai taip pat būtų išdėstyti ta pačia seka.

Yra tik vienas būdas išdėstyti 10 skaičių tam tikroje sekoje, tai yra, turime 1 palankų rezultatą.

Galite išdėstyti 10 skaičių bet kokia tvarka 10! būdais.

Todėl tikimybė, kad kiekvienas diskas atsidurs savo dėžutėje, yra lygi

2. Renginys " bent vieno disko nėra jo dėžutėje„priešingas įvykiui“ “, o jo tikimybė yra lygi

3. Renginys " du konkretūs diskai yra sukeisti, o likusieji yra jų dėžutėse" tas pats kaip renginys" kiekvienas diskas yra savo dėžutėje“, turi vieną palankią baigtį, todėl šio įvykio tikimybė yra lygi

4. Renginys " lygiai vieno nėra jo dėžėje, o likusios yra jų dėžėse"neįmanoma, nes jei vieno disko nėra jo dėžutėje, tai turi būti kitas, kuris taip pat yra ne toje dėžutėje. Todėl šio įvykio tikimybė lygi nuliui.

4. Ant kartono juostelės buvo užrašytas žodis „MATEMATIKA“ ir juostelė supjaustyta raidėmis. Raskite tikimybę, kad visas šias raides sudėjus atsitiktinai iš eilės vėl gausime žodį „MATEMATIKA“.

MATEMATIKA"?

Tikimybė, kad M raidė bus pirmoje vietoje, yra 2/10 – turime dvi raides M, o iš viso 10 raidžių.

Tikimybė, kad raidė A bus antroje vietoje, yra 3/9 – mums liko 9 raidės, iš kurių 3 yra A.

Tikimybė, kad raidė T bus antroje vietoje, yra 2/8 – mums liko 8 raidės, iš kurių 2 yra T.

Sunumeruokime visas žodžio „MATEMATIKA“ raides. Pažiūrėkime, kiek būdų galime juos išdėstyti tam tikra tvarka. Žodyje yra 10 raidžių, kurias galime išdėstyti 10!=3628800 skirtingų būdų.

Kadangi žodis turi tas pačias raides, pertvarkydami šias raides gauname tą patį žodį:

žodyje „MATEMATIKA“ yra 2 raidės „M“; 3 raidės "A"; 2 raidės „T“, todėl pagal gaminio taisyklę tai suteikia galimybę šias raides pertvarkyti išsaugant žodį „MATEMATIKA“.

Taigi tikimybė vėl gauti žodį „MATA“ yra:

Kiek raidžių kombinacijų galima sudaryti iš žodžio raidžių " MATEMATIKA"?

Iš 10 žodžio raidžių MATEMATIKA" galite padaryti 10! raidžių deriniai. Tačiau kai kurios iš jų bus vienodos, nes pertvarkydami tas pačias raides gausime tuos pačius raidžių derinius. Tai yra, galų gale mes gausime

raidžių deriniai.

Vietos

Tikimybių teorijos uždaviniuose dažnai reikia nustatyti, kiek būdų tam tikrą objektų skaičių galima pasirinkti ir išdėstyti tam tikra tvarka.

5. Kiek skirtingų variantų yra atrinkus 4 kandidatus iš 9 specialistų keliauti į 4 skirtingas šalis?

Naudokime daugybos taisyklę.

Pirmajai šaliai renkamės iš 9 specialistų, tai yra, turime 9 pasirinkimus. Pasirinkus specialistą kelionei į pirmąją šalį, mums lieka 8 specialistai, o kelionei į antrąją šalį turime 8 pasirinkimo galimybes. Ir taip toliau... ketvirtai šaliai kandidatą galime pasirinkti iš 6 specialistų.

Taigi, gauname galimybes pasirinkti 4 kandidatus iš 9 specialistų keliauti į 4 skirtingas šalis.

Apibendrinkime šią problemą pasirinkimo atveju k kandidatai iš n specialistų keliauti į k skirtingas šalis.

Ginčiuodami panašiai gauname

parinktys.

Jei šią išraišką padauginsime ir padalinsime iš , gausime tokią formulę:

Šioje užduotyje mes pasirinkome iš rinkinio, susidedančio iš elementų užsakyta poaibiai (mums buvo svarbi poaibyje esančių elementų tvarka), susidedantis iš elementų. Užduotis apsiribojo tokių pogrupių skaičiaus paieška.

