Klasikinis tikimybės apibrėžimas

Tikimybė – viena iš pagrindinių tikimybių teorijos sąvokų. Yra keletas šios sąvokos apibrėžimų. Tikimybė yra skaičius, apibūdinantis tam tikro įvykio tikimybės laipsnį.

Kiekvienas iš galimų testo rezultatų vadinamas elementarus rezultatas (elementarus įvykis). Pavadinimai: ...,

Vadinsime tuos elementarius rezultatus, kuriuose įvyksta mus dominantis įvykis palankus.

Pavyzdys: Urnoje yra 10 vienodų kamuoliukų, iš kurių 4 juodi ir 6 balti. Renginys – iš urnos traukiamas baltas rutulys. Palankių rezultatų, kai iš urnos bus ištraukti balti rutuliai, skaičius yra 4.

Įvykiui palankių elementarių baigčių skaičiaus ir bendro jų skaičiaus santykis vadinamas įvykio tikimybe; žymėjimas Mūsų pavyzdyje

Įvykio tikimybė vadinti šiam įvykiui palankių rezultatų skaičiaus ir visų vienodai galimų nesuderinamų elementarių baigčių, sudarančių visą grupę, skaičiaus santykį,

kur yra elementarių įvykiui palankių rezultatų skaičius; visų galimų elementarių testų rezultatų skaičius.

Tikimybių savybės:

1. Patikimo įvykio tikimybė lygi vienetui, t.y.

2. Neįmanomo įvykio tikimybė lygi nuliui, t.y. e.

3. Atsitiktinio įvykio tikimybė yra teigiamas skaičius tarp nulio ir vieneto, t.y. e.

arba

Atsižvelgiant į 1 ir 2 savybes, bet kokio įvykio tikimybė tenkina nelygybę

4 . Pagrindinės kombinatorikos formulės

Kombinatorika tiria derinių skaičių, tam tikromis sąlygomis, kuriuos galima sudaryti iš tam tikros baigtinės savavališko pobūdžio elementų rinkinio. Tiesiogiai skaičiuojant tikimybes, dažnai naudojamos kombinatorinės formulės. Pateikiame labiausiai paplitusius iš jų.

Permutacijos yra deriniai, susidedantys iš tų pačių skirtingų elementų ir besiskiriantys tik jų išdėstymo tvarka.

Visų galimų permutacijų skaičius

Kur Tai priimta

Pavyzdys. Triženklių skaičių skaičius, kai kiekvienas skaitmuo triženklio skaičiaus paveikslėlyje pasirodo tik vieną kartą, yra lygus

Vietos yra deriniai, sudaryti iš skirtingų elementų pagal elementus, kurie skiriasi elementų sudėtimi arba jų tvarka. Visų galimų vietų skaičius

Pavyzdys. Signalų skaičius iš 6 skirtingų spalvų vėliavėlių, paimtų grupėmis po 2:

Deriniai yra deriniai, sudaryti iš skirtingų elementų, kurie skiriasi bent vienu elementu. Derinių skaičius

Pavyzdys. Būdų, kaip pasirinkti dvi dalis iš dėžutės, kurioje yra 10 dalių, skaičius:

Vietų, permutacijų ir derinių skaičius yra susijęs lygybe

Sprendžiant kombinatorikos uždavinius, naudojamos šios taisyklės:

Sumos taisyklė. Jei vieną objektą galima pasirinkti iš objektų rinkinio būdais, o kitą objektą galima pasirinkti būdais, tada galima pasirinkti arba pasirinkti būdais.

Produkto taisyklė. Jei objektą iš objektų rinkinio galima pasirinkti būdais, o po kiekvieno tokio pasirinkimo objektą galima pasirinkti būdais, tai objektų porą nurodyta tvarka galima pasirinkti būdais.

Santykinis dažnis Taip pat yra pagrindinė tikimybių teorijos samprata.

Santykinis dažnisįvykiai yra bandymų, kurių metu įvyko įvykis, skaičiaus ir bendro faktiškai atliktų bandymų skaičiaus santykis ir nustatomas pagal formulę

,

kur įvykio atvejų skaičius bandymuose, bendras bandymų skaičius.

Palyginus tikimybės ir santykinio dažnio apibrėžimus, darome išvadą, kad norint nustatyti tikimybę nereikia testuoti, o norint nustatyti santykinį dažnį reikia atlikti faktinį testavimą.