Tokie sutvarkyti poaibiai vadinami n elementų išdėstymais pagal k.

Apgyvendinimas(nuo n iki k) vadinamas užsakytas poaibis iš skirtingų elementų iš kažkokio rinkinio, susidedančio iš skirtingų elementų.

Vietų skaičius nuo elementai pagal žymimas ir randamas formule:

Vietos su pasikartojimais

6. Kauliukai metami tris kartus. Kiek skirtingų atmestų taškų kombinacijų bus?

Mesdami kauliuką pirmą kartą gausime 6 skirtingus variantus: 1 taškas, 2, 3... arba 6. Panašiai mesdami kauliuką antrą ir trečią kartą taip pat gausime 6 skirtingus variantus. Naudodami daugybos taisyklę, gauname skirtingų trijų skaičių kombinacijų skaičių, paimdami reikšmes nuo 1 iki 6:

Apskritai:

Turėkime rinkinį, kurį sudaro elementai.

Bet koks užsakytas rinkinys vadinami aibės, susidedančios iš elementų, elementai apgyvendinimas su kartojimas iš elementų pagal . Skirtingų vietų skaičius su pasikartojimais yra lygus

Tikrai. Įsivaizduokite dėžutę su sunumeruotais rutuliais. Išimame kamuolį, užrašome jo numerį ir grąžiname atgal ir t.t vieną kartą. Kiek derinių ar galime gauti skaičius?

Kadangi kamuoliukai grąžinami kiekvieną kartą, kiekvieną kartą, kai išimame kamuolį iš dėžutės, kurioje yra kamuoliukai, galime gauti skirtingus skaičius. Pagal turimą daugybos taisyklę

Deriniai

Panagrinėkime problemą, panašią į 5 uždavinį, bet su reikšmingu skirtumu.

7. Kiek skirtingų galimybių yra pasirinkti 4 kandidatus iš 9 specialistų?

Šioje problemoje turime pasirinkti 4 kandidatus, bet nesvarbu kokia tvarka juos pasirinksime, mus domina tik pasirinktų elementų kompozicija, bet ne jų išdėstymo tvarka.

Jei mus domintų elementų tvarka, kaip 5 uždavinyje, galėtume pritaikyti formulę, kad surastume vietų skaičių nuo 9 iki 4:

4 skirtingi elementai gali būti išdėstyti tam tikra tvarka 4! įvairiais būdais. Kadangi mes Ne domina elementų tvarka, būdų, kaip galime pasirinkti 4 elementus, nesudėliodami jų tam tikra tvarka, skaičius sumažėja 4! kartų, palyginti su ankstesne problema (kadangi šiai problemai spręsti vienas iš šių elementų išdėstymo laikomi skirtingais būdais), ir gauname

būdais.

Šioje problemoje atsiranda koncepcija deriniai.

Deriniai n elementų, kiekvienas k elementas vadinamas poaibiais, susidedančiais iš k aibės elementų (aibės, kurią sudaro n elementų).

Dėmesio! Vienas derinys nuo kito skiriasi tik pasirinktų elementų kompozicija (bet ne jų išdėstymo tvarka, kaip su išdėstymais).

Derinių skaičius iš n elementai pagal k elementai yra pažymėti

ir randama pagal formulę:

Derinių skaičius n Autorius k parodo, kiek būdų galime pasirinkti k elementai iš n elementų arba kiek būdų galime išdėstyti k objektai pagal n vietos .

Tai nesunku pastebėti

8. Dėžutėje yra 8 raudoni pieštukai ir 4 mėlyni pieštukai. Iš dėžutės atsitiktine tvarka išimami 4 pieštukai. Kokia tikimybė, kad tarp jų bus 2 raudonos ir 2 mėlynos?

Iš viso dėžutėje yra 12 pieštukų. Pažiūrėkime, kiek būdų iš dėžutės galima išimti 4 pieštukus. Kadangi mus domina ne pieštukų išėmimo iš dėžutės tvarka, o tik pieštukų sudėtis, šis skaičius yra lygus derinių skaičiui iš 12 x 4:

Iš 8 raudonų pieštukų galite išgauti du pieštukus būdais.