Ilgalaikiai stebėjimai rodo, kad kai eksperimentai atliekami tomis pačiomis sąlygomis, santykinis dažnis turi stabilumo savybę. Ši savybė susideda iš to, kad skirtingose ​​eksperimentų serijose santykinis bandymų dažnis tarp serijų keičiasi mažai, svyruodamas aplink tam tikrą pastovų skaičių. Tai yra pastovus skaičius ir yra įvykio tikimybė.

Klasikinis tikimybės apibrėžimas turi keletą trūkumų:

1) elementarių testų rezultatų skaičius praktikoje yra baigtinis, šis skaičius gali būti begalinis;

2) labai dažnai testo rezultatas negali būti pavaizduotas kaip elementarių įvykių visuma;

Dėl šių priežasčių kartu su klasikiniu tikimybės apibrėžimu naudojamas statistinis apibrėžimas: V kokybės statistinė tikimybė įvykiai įgauna santykinį dažnumą.

Santykinis dažnis kartu su tikimybe priklauso pagrindinėms tikimybių teorijos sąvokoms.

Santykinis dažnisįvykiai – tai bandymų, kurių metu įvykis įvyko, skaičiaus ir bendro faktiškai atliktų bandymų skaičiaus santykis. Taigi, santykinis įvykio dažnis A nustatoma pagal formulę

W(A) = m/n,

Kur m– įvykio atvejų skaičius, n– bendras testų skaičius.

Palyginus tikimybės ir santykinio dažnio apibrėžimus, darome išvadą: tikimybės apibrėžimas nereikalauja, kad testai būtų iš tikrųjų atlikti; Santykinio dažnio nustatymas daro prielaidą, kad bandymai iš tikrųjų buvo atlikti. Kitaip tariant, tikimybė apskaičiuojama prieš eksperimentą, santykinis dažnis – po eksperimento.

1 pavyzdys. Apžiūros skyrius 80 atsitiktinai atrinktų detalių partijoje rado 3 nestandartines detales. Santykinis nestandartinių dalių atsiradimo dažnis

W(A) =3/80.

2 pavyzdys.Į taikinį buvo paleisti 24 šūviai, užfiksuota 19 pataikymų. Santykinis tikslinis pataikymo rodiklis

W(A) =19/24.

Ilgalaikiai stebėjimai parodė, kad jei eksperimentai atliekami identiškomis sąlygomis, kurių kiekvienoje bandymų skaičius yra pakankamai didelis, santykinis dažnis turi stabilumo savybę. Šis turtas yra kad skirtinguose eksperimentuose santykinis dažnis kinta mažai(kuo mažiau, tuo daugiau tyrimų atlikta), svyruojantis aplink kokį nors pastovų skaičių. Paaiškėjo, kad šis pastovus skaičius yra įvykio tikimybė.

Taigi, jei santykinis dažnis nustatomas eksperimentiškai, gautas skaičius gali būti laikomas apytiksle tikimybės verte.

Santykinio dažnio ir tikimybės santykis bus išsamiau ir tiksliau aprašytas toliau. Dabar iliustruosime stabilumo savybę pavyzdžiais.

3 pavyzdys.Švedijos statistikos duomenimis, santykinis mergaičių gimimo dažnis 1935 m. Pagal mėnesius jis apibūdinamas šiais skaičiais (skaičiai išdėstyti mėnesių tvarka nuo sausio): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Santykinis dažnis svyruoja apie skaičių 0,482, kurį galima paimti kaip apytikslę tikimybės susilaukti mergaičių reikšmę.

Atkreipkite dėmesį, kad statistiniai duomenys iš skirtingų šalių pateikia maždaug tą pačią santykinio dažnio reikšmę.

4 pavyzdys. Daug kartų buvo atliekami monetų mėtymo eksperimentai, kurių metu buvo skaičiuojamas „herbo“ pasirodymų skaičius. Kelių eksperimentų rezultatai pateikti 1 lentelėje.

Čia santykiniai dažniai šiek tiek nukrypsta nuo skaičiaus 0,5, ir kuo mažesnis, tuo didesnis testų skaičius. Pavyzdžiui, 4040 bandymų nuokrypis yra 0,0069, o 24 000 bandymų – tik 0,0005. Atsižvelgdami į tai, kad „herbo“ atsiradimo tikimybė metant monetą yra 0,5, vėl matome, kad santykinis dažnis svyruoja apie tikimybę.

§ 7. Klasikinio tikimybės apibrėžimo apribojimai. Statistinė tikimybė

Klasikinis tikimybės apibrėžimas daro prielaidą, kad elementarių bandymo rezultatų skaičius yra baigtinis. Praktikoje labai dažnai tenka susidurti su testais, kurių galimų rezultatų skaičius yra begalinis. Tokiais atvejais klasikinis apibrėžimas netaikomas. Jau vien ši aplinkybė rodo klasikinio apibrėžimo ribotumą. Pastebėtas trūkumas gali būti pašalintas, visų pirma, įvedant geometrines tikimybes (žr. § 8) ir, žinoma, naudojant aksiomatinę tikimybę (žr. § 3, pastaba).

Silpniausia klasikinio apibrėžimo pusė yra ta, kad labai dažnai neįmanoma pavaizduoti testo rezultato elementarių įvykių visumos pavidalu. Dar sunkiau nurodyti priežastis, kodėl elementarūs įvykiai laikomi vienodai įmanomais. Paprastai sakoma, kad elementarių testų rezultatų suderinamumas yra pagrįstas simetrijos sumetimais. Pavyzdžiui, daroma prielaida, kad štampas yra taisyklingo daugiakampio (kubo) formos ir yra pagamintas iš vienalytės medžiagos. Tačiau problemos, kuriose galima remtis simetrija, praktiškai pasitaiko labai retai. Dėl šios priežasties kartu su klasikiniu tikimybės apibrėžimu naudojami kiti apibrėžimai, ypač statistinis apibrėžimas: Santykinis dažnis arba jam artimas skaičius laikomas statistine įvykio tikimybe. Pavyzdžiui, jei dėl pakankamai didelio bandymų skaičiaus paaiškėja, kad santykinis dažnis yra labai artimas skaičiui 0,4, tai šis skaičius gali būti laikomas statistine įvykio tikimybe.

Nesunku patikrinti, ar tikimybės savybės, kylančios iš klasikinio apibrėžimo (žr. § 3), yra išsaugotos ir statistiniame tikimybės apibrėžime. Iš tiesų, jei įvykis yra patikimas, tada m =n ir santykinis dažnis

m/n = n/n = 1,

tie. statistinė patikimo įvykio tikimybė (kaip ir klasikinio apibrėžimo atveju) lygi vienetui.

Jei įvykis neįmanomas, tada m= 0 ir todėl santykinis dažnis

0/n = 0,

tie. statistinė neįmanomo įvykio tikimybė lygi nuliui.

Bet kokiam įvykiui 0 m n taigi ir santykinis dažnis

0 m/n 1,

tie. bet kurio įvykio statistinė tikimybė yra tarp nulio ir vieneto.

Dėl statistinės įvykio tikimybės egzistavimo A reikalingas:

a) galimybę, bent jau iš principo, atlikti neribotą skaičių bandymų, kurių kiekviename įvykis A atsiranda arba neįvyksta;

b) santykinių pasireiškimų dažnių stabilumas Aįvairiose pakankamai didelio testų skaičiaus serijose.

Statistinio apibrėžimo trūkumas yra statistinės tikimybės dviprasmiškumas; Taigi aukščiau pateiktame pavyzdyje įvykio tikimybe galima laikyti ne tik 0,4, bet ir 0,39; 0,41 ir kt.

Geometrinės tikimybės

Norėdami įveikti klasikinio tikimybės apibrėžimo trūkumą, ty tai, kad jis netaikomas bandymams su begaliniu rezultatų skaičiumi, pristatome geometrines tikimybes– tikimybė, kad taškas atsitrenks į plotą (atkarpą, plokštumos dalį ir pan.).

Tegul segmentas l sudaro segmento dalį L. Už segmentą L atsitiktinai buvo padėtas taškas. Tai reiškia, kad reikia įvykdyti šias prielaidas: nustatytas taškas gali būti bet kuriame atkarpos taške L, tikimybė, kad taškas nukris į atkarpą l yra proporcingas šio atkarpos ilgiui ir nepriklauso nuo jo vietos atkarpos atžvilgiu L. Remiantis šiomis prielaidomis, tikimybė, kad taškas nukris į atkarpą l yra nulemtas lygybės

P= Ilgis l/ Ilgis L.