Iš 4 mėlynų pieštukų galite ištraukti du pieštukus būdais.

Pagal gaminio taisyklę matome, kad yra būdų išgauti 2 mėlynus ir 2 raudonus pieštukus.

Taigi, reikalinga tikimybė yra:

Rutulio ir pertvaros metodas

9. Keliais būdais 10 kamuoliukų galima sudėti į 4 dėžutes? Tikimasi, kad kai kurios dėžės gali būti tuščios.

Apsvarstykite 10 kamuoliukų:

Kamuoliukus „sudėsime į dėžutes“, išdėliodami pertvaras.

Pavyzdžiui, taip:

Šiame pavyzdyje pirmoje dėžutėje yra 3 kamuoliukai, antroje – 2, trečioje – 4, ketvirtoje – 2. Perstatydami kamuoliukus ir pertvaras gauname skirtingas kamuoliukų kombinacijas dėžėse. Pavyzdžiui, pertvarkydami paskutinį rutulį pirmajame langelyje ir pirmoje vidinėje pertvaroje, gauname tokią kombinaciją:

Taigi, sujungę 10 kamuoliukų ir 3 vidinių pertvarų vietas, dėžėse gauname skirtingą kamuoliukų skaičių. Norėdami nustatyti, kiek skirtingų kombinacijų galime gauti, turime rasti derinių skaičių nuo 13 iki 3. (Arba, lygiaverčiai, derinių skaičius nuo 13 iki 10.) Yra tiek daug būdų, kaip pasirinkti 3 vietas pertvaroms. iš 13 galimų pozicijų. Arba, kas yra tas pats, 10 erdvių kamuoliams.

10. Kiek sprendinių turi lygtis? neneigiamais sveikaisiais skaičiais?

Kadangi kintamieji gali įgyti tik neneigiamas sveikųjų skaičių reikšmes, turime 10 kintamųjų ir jie gali turėti reikšmes 0, 1, 2, 3 ir 4. Įsivaizduokite, kad turime 10 langelių (tai yra kintamieji) ir turime faktorius, šiose dėžutėse yra 4 rutuliai. Kiek kamuoliukų patenka į dėžutę, yra atitinkamo kintamojo reikšmė. Jei turime 10 dėžučių, 10-1 = 9 vidinės pertvaros. Ir 4 kamuoliukai. Iš viso yra 13 vietų. Ant šių 13 vietų turime padėti 4 kamuoliukus. Tokių galimybių skaičius:

Apskritai, jei mums reikia sudėlioti kamuoliukus į dėžutes, gauname kamuoliukų ir vidinės pertvaros derinius. O tokių kombinacijų skaičius lygus kombinacijų skaičiui nuo .

Šią problemą mes sprendėme deriniai su pakartojimais.

Deriniai su pakartojimais

Elementų ir elementų deriniai su pasikartojimais yra grupės, turinčios elementus, kurių kiekvienas priklauso vienam iš tipų.

Kas yra elementų deriniai su elementais su pasikartojimais, galima suprasti naudojant tokį minties eksperimentą. Įsivaizduokite dėžutę su sunumeruotais rutuliais. Išimame kamuolį, užrašome jo numerį ir grąžiname atgal ir t.t vieną kartą. Skirtingai nei išdėstymai su pasikartojimais, mus domina ne užrašytų skaičių tvarka, o tik jų sudėtis. Pavyzdžiui, skaičių grupės (1,1,2,1,3,1,2) ir (1,1,1,1,2,2,3) laikomos vienodomis. Kiek tokių grupių yra ar galime gauti skaičius?

Galiausiai mus domina, kiek kiekvieno tipo elementų (iš viso n elementų tipai) yra kiekvienoje grupėje (iš k elementai ) , ir kiek skirtingų variantų gali būti. Tai yra, mes nustatome, kiek sveikųjų skaičių neneigiamų sprendinių turi lygtis - užduotis yra panaši į skaidymo užduotį n kamuoliai į vidų k dėžės

Derinių su pakartojimais skaičius nustatomas pagal šią formulę:

Taigi, derinių su pasikartojimais skaičius yra būdų, kaip skaičių k pavaizduoti kaip n terminų sumą, skaičius.