1 pavyzdys. Už segmentą O.A. ilgio L skaičių ašis Jautis atsitiktinai buvo padėtas taškas B(x). Raskite tikimybę, kad mažesnis iš segmentų O.B. Ir B.A. turi didesnį ilgį L

Sprendimas. Padalinkime segmentą O.A. taškais C Ir Dį 3 lygias dalis. Užduoties reikalavimas bus įvykdytas, jei taškas B(x) patenka į segmentą CD ilgio L/3. Reikalinga tikimybė

P = (L /3)/L = 1/3.

Tegul plokščia figūra g sudaro plokščios figūros dalį G. Tinka G Atsitiktinai metamas taškas. Tai reiškia, kad reikia daryti tokias prielaidas: išmestas taškas gali atsidurti bet kuriame figūros taške G, tikimybė, kad mestas taškas atsitrenks į figūrą g yra proporcingas šios figūros plotui ir nepriklauso nuo jo vietos G, nei iš formos g. Remiantis šiomis prielaidomis, tikimybė, kad taškas atsitrenks į figūrą, yra g yra nulemtas lygybės

P= Plotas g/ Kvadratas G.

2 pavyzdys. Plokštumoje nubrėžti du koncentriniai apskritimai, kurių spindulys yra atitinkamai 5 ir 10 cm. Raskite tikimybę, kad taškas, atsitiktinai įmestas į didelį apskritimą, patenka į žiedą, kurį sudaro sudaryti apskritimai. Daroma prielaida, kad tikimybė, kad taškas pateks į plokščią figūrą, yra proporcinga šios figūros plotui ir nepriklauso nuo jo vietos didžiojo apskritimo atžvilgiu.

Sprendimas. Žiedo plotas (pav g)

S g= p(10 2 - 5 2) = 75 p.

Didžiojo apskritimo plotas (pav G)

S G= p10 2 = 100 p.

Reikalinga tikimybė

P= 75 p/(100 p) = 0,75.

3 pavyzdys. Signalizacijos įrenginys priima signalus iš dviejų įrenginių, o kiekvieno signalo priėmimas yra vienodai įmanomas bet kuriuo laikotarpio, trunkančio T. Signalo atvykimo momentai nepriklauso vienas nuo kito. Signalas suveikia, jei skirtumas tarp signalo gavimo momentų yra mažesnis t(t<T). Raskite tikimybę, kad žadintuvas suges laiku T, jei kiekvienas iš įrenginių siunčia vieną signalą.

Sprendimas. Signalų atvykimo iš pirmojo ir antrojo įrenginių momentus pažymėkime atitinkamai x Ir y. Dėl uždavinio sąlygų turi būti tenkinamos dvigubos nelygybės: 0 x T, 0 y TĮveskime stačiakampę koordinačių sistemą xOy. Šioje sistemoje dvigubas nelygybes tenkina bet kurio kvadrato taško koordinatės OTAT(1 pav.).

Taigi šį kvadratą galima laikyti figūra G, kurių taškų koordinatės atspindi visas įmanomas signalo atvykimo momentų reikšmes.

Signalas suveikia, jei skirtumas tarp signalo gavimo momentų yra mažesnis t, t.y. Jeigu y-x<t adresu y>x Ir x-y<t adresu x>y, arba kas tas pats,

y<x+t adresu y>x, (*)

y >x-t adresu y<x. (**)

Tiems figūros taškams galioja nelygybė (*). G, kurie yra virš linijos y = x ir žemiau linijos y = x+t;nelygybė (**) galioja taškams, esantiems žemiau linijos y= x ir virš tiesios linijos y = x-t.

Kaip matyti iš 1 pav. visi taškai, kurių koordinatės tenkina nelygybes (*) ir (**), priklauso nuspalvintam šešiakampiui. Taigi šis šešiakampis gali būti laikomas figūra g, kurių taškų koordinatės yra palankūs laiko momentai x Ir y.

Reikalinga tikimybė

P= Pl. g/ Pl. G = (T 2 - (T - t) 2)/T 2 = (t(2T - t))/T 2 .

Pastaba1. Pateikti apibrėžimai yra ypatingi bendrojo geometrinės tikimybės apibrėžimo atvejai. Jei srities matą (ilgį, plotą, tūrį) žymėsime mes, tai tikimybė, kad taškas atsitiktinai (minėta prasme) pateks į sritį. g– regiono dalis G, yra lygus

P=mes g/mes G.

Pastaba 2. Klasikinio apibrėžimo atveju patikimo (neįmanomo) įvykio tikimybė lygi vienetui (nuliui); Taip pat teisingi ir atvirkštiniai teiginiai (pavyzdžiui, jei įvykio tikimybė lygi nuliui, tai įvykis neįmanomas). Geometrinio tikimybės apibrėžimo atveju atvirkštiniai teiginiai negalioja. Pavyzdžiui, tikimybė, kad mestas taškas pataikys į vieną konkretų tašką srityje G yra nulis, tačiau šis įvykis gali įvykti ir todėl nėra neįmanomas.

Užduotys

1. Dėžutėje yra 50 identiškų dalių, iš kurių 5 dažytos. Atsitiktinai išimamas vienas gabalas. Raskite tikimybę, kad ištraukta dalis bus nudažyta

Atsakyti. p = 0,1.

2. Metamas kauliukas. Raskite tikimybę gauti lyginį taškų skaičių.

Atsakyti. p = 0,5.

3. Dalyviai iš lošimo žetonų su skaičiais nuo 1 iki 100 suraskite tikimybę, kad pirmojo atsitiktinai ištraukto žetono skaičiuje nėra skaičiaus 5.

Atsakyti. p = 0,81.

4. Maišelyje yra 5 identiški kubeliai. Ant visų kiekvieno kubo paviršių parašyta viena iš šių raidžių: o, p, p, s, t Raskite tikimybę, kad žodis „sportas“ gali būti perskaitytas ant po vieną ištemptų kubelių ir išdėstytų „vienu“. linija“.

Atsakyti. p = 1/120.

5. Ant kiekvienos iš šešių vienodų kortelių yra atspausdinta viena iš šių raidžių: a, t, m, p, s, o. Kortos kruopščiai sumaišomos. Raskite tikimybę, kad žodis „kabelis“ gali būti perskaitytas ant keturių po vieną ištrauktų ir „vienoje eilutėje“ išdėstytų kortelių.

Atsakyti. p = 1/ = 1/360.

6. Kubas, kurio visi kraštai yra spalvoti, supjaustomas į tūkstantį tokio pat dydžio kubelių, kurie vėliau kruopščiai sumaišomi. Raskite tikimybę, kad atsitiktinai nupieštas kubas turės spalvotus veidus: a) vieną; b) du; c) trys.

Atsakyti. a)0,384; b)0,096; c) 0,008.

7. Iš kruopščiai sumaišyto pilno 28 domino kauliukų rinkinio atsitiktine tvarka ištraukiama plytelė. Raskite tikimybę, kad antrasis atsitiktinai nupieštas kaulas gali būti greta pirmojo, jei pirmasis kaulas: a) pasirodo esąs dvigubas; b) nėra dvigubo.

Atsakyti. a) 2/9; b)4/9.

8. Spyna turi penkis diskus bendroje ašyje. Kiekvienas diskas yra padalintas į šešis sektorius, ant kurių rašomos skirtingos raidės. Užraktas atsidaro tik tada, kai kiekvienas diskas užima vieną konkrečią padėtį spynos korpuso atžvilgiu. Raskite tikimybę, kad jei diskai bus įdiegti atsitiktinai, užraktas gali būti atidarytas.

Atsakyti. p = 1/6 5 .

9. Vienoje lentynoje atsitiktinai dedamos aštuonios skirtingos knygos. Raskite tikimybę, kad dvi konkrečios knygos bus pastatytos viena šalia kitos.

Atsakyti. p= 7*2!*6!/8! = ¼.

10. Biblioteka susideda iš dešimties skirtingų knygų: penkios po 4 rublius, trys – po vieną rublį, dvi – po 3 rublius. Raskite tikimybę, kad dvi atsitiktinai paimtos knygos kainuoja 5 rublius.

Atsakyti. p =

11. 100 dalių partijoje techninės kontrolės skyrius aptiko 5 nestandartines dalis. Koks yra santykinis nestandartinių dalių atsiradimo dažnis?

Atsakyti. w = 0,05.

12. Šaudant iš šautuvo santykinis pataikymo į taikinį dažnis buvo lygus 0,85. Raskite smūgių skaičių, jei iš viso buvo paleista 120 šūvių.

Atsakyti. 102 smūgiai.

13. Už segmentą O.A. ilgio L skaičių ašis Jautis atsitiktinai buvo padėtas taškas B(x.Rasti tikimybę, kad mažesnis iš atkarpų O.B. Ir B.A. kurio ilgis yra mažesnis nei L/3. Daroma prielaida, kad tikimybė, kad taškas nukris į atkarpą, yra proporcinga atkarpos ilgiui ir nepriklauso nuo jo vietos skaičiaus ašyje.

Atsakyti. p = 2/3.

14. Spindulio apskritimo viduje R Taškas metamas atsitiktinai. Raskite tikimybę, kad taškas bus kvadrato, įrašyto į apskritimą, viduje. Daroma prielaida, kad tikimybė, kad taškas pateks į kvadratą, yra proporcinga kvadrato plotui ir nepriklauso nuo jo vietos apskritimo atžvilgiu.

P = 7/16.

Antras skyrius

paskambino santykinis dažnis ( arba dažnis)įvykius A nagrinėjamų eksperimentų serijoje.

Santykinis įvykio dažnis yra toks savybių:

1. Bet kurio įvykio dažnis yra tarp nulio ir vieneto, t.y.

2. Neįmanomo įvykio dažnis lygus nuliui, t.y.

3. Patikimo įvykio dažnis yra 1, t.y.

4. Dviejų nesuderinamų įvykių sumos dažnis lygus dažnių sumai
šie įvykiai, t.y. jei, tada

Dažnis turi kitą pagrindinę savybę, vadinamą statistinio stabilumo savybė: didėjant eksperimentų skaičiui (t. n) jis užima reikšmes, artimas tam tikram pastoviam skaičiui (sakoma: dažnis stabilizuojasi, artėja prie tam tikro skaičiaus, dažnis svyruoja apie tam tikrą skaičių arba jo reikšmės yra sugrupuotos aplink tam tikrą skaičių).

Taigi, pavyzdžiui, eksperimente (K. Pearsonas) metant monetą - santykinis herbo atsiradimo dažnis su 12 000 ir 24 000 metimų pasirodė lygus atitinkamai 0,5015 ir 0,5005, t.y. dažnis artėja prie skaičiaus. Berniuko gimimo dažnis, kaip rodo stebėjimai, svyruoja apie 0,515.

Atkreipkite dėmesį, kad tikimybių teorija tiria tik tuos masinius atsitiktinius reiškinius, kurių baigtis yra neapibrėžta ir kurių santykinio dažnio stabilumas daromas prielaidas.

Statistinis tikimybės apibrėžimas

Norint matematiškai ištirti atsitiktinį įvykį, būtina įvesti kiekybinį įvykio įvertinimą. Akivaizdu, kad kai kurie įvykiai labiau tikėtini („labiau tikėtina“) nei kiti. Šis įvertinimas yra įvykio tikimybė, tie. skaičius, išreiškiantis jo atsiradimo galimybės nagrinėjamame eksperimente laipsnį. Yra keletas matematinių tikimybės apibrėžimų, jie visi papildo ir apibendrina vienas kitą.

Apsvarstykite eksperimentą, kuris gali būti kartojamas bet kokį skaičių kartų (sakoma: „atliekami pakartotiniai bandymai“), kurio metu stebimas koks nors įvykis A.

Statistinė tikimybėįvykius A yra skaičius, aplink kurį svyruoja santykinis įvykio A dažnis pakankamai dideliam bandymų (eksperimentų) skaičiui.

Įvykio tikimybė A pažymėtas simboliu R(A). Pagal šį apibrėžimą:

.

(1.2)

Matematinis santykinio dažnio ir tikimybės artumo pagrindimas R(A) kokio nors įvykio A tarnauja kaip J. Bernoulli teorema.

Tikimybės R(A) priskiriamos 1–4 santykinių dažnių savybės:

1. Bet kurio įvykio statistinė tikimybė yra tarp nulio ir vieneto, t.y.

2. Statistinė neįmanomo įvykio tikimybė lygi nuliui, t.y.

3. Patikimo įvykio statistinė tikimybė lygi 1, t.y.

4. Dviejų nesuderinamų įvykių sumos statistinė tikimybė lygi šių įvykių dažnumo sumai, t.y. jei, tada

Statistinis tikimybės nustatymo metodas, pagrįstas realia patirtimi, gana visapusiškai atskleidžia šios sąvokos turinį. Statistinio apibrėžimo trūkumas yra statistinės tikimybės dviprasmiškumas; Taigi monetos metimo pavyzdyje kaip tikimybę galite imti ne tik skaičių 0,5, bet ir 0,49 ar 0,51 ir pan. Norint patikimai nustatyti tikimybę, reikia atlikti daugybę testų, o tai ne visada lengva ar pigu.

Klasikinis tikimybės apibrėžimas

Yra paprastas būdas nustatyti įvykio tikimybę, remiantis bet kurio iš baigtinio eksperimento rezultatų skaičiaus lygybe. Tegul eksperimentas bus atliktas su n rezultatai, kuriuos galima pavaizduoti kaip visa grupė nesuderinamų vienodai įmanomaįvykius. Tokie rezultatai vadinami atvejai, šansai, elementarūs įvykiai, patirtis - klasika. Jie sako apie tokią patirtį, kad ji susiveda atvejo diagrama arba urnos schema(kadangi tokio eksperimento tikimybinė problema gali būti pakeista lygiaverte urnų, kuriose yra skirtingų spalvų kamuoliukai), problema).

W atvejis, dėl kurio įvyksta įvykis A, paskambino palankus(arba palankus) jam, t.y. atvejis w susijęs su įvykiu A: .

Įvykio tikimybė A vadinamas skaičių santykiu mšiam įvykiui palankių atvejų, į bendrą skaičių n atvejų, t.y.

Kartu su pavadinimu R(A) įvykio tikimybei A naudojamas žymėjimas yra r, t.y. p=P(A).

Iš klasikinio tikimybės apibrėžimo išplaukia tai: savybių:

1. Bet kurio įvykio tikimybė yra tarp nulio ir vieneto, t.y.

2. Neįmanomo įvykio tikimybė lygi nuliui, t.y.

3. Patikimo įvykio tikimybė lygi 1, t.y.

4. Nesuderinamų įvykių sumos tikimybė lygi šių įvykių dažnumo sumai, t.y. jei, tada

1.3 pavyzdys. Urnoje yra 12 baltų ir 8 juodi rutuliukai. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai ištrauktas rutulys bus baltas?

Sprendimas:

Leiskite A– įvykis, susidedantis iš to, kad ištraukiamas baltas rutulys. Akivaizdu, kad tai yra visų vienodai galimų atvejų skaičius. Renginiui palankių atvejų skaičius A, lygus 12, t.y. . Vadinasi, pagal (1.3) formulę turime: , t.y. .

Geometrinis tikimybių apibrėžimas

Geometrinis tikimybės apibrėžimas naudojamas tuo atveju, kai eksperimento rezultatai yra vienodai galimi, o PES yra begalinė nesuskaičiuojama aibė. Panagrinėkime plokštumoje tam tikrą sritį Ω, kurios plotas , o srities Ω viduje , regione D su plotu S D(žr. 6 pav.).

Srityje Ω atsitiktinai parenkamas taškas X. Šis pasirinkimas gali būti interpretuojamas kaip mesti tašką X į regionąΩ. Šiuo atveju taško įėjimas į sritį Ω yra patikimas įvykis D- atsitiktinai. Daroma prielaida, kad visi srities Ω taškai yra lygūs (visi elementarūs įvykiai galimi vienodai), t.y. kad išmestas taškas gali pataikyti į bet kurį srities Ω tašką ir tikimybė patekti į sritį D yra proporcingas šios srities plotui ir nepriklauso nuo jo vietos bei formos. Tegul renginys, t.y. išmestas taškas pateks į sritį D.

Santykinis dažnis. Santykinis dažnio stabilumas

Santykinis dažnis kartu su tikimybe priklauso pagrindinėms tikimybių teorijos sąvokoms.

Santykinis dažnisįvykiai – tai bandymų, kurių metu įvykis įvyko, skaičiaus ir bendro faktiškai atliktų bandymų skaičiaus santykis. Taigi santykinis įvykio A dažnis nustatomas pagal formulę

čia m – įvykio atvejų skaičius, n – bendras bandymų skaičius.

Palyginus tikimybės ir santykinio dažnio apibrėžimus, darome išvadą: tikimybės apibrėžimas nereikalauja, kad bandymai būtų iš tikrųjų atlikti; Santykinio dažnio nustatymas daro prielaidą, kad bandymai iš tikrųjų buvo atlikti. Kitaip tariant, tikimybė apskaičiuojama prieš eksperimentą, o santykinis dažnis po eksperimento.

1 pavyzdys. Patikrinimo skyrius 80 atsitiktinai atrinktų dalių partijoje rado 3 nestandartines detales. Santykinis nestandartinių dalių atsiradimo dažnis

2 pavyzdys.Į taikinį buvo paleisti 24 šūviai, užfiksuota 19 pataikymų. Santykinis tikslinis pataikymo rodiklis

Ilgalaikiai stebėjimai parodė, kad jei eksperimentai atliekami identiškomis sąlygomis, kurių kiekvienoje bandymų skaičius yra pakankamai didelis, santykinis dažnis turi stabilumo savybę. Šis turtas yra kad skirtinguose eksperimentuose santykinis dažnis kinta mažai (kuo mažiau, tuo daugiau testų atliekama), svyruojant apie tam tikrą pastovų skaičių. Paaiškėjo, kad šis pastovus skaičius yra įvykio tikimybė.

Taigi, jei santykinis dažnis nustatomas eksperimentiškai, gautas skaičius gali būti laikomas apytiksle tikimybės verte.

Santykinio dažnio ir tikimybės ryšys bus išsamiau ir tiksliau aprašytas toliau. Dabar iliustruosime stabilumo savybę pavyzdžiais.

3 pavyzdys. Remiantis Švedijos statistika, santykinis mergaičių gimimų dažnis 1935 m. pagal mėnesius apibūdinamas šiais skaičiais (skaičiai išdėstyti mėnesių tvarka, pradedant nuo sausio): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.

Santykinis dažnis svyruoja apie skaičių 0,482, kurį galima paimti kaip apytikslę tikimybės susilaukti mergaičių reikšmę.

Atkreipkite dėmesį, kad statistiniai duomenys iš skirtingų šalių pateikia maždaug tą pačią santykinio dažnio reikšmę.

4 pavyzdys. Daug kartų buvo atliekami monetų mėtymo eksperimentai, skaičiuojama, kiek kartų pasirodė „herbas“. Kelių eksperimentų rezultatai pateikti lentelėje. 1.

Čia santykiniai dažniai šiek tiek nukrypsta nuo skaičiaus 0,5, o srovė yra mažesnė, tuo didesnis bandymų skaičius. Pavyzdžiui, 4040 bandymų nuokrypis yra 0,0069, o 24 000 bandymų – tik 0,0005 Atsižvelgiant į tai, kad „herbo“ atsiradimo tikimybė metant monetą yra 0,5, vėlgi matome, kad santykinis dažnis. svyruoja apie tikimybę .

Klasikiniu apibrėžimu įvykio tikimybė nustatoma lygybe P(A)=m/n, kur m – elementarių testo rezultatų, palankių įvykiui A, skaičius; n yra bendras galimų elementarių testų rezultatų skaičius.

Daroma prielaida, kad elementarūs rezultatai sudaro visą grupę ir yra vienodai galimi.

Santykinis įvykio A dažnis: W(A)=m/n, kur m – bandymų, kurių metu įvyko A įvykis, skaičius; n – bendras atliktų bandymų skaičius.

Nustatant statistiškai, įvykio tikimybė yra santykinis jo dažnis.

Pavyzdys: mesti du kauliukai. Raskite tikimybę, kad išmestų pusių taškų suma yra lygi, o šešetas atsiras bent vieno kauliuko šone.

Sprendimas: numestoje „pirmojo“ kauliuko pusėje gali atsirasti vienas taškas,..., šeši taškai. panašios šešios elementarios baigtys galimos metant „antrąjį“ kauliuką. Kiekvienas „pirmojo“ metimo rezultatas gali būti derinamas su kiekvienu „antrojo“ metimo rezultatu. bendras elementarių testų rezultatų skaičius yra 6*6=36. Šie rezultatai sudaro ištisą grupę ir dėl kaulų simetrijos yra vienodai galimi. Renginiui palankūs 5 judesiai: 1)6,2;2)6,4;3)6,6;4)2,6;5)4,6;

Reikalinga tikimybė: P(A)=5/36

Jus dominančią informaciją galite rasti ir mokslinėje paieškos sistemoje Otvety.Online. Naudokite paieškos formą:

Daugiau apie 3 temą. Santykinis dažnis. Santykinių dažnių stabilumas. Statistinis tikimybės apibrėžimas:

1. 4. Klasikinis tikimybės apibrėžimas. Santykinis įvykio dažnis. Statistinė tikimybė. Geometrinė tikimybė.
2. 27. Imties statistinis nustatymas. Variacijų serijos ir jų grafinis vaizdas. Daugiakampis ir dažnių histograma (santykiniai dažniai).
3. 39. Intervalinių variacijų eilučių konstravimas. Dažnių ir santykinių dažnių histograma.
4. 4. Santykinio dažnio nukrypimo nuo pastovios tikimybės tikimybė nepriklausomuose bandymuose